(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp giải và các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường gặp trong chương trình toán THCS

MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lí chọn đề tài ……………………………………………………… .1 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………….1 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………… .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu …………………………………… 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ………………………….….… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …….….… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………………………………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………………… .15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận………………………………………………………………… 15 3.2 Kiến nghị ………………………………………………………………….15 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………16 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Qua nhiều năm giảng dạy môn Tốn trường THCS , chương trình sách giáo khoa khơng đề cập đến nhiều dạng tốn “ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức” kì thi HSG bậc THCS kì thi tuyển sinh vào trường THPT , đặc biệt thi vào trường THPT chuyên thường gặp tốn u cầu tìm GTLN,GTNN biểu thức Vì Tốn cực trị có ý nghĩa em HS THCS.Ở bậc học chưa có lí thuyết đạo hàm nên phải cách giải thơng minh, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với kiến thức toán học bậc THCS HS hiểu Với ý nghĩa vậy, việc hướng dẫn cho em nắm phương pháp giải, dạng điều vô quan trọng Qua thực tế giảng dạy, thân tơi ln cố gắng tìm tịi nghiên cứu tài liệu, tích lũy số kinh nghiệm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Phương pháp giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thường gặp chương trình Tốn THCS” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Thông qua đề tài, giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu, hồn thiện kiến thức chun mơn Từ giúp học sinh giải Tốn cực trị từ dễ đến khó Rèn cho học sinh khả dự đốn , tính sáng tạo , tính tự giác, tích cực 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp giải dạng Tốn tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ thường gặp chương trình Tốn THCS - Nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài - Tổng kết kinh nghiệm giảng dạy học sinh lớp 8,9 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra thực tế học sinh hứng thú học Toán - Điều tra mức độ tiếp thu học sinh - Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, Toán tuổi thơ… - Điều tra, khảo sát, thử nghiệm tổng kết kinh nghiệm dạy giáo viên qua năm giảng dạy NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: * Những kiến thức lí thuyết liên quan đến đề tài: a Giá trị lớn , nhỏ hàm số: Cho hàm số f(x) xác định miền (D) a)M gọi giá trị lớn f(x) miền (D) hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: f(x,y, ) ≤ M ∀(x,y, ) ∈ (D) ∃ (x0, y0, ) ∈ (D) cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) với (x,y, ) ∈ (D) b) M gọi giá trị nhỏ f(x) miền (D) hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: f(x,y, ) ≥ M với ∀(x,y, ) ∈ (D) ∃ (x0, y0, ) ∈ (D) cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) với (x,y, ) ∈ (D) b Các kiến thức cần dùng: b.1 Lũy thừa : a) x2 ≥  ∀x ∈ |R  ⇒ x2k ≥ ∀x ∈ |R, k ∈ z    ⇒ - x2k ≤ Tổng quát : [f (x)]2k ≥  ∀x ∈ |R, k ∈ z ⇒ - [f (x)]2k ≤ Từ suy : [f (x)]2k + m ≥ m ∀x ∈ |R, k ∈ z 2k M - [f (x)]  ≤ M a) √x ≥0 ∀x ≥ ⇒( √x )2k ≥ ∀x≥0 ; k ∈z Tổng quát : ( )2k ≥ ∀ A ≥0 (A biểu thức) b.2 Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a) |x| ≥ ∀ x∈|R b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; dấu "=" xảy ra⇔ x.y ≥ c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; dấu"=" xảy ⇔ x.y ≥ |x| ≥ |y| b.3 Bất đẳng thức côsy: ∀x ≥ ;  i = :    ∀n∈N, n ≥2 Dấu "=" xảy ⇔a1  = a2 = = an b.4 Biểu thứcBunhiacopxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2  ≤ ( Dấu "=" xảy ra⇔ bi = Const  (i = ) Nếu bi = xem = b.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a ≥ : (1+a)n  ≥ 1+na ∀n ∈N Dấu "=" xảy ⇔ a =  Một số bất đẳng thức thường gặp suy từ (A+B) ≥ a a2 + b2 ≥ 2ab b (a + b)2 ≥ 4ab c 2( a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 d e a b + ≥2 b a (ab > ) 1 + ≥ b a a+ b 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua kết khảo sát chất lượng thấy học sinh khơng hứng thú với dạng tốn đặc biệt học sinh biết tiếp cận dạng toán cách thực Chất lượng làm học sinh thấp Đơn vị Lớp 8;9 Hứng thú với Biết cách tiếp dạng toán cận dạng toán Tổng số 150 học sinh 50 học sinh 30 Tỷ số% 100% 33.3 % 20 % Tiềm học sinh mơn tốn chưa khai thác hết Thực tế chương trình Tốn THCS chưa xây dựng hồn chỉnh nội dung phương pháp số dạng Tốn khó, thường mang tính chất giới thiệu chưa sâu Nhiều học sinh lúng túng muốn tìm hiểu thêm tài liệu tham khảo Việc tìm hiểu giáo viên số đề tài chưa tập trung tài liệu cụ thể, làm nhiều thời gian 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3 a Các phương pháp để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, hàm số: 2.3.a.1 Phương pháp bất đẳng thức: 1.Để tìm Max f(x,y, ) miền(D) ta : cho f(x0,y0, ) = M Để tìm Min f(x,y, ) miền D ta : cho f(x0,y0, ) = m Các ví dụ minh họa: Ví dụ1:Tìm giá trị nhỏ A1 = x2 + 4x + Giải 2 Ta có : A1  = x + 4x + = x + 4x + + = (x + 2)2 + ≥ (x + 2)2 ≥0 ⇒ A1 = 1⇔ x + = ⇔ x = -2 Vậy A1 = 1⇔ x = -2 Ví dụ 2: Cho a > b > Tìm GTNN B = a + b(a−b) Giải : 1 b (a−b) Ta có : B1 = a + b(a−b) = b + (a-b) + b(a−b) ≥ b (a−b) (theo Côsi) B1 ≥ ⇒ B1 = ⇔ b = a-b = b(a−b) ⇔ √ {a=2¿¿¿¿ {a=2¿¿¿¿ Vậy : B1 = ⇔ 2.3.a.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Giải : C1 = x + 6x + 13x + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x2 + 3x + = a C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a-3)2 + 8≥ (a-3)2≥ ∀a ⇒C1min  = ⇔ a - = ⇔ a = ⇔ x2 + 3x + = ⇔ Vậy : C1min  = ⇔ {x=−1¿¿¿¿ ( Ví dụ 2: Tìm GTNN C = 2 x y + y x ( ) {x=−1¿¿¿¿ x2 y2 + y2 x2 ) Giải : ( x2 y2 + y2 x2 x y + )+6 ( -5 y x  với x,y> ) Đặt  : = a ≥2  ⇒ = a2 - ⇒ C2 = 2.( a2 - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + Ta thấy : a ≥ ⇒ C2 = 2a2 - 5a + ≥ ⇒ C2min = ⇔a = ⇔  x = y > Vậy : C2min = ⇔ x = y > 2.3.a.3 Phương pháp miền giá trị hàm số: Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số  đã cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng  kiến thức miền giá trị hàm số để giải thấy hiệu  Đường lối chung : Giả sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị (D) Gọi y giá trị f(x) với x ∈(D) Điều có nghĩa phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải phương trình f(x)=y (x biến, coi y0 tham số), điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức sau: m ≤ y ≤M Từ đó⇒ Min f(x) = m với x ∈ D ⇒ Max f(x) = M với x ∈ D Các ví dụ minh hoạ : x + x +6 Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN f(x) = x +2 x+ Gọi y giá trị f(x) Giải : x + x +6 Ta có : y = x +2 x+ ⇔ yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = ⇔ (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (có nghiệm) * Nếu y = ⇒ x = - * Nếu y ≠ ⇒ Δ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) ≥ ⇔ y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y - ≥ ⇔ - 2y2 + 5y + ≥ ⇔ ≤y≤2 Ta thấy : < < Do : f(x) Min = ⇔ x = -3 f(x) Max =  ⇔ x = 2.3.a.4 Phương pháp xét khoảng giá trị: Có nhiều toán ta sử dụng phép biến đổi tương đương, bất đẳng thức phương pháp đổi biến hay biểu thức phụ, chí sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị gặp nhiều khó khăn có khơng thể tìm Những ta biết cách xét khoảng hợp lý (có dự đốn) việc tìm cực trị trở nên đơn giản Các ví dụ minh hoạ : n2 n Ví dụ: Cho m ∈ N*   Tìm giá trị lớn B = Với n = Với n = ta có : B  = ta có : B = Giải : Với n = Với n = ta có : B = 25 ta có : B = 32 < 36 = ta có : B = 64 16 < Với n = Ta dự đoán với n ≥ 5, n ∈ N B < Thật : Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp n2 n a) Giả sử n ≥ 5, n ∈ N ta có B = < (*) Ta cần phải chứng minh công thức (*) với (n+1) nghĩa phải chứng ( n+1 )2 n+1 minh : < 1⇔ (n + 1)2 < 2n+1 (1) n n+1 Từ (*) ta có : n <  ⇔ 2n < (2) Để chứng minh (1) ta chứng minh (n + 1)2  < 2n2 ⇔ n2 + 2n + ⇔ (n - 1)2 - >   (đúng n ≥ 5) n2 n b) Kết luận :  B = < Vậy Bmax =  ⇔ n = ∀ n ≥5, n ∈N* 2.3.a.5 Phương pháp hình học: Trong tốn xét cực trị biểu thức đại số biểu thức dạng tổng hiệu bậc hai tam thức ta đa toán xét cực trị biểu thức đại số sang xét độ dài đoạn thẳng việc chọn điểm có toạ độ thích hợp chứa đoạn thẳng  Lý thuyết cần vận dụng + Nếu A(x1, y1); B (x2, y2) ⇒ AB = + Với điểm M, A, B ta có  : |MA - MB|  ≤ AB ≤ MA + MB  Các ví dụ minh họa |√ x 2−4 x+5−√ x 2−10x+50| Ví dụ 1: Cho f(x) = Hãy tìm giá trị lớn f(x) Giải : 2 |√ ( x−2 ) +1−√ ( x−5 ) +25| Ta có : f(x) = Chọn mặt phẳng toạ độ điểm : A (2,1); B(5, 5); M (x, 0) Ta có : MA = ;MB =  AB = Mặt khác ta có : |MA - MB| ≤ AB hay | |≤5 Vậy giá trị lớn f(x) = điểm M, A, B thẳng hàng Ta lại có phương trình đường thẳng(d) qua A B là : f(x)= cắt Ox M ( ; 0) x− 3  (d) Vậy giá trị lớn f(x) = đạt x =  Các ý quan trọng: a) Muốn tìm cực trị hàm số, ta cần chứng minh bất đẳng thức (f(x) ¿ m; f ( x ) ≤M ) mà phải tồn giá trị cuả biến để xảy dấu đẳng thức b) Có trường hợp biểu thức cho tổng cuả nhiều biểu thức đại số khác, chẳng hạn: A = B + C để tìm cực trị A ta tìm cực trị B C, phải chứng minh B đạt cực trị đồng thời C đạt cực trị (với giá trị biến ) ngược lại c) Khi tìm cực trị biểu thức, có ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị: ⇔ A A lớn (A ¿ 0) ⇔ B2 B lớn (B >0 ) nhỏ lớn 2.3.b Các dạng tập thường gặp: Dạng 1: Đa thức bậc có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức B = Giải: 3x  3x  -4 3x  3x   Suy  nên Với x, ta có -  - Do B = - 3x – =  x = Vậy minB = - x=2 Ví dụ : Tìm GTNN biểu thức sau: A=|x–2|+|x–5| Giải Áp dụng bất đẳng thức : |x| + |y|  | x + y | dấu “ = ” xảy x y  Ta có : A = | x – | + | x – | = | x – | + | – x |  | x + + – x| = Vậy A   (x + 2) (5 – x)  Lập bảng xét dấu: x x–2 + + 5-x + + (x + 2) (5 – x) + - (x + 2) (5 – x)    x  Vậy GTNN A   x  Dạng Đa thức bậc hai: Dạng 2.1 Bài toán tổng quát: Cho tam thức: P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c số, a  ) a) Tìm GTLN, GTNN P a > b) Tìm GTLN, GTNN P a < Giải: b2 b2 b