Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P3 doc

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An Hớng dẫn giải bài tập Bài 1: + Luỹ thừa bậc 3 hai vế rồi thế vào phơng trình nh ví dụ (2) của phơng pháp luỹ thừa. Sau đó luỹ thừa bậc 3 hai vế ta đợc phơng trình: x 3 + 31x - 1830 = 0 x = 30; -61 Bài 2: Câu a: Bình phơng hai vế hai lần ta đợc bất phơng trình 3x 2 - 28 > 0 x > 3 28 Câu b: - Đa bất phơng trình về dạng ( ) ( ) 10x2 x231 1x4 2 2 +< + + - Trục căn ở vế trái 3x23 <+ - 3x 2 3 < x -1 Câu c: Chuyển vế biến thành nhân tử (2x 2 - x - 3)( x 3 - 2) > 0 mà x 3 > 2 x > log 2 3 2 Bất phơng trình (2x 2 - x - 3)(x - log 2 3 2) > 0 > 2 3 x 2logx0 2 3 Câu d: + Đặt t x2 1 x =+ theo bất đẳng thức côsi t 2 và t 2 = x + 1 x4 1 + khi đó bất phơng trình trở thành 2t 2 - 5t + 2 > 0 2t> t > 2 2 x2 1 x >+ giải ra đợc 0 < x < 2 2 3 hoặc x2 2 3 <+ Bài 3: Câu a: đặt t = 11x 2 + bất phơng trình trở thành + 2t 2 - (4x - 1)t + (2x - 1) = 0 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Giải ra đợc t = 2 1 loại; t = 2x - 1 1x 2 + = 2x - 1 giải ra đợc x = 3 4 . Câu b: + Đặt t1x2 3 = phơng trình trở thành hệ () = =+ xt2tx t21x 33 3 () =+ = = ++ + =+ > 01x2x tx 02t 4 3 2 t xtx t21x 3 0 2 2 3 x = 1 hoặc x = 2 51 Bài 4: + Giải bằng phơng pháp cần và đủ hoặc + Đặt ()() x6x4 + = t điều kiện 0 t 5 Bất phơng trình có dạng: f(t) = t 2 + t - (m + 24) 0 t: 0 t 5 () () 6m 05f 00f Bài 5: - Theo yêu cầu của bài toán ta cần: y = x + 0mx1 2 với x [-1, 1] - Đặt x = sin 2 , 2 y = sin + cos m với 2 , 2 2ymax 2 , 2 = m m 2 + Vậy VT VP VT = VP khi x = 1 - x x = 2 1 + Kết luận vậy phơng trình có 1 nghiệm duy nhất x = 2 1 khi m= 28 4 + . Đ Vấn đề 1: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An Các phơng pháp thờng dùng khi giải phơng trình - bất phơng trình vô tỉ (tiếp theo) 6. Phơng pháp hàm số (bảng biến thiên - đồ thị) a. Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x + m = m 1x 2 + (1) Giải: + (1) m = 1x mx 2 + + (2) + Đặt y 1 = 1x mx 2 + + và y 2 = m - Ta có tập xác định của y 1 là D y1 = R - Sự biến thiên của y 1 : y' 1 = () 0 x1 mx1 3 2 = + x = () 0m m 1 - 1 1x mx lim 2 x = + + . Ta có các bảng biến thiên của hàm y 1 nh sau: - Nếu m = 0 x - + y' + y 1 -1 1 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An - Nếu m < 0 x - m 1 + y' - 0 + y 1 -1 - 1m 2 + 1 - Nếu m > 0 x - m 1 + y' + 0 - y 1 -1 1m 2 + 1 + Biện luận: nhìn vào các bảng biến thiên ta có - Nếu m = 0 2 đồ thị y 1 cắt y 2 tại một điểm có x = 0 phơng trình có 1 nghiệm x = 0. - Nếu m < 0 - 1m 2 + < m nếu -1 m < 0 2 đồ thị cắt tại 1 điểm phơng trình có 1 nghiệm x = 0. Còn nếu m < -1 2 đồ thị cắt tại 2 điểm trong đó có 1 nghiệm x = 0. - Nếu m > 0 1m 2 + > m do đó: + Nếu 0 < m 1 phơng trình có 1 nghiệm x = 0 + Nếu m > 1 phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=0 Kết luận: + Nếu m 1 thì phơng trình có 1 nghiệm duy nhất x = 0 + Nếu m > 1 phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=0 b. Ví dụ 2: cho phơng trình 4 44 23x24xm2x24x +++++ = 6 (1). Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình (1). Giải: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Đặt 44 m2x24x ++ = t 0 Ta biện luận phơng trình sau: x 4 + 24x + 2m = 16 f(x) = x 4 + 24x = 16 - 2m + Xét f'(x) = 4x 3 + 24 = 0 x = -2 có bảng biến thiên sau: x - -2 + y' - 0 + y 1 + -32 + + Dựa vào bảng biến thiên ta có số nghiệm của phơng trình bằng số giao của f(x) = x 4 + 24x với y = 16 - 2m. * Nếu 16 - 2m < -32 m > 24 phơng trình vô nghiệm * Nếu 16 - 2m = 32 m > 24 phơng trình vô nghiệm * Nếu 16 - 2m > -32 m < 24 phơng trình có 2 nghiệm 7. Phơng pháp cần và đủ a. Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình: mx1xx1x 44 =+++ (1) có nghiệm duy nhất. Giải: * Điều kiện cần: nhận thấy nếu x = là nghiệm của (1) thì x = 1 - cũng là nghiệm của (1). Vậy (1) nếu có nghiệm duy nhất thì trớc hết phải có = 1 - = 2 1 Thay vào phơng trình (1) có: m = 2 2 1 2 2 1 4 + = 28 4 + (a) * Điều kiện đủ: giả sử m = 28 4 + lúc đó (1) có dạng 28x1xx1x 4 44 +=+++ - Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số ta có: () 2x1x2x1x =++ dầu "=" khi x = 1 - x () 4 44 822x1x2x1x =++ dầu "=" khi x =1-x www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + vậy vt< vp vt = vp khi x = 1 x x = 1 2 + kết luận vậy phơng trình có 1 nghiệm duy nhất x = 1 2 khi m = 28 4 + b. Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của a để bất phơng trình (1) -4 ()() 18ax2x2xx4 2 ++ nghiệm với x [-2, 4] Gải: * Điều kiện cần: Theo yêu cầu bài toán vì bất phơng trình nghiệm x [-2, 4] Giải: * Điều kiện cần Theo yêu cầu bài toán vì bất phơng trình nghiệm x [-2, 4] Bất phơng trình trên phải nghiệm x = 4 0 16 - 8 + a - 18 a 10. * Điều kiện đủ: Với a 10 bất phơng trình (1) có dạng: x 2 - 2x + a - 18 x 2 - 2x - 8 -4 ( )( ) 2xx4 + (3) - Đặt ()() 0t2xx4 =+ -x 2 + 2x + 8 = t 2 Nên (3) có dạng: t 2 - 4t 0 0 t 4 thỏa mãn t: 0 t 3 (vì x [-2, 4]) -x 2 + 2x + 8 = t 2 lúc đó 0 t 2 9 0 t 3. Vậy a 10 Bất phơng trình (1) nghiệm với x: x [-2, 4]. Chú ý: ở ví dụ này chúng ta đã sử dụng phơng pháp lựa chọn giá trị thích hợp là x = 4. nếu lấy giá trị của xa [-2, 4] ở điều kiện cần tìm ra giá trị của a cha đủ để khẳng định thì có thể lấy vài giá trị x [-2, 4] sau đó lấy giao cac giá trị a; khi chứng minh điều kiện đủ có thể thu hẹp các giá trị a để chứng minh đợc điều kiện đủ; từ đó suy ra giá trị a cần tìm. c. Ví dụ 3: tìm a để bất phơng trình: 3xx 2 ++ - 1 - x tơng đơng với phơng trình: x - a - x + 1 = 2 (2) là tơng đơng với nhau. Giải: + Giải bất phơng trình x13xx 2 ++ (1) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An (1) ++++ ++ 1x 2x 1x 1x2x3xx 0x1 1x 03xx 0x1 22 2 Vậy nghiệm của (1) là x * Điều kiện cần: giả sử (1) tơng đơng với (2) x = -1 là x 0 của (2) -1 - a - -1 + 1 = 2 a + 1 = 2 a = 1; -3 * Điều kiện đủ: * Với a = 1: (2) trở thành : x - 1 - x + 1 = 2 (3) - Với x -1 (3) : -x + 1 + x + 1 = 2 luôn đúng - Với -1 < x 1 (3): -x + 1 - x - 1 = 2 x = -2 loại - Với x > 1 (3): x - 1 - x - 1 = 2 vô nghiệm Vậy (2) có nghiệm x -1 không tơng đơng với (1) * Với a = -3 : (2) trở thành : x + 3 - x + 1 = 2 (4) - x -3 : (4) trở thành : -x - 3 + x + 1 = 2 Vô nghiệm - 3 < x -1 : (4) trở thành: x + 3 + x + 1 = 2 x = -1 x > -1 : (4) trở thành: x + 3 - x - 1 = 2 đúng Vậy bất phơng trình (2) có nghiệm là x -1 Kết luận: Không có giá trị nào của a để (1) tơng đơng với (2). d. Chú ý: ngời ta có thể dùng các phơng pháp toán học khác để giải phơng trình - bất phơng trình. Ví dụ nh có thể dùng véctơ để giải bất phơng trình nh sau: Ví dụ: Giải bất phơng trình () 2x23x23x1x 2 ++ (1) Giải: + Ta có ( ) ( ) 1,1v;3x,1xu == GG (Với x 1) www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng __________________________________________________________ Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An + Ta thÊy 3x1xv.u −+−= GG () 2 3x1xu −+−= G ; 2v = G + VËy bÊt ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng vÐct¬ nh− sau: vuv.u GGGG ≥ (2) mµ ( ) v,ucosvuv.u GGGGGG = ⇔ cos () 0k3x1xvu1v,u ≥=−=−⇔↑↑⇔= GGGG ⇔ 5x 010x7x 3x 9x6x1x 3x 22 =⇔    =+− ≥ ⇔    +−=− ≥ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh trªn cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = 5. Bµi tËp: Bµi 1: a. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 3 3 3 1x21x61x2 −>+++ b. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 16x9 8x12 x224x2 2 + − >−−+ Bµi 2: a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 5 3x 2x31x4 + =−−+ b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 3(2 + 6xx2)2x ++=− . học khác để giải phơng trình - bất phơng trình. Ví dụ nh có thể dùng véctơ để giải bất phơng trình nh sau: Ví dụ: Giải bất phơng trình () 2x23x23x1x 2 ++. < m 1 phơng trình có 1 nghiệm x = 0 + Nếu m > 1 phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=0 Kết luận: + Nếu m 1 thì phơng trình có 1 nghiệm