Các kết quả điểm bất động đa trị trong các không gian mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Đình Hiếu CÁC KẾT QUẢ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐA TRỊ TRONG CÁC KHÔNG GIAN MEETRIC NĨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Đình Hiếu CÁC KẾT QUẢ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐA TRỊ TRONG CÁC KHƠNG GIAN MEETRIC NĨN Chun ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “Các kết điểm bất động đa trị không gian mêtric nón” cá nhân tơi thực với hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn, không chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Học viên thực Phan Đình Hiếu ii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thái Sơn, người thầy trực tiếp hướng dẫn chi tiết, tận tâm giúp đỡ em mặt nghiên cứu niềm tin để em hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô mơn Hình học nói riêng tồn thể q thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy giúp đỡ em suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Học viên thực Phan Đình Hiếu iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian định chuẩn 10 1.3 Đồng luân 13 1.4 Các kết điểm bất động đơn trị không gian mêtric 16 1.5 Các kết điểm bất động đa trị không gian mêtric 19 Các khơng gian mêtric nón 25 2.1 Nón 25 2.2 Khơng gian mêtric nón 27 2.3 Nón khối khơng tắc 30 Các kết điểm bất động đa trị không gian mêtric nón 32 3.1 Kết điểm bất động đa trị toàn cục 32 3.2 Kết điểm bất động đa trị địa phương 42 3.3 Một kết đồng luân 46 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54 Lời nói đầu Luận văn thạc sĩ thực chủ yếu dựa tài liệu tham khảo [8] tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tác giả Nayyar Mehmooda, Akbar Azama Ljubiˇsa D.R.Koˇcinacb Năm 2007, L G Huang cộng [6] giới thiệu không gian mêtric nón với nón chuẩn tắc, việc tổng quát hóa khơng gian mêtric Thật thì, khơng gian mêtric nón giới thiệu vào năm 1934 nhà toán học người Serbi Dj Kurepa (các khơng gian giả khoảng cách), sau định nghĩa lại nghiên cứu nhiều báo nhiều tên gọi khác Sh Rezapour cộng [11] đưa kết [6] cho trường hợp khơng gian mêtric nón mà khơng có tính chuẩn tắc nón Trong vài năm gần nhiều tác giả làm việc lý thuyết điểm bất động khơng gian mêtric nón nhiều tổng qt hóa khác khơng gian mêtric nón S H Cho cộng [13] phát minh hàm khoảng cách Hausdorff không gian mêtric nón suy rộng kết [9] cho ánh xạ đa trị Trong luận văn thực việc tổng quát hóa kết điểm bất động đa trị không gian mêtric [7] [3] việc sử dụng hàm khoảng cách Hausdorff giới thiệu [13] cho mêtric nón