Tương tự p adic của hàm số mũ và hàm số lôgarit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Quân TƯƠNG TỰ p-ADIC CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Quân TƯƠNG TỰ p-ADIC CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT Chun ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu khoa học công việc vơ khó khăn địi hỏi người nghiên cứu phải làm việc cách nghiêm túc, có phương pháp Đặc biệt, đề tài “Tương tự p-adic hàm số mũ hàm số lơgarit” đề tài khó người nghiên cứu Để hồn thành đề tài này, khơng nhờ vào nỗ lực, cố gắng thân mà nhờ vào giúp đỡ ân cần nhiệt tình PGS TS Mỵ Vinh Quang, người mà vô kính trọng Thầy tận tình hướng dẫn tơi hướng dẫn bước đi, nghiêm khắc đánh giá làm, sai lầm vạch phương hướng giúp khắc phục sữa chữa Trong suốt trình làm việc Thầy, tơi học hỏi nhiều điều bổ ích, phương pháp tư duy, suy nghĩ, cách thức nhìn nhận vấn đề, cách thức trình bày vấn đề Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn vơ sâu sắc đến Thầy chúc Thầy có nhiều sức khỏe cống hiến cho giáo dục nước nhà, chúc Thầy gia đình đạt nhiều thành cơng sống Tôi xin gửi lời đến thầy cô khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho thực đề tài Bên cạnh đó, tơi gửi lời cảm ơn đến thầy Phịng sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ tơi hai năm qua Nhân dịp này, gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè tơi Họ nguồn động viên lớn trình làm luận văn Đề tài cịn nhiều thiếu sót hạn chế nên mong q thầy bạn đóng góp ý kiến Xin chân thành cảm ơn Tác giả Nguyễn Văn Quân MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ p – ADIC  p VÀ  p 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Chuẩn tương đương 1.1.3 Chuẩn phi Acsimet 1.1.4 Định lý Ostrosky 1.2 Trường số p – Adic  p 1.2.1 Xây dựng trường số p – adic  p 1.2.2 Mô tả trường số p – adic  p 1.3 Trường p 11 1.3.1 Trường  p 11 1.3.2 Mơ tả nhóm giá trị  p 12 1.3.3 Căn đơn vị  p 12 Chương HÀM SỐ MŨ TRONG TRƯỜNG VÀ HÀM SỐ LÔGARIT  p 13 2.1 Chuỗi lũy thừa 13 2.1.1 Định nghĩa 13 2.1.2 Bán kính hội tụ 13 2.1.3 Bổ đề 14 2.1.4 Bổ đề 15 2.2 Hàm số mũ hàm số lôgarit  p 15 2.2.1 Định nghĩa hàm số mũ hàm số lôgarit 15 2.2.2 Các bổ đề 21 2.2.3 Các tính chất hàm số mũ hàm số lôgarit 23 2.3 Sự mở rộng hàm số mũ hàm số lôgarit 28 2.3.1 Nhóm chia 28 2.3.2 Sự mở rộng hàm số mũ hàm số lôgarit 31 2.3.3 Hàm Iwasawa logarithm 38 2.3.4 Hàm lũy thừa Artin – Hasse 43 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 BẢNG KÍ HIỆU  : Tập