M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất ... Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng d[r]
(1)ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2x 4x2 2 x x 3x A ( ):( ) 2 x x 2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z 0 1 1 Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c b) Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 (2) Bài 2: a 5,0 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 x 0 2 x 0 x x 0 2 x x3 0 x 0 x 2 x 3 1,0 x 4x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x ) A ( ):( ) x x x x x3 (2 x )(2 x ) x ( x 3) x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x ( x 2) x (2 x ) 4x2 (2 x)(2 x)( x 3) x 0,25 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì 1,0 A 4x x 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A 4x 0 x x 30 x 3(TMDKXD) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Vậy với x > thì A > c x 4 x 4 x x 11(TMDKXD ) x 3( KTMDKXD ) 0,5 0,25 121 Với x = 11 thì A = 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 2 Do : ( x 1) 0; ( y 3) 0;( z 1) 0 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 (3) x y z x y z 1 ( ) 1 a b c a b c Ta có : 0,5 x2 y2 z xy xz yz 2( ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y z 1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D K a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành b Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD b, 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,25 0,25 CF AH CD AC 0,25 CF AH AB AH CF AC AB AC Mà : CD = AB Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,5 0,25 (4) ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích các đa thức sau thừa số: x4 x x x x 24 b Giải phương trình: x 30x 31x 30 a b c a2 b2 c2 1 0 c Cho b c c a a b Chứng minh rằng: b c c a a b Câu2 10 x x A :x x 2 x x x 2 Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm các giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vuông ABCD, M là điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 1 9 a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c b Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án 4 Điểm a x + = x + 4x + - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x 30x 31x 30 <=> x x x 5 x 6 Vì x2 - x + = (x - )2 + > x (*) <=> (x - 5)(x + 6) = (2 điểm) (2 điểm) (*) (5) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP x 0 x 5 x 0 x a b c 1 c Nhân vế của: b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm) Câu (6 điểm) 10 x x A : x x 2 x x2 x2 Biểu thức: 1 A x a Rút gọn kq: 1 1 x x x 2 b 4 A c A x 1 AZ Z x 1;3 x d A (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) AE FM DF AED DFC đpcm b DE, BF, CM là ba đường cao EFC đpcm a Chứng minh: (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi Câu 4: (2 điểm) S AEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm BD b c 1 a 1 a a a c 1 1 b b b a b 1 c 1 c c a Từ: a + b + c = (1 điểm) (1 điểm) (6) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 9 Dấu xảy a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hoÆc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hoÆc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hoÆc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) §Ò thi SỐ 3 C©u : (2 ®iÓm) Cho P= a − a −a+ a − a +14 a− a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên C©u : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho b) Tìm các giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u : (2 ®iÓm) 1 1 + + = 18 x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 b) Cho a , b , c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : A= a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c C©u : (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi C©u : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi C©u : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 3 a -7a + 14a - =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) - 7a( a-2 ) (7) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a 1; a≠ ; a ≠ Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a+1 a− 0,25 a− 2+3 =1+ a−2 a −2 ; ta thÊy P nguyªn a-2 lµ íc cña 3, mµ ¦(3)= { −1 ; 1; − ;3 } 0,25 