Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.[r]
(1)Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN …TÍCH PHÂN … Nguyên hàm Nguyên hàm hợp bậc 1 d ax b a ax b C dx x C dx ln x C x x e x ax C 0 a 1 ln a sin xdx cos x C x sin x ax b e C a k ax b k ax b dx C k 1 a ln k cos ax b dx sin ax b C a sin ax b dx cos ax b C a 1 dx tan ax b C a cos ax b e C 1 dx ax b a ln ax b C x 0 cos xdx sin x C cos 1 a dx e x C a x dx du u C 1 ax b ax b dx x 1 C 1 1 x dx Nguyên hàm hợp ax b dx dx tan x C dx cot x C sin ax b dx a cot ax b C 1 u 1 C 1 1 u du du ln u C u u e u du e u C a u dx au C 0 a 1 ln a cos udu sin u C sin udu cos u C cos u sin u du tan u C du cot u C A ) PHẦN HỮU TỶ I > BẬC CỦA TỬ NHỎ HƠN BẬC CỦA MẪU: 2 dx 1) I ln x ln x 1 2 dx 1 2) I ln x ln 2x 0 1/ 3) J dx x 1 1/2 1/ 1/ dx 1 x 1 ln dx ln ( x 1)( x 1) x x x 1 2 dx dx 2x 4) J ln dx ln x 3x ( x 1)(2 x 1) x x x 1 1 1 1 x 1 5) J = dx dx ln dx ln x 5x ( x 1)(2 x 3) x 2x 2x 0 0 2 xdx xdx 1 6) J dx ln ln x x ( x 1)(2 x 1) x x x 1 1 x 11 x 12 dx dx 7) J dx dx 3 ln x 5x ( x 2)( x 3) x2 x3 0 2 4x d (2 x x 1) 8) J dx ln x 3x ln15 2 x 3x x 3x 0 1 1 dx dx 1 2 9) K ( x 1) dx x x ( x 1) 0 x 1 Gv: Lê Hành Pháp Trang (2) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN dx 0 x 12 x 2 x 1 x dx x 3x 1 dx 10) K 1 x 1 2ln 2ln x2 0 3 x 1 x 1 xdx 1 11) K ( x 1) 2 ( x 1) 3 dx 2 ( x 1) x 2( x 1) 0 12) H = (x 5x 5 dx = ( x 4) 2 d ( x 4) = = 2 4) 20 2 x 4 13) H = 1 3x ( x 1) dx Ta có 3x 3x 4 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 1 4 Do đó I = 3ln( x 1) = 3ln x 1/2 2 14) I dx xdx 2 x( x 1) x ( x 1) x2 t 5 Đặt t x dt xdx hay xdx dt và x t Đổi cận x 1 t2 5 dt 1 t 1 Do đó I = dt ln ln 2 (t 1)t 2 t t t 2 dx x 15) K Đặt x tan t dx (1 tan t )dt Đổi cận /4 Do đó K dt t /4 16) K x 1 t / x0 t 0 dx dx x x ( x 1) Đặt x tan t dx (1 tan t )dt Đổi cận arctan Do đó K arctan dt t /4 arctan /4 x 1 t arctan x0 t / 2x x dx 17) H dx ( x 2) x ( x 2) 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang (3) Trường T HPT Tân Bình Đặt t ÔN THI TÍCH PHÂN x 1 t 5 2x dx dt Đổi cận x0 t 3 x2 ( x 2) 5/3 t2 Do đó H tdt 3/2 1/4 18) H 2011 5/3 19 72 3/2 ( x 1) dx (2 x 1) 2013 1/4 x 1 0 x 2011 dx (2 x 1) x t x 1 dx Đặt t Đổi cận dt 4 2x (2 x 1) x0 t 1 3/2 Do đó H t 1 19) I Đặt : 3/2 t 2012 32012 22012 dt 2012 2012.2 2012 2011 4x dx x x2 x 4x A Bx C x A B x B C 2C A x ( x 1) x x x ( x 1) A B A 2 Do đó ta có hệ : 2B C B 2C A C 1 4x 2 2x Vậy : I dx dx x x x x 2ln x ln x 2ln ln ln ln1 ln x 1 x 1 20) I dx dx x x x x 1 2 x 1 A B C ( A C ) x ( B A) x B Đặt x x 1 x x x x ( x 1) A C A 2 Ta có hệ B A B 1 B C 3 x 1 2 1 Vậy : I 2 2ln dx 2ln x x x 1 x x 2 Gv: Lê Hành Pháp Trang (4) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN II > BẬC CỦA TỬ BẰNG BẬC CỦA MẪU: 1 2x 1) I dx dx x 3ln x 3ln x2 x2 0 2 x 1 x dx x2 1 dx dx x x ( x 1)(2 x 1) x ( x 1)(2 x 1) 0 0 2) J III > BẬC CỦA TỬ LỚN HƠN BẬC CỦA MẪU: x x3 x 1) I dx x x 3x dx x 1 x 1 0 x x3 3x 23 x ln x ln 12 0 1/ 2) J x4 x dx x2 1/2 1/ x3 13 ln x dx x ln x 0 24 x 1 0 3 x3 3) K dx x dx x 2x x ( x 1)2 0 x2 x 3ln x 3ln 2 x 1 2 5) I = x2 2 x 1 x x 1 4) H = dx = dx x dx ln x ln x 1 x 1 x 1 2 0 0 0 x5 dx x2 Đặt t x dt xdx và x (t 1) Đổi cận: x 1 t2 x0 t 1 2 (t 1) t2 1 Do đó I = dt 2t ln t ln 21 t 22 1 IV > CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 3x 1) (Đề thi TN.THPT năm 2007) Tính tích phân I = dx x 1 x 1 t2 Đặt t = x + dt = x dx Đổi cận: Do đó I = x t 1 2 dt ln t ln 1 t 1 2) (Đề thi TN.THPT năm 2008 Phân ban) Tính I = x (1 x ) dx 1 Đặt t = – x3 dt = –3 x dx Đổi cận: Gv: Lê Hành Pháp x 1 t 0 x 1 t Trang (5) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 2 4 t5 32 Do đó I = t dt t dt 32 30 15 15 3) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối D) Tính I = 1 1 x 3dx 0 x 1 xdx x2 xdx xdx I = xdx Đặt t x dt xdx x 1 0 x 1 x 1 0 2 x 1 t2 1 dt 1 Đổi cận: Do đó I = ln t ln x t 1 2 t 2 1 2 4) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối B) Tính I = Đặt t x dt xdx Đổi cận: x x 1 dx x x3 xdx x (1 x ) 2 t4 t2 4 dt 1 t 1 Do đó I = dt ln ln 2 (t 1)t 2 t t t 2 2 5) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối A) Tính I = x4 x 0 x dx 2 x3 x 17 dx 2 x dx x ln x 17 = 2 0 x 4 x 4 x 0 16 dx ln 17 x 4 x2 t 2dt Đặt x = 2tant dx Đổi cận: x0 cos t t 0 Do đó I = 16 17 17 16 ln dt ln 2 6) (Đề dự trữ năm 2007 – Khối D) Tính I 1 x2 x dx = x2 1 x2 3ln ln xdx dx 0 dx 0 x 0 ( x 