de thi hoc sinh gioi toan 9 2012

Cho tam giác ABC có góc B bằng 3 lần góc C và đường phân giác của góc A chia tam giác thành hai phần có diện tích gấp đôi nhau.. Tính độ lớn các góc của tam giác.[r]

TR: THCS NGUYỄN CHÍ THANH TỔ : TOÁN -LÝ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN : TOÁN THỜI GIAN: 120Phút Câu (2,0 điểm) 3 Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a1  a   a n và P a1  a   a n Chứng minh rằng: S chia hết cho và P chia hết cho Câu : (2,0 điểm) Cho A = n  n  2n  2n (với n  N, n > 1) Chứng minh A không phải là số chính phương Câu 3: (2,0 điểm) x 10   62  Cho  31 .Tính   p  x3  x  2012 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x  4x+5 = 2x+3 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x+3 x2  Câu6: (2,0 điểm) Chứng minh rằng:  a  b a) 2  a b a b  b a với a, b 0 Câu 7: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc B lần góc C và đường phân giác góc A chia tam giác thành hai phần có diện tích gấp đôi Tính độ lớn các góc tam giác Câu8:(4,0 điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD hình chữ nhật ABCD Gọi P và Q là trung điểm các đoạn BH và CD Chứng minh điểm A, P, Q và D cùng nằm trên đường tròn … HẾT… ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM Câu : (2,0 điểm) Với a  Z thì a3-a =(a-1).a.(a+1) là tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho và Mà (2.3)=1 (1đ) 3  a3- a 6  S – P = (a1  a1 )  (a2  a2 )  (an  an ) 6 (1đ) Vậy S6  P6 Câu 2: (2,0 điểm) n  n  2n  2n n (n  1)2 (n  2n  2) (1đ) với n N, n > thì n2-2n+2=(n-1)2 +1 >(n-1)2 và n2 – 2n+2= n2-2(n-1) < n2 (0,5đ) 2 Vậy(n -1)2 < n  2n  < n  n  2n  không là số chính phương  đpcm (0,5đ) Câu 3: (2,0 điểm) x Ta có: (  1)3 (  1) (  1)2  2 (1,5đ) (0,5đ) Suy : P = (8-8+1)2012 =1 Câu 4: (2,0 điểm) Giải phương trình x  4x+5=2 2x+3 Điều kiện: 2x+3 0  x - (1) 2 (1)  x  4x+5-2 2x+3 0  x  2x+1+2x+3 - 2x+3  0  (x  1)2  ( 2x+3  1)2 0 x  0   2x+3  0 (1,5đ) x   2x+3=1  x  thỏa mãn điều kiện (0,5đ) Câu 5: (2,0 điểm) Tìmgiá trị nhỏ A 4x+3 x2  4x+3 x  4x+4 A   x 1 x2  Ta có: (x  2)2 A    x 1 (1đ) Dấu "=" xảy  x  0  x  Vậy A  x = -2 (1đ) Câu 6: (2,0 điểm)  a  b a) Ta có : a b a b 1 1    a  b    ab  a  b    2 2  1 1  mà a   a , b   b   a  b    a  b 4 2    a  b 2   a b a b  b a (2đ) B Câu 7: (4,0 điểm) D A N C Lời giải Ta có dt(ADC) = 2dt(ABD) (gt) , mà hai tam giác có đường cao hạ từ D (vì AD là phân giác góc A nên D cách hai cạnh AB và AC) Cho nên AC = 2.AB  C  180 và B  3C cho nên A  180  4C  Ta có A  B (2đ)    Gọi N là trung điểm AC , ta có ABN là tam giác cân  ABN  ANB 2C  ABC   ABN  3C   2C  C Cho nên NBC là tam giác cân  NB = NC Mà NBC 0   Từ đó suy AN = NC = BN  ABC vuông B , nên C 30 ; A 60 (2đ) Câu 8: (4,0 điểm) B A L K P I H D Lời giải Q C Gọi I là trung điểm AH Chứng minh IP AD từ đó suy I là trực tâm tam giác APD Suy DI AP (1) (2đ) Chứng tỏ tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy DI // PQ (2) (2đ) Từ (1) và (2) suy AP PQ , suy đ.p.c.m