Đang tải... (xem toàn văn)
HIỆU QUẢ ÁP DỤNG: Sau một số năm bền bỉ hướng dẫn học sinh tìm GTLN, GTNN tôi thấy áp dụng tốt SKKN này cho học sinh thì chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt, góp phần không nhỏ vào v[r]
(1)MỤC LỤC STT MỤC NỘI DUNG MỤC LỤC A.PHẦN MỞ ĐẦU I II III IV 10 11 12 13 I II III IV V 14 15 16 I II III 17 IV LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI KẾ HOẠCH THỰC HIỆN B.PHẦN NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN CƠ SỞ THỰC TIỄN THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG C.PHẦN KẾT LUẬN Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI CÔNG TÁC KHẢ NĂNG ÁP DỤNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM,HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ XUẤT,KIẾN NGHI A PHẦN MỞ ĐẦU - - TRANG 2 3 4 4 23 24 24 24 24 24 (2) I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận: Đứng trước yêu cầu công đổi mới, giáo dục phải luôn trước bước, vì đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và thầy cô giáo nói riêng gánh vác trọng trách nặng nề Muốn giáo dục và đào tạo tồn và xứng đáng với vị trí nó xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi đề định hướng kịp thời Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học các nhà trường là chủ yếu, nhà trường thì thân giáo viên phải phấn đấu tìm tòi, đổi phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu có làm nâng cao chất lượng đào tạo, gây uy tín học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn xã hội Toán cực trị là dạng toán gần gũi với sống và có nhiều ứng dụng thực tế hàng ngày, nó giúp học sinh rèn luyện nếp suy nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhất, tốt Vì nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em khá, giỏi Toán cực trị đề cập nhiều các loại sách tham khảo giáo viên thuận lợi việc sưu tầm và tuyển chọn xếp các dạng toán cách hợp lý giúp cho học sinh dễ dàng áp dụng và vấn đề là làm nào để học sinh nắm phương pháp, tư suy luận cách có lôgíc giải toán cực trị Cơ sở thực tiễn: Hiện thân là giáo viên dạy Toán trường TH-THCS Gáo Giồng, thấy khó khăn học sinh thường mắc phải quá trình giải Toán, tôi luôn trăn trở và suy nghĩ để tìm giải pháp nào tốt nhất, hữu hiệu để giúp đỡ học sinh quá trình nắm bắt kiến thức Toán cực trị.Sau nhiều năm tìm hiểu và nghiên cứu,tôi mạnh dạn đưa đề tài “ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT TOÁN CỰC TRI”, hy vọng đem lại phần thuận lợi cho giáo viên thực sáng kiến này quá trình giảng dạy cho học sinh cấp Trung học sở nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp nói riêng II MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tôi nghiên cứu, viết sáng kiến này hy vọng giúp các em học sinh lớp 8, lớp nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đặc biệt là các em học sinh giỏi (3) có phương pháp và hướng để giải Đồng thời qua chuyên đề này hy vọng các em hình thành rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ trình bày bài toán cực trị Giúp học sinh mở rộng tầm hiểu biết thực tiễn mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức vè rèn phong cách làm việc người lao động mới, có kế hoạch Có phân tích tìm hướng giải trước làm việc cụ thể - Để thực