Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 4.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Chỉ nghiên cứu các các mệnh đề về hàm số có trong chương trình toán 12 và đưa ra các dạng bài tập liên quan tới [r]
(1)Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2007 For Evaluation S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mệnh đề Only vÒ hµm sè PHẦN MỞ ĐẦU 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình học toán, làm toán và dạy toán khối 12 tôi nhận thấy các bài toán câu hỏi phụ hàm số luôn là bài toán hay và thường xuyên xuất các đề thi tốt nghiệp các đề thi đại học Rất nhiều học sinh học hết chương trình chưa thể tổng hợp các phương pháp làm bài, không thể làm bài tập câu hỏi phụ hàm số mặc dù bài tập không khó Chính vì lý mà tôi chọn đề tài này với hy vọng các năm nghiệp dạy học tôi giúp cho học sinh học phần hàm số có thể tổng hợp phương pháp làm bài và có thể định hướng nhanh gặp bài tập liên quan đến câu hỏi phụ hàm số MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Giúp học sinh tổng hợp các kiến thức liên quan tới hàm số , nhận dạng nhanh bài tập câu hỏi phụ hàm số và từ đó định hướng cách giải và tự tin gặp phải các bài toán hàm số 3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu các mệnh đề hàm số và định hướng cách làm bài tập liên quan tới hàm số Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (2) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số 4.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Chỉ nghiên cứu các các mệnh đề hàm số có chương trình toán 12 và đưa các dạng bài tập liên quan tới hàm số có thể có đề thi đại học giúp cho học sinh yêu thích môn toán có nhiều kiến thức và nâng cao dạng toán câu hỏi phụ hàm số 5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: +) Đưa các mệnh đề hàm số và chứng minh các mệnh đề đó +) Từ các mệnh đề đó đưa cách giải bài tập +) Giải các bài tập đó dựa vào cách chứng minh mệnh đề +)Giới thiệu số bài toán hàm số PHẦN NỘI DUNG Một số mệnh đề hàm số Mệnh đề 1: Đồ thị hàm số y = a.x + b.x + c.x + d ( a ≠ ) cắt trục ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình hoành độ có −b nghiệm phân biệt đó có nghiệm là x = 3a Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = x2 (1) Mặt khác x1 , x2 , x3 là nghiệm phương trình hoành độ : a.x + b.x + c.x + d = −b Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1 + x2 + x3 = (2) a −b Thay (1) vào (2) ta : x2 = (Điều phải chứng minh ) 3a Chú ý :Trong mệnh đề trình bày trên là điều kiện cần để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng vì làm bài tập ta cần kiểm tra điều kiện đủ việc thay giá trị tham số tìm vào hàm số và thử lại Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (3) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Bài tập áp dụng Bài 1: Cho y = x − 3mx + 2m ( m − ) x + 9m − m ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giải: Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = x2 (1) Mặt khác x1 , x2 , x3 là nghiệm phương trình hoành độ : x3 − 3mx + 2m ( m − ) x + 9m − m = Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1 + x2 + x3 = 3m (2) Thay (1) vào (2) ta : x2 = m Vậy ta có y ( x2 ) = y ( m ) = ⇔ m3 − 3m3 + 2m ( m − ) + 9m − m = m = ⇔ m2 − m = ⇔ m = Thử lại: +)Với m = ⇒ y = x Đồ thị hàm số y = x cắt Ox điểm ⇒ m = loại +)Với m = ⇒ y = x − x − x + Xét phương trình hoành độ : x − 3x − x + = x = −2 ⇔ x =1 x = Vì x = -2; x =1; x =4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng m =1 thỏa mãn Kết luận : m =1 là