Phần mềm casyopee và dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Thúy Vân Phần mềm Casyopee dạy học khái niệm hàm số mơi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN MÃ SỐ : 60.14.10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN : TS NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài câu hỏi xuất phát * Ghi nhận “Khái niệm hàm số khái niệm then chốt tồn tốn học” Trích Giải tích tốn học ngun lý tính tốn thực hành (tập một), Đinh Thế Lục - Phạm Huy Điển - Tạ Duy Phượng - Nguyễn Xuân Tấn ,NXB Giáo dục 1998: “[…]Trong thực tế ta thường kết hợp ba phương pháp để mô tả hàm số Biểu thức giải tích cho phép ta nghiên cứu tính chất định tính, đồ thị cho ta hình ảnh trực quan bảng cho ta định lượng cụ thể hàm số […]” Trong sách giáo khoa Toán Việt Nam, khái niệm hàm số xây dựng qua nhiều cấp lớp hình thức biểu thức giải tích dường chiếm ưu Hơn nữa, cấu trúc sách giáo khoa cách tổ chức dạy học giáo viên xem nhẹ vai trò chủ thể học sinh việc tiếp thu kiến thức hàm số Điều dẫn đến hệ ? Khi dạy chương hàm số, lớp 10, đặt câu hỏi “Em hiểu hàm số ?” để nhắc lại kiến thức lớp dưới, câu trả lời thu : - Hàm số với giá trị x có tương ứng giá trị y (3 HS) - Hàm số có dạng y = ax + b (5 HS) - Hàm số có dạng y = ax (hay ax + b) hay y = ax2 (15 HS) - Hàm số y, biến số x (2 HS) - có học sinh không trả lời Như khái niệm hàm số học sinh lưu giữ lại đa số dạng biểu thức giải tích (hàm bậc hay hàm bậc hai), không quan tâm đến đặc trưng khái niệm (tập xác định, tương ứng ) Hơn việc tính giá trị hàm biết giá trị biến ngược lại gây khơng khó khăn cho học sinh Vậy dạy học khái niệm hàm số vừa tích hợp nhiều cách biểu diễn vừa tạo điều kiện để học sinh tự xây dựng kiến thức (củng cố kiến thức học sinh lớp 10) cho hay khơng ? * Ghi nhận : Quá trình dạy học ln địi hỏi phải có tương tác, khơng có điều khơng có đảm bảo q trình học diễn mong muốn người dạy Theo didactic ”Chủ thể học cách thích nghi (đồng hóa điều tiết) với mơi trường (MT), nơi tạo mâu thuẫn, khó khăn cân bằng” Theo G.Brousseau, [25]: “Trong tình didactic, mơi trường hệ thống đối kháng với HS, tức làm thay đổi tình trạng kiến thức theo cách mà HS khơng kiểm sốt được” Các yếu tố hình thành nên mơi trường vật chất phi vật chất [25] Một môi trường tạo tương tác hiệu mơi trường máy tính tích hợp phần mềm dạy học tương tác Và phần mềm Casyopée phần mềm dạy học hàm số Lagrange (2002) nhóm nghiên cứu Diddirem phát triển Một đặc trưng bật phần mềm có hai mơđun đại số mơđun hình học động có liên hệ chặt chẽ với Đây phần mềm nghiên cứu quan hệ hàm có tích hợp hai mođun đại số hình học Những ghi nhận đưa đến với câu hỏi xuất phát sau : - Khái niệm hàm số trình bày chương trình tốn phổ thơng Việt Nam ? - Cách trình bày sách giáo khoa ảnh hưởng đến quan niệm học sinh khái niệm hàm số ? - Vai trò phần mềm Casyopee việc dạy học khái niệm hàm số mơi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn ? Khung lý thuyết tham chiếu 2.1 Lý thuyết nhân chủng học Trước hết chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết nhân chủng học Tại lại lý thuyết nhân chủng học ? Bởi