số tự nhiên  : Vành số nguyên  : Trường số hữu tỉ  : Trường số thực p : Vành số nguyên p – adic  p ,  p : Các trường số p – adic p : Chuẩn p – adic hay chuẩn p Α⊂Χ : Α nhóm Χ Χ×Χ : Tích Descartes Χ Χ U : Tập đơn vị MỞ ĐẦU Trong giải tích thực giải tích phức, hàm số mũ hàm số lôgarit hàm quan trọng Bởi vậy, xây dựng giải tích p–adic cách tự nhiên nên nảy sinh vấn đề cần phải xây dựng tương tự p–adic hàm số mũ hàm lơgarit giải tích p-adic Vì vậy, tơi định chọn đề tài “Tương tự p-adic hàm số mũ hàm số lôgarit” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn là: xây dựng tương tự p-adic hàm số mũ hàm số lôgarit; khảo sát, mơ tả tính chất hàm số mũ hàm số lôgarit; mở rộng hàm số mũ hàm số lơgarit tồn mặt phẳng  p Bố cục luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Xây dựng trường số p-adic  p  p Trong chương này, tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị sau: Chuẩn phi Acsimet trường Xây dựng trường số p-adic  p ,  p Một số tính chất trường số p-adic Chương 2: Hàm số mũ hàm số lôgarit trường số  p Trong chương này, tơi trình bày nội dung sau: Xây dựng định nghĩa vành chuỗi lũy thừa hình thức số tính chất chúng; xây dựng định nghĩa hàm số mũ hàm số lôgarit p-adic khảo sát tính chất chúng; thác triển hàm số mũ hàm số lôgarit p-adic lên toàn mặt phẳng  p Chương XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ p – ADIC  p VÀ  p 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Khái niệm 1.1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Ánh xạ  : F →  gọi chuẩn F, thỏa điều kiện sau: i ) x ≥ 0, ∀x ∈ F ; x = ⇔ x = ii ) xy= x y , ∀x, y ∈ F iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F Ví dụ: 1) F =  ∨ F =  , giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn F 2) F =  , môđun số phức chuẩn F 3) F trường Xét ánh xạ:  :F → 1 , x ≠ x x = 0 , x = Dễ thấy  chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường 4) Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường 1.1.1.2 Mệnh đề Cho  chuẩn trường F có đơn vị Với x ∈ F ta có: i ) =−1 =1∈  ii ) x = − x , ∀x ∈ F n iii ) x n= x , ∀n ∈  iv) = x −1 , x ≠ x 1.1.2 Chuẩn tương đương 1.1.2.1 Không gian mêtric Cho Χ trường Ánh xạ d : Χ × Χ →  gọi mêtríc Χ , thỏa điều kiện sau: ( i ) d ( x, y ) ≥ 0, ∀x, y ∈ Χ; d ( x, y )= ⇔ x= y ( ii ) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) , ∀x, y, z ∈ Χ ( x, y ) ( iii ) d= d ( y, x ) , ∀x, y ∈ Χ Khi đó, ( Χ,d ) khơng gian mêtríc Cho  chuẩn trường F Ta định nghĩa hàm d : F × F →  sau: