Các vành con của trường số hữu tỉ và một số tính chất đặc trưng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Anh CÁC VÀNH CON CỦA TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Anh CÁC VÀNH CON CỦA TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 MỤC LỤC Trang phụ bìa MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm vành giao hoán 1.2 Iđêan 1.3 Iđêan nguyên tố iđêan tối đại 1.4 Iđêan nguyên sơ Iđêan bất khả quy 1.5 Vành Vành Nơte 10 1.6 Vành thương 12 Chương CÁC VÀNH CON CỦA TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ 14 2.1 Dạng tổng quát vành trường số hữu tỉ 14 2.2 Một số ví dụ cụ thể vành có đơn vị trường số hữu tỉ 20 2.3 Phần tử khả nghịch phần tử bất khả quy vành có đơn vị trường số hữu tỉ 23 2.4 Đặc trưng nhân tử hóa vành có đơn vị trường số hữu tỉ 26 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TRONG VÀNH CON CĨ ĐƠN VỊ CỦA TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ 31 3.1 Iđêan vành có đơn vị trường số hữu tỉ 31 3.2 Các iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ vành có đơn vị trường số hữu tỉ 33 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Trường số hữu tỉ trường số tiêu biểu quen thuộc đại số, đặc biệt đại số giao hoán Nhiều nhà toán học thường xuyên sử dụng tính chất trường số hữu tỉ tập đặc biệt q trình xây dựng lý thuyết giải toán khía cạnh khác đại số Trong lý thuyết đại số vành giao hoán, tài liệu khơng nhằm mục đích nghiên cứu sâu trường số hữu tỉ chúng có mối quan hệ với trường số hữu tỉ kể đến nhiều tài liệu củc tác giả Hideyuki Matsumura, R.Y Sharp, Atiyah Macdonal,… Khi nghiên cứu trường số hữu tỉ thơng dụng này, ta vận dụng tập vành trường số hữu tỉ  để tìm hiểu giải tốn đại số giao hoán Những câu hỏi tự nhiên đặt là: Tất vành trường số hữu tỉ mơ tả khơng? Chúng có tính chất đặc trưng nào? Trong luận văn này, trả lời câu hỏi thông qua tìm hiểu vành trường số hữu tỉ  với cách nhìn vành thương miền nguyên  theo tập nhân S Luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chúng tơi trình bày số khái niệm mệnh đề sử dụng chương chương Chương 2: Các vành trường số hữu tỉ Trong chương này, tơi phân tích kiến thức để mô tả tất vành trường số hữu tỉ, mô tả phần tử khả nghịch, phần tử bất khả quytrong vành Làm rõ số tính chất đặc trưng lớp vành có đơn vị trường số hữu tỉ  Chương 3: Một số tính chất mở rộng Trình bày iđêan, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ đồng thời trình bày phân tích ngun sơ iđêan vành có đơn vị trường số hữu tỉ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người Thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ nhiều để hoàn thành luận văn Đồng thời, xin chân thànhgửi lời cảm ơn đến q thầy tổ mơn Đại số nói riêng tồn thể q thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 Trần Thị Anh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm vành giao hoán Trong luận văn này, vành giao hoán R nói đến vành giao hốn có đơn vị với kí hiệu phần tử đơn vị Để cho thuận tiện, ta viết vành giao hoán R thay cho vành giao hốn có đơn vị R Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán, phần tử a ∈ R gọi ước không tồn b ∈ R, b ≠ cho ab = Định nghĩa 1.1.2 Vành giao hoán R gọi miền nguyên R không tầm thường ( R ≠ {0} ) R có ước không Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành giao hoán Phần tử u ∈ R gọi phần tử khả nghịch tồn v ∈ R cho uv = Nếu u khả nghịch tồn v Khi đó, v gọi nghịch đảo u Kí hiệu: v = u −1 Định nghĩa 1.1.4 Cho R vành giao hoán a, b ∈ R , phần tử a gọi liên kết với phần tử b tồn phần tử khả nghịch u ∈ R cho a = bu Định nghĩa 1.1.5 Cho R miền nguyên, phần tử p ∈ R gọi phần tử bất khả quy miền nguyên R p thỏa điều kiện sau: (i) p ≠ , p không khả nghịch; (ii) Nếu p = ab , a, b ∈ R a khả nghịch b khả nghịch Định nghĩa 1.1.6 Miền nguyên R gọi miền nhân tử hóa thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) Mọi phần tử ≠ a ∈ R a không khả nghịch có phân tích thành tích hữu hạn phần tử bất khả quy, nghĩa a = p1 p2 ps , p1 , p2 , , ps phần tử bất khả quy R (ii) Nếu a có hai phân tích = a p= q1q2 qt , p2 ps với t , s ∈  p1 , p2 , , ps , q1 , q2 , qt phần tử bất khả quy R s = t pi liên kết với qi , với i = 1, , s Định nghĩa 1.1.7 Miền nguyên R gọi vành Ơclit có ánh xạ ∂ : R \ {0} → }* thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nếu b ước a a ≠ ∂ (b) ≤ ∂ (a) ; (ii) Với a, b ∈ R b ≠ tồn cặp phần tử q, r R cho = a bq + r với ∂ (r ) < ∂ (b) r ≠ Định nghĩa 1.1.8 Cho R miền nguyên Phần tử p ∈ R gọi phần tử nguyên tố R (i) p ≠ , p không khả nghịch; (ii) Nếu p ước ab p ước a p ước b , a, b ∈ R 1.2 Iđêan Định nghĩa 1.2.1 Cho I iđêan vành giao hốn R Ta kí hiệu radical iđêan I với I= {a ∈ R : ∃n ∈ }, a n ∈ I} I Dễ dàng chứng minh I iđêan R Mệnh đề 1.2.2 R vành giao hoán I J iđêan R Khi (i) (ii) I + J= I+ J; I = I; (iii) I = R ⇔ I = R; (iv) I + J = (1) ⇒ I + J = (1) Mệnh đề 1.2.3 Cho I , J iđêan vành giao hoán R Khi IJ = I∩J = I ∩ J Định nghĩa 1.2.4 Cho I , J iđêan vành giao hoán R Ta định nghĩa iđêan thương {a R :aJ ⊆ I } ( I : J ) =∈ Đặc biệt, I = ( : J ) gọi linh tử hóa J Kí hiệu (0 : J ) = AnnR ( J ) Định nghĩa 1.2.5 Cho f : R → S