câu hỏi chúng tơi liên quan đến khái niệm lý thuyết : quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối tượng tri thức, tổ chức tốn học Dưới chúng tơi trình bày tóm tắt khái niệm cố gắng làm rõ tính thoả đáng lựa chọn phạm vi lý thuyết Để trình bày khái niệm này, dựa vào giảng didactic công bố Những yếu tố didactic toán, sách song ngữ Việt – Pháp, NXBĐHQG TPHCM 2009 Quan hệ cá nhân đối tượng tri thức Một đối tượng tồn cá nhân Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X,O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O R(X,O) cho biết X nghĩ O, X hiểu O, X thao tác O Theo quan điểm việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O điều chỉnh mối quan hệ X O Cụ thể, việc học tập xảy quan hệ R(X,O) bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), bị biến đổi (nếu tồn tại) Quan hệ thể chế đối tượng tri thức Thế nhưng, cá nhân khơng thể tồn lơ lửng mà ln ln phải thể chế Như việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải đặt thể chế I có tồn X Hơn I O phải có quan hệ xác định Hiển nhiên, thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R(I,O) Với định nghĩa trả lời cho câu hỏi xuất phát làm rõ quan hệ thể chế I mà quan tâm đối tượng O Đối tượng O ” khái niệm hàm số ”, cịn thể chế dạy học I với khn khổ luận văn giới hạn phạm vi lớp 10 Một câu hỏi đặt tức : làm để vạch rõ quan hệ thể chế R(I,O) quan hệ cá nhân R(X,O) ? Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Do đó, cần thiết xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm mà Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxeologie Theo Chevallard, praxeologie gồm thành phần [T, , , ], : T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T,  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  lí thuyết cho , nghĩa công nghệ công nghệ  Một praxeologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học Theo Bosch.M Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O tiến hành thông qua việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liến với O : ”Mối quan hệ thể chế với đối tượng [ ] định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm vị trí thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch.M Chevallard.Y, 1999)” Hơn , theo Bosch.M Chevallard.Y, việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O cịn cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X tồn O, : ”Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Như thế, việc chúng tơi lấy lý thuyết nhân chủng học làm tham chiếu cho nghiên cứu dường hồn tồn thoả đáng 2.2 Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng dạy – học mơ hình hoá quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng Nó ”[…] tập hợp quy tắc (thường không phát biểu tường minh) phân chia hạn chế trách nhiệm thành viên, học sinh giáo viên, tri thức giảng dạy” (Bessot tác giả) Những điều khoản hợp đồng tổ chức nên mối quan hệ mà Thầy Trị trì tri thức : ”Hợp đồng chi phối quan hệ thầy trò kế hoạch, mục tiêu, định, hoạt động đánh giá sư phạm Chính hợp đồng lúc vị trí tương hỗ đối tác nhiệm vụ phải hoàn thành rõ ý nghĩa sâu