Từ đó tìm đợc a { −1 ; ; } C©u : (2®) a)(1®) Gäi sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [( a2 +2 ab+b2 )− ab ] = a+b ¿ − ab ¿ ¿ V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; =(a+b) 0,5 a+b ¿ − ab Do vËy (a+b) chia hÕt cho ¿ ¿ b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 Do đó Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ đó ta tìm đợc x=0 x=-5 thì Min P=-36 C©u : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x ≠ − ; x ≠ −5 ; x ≠ − ; x ≠ −7 Ph¬ng tr×nh trë thµnh : ¿ 1 1 + + = (x+ 4)( x +5) ( x+5)( x +6) ( x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 − + − + − = x + x +5 x +5 x +6 x+ x +7 18 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1 − = x + x +7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 0,25 0,25 y+z x+ z x+ y ; ; b= ; c= 2 y+z x+z x+ y y x x z y z Thay vào ta đợc A= + + = ( + )+( + )+( + ) 2x y 2z x y z x z y Từ đó suy A (2+2+2) hay A Từ đó suy a= [ 0,5 ] 0,25 0,25 (8) C©u : (3 ®) a) (1®) Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^ M =600 nªn ta cã V× Suy : ^ M 3=1200 − ^ M1 Δ BMD BD CM = BM CE V× BM=CM= BC b) (1®) Tõ (1) suy Chøng minh Từ đó suy y A ^ D 1= ^ M3 Chøng minh Suy ^ ^1 D1=120 − M ∾ Δ CEM (1) x , từ đó BD.CE=BM.CM D , nªn ta cã BD MD = CM EM 0,5 E BD.CE= BC B 2 C M 0,5 mµ BM=CM nªn ta cã BD MD = BM EM Δ BMD ∾ Δ MED ^ D 1= ^ D , đó DM là tia phân giác góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn C©u : (1®) Gọi các cạnh tam giác vuông là x , y , z ; đó cạnh huyền là z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm đợc các giá trị x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a a 15 Câu 2( đ): Với giá trị nào a và b thì đa thức: x a x 10 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 (9) phân tích thành tích đa thức bậc có các hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 3x ax b chia hết cho đa thức B ( x) x x Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB và phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P 1 1 1 2 1002 Đáp án và biểu điểm Câu 2đ Đáp án A a 1 a 3 a a 15 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a 8a a 8a 15 15 a a a 2 8a 22 a 8a 120 8a 11 8a 12 a a a a 2đ Biểu điểm Giả sử: 8a 10 8a 10 x a x 10 x m x n ; (m, n Z ) x a 10 x 10a x m n x mn m n a 10 m n 10 a 1 Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + mn 10m 10n 100 1 m(n 10) 10n 10) 1 1đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ m 10 1 v m 10 vì m,n nguyên ta có: n 101 n 10 suy a = 12 a =8 Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + a 30 3 ba Để A( x )B ( x ) thì b 40 0,5 đ 0,5 đ (10) 3đ 0,25 đ 2đ Tứ giác ADHE là hình vuông Hx là phân giác góc AHB ; Hy phân giác góc AHC mà AHB và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH = 900 Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1) AHD AHB 90 450 2 AHE AHC 90 450 2 Do AHD AHE Hay HA là phân giác DHE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông 1 1 P 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 ĐỀ THI SỐ Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ (11) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x 2680 x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F là hình chiếu vuông góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF a) Chứng minh rằng: BDF BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Một lời giải: Bài 1: a) x y z x y3 z3 (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = = y z x y z x y z x x y z y yz z y z 3x 3xy 3yz 3zx = =3 y z x x y z x y = x y y z z x b) x + 2010x = x + 2009x + 2010 = x 2010x 2010x 2010 x x 1 x x 1 2010 x x 1 Bài 2: x = x 1 x x 2010 (12) x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 3: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a 19 a a 19 2 49 a 1 a 1 a a 3a 3a 49 49a 49a 49 57a 57a 19 8a 8a 30 0 a 2 a 2 2a 1 0 2a 3 2a 0 (thoả ĐK) 4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm Bài 4: 2010x 2680 A x2 1 335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3) 335 335 2 x x = Vậy giá trị nhỏ A là – 335 x = – Bài 5: o a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E A F 90 ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD C F D (13) 3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ D là hình chiếu vuông góc A lên BC Bài 6: a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF Ta có BAC 180 (*) Qua D, E, F kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt O Suy O là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF A OED ODF 90o (1) OFD E F o Ta có OFD OED ODF 270 (2) O o (1) & (2) 180 (**) (*) & (**) BAC BDF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: C B , s D C AEF s DBF s DEC ABC B 5BF 5BF 5BF BD BA BF BC 8 BD BD BD 7CE 7CE 7CE CD CA CD CD CD 8 CE CB AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC CD BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x −17 x −21 x+ b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác và x + y + z =0 Tính giá trị biểu thức: A= yz xz xy + + 2 x + yz y +2 xz z +2 xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm (14) HA ' HB' HC ' a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM c) Tam giác ABC nào thì biểu thức AB+ BC+CA ¿2 ¿ đạt giá trị nhỏ nhất? Ơ¿ ¿ ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 + + =0 x y z ⇒ xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A= (x − y )( x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ (0,25điểm) abcd=k (a+1)(b+ 3)( c+5)( d+ 3)=m abcd=k abcd +1353=m ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 với k, m N, 31<k <m<100 (0,25điểm) (0,25điểm) ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận đúng abcd = 3136 Bài (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) (0,25điểm) ⇒ (0,25điểm) (0,25điểm) (15) HA ' BC S HBC HA ' = a) S = ; AA ' ABC AA ' BC S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC S S S HA ' HB' HC ' + + = HBC + HAB + HAC =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM=BN IC AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) AB+ BC+CA ¿2 ¿ ⇔ (0,25điểm) Ơ¿ ¿ Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ Bài (4 điểm) Cho biểu thức A = ( 1− x 1−x −x : 1−x − x − x 2+ x ) với x khác -1 và a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x ¿ −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 a b b c c a Cho 4. a b c ab ac bc Chứng minh a=b=c Bài (3 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình (16) Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị thì phân số nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − a3 +3 a2 −4 a+5 Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a, Chứng minh OM = ON 1 b, Chứng minh AB + CD =MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 và thì : 0,5đ (1 − x )(1+ x) − x − x+ x2 : 1−x (1+ x )(1 − x+ x2 )− x (1+ x) (1− x)(1+ x + x − x) (1 − x )(1+ x) : 1− x (1+ x )(1− x + x 2) (1+x 2) : (1− x) (1+ x )(1 − x) A= = = = b, (1 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ − ¿2 0,25đ Tại x = −1 = − thì A = 1+¿ − −(− ) [ ] ¿ 25 )(1 ) = 34 272 ¿ = =10 27 27 0,25đ (1 0,5đ c, (1điểm) Với x khác -1 và thì A<0 và (1+ x 2)(1 − x)< (1) Vì 1+ x 2> với x nên (1) xảy và 1− x< ⇔ x >1 KL 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 2 2 0,5đ 2 2 a +b −2 ab+ b +c − bc+ c + a + 2ac=4 a + b + c − ab −4 ac − bc Biến đổi để có (a2 +b − 2ac )+(b2 + c2 −2 bc)+(a 2+ c2 −2 ac)=0 0,5đ (17) a − c ¿2=0 Biến đổi để có b −c ¿2 +¿ (*) a− b ¿ +¿ ¿ a −b ¿ ≥ b − c ¿2 ≥ ; a − c ¿2 ≥ ; với a, b, c Vì ; ¿ ¿ ¿ 2 a −b ¿ =0 ; b − c ¿ =0 và nên (*) xảy và ¿ ¿ Từ đó suy a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ a − c ¿ =0 ; ¿ 0,5đ Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần tìm là x+11 Phân số 0,5đ x cần tìm là x +11 (x là số nguyên khác -11) x−7 Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số x +15 (x khác -15) 0,5đ Theo bài ta có phương trình x +11 = x − Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) 0,5đ x x +15 1đ 0,5đ Từ đó tìm phân số − Bài (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a2 (a2+ 2) −2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 a −1 ¿2+3 = (a2 +2)(a −2 a+1)+3=(a 2+ 2)¿ 0,5đ a −1 ¿2 ≥0 ∀ a a −1 ¿ ≥0 ∀ a Vì a +2>0 và nên ¿ (a 2+2)¿ Dấu = xảy và a −1=0 ⇔ a=1 ∀a đó a −1 ¿2 +3 ≥ ∀ a ( a2 +2)¿ 0,5đ 0,25đ 0,25đ KL Bài (3 điểm) B N M A D I a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh AN=MI, từ đó suy tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm) C 0,5đ 0,5đ (18) 0,5đ √3 √3 cm ; BD = 2AD = cm 3 √3 cm AM = BD=¿ √3 cm Tính NI = AM = √3 √3 DC=¿ cm , MN = cm DC = BC = 3 √3 cm Tính AI = Tính AD = 0,5đ 0,5đ 0,5đ B A Bài (5 điểm) M O N C D a, (1,5 điểm) OM OD Lập luận để có AB = BD OD , ON OC = AB AC 0,5đ OC 0,5đ Lập luận để có DB =AC OM ON = AB AB ⇒ ⇒ 0,5đ OM = ON b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = (1), xét Δ ADC để có DC = AD (2) AB AD 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB + CD )=1 1 1 từ đó có (OM + ON) ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC S AOB S DOC =S BOC S AOD = = =¿ ⇒ ⇒ , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh S AOD =S BOC S AOD ¿ ⇒ S AOB S DOC =¿ Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Xét Δ ABD để có Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) ĐỀ SỐ Bài 1: a (b c ) b2 c2 a 2 2bc Cho x = ; y = (b c) a 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (19) Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: b 1 a, a b x = a + + x (x là ẩn số) (b c )(1 a )2 (c a )(1 b) (a b)(1 c ) x a2 x b2 x c2 b, + + =0 (a,b,c là số và đôi khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x 1) a b 3 ( x 1) = ( x 1) + ( x 1)2 Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên Bài 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) 1 x A 1 : x x 2x x x x Cho biểu thức: a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2 Bài (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, đó b và c là các số nguyên Biết đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 chia hết cho P(x) Tính P(1) Bài (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I là trung điểm AB và CD Nối D với E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Gọi G là giao điểm DK và EM a/ Tính số đo góc DBK b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên đường thẳng Bài (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k là các số nguyên tố lớn 3, thì k chia hết cho (20) ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (3 điểm) x2 1 A : x x 3x 27 3x Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị nào x thì A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a) 3y 2+ x −3 x : ( x2 27 − x ) 6 x x 3x 1 x 3 2 b) Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy và ô tô cùng từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD) Chứng minh: a) BD // MN b) BD và MN cắt K nằm trên AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + là số chính phương ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) N 3x y 4xy 2 a) Cho x 2xy 2y 2x 6y 13 0 Tính b) Nếu a, b, c là các số dương đôi khác thì giá trị đa thức sau là số A a b3 c3 3abc dương: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh a + b + c = thì: a b a b b c c a c A 9 a b a b b c c a c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định là 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc kém vận tốc dự định là km/h (21) Tính thời gian ô tô trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I là trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) x 3x y Tìm nghiệm nguyên phương trình: ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = và a2 + b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 x2 y z x2 y z 2 2 2 Biết x,y,z thoả mãn: a b c = a + b + c Bài 3: 1 a, Cho a,b > 0, CMR: a + b a b b, Cho a,b,c,d > a d d b b c c a CMR: d b + b c + c a + a d Bài 4: x xy y 2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x xy y với x,y > x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x 1995) với x > Bài 5: a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho ABC M là điểm miền ABC D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B là hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ ĐỀ SỐ 13 (22) Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a+b ¿ 2( a −b) c +a ¿ 2(c − a)+ c ¿ b+ c ¿2 (b − c)+b ¿ a¿ 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác và a + b + c =0 Rút gọn biểu thức: N= 1 + + a +2 bc b + 2ca c +2 ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 M =x + y − xy − x+ y+1 y − 5,5 ¿ −1=0 b) Giải phương trình: y − 4,5 ¿ +¿ ¿ Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người đó gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B và gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF và vuông góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 +5 y 2=345 §Ề SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x √ x - 3x + √ x -2 với x Bài : (1,5điểm) Cho abc = Rút gọn biểu thức: A= a b 2c + + ab+a+2 bc +b+1 ac+2 c+ Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b Tính: P= ab 2 a −b Bài : (3điểm) (23) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M bất kì cho BM CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E và song song với AB cắt AC F Gọi N là điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện ABC AEMF là hình vuông Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 §Ò SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) 3 3 a) Phân tích thành thừa số: a+b +c ¿ −¿ a −b − c b) Rút gọn: x − x2 −12 x+ 45 x − 19 x2 +33 x − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: 2 n −7 ¿ −36 n A=n ¿ chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng Nếu làm mình thì máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 và máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó dùng đến máy bơm B Tính xem bao lâu thì giếng 2 x+ a−x −2 a=3 a b) Giải phương trình: (a là số) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By các điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC và INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh số: 224 99 ⏟ 00 09 ⏟ là số chính phương ( n ≥2 ) n-2 sè n sè Đề SỐ 16: Câu : (2điểm) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : (4iểm) Định a và b để đa thức A = x – x3 + ax2 + bx + là bình phương đa thức khác (24) Câu : ( điểm ) Cho biểu thức : P= ( x 10 − x + + : x − 2+ x +2 x − x −3 x x+ )( a) Rút gọn p ) b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị nào x thì p = d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên Câu : ( điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( điểm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N là các điểm chuyển động trên hai cạnh BC và AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ đề SỐ 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: x x 2 x 2008x 2007 x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: x 3x x 0 2 1 1 x x x x x x x x x Bµi 3: (2®iÓm) CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)( 1 + + ¿≥9 a b c x x x x 2008 T×m sè d phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a thøc x 10 x 21 Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trªn tia HC lÊy ®iÓm D cho HD = HA §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM c¾t BC t¹i G Chøng minh: GB HD BC AH HC (25) Bµi C©u 1.1 Néi dung (0,75 ®iÓm) §iÓm 2,0 (26) x 1 x 0.5 x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 0,25 x x x x x x x 1 x 1 1.2 (1,25 ®iÓm) x x 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 2 2 0,25 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 2 2 0,25 2,0 2.1 x x x 0 + NÕu x 1 : (1) + NÕu x : (1) (1) x 1 0 x 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1 ) x x 0 x x x 1 0 x 1 x 3 0 0,5 x 1; x 3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm nhÊt lµ x 1 2.2 2 0,5 1 1 x x x x x x x x x (2) x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: (2) 1 x x2 x2 x x x 1 x x x 0,25 1 2 x x x x 16 x x x 0 hay x vµ x 0 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x 0,5 0,25 2.0 3.1 3.2 Ta cã: 1 a a b b c c A= (a+ b+c )( + + )=1+ + + +1+ + + +1 a b c b c a c a b a b a c c b = 3+( + )+( + )+( + ) b a c a b c x y Mµ: + ≥ (B§T C«-Si) y x Do đó A 3+2+2+2=9 Vậy A Ta cã: P ( x ) x x x x 2008 0,5 0,5 x 10 x 16 x 10 x 24 2008 Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P( x) t 5 t 3 2008 t 2t 1993 Do đó chia t 2t 1993 cho t ta có số d là 1993 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung CD CA CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) 0,5 0,5 4,0 1,0 0,5 (27) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 135 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt) Nên AEB 45 đó tam giác ABE vuông cân A Suy ra: 4.2 4.3 BE AB m BM BE AD Ta cã: BC BC AC (do BEC ADC ) mµ AD AH (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM AD AH BH BH AB BE (do ABH CBA ) nªn BC AC AC 0 Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135 AHM 45 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC GB AB AB ED AH HD ABC DEC ED // AH HC HC Suy ra: GC AC , mµ AC DC GB HD GB HD GB HD GB GC HD HC BC AH HC Do đó: GC HC Phßng GD & §T huyÖn Thêng TÝn Trêng THCS V¨n Tù Gv: Bïi ThÞ Thu HiÒn đề SỐ 18 đề bài: Bµi 1( ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2x 2x 21 x x 1 : 2 x 12 x 13 x x 20 x x x P= a) Rót gän P x b) TÝnh gi¸ trÞ cña P c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15 x 12 x 3x a) x x b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 x 5 c) Bµi 3( ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (28) Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định ngời đó Bµi (7 ®iÓm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng điểm C qua P a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P PD d) Gi¶ sö CP BD vµ CP = 2,4 cm, PB 16 TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng Chøng minh r»ng: 1 x2 y xy иp ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5® 3 x ; x ; x ; x ; x 4 2 §iÒu kiÖn: 2x a) Rót gän P = x x b) 0,5® 2® 1 x x hoÆc 2 1 …P= +) 1 x …P = +) 2x 1 x c) P = x = x Ta cã: 1® 1 Z Z VËy P Z x x–5 ¦(2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 x – = -1 x–5=1 x = (TM§K) x = (KTM§K) x = (TM§K) (29) x–5=2 KL: x x = (TM§K) {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn 1® 2x 1 x d) P = x = 0,25® Ta cã: > x §Ó P > th× >0 Víi x > th× P > Bµi 2: a) x–5>0 x>5 0,5® 0,25 15 x 12 x 3x x 3x 15 x 12 x x x x 1 §K: x 4; x 1 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) … 3x.(x + 4) = 3x = hoÆc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K) S = { 0} 1® 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 b) 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 0 23 21 19 25 1 1 (123 – x) 25 23 21 19 = 1 Do 25 23 21 19 > Nªn 123 – x = => x = 123 S = {123} 1® x 5 c) Ta cã: x 0x => x 3 >0 x 3 x 3 nªn PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng: x 5 (30) x =5–3 x =2 +) x - = => x = +) x - = -2 => x = S = {0;4} Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x (km / h) 10 3 1® 0,25® h h ’ (3 20 = ) 0,25® VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y t¨ng lªn km/h lµ: 3x km / h 10 0,25® Theo đề bài ta có phơng trình: 3x x 10 0,5® 0,5® 0,25® x =150 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 3.150 45 km / h 10 Vận tốc dự định là: Bµi 4(7®) Vẽ hình, ghi GT, KL đúng D 0,5® C P M F I E A O B a) Gäi O lµ giao ®iÓm ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM AM//PO tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang 1® b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, đó EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng 1® (31) c) MAF DBA g g MF AD nên FA AB không đổi (1®) PD PB PD k PD 9k , PB 16k 16 d) NÕu PB 16 th× CBD DCP g g NÕu CP BD th× đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 đó BC = (cm) CD = (cm) CP PB PD CP 0,5d 0,5® 0,5® Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm 1 1 y2 xy b) x 1® 1® (1) 1 1 0 2 x xy y xy x y x y x y 0 2 x xy y xy y x xy 1 0 2 x y xy V× x 1; y 1 => xy 1 => xy 0 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy x = y) ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – và B = 2x – c) Cho x + y = và x y 0 Chứng minh 2 x y x y 2 0 y x x y 3 1® (32) Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x+1 x +2 x +3 x+ x+5 x +6 + + = + + b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) b) (0,75đ) Xét x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x 7x 5x B 2x 2x (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Với x Z thì A B x Z ( 2x – 3) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; thì A B (0,25đ) (0,25đ) x y x x y4 y 3 3 c) (1,5đ) Biến đổi y x = (y 1)(x 1) x y4 (x y) 2 = xy(y y 1)(x x 1) ( x + y = y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) x y x y x y2 (x y) 2 2 2 = xy(x y y x y yx xy y x x 1) (0,25đ) y 1) xy x y xy(x y) x y xy x y (x = x y (x (0,25đ) x y y) x y x(x 1) y(y 1) xy x y (x y) 2 xy(x y 