2)( x 2) x ln x ln x 7) (Đề thi CĐ năm 2010 – Khối A, B, D) Tính I = 1 2x 0 x dx = dx 0 x dx 0 2dx 30 x 2 x 3ln x 3ln Gv: Lê Hành Pháp Trang (6) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN B ) PHẦN VÔ TỶ I > DẠNG CƠ BẢN: 1) K x x x dx 1 2 3 19 x x x dx x x x 5 15 0 0 1 (2 x 3) x 3dx (2 x 3) dx 3/ 2) K 1 5 3 (2 x 3) 3 0 3) I x x 4dx xdx Đặt t x dt 5 t3 Do đó I t dt 2 4) I xdx x2 x2 hay xdx tdt Đổi cận x 1 t x0 t 2 5 8 52 x 4dx x x x 4dx 5) I 1 x2 xdx Đặt t x dt hay xdx tdt và x t x 4 t 3 x Đổi cận x 1 t t2 Do đó I dt t 4 t2 t ln t 6) I x 1 t dt ln dx x2 x 1 1 t t dt 94 5 xdx x2 xdx Đặt t x dt Đổi cận x2 hay xdx tdt và x t t 3 x x 1 t 3 t 2 dt 1 Do đó I dt ln t 4 5 t t t2 Gv: Lê Hành Pháp 94 ln Trang (7) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 7) J x x dx xdx Đặt t x dt 1 x Đổi cận hay xdx tdt và x t x 1 t 0 x0 t 1 1 t3 t4 Do đó I (1 t )t dt (t t )dt 15 0 2 8) J x x 1dx Đặt t x x t dx 2tdt x 1 t Đổi cận x t 1 2 t5 t3 Do đó J (t 1)t.2tdt (t t ) dt 15 1 1 1 x dx 9) J ( x 1) x Đặt t x x t dx 2tdt và x (t 1)2 Đổi cận x 1 t x t 1 Do đó J 2 t3 (t 1) 2tdt t 2t 1 16 11 2 dt 2t 2 tt t t 1 3 10) J x x 1dx 1 Đặt t x x t dx 3t dt Đổi cận x0 t 1 x 1 t 1 t7 t4 Do đó J t 1 t.3t dt 3 (t t )dt 28 0 0 11) J x3dx x2 Đặt t x x t xdx 3t dt Đổi cận t2 x2 x0 t34 2 3 t5 38 Do đó J (t 4t )dt 2t 34 2 34 25 Gv: Lê Hành Pháp Trang (8) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 12) I x dx Đặt x = sint dx = costdt và x sin t cos t Đổi cận: x0 t 0 x 1 t 1 sin 2t Do đó I = cos tdt 1 cos 2t dt t 2 0 13) I = x x dx Đặt x = 2sint dx = 2costdt Đổi cận: 16sin 6 2 t cos tdt sin 2tdt (1 cos 4t ) dt t sin 4t 14) I x t / Do đó I = x 1 t / x x dx 1/2 x 1 dx 1/ x 1 t / x 1/ t Đặt x sin t 2dx cos tdt Đổi cận Do đó I /2 cos2 tdt /2 (1 cos 2t ) dt 16 II > CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: 3 dx xdx 1) (Đề thi ĐH năm 2003 – Khối A) Tính I = 2 x x x x 5 Đặt t = x dt = xdx x2 và x = t – Đổi cận: x2 x t4 t 3 4 4 t2 dt 1 1 Do đó I = dx dx ln ln t 4 3 t t2 t2 3 2) (Đề dự trữ năm 2003 – Khối A) Tính I = x x dx Đặt t x dt xdx x2 Đổi cận: x 1 t 0 x t 1 1 t3 t5 Do đó I = (1 t )t dt 15 Gv: Lê Hành Pháp Trang (9) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN x dx x 1 x t 1 dx x dt = và x = t + Đổi cận: x 1 t0 x 1 3) (Đề thi ĐH năm 2004 – Khối A) Tính I = Đặt t = 1 1 t3 t2 11 12ln t3 t I = 2 = dt t t dt 2t 2ln t t 1 t 1 3 0 0 x2 dx x 1 x7 t2 Đặt t x t x 3t 2dt dx Đổi cận: x0 t 1 4) (Đề dự trữ năm 2005 – Khối A) Tính I = 2 t5 t2 t3 231 Do đó I = 3t dt 3 t t dt t 10 1 10 dx x x 1 x 10 t 3 Đặt t x x t dx 2tdt Đổi cận: x5 t2 5) (Đề dự trữ năm 2006 – Khối B) Tính I 3 2tdt Do đó I = 2 dt ln t 2 2ln t t t ( t 1) t 2 dx 4x 2x x6 t 5 t2 1 tdt Đặt t x x dx Đổi cận: x2 t 3 6) (Đề dự trữ năm 2006 – Khối A) Tính I 5 tdt Do đó I = dt ln t ln 2 t 2t t (t 1) t 1 12 7) (Đề dự trữ năm 2008 – Khối B) Tính I x 1 dx 4x x2 t 3 t2 dx Đặt t x dt và x Đổi cận: x t 1 4x 3 11 t3 Do đó I = (t 3) dt 3t 81 8 1 Gv: Lê Hành Pháp Trang (10) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN C ) PHẦN LƯỢNG GIÁC I > DẠNG CƠ BẢN: 1) I sin(2 x )dx cos(2 x ) 3 2) I cos(2 x ) dx sin(2 x ) 6 1 2 3) I cos xdx (1 cos x) dx x sin x 20 2 0 4) I sin xdx 1 (1 cos x)dx x sin x 20 2 0 5) (sin x cos x ) dx = 6) I sin x cos xdx 1 sin x sin xdx (cos3x cos x )dx = 20 40 11 2 sin x sin x 43 0 7) I cos x sin xdx 1 cos x cos x 1 cos x dx cos x dx 20 0 1 2 cos x cos x 1 dx sin x sin x x 0 4 16 0 4 8) I sin x cos xdx = 1 sin x(1 cos x) dx = sin xdx sin xdx = 20 20 40 cos x cos x =0 16 /2 11 2 9) I sin 3x cos5 xdx = (sin8 x sin x ) dx = cos x cos8 x =0 /2 22 2 11 2 10) I sin 3x sin xdx cos x cos x dx sin x sin x 20 2 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 10 (11) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 11) cos xdx cos x dx cos xdx cos xdx sin x 02 sin x 2 2 2 12) 2 2 sin xdx x cos dx 2 4 3 /2 x 2 sin 0 0 2 cos x dx 2 3 /2 x 2cos dx 2 4 2 x x cos dx cos dx 2 4 2 4 3 /2 2 x 2 sin 4 3 /2 13) I sin xdx sin x 1 cos x dx t 0 Đặt t cos x dt sin xdx Đổi cận 2 t 1 x0 x 1 t3 Do đó I (1 t )dt t 0 0 14) I cos3 xdx cos x 1 sin x dx t 1 Đặt t sin x dt cos xdx Đổi cận 2 t 0 x0 x 1 t3 Do đó I (1 t )dt t 0 15) sin x dx x cos t Đặt t cos x dt sin xdx Đổi cận 3 t 1 x0 x dt Do đó I 2t t Gv: Lê Hành Pháp Trang 11 (12) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 16) cos x sin x dx t 1 Đặt t sin x dt