6Trong khi tìm cực trị chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một giá trị của biến để xẩy ra đẳng thức chứ không cần chỉ ra mọi giá trị để xẩy ra đẳng thức 11m 5n.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: 1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định nào đó mà giá trị biểu thức A luôn luôn lớn (nhỏ bằng) số k và tồn giá trị biến để A có giá trị k thì k gọi là giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với các giá trị biến thuộc khoảng xác định nói trên 2) Phöông phaùp a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A k với k là số + Chỉ dấ “=” có thể xẩy với giá trị nào đó biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A k với k là số + Chỉ dấ “=” có thể xẩy với giá trị nào đó biến Kí hiệu : A là giá trị nhỏ A; max A là giá trị lớn A B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví duï : a) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Giaûi a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – - A = - x = 4 9 2 b) B = - 5(x + x) + = - 5(x + 2.x + 25 ) + = - 5(x + ) max B = x = b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P neáu a > b) Tìm max P neáu a < Giaûi b b b2 Ta coù: P = a(x2 + a x) + c = a(x + 2a )2 + (c - 4a ) b b2 Ñaët c - 4a = k Do (x + 2a )2 neân: b b a) Nếu a > thì a(x + 2a )2 đó P k P = k x = - 2a b b b) Nếu a < thì a(x + 2a ) đó P k max P = k x = - 2a II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa (2) a) A = (3x – 1)2 – 3x - ñaët 3x - = y thì A = y2 – 4y + = (y – 2)2 + A = y = b) B = +5 x-2 + x = 3x - = 3x - = - x = - 3x - =2 x-3 x-2 x-3 x-2 3-x x-2 +3-x B= + =B= + =1 B = (x – 2)(3 – x) x 2) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa C = x2 - x + x2 - x - x2 - x + x2 - x - x2 - x + + x - x2 x2 - x + + + x - x2 Ta coù C = = =3 2 2 C = (x – x + 1)(2 + x – x ) + x – x x – x – (x + 1)(x – 2) - x 3) Ví duï 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) Vµ x x x 3 x x 3 x = (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| + = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y x 4 (2) DÊu b»ng x¶y x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x 3 III.Dạng 3: Đa thức bậc cao 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Ñaët x2 – 7x + thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36 Min A = - 36 y = x2 – 7x + = (x – 1)(x – 6) = x = x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + x - y = x=y=1 2 x = = (x – y) + (x – 1) + 2 c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta coù C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Ñaët x – = a; y – = b thì b b2 3b b 3b C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a + ) + = (a + )2 + Min (C + 3) = hay C = - a = b = x = y = 2) Ví duï 2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Ñaët x + = y C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 + A = y = x = - b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 D = x = IV Dạng phân thức: (3) Phân thức có tử là số, mẫu là tam thức bậc hai Biểu thức dạng này đạt GTNN mẫu đạt GTLN -2 2 2 Ví duï : Tìm GTNN cuûa A = 6x - - 9x = 9x - 6x + (3x - 1) 1 2 2 2 Vì (3x – 1)2 (3x – 1)2 + (3x - 1) 4 (3x - 1) 4 A - 1 A = - 3x – = x = Phân thức có mẫu là bình phương nhị thức 3x - 8x + a) Ví duï 1: Tìm GTNN cuûa A = x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = 3 2 x 2x + (x 1) x (x 1) A= Ñaët y = x - Thì A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + A = y = x - = x = +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2) = 2 (x - 1)2 (x - 1)2 A = x - 2x + A = x – = x = x b) Ví duï 2: Tìm GTLN cuûa B = x 20x + 100 x x 1 10 2 x 20x + 100 (x + 10) y x + 10 Ta coù B = Ñaët y = x= thì 1 1 1 10 y 2 B=(y ).y = - 10y + y = - 10(y – 2.y 20 y + 400 ) + 40 = - 10 10 + 40 40 1 y10 = y = 10 x = 10 Max B = 40 x + y2 2 c) Ví duï 3: Tìm GTNN cuûa C = x + 2xy + y (x + y) (x - y)2 x + y2 1 (x - y) 1 2 2 x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y) A = x = y Ta coù: C = Các phân thức có dạng khác - 4x a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = x - 4x (4x 4x 4) (x 1) (x - 2) A = - x = x 1 x 1 Ta coù: A = x - 4x (4x 4) (4x + 4x + 1) (2x 1) 4 2 max A = x = x 1 x 1 Ta laïi coù: A = x