Vài ứng dụng giải tích phức vào đại số đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Minh Tạo VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn quí thầy giảng dạy em suốt q trình học cao học q thầy hội đồng khoa học đọc có ý kiến đóng góp q báu Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy cô làm việc phòng KHCN – SĐH giúp đở em nhiều trình học tập thực luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương TÍNH CHẤT HÀM CHỈNH HÌNH 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Ánh xạ chỉnh hình 14 Chương BAO CHỈNH HÌNH 2.1 Định lí Runge 21 2.2 Miền lồi đa thức 23 2.3 Miền Riemann 26 2.4 Miền chỉnh hình 27 2.5 Bao lồi chỉnh hình 30 Chương ỨNG DỤNG VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU 3.1 Đại số 33 3.2 Phổ đại số 34 3.3 Phổ nối 38 3.4 Biên Silov 41 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích phức chun ngành giải tích tốn học, có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Đặt biệt giải tích phức có ứng dụng thú vị sâu sắc đại số Tôi chọn đề tài để tìm hiểu sâu sắc giải tích phức Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tri thức giải tích phức xem xét vài ứng dụng đại số, đặc biệt đại số Đối tượng nghiên cứu Giải tích phức Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm nhiều biến phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm giải tích phức Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý chọn đề tài Phần nội dung : Chương : Giới thiệu tính chất hàm chỉnh hình Chương : Bao chỉnh hình Chương : Ứng dụng vào đại số Phần kết luận : Đưa kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt đưa đề xuất (nếu có ) Chương TÍNH CHẤT CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Ta kí hiệu ℝ tập số thực, ℂ tập số phức, ℂ n = ℂ × ℂ × × ℂ tích Descartes n mặt phẳng phức Các phần tử ℂ n kí hiệu z = ( z1 , z , ,z n ) , z j = x j + iy j , x j , y j ∈ ℝ , i = −1 Mơđun z j kí hiệu z j môđun z z định nghĩa { } z = max z j ;1 ≤ j ≤ n Với w ∈ ℂn r = ( r1 ,r2 , , rn ) ∈ ℝ n , rj > , ta gọi { } ∆ ( w;r ) = ∆ ( w1 , , w n ;r1 , ,rn ) = z ∈ ℂ n ; z j − w j < rj ,1 ≤ j ≤ n đa đĩa mở tâm w, đa bán kính r Bao đóng ∆ ( w; r ) gọi đa đĩa đóng tâm w, đa bán kính r, kí hiệu ∆ ( w; r ) 1.1 Hàm chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa Hàm phức f xác định tập mở D ⊂ ℂ n gọi chỉnh hình D điểm w ∈ D có lân cận mở U, w ∈ U ⊂ D , cho hàm f có chuỗi