cos xdx Đổi cận t x 1 dt Do đó I 2t t x 2 tan x 1 17) dx = tan xd (tan x ) = tan x = 0 cos x 2 0 dx dx dx x 18) I d( ) sin x cos( x ) 2cos ( x ) cos ( x ) 2 4 x t an 0 /2 19) Tính I cos x sin xdx Đặt t = cosx dt = –sinxdx và sin x cos x t 1 x / t 0 t3 t5 Đổi cận: Do đó I = t 1 t dt t t dt x0 t 1 15 0 /2 20) Tính I = cos x sin xdx Đặt t = sinx dt = cosxdx và cos x sin x t 1 x / t 1 t3 t5 Đổi cận: Do đó I = t 1 t dt t t dt x0 t 0 15 0 /2 21) Tính I cos xdx Đặt t = sinx dt = cosxdx và cos4 x (1 sin x) 2t t x / t 1 Đổi cận: Do đó I = x0 t 0 /2 22) I sin xdx 1 2t t 0 1 2t t dt t 15 15 Đặt t cos x dt sin xdx và sin x (1 cos2 x) 2t t Gv: Lê Hành Pháp Trang 12 (13) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN /2 23) Tính I cos x sin xdx Ta có cos x sin x cos x sin x cos x cos x 1 1 sin x sin x cos x sin 2 x 1 cos x cos x sin 2 x 8 16 /2 /2 1 Do đó I (1 cos x )dx cos x sin 2 xdx 16 16 /2 (1 cos x ) dx 16 /2 sin 32 xd (sin x) dx cos x sin x 24) Tính I x 2t 1 t2 Đặt t tan sin x và ; cos x 1 t2 1 t2 x / t 1 dx dx 2dt dt dx Đổi cận: x t x cos x t 2cos 1 2dt Do đó I = ln t ln 2 2t cos x dx dx 0 (tan x 1)3 cos2 x (sin x cos x )3 25) I Đặt t tan x dt x / t dx Đổi cận: x0 t 1 cos x 2 dt 1 Do đó I = t 2t 0 sin x d (cos x) dx tan xd (tan x) cos x cos x 0 26) I = tan xdx tan x 1 tan x dx tan x 4 ln cos x (1 ln 2) 0 27) I tan xdx Đặt t tan x dt (1 tan x) dx hay dx x / t 1 dt Đổi cận: 1 t2 x0 t 0 t t t dt 13 t4 t2 1 dt t du 2 1 t 1 t 15 5 0 0 0 Do đó I Gv: Lê Hành Pháp Trang 13 (14) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN II > CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: 1) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối A) Tính I = cos3 x sin x cos5 xdx t 1 Đặt t cos x dt 3cos x sin xdx Đổi cận: 2 t 0 x0 x 1 1 76 136 16 16 12 Do đó I = t 1 t dt t dt t dt t t 30 30 13 91 7 2sin x 2) (Đề thi ĐH năm 2003 – Khối B) Tính I = dx sin x cos x d (1 sin x ) I= dx ln sin x sin x sin x 0 ln 2 3) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối D) Tính I = x sin xdx Đặt t x dt t x dx Đổi cận: t0 x0 x Do đó I = 2 t sin tdt u t du 2tdt Đặt Do đó I = t cos t t cos tdt dv sin tdt v cos t /2 sin x cos x 4) (Đề thi ĐH năm 2005 – Khối B) Tính I = dx cos x /2 I= x / t 0 2sin x cos x dx Đặt t = cosx dt = –sinxdx Đổi cận: cos x x0 t 1 1 t2 1 Do đó I = 2 dt 2 t dt t t ln t 2ln 1 t t 1 2 0 0 5) (Đề thi ĐH năm 2005 – Khối A) Tính I = sin x sin x dx 3cos x sin x (2cos x 1) 3sin xdx dx Đặt t = 3cos x dt sinxdx = 3cos x 3cos x x / t 1 2 2t tdt và 2cos x Đổi cận: 3 x0 t 2 I= Gv: Lê Hành Pháp Trang 14 (15) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 2 2 2t 1 2 2 34 Do đó I = dt (2t 1) dt t t 3 91 3 27 /2 6) (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối A) Tính I = sin x cos x 4sin x /2 I= 2sin x cos x dx dx Đặt t = sin x dt = 2sinxcosxdx 3sin x x / t 1 Đổi cận: x0 t0 Do đó I = 1 dt d (1 3t ) 2 3x 3 3t 3t sin x 4 7) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối B) Tính I = dx sin x 2(1 sin x cos x ) sin x cos x dx 0 2sin x cos x 2(sin x cos x) Đặt t = sinx + cosx dt = –(sinx – cosx)dx và t = + 2sinxcosx x t Đổi cận: 4 t x0 I= Do đó I = 2 dt t 2t 2 dt = (t 1) 2 d (t 1) (t 1) = 2 43 t 11 tan x 8) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối A) Tính I = dx cos x x dt 1 t2 t Đặt t = tanx dx = và cos2x = Đổi cận: 6 1 t2 1 t2 x0 t 0 3 Do đó I = t 3 1 t dt 3 1 t ln 27 1 t Gv: Lê Hành Pháp t 3 1 3 t dt t 1 t 0 3 1 t t dt = 10 3 10 ln ln(2 3) 27 3 27 Trang 15 (16) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN sin xdx 4sin x cos x 9) (Đề dự trữ năm 2008 – Khối A) Tính I sin xdx sin x cos xdx 4sin x cos x (sin x 1) I t 1 Đặt t = sinx dt = cosxdx Đổi cận: 2 t 0 x0 x 1 1 tdt dt dt 1 Do đó I = ln t ln 2 (t 1) t (t 1) t 1 0 /2 10) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối A) Tính I = cos x 1 cos xdx /2 /2 (cos I= x cos x )dx 1 sin x /2 cos xdx /2 (1 2sin x sin x )d (sin x ) /2 cos dx /2 cos xdx = /2 = 1 11) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối A) Tính tích phân I dx xdx = /2 sin x sin x 1 sin x x sin x 0 2 0 2 5 x sin x ( x 1) cos x dx x sin x cos x x cos x dx x sin x cos x d ( x sin x cos x ) x ln x sin x cos x ln 1 x sin x cos x 4 dx Gv: Lê Hành Pháp Trang 16 (17) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN D ) PHẦN LOGARIT & MŨ I > CÁC DẠNG CƠ BẢN: 1 x1 e e2 x 1 1) I e dx e 2 e 2e 0 1 x 1 2) I 