đồng cấu vành giao hoán (i) −1 J iđêan S f ( J ) iđêan R gọi thu hẹp iđêan J R Kí hiệu f −1 ( J ) = J c (ii) I iđêan R iđêan f ( I ).S iđêan S sinh f ( I ) gọi mở rộng iđêan I vào S Kí hiệu f ( I ) S = I e Mệnh đề 1.2.6.Giả thiết 1.2.5 cho I1 , I iđêan R , J1 , J iđêan S Khi (i) ( I1 + I )e =I 1e + I 2e ; (ii) ( I1.I )e = I 1e I 2e ; (iii) (J1 ∩ J )c =J 1c ∩ J 2c ; (iv) ( ) c J1 = J1c Mệnh đề 1.2.7.Cho f : R → S đồng cấu vành giao hoán, I J iđêan R S Ta có 1.3 (i) I ⊆ I ec ; (ii) J ce ⊆ J ; (iii) I e = I ece ; (iv) J cec = J c Iđêan nguyên tố iđêan tối đại Định nghĩa 1.3.1 Iđêan M vành giao hoán R gọi iđêan tối đại (i) M iđêan thực R ; (ii) Không tồn iđêan I R thỏa M ⊂ I ⊂ R Mệnh đề 1.3.2 (i) R vành giao hốn khơng tầm thường R có iđêan tối đại Do đó, iđêan thực R chứa iđêan tối đại (ii) Iđêan I vành R iđêan tối đại R / I trường Định nghĩa 1.3.3 Iđêan P iđêan nguyên tố vành giao hoán R P thỏa mãn: (i) P iđêan thực R ; (ii) ∀a, b ∈ A ab ∈ P a ∈ P b ∈ P Tập hợp iđêan nguyên tố vành R kí hiệu Spec( R) Mệnh đề 1.3.4 Iđêan I vành giao hoán R nguyên tố R / I miền nguyên 1.4 Iđêan nguyên sơ Iđêan bất khả quy Định nghĩa 1.4.1 Cho Q iđêan vành giao hốn R Ta nói Q iđêan ngun sơ R (i) Q iđêan thực R ; (ii) Với a, b ∈ R ab ∈ Q a ∉ Q tồn n ∈  cho bn ∈ Q Điều kiện (ii) thay (ii’) Với a, b ∈ R ab ∈ Q a ∈ Q b ∈ Q Nhận xét 1.4.2 Mọi iđêan nguyên tố iđêan tối đại vành R iđêan nguyên sơ Mệnh đề 1.4.3 Cho f : R → S đồng cấu vành giao hoán Q iđêan nguyên sơ S Khi đó, Q c = f −1 ( Q ) iđêan nguyên sơ R Mệnh đề 1.4.4 Cho Q iđêan nguyên sơ vành giao hốn R Khi đó, P := Q iđêan nguyên tố R Hơn nữa, P iđêan nguyên tố nhỏ chứa Q Ta gọi Q P − nguyên sơ 29 • m, n ∈ A * n | m suy tồn q ∈ A cho m = nq Ta có = m m= n= q1q2 1m2 , n 1n2 , q với m1 , n1 , q1 số nguyên dương không khả nghịch sinh hữu hạn phần tử Ρ \ P ( A ) 1; m2 , n2 , q2 phần tử khả nghịch A Do = m m= n1n2= q1q2 (n1q1 )(n2 q2 ) , 1m2 n1q1 khơng khả nghịchsinh hữu hạn phần tử Ρ \ P ( A ) 1, n2 q2 khả nghịch Vì m1 bắt buộc m1 = n1q1 Từ n1 ≤ n1q1 == m1 ∂ ( m ) ∂ (n) = • ∀m, n ∈ A * , m = m1m2 n = n1n2 ta thực phép chia số nguyên dương m1 cho n1 được: m n1q + r = với q, r ∈ A số nguyên dương, ≤ r < n1 Nếu r ≠ r = r1r2 , r1 ngun dương khơng khả nghịch sinh hữu hạn phần tử Ρ \ P ( A ) 1, r2 số nguyên dương khả nghịch A , suy ∂ ( r ) =r1 ≤ r < n1 =∂ ( n ) Ta có = m m1= m2 (n1q + r )m2 m =n1qm2 + rm2 =n1n2 qm2 n2−1 + rm2 =n(qm2 n2−1 ) + rm2 =nq′ + r ′ 30 , q′, r ′ ∈ A r ′ ≠ ∂ ( r ′ ) = ∂ ( rm2 ) = ∂ ( r ) < ∂ ( n ) Vậy ánh xạ ∂ ánh xạ Ơclit A vành Ơclit Hệ 2.4.7 Mọi vành A có đơn