khai triển f ( z) = ∞ ∑ v1 =0 av1 ( z1 − w1 ) ( zn − w n ) n v v (1.1) hội tụ với z ∈ U Tập hợp tất hàm chỉnh hình D kí hiệu OD Hàm f gọi chỉnh hình theo biến chỉnh hình theo biến biến khác cố định 1.1.2 Định lí (Bổ đề Osgood) Nếu hàm phức f liên tục tập mở D ⊂ ℂ n chỉnh hình theo biến chỉnh hình D Chứng minh Chọn điểm w ∈ D , đa đĩa đóng ∆(w,r) ⊂ D Vì f chỉnh hình theo biến lận cận mở ∆(w, r) nên áp dụng Cơng thức tích phân Cauchy cho hàm biến, ta có cơng thức tích phân Cauchy cho hàm nhiều biến   f (z) =   2πi  n dζ1 ∫ ζ1 − z1 w −ζ ∫ w1−ζ1 =r1 2 =r1 dζ ζ2 − z w ∫ n −ζ n =rn dζ n f (ζ ) ζn − z n (1.2) với ∀z ∈ ∆( w,r ) Với z cố định bất kì, hàm dấu tích phân (1.2) liên tục miền compact lấy tích phân, tích phân lặp (1.2) thay tích phân bội   f (z) =   2πi  n f (ζ)dζ1dζ dζ n ∫ (ζ1 − z1 ) (ζn − z n ) w −ζ =r j j (1.3) j Khi với điểm cố định z ∈ ∆( w, r ) , ta có chuỗi khai triển ∞ (z1 − w1 ) (z n − w n ) n = ∑ v +1 v +1 (ζ1 − z1 ) (ζ n − z n ) v1 v ζ − w1 ) (ζ n − w n ) n n =0 ( v v hội tụ tuyệt đối với ζ thuộc miền lấy tích phân (1.3) Vì sau thay chuỗi khai triển vào (1.3) thay đổi thứ tự tổng tích phân , dẫn đến f có khai triển chuỗi dạng (1.1), với   =   2πi  f (ζ)dζ1dζ2 dζn n a v1 ∫ v1 +1 ζ − w1 ) w −ζ =r ( j j j v +1 .(ζn − w n ) n Do f hàm chỉnh hình Ta có điều phải chứng minh □ (1.4) 1.1.3 Định nghĩa Ta định nghĩa toán tử vi phân ∂ 1 ∂ ∂  ∂ 1 ∂ ∂ =  −i =  +i  ∂z j  ∂x j ∂y j  ∂y j ∂ z j  ∂x j    1.1.4 Định lí (Tiêu chuẩn Cauchy – Riemann) Hàm phức f xác định tập mở D ⊂ ℂ n khả vi liên tục theo tọa độ thực ℂ n chỉnh hình D thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng ∂ f ( z ) = 0, ∂z j j = 1,2 , n ( 1.5) Chứng minh Tại điểm thuộc D, xét f(z) hàm biến với biến z j , xem biến khác số Ta có f(z) = u(z) +iv(z)  ∂u ∂ ∂v   ∂u ∂v   f (z) =  − + i +    ∂x j ∂y j   ∂y j ∂x j  ∂z j Do (1.5) tương đương với phương trình Cauchy – Riemann biến, suy hàm f chỉnh hình theo biến Theo Bổ đề Osgood ta có điều phải chứng minh □ 1.1.5 Định lí Cho D tập mở ℂ n Khi đó, (i) OD vành với phép toán ( f + g )( z ) = f ( z ) + g ( z ),( fg )( z ) = f ( z ) g ( z ) (ii) Nếu f thuộc OD f(z) khác khơng D 1/f thuộc OD (iii) Nếu f thuộc OD nhận giá trị thực có mơđun khơng đổi f hàm Chứng minh (i) Bằng tính tốn trực tiếp, ta có ∂ ∂f ∂g + (f + g ) = ∂z j ∂z j ∂z j (1.6) ∂ ∂f ∂g g+f (fg ) = ∂z j ∂z j ∂z j Do điều khẳng định (i) suy từ Định lí 1.1.4 (ii) Áp dụng (1.6) cách thay g f −1 suy ∂f −1 0=f , suy 1/f thuộc OD ∂z j (iii) Nếu f ∈ OD nhận giá trị thực Nhưng ∂f ∂f giá trị thực ∂x j ∂y j ∂f ∂f , hai phải với j, ≤ j ≤ n Do f =i ∂x j ∂y j hàm Nếu f có mơđun khơng đổi với w ∈ D ta viết f = ρe iθ(z) , với θ hàm giá trị thực lân cận w Khi ta có 0= ∂f ∂θ = i.f ∂z j ∂z j Suy θ hàm chỉnh hình hàm hằng, suy f hàm □ 1.1.6 Định nghĩa Cho D D’ miền mở ℂ n ℂm tương ứng Biến D kí hiệu ( z1 , , zn ) biến D’ kí hiệu ( w1, , zm ) Ánh xạ G :  → D ' xác định m hàm w1 = g1 ( z1 , , zn ), , w m = g m ( z1 , , zn ) Ánh xạ G gọi ánh xạ chỉnh hình m hàm g1 , , g m chỉnh hình D 31 Cho k = ( k1 , , kn ) bội n số nguyên không âm Ta định nghĩa k = ∑ ki k ! = k1 ! kn ! Ta gọi D k toán tử vi phân O X xác định ∂ D f = k1 ∂p1 ∂pnkn k k 2.5.2 Bổ đề Cho D k liên tục O X (theo tôpô hội tụ tập compact) Khi đó, x ∈ K ε < d ( x ) D k f ( x ) ≤ k! f k ε Kε v i f ∈ OX Chứng minh Vì ε < d ( x ) nên f biểu diễn tích phân Cauchy đa đĩa ∆ ( x, ε ) Khi theo cơng thức tích phân biểu diễn đạo hàm riêng (trong chứng minh Định lí 1.1.2), ta có D f ( x ) ≤ k k! ( 2π ) n f ∆( x,ε ) ( 2πε ) ε n ( ∑ ki +n ) Vì ∆ ( x, ε ) ⊂ K ε nên ta có điều phải chứng minh □ 2.5.3 Định lí Cho ( X , p ) miền chỉnh hình Khi đó, với tập compact K ( ) bất kì, ta có d Kˆ = d ( K ) Chứng minh ˆ ε < d ( K ) Gọi f hàm thuộc OX cho τ ( f , x ) = d ( x ) Lấy x ∈ K Theo Bổ đề 2.5.2, ta có D k f K ≤ k! f k ε Kε , suy D k f ( x ) ≤ k! f k ε D k f ( x ) k1 k n chuỗi lũy thừa ∑ z1 z n biểu diễn f x nhỏ chuỗi k! Kε Khi 32   z  k1  z  k n   ∑    n   f  ε  ε     Kε , hội tụ trong ∆ ( 0, ε ) Do d ( x ) = τ ( f , x ) ≥ ε Điều với ε < d ( K ) , suy d ( x ) ≥ d ( K ) Vì ( ) ˆ , ta có d K ˆ ≥ d(K) với x ∈ K ( ) ( ) ˆ ≤ d ( K ) Do ta có d K ˆ = d(K) □ ˆ ⊃ K suy d K Mặt khác K 33 Chương ỨNG DỤNG VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU Lý thuyết đại số Banach giao hoán có liên quan mật thiết đến số khía cạnh lý thuyết hàm nhiều biến Một quan điểm đại số Banach gợi nhiều câu hỏi hàm nhiều biến phức, giúp ta thấy chất chúng Mặt khác lý thuyết hàm nhiều biến có ứng dụng thâm thúy tới đại số Banach Chúng ta khảo sát điều Để tránh phức tạp không cần thiết, ta quan tâm tới đại số hàm giá trị phức liên tục 3.1 Đại số 3.1.1 Định nghĩa Một đại số tập hợp hàm giá trị phức liên tục A xác định không gian Hausdorff compact X thỏa (i) f , g ∈ A f + g fg thuộc A ; (ii) 1∈ A ; (iii) f n ∈ A, ≤ n < ∞ f n hội tụ tới f f ∈ A Nhận xét Một đại số đại số đóng C (X) (các hàm liên tục X), X khơng gian Hausdorff compact Chú ý A không gian Banach với chuẩn f K { } = sup f ( x ) ; x ∈ X Hơn theo Định lí Stone – Weierstrass A khép kín với phép lấy liên hợp ( f ∈ A suy f ∈ A ) A = C (Y) Nếu K tập compact ℂn tập hợp giới hạn 34 đa thức K, kí hiệu P (K) , đại số Tập hợp giới hạn hàm chỉnh hình lân cận K kí hiệu A (K) , đại số Mọi hàm A (K) chỉnh hình intK, intK khác rỗng A (K) ≠ C ( K ) Sau dạng tương đương Định lí 2.2.5 3.1.2 Định lí (Định lí Oka) Nếu K tập lồi đa thức, compact ℂ n A ( K ) = P ( K ) 3.2 Phổ đại số 3.2.1 Định nghĩa Cho A đại số Phổ A , kí hiệu S ( A ) , tập hợp đồng cấu phức khác không A Nhận xét Nếu x ∈ X h x ( f ) = f ( x ) xác định đồng cấu A , khác khơng, h x (1) = Vì ta thu ánh xạ g : X  → S( A ) Với f ∈ A , hàm fˆ xác định S( A ) cách định nghĩa fˆ ( h ) = h ( f ) Vì fˆ g = f , nên ánh xạ f  → fˆ – Ta trang bị cho S( A ) tôpô yêú để tất hàm fˆ liên tục Khi ta thấy S( A ) compact theo tôpô ánh xạ f  → fˆ phép đẳng cự A với đại số S( A ) Từ loại bỏ X coi A xác định phổ 3.2.2 Định lí Cho A đại số Nếu f ∈ A f < (1 + f ) −1 ∈A Chứng minh ∞ Ta có (1 + f ) = ∑ ( −f ) , chuỗi hội tụ đều, f < Do −1 n =1 n 35 (1 + f ) −1 ∈A □ 3.2.3 Định nghĩa Tập M A gọi ideal A M vành A f ∈ M gf ∈ M với g ∈ A Ideal M A gọi tối đại M ≠ A ideal N A thỏa mãn M ⊂ N N = M N = A 3.2.4 Hệ Một ideal M tối đại A đóng Chứng minh Nếu M ideal M bao đóng M , ideal Nếu M tối đại M = M M = A Nhưng M ≠ A , nên M khơng có phần tử nghịch đảo, theo Định lí 3.2.2, ta có M ∩ {f ; − f < 1} = ∅ Vì 1∉ M ta có M = M Hay M tập đóng □ { } 3.2.5 Định nghĩa Ta gọi nhân đại số A KerA = ∩ fˆ −1 ( ) ; f ∈ A 3.2.6 Bổ đề Cho h : A  →ℂ đồng cấu Khi đó, h ( f ) ≤ f K với f ∈A Chứng minh Nhân A ideal tối đại, ℂ trường, đóng Từ suy h phiếm hàm tuyến tính với nhân đóng, nên liên tục Ta dùng phản chứng, giả sử trái lại tồn f ∈ A cho h ( f ) > f K Khi đặt g = h ( f ) f , ta có h ( g ) = g < Vì g n  → , −1 h ( g n ) = ( h ( g ) ) = , mâu thuẫn với tính liên tục h Ta có điều phải chứng n minh □ 3.2.7 Định lí Cho A đại số đều, S = S ( A ) không gian đồng 36 cấu phức khác không A A biểu diễn đại số hàm S xác định f ( h ) = h ( f ) với h ∈ S Khi đó, S không gian Hausdorff compact tôpô yếu cho tất hàm liên tục Hơn f S(A) = f X Chứng minh Nếu trang bị cho S tôpô yếu tất hàm f ∈ A liên tục