23 x 1 1 dx ln ln 2ln 1 (2e) x 2e 3) I e dx (2e) dx ln(2e) ln 0 x x x 1 6x ln 4) I dx 1 dx x ln ln 0 x x ln 5) I x x e x1 dx = ex ln e ln x 1 dx e x dx = e x1 ln e x ln = 2e e 1 1= e 2 1 1 e2 x 6) I x dx e x e x dx e x x e e e 0 e 0 ln e 7) I x 1 e x dx Đặt t e x dt e x dx Đổi cận x ln t2 x0 t 1 2 (t 1)5 211 Do đó I (t 1) dt 5 e x (1 x) 8) I = dx Đặt t = 1+ x e x dt = ( e x + x e x )dx x xe x 1 t 1 e Đổi cận Do đó I = x0 t 1 1 e dt 1 e ln t ln(1 + e) t 9) I = xe x2 dx Đặt t = x , dt = 2xdx 4 x2 t4 t t e4 e Đổi cận: Do đó I = e dt = e = x 1 t 1 21 2 ln 10) I = ln ln dx e x dx e x dx ln e x e x ln2 (e x )2 2e x ln2 (e x 1)2 Đặt t e x dt e x dx Đổi cận: x ln t2 x ln t 1 dt 1 Do đó I = t t1 Gv: Lê Hành Pháp Trang 17 (18) Trường THPT Tân Bình e ÔN THI TÍCH PHÂN ln x dx dx dx Đặt t ln x dt hay 2tdt x x x ln x 11) I 1 xe t 1 2t 2 Đổi cận Do đó I 2t dt x 1 t 0 3 e2 12) I e t2 x e2 dx dx Đặt t ln x dt Đổi cận x ln x x t 1 xe dt ln t ln t Do đó I e3 dx dx dx Đặt t ln x dt hay 2dt x ln x x ln x x ln x 2 t2 x e3 Đổi cận Do đó I 2dt 2 dt 2t t 1 x 1 1 13) I e3 14) I 1 ln xdx dx dx Đặt t ln x dt hay 2tdt x x x ln x 2 t2 x e3 2t 14 2 Đổi cận Do đó I 2t dt 2 t dt t 1 3 x 1 1 e3 ln xdx dx dx Đặt t ln x dt hay 2tdt x ln x x x ln x e t2 x e3 Đổi cận xe t 15) I 2 2t Do đó I dt dt t t 2 t 1 2t ln t ln 16) I x ln e ln 17) I ln 2 Đặt t e x dt e x dx x e x dx 1 e 1 e x ln8 t Đổi cận x ln t ln 2 ln(9 2) ln Do đó I t t dt = dx 3 x hay e x dx 2tdt 2tdt dt t 1 2 dt ln ln t 1 t 1 t 1 t 1 2 e x (t 1)t ln ex ex e dx dx ex ln x Đặt t e x dt e x dx 1 e Gv: Lê Hành Pháp x hay e x dx 2tdt Trang 18 (19) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN x ln8 t Do đó x ln t Đổi cận 3 3 2t dt t2 11 1 t 1 I 2 dt ln dt 2t ln t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 2 2 2 ln 18) I dx x e (2 e x ) ln dx 2e x Đặt t e x dt e x dx Đổi cận ln e x dx e x (2e x 1) x ln t2 x0 t 1 2 dt t 1 Do đó I ln dt ln t (2t 1) t 2t 2t 1 ln 19) I ex ex dx ex e x dx Đặt t e x dt x hay e x dx 2tdt và e x t e 1 x ln t Đổi cận x0 t 0 1 t dt 1 2 1 dt 1 dt t t t t 0 Do đó I t2 t ln 2ln t ln 20) I e ln e x dx x 1 ex e x dx Đặt t e x dt x hay e x dx 2tdt và e x t e x t e 2 1 x ln t 1 (t 2)tdt 2t Đổi cận Do đó I 2 t dt = x ln t 0 t t t t 0 1 t2 d (t t 1) 2 (t 1) dt 2 t ln t t 2ln t t 1 2 0 0 ln 21) I ln x e 1dx ex ex 1 dx ex Đặt t e x dt e x dx ex 1 hay e x dx 2tdt Đổi cận x ln t 1 x0 t 0 t dt dt 1 Ñaët t tan x dt 2 t 1 t 1 1 t 0 Do đó I Gv: Lê Hành Pháp Trang 19 (20) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN II > CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: ln (e x 1)e x dx 1) (Đề thi TN.THPT năm 2006 Tính tích phân I = ex ln e x e x t e x dx 2tdt 2 x ln t2 26 1 Đổi cận: Do đó I = 2 (t 2) dt t 2t x ln t 3 1 Đặt t = e ln x 2) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Tính tích phân I = dx x 1 xe t 1 dx 1 Đặt t = lnx dt = Đổi cận: Do đó I = t dt t x x 1 t 0 3 e 5ln x dx x 3) (Đề thi TN.THPT năm 2011) Tính tích phân I 5dx dx Đặt t 5ln x dt hay tdt x x 5ln x 3 xe t 3 2 2t 38 Đổi cận: Do đó I t dt x 1 t2 15 15 ln 4) (Đề thi TN.THPT năm 2012) Tính tích phân I e x 1 e x dx Đặt t e x dt e x dx Đổi cận x ln t x 1 te 2 (t 1)3 (e 1) Do đó I (t 1) dt 3e 3e e3 e 3 e ln 5) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối B) Tính I = Đặt t e x dt e x dx Đổi cận: e x dx (e x 1) x ln t x0 t2 2 Do đó I = t dt 1 t 2 ln 6) (Đề dự trữ năm 2003 – Khối B) Tính I = e x dx ex 1 x ln t2 e x dx Đặt t e x dt Đổi cận: x ln t 1 ex ln 2 t3 20 Do đó I = 2 t 1 dt t 3 1 Gv: Lê Hành Pháp Trang 20 (21) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN ln e 7) (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối B) Tính I = x ln ln I= e ln dx 2e x x 2x x ln t e dx Đặt t = e x dt = e x dx Đổi cận: x 3e x ln t 5 5 dt dt dt t 2 Do đó I = ln ln (t 1)(t 2) t t t 1 3 8) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối D) Tính I = e x t e3 Đổi cận: Do đó I = x 1 te e3 dx Đặt t = e x dt = e x dx 1 x e3 e3 dt 1 t 1 e t (t 1) e t t dt ln t = e ln(e3 1) ln e3 ln(e 1) ln e ln(e e 1) e 9) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối B) Tính I = Đặt t = + lnx dt = ln x 1 x(2 ln x)2 dx xe t 3 dx Đổi cận: x x 1 t2 3 t 2 2 1 Do đó I = dt dt ln | t | ln t t t t2 2 10) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối A) Tính I = x e x x 2e x I= dx = x e x e x x 2e x 0 2e x dx 1 x (1 2e x ) e x ex dx