sắc hoạt động tiến hành, phát biểu lời giải thích Nó quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà học tập nhà trường phải trải qua” (Tài liệu dẫn) Như vậy, khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã “ ứng xử giáo viên học sinh, tìm ý nghĩa hoạt động mà họ tiến hành, từ giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát lớp học Theo định nghĩa yếu tố trả lời cho câu hỏi xuất phát tìm thấy qua việc nghiên cứu quy tắc hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng khái niệm hàm số Trình bày lại câu hỏi luận văn Giới hạn phạm vi lý thuyết didactic chọn , chúng tơi trình bày lại câu hỏi xuất phát mà việc tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời chúng trọng tâm nghiên cứu luận văn Hệ thống câu hỏi xoay quanh yếu tố cho phép xác định quan hệ thể chế I1 – thể chế dạy học toán lớp 7, quan hệ thể chế I2 – thể chế dạy học toán lớp 7, quan hệ thể chế I3 – thể chế dạy học toán lớp 10, với đối tượng O – “khái niệm hàm số”, quan hệ cá nhân học sinh lớp 10 với O  Câu hỏi (Q1) : Trong thể chế nêu, O xuất ? có tính chất gì, cho phép giải kiểu nhiệm vụ ? …  Câu hỏi (Q2) : Dưới tầm ảnh hưởng thể chế : môi trường giấy bút truyền thống , quan hệ cá nhân học sinh với O diễn nào, (cụ thể cá nhân vận hành O giải kiểu nhiệm vụ ?), bị chi phối quy tắc hợp đồng ?  Câu hỏi (Q3) : môi trường công nghệ thông tin, quan hệ cá nhân thay đổi (có kĩ thuật cơng nghệ tốn học đưa vào để giải kiểu nhiệm vụ thể chế đưa ?) ? Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Luận văn chúng tơi nhắm đền việc tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi nêu  Đối với câu hỏi Q1, Q2 : thừa hưởng lại kết phân tích quan hệ thể chế trình bày hai luận văn Bùi Thị Ngát  Đối với câu hỏi Q3 : nghiên cứu phần mềm Casyopee Việc trả lời cho câu hỏi thực chương I : “Nghiên cứu quan hệ thể chế khái niệm hàm số” Chương II dành cho thực nghiệm tính thỏa đáng giả thuyết hình thành chương I CHƯƠNG : MỘT VÀI TỔNG HỢP ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ Chúng tổng hợp lại từ nghiên cứu khoa học luận hai luận văn thạc sĩ Bùi Anh Tuấn (2007) Bùi Thị Ngát () 0.1 Luận văn Bùi Thị Ngát () : Những giáo trình đại học chủ yếu chọn để tham khảo luận văn : - Toán học cao cấp, tập 1,2,3- Nguyễn Đình Trí (chủ biên) - Tuyển tập tập toán dành cho trường đại học kĩ thuật(1)-Đại số tuyến tính sở giải tích tốn học, NXB KHKT, A.V.Ephimop, B.P.Đemiđovich biên tập Có thể tóm tắt sau :  Ba đặc trưng hàm số : tương ứng, phụ thuộc biến thiên  Biểu diễn hàm số : Trong lịch sử, người ta dùng phương tiện khác bảng số, hình hình học, biểu thức giải tích đồ thị Kể từ kỷ 17, cách biểu diễn hình học xuất Cách biểu diễn bảng thường áp dụng tập xác định hàm số hữu hạn quy tắc tương ứng khó diễn đạt biểu thức giải tích Hai cách biểu diễn cịn lại ln ưu tiên  Ta nghiên cứu hàm số thơng qua đồ thị đặc trưng hàm số thể thông qua đồ thị Hàm số cho biểu thức giải tích y=f(x) Đồ thị hàm số y=f(x) 1- Là phép tương ứng số thực x  X với 1- Là tập hợp điểm có toạ độ thoả mãn biểu số thực f(x) thức xác định hàm số - Cắt đường thẳng phương