Ta có: P(x) = ax2 + bx + c = a ( x2 + a x + 4a ) - 4a + c  (b  4ac) b 4a = a (x + 2a )2 +  (b  4ac) 4a Đặt =k a) Nếu a > b b Vì (x + 2a ) ≥  a (x + 2a )2 ≥ b Do đó: P(x) ≥ k  MinP = k  x = 2a khơng có GTLN b) Nếu a < b b Vì (x + 2a )2 ≥  a (x + 2a )2 ≤ b Do đó: P(x) ≤ k  MaxP = k  x = 2a khơng có GTNN Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x2 – 6x + Giải: Ta có: A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 –  - Nên minA = - x – = hay x = Vậy minA = -1 x = Với dạng tốn ta hướng dẫn học sinh phân tích để xuất đẳng thức đối tượng học sinh trung bình ta vận dụng tốn tổng quát học sinh thực dễ dàng từ em tự tin thân từ em có hứng thú dạng tốn Dạng 2.2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức đa thức nhiều biến Dạng nhìn thấy đề học sinh thường thấy khó khăn đa thức có nhiều biến khơng biết tiến hành Do giáo viên cần hướng a  b   dẫn học sinh cách chọn biến vận dụng đẳng thức  a  b Bài toán tổng quát: f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b  ) 2 Ta có f(x) = ax + by + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f  1 2 (cy  d )  by  ey  f  x  a (cy  d ) x  4a (cy  d )  =a - 4a    x  2a (cy  d )  m( y  q )  p = …… = a  (cy  d ) y = - q.) Suy GTNN, GTLN f(x,y) ( x = Ví dụ2: Tìm GTNN biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 Giải C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + – y)2 + (y + 1)2 + 10  10  x   y   x  3   y 1    y  1 Nên minC = 10 Vậy minC = 10 x = -3, y = -1 Dạng 3: Đa thức bậc cao: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ1 : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y - 36 ¿ -36 minA = -36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x1 = 1, x2 = Dạng 4: Phân thức: a Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: 2 Ví dụ : Tìm GTNN A = x−5−9 x −2 −2 2 Giải : A = x−5−9 x = x −6 x +5 = (3 x−1) +4 Ta thấy (3x – 1) ¿ nên (3x – 1) +4 ¿ (3x  1)2  4 ¿ 1 b với a, b dấu) theo tính chất a ¿ b a ¿ −2 −2 ¿ ⇒ A ¿ Do (3 x−1) +4 - 1 ⇔ 3x – = ⇔ x = minA = - b Phân thức có mẫu bình phương nhị thức x −8 x+6 x 2−2 x+1 Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm  x  x  1   x  x   A = x2  2x  ( x−2) = + ( x−1) ¿ 10 minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : 3( y  1)2  8( y  1)   y  1 A =   y  1   y2  y   y   y2  y 1  y2  y 1 y  1 y2 2 = - y + y = ( y -1)2 + minA = ⇔ y = ⇔ x – = c Các phân thức dạng khác: ⇔ x=2 3−4 x x +1 Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : x −4 x+4−x 2−1 x +1 3−4 x A = x +1 = Min A= -1 x = 3−4 x Tìm GTLN : A = x +1 = = ( x−2) x +1 -1 ¿ -1 2 x +4−4 x −4 x −1 x 2+ =4- (2 x +1) x2 +1 ¿ −1 Max A= x = Dạng 5: Biểu thức có chứa thức: Ví dụ 1: Cho biểu thức: f ( x)   x   x Tìm giá trị x để f(x) đạt Giá trị lớn Giải : Cách 1: Biểu thức f(x) có nghĩa khi: 2  x   1  x   1  x  2 Trong điều kiện ta có f(x)  nên f(x) đạt GTLN  f  x   đạt GTLN 2 Ta có:  f  x     x   x    x 1  x    2  x  x Do  f  x   Vậy Cách 2: x 9  1  3  x2  x    x  4  2 1 x 0  x  2 đạt GTLN 1   1  2 GTLN biểu thức f (x) = f(x) =  x +  x x 1   1  x    x   Điều kiện để f(x)xác định (*) Với điều kiện (*) f(x)  bình phương vế 11  f  x = x + + - x + ( x  1)(2  x) = + ( x  1)(2  x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm (x + 1) (2 - x) ta có = (x + 1) + (2 – x )  ( x  1)(2  x) Dấu “=” xảy  x + = - x  x = 2 Suy ra:  f  x    f(x)  nên ta Max f(x) = x= Ví dụ : Cho biểu thức: f ( x)  