Đường vuông góc với BC tại O cắt BA kéo dài tại P.. Chứng minh các góc HAB, góc OPB, góc ACB bằng nhau.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC - Môn thi: - Ngày thi: - Thời gian: TOÁN 16-01-2011 150 phút (không kể phát đề) Bài 1: (4 điểm) Cho A = ( √ x −2 − √ x+2 1− x x −1 x +2 √ x +1 √2 )( ) a Rút gọn A b Tìm x để A > c Tìm giá trị lớn A Bài 2: (4 điểm) a Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: P = 2a2 + 2b2 – a2c + c – b2c -2 b Cho a > Chứng minh rằng: (a -1) < a5 -1 < 5a4 (a -1) Bài 3: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm CD và CB O là giao điểm AM và DN Biết OA =4 OM và OD = Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình ON hành Bài 4: (3,5 điểm) Giải phương trình x= 1 1− + x − x x √ √ Bài 5: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH kẻ từ A xuống cạnh BC, O là trung điểm cạnh BC Đường vuông góc với BC O cắt BA kéo dài P a Chứng minh các góc HAB, góc OPB, góc ACB b Cho AB = c, BC = a, AC = b Tính AH theo a, b, c c Tính diện tích hình thang OHAP theo a, b, c - HẾT - (2) ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2010-2011 Môn thi: TOÁN Cu (4đ) Nội dung Điểm 0.5 a- Điều kiện x ≥ 0, x ≠ √ x+1 ¿2 (¿¿) A= 1− x √2 0.5 ( ) 0,5 √ x−2 √ x +2 − ¿ ( √ x+1)( √ x − 1) ¿ √ x +1 ¿2 (√ x −1) ¿ √ x −1 ¿2 ¿ = √ x +1 ¿2 ¿ ¿ ¿ ( √ x −2)( √ x+1) −( √ x +2)( √ x+1) ¿ = − √ x ( √ x −1)=√ x − x b Vì A = √ x(1 − √ x ) nên A > ⇔ √ x − x > ⇔ x > và ⇔ < x <1 (thỏa mãn) (4,0 ) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 √x > c Ta có A = √ x − x = ¼ - ( √ x - ½)2 ¼ Từ đó Pmax = ¼ √ x = ½ ⇔ x = ¼ a P = 2a2 + 2b2 – a2c + c – b2c -2 P = 2(a2 + b2) – c(a2 + b2) + c – P = (a2 + b2) (2 – c) – (2 – c) P = (2 – c) ((a2 + b2 -1) 0,5 0,5 0,5 0,5 b Ta có: a5 – = (a-1) (a4 + a3 + a2 +1) Và a > Cho nên: 5(a-1) < a5 -1 < 5a4 (a-1) ⇔ < a4 + a3 + a2 +1 < 5a4 Mặt khác: a > ⇒ a2 > a ⇒ a3 > a2 ⇒ a4 > a3 Cho nên: < a4 + a3 + a2 +1 < 5a4 (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0.5 A (4,0 ) B N O D Kẻ OH // AD, MK // BC (H Vì OD = ON nên OD = DN K H M CD, K C DN) Vì MK // BC và M là trung điểm CD nên K là trung điểm DN 0,5 0,5 0,5 (3) OD = DK Suy 0,5 Mặt khác, vì OH // AD nên: 0,5 DH OA DH = =4 = ⇒ HM OM DM DO DH = Do đó Suy OH // MK DK DM 0,5 0.5 0.5 Mà OH // AD, MK // BC nên AD // BC Tương tự AB // CD, ta có điều phải chứng minh (3,5 ) 1 1− + x − x x √ √ Giải phương trình x = (1) Khi x là nghiệm (1) thì x ≥ (vì VP (1) ≥ 0) Suy điều kiện để VP (1) có nghĩa là x > Từ đó: x ≥ Đặt u = √ 1− ;v= x √ x− x ( u, v ≥ 0) 0,5 Suy u2 – v2 = 1- x hay (u + v)(u - v) = – x Kết hợp với (1) ta được: u – v = Từ đó ta có hệ phương trình: Vì v2 = x − x 0,25 1−x x ¿ u+ v=x 1−x u − v= x ¿{ ¿ nên (3) ⇔ v = ½(x – 0,5 0,5 ¿ x − x+1 u= (2) 2x x + x −1 v= (3) 2x ¿{ ¿ ⇔ x +1) ⇔ v = ½ (v2 + 1) ⇔ (v – 1)2 0,75 0,5 0.5 =0 ⇔ v=1 1+ √ Do đó: x – 1/x = ⇔ x2 – x – = ⇔ x = (vì x ≥ 1) thử lại thỏa mãn (4,5 ) C O H P A B a Chứng minh ∠ HAB = ∠ OPB = ∠ ACB: Dùng tính chất đồng dạng tam giác vuông: HAB, ACB và OPB, suy các trên b Tính AH theo a, b, c: Tìm AH.BC AB.AC = SABC Vậy AH.a = bc, suy : AH = bc/a c Tính SOHAP theo a ,b, c: Theo chứng minh trên ABC ~ HBA nên AB/AC = HB/HA 0.75 0,5 0,5 (4) Suy ra: HB = HA.AB/AC = (bc/a).c / b = c2 / a Tương tự: ABC ~ OBP nên AB/AC = OB/OP Suy ra: OP = AC.OB/AC = b(a/2)/c = ab / 2c Vậy: SOHAP = SOPB – SHAB = ½ (OB.OP – HA.HB) = ½ (a/2.ab/2c – bc/a.c2/a) = ½ (a2b/4c – bc3/a2) Phụ ch: - Nếu học sinh có cách giải khác chính xác, lý luận chặt chẽ hưởng điểm tối đa - Điểm thi không làm tròn 0,5 0,25 0,5 0.25 0,5 0.25 0,25 0.25 (5)