www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A Hướng Dẫn Giải Bài Tập Bài 1: câu a : đặt f(x) = 333 21 61 210(1)xxx++ +− −> + f(x) liên tục trên R + xét f(x) = 0 bằng cách lập phương hai vế thế nên ví dụ 2 phương pháp luỹ thừa ta có 3 3 (2 1)(6 1) 2 1 (2 1)(2)xx x x++ −=−+ ⇔ 2 3 3 210 1 2 (2 1)(6 1) (2 1) x x xx x += ≠− −+=−+ ⇔ x = - 1 2 ⇔ x = 0 thử lại chỉ có x = - 1 2 là nghiệm của (2) + xét dấu f(x), trên R -1 0 f(-1) < 0 - 1 2 f (0) = 3 > 0 ⇒ theo phương pháp đan chắn ta có: f(x) < 0 f(x) > 0 - 1 2 ⇒ nghiệm của bpt là x > - 1 2 câu b + nhân cả tử và mẫu vế tría với biểu thức liên hợp của vế trái ta được 2 64 2(64) 2422 916 xx xx x − − >⇔ ++ − + ⇔ (3x - 2) 2 ( 9 16 2( 2 4 2 2 ) 0xxx + −++−> lại nhân liên hợp ta có ⇔ (3x - 2) 22 ( 9 16 4(12 2 4 8 2 ) 0xxx +− −+ − > ⇔ (3x - 2) 22 9 8 32 16 8 2 0xx x +−+ − > www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A ⇔ (3x - 2) 22 (282)(282 8)0xxxx −− +−+> vì 2 82x− có nghĩa ⇔ -2 ≤ x ≤ 2 nên ta có x > -2 ⇒ 8 + x +2 2 82 0x−> ⇒ bpt tương đương (3x - 2)(x – 2 2 82x− ) > 0 ⇔ 3x – 2 > 0 x – 2 2 82x− > 0 3x – 2 < 0 x – 2 2 82x− < 0 x > 2 3 x > 2 2 82x− x < 2 3 ⇔ 42 3 < x ≤ 2 x < 2 2 82x− 0 ≤ x < 2 3 - 2 ≤ x < 0 Kl: nghiệm của bpt 42 3 < x ≤ 2 -2 ≤ x ≤ 2 3 Câu c: + đk: -1 ≤ x ≤ 1 + trục căn xuống mẫu và nhân chéo ta được 2x ≤ x (1 1 )x x++ − ⇔ x ( 2 - (1 1 )x x++ − ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 11x x + +− ≤ 2 -1 ≤ x ≤ 0 11x x + +− ≥ 2 VN 0 ≤ x ≤ 1 kết luận nghiệm bpt 0 ≤ x ≤ 1 VN Bài 2: câu a + trục căn xuống mẫu ta có: 33 5 41 32 xx xx + + = ++ − www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A + đk x > 2 3 ⇒ x + 3 > 0 ⇒ pt tương đương với f(x) = 41 325xx ++ − = + vế trái là hàm đồng biến f(2) = 5 ⇒ pt có một nghiệm x = 5 câu b đk x ≥ 2 + pt ⇔ 3 2626x xx −− += − đặt 20 60 xu xv − =≥ + =≥ ⇒ u – v = 2(x - 3) (1) u 2 – v 2 = 8x – 24 (2) ⇔ (u – v) (u + v) = 8 (x - 3) (3) + thế (1) vào (3) ⇒ 2(x - 3)(4 + v) = 8 (x - 3) (4) + nếu x = 3 ⇒ thoả mãn phươngtrình đã cho + nếu x ≠ 3 pt (4) : u + v = 4 ⇒ 264xx − −+= ⇒ bình phương hai vế; 3 2 4121415 0xx x+ −=− ≥ đk x ≤ 14 15 bình phương : x 2 – 11x + 19 = 0 x = 11 3 5 2 − thoả mãn điều kiện x = 11 3 5 2 + không thoả mãn điều kiện kl; phươngtrình có hai nghiệm x = 3 ; x = 11 3 5 2 − Vấn đề 2 Giải và biện luận phương trình bất phươngtrình vô tỉ Để giải và biện luận một phươngtrình - bất phươngtrình cần phải biến đổi chặt chẽ, cẩn thận, cần nhận xét kỹ bài toán để lựa chon biện luận không bi dài dòng, rườm rà. Xét một số ví dụ sau: 1, ví dụ 1: giải và biệt luận phươngtrình ax a ax +=− − (1) giải : + đk a ≥ 0 - a ≤ x ≤ a khi đó (1) ⇔ ax ax a + +−= ⇔ 2 22 2 2ax a a−=− (2) (bình phương 2 vế). ta có đk tiếp đk: a 2 – 2a ≥ 0 khi đó (2) ⇔ 4 (a 2 – x 2 ) = (a 