C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ các biến 1) Ví duï 1: Cho x + y = Tìm GTNN cuûa A = x3 + y3 + xy Ta coù A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) (4) a) Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y = x = – y 1 1 1 y- + 2 2 2 neân A = (1 – y) + y = 2(y – y) + = 2(y – 2.y + ) + = 1 Vaäy A = x = y = b) Cách 2: Sử dụng đk đã cho, làm xuất biểu thức có chứa A Từ x + y = x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2 x2 – 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 1 2(x + y ) x + y A = x = y = 2 2 2)Ví duï 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN cuûa A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz Từ Cho x + y + z = Cho (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) 2 2 ( x ❑ + y ❑ + z ❑ - Ta coù x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx = xy – yz – zx) ( x y )2 ( x z )2 ( y z )2 x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 = xy+ yz + zx (2) Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) và (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 A = x = y = z = b) Từ (1) và (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) xy+ yz + zx max B = x = y = z = 3) Ví duï 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > vµ x + y + z = 3 xyz 3 V× x,y,z > ,¸p dông B§T C«si ta cã: x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y y z z x 3 x y y z x z 1 xyz xyz 27 3 x y y z z x 8 DÊu b»ng x¶y x = y = z = S 27 27 729 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 729 x = y = z = 4) Ví duï 4: Cho xy + yz + zx = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) xy yz zx Ta cã x2 y2 z x2 y z 2 x4 y4 z (1) ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) Ta cã ( x y z )2 (12 12 12 )( x y z ) ( x y z )2 3( x y z ) (5) 4 Tõ (1) vµ (2) 3( x y z ) x4 y z 3 4 x y z VËy cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x= y = z = D Moät soá chuù yù: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta có thể đổi biến Ví duï : Khi tìm GTNN cuûa A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta ñaët x – = y thì A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2… 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta có thể thay đk biểu thức này đạt cực trị đk tương đương là biểu thức khác đạt cực trị: +) B lớn B nhỏ (với B > 0) +) -A lớn A nhỏ ; +) C lớn C2 lớn x4 + Ví dụ: Tìm cực trị A = x + 1 a) Ta có A > nên A nhỏ A lớn nhất, ta có 2 1 x + 1 2x 1 1 A = x = max A = x = A x +1 x +1 b) Ta coù (x2 – 1)2 x4 - 2x2 + x4 + 2x2 (Daáu baèng xaåy x2 = 1) 2x 2x 1 1 2 4 max A = x2 = x +1 Vì x + > x + A = x = 1 3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức các khoảng biến, sau đó so sámh các cực trị đó để để tìm GTNN, GTLN toàn tập xác định biến y Ví duï: Tìm GTLN cuûa B = - (x + y) a) xeùt x + y - Neáu x = thì A = - Neáu y thì A - Neáu y = thì x = vaø A = b) xeùt x + y thì A So saùnh caùc giaù trò treân cuûa A, ta thaáy max A = x = 0; y = 4) Sử dụng các bất đẳng thức 2x + 3y Ví duï: Tìm GTLN cuûa A = bieát x2 + y2 = 52 Aùp duïng Bñt Bunhiacoápxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho caùc soá 2, x , 3, y ta coù: (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 2x + 3y 26 3x x y 3x = y = x2 + y2 = x2 + = 52 13x2 = 52.4 x = Max A = 26 Vậy: Ma x A = 26 x = 4; y = x = - 4; y = - 5) Hai số có tổng không đổi thì tích chúng lớn và chúng (6) Hai số có tích không đổi thì tổng chúng lớn và chúng a)Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 không đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn và x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = x = x = - Khi đó A = 11 11 = 121 Max A = 121 x = x = - (x + 4)(x + 9) x b) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa B = (x + 4)(x + 9) x 13x + 36 36 x + 13 x x x Ta coù: B = 36 36 36 36 x+ x nhoû nhaát x = x x = Vì các số x và x có tích x x = 36 không đổi nên 36 x+ 13 A= x nhoû nhaát laø A = 25 x = 6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức 11m 5n Ví duï: Tìm GTNN cuûa A = Ta thaáy 11m taän cuøng baèng 1, 5n taän cuøng baèng Neáu 11m > 5n thì A taän cuøng baèng 6, neáu 11m < 5n thì A taän cuøng baèng m = 2; n = thÌ A = 121 124 = A = 4, chaúng haïn m = 2, n = (7)