giá trị cần tìm Bài : Cho y = x − x − x + m ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giải: Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = x2 (1) Mặt khác x1 , x2 , x3 là nghiệm phương trình hoành độ : x3 − 3x − x + m = Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1 + x2 + x3 = (2) Thay (1) vào (2) ta : x2 = Vậy ta có y ( x2 ) = y (1) = ⇔ − − + m = ⇔ m = 11 Thử lại: +)Với m = 11 ⇒ y = x − x − x + 11 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (4) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Xét phương trình hoành độ : x3 − 3x − x + 11 = x =1− ⇔ ( x − 1) ( x − x − 11) = ⇔ x = x =1+ Nhận thấy : x = − 3; x = 1; x = + theo thứ tự lập thành cấp số cộng m =11 thỏa mãn Kết luận : m =11 là giá trị cần tìm Mệnh đề 2: Đồ thị hàm số y = a.x + b.x + c.x + d ( a ≠ ) cắt trục ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân thì phương trình hoành độ có −d nghiệm phân biệt đó có nghiệm là x = a Chứng minh: : Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1.x3 = x 2 (1) Mặt khác x1 , x2 , x3 là nghiệm phương trình hoành độ : a.x + b.x + c.x + d = −d Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1.x2 x3 = (2) a −d −d Thay (1) vào (2) ta : x = (Điều phải chứng minh ) ⇔ x2 = a a Chú ý :Trong mệnh đề trình bày trên là điều kiện cần để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân vì làm bài tập ta cần kiểm tra điều kiện đủ việc thay giá trị tham số tìm vào hàm số và thử lại Bài tập áp dụng Bài Cho hàm số y = x − ( 3m + 1) x + ( 5m + ) x − ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân Giải: Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1.x3 = x 2 (1) Mặt khác x1 , x2 , x3 là nghiệm phương trình hoành độ : x − ( 3m + 1) x + ( 5m + ) x − = Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: x1.x2 x3 = (2) Thay (1) vào (2) ta : x = ⇔ x2 = Vậy ta có : Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (5) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số y ( x ) = y ( ) = ⇔ − ( 3m + 1) + ( 5m + ) − ⇔ − 2m = ⇔ m = Thử lại: +)Với m = ⇒ y = x − x + 14 x − x = Xét phương trình hoành độ : x − x + 14 x − = ⇔ x = x = Nhận thấy : x = 1; x = 2; x = theo thứ tự lập thành cấp số nhân m =2 thỏa mãn Kết luận : m =2 là giá trị cần tìm Mệnh đề : Đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực tiểu (nếu có ) đồ thị hàm bậc ba ( y = a.x + b.x + c.x + d ( a ≠ ) )là phần dư phép chia y cho y′ Chứng minh:Xét hàm số y = a.x + b.x + c.x + d ( a ≠ ) TXĐ: D = R y′ = 3a.x + 2b.x + c Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu, đó phương trình y′ = có nghiệm phân biệt là x1 ; x2 Gọi điểm cực đại là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu là T ( x2 ; y2 ) Ta luôn có y = y′ ( x ) (α x + β ) + m.x + n (*) ( m.x + n chính là phần dư phép chia y cho y’) Thay tọa độ Đ vào (*) ta : y1 = m.x1 + n (1) Thay tọa độ T vào (*) ta : y2 = m.x2 + n ( ) Từ (1) và (2) ta suy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực tiểu hàm số là y = m.x + n (Điều phải chứng minh) Chú ý :Khi làm bài tập viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số bậc ta cần tìm điều kiện tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu trước.sau đó vận dụng cách làm mệnh đề để làm bài Bài tập áp dụng : Bài Cho hàm số y = x + ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) x ( Cm ) a.Tìm m để hàm số (Cm) có cực đại ,cực tiểu b.Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu (Cm) c.Tìm m để điểm cực đại, điểm cực tiểu (Cm) nằm trên đường thẳng ( d ) : y = −4 x Giải : Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (6) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số a.Xét hàm số y = x + ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) x TXĐ: D = R y′ = x + ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) Hàm số có cực đại, cực tiểu và phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ x + ( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) = có hai nghiệm phân biệt ⇔ x + ( m − 1) x + m (1 − 2m ) = có hai nghiệm phân biệt 2 ⇔ ∆ = ( m − 1) − 4m (1 − 2m ) > ⇔ ( 3m − 1) > ⇔ m ≠ Kết luận: Vậy m ≠ thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu b Ta có : y = y′ ( x ) ( x + m − 1) − ( 3m − 1) x + m ( m − 1)(1 − 2m ) (*) Với m ≠ thì (Cm) có cực đại, cực tiểu Gọi điểm cực đại (Cm) là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu (Cm) là T ( x2 ; y2 ) Thay tọa độ Đ vào (*) ta : y1 = − ( 3m − 1) x1 + m ( m − 1)(1 − 2m ) (1) Thay tọa độ T vào (*) ta : y2 = − ( 3m − 1) x2 + m ( m − 1)(1 − 2m ) ( ) Từ (1) và (2) ta suy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực tiểu hàm số (Cm) là y = − ( 3m − 1) x + m ( m − 1)(1 − 2m ) ( ∆ ) − ( 3m − 1)2 = −4 c.Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có ∆ ≡ d ⇔ m ( m − 1)(1 − 2m ) = 9m − 6m − = ⇔ ⇔ m = (thỏa mãn) m ( m − 1)(1 − 2m ) = Kết luận: m = thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 5: Cho hàm số y = x + mx + x + ( Cm ) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số (Cm) vuông góc với đường thẳng ∆ : y = x − Giải: Xét hàm số y = x + mx + x + TXĐ: D = R y′ = x + 2mx + Hàm số có cực đại, cực tiểu và phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (7) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số ⇔ 3x + 2mx + = có hai nghiệm phân biệt m > 21 ⇔ ∆′ = m − 21 > ⇔ m < − 21 m 7m 1 Ta có : y = y′ ( x ) x + + ( 21 − m ) x + − ( *) 9 9 3 m > 21 thì (Cm) có cực đại, cực tiểu Với m < − 21 Gọi điểm cực đại (Cm) là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu (Cm) là T ( x2 ; y2 ) 7m Thay tọa độ Đ vào (*) ta : y1 = ( 21 − m ) x1 + − (1) 9 7m Thay tọa độ T vào (*) ta : y2 = ( 21 − m ) x2 + − ( 2) 9 Từ (1) và (2) ta suy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực 7m tiểu hàm số (Cm) là y = ( 21 − m ) x + − (d ) 9 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có 45 10 (thỏa mãn) ∆ ⊥ d ⇔ ( 21 − m ) = −1 ⇔ m = ⇔m=± 2 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 6:Tìm m để hàm số y = x − x + m x + m ( Cm ) có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng qua đường thẳng ( ∆ ) : x − y − = Kết luận: m = ± Giải: Xét hàm số y = x − x + m x + m TXĐ: D = R y′ = x − x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu và phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ y′ = x − x + m = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = − 3m > ⇔ − < m < 1 2 m2 1 ′ + m ( *) Ta có : y = y ( x ) x − + ( m − 3) x + 3 3 3 Với − < m < thì (Cm) có cực đại, cực tiểu Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (8) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Gọi điểm cực đại (Cm) là: Đ ( x ; y ) ; điểm cực tiểu (Cm) là T(x ; y ) 2 2 m2 m − 3) x1 + + m (1) ( 3 2 m2 Thay tọa độ T vào (*) ta : y2 = ( m − 3) x2 + + m ( 2) 3 Từ (1) và (2) ta suy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực m2 tiểu hàm số (Cm) là y = ( m − 3) x + + m (1) ( d ) 3 x +x +) Gọi I là trung điểm ĐT ta có xI = = = (Vì x1 ; x2 là nghiệm 2 phương trình y’=0 ,theo định lý viet ta có x1 + x2 = ) 2 m2 Mặt khác I ∈ d ⇒ yI = ( m − 3) xI + + m = m + m − ⇒ I (1; m + m − ) 3 Điểm cực đại, điểm cực tiểu (Cm) đối xứng qua ∆ : y = x − 2 2 m − 3) = −1 ( ∆ ⊥ d m = 3 ⇔ ⇔ ⇔ m = (thỏa mãn) m m + = I ∈ ∆ m + m − = − 2 Thay tọa độ Đ vào (*) ta : y1 = Kết luận: m = thỏa mãn yêu cầu bài toán Mệnh đề 4: Đồ thị hàm trùng phương ( y = a.x + b.x + c ( a ≠ ) ) cắt trục hoành điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì điều kiện là phương trình trung gian ( a.t + b.t + c = ) có nghiệm dương phân biệt và nghiệm lớn lần nghiệm nhỏ Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 , x4 là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là nghiệm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm : a.x + b.x + c = Xét phương trình: a.x + b.x + c = (1) Đặt x = t điều kiện ( t ≥ ) Ta có phương trình : a.t + b.t + c = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm phân biệt lớn Gọi hai nghiệm phương trình (2) là : t1 ; t2 (giả sử < t1 < t2 ) Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (9) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số x = ± t1 x = t1 Khi đó ta có ⇔ x = ± t2 x = t2 Như theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có : x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2 Mà x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x4 − x3 = x3 − x2 ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 (Điều phải chứng minh) Chú ý :Khi làm bài tập tìm tham số để đồ thị hàm trùng phương cắt trục hoành điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì lên vận dụng cách chứng minh mệnh đề trên để làm bài, cần chú ý tìm điều kiện để phương trình hoành độ có nghiệm phân biệt Bài tập áp dụng : Bài Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + 1( Cm ) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giải : Gọi x1 , x2 , x3 , x4 là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là nghiệm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm : x − ( m + 1) x + 2m + = Xét phương trình: x − ( m + 1) x + 2m + = (1) Đặt x = t điều kiện ( t ≥ ) Ta có phương trình : t − ( m + 1) t + 2m + = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm phân biệt lớn ⇔ t − ( m + 1) t + 2m + = có nghiệm phân biệt t1 ; t2 lớn ∆′ = ( m + 1)2 − 2m − > m > ⇔ S = t1 + t2 = ( m + 1) > ⇔ m > −1 ⇔ − < m ≠ P = t t = 2m + > 1 m > − (giả sử < t1 < t2 ) x = ± t1 x = t1 ⇔ Khi đó ta có x = ± t2 x = t2 Như theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có : x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2 Mà x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x4 − x3 = x3 − x2 ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (10) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số S = t + t = ( m + 1) Mặt khác theo viet ta có: ( *) P = t1.t2 = 2m + m +1 10t1 = ( m + 1) t1 = Thay t2 = 9t1 vào (*) ta ⇔ t = m + 9t = 2m + Thay (I) vào (II) ta 2 m +1 9 = 2m + ⇔ ( m + 1) = 50m + 25 (I ) ( II ) ⇔ 9m − 32m − 16 = m = ⇔ m = − Với m = 4; m = − thỏa mãn điều kiện Kết luận: Vậy tìm hai giá trị thỏa mãn là : m = 4; m = − f ( x) Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 ) g ( x) f ( x0 ) f ′ ( x0 ) Khi đó điểm M ( x0 ; y0 ) ta có = g ( x0 ) g ′ ( x0 ) Mệnh đề 5: Cho hàm số y = (với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ ) Chứng minh : Xét hàm số y = Ta có y′ = f ( x) g ( x) Điều kiện : g ( x ) ≠ f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) g2 ( x) Nếu M ( x0 ; y0 ) là điểm cực trị hàm số thì f ′ ( x0 ) g ( x0 ) − g ′ ( x0 ) f ( x0 ) y′ ( x0 ) = ⇔ =0 g ( x0 ) ⇔ f ′ ( x0 ) g ( x0 ) − g ′ ( x0 ) f ( x0 ) = (Vì g ( x0 ) ≠ ) ⇔ f ′ ( x0 ) g ( x0 ) = g ′ ( x0 ) f ( x0 ) ⇔ f ( x0 ) f ′ ( x0 ) = (Vì g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ )( Điều phải chứng minh) g ( x0 ) g ′ ( x0 ) 10 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (11) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Hệ quả: Đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu hàm số ax + bx + c 2ax b y= + ( a.a1 ≠ ) là y = a1 x + b1 a1 a1 (Cách chứng minh hệ tương tự chứng minh mệnh đề 5) Chú ý : Khi làm bài tập viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu hàm số phân thức hữu tỷ,ta cần chú ý tìm điều kiện để hàm số có cực đại , cực tiểu Sau đó cần đưa mệnh đề và chứng minh mệnh đề sau đó áp dụng vào bài tập Bài tập áp dụng : x2 − x + m + Bài Cho hàm số y = (Cm) Viết phương trình đường thẳng x + m −1 qua điểm cực đại và điểm cực tiểu (Cm) x2 − x + m + Giải: Xét hàm số : y = x + m −1 TXĐ: D = R \ {1 − m} Có y′ = x + ( m − 1) x − 3m ( x + m − 1) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt ≠ − m x + ( m − 1) x − 3m ⇔ = có nghiệm phân biệt ≠ − m ( x + m − 1) ⇔ x + ( m − 1) x − 3m = có nghiệm phân biệt ≠ − m ∆′ = ( m − 1)2 + 3m > m + m + > ⇔ ⇔ ⇔ ∀m ∈ R − m − m − ≠ (1 − m ) + ( m − 1)(1 − m ) − 3m ≠ f ( x) Bổ đề: Cho hàm số y = Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 ) g ( x) f ( x0 ) f ′ ( x0 ) Khi đó điểm M ( x0 ; y0 ) ta có = g ( x0 ) g ′ ( x0 ) (với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ ) (Chứng minh đã trình bày mệnh đề 5) ∀m ∈ R thì hàm số (Cm) luôn có cực đại, cực tiểu 11 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (12) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Gọi điểm cực đại (Cm) là: Đ ( x ; y ) ; điểm cực tiểu (Cm) là T ( x ; y ) 1 2 Áp dụng bổ đề trên ta có : x12 − x1 + m + y = y x = = 2.x1 − ( ) (1) x1 + m − y = y ( x ) = x2 − x2 + m + = 2.x − ( 2) 2 x2 + m − Từ (1) và (2) ta suy đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu (Cm) là : y = 2.x − − x + 3x + m Bài 9: Tìm m để hàm số : y = ( Cm ) có yCĐ − yCT = x−4 − x + 3x + m Giải: Xét hàm số : y = x−4 TXĐ: D = R \ {4} − x + x − m − 12 ( x − 4) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt ≠ − x + x − m − 12 ⇔ = có nghiệm phân biệt ≠ ( x − 4) ⇔ − x + x − m − 12 = có nghiệm phân biệt ≠ ∆′ = 16 − m − 12 > m < ⇔ ⇔ ⇔m<4 −16 + 32 − m − 12 ≠ m ≠ f ( x) Bổ đề : Cho hàm số y = Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 ) g ( x) f ( x0 ) f ′ ( x0 ) Khi đó điểm M ( x0 ; y0 ) ta có = g ( x0 ) g ′ ( x0 ) Có y′ = (với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ ) (Chứng minh đã trình bày mệnh đề 5) Với m < thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu Gọi điểm cực đại (Cm) là: Đ ( x1 ; y1 ) ; điểm cực tiểu (Cm) là T ( x2 ; y2 ) Áp dụng bổ đề trên ta có : 12 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (13) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số − x12 + x1 + m y = y = y x = = −2.x1 + ( 1) CĐ x − y = y = y ( x ) = − x2 + 3x2 + m = −2.x + 2 CT x2 − Vậy yCĐ − yCT = ⇔ ( −2 x1 + 3) − ( −2 x2 + 3) = ⇔ x2 − x1 = ⇔ x2 − x1 = 2 ⇔ ( x2 − x1 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1.x2 = (*) Mặt khác x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình − x + x − m − 12 = Theo định x + x = lý Viet ta có Thay vào (*) ta được: x1.x2 = m + 12 64 − ( m + 12 ) = ⇔ 16 − 4m = ⇔ m = (Thỏa mãn điều kiện m < ) Kết luận: m = là giá trị cần tìm x − ( m + 1) x − m + 4m − Bài 10: Tìm m để hàm số : y = ( Cm ) có cực trị và x −1 ( yCĐ yCT ) nhỏ x − ( m + 1) x − m + 4m − Giải: Xét hàm số : y = x −1 TXĐ: D = R \ {1} x − x + m − 3m + Có y′ = ( x − 1) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt ≠ x − x + m − 3m + ⇔ = có nghiệm phân biệt ≠ ( x − 1) ⇔ x − x + m − 3m + = có nghiệm phân biệt ≠ ∆′ = − m + 3m − > −m + 3m − > ⇔ ⇔ ⇔1< m < 2 − + m − m + ≠ m − m + ≠ f ( x) Bổ đề : Cho hàm số y = Giả sử hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 ) g ( x) f ( x0 ) f ′ ( x0 ) Khi đó điểm M ( x0 ; y0 ) ta có = g ( x0 ) g ′ ( x0 ) (với g ( x0 ) ≠ 0; g ′ ( x0 ) ≠ ) (Chứng minh đã trình bày mệnh đề 5) Với < m < thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu 13 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (14) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Gọi điểm cực đại (Cm) là: Đ ( x ; y ) ; điểm cực tiểu (Cm) là T ( x ; y ) 1 2 Áp dụng bổ đề trên ta có : x12 − ( m + 1) x1 − m + 4m − y = y = y x = = 2.x1 − m − ( 1) CĐ x1 − 2 y = y = y ( x ) = x2 − ( m + 1) x2 − m + 4m − = 2.x − m − 2 CT x2 − Mặt khác x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình x − x + m − 3m + = x1 + x2 = Theo định lý Viet ta có x1.x2 = m − 3m + Vậy yCĐ yCT = ( 2.x1 − m − 1)( 2.x2 − m − 1) = 4.x1.x2 − ( m + 1)( x1 + x2 ) + ( m + 1) 7 4 = 4.( m − 3m + 3) − ( m + 1) + ( m + 1) = 5m − 14m + = m − − ≥ − 5 5 xẩy m = Kết luận:Với m = ∈ (1;2 ) thì ( yCĐ yCT ) nhỏ và giá trị nhỏ − 5 2 f ( x) Tiếp tuyến hàm số g ( x) điểm thuộc đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích không đổi (Trong chương trình sách toán 12(chương trình nâng cao)chỉ xét hai loại hàm số phân thức là hàm bậc trên bậc và hàm bậc hai trên bậc vì tác giả xin không trình bày phần chứng minh mệnh đề này mà vào xét bài tập cụ thể hai loại hàm số đã nói trên) Bài tập áp dụng : 2x + Bài 11 Cho hàm số y = ( C ) Gọi M là điểm thuộc (C) Tiếp tuyến x −1 (C) M cắt hai tiệm cận (C) hai điểm phân biệt A,B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Chứng minh S ∆IAB có giá trị không đổi M di chuyển trên (C) 2x + Giải :Xét hàm số y = x −1 TXĐ: D = R \ {1} −3 Đạo hàm y′ = ( x − 1) Mệnh đề 6: Cho hàm số phân thức y = 14 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (15) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Tiệm cận đứng: x = ( ∆ ) Tiệm cận ngang : y = ( ∆ ) 2a + Gọi M a; ( a ≠ 1) là điểm thuộc (C) a −1 2a + −3 Phương trình tiếp tuyến (C) M là: y = ( x − a) + a −1 ( a − 1) +)Gọi A = ∆ ∩ ∆1 ⇒ tọa độ A là nghiệm hệ x = x = ( a + 2) 2a + ⇔ ⇒ A 1; y = −3 a + ( ) a −1 ( x − a) + y= a −1 ( a − 1) a −1 ( ∆) +)Gọi B = ∆ ∩ ∆ ⇒ tọa độ B là nghiệm hệ y = x = 2a − 2a + ⇔ ⇒ B ( 2a − 1;2 ) y = −3 y = ( x − a) + a −1 ( a − 1) +) I = ∆1 ∩ ∆ ⇒ I (1;2 ) Có IA = 0; ⇒ IA = a −1 a −1 IB = ( 2a − 2;0 ) ⇒ IB = a − 1 Vì ∆1 ⊥ ∆ ⇒ ∆IAB vuông I ⇒ S ∆IAB = IA.IB = a − = 2 a −1 Vậy S∆IAB = là số không đổi (Điều phải chứng minh ) x2 − 2x + Bài 12 Cho hàm số y = ( C ) Gọi M là điểm thuộc (C) Tiếp x −1 tuyến (C) M cắt hai tiệm cận (C) hai điểm phân biệt A,B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Chứng minh S∆IAB có giá trị không đổi M di chuyển trên (C) x2 − 2x + Giải : Có y = = x −1+ x −1 x −1 TXĐ: D = R \ {1} Đạo hàm y′ = − ( x − 1) Tiệm cận đứng: x = ( ∆1 ) Tiệm cận xiên : y = x − ( ∆ ) 15 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (16) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Gọi M a; a − + ( a ≠ 1) là điểm thuộc (C) a −1 Phương trình tiếp tuyến (C) M là: y = 1 − ( ∆) ( x − a) + a −1 + ( a − 1) a − +)Gọi A = ∆ ∩ ∆1 ⇒ tọa độ A là nghiệm hệ x = x = ⇔ ⇒ A 1; a −1 y = 1 − a − ( x − a ) + a − + a − y = a − ) ( +)Gọi B = ∆ ∩ ∆ ⇒ tọa