Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Nga MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Nga MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy TS.Trần Đình Thanh tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng phản biện nhận xét đóng góp cho ý kiến quý giá Tôi xin chân thành cảm ơn q thầy nhiệt tình giảng dạy kiến thức quý báu thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Tp HCM tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN LỜI NÓI ĐẦU Chương SỬ DỤNG QUAN HỆ THỨ TỰ 1.1.Định lí Bourbaki–Kneser, ứng dụng vào nguyên lí biến phân Ekeland, định lí Caristi 1.1.1 Tập có thứ tự 1.1.2 Định lí Bourbaki–Kneser 1.1.3 Định lí Caristi 1.1.4 Nguyên lí biến phân Ekeland 1.2.Định lí điểm bất động ánh xạ tăng không gian Banach có thứ tự ………………………………………………………………………… 10 1.2.1 Khơng gian Banach có thứ tự (OBS ) 10 1.2.2 Định lí 12 1.2.3 Nguyên lí Entropy 13 1.2.4 Định lí điểm bất động 15 Chương SỬ DỤNG TÍNH LỒI VÀ COM PACT 17 2.1 Định lí Fan-Knaster-Kuratowwskii-Mazurkiweicz (FKKM) 17 2.1.1 Bổ đề KKM 17 2.1.2 Định lí FKKM 17 2.2 Bất đẳng thức Ky-Fan hệ 19 2.2.1 Định lí 2.2.1 19 2.2.2 Các hệ 22 2.3 Định lí Ky Fan–Glicksberg định lí Schauder 26 2.3.1 Định lí (Ky Fan–Glicksberg) 26 2.3.2 Định lí Schauder 29 2.4 Ứng dụng quy hoạch lồi 30 Chương SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CO 35 3.1 Ánh xạ không giãn 35 3.1.1 Bổ đề 36 3.1.2 Định lí 37 3.2 Ánh xạ co số mở rộng 38 3.2.1 Ánh xạ co 38 3.2.2 Mở rộng ánh xạ co 40 Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM 44 4.1 Định lí Knasnoselski 44 4.2 Định lí Leray-Schauder 45 4.2.1 Bổ đề 45 4.2.2 Định lí Leray-Schauder 46 KẾT LUẬN 49 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN co { x1 ,x2 , ,xn } : bao lồi n phần tử x1 ,x2 , ,xn X : họ tất tập X sup { x, y} : cận hai phần tử x, y [ a,b] : khoảng thứ tự hai phần tử a b  n : không gian Euclide n chiều dim : số chiều diam ( A ) : đường kính A : chuẩn khơng gian Fix (T ) : tập điểm bất động T conv f ( E ) : bao lồi đóng f ( E ) deg : bậc topo C ( Ω ) : không gian hàm liên tục tập Ω ker : hạt nhân LỜI NÓI ĐẦU Nhiều tượng tự nhiên xã hội mơ tả phương trình bất phương trình ta cần chứng minh tồn ngiệm chúng Các phương trình bất phương trình đa dạng để nghiên cứu chúng nhà Toán học xây dựng nhiều phương pháp khác Tuỳ thuộc vào tính chất khơng gian (có quan hệ thứ tự, có tính chất lồi, tính đầy đủ, ) hay tính chất ánh xạ phương trình bất phương trình (tính