x3 x   Tìm giá trị x để f(x) đạt GTNN Giải x   x     x 1   x  Biểu thức f(x) có nghĩa khi:  f ( x)  Ta biến đổi: ( x   2)( x   2) x 3 x 1    x 1  x 1  x 1  x 1  Do đó: f ( x)  x   nên f  x  đạt GTNN x  đạt GTNN mà x   nên x  đạt GTNN x  Vậy f(x) đạt GTNN x  Dạng 6: Cực trị có điều kiện ( biến bị ràng buộc thêm hệ thức cho trước Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = (sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A) A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A ⇒ x+y =1 x2 + 2xy + y2 = (1) 2 Mà (x – y) ¿ Hay: x - 2xy + y ¿ (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ¿ 1 ⇒ x2 + y ¿ minA = x = y = Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A ta có: 1 A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + 1 minA = x = y = ¿ Cách Sử dụng điều kiện cho để dưa biến Đặt x = + a y = - a Biểu thị x2 + y2 ta : 12 x +y = ( 2 =0 + a) + ( 2 - a) = 2 +2 a ¿ 1 => MinA = a ⇔ ⇔ x=y = Ví dụ :Cho xy + xz + yz = Tìm GTNN B = x4 + y4 + z4 Giải : Do xy + xz + yz = ⇒ 16 = (xy + xz + yz)2≤ (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (Theo Bunhiacôpxki) ⇔ 16 ≤ (x2+y2+z2)2≤ (x4 + y4 + z4) (12+12+12) √3 16 16 4 ⇒ B3 = x + y + z ≥  ⇒ B3min = ⇔ x = y = z = ± √3 16 Vậy : B3min = ⇔ x = y = z = ± Ví dụ 3: Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải : Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: ( 2x + 3y ) ¿ ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ¿ 13.13.4 ⇒ 2x + 3y ¿ 2 x  y  26 Vậy maxA = 26 ⇔ 2 x  y  3x Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y ¿ Với x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ¿ Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = * Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau - Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang ⇒ * Một số sai lầm thường gặp giải toán cực trị : Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khác Ví dụ 1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : A=  x y Giải sai 4   , xy (1) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x y ta có: x y x y   xy Lại có: (2 ) 13 4    8 x y xy Vậy Min A = A= Từ (1) (2) suy : Phân tích sai lầm:   4x  y Đẳng thức xảy (1) x y Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến kết luận khơng có giá trị nhỏ kết luận sai 1 4 4x y A =  x+y        x y y x   Giải đúng: Vì x + y = nên 4x y , Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số khơng âm y x Ta có :   4x y x    y  2x    y x    4x y 4x y x  y  x  y   y   2 4  y x y x  Dấu “=” xảy Sai lầm khơng sử dụng hết điều kiện tốn: Ví dụ 2: cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : 1  1  A =  x+    y   y  x  Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm Ta có: x+ x 1  x  x x (1) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y+ x, y, y 1  y  y y Ta có: (2)  Từ (1) (2) =>A => Min A =  x  x2  x Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1)  y  y2  Đẳng thức sảy (2) y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y 1  xy  xy   xy  2 2 1 1 1 A = + x +y    +   x y 2     Khi đó: x + y = (x + y) – 2xy  - = (1) Ta có : 2 14 1 25  2 2  8 x y x y xy (2) Từ (1) (2) =>A  + +4 = 25 =>Min A = x=y = Sai lầm chứng minh điều kiện 1: A= x  x  17 Ví dụ 3:: Tìm GTLN bt: Lời giải sai: A đạt Max x  x  17 đạt Min Ta có : x  x  17   x  3   x Do Min   x  17    x  Vậy Max A =  x  Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử khơng đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương x  x  17   x  3   Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét A dương Sai lầm chứng minh điều kiện nên tử mẫu Ví dụ 4: Tìm GTNN bt: A = x + x Lời giải sai : x + x = Vậy: Min A =   x Phân tích sai lầm: Sau chứng minh f(x)  xảy f(x)=   1  1 1 +2 x     x      4  2 4 x   chưa trường hợp (vơ lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x x  : A = x + x  => Min A =  x  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường : Sau đưa tốn hướng dẫn cho học sinh, tơi khảo sát thu lại kết sau: Đơn vị Lớp 8;9 Hứng thú với Biết cách tiếp dạng toán cận dạng toán Tổng số 150 học sinh 100 học sinh 80 Tỷ số% 100% 66,6 % 53.3% Qua bảng bảng khảo sát ban đầu ta thấy chất lượng học sinh tăng lên cách rõ rệt: Hứng thú với dạng toán: tăng từ 50 HS lên 100 HS ( 33,3% lên 66.6%) Biết cách tiếp cận dạng toán: tăng từ 30HS lên 80HS ( 20% lên 53.3%) 15 Thông qua bảng số liệu cho thấy sáng kiến có tính ứng dụng mang lại hiệu cho việc học tập học sinh KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ : 3.1 Kết luận: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn THCS nói chung Tốn , nói riêng tơi nhận thấy dạng Tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng Tốn hay, khó, phổ biến thường xuất nhiều đề thi HSG Vì tơi tìm tịi nghiên cứu đưa số phương pháp hướng dẫn cho học sinh tiếp cận dạng toán này.Tôi nhận thấy học sinh ứng thú học tập hiệu Qua việc nghiên cứu đề tài giúp thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu Ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học , tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng, để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi sai sót hạn chế mong chia sẻ thơng cảm q bạn đọc, mong góp ý chân thành đồng nghiệp để đề tài ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 3.2  Kiến nghị : Sau ứng dụng đề tài để dạy học lớp 8,9 thấy phần lớn em trở nên hứng thú với dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Và nhiều em sâu tìm hiểu say mê với mơn Tốn Vì tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp nhà quản lý giáo dục để đề tài hoàn thiện hơn, để phổ biến rộng rãi cho đồng nghiệp tỉnh nước Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết khơng chép nội dung người khác Xác nhận thủ trưởng đơn vị  Thanh Hóa, ngày / / 2018 Người viết Nguyễn Thị Huyền 16 Tài liệu tham khảo Toán nâng cao chuyên đề đại số NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục 225 toán chọn lọc Đại số NXB Đại học quốc gia Một số tạp chí tốn học tuổi thơ NXB Giáo Dục Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ NXB Giáo Dục Thực hành giải toán NXB Giáo Dục Một số đề thi học sinh giỏi 17 ... nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ? ?Phương pháp giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thường gặp chương trình Tốn THCS? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu: Thơng qua đề tài, giúp giáo viên... dạng Tốn tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ thường gặp chương trình Toán THCS - Nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài - Tổng kết kinh nghiệm giảng dạy học sinh lớp 8,9 1.4 Phương pháp. .. Việc tìm hiểu giáo viên số đề tài chưa tập trung tài liệu cụ thể, làm nhiều thời gian 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3 a Các phương pháp để giải toán tìm giá trị