www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An Hớng dẫn giải bài tập Bài 1: Giải và biện luận bất phơng trình 4x 2 - 2(m + m1+ )x + m m1+ < 0 (1) Giải: + m + 1 < 0 m1+ không có nghĩa không tồn tại bất phơng trình (m < -1). + Nếu m + 1 0 m -1 giải nghiệm tam thức vế trái đợc x a = 2 m ; x b = 2 1m + + Nếu 2 m < 2 1m + m < 1m + -1 m < 2 51 + thì nghiệm của (1) là 2 1m x 2 m + << + Nếu 2 m > 2 1m + m > 2 51+ thì nghiệm của (1) là 2 m x 2 1m << + + Nếu 2 51 m 2 1m 2 m + = + = (1) vô nghiệm Bài 2: Tìm m để bất phơng trình x 2 - 2mx + 2 x - m + 2 > 0 với x Giải: + Thêm bớt m 2 ta có: (x - m) 2 + 2 x - m + 2 - m 2 > 0 với x + Đặt x - m = t 0 bất phơng trình trở thành f(t) = t 2 + 2t + 2 - m 2 > 0 t 0 t đỉnh = -1 Vậy t 0 hàm f(t) đồng biến và ( ) 0t tfmin = f(0) = 2 - m 2 Do đó f(t) > 0 với t 0 2 - m 2 > 0 m < 2 Bài 3: Tìm a để x 2 - ax + 1 > 0 (1) với x > 0 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An Giải: + (1) x + a x 1 > + Đặt f(x) = x + x 1 > 0 với x > 0 tơng đơng ( ) 0x axfmin > > + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x + x 1 2 với x > 0 dấu bằng xảy ra khi x = x 1 0x> x = 1 () 0x xfmin > = f(1) = 2 > a + KL: a < 2 thì (1) đúng x > 0 Bài 4: Tìm m để bất phơng trình: 0 xcos m1m mmxcosm 22 22 > + + với x (1) Giải: + Đặt t = cos 2 x t [0, 1] khi đó bất phơng trình trở thành 0 mt1m mmmt 2 2 > + + (mt - m + m 2 )(m 2 + 1 - mt) > 0 (2) Với t [0, 1] + Với m = 0 (2) không nghiệm + Với m 0 Tam thức vế trái có hệ số của t 2 là -m 2 < 0 do đó để [0, 1] là nghiệm. () () () () > < >+ > > > < < 1m 0m 01mm 0mm 01f 00f 01fm 00fm 2 2 2 2 + Kết luận m < 0 hoặc m > 1 bất phơng trình (1) đúng x Bài 5: Tìm a để 2 bất phơng trình sau tơng đơng. (a - 1)x - a + 3 > 0 (1) (a + 1)x - a - 2 > 0 (2) Giải: + Nếu a = 1 (1): 031 >+ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An 021 > không tơng đơng + Nếu a > 1 nghiệm của (1) là x > 1a 3a và của (2): x > 1a 2a + + để (1) tơng đơng (2) 5a 1a 2a 1a 3a = + + = . + Nếu -1 < a < 1: nghiệm của (1): x < 1a 3a và nghiệm của (2): x > 1a 2a + + 2 khoản trên không thể trùng nhau không tơng đơng. + Nếu a < -1: nghiệm của (1): x < 1a 3a và của (2) x < 1a 2a + + (1) tơng đơng (2) 1a 2a 1 a 3a + + = a = 5 (loại) + Kết luận: a = 5, 2 bất phơng trình tơng đơng. Đ3. Vấn đề 3: Phơng trình - bất phơng trình bậc 2 chứa giá trị tuyệt đối. A. Một số phơng pháp giải: Để giải phơng trình, bất phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ngời ta thờng tìm cách khử giá trị tuyệt đối bằng một số phơng pháp sau: 1. Phơng pháp dùng định nghĩa a. Bất phơng trình: f(x) > g(x) () () () () () () ( ) ( ) () () () () = < = = < > xgxf 0xf 0xf xgxf xgxf; xgxf xgxf b. Bất phơng trình: f(x) < g(x) ( ) () () () << > xgxfxg 0xg c. f(x) = g(x) f(x) = g(x) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An 2. Phơng pháp luỹ thừa a. f(x) > g(x) () () () () () ( ) ( ) () () () < = = > bptcủadịnhxáctậpDx 0xg 0xg xgxf xgxf; 0xg xgxf 2222 b. f(x) < g(x) () () < > xgxf 0)x(g 22 c. f(x) g(x) f 2 (x) g 2 (x) [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] 0 3. Phơng pháp chia khoảng: tìm nghiệm của các biểu thức trong giá trị tuyệt đối, xét dấu các biểu thức đó rồi dựa vào định nghĩa phá giá trị tuyệt đối các biểu thức; sau đó giải phơng trình - bất phơng trình trên từng khoảng đã đợc phá giá trị tuyệt đối và kết luận. 4. Phơng pháp hàm số và đồ thị: Dùng đồ thị của hàm số bậc 2 và bậc nhất để giải bài toán phơng trình - bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối bằng cách: điều chỉnh các vế của phơng trình - bất phơng trình sao cho một vế việc vẽ đồ thị dễ dàng và thờng cố định vế kia đồ thị di động theo tham số hoặc cũng là đồ thị cố định và dễ vẽ. Từ đó xét vị trị tơng đối của 2 đồ thị ở 2 vế của phơng trình - bất phơng trình mà suy ra kết quả. B. Các ví dụ: (1) Ví dụ 1: Giải bất phơng trình: x 2 - 5x + 5 -2x 2 + 10x - 11(1) Cách 1: + Đặt x 2 - 5x + 5 = y thì bất phơng trình (1) trở thành y -2y - 1 điều kiện -2y - 1 > 0 y < - 2 1 y < 0 Bất phơng trình trở thành: -y -2y - 1 y -1 vậy ta có x 2 - 5x + 5 -1 x 2 - 5x + 6 0 2 x 3. + Kết luận: nghiệm của bất phơng trình là 2 x 3 Cách 2: Bằng phơng pháp khoảng: xét dấu của x 2 - 5x + 5 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An x - 2 55 2 55 + + x 2 -5x+5 0 0 - 0 + + Xét trên khoảng x < 2 55 (1) x 2 - 5x + 5 -2x 2 + 10x - 11 giải bất phơng trình trên khoảng x < 2 55 . các em tự làm trên các khoảng vẽ có kết quả nh trên. 2. Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phơng trình: x 2 - 5x + 4 < 2a (1) Giải: đặt y 1 = x 2 - 5x + 4 = () <<+ + 4x1với45xx 4x1;xvới45xx 2 2 Vẽ đồ thị y = x 2 - 5x + 4 + Đặt y = a và vẽ đồ thị là đờng thẳng song song ox cắt oy ở điểm có tung độ bằng 2a. + Từ đồ thị ta có -2a 0 bất phơng trình vô nghiệm (vì đồ thị y 1 trên y 2 ) - 0 < a 8 9 bất phơng trình có nghiệm: x A < x < x B ; x C < x D 9/4 0 4 A B C D y 2 = a y 1 = x 2 - 5x + 4 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An - a > 8 9 bất phơng trình có nghiệm x A < x < x D (ở đây x A , x D là nghiệm của phơng trình x 2 - 5x + 4 - 2a = 0 x A, D = 2 a895 + ; x B , x C là nghiệm của phơng trình -x 2 + 5x - 4 - 2a = 0 x 2 - 5x + 4 + 2a = 0, x B , x C = 2 a895 ) * Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng phơng pháp luỹ thừa ((x 2 - 5x + 4) 2 < 4a 2 với a > 0 hoặc bằng phơng pháp chia khoảng) Ví dụ 3: Tìm a để phơng trình (1) : -2x 2 + 10x - 8 = x 2 - 5x + a có 4 nghiệm phân biệt. Giải: + Phơng trình trên (1) -2x 2 + 10x - 8 - x 2 + 5x = a + Đặt y 1 = f(x) = -2x 2 + 20x - 5 - x 2 + 5x = = () () <<+ + 4x1vớiP815x3x 4x 1x vớiP85xx 2 2 1 2 - Vẽ đồ thị y 1 ; y 2 = a là đờng thẳng song song ox cắt oy ở điểm có tung độ a. - Nhìn vào đồ thị ta có 4 < a < 4 43 thì 2 đồ thị cắt nhau tại 4 điểm phơng trình đã cho có 4 nghiệm. 