chất co, tính hồn tồn liên tục, tính đơn điệu, tính khả vi, ) mà ta chọn phương pháp thích hợp Do đó, việc tìm hiểu phương pháp nghiên cứu tồn nghiệm phương trình bất phương trình trình bày chúng tài liệu việc làm cần thiết Luận văn trình bày chi tiết hệ thống phương pháp sau nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, bất phương trình bao gồm: Phương pháp sử dụng quan hệ thứ tự Phương pháp sử dụng tính lồi compact Phương pháp sử dụng tính chất co Phương pháp sử dụng đạo hàm Luận văn gồm chương: Trong chương 1, tơi trình bày định lí điểm bất động chứng minh dựa việc sử dụng quan hệ thứ tự Trong có hai định lí làm tảng cho định lí khác, Ngun lí Entropy Định lí Bourbaki–Kneser Trong chương 2, tơi trình bày định lí FKKM bất đẳng thức Ky-Fan, định lí tảng cho nghiên cứu điểm bất động tập compact lồi số ứng dụng quy hoạch lồi Chương trình bày ánh xạ co mở rộng ánh xạ co Chương trình bày Định lí Knasnoselski Định lí Leray-Schauder dựa phương pháp sử dụng đạo hàm Luận văn trình bày lượng kiến thức tương đối đầy đủ, với chứng minh chi tiết phương pháp nghiên cứu tồn nghiệm Tài liệu phục vụ nhu cầu tham khảo cho học viên cao học học học phần Giải tích phi tuyến Chương SỬ DỤNG QUAN HỆ THỨ TỰ 1.1 Định lí Bourbaki–Kneser, ứng dụng vào nguyên lí biến phân Ekeland, định lí Caristi 1.1.1 Tập có thứ tự 1.1.1.1 Định nghĩa Tập hợp E gọi thứ tự ≤ : ∀x , y, z ∈ E , ta có (i) x ≤ x (ii) x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y (iii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z Cho ( E ,≤ ) tập có thứ tự x ≤ y A ⊂ E gọi xích (tập thứ tự tồn phần) ∀x , y ∈ A :  y ≤ x x* ( x * ) gọi phần tử tối thiểu-min (phần tử tối đại-max) E x ≤ x* ( x * ≤ x ), x ∈ E ⇒= x x* (= x* x ) Cận (cận trên) tập F ⊂ E a ∈ E (a ∈ E ) a ≤ x ( x ≤ a ), ∀x ∈ F Cận nhỏ nhất( cận lớn nhất) F , kí hiệu inf F (sup F ) phần tử lớn (nhỏ nhất) tập hợp gồm tất cận (trên) F {x E | a ≤ x} ∀a ∈ E , ta định ngĩa tiết diện phải a : S+ (a) =∈ Tương tự, ta định nghĩa tiết diện trái S− (a) đoạn [a= , b] S+ (a) ∩ S− (b) , với a ≤ b 1.1.1.2 Bổ đề Zorn Cho tập thứ tự khác rỗng ( E , ≤) , xích E có cận E có phân tử tối đại 1.1.1.3 Định nghĩa Cho ( E , ≤ ) , ( F , ≤ ) hai tập thứ tự Ánh xạ f : E → F gọi bảo toàn thứ tự (ngặt) x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ( x < y ⇒ f ( x ) < f ( y ) ) Tương tự, định nghĩa ánh xạ ngược có thứ tự (ngặt) Nếu f : E → F bảo toàn thứ tự a ≤ f (a),( f (a) ≤ a) f (S± (a)) ⊂ S± (a) Như vậy, a ≤ f (a) f (b) ≤ b dẫn đến f ([a, b]) ⊂ [a, b] Cho ánh xạ f : E → E , phần tử x ∈ E thoả mãn x ≤ f ( x ) ( f ( x ) ≤ x ) gọi nghiệm (nghiệm trên) f 1.1.2 Định lí Bourbaki–Kneser (Bourbaki–Kneser [3]) Cho ( E , ≤) tập thứ tự mà xích có cận Nếu f : E → E thoả mãn x ≤ f ( x ), ∀x ∈ E f có điểm bất động Chứng minh Theo bổ đề Zorn, E có phần tử tối đại, gọi phần tử a Và a ≤ f (a) nên a = f (a) Vậy a điểm bất động f Định lí điểm bất động Bourbaki–Kneser nguyên lí tổng quát, số định lí điểm bất động quan trọng suy từ 1.1.2.1 Hệ (Amann) (Amann [3]) Giả sử xích ( E , ≤) có cận nhỏ f : E → E ánh xạ bảo tồn thứ tự Nếu f có nghiệm a ≤ f (a) f có điểm bất động S+ (a) 36 Giả sử a, b ∈ E Khi ∀x ∈ E , từ đẳng thức hình bình hành ta có:  a+b a−b x− −   a+b Suy x − x0 Coi = 2  a+b a−b + x− +    a+b =2  x −   2 a − b  +   2 2 a−b 1 + =  x − a + x − b  ≤ diam( E ) 2  (a + b) , (3.1) thoả Với tập lồi, đóng, bị chặn E , ta định nghĩa: = rE inf sup x − y x∈E y∈E Khi rE ≤ diam ( E ) Hơn X không gian Banach với cấu trúc chuẩn nên rE < diam ( E ) 3.1.1 Bổ đề Nếu X không gian Banach phản xạ, E tập lồi, đóng, bị chặn ∃x0 ∈ E : sup x0 − y = rE y∈E Chứng minh Hàm = f ( x ) sup x − y lồi, nửa liên tục coercive Theo hệ 2.2.3’, y∈E f ( x ) Khi sup x= ∃x0 ∈ E : f ( x0 ) = sup = x − y rE 0−y x∈E x∈E y∈E y∈E Ghi Cho G( y ) = {x ∈ E y − x ≤ rE }, ∀y ∈ E , ta định nghĩa ct( E ) =  G( y ) y∈E Từ bổ đề 3.1.1 , x0 ∈ ct( E ) Hơn ct( E ) tập lồi, đóng, khác rỗng E gọi tâm E Từ định nghĩa, ta có sup x ,y∈ct ( E ) x − y ≤ rE ( 3.2 ) 37 3.1.2 Định lí Giả sử E tập lồi, đóng, bị chặn khơng gian Banach phản xạ với cấu trúc chuẩn, T : E → E ánh xạ khơng giãn, tập điểm bất động T , kí hiệu Fix (T ) , tập lồi, đóng khác rỗng Chứng minh • Cho X tập tất tập lồi,đóng, khác rỗng E Ta định nghĩa thứ tự X sau : C1 ≤ C2 ⇔ C2 ⊂ C1 , ∀C2 , C1 ∈ X Khi ( X , ≤) tập thứ tự Trong xích X1 có sup  C C∈X1 Phần giao khác rỗng E compact yếu C đóng yếu • Định nghĩa f (C ) = ct(conv(T (C ))) Khi f : X → X bảo tồn thứ tự E ≤ f ( E ) Theo định lí Amann, f có điểm bất động C0 ∈ X Khi C0 ⊂ E lồi, đóng, khác rỗng T − bất biến thoả C0 = ct(conv(T (C0 ))) • Ta chứng minh C0 tập điểm Nếu không, từ rC < diam (C ) cho tất tập C lồi, đóng, bị chặn chứa điểm, ta có diam(C0 ) = diam(ct(conv(T (C0 )))) sup = x−y x ,y∈ct (conv (T (C0 ))) ≤ rconv(T (C )) < diam (conv(T (C0 ))) = diam (T (C0 )) ≤ diam (C0 ) Điều mâu thuẫn Do C0 tập điểm E , giả sử C0 = {x0} Mà C0 điểm bất động f nên = x0 f= ({x0}) ct(conv (= Tx0 )) Tx0 38 Vậy Fix (T ) khác rỗng Dễ kiểm tra Fix (T ) lồi, đóng Ghi Khơng gian Banach X gọi lồi ∀ε > 0, ∃δ > : ∀x , y ∈ X , x , y ≤ 1, x − y ≥ ε ⇒ x+y ≤ 1−δ Không gian Hilbert không gian Banach lồi, Lp (Ω , B, µ ),1 < p < +∞ không gian Banach lồi, Nhưng C (Ω ) không không gian Banach lồi, Không gian Banach lồi, không gian Banach phản xạ với cấu trúc chuẩn 3.2 Ánh xạ co số mở rộng 3.2.1 Ánh xạ co Định lí 3.2.1 (BrowderGă ohde) (BrowderGă ohde [3]) Gi s X l không gian Banach lồi, E tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng X Nếu T : E → E ánh xạ không giãn T có điểm bất động Chứng minh: áp dụng định lí 3.1.2 Ghi Ta tìm điểm bất động ánh xạ không giãn T phép lặp cho ánh xạ co Với x0 ∈ E , đặt = xi T i x0 , ∀i Từ xi+1 − xi ≤ xi − xi−1 ≤ ≤ x1 − x0 suy { xi+1 − xi }i=0 dãy khơng tăng ∞ Nếu {xi} có dãy xn → x * , ta kết luận x * điểm bất động T , i chẳng hạn Tx = − x x0 ≠ θ 39 x + (1 − )Tx ∀α ∈ (0,1) , đặt Tα x = αα Ta chứng minh E lồi T : E → E ánh xạ khơng giãn (1) Tα : E → E (2) Tα ánh xạ không giãn (3) Tα T có tập điểm bất động (4) Cho X không gian Banach lồi, E tập con, lồi, đóng, bị chặn X Cho p điểm bất động T Hơn nữa, I − T proper ( ánh xạ f gọi proper ∀C compact ⇒ f −1(C ) compact ) ∀α ∈ (0,1), Tαi x − p → i → ∞, ∀x ∈ E Dễ kiểm tra (1),(2),(3) thoả Ta chứng minh (4) thoả, thật vậy: Đặt zi = Tαi x Do dãy zi+1 − zi không tăng nên ∃e > : zi+1 − zi ≥ e zi+1 − zi → TH1: ∃e > : zi+1 − zi ≥ e không xảy vì: Từ định nghĩa lồi ∃= δ δ (α , e) > cho zi+1 − p= a (zi − p) + (1 − a )(Tzi − Tp) { ≤ (1 − δ )max zi − p , Tzi − Tp = β zi − p ≤ ≤ βi x − p Trong β = − δ Do zi → p (mâu thuẫn) } 40 TH2: zi+1 − zi → Từ giả thuyết I − T proper, tồn dãy hội tụ zn → p i Khi p = Tp , nghĩa p ∈ Fix (T ) = Fix (Tα ) Vậy zn − p ≤ zn − p → n ≥ ni → ∞ i Từ ta có Định lí 3.2.2 Giả sử X khơng gian Banach lồi, E tập con, lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng X Nếu T : E → E ánh xạ không giãn I − T proper, ∀ααα ∈ (0,1), Tα = I + (1 − )T ∀x ∈ E , dãy Tαi x hội tụ điểm bất động T 3.2.2 Mở rộng ánh xạ co 3.2.2.1 Phương pháp lặp toán lồi { } Cho họ tập lồi, đóng Ei i = 1, , n khơng gian Hilbert H , tìm điểm n x ∈  Ei phần giao khác rỗng i =1 Thật vậy, cho E tập lồi, đóng H , ∀x ∈ H Hình chiếu E : PE x ∈ E định nghĩa toán: = c x − y y∈E Sự tồn PE x cho đẳng thức hình bình hành: yn − ym =  x − yn  2 + x − ym yn + ym −4 x−  2 , 41 { yn } dãy cực tiểu: x − yn → c Lại đẳng thức hình bình bành, Ta định nghĩa y * hình chiếu PE x Hình chiếu có tính chất cho đẳng thức biến phân ( x − PE x , PE y − PE x ) ≤ , ∀x , y ∈ H (3.3) Thật vậy, ∀t ∈ (0,1), tPE y + (1 − t )PE x ∈ E , ta có x − tPE y − (1 − t )PE x ≥ x − PE x Tức −2t( x − PE x , PE y − PE x ) + t PE y − PE x 2 ≥0 Cho t → ta có (3.3) Định lí 3.2.2.1 PE ánh xạ không giãn H Chứng minh ∀x , y ∈ H ( x − PE x , PE y − PE x ) ≤ 0, ( y − PE y, PE x − PE y ) ≤ Cộng hai bất đẳng thức ta có: ( x − y + (PE y − PE x ), PE y − PE x ) ≤ Suy PE y − PE x ≤ ( y − x , PE y − PE x ) ≤ x − y PE y − PE x Do PE ánh xạ khơng giãn 42 3.2.2.2 Nghiệm tuần hồn cho phương trình khai phi tuyến Cho X không gian Hilbert thực Cho ϕ ∈ X , f : 1+ × X → X Ta xét phương trình khai phi tuyến: Tìm x ∈ C1( 1+ , X ) thoả = x (t ) f ( t, x (t ) ) ,t ∈ 1+ x (0) = ϕ (3.4) (3.5) Định lí 3.2.2.2 Giả sử ω >0 x ) f (t + ω , x ) (1) f ω − tuần hoàn theo t , nghĩa f (t,= (2) ( f (t, x ) − f (t, y ), x − y ) ≤ 0, ∀t ∈ y1+ , ∀x , y ∈ X (3) ∃R > : ( f (t, x ), x ) < 0, ∀t ∈ [0,ω ], ∀x ∈ ∂BR (θ ) (4) ∀ϕ ∈ BR (θ ) , tốn giá trị đầu (3.4) (3.5) có nghiệm Khi (3.4) có nghiệm ω − tuần hoàn , nghĩa x (t + ω ) = x (t ) Chứng minh Từ (4) , ta xét ánh xạ Poincaré X : T : x (0) → x (ω ) Và ta chứng minh T có điểm bất động Trước tiên ta chứng minh T : BR (θ ) → BR (θ ) ánh xạ khơng giãn hồn tồn xác định Thật vậy, Ta chứng minh nghiệm cho toán giá trị đầu nhất, nghĩa x (t ), y(t ) nghiệm với liệu đầu ϕ x (t ) = y(t ) 43 Thật vậy, d x (t ) − y(t ) = ( x '(t ) − y '(t ), x (t ) − y(t ) ) dt ( f (t, x (t )) − f (t, y(t )), x (t ) − y(t ) ) = ≤0 Suy x (t ) − y(t ) ≤ x (0) − y(0) (3.6) Suy x (t ) = y(t ) T xác định (3.6) suy T ánh xạ không giãn T : BR (θ ) → BR (θ ) thật vậy: d nên x 2= Do (3) = ( x '(t), x(t)) ( f (t, x(t)), x(t)) < x(t) ∈ ∂BR (θ ) Nếu dt không đúng, ∃t > : x (t ) ∉ BR (θ ) ∃t0 ∈ (0, t ) : x (t0 ) ∈ ∂BR (θ ) , x (t ) ∉ BR (θ ) t0 < t < t0 + δ với δ > Điều mâu thuẫn với bất đẳng thức vi phân Theo định lí 3.1.2, tồn điểm bất động T BR (θ ) Áp dụng bước 1, nghiệm ω − tuần hoàn 44 Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM Xét F : X × 1 → X , F ( x , λ ) = Lx − λ x + N ( x , λ ) Trong X khơng gian Banach thực, L ∈ L ( X , X ), λ ∈ 1 , ( ) = N ( x , λ ) o x x → θ khoảng hữu hạn λ Điểm phân nhánh (θ ,λ0 ) xảy λ0 ∈ σ ( L ) , nghĩa λ0 phổ L Nếu L compact λ0 ≠ λ0 giá trị riêng L 4.1 Định lí Knasnoselski (Knasnoselski [3]) Giả sử L tốn tử tuyến tính, compact X , λ0 ≠ giá trị riêng L với +∞ bội số= lẻ, nghĩa β dim  