với Oy không điểm 2- Tập xác định hàm số tập rời rạc hay 2- Có thể tập hợp điểm rời rạc, đường cong liên tục (liên tục không liên tục) - Trong trường hợp đồ thị đường cong đường cong phẳng 3- Hàm số đồng biến (nghịch biến) 3- Đồ thị lên (xuống) từ trái sang phải 4- Hàm số chẵn 4- Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng - Hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tạo độ O làm tâm đối xứng 5- Hàm số tuần hoàn 5- Đồ thị gồm phần “giống hệt nhau”, phần xem ảnh phần qua phép tịnh tiến 6- Hàm số bị chặn (a;b) số M 6- Đồ thị khoảng nằm đường thẳng y = M - Đồ thị khoảng nằm đường thẳng y = m - Hàm số bị chặn (a;b) số m - Đồ thị hàm số nằm phần mặt phẳng giới hạn - Hàm số bị chặn đường thẳng y = M y = m 7- Hàm số liên tục khoảng (a;b) 7- Đồ thị mà đường cong liền nét (a;b) … … Ngược lại từ biểu thức giải tích ta suy tính lồi lõm, điểm uốn, dáng điệu đồ thị, … 0.2 Luận văn Bùi Anh Tuấn (2007)  Hàm số biểu diễn phụ thuộc đại lượng biến thiên đại lượng biến thiên khác Từ “đại lượng” hiểu chung phần tử tập hợp  Đặc trưng đồ thị đường cong dùng biểu diễn đồ thị phải thỏa mãn tính chất : cắt đường thẳng phương trục Oy không điểm => hàm số gắn với biểu thức giải tích, tìm biểu thức giải tích (chọn b y = 0), gắn với đồ thị có dạng quen thuộc (parabol, đường thẳng) Nguyễn Thị Thanh Loan (HS lớp 10A1) + Câu : “Hàm số phương trình có dạng y = ax, x ẩn số, giá trị phương trình tuỳ thuộc vào giá trị ẩn x” + Câu : chọn i + Câu : giải thích “theo em hàm số biểu diễn đồ thị với đường thẳng” => hàm số gắn với biểu thức giải tích y = ax dạng đồ thị (đường thẳng qua gốc toạ độ) Nguyễn Minh Quang (HS lớp 10A2) + Câu : “Hàm số đại lượng biểu diễn với dạng x, y Giá trị y phụ thuộc vào giá trị x Hàm số biểu diễn dạng trục” + Câu : chọn d, e, j, k, l, m + Câu : giải thích “vì y biểu diễn theo giá trị x” => hàm số gắn với biểu thức giải tích (cụ thể cần kí hiệu y = f(x)), tập hợp điểm rời rạc hệ trục toạ độ Cách chọn cho thấy có phụ thuộc giá trị y vào x Trịnh Phương Duy (HS lớp 10A1) + Câu : “Hàm số phương trình có dạng y = ax + b Trong a, b hai số cho, a  0” + Câu : chọn c, f, k, l + Câu : giải thích “f/ hàm số đường cong, k có dạng y = ax + b” => hàm số gắn với biểu thức giải tích y = ax + b, hình dạng đồ thị (parabol), có tương ứng giá trị x cho giá trị y Đỗ Hoàng Ngọc Long (HS lớp 10A1) + Câu : “Hàm số y = f(x) có nghĩa với giá trị x ta tìm giá trị y tương ứng” + Câu : chọn c, k, l, m + Câu : giải thích “vì với giá trị x giá trị y” 40 => hàm số gắn với biểu thức giải tích (khơng có dạng y = b) bảng giá trị (1 giá trị x tương ứng với giá trị y ngược lại) 10 Võ Tuấn Vũ (HS lớp 10A1) + Câu : “Hàm số đẳng thức có dạng y = ax + b a, b hệ số ta biểu diễn hệ trục toạ độ đồ thị” + Câu : chọn c, k, l + Câu : giải thích “chọn c vẽ hàm số hệ trục toạ độ ta kẻ bảng c; chọn k, l l, k có dạng hàm số” => hàm số gắn với biểu thức giải tích cụ thể (y = ax + b, b  0) bảng giá trị (lí giải thích HS có quan tâm đến tương ứng giá trị x với giá trị y) 11 Châu Thị Tố Quyên (HS lớp 10A1) + Câu : “Hàm số đẳng thức chứa x y hàng số định Trong giá