vấn đề kiểm tra, trừ tính compact S Ta kiểm tra tính compact S Với f ∈ A , đặt ∆ f = {z ∈ ℂ; z ≤ f } Theo Định lí Tychonoff ∏∆ f = ∆ɶ compact Với x ∈ ∆ɶ , kí hiệu “tọa độ f∈A thứ f” x f Khi tập hợp { } Sɶ = x ∈ ∆ɶ ; x1 = 1, x fg = x f x g , x f +g = x f + x g , x cf = cx f , ∀c ∈ ℂ, f ,g ∈ A , tập đóng ∆ɶ tập compact Đặt Φ : S  → Sɶ ánh xạ xác định Φ ( h )f = f ( h ) Rõ ràng Φ liên tục – Tức Φ đồng phơi, S có tôpô yếu xác định {f ∈ A} x ∈ Sɶ rõ ràng xác định đẳng cấu khác không A Do Sɶ compact nên S compact Ta có điều phải chứng minh □ 3.2.8 Định lí Cho K tập compact ℂ n Khi đó, S ( P ( K ) ) = Kˆ , với Kˆ bao lồi đa thức K Chứng minh Một đồng cấu P ( K ) thu hẹp thành đồng cấu ℂ [ z1 , ,z n ] , đại số đa thức theo n biến Thật vậy, đa thức trù mật P ( K ) nên đồng cấu phức khác không P ( K ) tương ứng với đồng cấu 37 ℂ [ z1 , , z n ] mà có mở rộng liên tục tới P ( K ) , nghĩa đồng cấu h : ℂ [ z1 , ,z n ]  → ℂ cho h ( p ) ≤ p K , với đa thức p Chú ý đồng cấu phức ℂ [ z1 , , z n ] xác định điểm ℂ n Vì ta có { } ˆ.□ S ( P ( K ) ) = z ∈ ℂ n ; p ( z ) ≤ p K , ∀p = K 3.2.9 Định lí (Định lí Gelfand – Mazur) Cho A đại số đều, M ideal tối đại A Khi đó, tồn đồng cấu h : A  →ℂ cho M = ker h Chứng minh Lấy f ∈ A Khi tồn số c cho f − c ∈ M Giả sử ngược lại f − c ∉ M , suy f − c M sinh A , tồn g c ∈ A cho g c ( f − c ) ≡ 1( mod M ) Nếu g 'c ( f − c ) ≡ 1( mod M ) ( g c − g 'c ) ( f − c ) ≡ ( mod M ) Vì M ideal tối đại f − c ∉ M nên g c − g 'c ∈ M Do dó L phiếm hàm tuyến tính liên tục A mà triệt tiêu M λ ( c ) = L ( g c ) hàm xác định theo c Tức hàm chỉnh hình theo c Với giả thiết g c chọn cho g c ( f − c ) ≡ 1( mod M ) Khi với d thỏa d − c < gc −1  ∞  n ta chọn g d = g c  ∑ ( d − c ) g cn  Do ta có g d ∈ A ,  n =0  chuỗi hội tụ Hơn  ∞  n g d ( f − d ) =  ∑ ( d − c ) g cn  ( g c f − dg c )  n =0   ∞  n ≡  ∑ ( d − c ) g cn  (1 − ( d − c ) g c ) ( mod M )  n =0  ≡ 1( mod M ) 38 Do với d − c < g c −1 ∞ λ ( d ) = ∑ L ( g cn +1 ) ( d − c ) n n =0 Cuối cùng, c > f ( f − c ) ∈ A , ta chọn g c = ( f − c ) −1 −1 Khi c  →∞ ( f − c )  → đều, lim λ ( c ) = Vì λ ( c ) hàm −1 c→∞ nguyên tiến tới không vô hạn, theo Định lí Liouville suy λ ( c ) ≡ Theo Hệ 3.2.4 , M đóng, theo Định lí Hahn – Banach, g ∉ M nên tồn L ∈ A ∗ cho L ( g ) ≠ L triệt tiêu M Vì λ tương ứng khác không gốc, ta gặp mâu thuẫn Do tồn c ∈ ℂ cho f − c ∈ M Phần tử c xác định f Vì f − c' ∈ M c − c' ∈ M , suy c − c' không khả nghịch Vì c = c' Định nghĩa h ( f ) = c , rõ ràng h đồng cấu phức, h (1) = ker h = M Ta có điều phải chứng minh □ 3.2.10 Hệ Cho A đại số với phổ S Nếu f1 , ,f n ∈ A khơng đồng thời S tồn g1 , , g n ∈ A cho ∑g f i i = Chứng minh Lấy I ideal sinh f1 , ,f n Nếu I ideal thật theo Bổ đề Zorn, I chứa ideal tối đại M Nếu h đồng cấu mà nhân M f j ∈ M nên f j ( h ) = 0,1 ≤ j ≤ n Nhưng f j không đồng thời giả thiết cho, I khơng chứa ideal tối đại Do I = A , suy 1∈ I Vì có g1 , ,g n ∈ A thỏa ∑g f i i = □ 3.3 Phổ nối 3.3.1 Định nghĩa Cho A đại số với phổ S Giả sử f1 , , f n ∈ A Ta gọi phổ nối f1 , , f n tập hợp σ ( f1 , , f n ) = {( f ( h ) , , f n ( h ) ) ; h ∈ S} 39 Ta kí hiệu bao lồi đa thức σˆ ( f1 , , f n ) Nhận xét Với f1 , ,f n ∈ A , p đa thức n biến p ( f1 , ,f n ) ∈ A , A đại số Do theo Định lí Oka (Định lí 3.1.2), F chỉnh hình lân cận σˆ ( f1 , ,f n ) F giới hạn đa thức σ ( f1 , ,f n ) , F ( f1 , ,f n ) ∈ A Cuối với hàm chỉnh hình lân cận σ ( f1 , ,f n ) 3.3.2 Định lí (Silov - Arens - Calderon ) Cho A đại số với phổ S Giả sử f1 , , f n ∈ A Nếu F chỉnh hình lân cận U σ ( f1 , , f n ) F ( f1 , , f n ) ∈ A Chứng minh Đặt σ = σ ( f1 , ,f n ) Giả sử z ∈ σˆ − σ Khi f1 − z10 , ,f n − z 0n không đồng thời không S, nên tồn g1 , ,g n ∈ A cho ∑g ( f −z ) =1 i i i Đặt σ ' = σ ( f1 , ,f n ,g1 , ,g n ) π : ℂ 2n  → ℂ n phép chiếu lên n tọa độ Khi π : σ '  →σ π : σˆ '  →σˆ Suy z ∉ π ( σˆ ' ) Vì ∑z (z n +i i − zi0 ) = σ ' nên đồng thức bao lồi đa thức σˆ ' { } σ ' Nhưng z ∈ ℂ n ; ∑ z n +i ( z i − z i0 ) = 1, z i = z i0 ,1 ≤ i ≤ n = ∅ Vì vậy, σˆ ' compact nên có lận cận U Z0 z cho π ( σˆ ' ) ∩ U Z0 = ∅ Phủ σˆ − U hữu hạn lận cận U1 , , U k lấy g1 , ,g kn tập hợp tất n thành phần hàm A Khi với σ '' = σ ( f1 , ,f n ,g1 , ,g kn ) π : ℂ n + kn  → ℂ n phép chiếu lên n tọa độ đầu tiên, nên ta có π( σˆ '') ⊂ σˆ ∩ U Do F π chỉnh 40 hình lân cận σˆ '' , theo Định lí Oka có dãy đa thức p n ℂn + kn cho p n hội tụ tới F π σˆ '' Suy p n ( f1 , ,f n ,g1 , ,g kn ) hội tụ tới F ( f1 , ,f n ) S, F ( f1 , ,f n ) ∈ A Ta có điều phải chứng minh □ 3.3.3 Hệ (Định lí Silov lũy đẳng) Cho A đại số với phổ S Giả sử K tập vừa mở vừa đóng S Khi đó, hàm đặc trưng K 1, h ∈ K thuộc A χK ( h ) =  0, , h ∉ K Chứng minh { } Ta tìm hàm f1 , ,f n ∈ A cho σK = ( f1 ( h ) , ,f n ( h ) ) ; h ∈ K { } σ 'K = ( f1 ( h ) , ,f n ( h ) ) ; h ∉ K rời Lấy x ∈ K, y ∉ K Vì A tách điểm