d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F Do  chuẩn F nên ta dẽ dàng kiểm tra d mêtríc F (F, d ) khơng gian mêtríc Tơpơ cảm sinh d tôpô mà sở lân cận cầu mở B ( a, r ) với r ∈ + 1.1.2.2 Định nghĩa Cho  ,  hai chuẩn trường F Ta nói hai chuẩn tương đương tôpô cảm sinh  ,  1.1.2.3 Định lý Cho F trường  ,  hai chuẩn trường F Các điều sau tương đương: ( i ) ∀x ∈ F , x < ⇔ x < ( ii ) ∀x ∈ F , x ≤ ⇔ x ≤ c ( iii ) ∃c ∈ , c > : ∀x ∈ F , x =x ( iv ) {xn } dãy Cauchy theo chuẩn  {xn } dãy Cauchy theo chuẩn  ( v )  tương đương với  (    ) Chú ý rằng: {xn } dãy Cauchy theo chuẩn lim m, n →+∞  , nghĩa là: Hay ∀ε > 0, ∃no ∈  : ∀n, m > no , xm − xn < ε xm − xn = 1.1.3 Chuẩn phi Acsimet 1.1.3.1 Định nghĩa Cho  chuẩn trường F Chuẩn  gọi chuẩn phi Acsimet F thỏa thêm điều kiện: iii′) x + y ≤ max{ x , y }, ∀x, y ∈ F Chuẩn thỏa (iii) không thỏa (iii’) gọi chuẩn Acsimet Ví dụ: Chuẩn tầm thường trường F chuẩn phi Acsimet 1.1.3.2 Định nghĩa ( ordp  ) Cho p số nguyên tố cố định Với m ∈ Z , ta định nghĩa ord p (m) số tự nhiên k lớn để m p k (nếu m  p ord p (m) = ) 1.1.3.3 Định nghĩa ( ordp  ) Cho p số nguyên tố cố định Với x ∈ \ {0} , ta ln có:  m  m, n ∈  ; ( m, n ) = x = pα   n = = m , p ; n , p ( ) ( )   α gọi p– số mũ x , ký hiệu ord p ( x) = α ord p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ 1.1.3.4 Mệnh đề Cho p số nguyên tố, ∀x, y ∈ , ta có: i )ord = p ( xy ) ord p ( x ) + ord p ( y ) ii )ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )} Quy ước: 34 ∞ i ( a.x ) xi i +1 Khi LOG ( a.x= ) LOG a + ∑ ( −1) = LOG a + ∑ ( −1) ( a −1 ) i i i =i = ∞ i i +1 Vậy LOG hàm giải tính lớp ghép nhóm nhân *p theo nhóm  +p ( ii ) Hiển nhiên (do LOG đồng cấu) = EXP x log = EXP x x (do ( iii ) ∀x ∈  p , ta có: EXP x ∈ +p Suy ra: LOG tính chất ( iii ) mệnh đề (2.3.2.2.)) ( v ) Với a ∈  p , ta xét a + E đối tập  p theo nhóm E ( iv ) Với a ∈ *p , ta xét a. +p đối tập *p theo nhóm  +p ( ) ( ) LOG a + LOG a −1.x = LOG a + log a −1.x Khi ∀x ∈ a. +p , ta có LOG x = ( )) ( ( )) a −1 LOG a + log a x ' = log a = x ' = Suy ( LOG x ) ' = a −1.x x ( LOG x ) ' = ( −1 −1 1 với x ∈ a. +p Vậy ( LOG x ) '= , ∀x ∈ *p ■ x x Theo mệnh đề (2.3.2.3.), ta có LOG EXP x = x với x ∈  p Vấn đề đặt EXP LOG x = x hay không ? Câu trả lời khơng Tuy nhiên, ta có định lý sau: 2.3.2.4 Định lý Cho hàm số h : *p → *p với h ( x ) = x với x ∈ *p EXP LOG x Khi đó, ta có tính chất sau: ( i ) h ( xy ) = h ( x ).h ( y ) Cho G ( ii ).