nghiên cứu đề tài này tôi sử dụng các phương pháp sau đây: + Phương pháp nghiên cứu lý thuyết + Phương pháp phân tích tổng hợp + Phương pháp thực nghiệm III GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI -Đề tài có thể áp dụng việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 -Ôn thi cho học sinh tuyển sinh vào lớp 10 IV KẾ HOẠCH THỰC HIỆN Đề tài đã và áp dụng việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, bài toán nâng cao ở lớp và hướng tới áp dụng ôn tập cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 năm học 2011-2012 B PHẦN NỘI DUNG - - I CƠ SỞ LÍ LUẬN: Vấn đề đổi phương pháp giảng dạy trường THCS là vấn đề cấp thiết hàng đầu, học sinh THCS chủ yếu là ở lứa tuổi thiếu niên các em có thói quen suy nghĩ độc lập, nhiên khả tư các em chưa phát (4) triển hoàn chỉnh để nhận thức làm tốt vấn đề nào đó Khi đứng trước bài toán cực trị học sinh lúng túng, không biết đâu, làm gì, làm nào, không biết liên hệ giả thiết với các kiến thức đã học để tìm lời giải công việc quan trọng II CƠ SỞ THỰC TIỄN Toán cực trị là nội dung thường quan tâm các kỳ thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi Vấn đề này không mẻ tương đối khó học sinh lớp 8, lớp 9, là các bài toán cực trị ở mức độ nâng cao đó kiến thức trang bị cho học sinh không đáng kể đó với mong muốn góp phần rèn luyện tư duy, sáng tạo học sinh, khơi dậy hứng thú học tập yêu thích môn toán qua các bài toán cực trị, tôi đã tìm tòi qua sách, đồng nghiệp để tìm phương pháp bài tập phù hợp với học sinh, là giai đoạn các em tiếp cận với các bài toán này ở lớp và lớp Nhằm giúp cho học sinh có cách giải nhanh gọn, hợp lý tôi đã mạnh dạn nghiên cứu sáng kiến này III THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN Thuận lợi Được quan tâm các ban ngành địa phương,của Ban giám hiệu nhà trường Phụ huynh học sinh có quan tâm đến việc học tập em, nên đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt Đa số các em học sinh chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hoài bão đó đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học Khó khăn Đa số học sinh có tâm lí “sợ học toán” đặc biệt là dạng toán “Tìm cực trị” nói riêng các em thường lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên cái gì đó dễ nảy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực Đặc biệt các em học sinh lớp kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây khó khăn không nhỏ cho các em Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết kiểm tra đầu năm học 2011 -2012 ở lớp tôi trực tiếp giảng dạy tôi thu số liệu sau: Lớp Bài TS kiểm tra HS Giỏi SL % Điểm Khá SL % Điểm <5 Yếu Kém TB SL % SL % SL % (5) Bài số 15 6,7 13,3 40,0 26,7 13,3 IV CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ĐINH NGHĨA a Cho biểu thức f(x) Giá trị M gọi là giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x) thoả mãn hai điều kiện : + Với x để f(x) xác định thì f(x) M (M là số) + Tồn x0 cho f(x0) = M (6) Giá trị m gọi là giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x) thoả mãn hai điều kiện : + Với x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là số) + Tồn x0 cho f(x0) = m Kí hiệu : GTLN hàm f là M = max f(x) GTLN hàm f là m = f(x) Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta có định nghĩa tương tự Các bước tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thường, để tìm GTLN GTNN ta tiến hành theo bước sau : - Bước : Xác lập bất đẳng thức dạng : f(x) ≤ M f(x) ≥ m với M, m là các số - Bước : Xét xem dấu đẳng thức xảy nào ? - Bước : Kết luận max theo yêu cầu II) Cực trị hàm tam thức bậc hai: 1) phương pháp : Sử dụng trực tiếp định nghĩa GTLN, GTNN thông qua việc biến đổi tổng quát tam thức bậc hai dạng bình phương nhị thức bậc chứa biến và hạng tử tự Xét Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a ≠ 0) b Ta có P = ax2 +bx + c = a(x2 + a x) + c (do b b2 b 4ac b 4a = a (x + 2a )2 + c - 4a = a (x + 2a )2 + 4ac b b 4a Đặt =k Do (x + 2a )2 nên b b b - Nếu a > thì a.(x + 2a )2 dó P = k x + 2a = x = - 2a b b - Nếu a < thì a.(x + 2a )2 đó max P = k x = - 2a 2) Các ví dụ: a) Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau A x x (7) Giải: A x x ( x 1) 2 Dấu (( = )) Xảy x=1 Vậy GTNN A=2 Khi x=1 2 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B x x 2 Giải: B x x ( x x 1) ( x 1) 7 Dấu (( = )) Xảy x=1 Vậy GTNN B = x=1 b) Dạng 2: Tìm GTNN biểu thức bậc cao Ví dụ : Tìm GTLN biểu thức C x x3 10 x x Giải: C x x 10 x x 2 2 C ( x x x ) ( x x 9) ( x 3x ) ( x 3) 0 x 3x 0 x 0 Xảy <=> x 0; x 3 x 3 x 3 Dấu (( = )) Vậy GTNN C = Khi x=3 VÝ dô 2: Tìm GTNN B = (x2 – x + 1)2 Giải : Mặc dù B GTNN B không phải vì x2 – x + 1 3 x ≥ Dấu "=" xảy x = Ta có : x2 – x + = Do đó B nhỏ (x2 – x + ) nhỏ 3 Vậy B = = 16 x = III) Cực trị hàm phân thức: A) Kiến thức cần thiết + Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần nguyên 1 + Cho P = A với A > thì max P = A ; P = max A Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đưa bài toán tìm cực trị phân thức bài toán tìm cực trị đa thức B) Một số ví dụ (8) 1) Dạng 1: Tìm GTLN , GTNN phân thức có tử là số mẫu là tam thức bậc hai Ví dụ: Tìm GTNN Giải: N Xét N 8 x 2x 8 x 2x x x ( x 1)2 4 ( x 1) 4 ( x 1) 4 1 8 8 2 ( x 1) 4 ( x 1) 4 Ta có Dấu (( = )) Xảy <=>x=1 Vậy GTNN N = -2 x=1 2) Dạng 2: Tìm GTLN , GTNN phân thức có tử và mẫu số là nhị thức 7x Ví dụ : Tìm x N để 2x đạt giá trị lớn Giải : 7x 14x 16 7(2 x 3) 5 2x Đặt A = 2x 2A = 2x = = + 2x Nhận thấy A lớn 2A lớn 2x lớn 2x – là số dương nhỏ Mà x N nên 2x – dương nhỏ x = Vậy max(2A) = 12 maxA = x = 7 x Ví dụ : Tìm x Z để M = x đạt giá trị nhỏ Giải : (x 7) (x 2) x Ta có M = x = = -1 + x Để M nhỏ thì x nhỏ x – là số âm lớn Mà x Z nên x – = -1 x = Vậy M = -3 x = - 3) D¹ng 3: T×m GTLN , GTNN cña ph©n thøc cã tö lµ nhÞ thøc, mÉu sè lµ tam thøc bËc hai Ví dụ : Tìm GTLN và GTNN biểu thức 4x Q = x 1 (9) Giải : x x x (x 2) 1 x2 1 a/ Ta có Q = = x 1 ( x 2)2 Do x với x Q -1 với x Dấu “=” xảy x = -2 Vậy Q = -1 x = -2 4x1 4( x 1) (2x 1)2 (2x 1)2 4 x2 x2 b/ Ta có Q = x1 = = (2x 1)2 x ≤ với x Q ≤ Dấu “=” xảy x = Do Vậy maxQ = x = 2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của phân thức là bình phương nhị thức 3x 8x Ví dụ: Tìm GTNN M = x x Giải : ĐKXĐ : x ≠ 3(x x 1) 2(x 1) 3 x (x 1)2 (x 1) Ta có M = = Đặt y = x , đó M = – 2y + y2 = (y – 1)2 + Dấu “=” xảy y = x = x = Vậy M = x= IV) Cực trị hàm đa thức nhiều biến: 1) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức biết quan hệ các