4/3 0 4 1 a x y www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An * Nhận xét: trong hai ví trụ trên; vì tách riêng đợc tham số m nên việc giải bằng đồ thị ngắn gọn và nhẹ nhàng hơn. 4. Ví dụ 4: Giải và biện luận x 2 - 2x + a x 2 - 3x - a (1) Giải: + (1) (x 2 - 2x + a) 2 (x 2 - 3x - a) 2 (x 2 - 2x + a) 2 - (x 2 - 3x - a) 2 0 (x + 2a)(x 2 - 5x) 0 (2) + Biện luận - Nếu a < 0 -2a < 4 - 0a 2 5 << khi đó dấu VT của (2) là nghiệm của bất phơng trình là x 0 < 2 5 khi đó dấu vế trái của (2) là nghiệm của bất phơng trình : x -2a; 0 x 2 5 5. Ví dụ 5: Giải và biện luận phơng trình a x + 2 + a x - 1 = b (1) Giải: + (1) ( x + 2 + x - 1 )a = b (2) + Biện luận - Nếu a = 0 và b 0 (2) Vô nghiệm (1) Vô nghiệm - Nếu a = b = 0 (2) có nghiệm x (1) nghiệm x - Nếu a 0 thì (2) f(x) = x + 2 + x - 1 = () xg a b = - + + - 0 -2a 5 - + + - 0-2a 5/2 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An f(x) = + < < 1xvới12x 1x2với3 2xvới12x có đồ thị Biện luận: - Dựa vào đồ thị ta có: */ 3 a b < phơng trình (1) vô nghiệm */ 3 a b = phơng trình (1) có vô số nghiệm: -2 x 1 */ 3 a b > Phơng trình (1) có nghiệm: -2x - 1 = + = + = a2 ba 2 a b 1 x a b 1 2x + 1 = a2 ab 2 1 a b x a b 2 = = 6. Ví dụ 6: Cho y = 3x 2 - 6x + 2a - 1 với x [-2, 3]. Tìm a để maxy đạt giá trị min. Giải: x y -2 0 a b g(x) = a b f(x) 3 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An + Ta thấy ngay theo tính chất của hàm bậc 2: maxy = max{y(-2); y(1); y(3)} = max{ 2a + 23}; 2a - 4 ; 2a + 8 } + Dựng đồ thị của 3 hàm số y 1 = 2a + 23 ; y 2 = 2a - 4 ; y 3 = 2a + 8 trên 1 hệ trục tọa độ oay. Trên đồ thị có: các giá trị maxy thuộc phần vẽ nét đậm và trên đó min chính tại điểm I là giao của 2a + 23 = -2a + 4 a = - 4 19 . Bài tập: Bài 1: Giải và biện luận : x - 1 (x + 2) + m = 0 Bài 2: Xác định a để phờng trình: 2x 2 - 3x - 2 - 5a + 8x + 2x 2 = 0 có nghiệm duy nhất. Bài 3: Tìm m để miny = x 2 + (m + 1) 2 + 2 x + m - 1 không lớn hơn 3. Bài 4: Tìm m để f(x) = (x - 2) 2 + 2 x - m 3 với x y a I 2 0 -4 - 2 23 . phơng trình tơng đơng. Đ3. Vấn đề 3: Phơng trình - bất phơng trình bậc 2 chứa giá trị tuyệt đối. A. Một số phơng pháp giải: Để giải phơng trình, bất phơng trình. để giải bài toán phơng trình - bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối bằng cách: điều chỉnh các vế của phơng trình - bất phơng trình sao cho một vế việc