k =1 ker( L − λ0 I )k lẻ Nếu ∀λ , N ( ⋅ , λ ) compact ( ) khoảng hữu N liên tục theo x λ , thoả mãn N ( x , λ ) = o x hạn λ (θ ,λ0 ) điểm phân nhánh phương trình F ( x , λ ) = θ Chứng minh Đặt = S {( x, λ ) ∈ X ×  } ( , S+ S \ {θ }× 1 λ ) θ= F ( x ,= ) Nếu (θ ,λ0 ) khơng điểm phân nhánh có khoảng đóng [λ− , λ+ ] không chứa thoả σ ( L ) ∩ [λ− , λ+ ] = {λ0} ( ) ∃r > cho Br (θ ) × [λ− , λ+ ] ∩ S+ = ∅ Ta viết gọn Br = Br (θ ) Ta định nghĩa 45 x− Φ ( x, t) = ( Lx + N ( x, λ (t))) , t ∈ [0,1] với λ (t) = tλ− + (1 − t)λ+ λ (t ) Do θ ∉Φ ( ∂Br × [0,1])     1 Suy deg  id − ( L + N ( ⋅ , λ+ ) ) , Br ,θ= deg ( , ) , , id − L + N ⋅ λ B θ ( )    r −    λ+ λ−     Cho r > đủ nhỏ, bất biến đồng luân, ta có     1 deg  id − deg  id − L , Br ,θ  = L , Br ,θ  λ+ λ−     Tức (−1) ∑ λ j > λ+ βj ∑ = (−1) λ j > λ− βj với λ j ∈ σ ( L ) β j bội số λ j Suy (−1)β = Điều β lẻ 4.2 Định lí Leray-Schauder 4.2.1 Bổ đề Cho K khơng gian metric compact, K1, K2 đóng, rời Khi Tồn hợp thành K giao K1 K2 Hoặc ˆ  Tồn tập compact K 1, K cho  ,i = Ki ⊂ K 1,2 i  ∪K  = K K  ∩K  = K ∅ 46 Chứng minh Nếu (1) không đúng, ∃ε > cho ε − xích khơng đồng thời giao K1 K2 Mặt khác, ∀ε > 0, ∃aiε ∈ Ki ε − xích Cε nối aiε , i = 1,2 {} Do Ki , i = 1,2 compact, ain có điểm giới hạn ∈ Ki , i = 1,2 Đặt Ca = {x ∈ K ∀ε > 0, a1 nối với x ε − xích } Do K compact, Ca tập liên thơng đóng, a2 ∈ Ca nên (1) (mâu thuẫn)  = Đặt K 1 {y ∈ K ∃x ∈ K1 ∃ε xích nối x y }  ∩K =  K ∅ , K1 ⊂ K  vừa đóng, vừa mở Ta chứng minh K  , B (x) ∩ K  ≠ ∅ Suy x ∈ K  Do K  đóng ∀x ∈ K 1 1 ε  , B (x) ⊂ K  Do K  mở Mặt khác ∀x ∈ K 1 ε  =K\K  Đặt K  ,K  thoả điều kiện Khi K 4.2.2 Định lí Leray-Schauder (Leray-Schauder [3]) Cho X không gian Banach thực, T : X × 1 → X ánh xạ compact thoả T ( x ,0)= θ , f ( x , λ )= x − T ( x , λ ) Đặt= S {( x, λ ) ∈ X ×  } f ( x ,= λ ) θ ζ thành phần liên thông S ( ) qua (θ ,0) Nếu ζ ± =ζ ∩ X × 1± ζ + ζ − không bị chặn 47 Chứng minh Do T compact, ζ + (hoặc ζ − ) bị chặn compact Ta xét ε − lân cận ζ ε ζ + Đặt K = ζ ε  S Khi K khơng gian metric compact ∂ζ ε ∩ S ζ + , K2 = K 1=  ,i = Theo bổ đề 4.2.1, ∃K 1,2 cho i  ,i = Ki ⊂ K 1,2 i  ∪K  = K K  ∩K  = K ∅ } {  , ∂ζ )  ,K  2), dist( K Chọn < d < dist( K 1 ε định nghĩa δ  − lân cận O K Ta có ∂O ∩ S =∅, ζ + ⊂ O  Đặt U = O ∪ ( x , λ ) ∈ X × 1−  x  + λ2 < δ   λ * lớn hình chiếu O 1+ Ta xét ánh xạ ( ) F : X × 1 × [0,1] → X × 1 thoả ( x , λ , t )  ( f ( x , λ ), λ − tλ *)  f ( x, λ ) = θ Khi F ( x ,= λ , t ) (θ ,0) ⇔   λ = tλ * ∀( x , λ ) ∈ ∂O, f ( x , λ ) ≠ θ ∀( x ,0) ∈ U , f ( x ,0) = θ x = θ ∀( x , λ ) ∈ X × 1− x + λ2 = δ ta có λ ≠ tλ * 48    δ Do ∂U ⊂ ∂O ∪ ( x ,0) ≤ x ≤ δ  ∪ ( x , λ ) ∈ X × 1− x     + λ =δ  nên  (θ ,0) ∉ F ( ∂U × [0,1]) Như deg ( F (⋅ , ⋅ ,0),U ,(θ= ,0) ) deg ( F (⋅ , ⋅ ,1),U ,(θ ,0) ) Do λ ≠ λ * U , từ định lí tồn Knonecker ta có deg ( F (⋅ , ⋅ ,1),U ,(θ ,0) ) =0 Mặt khác, ∀t :  x − T ( x , tλ ) = θ x = θ ⇔  = λ 0= λ Suy ( x − T ( x , tλ ), λ ) ≠ (θ ,0) ∂U Khi đó, bất biến đồng ln tính chất cắt ( ) ta có= deg ( F (⋅ , ⋅ ,0),U ,(θ ,0) ) deg = id X×1 , Bd (θ ,0),(θ ,0) Mâu thuẫn 49 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu tài liệu hướng dẫn thầy cơ, tơi trình bày số kết đạt cơng trình nghiên cứu chứng minh tồn nghiệm với nhiều phương pháp khác Từ thiết lập số mối quan hệ định lí, dẫn đến chứng minh định lí dễ dàng Luận văn trình bày số định lí chứng minh tồn điểm bất động như: định lí Bourbaki-Kneser, định lí Caristi, nguyên lí Entropy,… Luận văn giới thiệu số định lí ánh xạ KKM không gian lồi liên quan đến số thành tựu quan trọng Giải tích phi tuyến định lí điểm bất động Schauder, bất đẳng thức Ky-Fan, toán cân Nash… Luận văn cịn trình bày hai phương pháp nghiên cứu tồn nghiệm qua sử dụng tính chất co đạo hàm Dù cố gắng khả nhiều hạn chế nên luận văn chưa vào nghiên cứu sâu số vấn đề lí thuyết ứng dụng cụ thể Tôi hi vọng tương lai sâu vào nghiên cứu vấn đề TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Tuỵ, Lí thuyết hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà, Các định lí điểm bất động, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội K.C.Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer, 2003 K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985 L.A.Dung and D.H.Tan, “Some application of the KKM-mapping principle in hyperconvex metric spaces”, Nonlin.Anal, 66, 170-178 Q.Luo, “KKM and Nash Equilibria Tye Theorems in Topological Ordered Spaces”, J.Math Anal Appl, 262-269 ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Nga MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... xạ phương trình bất phương trình (tính chất co, tính hồn tồn liên tục, tính đơn điệu, tính khả vi, ) mà ta chọn phương pháp thích hợp Do đó, việc tìm hiểu phương pháp nghiên cứu tồn nghiệm phương. .. nhiên xã hội mô tả phương trình bất phương trình ta cần chứng minh tồn ngiệm chúng Các phương trình bất phương trình đa dạng để nghiên cứu chúng nhà Toán học xây dựng nhiều phương pháp khác Tuỳ thuộc