Sau thực định lý luận văn điểm bất dộng đa trị tồn cục khơng gian mêtric nón, tơi đưa ví dụ để bổ trợ cho định lý luận văn Ngồi tơi có ứng dụng kết điểm bất động đa trị địa phương không gian mêtric nón vào lý thuyết đồng luân định lý cuối chương Nội dung luận văn bao gồm ba chương: • Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu không gian mêtric, khơng gian định chuẩn tính chất quan trọng hai khơng gian Ngồi ra, chương giới thiệu kiến thức đồng luân phiên định lý điểm bất động đơn trị đa trị toàn cục địa phương khơng gian mêtric • Chương : Các khơng gian mêtric nón Chương gồm mục: 2.1, 2.2 2.3 Mục 2.1 giới thiệu khái niệm nón khái niệm liên quan nón quy, nón tắc, nón khối bổ đề nêu lên mối quan hệ nón quy nón tắc Mục 2.2 giới thiệu khái niệm khơng gian mêtric nón khái niệm dãy loại không gian Mục 2.3 giới thiệu nón khối khơng tắc • Chương : Các kết điểm bất động đa trị không gian mêtric nón Đây chương luận văn Trong chương giới thiệu hai phiên định lý điểm bất động đa trị toàn cục 3.1 định lý điểm bất động đa trị địa phương 3.2 số hệ ví dụ minh họa cho định lý điểm bất động đa trị toàn cục 3.1.8 Ngoài chương cịn có kết đồng ln 3.3 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong tôpô đại, kết điểm bất động đa trị khơng gian mêtric nón vấn đề liên quan đến ánh xạ co đa trị toán thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học đương thời Q trình nghiên cứu tìm hiểu kết cần có kiến thức tảng vững không gian mêtric, không gian định chuẩn, ánh xạ đa trị lý thuyết đồng luân Vì chương quan trọng thiếu luận văn thạc sĩ nhằm giúp thân tơi nắm chắn bước để hiểu sâu sắc điều làm giúp người đọc dễ nắm bắt nội dung Trước tiên, ta vào mục 1.1 : không gian mêtric 1.1 Không gian mêtric Ở mêtríc nghĩa khoảng cách Khơng gian mêtríc nghĩa khơng gian có khoảng cách Ở mục khảo sát số tính chất khơng gian mêtríc tổng qt hóa kết chương chương Vì kết mục nên nêu mà không chứng minh Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập không rỗng Một ánh xạ d : X ×X →R (x, y) → d (x, y) gọi mêtríc X tính chất sau thỏa với x, y, z ∈ X : i) d (x, y) ≥ d (x, y) = ⇔ x = y , ii) d (x, y) = d (y, x), iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) Tập X với mêtríc d gọi khơng gian mêtríc (X , d ) Mỗi phần tử tập X cịn gọi điểm Ví dụ 1.1.2 (khơng gian Euclid Rn ) Tập hợp Rn = {(x , x , , x n )|x ∈ R, x ∈ R, , x n ∈ R} với mêtric Euclid d ((x , x , , x n ), (y , y , , y n )) = (x − y )2 + (x − y )2 + + (x n − y n )2 gọi khơng gian Euclid n−chiều Đặc biệt khơng gian mêtríc Euclid R có mêtríc thơng thường d (a, b) = |a − b| • Đóng, mở, hội tụ, liên tục: Định nghĩa 1.1.3 Cho khơng gian mêtríc (X , d ), a ∈ X số thực r > Các tập B (a, r ) = {x ∈ X |d (x, a) < r } B (a, r ) = {x ∈ X |d (x, a) ≤ r } S(a, r ) = {x ∈ X |d (x, a) = r } gọi cầu mở, cầu đóng, mặt cầu tâm a bán kính r Định nghĩa 1.1.4 Với tập A ∈ X , ta nói A tập mở (trong X ) ứng với x ∈ A , tồn r > cho B (x, r ) ∈ A Nếu X \A tập mở, ta nói A tập đóng (trong X ) Mệnh đề 1.1.5 Cho khơng gian mêtríc (X , d ) (A i )i ∈I họ không rỗng tập X Ta có i) Nếu A i tập mở ∪i ∈I A i tập mở ii) Nếu A i tập đóng ∩i ∈I A i tập đóng iii) Nếu A i tập mở I tập hữu hạn ∩i ∈I A i tập mở iv) Nếu A i tập đóng I tập hữu hạn ∪i ∈I A i tập đóng Định nghĩa 1.1.6 Tập A ∈ X gọi bị chận tồn a ∈ X , r > 0, cho A ∈ B (a, r ) Chú ý cầu mở tập mở, cầu đóng mặt cầu tập đóng Ngồi ra, khơng gian mêtríc X, tập ∅ X tập vừa đóng vừa mở (trong X ) Định nghĩa 1.1.7 Cho (x n )n≥1 dãy phần tử khơng gian mêtríc (X , d ) Ta nói (x n )n≥1 dãy hội tụ (trong X ) tồn x ∈ X cho lim d (x n , x) = 0, nghĩa n→∞ ứng với > 0, tồn n ∈ Z cho d (x n , x) < , với n ≥ n Khi đó, phần + tử x, có, gọi giới hạn dãy {x n }, ký hiệu lim x n = x Ta n→∞ viết x n → x n → ∞ Định nghĩa 1.1.8 Cho A tập khơng gian mêtríc (X , d ) Phần tử a ∈ X gọi điểm dính A cầu tâm a có chứa phần tử A , nghĩa ∀r > 0, B (a, r ) ∩ A = ∅ Tập điểm dính A gọi phần dính hay bao đóng A , ký hiệu cl (A) A Định nghĩa 1.1.9 Phần tử a gọi điểm A tồn cầu tâm a chứa A , nghĩa ∃r > 0, B (a, r ) ⊂ A Tập điểm A gọi phần A , ký hiệu A˚ i nt (A) 41 • E = C R1 [0, π] không gian hàm trơn cấp đoạn [0, π] lấy giá trị R với phép tốn cộng nhân vơ hướng định nghĩa sau: với a, b ∈ R với f , g ∈ E, (a f + bg )(t ) = a f (t ) + b.g (t ), ∀t ∈ [0, π] với chuẩn f = f ∞+ f ∞ E khơng gian Banach thực • Đặt P = { f ∈ E : f ≥ 0, [0, π]} Khi P nón khối khơng tắc P thỏa mãn ba tính chất nón i) P đóng, khác rỗng, P = {θ}; ii) a, b ∈ R, a, b ≥ f , g ∈ P ⇒ f , g ≥ [0, π] ⇒ a f + bg ≥ [0, π] ⇒ a f + bg ∈ P ; iii) P = { f ∈ E : f ≥ 0, [0, π]} −P = { f ∈ E : (− f ) ≥ 0, [0, π]} nên P ∩ (−P ) = {θ} • Định nghĩa d : X × X → E d (e i θ1 , e i θ2 )(t ) = (cos(θ1 ) − cos(θ2 ))2 + (sin(θ1 ) − sin(θ2 ))2 e t ≤ t ≤ π Khi d mêtric nón X Ta chứng minh d thỏa ba tính chất mêtric nón Ta có với x, y, z ∈ X x, y, z có dạng: x = e i θ1 , y = e i θ2 , z = e i θ3 ∀θ1 , θ2 , θ3 ∈ [0, π] i) θ d (x, y) với x, y ∈ X θ = d (x, y) ⇔ x = y ; ii) d (x, y) = d (y, x) với x, y ∈ X ; iii) d (x, z) d (x, y) + d (y, z) với x, y, z ∈ X Và X khơng gian mêtríc nón đầy đủ với mêtric d đươc định nghĩa • Ta xét ánh xạ 42 F : X → C L(X ) định nghĩa θ F x = B d (e i , 1) (lưu ý: kí hiệu khơng số đơn mà hàm f ∈ E: f (t ) = 1, ∀t ∈ [0, π]) F ánh xạ đa trị Ta vừa xây dựng khơng gian mê tric nón đầy đủ (X , d ) ánh xạ đa trị F thỏa mãn tất yêu cầu định lý 3.1.4 Bằng cách chọn r= 49 ta kiểm tra 100 d (x, y) ∈ s(x, F x) =⇒ r d (x, y) ∈ s(F x, F y) với x, y ∈ X ϕ(r ) thu điểm bất động cho F 3.2 Kết điểm bất động đa trị địa phương Chú ý 3.2.1 Trong ứng dụng nhiều trường hợp mà định lý 3.1.4 khơng hồn tồn thỏa mãn thường xuyên gặp trường hợp ánh xạ F không thỏa điều kiện d (x, y) ∈ s(x, F x) =⇒ r d (x, y) ∈ s(F x, F y) tồn khơng gian X thỏa ϕ(r ) tập Y X Tuy nhiên, Y đầy đủ, F có điểm bất động Y Trong phần thu kết quan trọng liên quan đến việc tồn điểm bất động ánh xạ thỏa điều kiện thu hẹp tập B d (x , r ) := {y ∈ X : d (x, y) r } khơng gian mêtríc nón X cách hạn chế cách khéo léo việc chọn x , cho phần lại x n (tức từ x trở đi) thuộc B d (x , r ) Định lý 3.2.2 Cho (X , d ) không gian mêtric nón với nón P khơng gian đầy đủ B d (x , r ) Cho ϕ : [0, 1) → (0, ] hàm định nghĩa ϕ(t ) = , 1+t T : B d (x , r ) → C L(X ) ánh xạ đa trị Giả sử tồn a ∈ [0, 1) cho d (x, y) ∈ s(x, T x) ⇒ ad (x, y) ∈ s(T x, T y), ∀x, y ∈ B d (x , r ) ϕ(a) (3.2.1) 43 Nếu (3.2.2) (1 − a)r ∈ s(x , T x ) tồn v ∈ B d (x , r ) cho v ∈ T v Chứng minh Từ 3.2.2 (1 − a)r ∈ s(x , T x ) ta có x∈T x s(d (x , x)) (1 − a)r ∈ Vì T : B d (x , r ) → C L(X ) nên T x ∈ C L(X ) Do tồn x ∈ T x cho (1 − a)r ∈ s(d (x , x )) suy d (x , x ) (1 − a)r r Như theo định nghĩa cầu đóng suy x ∈ B d (x , r ) Bây giờ, từ d (x , x ) θ ⇒ d (x , x ) − θ = d (x , x ) ∈ P ⇒ ad (x , x ) ∈ P ⇒ (a + 1)d (x , x ) − d (x , x ) ∈ P ⇒ d (x , x ) − d (x , x ) ∈ P ϕ(a) hay d (x , x ) d (x , x ) ϕ(a) áp dụng bổ đề 3.1.1 ta thu d (x , x ) ∈ s(x , T x ) ϕ(a) áp dụng 3.2.1 ta thu ad (x , x ) ∈ s(T x , T x ) = s(a, T x ) a∈T x s(b, T x ) b∈T x 44 x ∈ T x , áp dụng bổ đề 3.1.2 i i i ), nên ta có ad (x , x ) ∈ s(x , T x ) T x ∈ C L(X ) tồn x ∈ T x cho ad (x , x ) ∈ s(d (x , x )) d (x , x ) ad (x , x ) mà d (x , x ) (1 − a)r suy a(1 − a)r d (x , x ) Ta có d (x , x ) d (x , x ) + d (x , x ) (1 − a)r + a(1 − a)r = (1 − a )r từ suy x ∈ B d (x , r ) Vì d (x , x ) d (x , x ) x ∈ T x ϕ(a) áp dụng định lý 3.1.1 ta d (x , x ) ∈ s(x , T x ) ϕ(a) kết hợp với x , x ∈ B d (x , r ) từ 3.2.1 suy ad (x , x ) ∈ s(T x , T x ) x ∈ T x , theo bổ đề 3.1.2 i i i ) suy ad (x , x ) ∈ s(x , T x ) mà s(x , T x ) = s(d (x , x)) nên tồn x ∈ T x cho x∈T x ad (x , x ) ∈ s(d (x , x )) r 45 có nghĩa d (x , x ) ad (x , x )( a d (x , x )) Tiếp theo d (x , x ) d (x , x ) + d (x , x ) + d (x , x ) (1 − a)r + a(1 − a)r + a (1 − a)r = r − ar + ar − a r + a r − a r = (1 − a )r r, nghĩa x ∈ B d (x , r ) Bằng cách quy nạp, ta xây dựng dãy {x n } B d (x , r ) cho x n+1 ∈ T x n d (x n , x n+1 ) a n d (x , x ) a n r với n = 1, 2, Ta có dãy dãy {x n } xây dựng dãy Cauchy không gian đầy đủ B d (x , r ) nên hội tụ phần tử v ∈ B d (x , r ) Trong định lý 3.1.4 {x n } dãy Cauchy không gian đầy đủ X hội tụ u ∈ X Việc chứng minh v ∈ T v chứng minh hoàn toàn tương tự việc chứng minh u ∈ F u định lý 3.1.4 Như định lý hoàn toàn chứng minh Hệ 3.2.3 Ta định nghĩa hàm giảm ngặt ϕ từ [0, 1) vào ( , 1] ϕ(t ) = 1+t Cho (X , d ) không gian metric đầy đủ, x ∈ X , F : X −→ C B (X ) ánh xạ đa trị từ X lên (into) C B (X ) Giả thiết có tồn a ∈ [0, 1) r > cho ϕ(a)d (x, F x) ≤ d (x, y) =⇒ H (F x, F y) ≤ ad (x, y) (3.2.3) với x, y ∈ B (x , r ) d (x , F x ) ≤ (1 − a)r (3.2.4) Khi tồn u ∈ B (x , r ) cho u ∈ F u Chứng minh Hệ 3.2.3 trường hợp định lý 3.2.2 khơng gian mêtric nón X trùng với không gian mêtric thường, tức không gian Banach E trở thành không 46 gian Banach R nón P trở thành [0, +∞), quan hệ P quan hệ ≤ [0, +∞) Với ánh xạ T định lý 3.2.2 kí hiệu lại ánh xạ F 3.2.3 Khi cơng thức 3.2.1 : d (x, y) ∈ s(x, T x) ⇒ ad (x, y) ∈ s(T x, T y) ϕ(a) trở thành công thức 3.2.3 : ϕ(a)d (x, F x) ≤ d (x, y) =⇒ H (F x, F y) ≤ ad (x, y) với x, y ∈ X Công thức 3.2.2 : (1 − a)r ∈ s(x , T x ) trở thành công thức 3.2.4 : d (x , F x ) ≤ (1 − a)r Mà định lý 3.2.2 chứng minh trường hợp riêng hệ 3.2.3 chứng minh Chú ý: hệ định lý 1.5.2 mục 1.5 chương kiến thức chuẩn bị nên xem chứng minh định lý 1.5.2 3.3 Một kết đồng luân Định lý 3.3.1 ứng dụng định lý 3.2.2 lý thuyết đồng luân Chúng ta ý kết loại không gian mêtric nón chứng minh hồn tồn khác biệt với việc chứng minh kết việc tồn đồng luân lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đơn trị Định lý 3.3.1 Cho (X , d ) khơng gian mêtric nón đầy đủ với nón P V tập mở X Cho H : [0, 1] × V → C L(X ) ánh xạ đa trị với điều kiện đây: 47 a) ξ ∉ H(µ, ξ), với ξ ∈ ∂V µ ∈ [0, 1] ; b) H(µ, ·) : V → C L(X ) ánh xạ đa trị cho: d (ξ, ξ ) ∈ s(ξ, H(µ, ξ)) ⇒ ad (ξ, ξ ) ∈ s(H(µ, ξ), H(λ, ξ )) ϕ(a) (3.3.1) ˚ H(µ, ξ)) ˚ (1 − a)r ∈ s(ξ, (3.3.2) với µ ∈ [0, 1], ξ, ξ ∈ X cố định ξ˚ ∈ X , a, r ϕ(a) định nghĩa định lý 3.2.2 ; c) Tồn hàm liên tục tăng ψ : (0, 1] → P cho ψ(λ) − ψ(µ) ∈ s(H(λ, ξ), H(µ, ξ )), ψ(λ) ∈ ψ(µ) + P , với λ, µ ∈ [0, 1] ξ, ξ ∈ V Khi H(0, ·) có điểm bất động H(1, ·) có điểm bất động Chứng minh Giả sử H(0, ·) có điểm bất động p , suy p ∈ H(0, p), kết hơp với a suy p ∈ V Ta định nghĩa Γ sau := {(à, ) [0, 1] ì V : ξ ∈ H(µ, ξ)} (Nghĩa Γ tập cặp (µ, ξ) cho ξ điểm bất động H(µ, ·)) Rõ ràng Γ = ∅ (0, p) ∈ Γ Ta định nghĩa quan hệ thứ tự (sự phận) Γ sau: (µ, ξ) (λ, ξ ) ⇔ µ ≤ λ d (ξ, ξ ) (ϕ(λ) − ϕ(µ)) := r 1−a Nó đủ để chứng minh Γ đóng Cho điều cho Ω tập thứ tự tồn phần Γ µ˚ = sup{µ : (µ, ξ) ∈ Ω} 48 Xét dãy (µn , ξn ) Ω cho (µn , ξn ) (µn+1 , ξn+1 ) µn → µ n → ∞ Khi với m > n , ta có d (ξm , ξn ) (ψ(µm ) − ψ(µn )) → θ m, n → ∞, 1−a điều có nghĩa dãy {ξn } dãy Cauchy Vì (X , d ) khơng gian mêtric nón đầy đủ nên tồn ξ˚ ∈ X cho ξn → ξ˚ Chọn n ∈ N cho với c ˚ ξn ) θ ta có d (ξ, c với n ≥ n ˚ Vì ξn → ξ˚, nên tồn n ∈ N, cho Từ dãy {ξn } chọn ξn1 ∈ X \{ξ} ˚ ξn ) d (ξ, ˚ d (ξn , ξ) ˚ d (ξ, ξn1 ), ∀n ∈ N n ≥ n Vì ξn+1 ∈ H(µn , ξn ) ϕ(a)d (ξn , ξn+1 ) d (ξn , ξn+1 ) ˚ + d (ξ, ˚ ξn+1 ) d (ξn , ξ) ˚ ˚ ˚ d (ξ, ξn1 ) + d (ξ, ξn1 ) = d (ξ, ξn ) 3 ˚ ξn ) − d (ξ, ˚ ξn ) = d (ξ, 1 ˚ ξn ) − d (ξn , ξ) ˚ d (ξn , ξn ), d (ξ, 1 suy d (ξn , ξn+1 ) d (ξn , ξn1 ), ϕ(a) theo bổ đề 3.1.1 ta có d (ξn , ξn1 ) ∈ s(ξn , H(µn , ξn )) ϕ(a) Điều kéo theo ξn2 ∈ H(µn1 , ξn1 ) cho ad (ξn , ξn1 ) ∈ s(d (ξn1 , ξn2 )), nghĩa d (ξn+1 , ξn2 ) ad (ξn , ξn1 ) c 2a 49 Vì ˚ ξn ) d (ξ, ˚ ξn+1 ) + d (ξn+1 , ξn ) d (ξ, ˚ ξn+1 ) + ad (ξn , ξn ), d (ξ, Cho n → +∞ ta thu ˚ ξn ) d (ξ, ˚ ξn ) ad (ξ, • Bây ta chứng minh ˚ ∈ s(H(µn , ξn ), H(µ, ˚ ˚ ξ)) ad (ξn1 , ξ) 1 Ta có d (ξn1 , ξn2 ) ˚ + d (ξ, ˚ ξn ) d (ξn1 , ξ) ˚ + ad (ξ, ˚ ξn ) d (ξn1 , ξ) ˚ = (1 + a)d (ξn1 , ξ) suy d (ξn1 , ξn2 ) ˚ d (ξn1 , ξ) ϕ(a) Bởi bổ để 3.1.1, ξn2 ∈ H(µn1 , ξn1 ) điều kéo theo ˚ ∈ s(ξn , H(µn , ξn )) d (ξn1 , ξ) 1 ϕ(a) Từ giả thiết 3.3.1 định lý suy ˚ ∈ s(H(µn , ξn ), H(µ, ˚ ˚ ξ)) ad (ξn1 , ξ) 1 Một cách tương tự ta kết luận ˚ ∈ s(H(µn , ξn ), H(µ, ˚ ˚ ξ)) ad (ξnk , ξ) k k với k ∈ N Vì ξnk+1 ∈ H(µnk , ξnk ), theo bổ đề 3.1.2 i i i ) ta có ˚ ∈ s(ξn , H(µ, ˚ ˚ ξ)) ad (ξnk , ξ) k+1 50 ˚ cho ˚ ξ) Suy tồn ξ˚n ∈ H(µ, d (ξnk+1 , ξ˚n ) ˚ ad (ξnk , ξ) n→∞ Hơn nữa, ξn −−−−→ ξ˚ nên dãy ξnk , ξnk+1 tiến ξ˚ ta có ˚ ξ˚n ) d (ξ, ˚ ξn ) + d (ξn , ξ˚n ) d (ξ, k+1 k+1 ˚ ξn ) + ad (ξn , ξ) ˚ d (ξ, k+1 k c c + = c với n ≥ n 2 ˚ H(µ, ˚ ∈ C L(X ), ξ˚ ∈ V Từ ta có (µ, ˚ ∈ Γ Do ˚ ξ) ˚ ξ) ˚ ξ) Do ξ˚n → ξ˚ ∈ H(µ, (µ, ξ) ˚ với (µ, ξ) ∈ Ω, điều có nghĩa (µ, ˚ cận Ω Do ˚ ξ) ˚ ξ) (µ, ˚ ˚ ξ) bổ đề Zorn, Γ có phần tử tối đại (µ, Ta buộc µ˚ = Giả sử µ˚ < chọn r θ µ ≥ µ˚ , cho ˚ r ) ⊂ V, r = B d (ξ, ˚ (ϕ(µ) − ϕ(µ) 1−a Dùng c, ta có ˚ ˚ ∈ s(H(µ, ξ), H(µ, ˚ ξ) ϕ(µ) − ϕ(µ) ˚ H(µ, ξ)) ˚ ∈ s(ξ, ϕ(µ) − ϕ(µ) ˚ Vì tồn ξ thuộc H(µ, ξ) cho ˚ ξ) cho ξ˚ ∈ H(µ, ˚ ξ)) ˚ ∈ s(d (ξ, ϕ(µ) − ϕ(µ) Vì ta có ˚ ξ) d (ξ, ˚ ϕ(µ) − ϕ(µ) (1 − a)r ≺ (1 − a)r ˚ r) → Cũng vậy, việc sử dụng (i i ) b, ta kết luận ánh xạ đa trị H(µ, ·) : B (ξ, C L(X ) thỏa mãn tất giả thiết định lý 3.2.2 với µ ∈ [0, 1] Do đó, với ˚ r ) cho ξ ∈ H(µ, ξ) Do (ξ, µ) ∈ Γ Từ µ ∈ [0, 1] có tồn ξ ∈ B d (ξ, ˚ ≺r = d (ξ, ξ) ˚ (ϕ(µ) − ϕ(µ), 1−a 51 ˚ ˚ ξ) ta có (µ, (µ, ξ) điều âu thuẫn Vì vậy, µ˚ = Do H(1, ·) có điểm bất động Ngược lại, H(1, ·) có điểm bất động, cách tương tự làm ta chứng minh H(0, ·) có điểm bất động 52 Kết luận Năm 1934 nhà toán học Dj Kurepa người Serbi giới thiệu không gian mêtric nón (lúc với tên gọi khơng gian giả khoảng cách), sau định nghĩa lại nghiên cứu nhiều báo với tên gọi khác Đến năm 2007, L G Huang cơng ơng thức giới thiệu khơng gian mêtric nón với nón chuẩn tắc, việc tổng qt hóa khơng gian mêtric Kể từ đó, tốn ánh xạ co phiên khác định lý điểm bất động đa trị khơng gian mêtric nón thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Sh Rezapour cộng [11] đưa kết [6] cho trường hợp khơng gian mêtric nón mà khơng có tính chuẩn tắc nón Luận văn thạc sĩ chủ yếu dựa tài liệu tham khảo [8].Trong luận văn, tơi thực việc tổng qt hóa kết điểm bất động đa trị không gian mêtric [7] [3] việc sử dụng hàm khoảng cách Hausdorff giới thiệu [13] cho mêtric nón Sau thực định lý 3.1.4 luận văn điểm bất động đa trị tồn cục khơng gian mêtric nón, tơi đưa ví dụ 3.1.8 để bổ trợ cho định lý luận văn Ngồi tơi có ứng dụng kết điểm bất động đa trị địa phương khơng gian mêtric nón 3.2.2 vào lý thuyết đồng luân định lý cuối 3.3.1 chương Hơn nữa, chương nêu nhiều định nghĩa, ví dụ bổ đề kèm theo chứng minh nó, điều khơng có tài liệu tham khảo [8] là: ví dụ 2.1.2 , định nghĩa 2.1.3 , bổ đề 2.1.4 , định nghĩa 2.1.5 , định nghĩa 2.1.6 , bổ đề 2.1.7 , ví dụ 2.2.2 nhằm giúp tơi khảo sát hiểu sâu cơng việc làm Trong chương 3, tự chứng minh bổ đề 3.1.1 bổ đề 3.1.2 mà tác giả báo [8] khơng nêu chứng minh Về hình thức, luận văn xếp theo trình tự hợp lý để làm rõ tiến trình chuẩn bị xây dựng khái niệm khơng gian mêtric nón định lý điểm bất 53 động đa trị khơng gian mêtric nón Tuy nhiên, q trình làm việc, trình độ thân cịn hạn chế thời gian không cho phép nên dù cố gắng cịn thiếu sót luận văn nhiều vấn đề liên quan muốn đào sâu nghiên cứu sau định lý điểm bất động đa trị khơng gian b-mêtric nón ánh xạ đa trị co khơng gian mêtric nón Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Phan Đình Hiếu 54 Tài liệu tham khảo A Azam, N Mehmood (2013), Multivalued fixed point theorems in tvs-cone spaces, Fixed Point Theory Appl 184, http://dx.doi.org/10.1186/1678-18122013-184 Abdul Latif, Fawzia Y Shaddad,(2010), Fixed