= h ( x ) p = x p với x, y ∈  p {EXP x : x ∈ { p } Khi đó, G chứa + E G nhóm mở nhóm nhân  +p Đặc biệt, G không chứa đơn vị ngoại trừ 35 ( iii ) {x ∈ { * p Tập } :h ( x ) = = G Do đó, h hàm địa phương * ( iv ) {h ( x ) : x ∈ {{ {x ∈ *p : LOG x =0} p} = {x ∈ { p } { } :xp = 1, LOG x = = U Cho hàm j : x ∈ { p : x p = → U hàm thu { } hẹp hàm h tập x ∈ { p : x p = Khi đó, j toàn cấu Chứng minh ( i ) Với , ta có h ( xy ) x, y ∈  p= xy xy = EXP LOG ( xy ) EXP ( LOG x + LOG y ) xy = h ( x ) h ( y ) Vậy h ( xy ) = h ( x ) h ( y ) với ( EXP LOG x ).( EXP LOG y ) x, y ∈  p Với x ∈ *p , EXP LOG x EXP y ∈  +p = h( x) p = ( ii ) x EXP LOG x ta Suy có = y LOG x ∈ *p Khi EXP LOG x p = Do nên h ( x ) p = x p Vậy h ( x ) p = x p với x ∈ *p p Ta có + E ⊂ G Thật vậy, theo mệnh đề (2.2.3.1), ta có exp song ánh E exp= E EXP E Suy + E ⊂ G từ E lên + E Khi + = G tập mở Thật vậy, với y0 ∈ G nên tồn x0 ∈  p cho     EXP ( x0 ) = y0 Bây giờ, ta xét Β  y0 , y p p1− p  Với y ∈ Β  y0 , y0 p p1− p          , ta có y − y0 p ≤ y0 p p 1− p y y Suy − < p1− p Khi ∈1 + E Do exp y0 y p 36 song ánh từ E lên + E nên tồn x ∈ E cho exp x = y Suy y0   1− p   y EXP ( x ) EXP ( x= = ⊂ G ) EXP ( x + x0 ) ∈ G Do y0 ∈ Β y0 , y p p     Vậy G tâp mở Bây giờ, ta chứng minh G nhóm nhân  +p Rõ ràng G ⊂  +p Với y1, y2 ∈ G nên tồn x1, x2 ∈  p cho y1 = EXP ( x1 ) y2 = EXP ( x2 ) Khi y1.= y2 EXP ( x1 ) EXP ( x= ) EXP ( x1 + x2 ) ∈ G Mặt khác, với y ∈ G nên tồn x ∈  p cho y = EXP x Khi −1 y= EXP ( − x ) ∈ G Vậy G nhóm nhân  +p G không chứa đơn vị ngoại trừ Thật vậy, giả sử y ∈ G , y đơn vị Ta có y ∈ G nên tồn x ∈  p cho y = EXP x Mặt khác, y đơn vị nên tồn n ∈  cho y n = Khi ( EXP x ) = Do n EXP ( nx ) = Suy n.x = Suy x = Vậy y = ( iii ) { } G= x ∈ {*p : h ( x ) = Thật vậy, vói y ∈ G nên tồn x ∈  p cho EXP x = y Khi = h( y) EXP x EXP x = = Suy y ∈VP EXP ( LOG EXP x ) EXP x Vậy G ⊂ VP Ngược lại, với y ∈VP , ta có h ( y ) = Suy { } = y EXP ( LOG x ) ∈ G Suy VP ⊂ G Vậy G = x ∈ {*p : h ( x ) = Bây giờ, ta chứng minh h hàm địa phương Với y0 ∈ *p , ta có y0 G tập mở (do G tập mở) Rõ ràng y0 ∈ y0 G Khi đó, với h ( x ) h= x ∈ y0 G , ta có x = y0 g với g ∈ G Do đó= ( y0 g ) h ( y0 ).h ( g ) Do g ∈ G nên h ( g ) = Suy h ( x ) = h ( y0 ) Vậy h hàm địa phương 37 * ( iv ) {h ( x ) : x ∈ {{ {x ∈ *p : LOG x =0} Thật vậy, với p} = y ∈VT nên tồn   x x ∈  p cho h ( x ) = y Khi LOG y LOG h ( x ) LOG  = =   EXP LOG x  = LOGx − LOG x = {h ( x ) : x ∈ {{ } ⊂ {x ∈ * p * p } : LOG x = Ngược lại, Suy với y ∈VP { nên } y = y Do VT ⊃ x ∈ {*p | LOG x = EXP LOG y LOG y = Khi h ( y ) = { y ∈VP Do } { } * * Vậy h ( x ) : x ∈ {{ p =x ∈ p : LOG x = Tập {x ∈ { p } U Thật vậy, với x ∈VT nên :xp = 1, LOG x = = x p = LOG x = Ta có x ∈  p , theo mệnh đề (2.2.2.3.), ta x = p m a với m ∈  a ∈  +p Do x p = p − m a p Do x p = nên m = Suy x= a ∈  +p Ta lại có LOG x = Theo mệnh đề (2.2.3.2.), ta có x đơn vị Do x ∈U Suy VT ⊂ U Ngược lại, với x ∈U , ta có x p = Mặt khác tồn n ∈  cho x n = Khi LOG x n = Suy n.LOG x = Do {x ∈ { p LOG x = Suy x ∈VT Suy U ⊂ VT Vậy } :xp = 1, LOG x = = U { } Bây giờ, với j : x ∈ { p : x p = → U hàm thu hẹp h tập {x ∈ { p } :xp= Ta chứng minh j toàn cấu { } Với x ∈ x ∈ { p : x p = , ta có j ( x ) = h ( x ) Theo (i ) ta có = = j ( x= Mặt khác LOG ) p h( x= ) p x= ( j ( x ) ) LOG ( h ( x ) ) Suy p j ( x ) ∈U Vậy j ánh xạ đồng cấu 38 Bây ta kiểm tra tính tồn cấu j Với y ∈U nên tồn n ∈  cho y n = y p = Khi LOG y n = Suy LOG y = Do tồn h( x= (do x0 ∈ *p cho h ( x ) = y Do y= ) p x= p p { ( i ) ) Suy } x∈ x∈{ p : x p = j= ( x ) h= ( x ) y Vậy j toàn cấu ■ 2.3.2.5 Hệ Ký hiệu Τ= {x ∈ { p } : x p= Ta có Τ, U , G nhóm *p có phân tích: Τ= U × G Chứng minh Rõ ràng Τ, U , G nhóm *p Bây giờ, ta chứng minh Τ= U × G = Với x ∈ Τ , ta có x h= ( x ).EXP ( LOG x ) j ( x ).EXP ( LOG x ) Do x ∈ Τ nên j ( x ) ∈U Ta lại có EXP ( LOG x ) ∈ G Suy x ∈U × G Mặt khác, ta có G khơng chứa đơn vị ngoại trừ (theo định lý (2.3.2.4.)) Suy U ∩G = {1} Vậy Τ= U × G ■ 2.3.3 Hàm Iwasawa logarithm 2.3.3.1 Định nghĩa (hàm ord p ) Mọi x ∈*p , ord p ( x ) = r x p = p − r ord p hàm số, giá ord p ( xy ) = ord p ( x ) + ord p ( y ) trị ( x, y ∈  ) * p số hữu tỉ Giống LOG , hàm ord p đồng cấu từ *p →  p 2.3.3.2 Mệnh đề ord p hàm địa phương Chứng minh ( Với x0 ∈ *p , ta có Β x0 , x0 ( x0 ∈ Β x0 , x0 p p ) cầu mở Rõ ràng ) Khi đó, với x ∈ Β ( x , x ) , ta có 0 p x − x0 p < x0 p Do 39 x p = x − x0 + x0 p = x0 p Suy ord p ( x ) = ord p ( x0 ) Vậy ord p hàm địa phương ■ 2.3.3.3 Định lý Cho f , g : *p →  p hai mở rộng hàm log:  +p →  p Khi đó, ∃c ∈  p cho: f= ( x ) g ( x ) + c.ord p ( x ) với x ∈*p Chứng minh Với x ∈  +p , cho x p = 1, tồn n ∈  để x n ∈  +p Khi đó: ( log xn ) / n ( ) g= ( x ) / n g ( x) f ( x) = f= xn / n = n { } Vậy f = g tập x ∈ { +p : x p = Mặt khác, với x ∈*p , ta có x p = p − r với ord p ( x )= r= t với t , n ∈ Suy n x n = p t y với y ∈  p y p = Do y p = nên f ( y ) = g ( y ) Ta lại có: f ( x n ) = f ( p t ) + f ( y ) = t f ( p ) + f ( y ) g ( x n ) = g ( p t ) + g ( y ) = t.g ( p ) + g ( y ) Do f ( x ) − g ( x ) = ( f ( x ) − g ( x )) / n = ( f ( p ) − g ( p ))t / n n n = c.ord p ( x ) với = c : f ( p) − g ( p) Vậy f= ( x ) g ( x ) + c.ord ( x ) với ∀x ∈ *p ■ 2.3.3.4 Hệ Tồn hàm số f : *p →  p cho: ( i ) f mở rộng log: +p →  p ( ii ) f ( xy )= f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈*p ( iii ) f ( p ) = 40 Chứng minh Xét ánh xạ: f : *p →  p x = f ( x ) LOG x − ord p ( x ) LOG p với LOG mở rộng hàm log Rõ ràng: f đồng cấu Bây giờ, ta kiểm tra f thỏa ( i ) , ( ii ) , ( iii ) ( i ) f mở rộng hàm log ? Tức với x ∈  +p ta chứng minh f ( x ) = log x Với x ∈  +p , ta có f ( x ) = log x (do LOG x − ord p ( x ) LOG p = x ∈  +p nên ord p x = ) Vậy f mở rộng hàm log ( xy ) f ( x ) + f ( y ) ( ii ) ∀x, y ∈ *p , ta chứng minh: f = Ta có: = f ( xy ) LOG ( xy ) − ord p ( xy ) LOG p = LOG x + LOG y − ( ord p x + ord p y ) LOG p = LOG x − ord p ( x ) LOG p + LOG y − ord p ( y ) LOG p = f ( x) + f ( y) ( iii ) f ( p ) = 0? Ta có: = f ( p ) LOG p − ord p ( x ) LOG p = LOG p − LOG p = Vậy hàm f hàm thỏa điều kiện đề ■ 2.3.3.5 Định nghĩa hàm Iwasawa logarithm Hàm số f hệ (2.3.3.4.) hàm Iwasawa logarithm *p kí hiệu log p 2.3.3.6 Định lý Ngồi số tính chất mệnh đề (2.3.2.3.), log p có tính chất sau: 41 ( i ) Cho x ∈ *p Khi log p x = tồn n ∈  cho x n lũy thừa nguyên p Đ ặc biệt, x p = log p x = x đơn vị ( ii ) Cho x ∈ *p Khi log p x = x = p n y với n ∈ , y đơn vị p −1 ∞ (1 − x ) ( iii ) Cho x ∈  p , x p = Khi log p x = ∑ n − p n=1 n ( iv ) Cho a ∈ *p Khi đó: ∞ log p = x log p a + ∑ ( −1) n =1 n +1 a−n ( x − a ) n n ( x−a p ) < ap Chứng minh ( i ) Chiều thuận Với x ∈  p , theo mệnh đề (2.2.2.3.), ta có tồn n ' ∈  cho x n ' = p m ' a với m ∈ , a ∈  +p Ta lại có: log p x = Suy log p a = Do a ∈  +p nên a đơn vị Suy tồn n '' ∈  cho a n '' = Khi đó, ta có ( x n ' ) = ( p m ' a ) Suy xn '.n '' = p m '.n '' Chọn n '' n '' = n n '.n '' ∈ = , m m '.n '' ∈  , ta x n = p m Vậy x n = p m Chiều ngược Với x ∈  p , tồn n ∈  cho : x n = p m với = ra: log p x m ∈  Suy m log p x n ) ( log (= p p ) = n n Vậy log p x = Bây giờ, ta chứng minh: Nếu x p = log p x = x đơn vị Chiều thuận Ta có log p x = Do tồn n ∈  cho x n = p m với m ∈  42 m p= p − m Do x p = nên p − m = Suy m = Khi p xn Suy = p n x= p= Vậy x đơn vị Chiều ngược Hiển nhiên ( ii ) Chiều thuận Với x ∈ *p , ta có x = p n a với n ∈  a p = Mặt khác, ta có log x = Do log p n a = Suy log a = Do a p = nên theo ( i ) , ta có a đơn vị Chiều ngược Hiển nhiên ( iii ) Với x ∈  p cho x p = , ta