vị trường số hữu tỉ  vành Do đó, A vành Nơte 31 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TRONG VÀNH CON CÓ ĐƠN VỊ CỦA TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ 3.1 Iđêan vành có đơn vị trường số hữu tỉ Mệnh đề 3.1.1.Cho vành có đơn vị A = S −1 trường số hữu tỉ  , f đồng cấu tự nhiên, f :  → S −1 J iđêan A Khi đó, J ce = J từ suy iđêan A mở rộng iđêan  qua f Chứng minh ( I ) A I e , = J f= Gọi J iđêan A , ta cần chứng minh I iđêan  Với λ ∈ J , λ = a ∈ f −1 ( J ) = J c Do đó, λ= a a s a , a ∈ , s ∈ S Ta có f (a= ) = ∈ J , suy s 1 s a a 1 = = f (a ) ∈ J ce suy J ⊆ J ce s s s Theo định nghĩa, J ce iđêan S −1 sinh f ( J c ) = f ( f −1 ( J )) ce J J= f ( f −1 ( J )) ⊆ J nên J ce ⊆ J Vậy = (J = ) c e I e với I = J c iđêan  Như vậy, để miêu tả iđêan S −1 ta nghiên cứu mở rộng iđêan  qua f Mênh đề 3.1.2 (Dạng tổng quát iđêan vành có đơn vị trường số hữu tỉ) 32 Cho vành A = S −1 trường số hữu tỉ  , f đồng cấu tự nhiên, a  f :  → S −1 , I iđêan  I e = λ ∈ S −1 : ∃a ∈ I , s ∈ S , λ=  s  Chứng minh a , a ∈ I , s ∈ S s Ta lấy λ ∈ S −1 , λ = a a 1 = = f (a ) s s s λ= Vì a ∈ I nên f (a ) ∈ f ( I ) , suy λ = f (a ) ∈ I e s I e iđêan sinh f ( I ) S −1 nên với α ∈ I e tồn hi ∈ I ; µi ∈ S −1 , i = 1, n cho: n λ = ∑ µi f (hi ) i =1 Do µi ∈ S −1 , i = 1, , n nên µi = , a ∈ ; si ∈ S , i = 1, , n Ta có si i n n ai hi ( ) f h = ∑ ∑ i si i si =i =i = λ = n µi f (hi ) ∑= Do I iđêan hi ∈ I , ∈  nên hi ∈ I Do λ= n hi a = ,a∈ I, s ∈ S s i ∑s i =1 a Chú ý 3.1.3 Mỗi phần tử I e tồn đại diện λ = , s a ∈ I , s ∈ S nói chung khơng phải đại diện λ có dạng 33 Ví dụ: P( A) = {3} = , S {3 , i ∈ }} I = 6 iđêan  có 36 ∈ I i e = mà 2∉ I 32 3.2 Các iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ vành có đơn vị trường số hữu tỉ Mệnh đề 3.2.1 Cho vành A = S −1 trường số hữu tỉ  , f đồng cấu tự nhiên, f :  → S −1 Nếu Q iđêan nguyên sơ  saocho a ∅ tất đại diện λ ∈ Q e dạng λ = , a ∈ Q, s ∈ S Q∩S = s Hơn nữa, Q ec = Q Chứng minh Lấy λ ∈ Q e với đại diện tùy ý λ = a , a ∈  , s ∈ S Ta cần chứng minh s b a a ∈ Q Theo 3.1.2, tồn b ∈ Q, t ∈ S cho = suy bs = at Vì b ∈ Q t s nên bs ∈ Q suy at ∈ Q Do t ∈ S Q ∩ S = ∅ nên t ∉ Q , suy t n ∉ Q , n ∈  Vì Q iđêan nguyên sơ  nên a ∈ Q Chứng minh Q ec = Q Q ec Do Q ⊆ Q ec Với a ∈ Q, f (a ) ∈ f (Q) ⊂ Q e , a ∈ f −1 (Q e ) = b Ngược lại, với b ∈ Q ec , ∈ Q e , theo chứng minh phần định lý b ∈ Q Từ Q ec ⊆ Q 34 Hệ 3.2.2 Bổ đề 3.2.1 với iđêan nguyên tố P mà P ∩ S = ∅ (do iđêan nguyên tố tự động iđêan nguyên sơ) Bổ đề 3.2.3 Cho iđêan Q P − nguyên sơ  Khi Q ∩ S = ∅ P ∩ S = ∅ Chứng minh Điều