3) = = x y x( y) y( x) x y ( 2xy) 2 xy(x y 3) = = xy(x y 3) = 2 2(x y) x y Suy điều cần chứng minh (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = * x2 + x = - vô nghiệm vì x2 + x + > với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (33) b) (1,75đ) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ ( x 1 x 2 x 3 x4 x 5 x 6 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +2009 x +2009 x +2009 x+ 2009 x+ 2009 x+ 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ (0,25đ) 1 1 1 (x+ 2009)( + + − − − )=0 (0,5đ) Vì 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ 1 1 2008 2005 ; 2007 2004 ; 1 2006 2003 Do đó : 1 1 1 + + − − − <0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = ⇔ x = -2009 E I Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) B EDF vuông cân ADE = CDF (c.g.c) EDF cân D ˆ ˆ Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) E1 F2 C F Chứng minh Ta có O ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà E1 E F1 = 900 F2 E F1 = 900 A 900 Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD Mà EDF vuông cân DI = EF Tương tự BI = EF DI = BI I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D EDF = Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) B D C A Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 a2 a2 a2 = 2(x – )2 + a Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = a BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ E (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (34) 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) AB2 AB AB2 AB2 AB AB2 = – (AD2 – 2 AD + ) + = – (AD – )2 + (0,25đ) AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi Do đó SBDEC = AB2 D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: x − 16 A = x x +2 Bµi 3: Cho ph©n thøc: x+5 x 2+ x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức x+ 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x −2 − x = x(x −2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đó đã hoàn thành tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn bao nhiªu ngµy Bài 6: Cho ∆ ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH và trung tuyÕn AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n BiÓu ®iÓm §¸p ¸n Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 ®iÓm) (35) Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A= x − 16 ¿ x ¿2 −4 ¿ ¿ x¿ x¿ ¿ Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) vµ x + ⇔ 2x vµ x -1 ⇔ x b) Rót gän: 0 (1 ®iÓm) 5(x +1) x+5 = = (0,5 ®iÓm) 2 x + x x (x +1) x 5 =1⇔ 5=2 x ⇔ x= (0,25 ®iÓm) 2x V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn Bài 4: a) Điều kiện xác định: x - Gi¶i: x ( x +2)- (x- 2) = x ( x −2) x ( x − 2) 0; x x= (0,25 ®iÓm) ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2; 1® ⇔ x= (lo¹i) hoÆc x = - VËy S = { −1 } b) ⇔ x2 – < x2 + 4x + ⇔ x2 – x2 – 4x < + ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > Vậy số ngày tổ đã thực là: x- (ngày) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo đề bài ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 ⇔ x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc) b) ¸p dông pitago ∆ vu«ng ABC ta cã : BC = √ AB2 + AC2 = √ 152+ 202 = √ 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn HB = HA =BA hay HB =HA =15 20 05 =12 (cm) 25 15 15 =9 (cm) 25 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1® 1® ⇒ AH = BH = 1® (36) HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) c) HM = BM – BH = BC − BH=25 −9=3,5(cm) SAHM = 2 AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 - Vẽ đúng hình: 1® A 1® B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x −17 x −21 x+ b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác và x + y + z =0 Tính giá trị biểu thức: A= yz xz xy + + 2 x + yz y +2 xz z +2 xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA ' HB' HC ' a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM c) Chứng minh rằng: AB+ BC+CA ¿2 ¿ Ơ¿ ¿ ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = Bài 2(1,5 điểm): ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) (37) 1 + + =0 x y z ⇒ xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A= (x − y )( x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: ( 0,5 điểm ) N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ abcd=k 2 (a+1)(b+ 3)( c+5)( d+ 3)=m abcd=k abcd +1353=m2 ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 với k, m (0,25điểm) N, 31<k <m<100 (0,25điểm) (0,25điểm) ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) ⇒ (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) HA ' BC S HBC HA ' = = a) S ; AA ' ABC AA ' BC S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC S S S HA ' HB' HC ' + + = HBC + HAB + HAC =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM=BN IC AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (38) - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (0,25điểm) (0,25điểm) (AB+BC+AC) 2 ⇔ AB+ BC+CA ¿ ¿ Ơ¿ ¿ (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều) §Ò SỐ 22 C©u 1: (5®iÓm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè b, B = n +3 n +22 n +6 n −2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn n +2 c, C©u 2: (5®iÓm) a, b, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng (n 2) Chøng minh r»ng : a b c + + =1 biÕt abc=1 ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1 Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c c b a + + ≥ + + b2 c a2 b a c c, C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x −214 x − 132 x −54 a, + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 c, x -y +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), là giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: + = AB CD EF c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam gi¸c DEF C©u Néi dung bµi gi¶i a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A là số nguyên tố thì n-1=1 ⇔ n=2 đó A=5 §iÓ m 0,5 0,5 (39) b, (2®iÓm) B=n2+3n- n +2 ⇔ ⋮ n2+2 0,5 B cã gi¸ trÞ nguyªn n2+2 lµ íc tù nhiªn cña C©u n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [ ( n2 − ) +5 ] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ n(n-1)(n+1 ⋮ VËy D chia d Do đó số D có tận cùng là 7nên D không phải số chính ph¬ng Vậy không có giá trị nào n để D là số chính phơng a b c a, (1®iÓm) + + =¿ ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1 ac abc c + + abc+ ac+c abc +abc+ ac ac+c +1 abc c abc+ ac+1 = ac + + = =1 1+ ac+c c +1+ac ac+c +1 abc+ ac+1 b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) C©u ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× (5®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) 4 Tõ (1)vµ(2) ⇒ a +b +c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2®iÓm) x=y áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 a2 b2 a b a ; + ≥ =2 b c c b c c b2 c b b + ≥ =2 a c a a c 2xy DÊu b»ng a2 c a c c ; + ≥ =2 b a b b a 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có: 2( 2 a b c a c b + + ) ≥2( + + ) c b a b c a ⇔ ⇔ ( 2 a b c a c b + 2+ 2≥ + + b c a c b a x −214 x − 132 x −54 + + =6 86 84 82 x −214 x − 132 x − 54 ( −1)+( −2)+( − 3)=0 86 84 82 x −300 x −300 x −300 + + =0 86 84 82 a, (2®iÓm) ⇔ (x-300) ⇒ 1 + + =0 86 84 82 ) ⇔ x-300=0 1,0 0,5 0,5 ⇔ x=300 VËy S = 0,5 { 300 } (40) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 C©u b, (2®iÓm) (5®iÓm) ⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 ⇔ k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; −1 ; x= ⇒ x= Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm VËy S = { c, (1®iÓm) −1 , 0,5 0,5 0,5 0,5 } 0,5 x -y +2x-4y-10 = ⇔ (x +2x+1)-(y +4y+4)-7=0 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn 2 2 ⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 d¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 y=1 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S CBA A B (cùng đáy và cùng đờng cao) ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O Hay SAOD = SBOC E F 0,5 0,5 I N M C D EO AO C©u b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒ DC =AC MÆt kh¸c AB//DC (5®iÓm) AB AO AB AO AB AO EO AB = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ DC OC AB+BC AO+OC AB+BC AC EF AB AB+ DC 1 = ⇒ = ⇒ + = DC AB+ DC AB DC EF DC AB EF DC AB+DC c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ đờng thẳng KN là đờng thẳng phải dựng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 (41)