có: x p −1 − p < Khi đó: ( ( )) log p x = ( p − 1)−1 log p x p −1 = ( p − 1)−1 log p + x p −1 − p −1 − 1) n +1 ( x − ( ) ( n − x p −1 ∞ −1 =− = ∑ ( −1) ( p 1) ∑ n p − 1n n n 1= = ∞ = ∞ ∑ − p n =1 (1 − x p −1 ) ) n n n ( iv ) Cho a ∈ *p Với x ∈  p , cho: x − a p < a p Suy x.a −1 − < p ( ∞ ) ∑ Khi đó, ta có log p ( x.a −1 ) = log p + ( x.a −1 − 1) = ∞ =∑ ( −1) n +1 ( −a ) n ( x − a )n n n =1 Suy ( log p x.a log p x= log p a + −1 ∞ ) =log p x − log p a =∑ ( −1) ∑ ( −1) n =1 ∞ n =1 n +1 ( −a ) n ( x − a )n n ■ −1 − 1) n +1 ( x.a ( −1) n n n =1 n +1 ( −a ) n ( x − a )n n Do 43 2.3.4 Hàm lũy thừa Artin – Hasse Một ứng dụng hàm số mũ hàm lũy thừa Artin – Hasse Đây hàm có nhiều ứng dụng số học Sau đây, tơi xin trình bày cách xây dựng định nghĩa hàm lũy thừa Artin – Hasse 2.3.4.1 Định nghĩa (Hàm Mobius) Cho n ∈ * , ta định nghĩa hàm µ sau µ (1) = 1, µ ( n ) = n chia hết cho k > , m ( p1 pm ) = ( −1)m pi ∑ µ ( d ) = Với n ∈ * , ta có n = p1α1 pαk k , với pi số nguyên tố khác 2.3.4.2 Định lý (d ) ∑ µ ( d ) = , ∑ µ= 2k ( n > 1) d |n d |n Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh d |n số nguyên tố α i ∈ * , ∀i =1, k Do d | n nên d = p1β1 pkβk với ≤ βi ≤ α i , ∀i =1, k Giả sử tồn i0 ∈ {1, , k} cho βi0 > Khi d chia hết cho pi20 Suy µ ( d ) = Như d | n µ ( d ) = d = p1β1 pkβk , với ≤ βi ≤ , ∀i =1, k Khi đó: ∑ µ ( d ) =1 + ∑ µ ( pi ) + ∑ µ ( pi p j ) + + µ ( p1 pk ) d |n i i, j = + C1.( −1) + Ck2 ( −1) + + ( −1) = (1 − 1) = Bây ta chứng minh (d ) ∑ µ= k k 2k ( n > 1) Ta có: d \n ∑ µ ( d ) =1 + ∑ µ ( pi ) + ∑ µ ( pi p j ) + + µ ( p1 pk ) d |n i i, j =1 + Ck1 + Ck2 + + Ckk =(1 + 1) =2k ■ k 44 2.3.4.3 Mệnh đề µ (n) ∑− n n≥1 ∑ − n≥1, p | n ( ) x với số nguyên tố p , ta có: log − x n = µ (n) p p2 log − x n =+ x x + x + n p p ) ( Chứng minh ( Ta có log − x n )= ∑ ( −1) m+1 (−x ) n mm (n) (n) n n n≥1 Đặt N = n.m Khi ∑ x n m Khi = −∑ m m≥1 m m≥1 ∑− m ( log − x m (n) ) x n m xN ∑ =∑ N n m≥1 m N ≥1 n≥1 xN ta có ∑ µ ( n ) = Suy ∑ N ≥1 N n| N x n m = ∑ n ∑ m n≥1 m≥1 ∑ m ( n ) Theo định lý (2.3.4.2.), n|N ∑ µ ( n ) = x Vậy n|N ∑− µ (n) n≥1 n ( ) x log − x n = Với số nguyên tố p bất kỳ, thỏa p không ước n , ta có: ∑ n≥1, p | n − µ (n) p p2 x x + x + Thật vậy: log − x n =+ n p p ( ) ∑ µ (n) − n n≥1, p | n Đặt v = ord p N ( v ≥ 0) (2.3.4.2.), ta có ∑ ( log − x n ) xN = ∑ N ≥1 N ∑ µ (n) n|N , p | n Do n | N p | n nên n | N p − v Theo định lý = N p v ( v ≥ ) Khi đó: µ ( n ) = , ngoại trừ trường hợp n|N , p | n ∑ n≥1, p | n − µ (n) n ( log − x n ) =∑ N = pv xN p p3 x x + x + ■ =+ N p2 p 45 ∏( 2.3.4.4 Hệ exp= ( x) − xn n≥1   1 exp  x + x p + x p + =  p p   ) − µ ( n )/ n ∏ ( − xn n≥1, p | n với số nguyên tố p , ta có ) − µ ( n )/ n Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh exp= ( x) ∏ (1 − x n ) − µ ( n )/ n n≥1 ∑− Ta có µ (n)  µ (n) x Khi exp ( x ) = log − x n = exp  ∑ − log − x n  n n  n ≥1 n≥1  = ∏ exp  log − x n  n ≥1  ( ( ) − ( ) µ (n) n       Theo mệnh đề (2.2.3.1.), ta có exp log − x n   ( Suy exp= ( x) ∏ (1 − x ) n  )  − µ ( n )/ n ) − µ (n) n µ (n)  − n = n , ∀n ≥ 1− x   ( ) n≥1 Với số nguyên tố p bất kỳ, thỏa p không ước n , ta có:   1 exp  x + x p + x p + =  p p   ∑ n≥1, p | n − ∏ ( − xn n≥1, p | n ) − µ ( n )/ n µ (n) p p2 x x + x + log − x n =+ n p p ( ) Thật vậy, ta có 46    µ (n) 1 Khi đó: exp  x + x p + x p= log − x n +  exp  ∑ −  n ≥1, p | n p n p    (  mệnh đề (2.2.3.1.), ta có exp  log − x n   (   1 exp  x + x p + x p + =  p p   ∏ ( ) − µ (n) − xn n≥1, p | n n ) )   Theo   µ (n)  − n = n , ∀n ≥ 1, Suy 1− x   ( − µ ( n )/ n ) ■ 2.3.4.5 Định nghĩ Hàm lũy thừa Artin-Hasse chuỗi lũy thừa hình thức xác   định bởi: E p ( x ) =exp  x + x p +  =1 + x + p   47 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Hệ thống hóa kiến thức sở làm tảng nghiên cứu đề tài: xây dựng trình bày số tính chất trường số p-adic  p , p Xây dựng định nghĩa vành chuỗi lũy thừa hình thức số tính chất chúng Xây dựng, định nghĩa hàm số mũ hàm số lôgarit p-adic khảo sát tính chất chúng Thác triển hàm số mũ hàm số lôgarit p-adic lên tồn mặt phẳng  p Trình bày cách hệ thống khái niệm tính chất hàm Iwasawa logarithm hàm lũy thừa Artin-Hasse 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]: W.H.Schikhof, Ultrametric calculus, Cambridge University Press, Cambridge [2]: Kenkichi Iwasawa, Lecturse on P-adic L-Functions, Princeton University Press and University Tokyo Press [3]: Pei-Chu Hu, Meromorphic Fuctions over Non-Archimedean Fiels, Kluwer Academic Publishers [4]: Neal Koblitz, P-adic Numbers,P-adic Analysis and Zeta Functions, Second Edition (Springer) [5]: Alain M.Robert, Acourse in P-adic Analysis, Springer ... – adic  p 1.2.2.1 Vành số nguyên p? ? ?adic  p { } Cho p số nguyên tố cố định T? ?p h? ?p  p = x ∈  p : x p ≤ với ph? ?p cộng nhân  p l? ?p thành vành Vành gọi vành số nguyên p? ? ?adic 8 T? ?p h? ?p tất phần... giả sử u p ≥ Ta có: x pn p n −1 k k 1+ u C knuk −1 = C nu = p p k 1= k = p p −1 = ( p p n −1 Mà ∑ k =1 = u pn p ) ≤ ppu C knuk p pn pn p n −1 p ∑