kiện cần Cho Q ∩ S = ∅ , ta giả sử P ∩ S ≠ ∅ Khi tồn n a ∈ P ∩ S Ta có a ∈ P =Q a ∈ S , suy tồn n ∈  cho a ∈ Q an ∈ S Do Q ∩ S ≠ ∅ (mâu thuẫn) Vậy P ∩ S = ∅ Điều kiện đủ P ∩ S ≠ ∅ P = Q suy Q ∩S = ∅ Ta lại có Q ⊆ Q Do Q ∩ S = ∅ Định lý 3.2.4.Cho vành A = S −1 trường số hữu tỉ  , f đồng cấu tự nhiên, f :  → S −1 Khi (i) Nếu P ∈ Spec(), P ∩ S ≠ ∅ P e = S −1 (ii) Nếu P ∈ Spec(), P ∩ S = ∅ P e ∈ Spec(S −1 ) (iii) ∅ P′ce = P′ Nếu P′ ∈ Spec(S −1 ) P′c ∈ Spec(), P′c ∩ S = (iv) Mọi iđêan nguyên tố có dạng P e với P ∩ S = ∅ P xác định Chứng minh s (i) Nếu P ∩ S ≠ ∅ tồn s ∈ P ∩ S , suy = ∈ P e mà P e iđêan s −1 e −1 S nên P = S 35 (ii) Ta có P e ⊂ S −1 Thật vậy, P e = S −1 ∈ P e , suy tồn s = ∈ P e theo 3.2.2, s ∈ P Do s ∈ P ∩ S hay P ∩ S ≠ ∅ (mâu s s ∈ S mà thuẫn) Với a b ab a b ∈ P e Theo 3.2.2, ab ∈ P nên a ∈ P , ∈ S −1 mà = s t s t st b ∈ P , kéo theo a b ∈ P e ∈ P e s t Vậy P e ∈ Spec(S −1 ) (iii) Xét đồng cấu hợp , p đồng cấu chiếu tự nhiên f p   → = → S −1 / P′ A S −1  Ta có Ker( pf ) = f −1 ( P′) = { x ∈  : f (x) ∈ P′} Theo định lý đồng cấu  / Ker( pf ) đẳng cấu với vành miền nguyên S −1 / P′ ( P′ ∈ Spec(S −1 ) ) Suy  Ker ( pf ) = f −1 ( P′) miền nguyên Do đó, ′) P′c ∈ Spec() f −1 ( P= Giả sử P′c ∩ S ≠ ∅ , theo i) ta có P′ce = S −1 mà P′ce = P′ suy P′ = S −1 (mâu thuẫn) (iv) Ta cần chứng minh thêm P Giả sử ngược lại, tồn P0 ∈ Spec() mà ∅ Pe = P0e ∈ Spec(S −1 ), P ∩ S = P0 ∩ S = ec ec P P= P= P0 Áp dụng 3.2.1., ta có = 36 Chú ý 3.2.5 Dựa vào kết định lý trên, ta hồn tồn xây dựng đẳng cấu: {P ∈ Spec() : P ∩ S =∅} → Spec(S −1 ) Định lý 3.2.6 Cho vành A = S −1 trường số hữu tỉ  , f đồng cấu tự nhiên, f :  → S −1 Ta có (i) Nếu Q iđêan nguyên sơ  Q ∩ S ≠ ∅ Q e = S −1 (ii) Nếu Q P − nguyên sơ  ∅ Q e P e Q∩S = nguyên sơ S −1 (iii) Mọi iđêan Q′ nguyên sơ S −1 Q′c iđêan nguyên sơ ∅, Q′ce = Q′  Q′c ∩ S = (iv) Mọi iđêan nguyên sơ S −1 có dạng Q e với Q ∩ S = ∅ Q xác định Chứng minh (i) Tương tự (i) 3.2.4 (ii) Tương tự (ii) 3.2.4, Q ∩ S = ∅ suy Q e ⊂ S −1 Vì Q P − nguyên sơ  nên Q = P Theo 1.6.4(iv), = Q e (= Q )e P e ∀λ , µ ∈S −1 cho λµ ∈ Q e Giả sử µ ∉ Q e = P e , nghĩa λµ = a b ab = ∈ Qe s t st b a, b ∈ S −1; s, t ∈ S ; ∉ P e t 37 Ta có b ∉ P =Q Theo 3.2.1, ab ∈ Q Vì Q P − nguyên sơ nên a ∈ Q Suy λ= a ∈ Qe s Vậy Q e P e - nguyên sơ S −1 (iii) Theo 1.4.3, ta có Q′c iđêan nguyên sơ  , = Q′c (= Q′ )c P′c Vậy Q′c P′c -nguyên sơ ∅ Theo 3.1.1, Q′ iđêan S −1 Q′ce = Q′ ⊂ S −1 Suy Q′c ∩ S = (iv) Theo iii) iđêan nguyên sơ S −1 có dạng Q e , Q iđêan nguyên sơ  , Q ∩ S = ∅ Ta cần chứng minh Q xác định Giả sử tồn Q1 thỏa mãn điều kiện trên: Q e = Q1e , Q ∩ S = Q1 ∩ S = ∅ ec  Q = Q mà Q e = Q1e ⇒ Q ec = Q1ec ⇒ Q = Q1 Theo mệnh đề 3.2.1  ec  Q1 = Q1 Nhận xét 3.2.7 Theo kết định lý 3.2.6, ta có song ánh từ tập hợp { Q iđêan nguyên sơ  , Q ∩ S = ∅ } đến tập iđêan nguyên sơ S −1 } Định lý 3.2.8.