trị y phụ thuộc vào giá trị x biểu diễn đồ thị hàm số, có dạng y = f(x)” + Câu : chọn a, b, c, d, e, k, m + Câu : giải thích “vì cách phân tích giá trị y theo x để vẽ đồ thị hàm số, câu k ghi lại dạng hàm số y = f(x)” => hàm số gắn với biểu thức giải tích cụ thể (y = ax + b, b  0) bảng giá trị (lí giải thích HS khơng quan tâm đến tương ứng giá trị x với giá trị y) 12 Đỗ Quốc Khánh (HS lớp 10A1) + Câu : “Hàm số có dạng y = f(x), ta cho giá trị x ta nhận giá trị y Hàm số đồng biến nghịch biến Hàm số bậc có dạng y = ax + b (a  0) Hàm số bậc hai có dạng y = ax2 (a  0)” + Câu : a, b, c, d, e, k + Câu : giải thích “Đây bảng giá trị (a, b, c) ta cho x nhận y Được vẽ trục toạ độ Oxy, có giá trị chiếu lên trục hồnh Ox trục tung Oy (d, e) Có dạng y = f(x) = ax + b (a = 2, b = 1), hàm số bậc (k)” 41 => HS quan tâm cho x giá trị xác định giá trị y, ‘sự phụ thuộc’ 13 Phan Quang Đại (HS lớp 10A1) + Câu : “Hàm số y hàm số biểu thị thay đổi đại lượng theo biến x, theo dạng y = ax + b y = ax2 + bx + c” + Câu : chọn a, c, d, e, g, j, k, m, n + Câu : giải thích “em chọn câu trả lời câu có biến x thay đổi y theo x.” => HS quan tâm đến đặc trưng phụ thuộc khái niệm hàm số , gắn hàm số với biểu thức giải tích, hàm số cho bảng giá trị kiểm tra tính chất giá trị x cho giá trị y 14 Nguyễn Thị Ngọc Ánh (HS lớp 10A ) + Câu : “Hàm số số mà biểu diễn hệ trục toạ độ” + Câu : chọn b, c, d, e, k + Câu : giải thích “lí mà em chọn câu trả lời câu hàm số số tự nhiên biểu diễn hệ trục toạ độ bảng giá trị viết thành phép tốn mà nghiệm biểu diễn hệ trục toạ độ” => HS ghi nhớ ba cách biểu diễn hàm số, nhiên không ghi nhớ đặc trưng hàm số I.3 Tiểu kết : * Khơng có học sinh ghi nhớ ba đặc trưng hàm số * Để xác định hàm số, HS dựa vào biểu thức giải tích (một số HS xác định dựa vào biểu thức giải tích), dựa vào bảng giá trị (đa phần chọn a, bỏ b kết phải ngược lại), dựa vào dạng đồ thị (parabol hay đường thẳng) 42 * Kết khảo sát lại nghiệm với dự đoán sai lầm HS mắc phải chương I : “ đồ thị hàm số tập hợp điểm rời rạc” (chọn câu e) * Kiến thức hàm số mà HS lưu giữ lại gắn với biểu thức giải tích, hình dạng đồ thị hàm số học chất khái niệm hàm số 43 II Thực nghiệm B : II.1 Bài toán thực nghiệm : Trong mặt phẳng cho hai tia Ox, Oy vng góc với cho điểm M cố định nằm góc xOy xác định OP = OQ = (xem hình vẽ) Qua M dựng đường thẳng d cắt tia Ox A tia Oy B Hãy xác định vị trí d cho tam giác vng OAB có diện tích nhỏ y B Q O M P A x II.2 Phân tích apriory : Biến tình giá trị chúng : V1 Phương thức làm việc : Làm việc cá nhân : HS hiểu rõ thơng báo tốn, tạo sản phẩm cá nhân, chuẩn bị cho cơng việc làm nhóm hiệu Làm việc theo nhóm : tăng cường trao đổi, thảo luận, tạo cạnh tranh học tập Làm việc tập thể lớp : cho phép thực pha hợp thức hoá V2 Bản chất số đo góc xOy, cách xác định điểm M, số đo cạnh : góc vng, nhọn, tù; phép chiếu vng góc, song song, khoảng cách đến điểm… với số đo số chẵn hay lẻ 44 Việc lựa chọn góc xOy vng; cách xác định M dựa vào hình chiếu vng góc Ox, Oy số đo chẵn có mục đích làm dễ dàng tính tốn học sinh.Thật vậy, tương ứng với vị trí đường thẳng d