x 0 2e x 0 2e x dx 1 1 2e d (1 2e x ) x = x dx = ln(1 2e x ) ln x 2e 3 0 2 Gv: Lê Hành Pháp Trang 21 (22) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN E ) TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I > CÁC DẠNG CƠ BẢN: e 1) I ln xdx dx e u ln x du e e Đặt x Do đó I x ln x dx x ln x x dv dx v x e e 2) K ln x dx ln xdx I e 3) J ln xdx 2ln xdx e u ln x du e Đặt x Do đó J x ln x ln xdx e I e dv dx v x e 4) I x ln xdx dx e e du e x2 u ln x x2 x2 e2 x Đặt Do đó I = ln x xdx ln x 2 1 1 dv xdx v x 2 5) I (2 x 1)ln xdx dx u ln x du Đặt x dv (2 x 1) dx v x x 2 Do đó I ( x x)ln x ( x 1) dx ( x x)ln x x x ln 1 2 1 2 6) I x ln xdx dx du u ln x x Đặt dv x dx x v 2 1 1 32 Do đó I = x ln x x 5dx = x ln x = ln2 – 61 1 Gv: Lê Hành Pháp Trang 22 (23) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 7) I xe x dx u x du dx x Đặt Do đó I = xe e x dx ( x 1)e x x x 0 dv e dx v e 8) I ( x 1)e x dx u x du dx 1 x1 x x x Đặt Do đó I = = =e ( x 1) e e dx ( x 1) e e x x 0 dv e dx v e 9) I ( x x 1)e x dx u x x du (2 x 1) dx Đặt x x v e dv e dx x 1 Do đó I = e ( x x 1) (2 x 1)e x dx = –1 0 10) I x cos xdx u x du dx Đặt Do đó I x sin x cos x 02 dv cos xdx v sin x /2 11) I ( x 1)sin xdx u x du dx Đặt dv sin xdx v cos x Do đó I ( x 1)cos x cos xdx ( x 1) cos x 02 sin x 02 = 1+ = 12) I x cos xdx du dx u x Đặt dv cos xdx v sin x 4 1 1 Do đó I x sin x sin xdx = x sin x cos x = 20 4 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 23 (24) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 13) I x cos xdx u x du xdx Đặt dv cos xdx v sin x Do đó I x sin x xd (cos x ) = x sin x x cos x cos xdx = 0 x sin x x cos x 2sin x 2 = –2 14) I e x sin xdx u sin x du cos xdx x x Đặt Do đó I = e sin x e cos xdx e J x x dv e dx v e Tính J: u cos x du sin xdx Đặt x x dv e dx v e J e x cos xdx e x cos x e x sin xdx 1 I 0 Vậy I e ( 1 I ) I 15) e 1 u x du dx x sin x cos xdx x sin xdx Đặt dv 2sin xdx v cos x 0 Do đó x sin xdx x cos x cos xdx 0 1 sin x 2 0 u e x du e x dx 16) H = 3e sin xdx Đặt dv 3sin xdx v cos3x x x x x H = e cos3 x e cos3 xdx = e cos3x I u e x du e x dx Với 3I = 3e cos3 xdx Đặt dv 3cos3 xdx v sin x x Gv: Lê Hành Pháp Trang 24 (25) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN /2 x và 3I = e sin x e x sin xdx 2 3 Do đó H = 3e x sin xdx = e x cos3 x e x sin x e 4 4 0 1 1 1 17) ( x 2)e dx ( x 2) d (e x ) ( x 2)e x e x dx 20 20 0 2x 1 1 3e ( x 2)e x e x 4 0 1 1 1 1 1 18) xe dx xd (e3 x ) xe3 x e3 x dx xe3 x e x 30 3 0 0 3 3x 1 3x 1 e x 2e3 3 /6 /6 /2 21) 1 ( x 2)d (cos3 x ) ( x 2)cos3 x 06 3 /6 cos3 xdx 0 0 0 1 1 x x x x x 2 xd e x = 20) x e dx x d e e x 2 xe dx x e 0 0 1 x 2e x xe x 2 e x dx x x x e e 19) (2 x )sin xdx /2 x 2 /2 sin xdx x d cos x x cos x x cos xdx 0 /2 x cos x xd sin x x cos x x sin x 2cos x 2 0 1 1 1 2 2x 2x xe2 x dx 22) ( x 1)e dx ( x 1) d e ( x 1)e 20 2 0 2x 1 1 1 2x 2x 2x 2x ( x 1)e xd e ( x 1)e xe e2 x dx 0 2 2 1 2x 3 e x x (e 1) 20 1 2x 2x 2x x 23) e cos3xdx cos3xd e e cos3x 3 e sin 3xdx 20 0 2x x e cos3x sin 3xd e 20 Gv: Lê Hành Pháp Trang 25 (26) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 1 e x cos3x e x sin 3x e x cos3xdx = 2 0 3e 2x 3e e cos x3xdx 40 13 II > CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: 1) (Đề thi TN.THPT năm 2005) Tính tích phân I = ( x sin x) cos xdx I= x cos xdx cos x sin xdx J K u x du dx Tính J: Đặt nên dv cos xdx v sin x 1 t 1 x Tính K: Đặt t = sinx dt = cosxdx Đổi cận: 2 t 0 x0 J x sin x sin xdx x sin x 02 cos x 02 1 t3 Do đó K = t dt 30 Vậy I = 2) (Đề thi TN.THPT năm 2006) Tính tích phân I = (2 x 1)e x dx u x du 2dx Đặt Do đó I = x x dv e dx v e x x 1 x x (2 x 1)e dx (2 x 1)e 2 e dx 3e 2e 3e 2e e 0 e x2 3) (Đề dự trữ năm 2003 – Khối D) Tính I = ln xdx x dx du u ln x x Đặt nên x 1 x dv v ln x x e e e x2 1 e2 I = ln x ln x xdx ln xdx x 1 1 Gv: Lê Hành Pháp Trang 26 (27) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 4) (Đề thi ĐH năm 2004 – Khối D) Tính I = ln( x x )dx 2x 3 u ln( x x ) du dx 2x 1 Đặt dx x x Do đó I = x ln x x x dv dx v x 3 2 x ln x x dx x ln x x x ln x 3ln 2 x 2 5) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối D) Tính I = x sin xdx t x 2 dx Đặt t x dt Đổi cận: Do đó I = t sin tdt t 0 x0 x u t du 2tdt Đặt Do đó I = t cos t t cos tdt dv sin tdt v cos t 6) (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối D) Tính I = ( x 2)e x dx du dx u x Đặt x Nên I = 2x dv e dx