Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P5 docx

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A Hướng Dẫn Giải Bài Tập Bài 1: + đặt 1 0 4 x t+=≥ ⇒ x = t 2 - 1 4 + phương trình trở thành t 2 - 1 4 + 2 1 4 tta + += ⇔ t 2 - 1 4 + t + 1 2 = a t 2 + t + 1 4 = a ⇔ (t + 1 2 ) 2 = a ⇔ t + 1 2 = a t + 1 2 = - a loại do t ≥ 0 + giải phương trình: t = a - 1 2 ≥ 0 ⇒ đk a ≥ 1 4 ⇒ x + 1 4 = ( a - 1 2 ) 2 x = a - a + Kết luận: - nếu a < 1 4 phương trình vô nghiệm - nếu a ≥ 1 4 phương trình có nghiệm x = a - a bài 2 + đặt đk x > a (cho vế phải) + bình phương 2 vế ; chuyển vế: f(x) = x 2 + 2ax + 3 – a 2 < 0 + biện luận: ∆ ’ = 2a 2 – 3 - ∆ ’ ≤ 0 ⇔ a ≤ 6 2 bất phương trình vô nghiệm - ∆ ’ > 0 ⇔ a > 6 2 ⇒ - a - 2 23a − < x < -a + 2 23a − chú ý: f(a) = 2a + 3 > 0 ⇒ a ∉ (x 1 ; x 2 ) ; và để bất phương trình có nghiệm cần có 3 2 a>⇔ -a > a ⇔ a < 0 + Kết luận : - nếu a > 6 2 bất phương trình vô nghiệm - nếu a < - 6 2 bất phương trình có nghiệm x: x 1 < x < x 2 bài 3: + đặt u = 2 2x m− v = 2 1x − đk u, v ≥ 0 v 2 – u 2 = 2m-1 3v 2 + u 2 + 4uv = 1 đây là hệ đẳng cấp. giải hệ này ta có kết quả cuối cùng u,v ≥ 0 www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A + Kết luận: - nếu m < 0 hoặc m > 2 3 phương trình vô nghiệm - nếu 0 ≤ m ≤ 2 3 phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 21 m m − − bài 4: + nhận xét x = a là nghiệm ⇔ a = 0 lúc đó phương trình có nghiệm x = 0 + khi a ≠ 0 ⇒ x = a không nghiệm phương trình ⇒ chia cả hai vế của phương trình cho 2 3 ()x a− ta được 2 33 () (1) x axa mm x axa ++ += + −− + đặt 3 xa t xa + = − ⇒ phương trình: t 2 + (m +1)t + m = 0 ⇒ t = 1; t = m t= 1 ⇒ 1 xa xa + = − vô nghiệm do a # 0 t = m ⇒ 3 xa m xa + = − ⇒ (m 3 - 1)x = (m 3 + 1)a (*) nếu m # 1 ⇒ x = 3 3 1 () 1 m a m + − nếu m = 1 ⇒ phương trình (*) vô nghiệm kl: a = 0 với mọi m phương trình đúng với mọi x a # 0; m # 1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 3 1 () 1 m a m + − a # 0; m =1 phương trình vô nghiệm bài 5: + bình phương 2 vế, chuyển vế rút y làm nhân tử chung và chia ta được 8y = 2x – 9 + 9 21 x + + nếu x , y nguyên suy ra 2x + 1 phải là ước của 9 ⇔ 2x + 1 = ± 1 2x + 1 -1 1 -3 3 -9 9 2x + 1 = ± 3 2x + 1 = ± 9 x -1 0 -2 1 -5 4 y ∉ z 0 -2 ∉ z ∉ z ∉ z www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A vậy phương trình có các nghiệm nguyên là x = 0 x = -2 y = 0 y = -2 Chuyên đề VI Hệ phương trình - hệ bất phương trình vấn đề 1: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn Hệ phương trình có chứa 1 phương trình bậc nhất A, các tiêu chuẩn biện luận cho hệ pt bậc nhất hai ẩn, ở trong chương trình đại số lớp 10 từ trang 62 – 66 sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000. Sau đây chúng ta xét một số ví dụ với một số dạng bài cụ thể B, một số ví dụ 1, dạng bài giải và biện luận a, ví dụ 1: giải và biện luận hệ ax + by = a + 1 (1) bx + ay = b + 1 (2) giải : * Nếu a = b = 0 hệ (I) có dạng õ + oy = 1 vô nghiệm • tính D = a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) D x = (a - b)(a + b + 1) D y = (a - b) + biện luận: - Nếu D # 0 ⇔ a # ± b hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất x = 1 ab ab + + + ; y = 1 ab+ - Nếu D = 0 ⇔ a = ± b 2, với a = b ⇒ D = D x = D y = 0 hệ có dạng ax + ay = a + 1 khi a # 0 ⇒ y = 1ax a a +− lúc đó hệ có vô số nghiệm x = k tuỳ ý y = 1ak a a +− (a = 0 đã xét trường hợp đầu tiên) b , a = -b ≠ 0 ⇒ D x ≠ 0 hệ vô nghiệm Kết luận: - nếu a = b = 0 hệ vô nghiệm - nếu a = b 3 0 hệ có vô số nghiệm - nếu a = -b ≠ 0 hệ vô nghiệm - nếu a ≠ ± b hệ có một nghiêm duy nhất x = 1 ab ab ++ + ; y = 1 ab+ www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A b , chú ý: khi biện luận với những trường hợp cụ thể của tham số; nên thay trực tiếp vào hệ thì việc trả lời cho các trường hợp đó tránh được sự nhầm