2 – 2a) 2 = a 2 (a - 2) 2 www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A ⇔ 4a 2 – 4x 2 = a 4 – 4a 3 + 4a 2 ⇔ 4x 2 = a 2 (a (4 - a)) ≥ 0 đk a (4 –a ) ≥ 0 ⇔ khi đó nghiệm của pt là x = ± (4 ) 2 aa a − (3) + kết hợp 3 điều kiện ta có đk 3 điều kiện ta có đk a = 0; 2 ≤ a ≤ 4 -a ≤ x ≤ a ⇒ giái trị (3) thoả mãn điều kiện (*) khi: - với a = 0 ⇒ x = 0 với 2 ≤ a ≤ 4 ⇒ x = ± (4 ) 2 aa a− đều thoả mãn đk -a ≤ x ≤ a (các em tự kiểm tra) kl: a = 0 phươngtrình (1) có nghiệm x = 0 2 ≤ a ≤ 4 phươngtrình (1) có 2 nghiệm x = ± (4 ) 2 aa a− các trường hợp còn lại phươngtrình (1) không có nghiệm chú ý; các giái trị x tìm được cần phải thoả mãn mọi điều kiện đã được nêu ra trong quá trình biến đổi. 2, ví dụ 2: giải và biện phươngtrình sau: 2 ()ax ax ax xax+− −= −+ + (1) giải: 20ax ax+− −≥ (1) ⇔ 4(a + x) + (a - x) – 4 22 ()ax ax xax− =−+ + 4(a + x) = 22 ()4x ax a x++ − 3 5 a x a − ≤ ≤ 4(a + x) ≥ a – x ⇔ 44 0 ax ax ax x + +− −− = ⇔ 3 5 a x a − ≤≤ x = - a hoặc 4 () ax ax x+− − = + trường hợp (1) : x = -a thoả mãn 3 5 a x a − ≤ ≤ khi 3 5 a aa − ≤ −≤ www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A + trường hợp (2) : 3 5 a x a − ≤≤ ⇔ a = 0 ()0 ax ax+− − ≥ ; x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ a 32 (a - 22 ax− ) = x 32 22 ax− = 32a - x ⇔ 0 ≤ x ≤ a x = 0; x = 64. 1025 a + Kết luận: - nếu a < 0 xét cả 2 trường hợp ⇒ phươngtrình (1) vô nghiệm - nếu a = 0 xét cả 2 trường hợp ⇒ phươngtrình (1) có nghiệm x = 0 - nếu a > 0 xét cả 2 trường hợp ⇒ phươngtrình (1) có hai nghiệm x = 0; 64. 1025 a Chú ý: quá trình giải có thể kết hợp đk với phươngtrình thì quá trình biến đổi nhiều khi thuận tiện hơn do sự phối hợp điều kiện với biến đổi phươngtrình 3, ví dụ 3: cho bất phứơngtrình : 2 axax+ +− ≤ (1) a, giải bất phươngtrình khi a = 1 b, giải và biện luận bất phươngtrình theo a giải: câu a: khi a = 1 bất phươngtrình (1) : 112 xx+ +− ≤ + đk x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 1 - x ≥ 0 + theo bất phươngtrình Bunhiacôpski ta có: 11 2(11)42xx xx++−≤ ++− == . Luôn đúng với điều kiện 1&1x x+− có nghiã ⇒ nghiệm của bất phươngtrình là: 0 ≤ x ≤ 1 câu b + đk x ≥ 0 a ≥ 0 a - x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ a 2 + bình phương hai vế phươngtrình (1): 2 2ax a− ≤− (2) + nếu 2 – a < 0 ⇔ a > 2 ⇒ (2) vô nghiệm nếu 2 – a ≥ 0 ⇒ a ≤ 2 kết hợp với đk: 0 ≤ a ≤ 2 ⇒ bình phương hai vế của (2) ta có: x ≥ 4a – 4 = 4 (a - 1) - nếu : 4a – 4 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ nghiệp của bất phươngtrình là 0 ≤ x ≤ a 2 www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A - nếu 4a – 4 > 0 ⇒ a > 1 và nhận thấy a 2 ≥ 4a – 4 ⇔ (a - 2) 2 ≥ 0 ⇒ 1 < a ≤ 2 thì 0 < 4a – 4 ≤ a 2 ⇒ nghiệm của bất phươngtrình là 4(a - 1) ≤ a 2 + kết luận: - nếu a < 0 bất