Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2 doc

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An Hớng dẫn giải bài tập 1. Bài 1: Giải và biện luận : |x-1|(x+2) + m = 0 (1) Giải: + Đặt f(x) = |x-1| x+2) = () () <=+ =+ 41xvớim2xx 31xvớim2xx 2 2 + Nếu x 2 + x 2 = -m có nghiệm thì x 1,2 = 2 m491 + Nếu x 2 + x 2 = m có nghiệm thì x 3,4 = 2 m491 + + Dựa vào đồ thị ta thấy: * Nếu m < - 4 9 -m > 4 9 (đồ thị vế trái của (3) cắt y = - m ở 1 điểm x 2 = 2 m491 + > 1 và đồ thị vế trái của (4) không cắt y = m phơng trình (1) có 1 nghiệm là x 2 * Nếu - 4 9 m <0 thì (3) cho 1 nghiệm x 2 và (4) cho 2 nghiệm x 3 ,x 4 . * Nếu m = 0 thì (3) cho 1 nghiệm x 2 = 1; (4) cho 2 nghiệm x 3 ; x 4 = 1 Phơng trình (1) có 2 nghiệm là x 2 =x 4 =1 và x 3 = -2 y=m (m>0) y=-m (m>0) 1 -9/4 -2 x y -1/2 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An * Nếu m > 0 thì (3) không có nghiệm (2 đờng thẳng không cắt nhau; và (4) cho 1 nghiệm x 3 (vì 2 đồ thị chỉ cắt tại 1 điểm x 3 < 1) 2. Bài 2: Xác định a để phơng trình |2x 2 3x 2| = 5a 8x 2x 2 (1) có nghiệm duy nhất. Giải: + (1) |2x 2 3x 2| + 2x 2 + 8x = 5a + Đặt y 1 = |2x 2 3x 2| + 2x 2 + 8x = 4x 2 + 5x 2 với x - 2 1 ;x 2 11x + 2 với - 2 1 < x < 2 y 2 = 5a + Vẽ y 1 có Đ(- 16 57 ; 8 5 + Dựa vào đồ thị phơng trình (1) có nghiệm duy nhất 5a = - 16 57 a = - 80 57 Bài 3: Tìm m để miny = x 2 + |m+1| 2 + 2+x+m-1| 3. -1/2 -2 -7/2 2 y=-m (m>0) x y y=50 -3/8 -57/16 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An Giải; + Đặt |x+m-1| = t 0. + Trờng hợp t = x+ m - 1 y = t 2 - 2(m-2)t + 2(m 2 +1) Hoành độ đỉnh của (P) là t Đ = m-2; nếu t Đ > 0 m >2 thì miny = y(t Đ ) = (m-2) 2 - 2(m-2) 2 + 2(m 2 +1) = m 2 + 4m - 2 3. -5 m 1 không thoả mãn m > 2 Nếu t Đ < 0 m < 2 0t min y = y(0) = 2m 2 + 2 3 |m| < 2 2 (do t 0 hàm đồng biến) + Trờng hợp t = -x - m + 1 y = t 2 + 2mt + 2(m 2 + 1) ta có đỉnh của (P) lúc này có hoành độ t Đ = -m - Nếu t Đ 0 m 0 0t min y = y(0) = 2m 2 + 2 3 0 m 2 2 (3) + Từ (1) , (2), (3) kết luận -1 m 2 2 thì min y 3 Bài 4: Tìm m để f(x) = (x-2) 2 + 2|x-m| với x (1) Giải: + (1) (x-2) 2 3-2|x-m| + Đặt y 1 = (x-2) 2 và y 2 = 3-2|x-m| bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm y 2 nằm dới đồ thị hàm y 1 . ta có y 2 = + + mxvới2m2x3 mxvới2m2x3 + Xét 2 tiếp tuyến của y 1 có hệ số góc 2 ta có 2 tiếp tuyến đó có phơng trình: y = 2x - 5 và y = -2x+3 nên để y 1 nằm trên y 2 với x cần và đủ là y = -2x+3 ở trên y = -2x + 2m + 3 3 2m + 3 m 0 y = 2x-5 ở trên y = 2x - 2m + 3 -5 3-2m m 4 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An