S, nên tồn f ∈ A cho f ( x ) = 1, f ( y ) = Khi tập 1 1   Uf = z; f ( z ) − <  ,Vf = z; f ( z ) <  rời nhau, U f lân cận x Vf 4 4   lân cận y Phủ K hữu hạn lận cận vậy, kí hiệu f1 , ,f t t hàm liên kết với chúng Đặt U x = ∩ U f j Phủ S – K (cũng compact) j=1 hữu hạn lân cận U x kí hiệu {f1 , ,f n } tập hợp tất hàm f j thu Khi x ' ∈ K y' ∉ K x ' ∈ U x = ∩ U f j với x y ' ∈ Vf j với j Khi f j ( x ') − < 1 f j ( y ' ) < , f j ( x ' ) ≠ f j ( y ' ) 4 Vì σ ( f1 , ,f n ) = σK ∪ σ 'K σ K ∩ σ 'K = ∅ Do σ K , σ 'K compact nên ta 41 có lân cận rời W, W ' 1 w ∈ W Hàm F ( w ) =  chỉnh hình lân cận σ ( f1 , ,f n ) 0 w ∉ W Suy F ( f1 , ,f n ) = χ K ∈ A theo Định lí 3.3.2 □ 3.4 Biên Silov 3.4.1 Định nghĩa Cho A đại số với phổ S Ta gọi biên Silov A tập đóng nhỏ Γ ⊂ S cho f S = f Γ với f ∈ A Nhận xét Nếu Γ biên Silov A khơng có hàm thuộc A đạt cực đại địa phương điểm S − Γ Do ta có định nghĩa sau: 3.4.2 Định nghĩa Một tập compact K S gọi tập đỉnh địa phương có lân cận U K hàm f ∈ A cho f K số f ( x) < f ( K ) với x ∈U , x ∉ K Ta nói K tập đỉnh ta lấy U = S Suy tập đỉnh địa phương tập đỉnh giao với biên Silov A 3.4.3 Bổ đề Cho K tập compact ℂ n , P tập đóng K U lân cận P Giả sử h chỉnh hình U, h ( x ) = với x ∈ P Re h ( x ) < với x ∈U − P Giả sử f chỉnh hình lân cận K, khả nghịch K – U f = he gh U, với g chỉnh hình U Khi đó, tồn hàm F chỉnh hình lận cận K cho F ( x ) = với x ∈ P , F ( x ) < với x ∈ K − P Chứng minh Trước tiên ta xét U Bằng cách giả thiết h = e − gh f = e − g 'f f = f + kf 42 U Khi f ( x ) = với x ∈ P , U ∩ ( K − P ) , ta có > R ef + R ef k ≥ Ref − f k ≥ R ef − M f , M giá trị lớn 2 k U Xét f ánh xạ K vào ℂ : w = f ( z ) Khi  1  f ( U ∩ K ) ⊂  w ∈ ℂ; w − ≥  Vì ∉ f ( K − U ) nên tồn ε > 2M 2M   cho f ( K ) ⊂ D ∪ {0} , D = {w ∈ ℂ; w − ε > ε} , f −1 ( ) = P Dẫn đến F = −ε ( f − ε ) −1 hàm mong muốn F ( ) = , ε ( w − ε ) −1 < với w ∈ D Ta có điều phải chứng minh □ 3.4.4 Định lí Cho A đại số với phổ S, R tập đỉnh địa phương S Khi đó, R tập đỉnh S, nghĩa tồn f ∈ A cho f ( x ) = với x ∈ R f ( x ) < với x ∉ R Đặc biệt, R ∩ Γ ( A ) ≠ ∅ Chứng minh Theo giả thiết tồn h ∈ A lận cận U R cho h R h ( R ) > h ( x ) với x ∈ U − P Đặt g = h ( x ) h − Khi g R = −1 Reg ( x ) < với x ∈ U − R Theo định nghĩa tôpô yếu S, với { } x ∈ R , ta tìm lân cận N = y ∈ S; fg i ( y ) < 1, ≤ i ≤ t cho x ∈ N ⊂ U Vì R compact nên ta tìm hữu hạn lân cận { } N j = y ∈ S; gi ( y ) < 