độ B là nghiệm hệ y = x −1 x = 2a − ⇔ ⇒ B ( 2a − 1;2a − ) y = 2a − y = 1 − a − ( x − a ) + a − + a − ) ( +) I = ∆1 ∩ ∆ ⇒ I (1;0 ) Có IA = 0; ⇒ IA = a −1 a −1 IB = ( 2a − 2;2a − ) ⇒ IB = 2 a − Gọi α là góc ∆1 : x − = và ∆ : x − y − = 1 ⇒ cos AIB = ⇒ AIB = 450 Ta có cos α = 2 1 2 S∆IAB = IA.IB.sin AIB = 2 a − sin 450 = 2 a − =2 2 a −1 a −1 Vậy S ∆IAB = là số không đổi (Điều phải chứng minh ) Bài tập giới thiệu Bài 1: Cho y = x − 3mx + 2m ( m − ) x + 9m − m ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm theo thứ tự lập thành CSC Bài : Cho y = x − 3x − x + m ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm theo thứ tự lập thành CSC Bài 3: Cho y = x − 3mx + 4m3 ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = x điểm theo thứ tự lập thành CSC 16 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (17) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Bài4: Cho y = x − ( 2m + 1) x − x ( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm theo thứ tự lập thành CSC Bài 5: Cho y = x − 3x + 1( C ) Tìm điều kiện a,b để (C) cắt đường thẳng y = ax+b A,B,C phân biệt cho AB = BC Bài 6: Cho y = x − 3x − x + 1( C ) Tìm điều kiện a,b để (C) cắt đường thẳng y = ax+b A,B,C phân biệt cho AB = BC Bài7: Cho y = x − ( m + 1) x − ( m − 1) x + 2m − 1( Cm ) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm theo thứ tự lập thành CSC Bài 8:Cho hàm số y = x − ( 3m + 1) x + ( 5m + ) x − ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm lập thành CSN Bài 9:Cho hàm số y = x + 2mx − ( m − 1) x − 54 ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm lập thành CSN Bài 10:Cho hàm số y = 3x + ( 2m + ) x + 9mx + 192 ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm lập thành CSN Bài 11:Cho hàm số y = x − ( 5m + 1) x + ( 4m − 3) x − 216 ( Cm ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm lập thành CSN Bài 12: Cho hàm số y = x + 3( m − 1) x + 6m (1 − 2m ) x Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu nằm trên đường thẳng y = −4 x Bài 13: Cho hàm số y = x + mx + x + Tìm m để đường thẳng qua CĐ,CT hàm số vuông góc với đường thẳng y = 3x − Bài 14: Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + ( 2m − 3m + ) x − m ( m − 1) Tìm m để hàm số có đường thẳng qua CĐ,CT tạo với đường thẳng y = −1 x + góc 450 Bài 15: Cho hàm số y = − x3 + 3mx + (1 − m ) x + m3 − m ( Cm ) a.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b.Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt − x + 3x + k − 3k = c.Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT (Cm) Bài 16: Tìm m để hàm số y = x − 3x + m x + m có CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng ( ∆ ) : x − y − = Bài 17:Cho hàm số y = x − 3( 3m + 1) x + 12 ( m + m ) x + Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT hàm số đó 17 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (18) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số Bài 18: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m + 7m + ) x − 2m ( m + ) Tìm m 2 để hàm số có CĐ,CT Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT hàm số đó Bài 19: Tìm m để hàm số y = x − 3mx + 4m3 có CĐ,CT đối xứng qua ∆ :x− y=0 đường thẳng ( ) Bài 20: Tìm m để hàm số y = x − 3( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + có CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng ( ∆ ) : y = x + Bài 21: Cho hàm số y = mx3 − 3mx + ( 2m + 1) x + − m Tìm m để hàm số có CĐ,CT Chứng minh đường thẳng qua CĐ,CT luôn qua điểm cố định Bài 22:Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + ( m + 4m + 3) x a.Tìm m để hàm số có CĐ,CT b.Tìm m để hàm số đạt cực trị ít điểm >1 c.Gọi hoành độ các cực trị là x1;x2 tìm max A = x1 x2 − ( x1 + x2 ) Bài 23: Tìm m để hàm số y = x − mx − x + m + có khoảng cách CĐ,CT là 1 Bài 24: Tìm m để hàm số y = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + đạt cực trị 3 x1;x2 thỏa mãn x1+2x2=1 Bài 25: Tìm m để hàm số y = x − mx + mx − đạt cực trị x1;x2 thỏa mãn x1 − x2 ≥ Bài 26: Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − ( m + 1) đạt 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 3m Bài 27:Tìm m để hàm số y = x − x + m có các điểm CĐ và CT nằm 2 phía đường thẳng y = x Bài 28: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + 1( Cm ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm lập thành CSC Bài 29: Cho hàm số y = x − mx + m − 1( Cm ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm lập thành CSC mx + 3mx + ( 2m + 1) tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm Bài 30: Cho hàm số y = x −1 phía Ox cực trị x1;x2 thỏa mãn 18 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (19) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số x + ( m + 1) x − m + Bài 31: Cho hàm số y = tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm x−m cùng phía Ox − x + 2mx − Bài 32: Cho hàm số y = Tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm x −1 phía đường thẳng y = 2x x + ( 2m + 3) x + m + 4m Tìm m để hàm số có cực Bài 33: Cho hàm số y = x+m trị trái dấu x2 + x + m Bài 34: Cho hàm số y = Tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm phía x +1 Oy x + mx − m Tìm m để hàm số có CĐ,CT nằm x −1 phía đường thẳng: x -2y -1 = − x + 3x + m Bài 36: Tìm m để hàm số : y = có yCD − yCT = x−4 x + 3x + m − Bài 37: Tìm m để hàm số : y = có yCD − yCT < 12 x+2 x − ( m + 1) x − m + 4m − Bài 38:Tìm m để hàm số : y = có cực trị x −1 và (yCĐyCT) nhỏ x − mx + m Bài 39:Cho hàm số : y = CMR hàm số luôn có cực trị và khoảng x −1 cách cực trị là không đổi x2 − 3x + m Bài 40: Tìm m để hàm số : y = có yCD − yCT > x−m ( m − 1) x + x + có CĐ,CT Bài 41: Tìm m để hàm số : y = ( m + 1) x + và (yCĐ-yCT)(m+1)+8=0 x + 2mx + Bài 42: Tìm m để hàm số : y = có CĐ,CT và khoảng cách từ x +1 điểm đó tới đường thẳng x + y + = là x + ( m + ) x + 3m + Bài 43: Tìm m để hàm số : y = có CĐ,CT x+2 và y2CĐ + y2CT >1/2 Bài 35: Cho hàm số y = 19 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (20) www.VNMATH.com Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề hàm số PHẦN KẾT LUẬN Trên đây tôi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm mình việc đưa các mệnh đề hàm số và áp dụng mệnh đề đó vào số bài toán cụ thể Cách làm này có ưu điểm là nhanh thu kết quả, cách tư đơn giản ,dễ hiểu, có thể dạy cho học sinh có sức tư chậm Mặc dù đã cố gắng tác giả là giáo viên trẻ kinh nghiệm còn thiếu nhiều lên không tránh khỏi sai xót chưa thể tổng quát hết các dạng toán hàm số Vậy kính mong các đồng nghiệp trước xem xét và góp ý cho tác giả Để tác giả có hướng nghiên cứu vào các năm sau Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường THPT Thủy Sơn đã tạo điều kiện cho tôi giảng dạy môn toán lớp 12 ,cảm ơn các đồng chí giáo viên tổ toán trường đã đóng góp ý kiến vô cùng quý báu giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này Tôi xin chân trọng cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Các “ Giới thiệu đề thi tuyển sinh đại học môn toán “ Sách giáo khoa Đại số 12 ( Chương trình chuẩn) 20 Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n (21)