(Dạng tổng quát iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ S −1 ) Cho vành A = S −1 trường số hữu tỉ  , f đồng cấu tự nhiên f :  → S −1 Khi (i) Tập iđêan nguyên tố S −1 {0} ∪ P e , P = p , p số nguyên tố P ∩ S = ∅ (hay p ∉ S ) 38 (ii) Tập iđêan nguyên sơ S −1 {0} ∪ {Q : Q =( p n)e , p n ∩ S =∅, n ∈ }*} , p số nguyên a  1, a ∈ p n , b ∈ S , b  p  tố, n số tự nhiên dương ( p n )e =  : ( a, b) = b  Chứng minh ∅, (i) ∉ S suy {0} ∩ S = {0} ∈ Spec()  miền nguyên nên {0= } {0} ∈ Spec( S−1 ) e Mọi iđêan ngun tố khác khơng  có dạng P = p , p số nguyên tố Áp dụng 3.1.2 3.2.4., ta có iđêan nguyên tố khác không ∅ S −1 P e , P =p, P ∩ S = (ii) Trước hết Chứng minh Tập iđêan nguyên sơ  {0} ∪ { p n, n ∈ }*} p số nguyên tố {0} iđêan nguyên tố nên iđêan nguyên sơ Với p số nguyên tố bất kỳ, n ∈ * Ta có: p n  = ( p) n lũy thừa nguyên dương iđêan tối đại (vì p nguyên tố tối đại) Ta cần chứng minh p n  iđêan nguyên sơ  ngược lại Ta có p n ⊆ ( p) n =⊂ p  Với a, b ∈ p n ab ∈ p n  Giả sử b ∉ p n Vì b ∉ p n nên p n = p 39  p + b = suy p n + b ==   Áp dụng 1.2.2(i), ta có p n + b =  Do tồn d ∈ p n, c ∈  cho d + cb = Ta có a =a.1 =a (d + bc) = ad + (ab)c ∈ p n  Vì d ∈ p n ab ∈ p n  nên a ∈ p n  Vậy p n iđêan nguyên sơ  Ngược lại, gọi J iđêan nguyên sơ tùy ý  Ta có J = a, a khơng khả nghịch  vành Nếu a có hai ước ngun tố p q , p ≠ q Ta có  p ≠ q   J ⊂ p  J ⊂ q  Theo 1.4.4., J iđêan nguyên sơ nên J iđêan nguyên tố nhỏ chứa J Suy = J p= , J q (mâu thuẫn) Do a khơng thể có hai ước nguyên tố khác nhau, suy a = p n , n ∈  * Vậy J = p n , n ∈  * 40 Nhận xét 3.2.9 Theo 2.4.7 1.5.6., S −1 vành Nơte giao hoán nên iđêan thực S −1 có phân tích ngun sơ Định lý 3.2.10.(Sự phân tích nguyên sơ iđêan vành S −1 ) Cho I iđêan thực vành S −1 I ln có phân tích nguyên sơ Chứng minh Ta biết iđêan thực S −1 có dạng I e với I iđêan vành số nguyên Khi đó, tồn a ∈  cho I = a • a = iđêan {0} iđêan nguyên sơ • a > a = p1k1 p2k2 pnkn Ta dễ dàng kiểm tra = I p1k1  ∩ p2k2  ∩ ∩ pnkn  Đặt Qi := piki Z , rõ ràng Qi iđêan nguyên sơ  (theo 3.2.7.) Ta có ki p= p= i  i  : Pi Như I có phân tích ngun sơ I = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn , n ∈  * , Qi P= 1, , n = i ,i Theo mệnh đề 1.6.4 iii) n I e = ∩ Qie i =1 Ta hoàn toàn chọn số m cho cho Pi ∩ S = ∅, với1 ≤ i ≤ m; Pi ∩ S ≠ ∅ với m < j ≤ n 41 Theo 3.2.3, Pj ∩ S ≠ ∅ ⇔ Q j ∩ S ≠ ∅, m < j ≤ n Q ej S −1 , m < j ≤ n Q ej Pi e − nguyên sơ với ≤ i ≤ m Theo 3.2.5., thì= e e −1 Ta nhận thấy m khác trái lại I = S mâu thuẫn với I iđêan thực S −1 Do I e = Q1e ∩ Q2e ∩ ∩ Qme , m ∈ *, Qie = Pi e với i = 1, , n phân tích nguyên sơ I e 42 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết chủ yếu sau: - Mô tả tất vành trường số hữu tỉ nói chung lớp vành có đơn vị trường số hữu tỉ nói riêng Khẳng định có song ánh từ tập hợp tập tập số nguyên tố vào lớp vành có đơn vị trường số hữu tỉ - Tập trung nghiên cứu lớp vành có đơn vị trường số hữu tỉ: mô tả cụ thể vài vành cụ thể lớp này.Phân tích để nhìn thấy iđêan, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ tính chất đặc trưng chúng vành lớp vành - Một số tính chất vành có đơn vị trường số hữu tỉ thông qua nghiên cứu iđêan đặc trưng nhân tử hóa chúng Mặc dù cố gắng thực luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn góp ý dẫn để luận văn hồn thiện 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên, (2006), Đại số đồng điều, NXB ĐHQG TPHCM Mỵ Vinh Quang, (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Mỵ Vinh Quang, (1998), Bài tâpĐại số đại cương, NXB Giáo dục Tiếng Anh Atiyah M F., Macdonal I G., (1969), Introduce to commutative algegbra, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts Kaplansky I., (1970), Commutative rings, Allyn And Bacon, Boston Hideyyuki Matsumura, (1980), Commutative algebra, Benjamin Cummings, Reading, Massachusetts Hideyyuki Matsumura, (1980), Commutative ring theory, Benjamin Cummings, Reading, Massachusetts Northcott D G., (1953), Ideal theory, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics Sharpe D., (1987), Rings and factorization, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 10 Sharp R Y., (2012), Steps in Commutative algebra, Benjamin Cummings, Reading, Massachusetts ... quy vành có đơn vị trường số hữu tỉ, ta tiếp tục tìm hiểu số tính chất đặc trưng vành 26 2.4 Đặc trưng nhân tử hóa vành có đơn vị trường số hữu tỉ Định lý 2.4.1 Mỗi vành có đơn vị A trường số hữu. .. Ơclit A vành Ơclit Hệ 2.4.7 Mọi vành A có đơn vị trường số hữu tỉ  vành Do đó, A vành Nơte 31 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TRONG VÀNH CON CÓ ĐƠN VỊ CỦA TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ 3.1 Iđêan vành có... quy vành có đơn vị trường số hữu tỉ 23 2.4 Đặc trưng nhân tử hóa vành có đơn vị trường số hữu tỉ 26 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TRONG VÀNH CON CÓ ĐƠN VỊ CỦA TRƯỜNG SỐ HỮU