quay quanh M cắt Ox A, Oy B đoạn IA, IB tính dễ dàng cách sử dụng tỉ lệ thức tam giác Biến didactic : V3 Hình vẽ thơng báo tốn H1 H2 Trường hợp hình H2, tạo điều kiện thuận lợi cho việc xuất chiến lược có sử dụng đặt ẩn phụ V4 Mơi trường làm việc : máy tính hay giấy bút Với mơi trường “giấy bút” học sinh phải tính diện tích tam giác OAB, có biếu thức tính diện tích học sinh phải vận dụng kiến thức cá nhân (bất đẳng thức Cauchy,…) để tìm giá trị nhỏ nhất; cịn với mơi trường “máy tính”, cụ thể sử dụng phần mềm Casyopee, học sinh khơng trực tiếp tính tốn để tìm biểu thức diện tích mà học sinh cần xác định cách chọn biến số để thơng qua chương trình xác lập biểu thức diện tích (có thể hay không tuỳ thuộc cách chọn biến học sinh) 45 Chiến lược quan sát được, ảnh hưởng biến : 3.1 Các chiến lược : a/ Shình học : + Kiến thức đạo chiến lược : kiến thức hình học lớp 7, (diện tích tam giác, hai tam giác nhau, điểm đối xứng …) y B’ B B0 Q O’ M A’ A O P Ao x Lấy O’ đối xứng O qua M, Ao giao điểm O’y’ Ox, Bo giao điểm O’x’ Ox (Oy // O’y’, Ox // O’x’) Gọi A, B giao điểm đường thẳng d qua M với Ox, Oy Gọi A’, B’ giao điểm AB với O’y’ O’x’ Ta có SOAB = SO’A’B’ Suy SOAB = ½ (SOAO’B + SBB’Bo + SAA’Ao) Như vậy, diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ A  Ao B  Bo , tức đường thẳng phải dựng đường thẳng qua Ao Bo (M trung điểm AoBo) b/ Sđại số : chọn ẩn số thích hợp, thiết lập cơng thức tính S Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (hoặc tính chất tích hai số khơng đổi tổng nhỏ hai số nhau), điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai, tìm giá trị nhỏ S + Kiến thức đạo chiến lược : tỉ lệ thức tam giác (hình học lớp 8), bất đẳng thức Cauchy, phương trình bậc hai …(đại số lớp 9, 10) 46 + “chọn ẩn x = OA(1)” Ta có : x 1 2x   OB  OB x x 1 2x x2    x 1 SOAB = ½ OA.OB = ½ x x 1 x 1 x 1 Vì (x – 1) 1 không đổi (= 1) nên SOAB nhỏ x – = , tức x 1 x 1 x=2 + “chọn ẩn x = OA(2)” Ta có : x 1 2x   OB  OB x x 1 SOAB = ½ OA.OB = ½ x 2x x2  x 1 x 1  x2 – Sx + S = (với S = SOAB) (3) Khi (3) phương trình bậc có ẩn x, (3) có nghiệm :  = S2 – 4S   S  Vậy S đạt giá trị nhỏ x = S/2 = + “chọn ẩn x = OB (1)” Ta có x2 x   OA  OA x x2 2SOAB = x2  x2 4 x2 x2 Vì (x – 2) 4 không đổi nên SOAB nhỏ x – = , tức x = x2 x2 + “chọn ẩn x = OB (2)” Ta có x2 x   OA  OA x x2 47 2SOAB = x2  x2 – 2Sx + 4S = (với S = SOAB) x2 (4) Khi (4) phương trình bậc ẩn x, (4) có nghiệm : ’ = S2 – 4S   S  Vậy S đạt giá trị nhỏ x = S = c/ Sgiải tích : chọn biến, thiết lập cơng thức tính S = S(x), khảo sát vẽ đồ thị hàm số, dựa vào đồ thị giá trị nhỏ S + Kiến thức đạo chiến lược : tỉ lệ thức tam giác (hình học lớp 8), đồ thị hàm số , giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số … (đại số giải tích 10, 12 ) + “chọn biến x = OA ” SOAB = ½ OA.OB = ½ x Xét hàm số y = f(x) = 2x x2  x 1 x 1 x2 với x  Vẽ đồ thị hàm số x 1 Dựa vào đồ thị hàm số ta có Min y = x = x 1 +: “chọn biến x = OB ” SOAB = ½ OA.OB = x2 2( x  2) 48 x2 Xét hàm số y = f(x) = với x  Vẽ đồ thị hàm số 2( x  2) Dựa vào đồ thị hàm số ta có Min y = x = x2 3.2 Ảnh hưởng biến, quan sát : Vì