1, t j−1 < i < t j ,1 ≤ j ≤ s cho U ⊃ ∪ N j ⊃ R j Đặt M = max g i Đặt σ = σ ( g ,g1 , ,g t ) , ( t = t s ) G : S  → ℂ t +1 định nghĩa z i ( G ( x ) ) = g i ( x ) , ≤ i ≤ t , z , , z t tọa độ ℂ t +1 43 Đặt ∆ = ∪ {z ∈ℂ t +1 ; z i < , t j−1 ≤ i ≤ t j zi < M với i khác} j Khi ∆ ∩ σ ⊂ {z; Re z0 ≤ 0} , G −1 ( ∆ ∩ {Re z = 0}) = R Vì biên ∆ ∩ σ tập compact {Re z < 0} nên ta tìm lận cận D0 σ − ∆ cho D0 ∩ ∆ ⊂ {Re z < 0} Khi D = D0 ∪ ∆ lận cận σ cho {z = 0} ∩ ∆ đa tạp đóng D Ta giả sử σˆ ⊂ D Theo Định lí 2.2.5, ta tìm đa diện đa thức P cho σˆ ⊂ P ⊂ D Đặt P0 = D0 ∩ P, P1 = ∆ ∩ P Vì P0 ∩ P1 ⊂ {Re z < 0} nên ta tìm nhánh đơn trị ln z P0 ∩ P1 Khi tồn gi chỉnh hình Pi cho z 0−1 [ ln z ] = g − g1 eg0z0 P0 Suy f =  g z chỉnh hình P Do lấy h = z , Bổ đề z 0e P1 3.4.3 áp dụng để tìm hàm mong muốn Ta có điều phải chứng minh □ Từ Định lí 3.4.4 dẫn đến hệ sau 3.4.5 Hệ Cho A đại số với phổ S h ∈ A Khi đó, với { } t ≥ thành phần liên thông x ∈ S ; h ( x ) ≥ t giao với biên Silov 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách tương đối đầy đủ giải tích phức hàm nhiều biến, đồng thời luận văn đưa kết quan trọng ứng dụng giải tích phức nhiều biến vào đại số đều, đặc biệt phổ đại số đều, phổ nối, biên Silov Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi sai sót Mong q thầy bạn có góp ý để luận văn hoàn thiện 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Đậu Thế Cấp (2000), Hàm biến phức, NXB Giáo dục B.V Sabat (1974), Nhập mơn giải tích phức, NXB Đại học THCN Tiếng anh T.W Gamelin (1969), Uniform algebras, Prentice-Hall, Inc Englewood Cliffs, N.J R.C Gunning, H Rossi (1965), Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc Englewood Cliffs, N.J J Zampieri (2006) Geometry of the domains of holomorphic and CR functions ... tài Giải tích phức chuyên ngành giải tích tốn học, có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Đặt biệt giải tích phức có ứng dụng thú vị sâu sắc đại số Tơi chọn đề tài để tìm hiểu sâu sắc giải tích phức. .. bày cách tương đối đầy đủ giải tích phức hàm nhiều biến, đồng thời luận văn đưa kết quan trọng ứng dụng giải tích phức nhiều biến vào đại số đều, đặc biệt phổ đại số đều, phổ nối, biên Silov Mặc... nghiên cứu Tìm hiểu tri thức giải tích phức xem xét vài ứng dụng đại số, đặc biệt đại số Đối tượng nghiên cứu Giải tích phức Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm nhiều biến phức Ý nghĩa khoa học thực