V. Chuyên đề: Phơng trình bất phơng trình vô tỉ Đ1. Vấn đề 1: Các phơng pháp thờng dùng khi giải phơng trình bất phơng trình vô tỉ A. Các bất phơng trình cơ bản 1. () x2 xf < g(x) f(x) 0 g(x) > 0 f(x) < [g(x)] 2k 2. () x2 xf > g(x) g(x) 0 f(x) > 0 g(x) 0 f(x) < [g(x)] 2k 3. () k2 xf > () k2 xg g(x) 0 f(x) > g(x) B. Các phơng pháp thờng dùng 1. Phơng pháp lũy thừa: Cô lập căn thức và luỹ thừa 2 vế. a. Ví dụ 1: Giải phơng trình : x12x3 2x3 x 2 = (1) Giải: + ĐK: x > 3 2 khử mẫu ta có + Ta có (1) x 2 3x +2 = (1-x) 2x3 (x-1)(x-2) + (x-1) 2x3 = 0 (x-1)[(x-2) + 2x3 ] = 0 x 1 = 0 (2) 2x3 = 2-x (3) + Giải (2) x = 1 www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An + Gi¶i (3) ⇔ 2-x ≥ 0 3x – 2 = x 2 – 4x + 4 ⇔ 1x 6x 1x 2x =⇔         = = ≤ + KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 b. VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 33 3x22x1x −=−+− (1) Gi¶i : + (1) ⇔ (x-1)+ (x-2) + 3 ( )( ) ( ) ( ) [ ] 333 2x1x2x1x −+−−− = 2x – 3 + (1) ⇔ ()( )( ) 3 3x22x1x −−− = 0 ⇔ x = 1; 2; 2 3 c. VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 1x6x2 2 +− > x-2 (1) Gi¶i: + (1) ⇔ ()               −>+− >+− ≥−    ≥+− <− 2 2 2 2 2x1x6x2 01x6x2 02x 01x6x2 02x ⇔ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An > > < + > < + < 3x 3x 1x 2 73 x 2 73 x 2x 2 73 x 2 73 x 2 73 x 2x + Kết luận: Nghiệm của bất phơng trình x 2 73 hoặc x > 3 2. Phơng pháp đặt ẩn phụ a. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên củaphơng trình x 2 +x + 12 1x + =36 Giải (1): + đặt 1x + = t 0 (1) (x+1) 2 - (x+1)+12 1x + = 36 Do đó (1) có dạng t 4 - t 2 + 12t - 36 = 0 (t-2) (t 3 +2t 2 +3t+18) = 0 (t-2)(t+2)(t 2 -t+6) = 0 do điều kiệu t 0 t = 2 1x + = 2 x == 3 b. Ví dụ 2: Giải bất phơng trình 1x10x5 2 ++ > -x 2 - 2x + 7 (1) Giải: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Đặt 1x10x5 2 ++ = t 0 x 2 + 2x = 5 1t 2 bất phơng trình (1) trở thành: t 2 + 5t - 36 0 4t 4t 9t 0t Giải bất phơng trình: 1x10x5 2 ++ 4 x 2 + 2x - 3 0 x -3 U x 1 là nghiệm của bất phơng trình (1) 3. Phơng pháp đa phơng trình về một hệ phơng trình bất phơng trình a. Ví dụ 1: Giải phơng trình x 2 + 5x + = 5 (1) Giải: Đặt 5x + = t 0 t 2 = x+5 ta có hệ sau = =+ 5xt 5tx 2 2 () =+ =+ 0txtx 5tx 22 2 ()( ) =+ =+ 01txtx 5tx 2 = =+ =+ =+ 1tx 5tx 0tx 5tx 2 2 () =+ += =+ = 04xx 01xt 0txtx 0xt 2 22 = = 2 171 x 1x 2 211 x 0x Vậy phơng trình (1) có các nghiệm : x 1 = 2 211 ; x 2 = 2 171+ c. Ví dụ 2: Giải phơng trình: 7x 2 + 7x = 28 9x4 với x > 0 Giải: + Đặt 28 9x4 = t + 2 1 t>0 vì 28 9x4 > 28 9 > 2 1 4 1 = www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An + ⇒        +=+ +=+ 2 1 xt7t7 2 1 tx7x7 2 2 ⇒ ()( )      =++− +=+ 08t7x7tx 2 1 tx7x7 2 ⇒      =−+⇔=−−+ = 0 2 1 x6x70 2 1 xx7x7 tx 22 x = 14 506 ±− ⇒ x = 14 506 +− (lo¹i gt ©m v× x > 0) 4. Ph−¬ng ph¸p so s¸nh: a. VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2x − + x4 − = x 2 – 6x + 11 gi¶i: VT = 2x − + x4 − ≤ ( ) x42x2 −+− = 2 (B§TBCS) VP = x 2 – 6x + 11 = (x-3) 2 + 2 ≥ 2. + VT ≤ 2 ≤ VP ⇒ VT = vP = 2 khi 2x − = x4 − x –3 = 0 ⇔ x = 3 b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 2x3x 2 +− + 3x4x 2 +− ≥ 2 4x5x 2 +− (1) Gi¶i: + §K : x ≤ 1; x ≥ 4 + Víi x ≥ 4; (1) ⇔ ()( ) ( )( ) 3x1x2x1x −−+−− ≥ 2 ( )( ) 4x1x −− ⇔ ( ) 3x2x −+− ≥ 2 4x − lu«n ®óng ∀ x ≥ 4. V× : 2x − ≥ 4x − www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An 3x 4x VT VP + Với x < 1: (1) ()( )()() x3x1x2x1 + 2 ( )( ) x4x1 ( ) x3x2 + 2 x4 vô nghiệm. Vì : x2 < x4 x3 < x4 VT <2 x4 = VP + Với x = 1 luôn đúng + Kết luận: Nghiệm của bất phơng trình: = 4x 1x * Chú ý: Khi giải phơng trình bất phơng trình vô tỉ cần nhận xét kỹ và biến đổi khéo léo bài toán vì thế có thể đơn giản nhiều Ví dụ: Giải phơng trình: () 2 2 x211 x4 + = 2x + 9 () 2 x2 x211.x2 ++ = 2x + 9 2 + 2x + 2 x21+ = 2x + 9 x21 + = 2 7 =+ 4 49 1x2 2 1 x x = 8 45 5. Phơng pháp lợng giác hoá a. Ví dụ: Giải phơng trình x 3 + () 3 2 x1 = x () 2 x12 (1) Giải : + Điều kiện: -1 x 1 (1-x 2 ) 0 |x| 1) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Đặt x = sin 2 , 2 Phơng trình (1) trở thành sin 3 + cos 3 = 2 sin cos . Nếu đặt t = sin + cos (sin + cos )( sin 3 + cos 3 - sin cos ) = 2 sin cos t(1- 2 1t 2 ) = 2 2 1t 2 t 3 + 2 t 2 - 3t - 2 = 0 (t- 2 ) (t 2 + 2 2 t + 1) = 0 t = 2 ; -( 2 +1); 1- 2 * Nếu t = 2 2 cos ( - 4 ) = 2 = 4 x = sin 4 = 2 2 * Nếu t = -( 2 +1) loại vì -( 2 +1) < - 2 Nếu t = 1 - 2 sin + cos = 1- 2 x+ 2 x1 =1 - 2 2 x1 =1 - 2 - x 0 x 1 - 2 1 - x 2 = (1- 2 -x) 2 = (1- 2 ) 2 - 2(1- 2 )x + x 2 2x 2 - 2(1- 2 )x - 2 2 + 2 = 0 ' = 2 2 - 1 x 12 = 2 12221 Kết luận Phơng trình có 2 nghiệm x = 2 2 và x = 2 12221 Chú ý: Khi điều kiện của đối số: -1 x 1 thờng đặt sin = x; hoặc cos = x Bài tập Bài 1: giải phơng trình: 3 34x + - 3 3x = 1 Bài 2: Giải bất phơng trình: a. 2x1x3x < b. 4(x+1) 2 < (2x+10)(1- x23 + ) 2 . Phơng trình bất phơng trình vô tỉ Đ1. Vấn đề 1: Các phơng pháp thờng dùng khi giải phơng trình bất phơng trình vô tỉ A. Các bất phơng trình cơ bản 1. (). bất phơng trình (1) 3. Phơng pháp đa phơng trình về một hệ phơng trình bất phơng trình a. Ví dụ 1: Giải phơng trình x 2 + 5x + = 5 (1) Giải: Đặt 5x + =