phươngtrình (1) vô nghiệm - nếu 0 ≤ a ≤ 1 nghiệm của (1) là 0 ≤ x ≤ a 2 - nếu 1 < a ≤ 2 nghiệm của (1) là 4 (a - 1) ≤ x ≤ a 2 - nếu a > 2 bất phươngtrình (1) vô nghiệm 4, ví dụ 4: giải và biện luận bất phương trình: 23x axaxa−−+− ; (1) giải : (*)đk x ≥ a x ≥ 2a vì 3a – 2a = 2a – a = a x ≥ 3a - nếu a ≤ 0 ⇒ đk (*) trở thành x ≥ a (vì 3a ≤ 2a ≤ a ) (1) ⇔ x – a > x – 2a + x – 3a + 2 (2)(3)x ax a−− cần điều kiện 2: 4a – x > 0 nghĩa là x < 4a kết hợp đk x ≥ a ⇒ 4a > a không thể xẩy ra khi a ≤ 0 ⇒ bất phươngtrình (1) vô nghiệm - nếu a > 0 ⇒ đk (*) trở thành x ≥ 3a và như trườgn hợp trên (1) ⇔ 4a – x ≥ 2 (2)(3)x ax a−− (2) ta có đk 2 hai vế của (2) : (4a - x) 2 > 4 (x – 2a) (x – 3a) ⇔ 3x 2 – 12ax + 8a 2 < 0 giải bất phươngtrình ta được (6 2 3) (6 2 3) 33 aa x −+ << kết hợp với đk trên có nghiệm của bất phươngtrình là: 3a ≤ x < (6 2 3) 3 a+ + kết luận: - a ≤ 0 bất phươngtrình vô nghiệm - a > 0 bất phươngtrình (1) có nghiệm 3a ≤ x < (6 2 3) 3 a+ 5, ví dụ 5: giải và biện luận bất phươngtrình : 22x mm xm−+ ≤ + (1) giải : + đk x ≥ m vì m – (- 2m) = 3m nên: x ≥ - 2m + nếu m < 0 đk (a) trở thành x ≥ 0 ⇒ (1) : x ≤ x nghiệm với mọi x ≥ 0 + nếu m < 0 ⇒ đk (a) trở thành x ≥ - 2m (a 1 ) ⇒ (1) 22x mxmm−≤ + − ⇔ x – m ≤ x + 2m + 4m 2 – 4m 2x m+ ⇔ 4 2x m+ ≥ 3 + 4m (2) www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A - nếu 3 + 4m ≤ 0 ⇔ m ≤ 3 4 − ⇒ (2) đúng với mọi x thoả mãn điều kiệnu (a 1 ) ⇒ nghiệm của (1) là x ≥ - 2m - nếu 3 + 4m ≥ 0 ⇔ 0 > m ≥ 3 4 − ⇒ (2) : 16(x + 2m) ≥ (3 + 4m) 2 ⇔ x ≥ - 2m + 2 34 () 4 m+ (thoả mãn điều kiện a 1 ) + nếu m > 0 ⇒ đk (a) trở thành : x ≥ m (a 2 ) ⇒ bình phương hai vế của (1) và rút gọn ta có: 34 4 m xm − −≤ (3) - nếu 34 0 4 m− <⇔ m > 3 4 (3) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm - nếu 34 0 4 m− ≥⇔ 0 < m ≤ 3 4 ⇒ (3) có nghiệm: x ≤ m + 2 (3 4 ) 16 m− kết hợp điều kiện (a 2 ): m ≤ x ≤ m + 2 34 () 4 m− + kết luận: - nếu m ≤ 3 4 − bất phươngtrình (1) có nghiệm x ≥ - 2m - nếu 3 4 − < m < 0 bất phươngtrình (1) có nghiệm x ≥ - 2m + 2 34 () 4 m− - nếu m = 0 bất phươngtrình (1) có nghiệm x ≥ 0 - nếu 0 < m ≤ 3 4 (1) có nghiệm m ≤ x ≤ m + 2 34 () 4 m− - nếu m > 3 4 bất phươngtrình (1) vô nghiệm Bài tập: 1, giải và biện luận: x + 11 24 x xa++ + = 2, giải và biện luận: 2 23x xa+<− 3, giải và biện luận: 22 22 1x mx x−+ −= 4, giải và biện luận: 32222 33 () ()(1)x amxa m xa++ −=+ − 5, tìm nghiệm nghuyên x , y của phươngtrình y = x + 2 2( 1) 4yxyx+++ (ẩn y) . kl; phương trình có hai nghiệm x = 3 ; x = 11 3 5 2 − Vấn đề 2 Giải và biện luận phương trình bất phương trình vô tỉ Để giải và biện luận một phương trình. phứơng trình : 2 axax+ +− ≤ (1) a, giải bất phương trình khi a = 1 b, giải và biện luận bất phương trình theo a giải: câu a: khi a = 1 bất phương trình