thực nghiệm áp dụng cho học sinh lớp 10 nên việc xuất chiến lược Sgiải tích khó khăn thực mơi trường giấy bút truyền thống, với trợ giúp phần mềm Casyopee việc thực đơn giản Hơn cịn làm xuất chiến lược Shình học giải tích mơ đun hình học Casyopee xây dựng dựa hệ trục toạ độ Oxy * Shình học giải tích Ta thiết lập hai cơng thức tính diện tích S = ½ OA.OB S = ½ OH.AB với OH độ dài đoạn vng góc hạ từ O xuống AB Khi ta di chuyển điểm A, dẫn đến H B di chuyển theo, giá trị diện tích S thay đổi Quan sát giá trị thay đổi ta thấy giá trị nhỏ S P trung điểm PA * Sgiải tích 49 Tiếp tục sử dụng biểu thức thiết lập chiến lược Shình học giải tích ta gặp vấn đề sau : Với S = ½ OA.OB chọn biến OA (hoặc OB) dùng công cụ thiết lập quan hệ hàm biểu thức giải tích ta biểu thức giải tích tương tự Sgiải tích trình bày Với S = ½ OH.AB chuyển qua quan hệ hàm ta có biểu thức hàm số theo biến x = OH (hoặc AB) thiết lập quan hệ hàm II.3 Phân tích a posterriori thực nghiệm B : Thực nghiệm tiến hành lớp 10A1 trường THPT An Nhơn Tây (sỉ số 46 HS), chia lớp làm nhóm (4  HS/nhóm) Thời điểm tiến hành, sau học xong chủ đề bất đẳng thức (ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ) * Pha : - GV thông báo nội dung toán bảng trước lớp - HS làm việc theo nhóm thời gian 15 phút lớp mục đích tìm hiểu tốn, phân chia nhiệm vụ, thoả thuận thời gian họp nhóm - HS tiến hành làm việc theo nhóm thời gian ngày (09/12 đến 13/12/2010), viết thành thu hoạch Kết chung thu hoạch : - Tuỳ theo cách hiểu câu hỏi tốn đặt ‘vị trí đường thẳng d để SOAB nhỏ nhất’ mà có ba kết trả lời : SOAB nhỏ M trung điểm AB; vị trí AB, độ dài OA, OB toạ độ A, B; phương trình đường thẳng d 50 Bài tốn đặt phạm vi hình học nên để tìm giá trị nhỏ SOAB - nhóm tiến hành thiết lập biểu thức diện tích phạm vi đó, dùng cơng cụ bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất, có 6/8 nhóm xác định vị trí d cách thiết lập phương trình (hình học giải tích) 2/8 nhóm có câu trả lời sai, tỉ lệ 6/8 nhóm trả lời cao - Tuy nhìn vào phần đánh giá điểm cá nhân khảo sát trực tiếp nhóm trưởng nhóm khoảng đến HS đưa hướng giải cịn HS khác đóng vai trò người kiểm định Dưới phần tóm tắt kết thu Nhóm : (6 HS) Đặt toạ độ điểm M(1;2), A(a; 0), B(0;b), viết phương trình d (phương trình đoạn chắn), đưa mối liên hệ a, b : a.b=b + 2a (1) SOAB = ½ a.b (a.b > 0) Muốn SOAB nhỏ a.b phải bé (1)  ab  b.2a …  a.b  Dấu “=” xảy b = 2a Kết hợp với (1) ta có b = 4, a = Diện tích tam giác AOB nhỏ a = b = Vậy d qua hai điểm A(2 ;0), B(0 ;4) Ptdt : d : x y   hay M(1 ;2) trung điểm AB => Trong xuất kiến thức chưa học phương trình đoạn chắn ‘SOAB nhỏ a.b phải bé nhất’  tích a.b thay đổi dẫn đến SOAB thay đổi 3/8 nhóm lựa chọn cách Nhóm : (6 HS) 51 Đặt toạ độ M(1 ;2), B(0 ;y), A(x ;0), O(0;0), P(1;0), Q(0;2) Cách : Đk : y > 2, x > SBQM + SMPA = a(min)  …  ½ tan + tan  = a(min)  2 tan  tan  Dấu ‘=’ xảy ½ tan =  tan = tan  Tính độ dài QB = tan.QM = 2, suy toạ độ B(0;4) Viết phương trình d qua hai điểm B, M Cách : Xét hai tam giác BQM MPA đồng dạng => PA.QB = SAOB = SOQMP + SQMB + SPAM = 2.1 + ½ QM.QB + ½ PA.PM = + ½ QB + PA 2+2 