biến Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A x2 y Giải: Ta có x + y = y x 2 x 2 Thay y 2 x vào biểu thức A x y Ta có: A x x x x x 2 x x A 2 x x 2 x 1 2 (10) Dấu “=” xảy x 1 y 1 Vậy GTNN A=2 x =y=1 VÝ dô 2: Tìm GTNN và GTLN biểu thức N = 2x + 3y – 4z 2 x y 3z 6 biết x,y,z và thoả mãn hệ phương trình 3x y 3z 4 (1) (2) Giải : Từ hệ phương trình điều kiện ta có 5x + 5y = 10 y = – x (*) 4 x Thay (*) vào (1) 2x + – x + 3z = x + 3z = z = (**) Thay (*) và (**) vào biểu thức N ta : N= 2x 3y 4z 2x 3 x 4 x 16 4x x 2x 3x 3 3 x 2 Do x nên 3 ≥ Dấu "=" xảy x = Vậy N = x = 0, y = 2, z = Ta lại có y nên từ (*) x z nên từ (**) x 4, từ đó x x 2 Do đó 3 ≤ + = Dấu xảy x = Vậy max N = x = 2, y = 0, z = Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN biểu thức x, y, z x y z biết x, y, z là các số thoả mãn hệ phương trình : xy yz zx Giải : x y z y z 5 x xy yz zx Xét hệ phương trình yz 8 x 5x Do đó y, z là nghiệm phương trình : t2 – (5 – x)t + x2 – 5x + = (1) Ta có = (5 – x)2 – 4(x2 – 5x + ) = -3x2 +10x – Khi đó y, z có GTLN, GTNN phương trình (1) có nghiệm tức là ≥ -3x2 +10x – 3x2 – 10x + (11) (x – 1)(3x – 7) x 7 Vì vai trò x, y, z nên y ; z Vậy GTLN x, y, z là và GTNN x, y, z là 2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều đại lượng cách biến đổi biểu thức đưa các tổng bình phương 2 Ví dụ 1: Tìm GTNN A 2 x y xy x A 2 x y xy x Giải x xy y x x x xy y x x 1 x y 0 x y 1 x Dấu “=” xảy Vậy AMin 2 Khi x =y=1 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức sau: B x y xy xy y 2 Giải: B x y xy xy y x y xy x y x y 1 x y y y y 5 2 x y 1 y 3 5 2 x y 1 y 3 5 x y 0 y Dấu “=” xảy y x 7 x 7 Vậy GTLN biểu thức B = Khi y Bài tập đề nghị: 1, Bài 1: Tìm GTNN các biểu thức sau: 2 a, 3x x b, x x 11 2, Bài 2: Tìm GTLN các biểu thức sau: (12) x x x x 18 27 a, x x b, x x c, 3, Bài 3: Tìm GTNN các biểu thức sau: 2 x 1 x x x a, b, x 3x x 3x 2006 4, Bài 4:Tìm GTNN A 3x x 10 x2 2x 2 a, b, B x y Biết x+2y =1 V) Phương pháp bất đẳng thức A) lý thuyết 1, Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a, x 0 b, x y x y dấu “=” xảy xy 0 c, x y x y x y dấu “=” xảy xy 0 và x yz x y z d, dấu “=” xảy xy 0 và yz 0 ; xz 0 2, Bất đẳng thức Côsi: a, Cho số không âm a và b ta có: a b ab Dấu “=” xảy a b b, Cho số không âm a và b ta có: a b c abc dấu “=” xảy a b c c, Tổng quát: Cho n số không âm a1 : a2 ; ; an ta có: a1 a2 an n a1.a2 an n dấu “=” xảy a1 a2 an 3, Bất đẳng thức BunhiaCôpxki a, Cho hai cặp số a và b; x và y ta có: ax by a b2 x y2 dấu “=” xảy ay bx b, Tổng quát: Cho 2n số a1; a2 ; ; an a1b1 a2b2 .anbn b1 ; b2 .; bn ta có a12 a2 an b12 b22 bn (13) a a1 a2 n b1 b2 bn dấu “=” xảy B) Các ví dụ: 1) Bất đẳng thứcCôsi Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: M x2 x 1 x2 x 1 Giải: áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: M 2 x x 1 x x 2 x x x2 x 1 x2 x dấu “=” xảy x 0 Vậy GTNN M=2 x = 2) Bất đẳng thức BunhiaCopski Ví dụ 1: Tìm GTLN A x y Biết x+y = Giải: TXĐ: x 1 ; y 2 Xét A2 x 1 y 2 1 x y 2 2. x y 3 2 3 2 2 x 1,5 T / m x y x y 4 y 2,5 T / m dấu “=” xảy Vậy GTLN A x = 1,5 ; y= 2,5 2 Ví dụ 2: Cho x+y =2 Tìm GTNN A x y Giải: áp dụng BĐT BunhiaCopski ta có: x mà x+y=2 nên 1.x y 4 x 1 x y x y 2 x y 2 y2 y 2 tức là A 2 x y x y 1 x y dấu “=” xảy Vậy GTNN A = x = y = 3) Sử dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN các biểu thức a, A x 2001 2004 x (14) b, B x x x x Giải Áp dụng BĐT a, Ta có: x y x y A x 2001 2004 x x 2001 2004 x 3 x 2001 2004 x 0 dấu “=” xảy 2001 x 2004 Vậy GTNN A=3 2001 x 2004 b, x x x x x x 3 (1) x x x x x x 1 (2) dấu “=” xảy (1) x 1 x 0 x 4 dấu “=” xảy (2) x x 0 x 3 Khi đó: B x x x x 3 4 Vậy GTNN B=4 x 3 Ví dụ 2: Tìm GTNN C x x x 30 x 25 Giải: C x x x 30 x 25 C 3x 1 3x 5 C x x x x x x 4 dấu “=” xảy x 1 x 0 x 3 x Vậy GTNN C=4 4) Bài tập đề nghị: a, Bài tập sử dụng BĐT Côsi Tìm GTNN các biểu thức sau: 1 A x y với x+y=100 và x; y x B x với x > C x y xy với x;y cùng dấu (15) b, Bài tập sử dụng BĐT BunhiaCopski: Tìm GTLN các biểu thức sau: A 2 x x B x y 2 biết x y 1 4 Cho xy+yz+xz = Tìm GTNN C x y z c, Bài tập sử dụng các BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối Ax x x x Tìm GTLN A B x x x x Tìm GTNN B VI) Phương pháp tìm miền xác định 1) Đưa phương trình bậc và sử dụng điều kiện 0 Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN biểu thức: A 8x x2 1 A Giải: 8x x2 1 (1) Do x 0 (1) A x 6 x Ax A x 0 Ax x A 0 (2) +, Nếu A=0 thì (2) có nghiệm x +, Nếu A 0 thì (2) có nghiệm 0 ' 16 A A A2 A 16 0 A2 A 16 0 A A 0 A 8 T / m A 0 Với A=-2 thì nghiệm (2) là: Với A=8 thì nghiệm (2) là: Vậy GTNN A = -2 x=2 GTLN A=8 x 1 x x b' 2 A 2 b' A 8 (16) VI) Phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ ta đưa biến để biến đổi rút gọn biểu thức đã cho dạng đơn giản Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức sau: A x x 1 Giải: Đặt y=x+3 ta có x=y-3 thay vào biểu thức A Ta có: A y y 1 A y y 4 A y y 24 y 32 y 16 y y 24 y 32 y 16 A 2 y 48 y 32 32 Dấu “=” xảy y 0 x 0 x Vậy GTNN A=32 x = -3 VII) Một số phương pháp khác 1, Bình phương hai vế biểu thức Có trường hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị biểu thức mà tìm cực trị bình phương biểu thức đó: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: M x2 x 1 x2 x 1 Giải: Tìm GTNN biểu thức M đã giải phương pháp bất đẳng thức Côsi ở phần trên, ngoài phương pháp đó ta còn có phương pháp giải khác M x2 x 1 x2 x 1 M x x x x x x 1 x2 x 1 M 2 x x x 2 4 M 4 M 2 Dấu “=” xảy x 0 GTNN M=2 x=0 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức sau: A 3 x x với x 5 Giải: (17) A2 x x 9 x 80 16 x 24 x 71 24 9 x 1 16 x 24 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 0 Vì x 5 x 35 và 2 nên A 35 71 hay A 36 Do A 0 nên A 36 x 1 x =0 x 5 Dấu “=” xảy x 5 và 2) Sử dụng bài toán phụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: M x2 x 1 x2 x 1 Vậy GTNN bài toán này ta đã làm hai cách nêu trên ngoài ta còn có cách khác để giải cách sử dụng bài toán phụ Xét bài toán phụ: a b2 x y Chứng minh rằng: a x b y Dấu “=” xảy ay bx áp dụng bài toán phụ ở trên ta có: M x2 x 1 x2 x 1 2 2 1 3 1 3 1 3 x x x x 2 2 2 = 1 3 2 2 3 1 31 x x x 0 2 Dấu “=” xảy Vậy GTNN M=2 x=0 Để giải bài toán theo cách này học sinh phải chứng minh bài toán phụ vận dụng Ngoài cách giải trên ta còn có cách giải khác xét phần 3, Sử dụng mp tọa độ Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức M x2 x 1 x2 x 1 (18) Giải: Xét cùng mặt phẳng tọa độ 0xy xét các điểm A x; o 1 3 B ; 2 1 3 C ; 2 Ta thấy điểm B, C nằm khác trục