v e 1 1 2x 2 3e x 2x x 2x 1 2x e e dx e e e e = 2 4 0 0 e 7) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối D) Tính I = x3 ln xdx 1 du dx u ln x x Gọi J = x3 ln xdx Đặt dv x dx v x e e e e e x4 x4 x4 e e 3e J= ln x x3dx ln x = 4 4 16 16 16 1 1 2ln x du dx u ln x x I = x ln xdx Đặt dv x dx v x e e e x4 e 3e 8e 3e 5e Do đó I = ln x x ln xdx = 4 16 32 32 1 Gv: Lê Hành Pháp Trang 27 (28) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 8) (Đề thi ĐH năm 2008 – Khối D) Tính I = ln x dx x u ln x du 2dx Đặt 1 dv x dx v x 2 2 ln x dx ln x ln ln1 1 2ln Do đó I = = = 2x x 2x x 16 16 9) (Đề thi ĐH năm 2009 – Khối B) Tính I = ln x 1 ( x 1)2 dx u ln x du dx x Đặt dv ( x 1) dx v 1 x 1 3 3 1 dx dx dx Do đó I = = (3 ln x ) ln x 1 x ( x 1) 4 x x 1 1 3 x 3 3 1 27 ln ln = ln ln ln ln ln ln 4 x 1 4 4 4 16 e 3 10) (Đề thi ĐH năm 2010 – Khối D) Tính I = x ln xdx x 1 u ln x e e du dx Đặt Do đó I = x 3ln x ln x x ln x dx x 3 x 1 dv x x v x 3ln x e e e x2 ln x e2 e xdx 3 ln xd (ln x) = e 1 2 1 1 x sin x dx cos x 11) (Đề thi ĐH năm 2011 – Khối B) Tính tích phân I dx x sin xdx x sin xdx x sin xdx tan x 3 2 cos x cos x cos x cos x 0 I u x du dx Đặt sin xdx I= dv v cos x cos x 2 cos xdx 3 = sin x Gv: Lê Hành Pháp 3 x sin xdx = cos x 2 sin x 3 ln sin x = 3 3 x dx = cos x 0 cos x 2 ln 2 Trang 28 (29) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 12) (Đề thi ĐH năm 2012 – Khối D) Tính tích phân I x(1 sin x )dx x I x (1 sin x) dx x x sin x dx 0 2 x sin xdx J 32 du dx u x Tính J: Đặt dv sin xdx v cos x 1 4 Do đó J x cos x cos xdx x cos x sin x 20 0 Vậy I = 2 32 ln( x 1) dx x 13) (Đề thi ĐH năm 2012 – Khối A) Tính tích phân I 3 3 ln( x 1) ln( x 1) ln( x 1) I dx x 2 dx J dx 2 x x x1 x 1 dx u ln( x 1) du x 1 Tính J: Đặt dx dv x v x 3 dx 1 1 Do đó J ln( x 1) ln ln dx x x ( x 1) x x 1 1 1 x ln ln ln ln ln x 1 2 Vậy I ln ln 3 Gv: Lê Hành Pháp Trang 29 (30) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN F ) DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH I > DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1) Tính diện tích hình (H) giới hạn các đường y x x x , trục hoành và đường x = –2; x = –1 1 Theo công thức tính diện tích, ta có S( H ) x 3x x dx 2 Theo bảng xét dấu: 1 1 x4 x2 S( H ) x 3x x 3 dx x 3x (đvdt) 4 2 2 2) Tính diện tích hình (H) giới hạn các đường y x3 3x x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2 Diện tích S( H ) x 3x x dx 2 Theo bảng xét dấu: 1 S( H ) x 3x x 3 dx x3 3x x 3 dx 2 1 7 14 (đvdt) 4 3) Tính diện tích hình (H) giới hạn đồ thị hàm số y x3 3x x với trục hoành Hoành độ giao điểm đồ thị với đường y = là x x x x 3, x 1, x Diện tích S( H ) x 3x x dx 3 Theo bảng xét dấu: 1 S( H ) 3 x 3x x 3 dx x 3x x 3 dx (đvdt) 3 Gv: Lê Hành Pháp 1 Trang 30 (31) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x x và y x2 Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là x x x x x x 1 Diện tích S( H ) x x dx 1 1 x5 x3 64 Theo bảng xét dấu S( H ) x x 3 dx x (đvdt) 1 15 1 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y x , y x và trục hoành 2 Theo biến y, phương trình tung độ giao điểm hai đồ thị là y y ( y 0) y Diện tích S( H ) y y dy Theo bảng xét dấu: 3 S( H ) y3 y y 3 dy y 3x (đvdt) 3 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 31 (32) Trường THPT Tân Bình 6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: a) y = x , y = x + b) y = |lnx|, y = c) y = ( x 6) , y = 6x – x Hướng dẫn: a) Hoành độ giao điểm hai đường là x = –1 và x = 2 ÔN THI TÍCH PHÂN 2 x3 x Do đó: S x x dx ( x x 2)dx x 3 1 1 1 b) Hoành độ giao điểm hai đường là x = và x = e e e e Do đó: S ln x dx (1 ln x) dx (1 ln x )dx = e – e 1 2 e e c) Hoành độ giao điểm hai đường là x = và x = Do đó 6 S x x 18 dx ( x x 18) dx 3 7) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x + 1, tiếp tuyến với đường này M(2; 5) và trục Oy Hướng dẫn: Phương trình tiếp tuyến là y = 4x – Hoành độ giao điểm hai đường là x = và x = Do đó S x x dx ( x x 4) dx 3 8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = sinx + 1, trục hoành, x = 7 và x = 7 /6 7 Hướng dẫn: S (sin x 1) dx = 1 9) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = cos x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π b) Đồ thị hai hàm số y = x và y = x c) Đồ thị hai hàm số y = x và y = x – x miền x Hướng dẫn: a) S = cos xdx = b) Hai đường cong x = y và x = y giao y = 0, y = Trên khảng (0; 