QB.PA 4 Tính độ dài đoạn OB = 4, suy toạ độ điểm B Viết phương trình d => Với cách HS đưa biểu thức diện tích biểu thức biến tan  (nhưng khơng thể dùng cách casyopee đại lượng biến góc áp dụng đường trịn) (1/8 nhóm lựa chọn cách này) Phân tích SAOB để tìm phần thay đổi biểu thức  nhấn mạnh để dẫn đến khái niệm hàm số 3/8 nhóm lựa chọn cách Nhóm : (6 HS) Ta có hai tam giác đồng dạng BQM MPA : => BQ.PA = SAOB = ½ OA.OB = ½ (OP + PA)(OQ + QB) = … = ½ (4 + 52  PA )  PA Dấu xảy  PA  PA = … PA Suy toạ độ A, B Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B => HS đưa biểu thức diện tích biểu thức biến theo PA (1/8 nhóm lựa chọn cách này) Tiểu kết pha - Qua thu hoạch nhóm nhận SOAB thay đổi phụ thuộc vào đại lượng thay đổi khác Như toán đưa vượt khỏi phạm vi đại số giải tích HS nhận biết đặc trưng hàm số, quan hệ hai đại lượng biến thiên - Với kĩ tính tốn học, toán nằm khả HS gây nhiều khó khăn cá nhân HS (bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức) - Với sai lầm HS gặp phải thực nghiệm A khó khăn nảy sinh thực nghiệm B, chúng tơi thực tiếp pha với mục đích cụ thể sau : + Thiết lập mơ hình hình học động để học sinh nhận biết đặc trưng khái niệm hàm số, giải toán + Kiểm chứng lại kết mô đun đại số Casyopee (dùng cách biểu diễn hàm số) * Pha : thực nghiệm phần mềm Casyopee 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO ANNIE BESSOT CLAUDE COMITI ( Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I) – LÊ THỊ HOÀI CHÂU LÊ VĂN TIẾN (Đại học Sư phạm TPHCM) (2009) – Những yếu tố didactic toán, elements fondamentaux de didactique des mathematiques – NXB Đại học Quốc gia TPHCM ĐINH THẾ LỤC – PHẠM HUY ĐIỂN – TẠ DUY PHƯỢNG – NGUYỄN XN TẤN (1998) – Giải tích tốn học, ngun lý tính tốn thực hành (tập 1) – NXB Giáo Dục LÊ VĂN TIẾN (2005) – Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thơng (các tình dạy học điển hình) – NXB Đại học QUốc gia TPHCM CONNALLY, HUGHES-HALLETT, GLEASON, ET AL (2000) – Functions modeling change, a preparation for calculus CLAIRE CAZES, JEAN – MICHEL GELIS, TRẦN KIẾM MINH (ICTM1 - 2009) – Instrumentation process of a digital environment inthe study of functions at upper secondary level : a case study over two years JEAN-BAPTISTE LAGRANGE, NGUYỄN CHÍ THÀNH (ICTMT – 2009) – Casyopee an open environment for learning about function at upper secondary level NGUYỄN CHÍ THÀNH AND AL (PCMI 2009) – Teacher professional development in the teaching and lerning of functions 54 ... biển diễn hàm số biểu thức giải tích; dạy học khái niệm (hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến) dựa biểu thức giải tích bảng giá trị hàm số Thêm vào đó, việc nghiên cứu đồ thị hàm số (hàm số bậc... chất hàm số Ngược lại, đặc trưng hàm số thể đồ thị nên qua đồ thị, ta thấy lại số tính chất hàm số ứng với 10 CHƯƠNG : QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ TÍCH HỢP NHIỀU CÁCH BIỂU DIỄN HÀM... vật chất phi vật chất [25] Một môi trường tạo tương tác hiệu mơi trường máy tính tích hợp phần mềm dạy học tương tác Và phần mềm Casyopée phần mềm dạy học hàm số Lagrange (2002) nhóm nghiên cứu