hoành mà A thuộc trục hoành Xét điểm A; B; C ta có: AB AC BC 2 1 3 AB x x x 2 Ta có: 2 1 3 AC x x x 2 2 3 1 BC 2 2 AB AC x x x x 1 BC 2 Dấu “=” xảy A là giao điểm BC với trục hoành A 0 x 0 Vậy GTNN M=2 x=0 Nhận xét: Tìm GTNN biểu thức M ở đây tôi đã đưa phương pháp để tìm, phương pháp có cách giải riêng biệt tùy theo bài, dạng bài tập ta có thể lựa chọn cách giải cho phù hợp 4, Phương pháp xét khoảng giá trị: Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức để A x x 15 Dạng bài tập này ta đã có cách giải cụ thể sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối đã nêu ở phần 4.3 ở trên ngoài ta còn sử dụng phương pháp xét khoảng để giải A x x 15 +, Nếu x<2 thì x 2 x x 5 x Khi đó A =2 – x +5-x+15 = 22-2x <18 ( 1) +, Nếu x>5 thì x x (19) x x Khi đó A= x- +x = 5-15 = 2x+8 > 18 ( ) x x x 5 x +, Nếu x 5 thì ; Khi đó A = x- + –x +15 = 18 ( 3) Kết hợp các giá trị A trường hợp trên ta có: Giá trị nhỏ A = 18 x 5 Ta xét ví dụ này ngoài cách trên ta còn có cách giải khác ta xét phần sau đây: 5, Sử dụng A A Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức: Giải: A x x 15 A x x 15 A x x 15 Ta có: x x x 5 x x x x x x x 15 x x 15 18 A 18 x 0 x Dấu “=” xảy x 2 x 5 x 5 Vậy GTNN A = 18 x 5 Nhận xét: Qua cách giải trên cách giải theo 4.3 ta thấy cách giải thứ là đơn giải dễ hiểu Ta cần sử dụng giá trị tuyệt đối A A Dấu “=” xảy A 0 VIII) Ứng dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Trong làm chúng ta có thể gặp nhứng bài toán tìm GTLN, GTNN cách tường minh cụ thể, có lại gặp nó dạng dạng toán khác Đó chính là ứng dụng bài toán tìm GTLN, GTNN Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: (20) Giải phương trình: x x x 10 x 27 Giải: TXĐ: Xét VT x 0 6 x 0 x 10 x 27 0 x 6 x x 6 1 x x 4 2 VT 4 VT 2 VP x 10 x 27 x 2 x x 2 VT VP x 10 x 27 2 Để x x 2 x 0 x x 2 x 5 x 5 thuộc TXĐ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=5 Nhận xét:Để giải phương trình này các phương pháp thông thường phức tạp và khó khăn giải phương trình trên phương pháp đánh giá hai vế ta sử dụng BĐT BunhiaCopski vế trái thì việc giải phương trình đơn giản nhiều Ví dụ 2: Giải phương trình x x 2 x x x Giải: Ta có: 3x3 x x x x 3x 1 x x x 0x 2 Do Khi đó TXĐ x x x x x 1 3x Ta có: áp dụng BĐT Côsi cho hàm số không âm ta có: x x 1 3x 2 x x 1 x Dấu “=” xảy x x 3x (21) x 1 x x 0 x 3 Ví dụ 3: Cho hai điểm A và B cố định và điểm M di động cho MAB là tam giác có góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Giải: Xét KHA và KMB có AKH MKB 900 M E KMA KMB cùng phụ với AMN KHA S H KMB KH AK KM KH KB AK KB KM A áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: AK KB AK KB AK KB K B AB AB AK KB AB AB KM KH mà không đổi Do đó Dấu “=” xảy KH KB AB Vậy GTLN KH KM là Nhận xét: Ở đây tôi đã đưa ví dụ để thấy việc ứng dụng bài toán tìm GTLN; GTNN rộng rãi , nhờ có bất đẳng thức việc giải phương trình ở ví dụ 1, ví dụ đơn giản nhiều không sử dụng Bất đẳng thức thì việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn, đặc biệt số dạng toán cực trị môn hình học IX) Một số sai lầm thường gặp bài toán cực trị: Trong quá trình giải toán cực trị học sinh thường mắc phải số sai lầm sau: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: A x x 1 Trong ví dụ này ta