1) ta có y – y > nên 1 y3 y 1 S y y dy = = 12 3 Gv: Lê Hành Pháp Trang 32 (33) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN c) Trong miền x 0, hai đường cong trên giao x = và x = 2 64 2 Trên khảng (0; 2), ta có x – x – x < nên S x x dx 15 10) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số y = x – 4, y = – x – 2x và hai đường thẳng x = –3, x = –2 b) Đồ thị hai hàm số y = x – 4, y = – x – 2x c) Đồ thị hàm số y = x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2, x = Hướng dẫn: a) Trên khoảng (–3; –2), ta có ( x – 4) –( – x – 2x) > nên 2 11 S x2 x2 x = 3 b) Hai đường cong y = x – 4, y = – x – 2x giao x = –2, x = Trên khoảng (–2; 1), ta có ( x – 4) – (– x – 2x) < nên S ( x x x 4)dx = 2 c) S x x dx = 2 3 x x dx x x dx x x dx = 44 2 11) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x2 a) Đồ thị các hàm số y = x, y = và y = miền x 0, y b) Đồ thị hàm số y = x – x + 4, y = x , trục tung và đường thẳng x = c) Đồ thị các hàm số y = x , y = 4x – và y = –4x – Hướng dẫn: a) (Hình) Trong khoảng (0; 1), ta có – x > và khoảng (0; 2), ta có 2 x2 x3 x2 – > nên S1 1 dx = x và 4 12 0 1 x2 S (1 x) dx = x Ta có S S1 S = 5/6 0 b) Trong khoảng (0; 1), ta có 38 2 x – x + – x > Do đó S = x x dx 15 Gv: Lê Hành Pháp Trang 33 (34) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN c) (Hình) S x 16 x dx x x dx = 2 12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hai hàm số y = x + và y = – x b) Các đường x = y , y = và x = c) Đồ thị hai hàm số y = Hướng dẫn: x , y = – x và trục hoành a) Hai đường cong giao x = và x = –2 Ta có S (2 x x ) dx 2 b) S ( x 1) dx 17 ; 4 c) (Hình) S xdx 22 13) Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số y = – x , y = –x + b) Các đường cong có phương trình x = – y và x = – y Hướng dẫn: a) Hoành độ giao điểm – x = –x + x = –1, x = 2 Trên (–1, 2), ta có (4 – x ) – ( –x + 2) > nên S (4 x x 2) dx 1 b) Diện tích nằm góc phần tư thứ là 1 x2 28 28 56 S1 dx (1 x ) dx Do đó diện tích S = 15 15 15 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 34 (35) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 14) Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: a) Parabol y = x – 2x + 2, tiếp tuyến nó điểm M(3; 5) và trục tung b) Parabol y = – x + 4x – 3, tiếp tuyến nó điểm A(0; –3) và B(3; 0) Hướng dẫn: a) Tiếp tuyến M(3; 5)(P ) có phương trình y = 4x – Do đó diện tích là S ( x x x 7)dx b) Tiếp tuyến A(0; –3)(P ) và B(3; 0)(P ) có phương trình là 3 y = 4x – và y = –2x + Giao điểm hai tiếp tuyến C ;3 2 Gọi S1 , S diện tích tam giác cong ACD và BCD 3 9 Ta có: S1 (4 x x x 3) dx , S2 ( 2 x x x 3) dx 8 II > THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: 1) Tính thể tích hình cầu hình tròn (C ) : x y R quay quanh Ox Hoành độ giao điểm (C) và Ox là x R x R Phương trình (C ) : x y R y R x Do đó S R R R x3 4 R3 Do đó V R x dx 2 R x dx 2 R x (đvtt) 0 R x2 y 2) Tính thể tích hình khối ellipse ( E ) : quay quanh Oy a b y Tung độ giao điểm (E) và Oy là y b b 2 x y a2 y 2 Phương trình ( E ) : x a a b b b 2 R b a2 y a y3 4 a 2b a2 y Do đó V a dy 2 a dy 2 a y 3b b b b 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 35 (36) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 3) Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường y x , y x quay quanh Ox x x Hoành độ giao điểm Do đó V x x dx x x x Theo bảng xét dấu 1 3 1 V x x dx x5 x (đvtt) 10 5 4) Tính thể tích khối nón tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục Ox: a) y = – x , y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = Hướng dẫn: 1 x3 x5 16 a) V (1 x ) dx = 1 2x x dx = x = 1 15 1 1 2 b) V cos xdx = (1 cos x )dx = x sin x 2 0 2 4 = 1 c) V tan xdx dx = tan x x cos x 4 0 5) Cho hình phẳng A giới hạn các đường y = 0, x = và y = x – Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hoành 7 Hướng dẫn: V x dx 6) Cho hình phẳng B giới hạn các đường x , y = và y = Tính thể tích y khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục tung 4 Hướng dẫn: V dy 3 y 7) Cho hình phẳng B giới hạn các đường x y , x = và y = –1 và y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình B quanh trục tung Hướng dẫn: V y dy 2 1 8) Cho hình phẳng A giới hạn các đường y = x , y = 0, x = và x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hoành 32 Hướng dẫn: V Gv: Lê Hành Pháp Trang 36 (37) Trường T HPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 