lẫn. 2, Dạng tìm điều kiện để hệ thoả mãn một điều kiện cho trước a, ví dụ 1: cho hệ mx + y = 2m x + my = m + 1 a, xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m b, tìm m ∈ z để hệ có nghiệm duy nhất và là số nguyên giải: câu a: + tính D = m 2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 hệ sẽ có nghiệm duy nhất + gọi x 0 , y 0 là nghiệm duy nhất của hệ ⇒ mx 0 + y 0 = 2m ⇔ m(x 0 - 2) = - y 0 x 0 + my 0 = m + 1 m (y 0 - 1) = 1 – x 0 m (x 0 - 2)(y 0 - 1) = - y 0 (y 0 - 1) ⇔ m (x 0 - 2)(y 0 - 1) = (1 – x 0 ) (x 0 - 2) ⇒ (1 – x 0 ) (x 0 - 2) + y 0 (y 0 - 1) = 0 đây là biểu thức liện hệ giữa x 0 , y 0 là nghiệm duy nhất của hệ không phụ thuộc vào m * chú ý : có thể làm theo nguyên tắc chung như sau: tìm nghiệm x = 21 1 12 x D mx m Dm x +− =⇒= +− y = 1 y D m Dm = + ⇒ y = 1 1 2 1 1 1 2 x x x x y x x − − − =⇔−= − − − đây cũng là 1 biểu thức liên hệ giữa x , y không phụ thuộc m câu b + ta có nghiệm duy nhất của hệ là x = 21 1 2 11 m mm + =− ++ do đó x, y, m ∈ z ⇔ m + 1 = ± 1 ⇔ m = 0 với m = 2 y = 1 1 11 m mm =− ++ + kiểm tra qua đk m ≠ ± 1 ⇒ m = 0 với m = -2 là các giái trị cần tìm c, hệ có chứa một phương trình bặc nhất 1, ví dụ 1: giải và biện luận hệ x+ y = a x 4 + y 4 = a 4 www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A giải : + nhận thấy x = 0 ⇒ y = a là nghiệm của hệ + nếu x ≠ 0 ⇒ đặt y = tx; hệ trở thành x + tx = a x(1+t) = a x 4 + t 4 x 4 = a 4 ⇔ x 4 (1+t 4 ) = a 4 x (1+ t) = a x 4 (1 + t) 4 = x 4 (1 + t 4 ) ⇔ x 4 [(1 + t) 4 – (1 + t 4 ) ] = 0 ⇔ x 4 . 2t (2t 2 + 3t + 2) = 0 ⇔ t = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = a kết luận: hệ luôn có nghiệm x = 0 x = a và chỉ có các nghiệm đó y = a y = 0 2, ví dụ 2: cho hệ phương trình x 3 – y 3 = m (x - y) x + y = -1 a, giải hệ khi m = 3 b, tìm m? để hệ có 3 nghiệm (x 1, y 1 ) ; (x 2 , y 2 ) ; (x 3 , y 3 ) sao cho x 1 , x 2 , x 3 lập thành cấp số cộng và có hai số với giái trị tuiyệt đối lớn hơn 1 giải : Câu a : + hệ trên ⇔ (x - y)(x 2 + xy + y 2 - m) = 0 x + y = - 1 x – y = 0 x = y = - 1 2 x + y = -1 y = -1 – x thế vào phương trình* x 2 + xy + y 2 – m = 0 x + y = -1 x 2 + x + 1 – m = 0 (* *) + khi m = 3 thì (* *): x 2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ; x = -2 vậy nghiệm của hệ khi m = 3 là x = y = - 1 2 x = 1 ; y = -2 x = -2 ; y = 1 câu b, + ta thấy để hệ đã cho có 3 nghiệm thì (* *) phải có 2 nghiệm phân biệt không trùng với x = - 1 2 (luôn là nghiệm của hệ); lại có x 1 , x 2 là nghiệm của (* *) thì x 1 + x 2 = - 1 = 2 (- 1 2 ) ⇒ chứng tỏ nếu tồn tại x 1 , x 2 thì x 1 , - 1 2 , x 2 là một cấp số cộng lại có 1 x > 1 ; 2 x > 1 điều này tương đương với x 1 < -1 < 1< x 2 hoặc x 2 < -1 < 1< x 1 t ương đ ương với f(1) < 0 3 – m < 0 f(-1) < 0 1 – m < 0 ⇔ m > 3 www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A Kết luận m > 3 thì hệ có 3 nghiệm thoả mãn yêu cầu của bài toán 3, Chú ý: loại hệ phương trình như trên cách làm chung nhất thường bằng phương pháp thế từ phương trình bậc nhất vào phương trình bậc cao hơn ở trong hệ Bài tập: Bài 1: a, giải và biện luận hệ 6ax + (2 - a)y = 3 (a - 1)x – ay = 2 b, gọi x, y là nghiệm của hệ tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với a bài 2: cho hệ ax + b = b x + ay = c 2 + c a, b = 0 giải và biện luận hệ b, tìm b để với mọi a luôn tìm được để hệ có nghiệm bài 3: giải và biện luận hệ x + y = m (1) x 2 – y 2 + 2x = 2 (2) bài 4. gọi (x , y) là nghiệm của hệ x + y = m (1) x 2 + y 2 = a 2 + 2a – 3 (2) tìm a để xy nhỏ nhất . Văn A vậy phương trình có các nghiệm nguyên là x = 0 x = -2 y = 0 y = -2 Chuyên đề VI Hệ phương trình - hệ bất phương trình vấn đề 1: Hệ phương trình bậc. toán 3, Chú ý: loại hệ phương trình như trên cách làm chung nhất thường bằng phương pháp thế từ phương trình bậc nhất vào phương trình bậc cao hơn ở trong