đã nêu cách giải cụ thể phần phương pháp ẩn phụ Lời giải sai: x 1 0 x 5 0 A x x 1 0 (22) Từ đó A 0 điều này không thể xảy ra, vì không tồn để cho x 5 và x 1 đồng thời Lời giải đúng ta đã giải phần VI ( Phương pháp đặt ẩn phụ) Ví dụ 2: Tìm GTNN của: M x x +) Lời giải sai: 1 1 1 M x x x x x 4 2 4 M Vậy GTNN +) Phân tích sai lầm: Sau chứng minh x M 1 M chưa trường hợp xảy ( vô lý) xảy +) Lời giải đúng: Để tồn x thì x 0 đó M x x 0 dấu “=” xảy x 0 Vậy M Min 0 x = V HIỆU QUẢ ÁP DỤNG: Sau số năm bền bỉ hướng dẫn học sinh tìm GTLN, GTNN tôi thấy áp dụng tốt SKKN này cho học sinh thì chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt, góp phần không nhỏ vào việc trí thông minh , khả tư sáng tạo học sinh, bởi giải các bài tập này học sinh phải vận dụng kiến thức cách hợp lý, phải phân tích cách tổng hợp.Do đó năm học này tôi đã mạnh dạn đưa vào chương trình lớp số bài toán ở mức dộ vừa phải với sức học học sinh và kết thu sau: Kết kiểm tra đối chứng Hs khối Khi chưa áp dụng Skkn Khi áp dụng Skkn Số Hs Tìm hướng giải Không tìm hướng giải hoàn chỉnh hoàn chỉnh 15 60,0 40,0 15 12 80,0 20,0 (23) C PHẦN KẾT LUẬN - - I.Ý nghĩa đề tài công tác : Trong quá trình giảng dạy kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh tôi nhận thấy chưa áp dụng học sinh chưa có phương pháp cụ thể , học sinh lúng túng chưa tìm cách giải sau vận dụng thì nhiều học sinh đã giải thành thạo II Khả áp dụng - Chủ yếu dùng để bồi dưỡng thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT và đặc biệt phù hợp với việc học học sinh khá giỏi III Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển *Qua quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy để có kết cao giáo viên cần lưu ý số vấn đề sau: - Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo phân loại các dạng bài tập - Lượng bài tập phù hợp với lực, đối tượng học sinh (24) - Phải kiên trì áp dụng sáng kiến kinh nghiệm có bài toàn tìm GTLN, GTNN - Giáo viên phải soạn kỹ trước lên lớp, đưa phương án giải tốt cho dạng Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác đề củng cố và rèn khả tư sáng tạo cho học sinh * Do điều kiện áp dụng SKKN trên ở trường có tỉ lệ học sinh khá giỏi chưa cao và hạn chế thời gian lực tư các em nên SKKN này còn số hạn chế sau: - Chưa nêu ví dụ phong phú, chưa khai thác và phát triển và đưa dạng bài tập tổng quát - Lời giải nhiều bài tập còn mang tính áp đặt chưa mang tính chất lấy học sinh làm trung tâm - Đã nêu chưa nhiều bài toán cực trị hình học V Kiến nghị và đề xuất Để SKKN ngày càng đạt hiều cao tôi thấy phải tiếp tục nghiên cứu nhằm: + Tìm nhiều dạng bài, nhiều phương pháp giải dạng bài đó +Áp dụng tối đa phương pháp đổi dạy học toán theo hướng phát triền tư sáng tạo cho học sinh Nhà trường các cấp các ngành có chức cần tạo điều kiện giúp đỡ thời gian tài liệu để các giáo viên có thể đầu tư vào công việc tốt Tôi xin chân thành cảm ơn - - Gáo Giồng, ngày 08 tháng năm 2012 Người viết Nguyễn Thị Thanh (25) DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐINH …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………… DUYỆT CỦA PHÒNG GIÁO DỤC …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… (26) …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… (27)