9) Cho hình phẳng A giới hạn các đường y = cosx, y = 0, x = và x =/4 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hoành Hướng dẫn: V cos xdx ( 2) x 10) Cho hình phẳng A giới hạn các đường y = xe , y = 0, x = và x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình A quanh trục hoành Hướng dẫn: V x 2e x dx (e 2) 11) Cho hình phẳng B giới hạn các đường x 2sin y , x = và y = và y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình B quanh trục tung Hướng dẫn: V 2sin ydy 2 2 x và hai trục tọa độ Tính thể x 1 tích khối tròn xoay hình (H) quay quanh trục Ox Hướng dẫn: 2 x Giao điểm đồ thị hàm số y với trục hoành là x = x 1 12) Cho hình (H) giới hạn đồ thị hàm số y 2 2 2 x Do đó V = dx = x 6ln x dx = 1 2 x 1 x ( x 1) x 1 0 0 6ln 3 (đvtt) III > CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: 1) (Đề thi TN.THPT năm 2003) Tính diện tích hình (H) giới hạn đường x 10 x 12 y= , y = x2 Hướng dẫn: x 10 x 12 Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x2 2 x 10 x 12 x 10 x 12 và y = là = x = –1, x = vì x 1;6 x2 x2 6 x 10 x 12 x 10 x 12 16 Do đó S = dx dx 14 x dx = x2 x2 x2 1 1 1 14 x x 16ln x 63 16ln8 (đvdt) 1 2) (Đề thi TN.THPT năm 2004) Cho hình phẳng (H) giới hạn các đường y = x x , y = 0, x = 0, x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục Ox Gv: Lê Hành Pháp Trang 37 (38) Trường THPT Tân Bình Hướng dẫn: ÔN THI TÍCH PHÂN Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x x2 , y = b là x x = x = 0, x = Ta có: V = f ( x) dx a 3 x x6 x5 81 1 1 V = x x dx x x x dx (đvtt) 63 35 0 0 3) (Đề thi TN.THPT năm 2007) Cho hình phẳng (H) giới hạn các đường y = sinx, y = 0, x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là sinx = x = 2 Do đó V = sin xdx (1 cos x) dx x sin x (đvtt) 20 2 0 4) (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối D) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các 3 x đường y = và hai trục tọa độ x 1 Hướng dẫn: 3x 1 Phương trình hoành độ giao điểm hai đường là =0x=– x 1 Do đó S= S 3x dx x 1 3x 1 x dx 3 x dx (đvdt) 5) (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối B) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường x 4ln x 1 4ln x2 x2 y = 4 và y = 4 Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là vì 4 4 x2 x2 = x = 2 4 x2 x2 x 2; 4 Gv: Lê Hành Pháp Trang 38 (39) Trường T HPT Tân Bình 2 x2 x2 x2 x2 4 dx dx 4 4 2 2 Do đó S = ÔN THI TÍCH PHÂN 2 2 2 1 16 x dx x 2dx = 2 2 2 2 1 x3 16 x dx 2 2 2 16 x dx 2 Đặt x = 4sint dx = 4costdt Đổi cận: x2 x 2 t / t / Do đó S = 8 4 cos tdt 1 cos 2t dt t sin 2t 2 (đvdt) 3 3 4 6) (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x x và y = x + Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x x x2 4x x x và y = x + là x x = x + x x x x vì x + x x x 0;5 Do đó S = x x x dx = ( x x) dx ( x x 6) dx ( x x )dx 2 1 3 x3 x x3 3x x3 x 109 = = (đvdt) x 0 2 3 1 7) (Đề dự trữ năm 2004 – Khối A) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Ox và đường y x sin x 0 x Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm đường y x sin x với trục hoành là x x sin x x V x sin xdx x 1 cos x dx xdx xd sin x 20 20 40 x x sin x cos x 3 2 2 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 39 (40) Trường THPT Tân Bình ÔN THI TÍCH PHÂN 8) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối B) Cho hình phẳng (H) giới hạn các đường y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay hình thành quay hình (H) quanh trục Ox Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là xlnx = x = b e Ta có: V = f ( x) dx Do đó V = x ln xdx a e e e e e 1 e3 Với x ln xdx ln xd ( x3 ) x ln x x dx e3 = 31 31 1 e e3 e3 e 2e e 9 9 2ln x du dx u ln x x 2 Nên V = x ln xdx Đặt dv x dx v x e e e x3 e3 2e 2 5e3 2 V = x ln xdx = ln x x ln xdx 27 3 1 9) (Đề dự trữ năm 2007 – Khối B) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường e y x2 ; y x2 Hướng dẫn: x 1 Hoành độ giao điểm hai đường x x x x x 1 1 2 2 S( H ) x x dx x dx x dx x dx Đặt 1 1 1 1 x sin t dx cos tdt Đổi cận: /4 x 1 t / Do đó I = x 1 t / /4 /4 2 S( H ) cos tdt 1 cos 2t dt t sin 2t /4 /4 3 /4 10) (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là (e + 1)x = (1 + e x )x x(e – e x ) = x = 0, x = Ta có: (e + 1)x (1 + e x )x x [0; 1] Diện tích hình phẳng S = x =e x xd (e x ) e 0 Gv: Lê Hành Pháp x x (e 1) x (1 e ) x dx x(e e )dx e xdx x.e dx 1 x 0 1 e x.e x e x dx e e e 2 0 Trang 40 (41)