point results for multivalued maps in cone metric spaces, Article ID 941371, 11 pages doi:10.1155/2010/941371 G Mot, A Petrusel (2009), Fixed point theory for a new type of contractive multivalued operators, Nonlinear Anal 70 3371-3377 H Schirmer (1990), Fixed oint sets in a prescribed homotopy class, Topol Appl 37 153-162 I Beg, A Azam, A Arshad (2009), Common fixed points for maps on topological vector space valued cone metric spaces, Int J Math Math Sci L G Huang, X Zhang (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl 332 1468-1476 M Kikkawa, T Suzuki (2008), Three fixed point theorems for generalized contractions with constants in complete metric spaces, Nonlinear Anal 69 2942-2949 Nayyar Mehmooda, Akbar Azama, Ljubisa D.R.Kocinacb (2014), Multivalued fixed point results in cone metric spaces, Topology and its Applications 12 July 2014 55 N Mizoguchi, W Takahashi (1989), Fixed point theorems for multi-valued mappings on complete metric spaces, J Math Anal Appl 141 177-188 10 R H Haghi, Sh Rezapour, N Shahzad (2013), Be careful on partial metrci fixed point results, Topol Appl 160 450-454 11 Sh Rezapour, R Hamlbarani (2008), Some notes on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings", J Math Anal Appl 345 719-724 12 S B Nadler, (1969), Multivalued contraction mappings, Pac J Math 30 475-478 13 S H Cho, J S Bae (2011), Fixed point theorems for multi-valued maps in cone metric spaces, Fixed Point Theory Appl, http://dx.doi.org/10.1186/1687-18122011-87 14 S Jankovic, Z KAdelburg, S Radenovic (2011), On cone metric spaces: a survey, Nonlinear Anal 74 2591-2601 15 T Suzuki (2008), A generalized Banach contraction principle that characterizes metric conpleteness, Proc Am Math Soc 136 1861-1869 16 W Shatanawi, V Rajic, S Radenovic, A Al-Rawashdeh (2012), MizoguchiTakahashi-type theorems in tvs-cone metric spaces, Fixed Point Theory Appl 106 1687-1812 17 Y J Cho, R Saadati, S Wang (2011), Common fixed point theorems on generalized distance in order cone metric spaces, Comput Math Appl 61 1254-1260 ... ∞), tồn 32 Chương Các kết điểm bất động đa trị khơng gian mêtric nón Các kết điểm bất động đa trị khơng gian mêtric nón tốn tổng qt hóa kết điểm bất động đa trị không gian mêtric Đây tốn nhiều... đơn trị không gian mêtric 16 1.5 Các kết điểm bất động đa trị không gian mêtric 19 Các không gian mêtric nón 25 2.1 Nón 25 2.2 Khơng gian mêtric. .. định lý điểm bất động đa trị toàn cục, điểm bất động đa trị địa phương, kết đồng luân với số định lý ánh xạ co 3.1 Kết điểm bất động đa trị tồn cục Cho khơng gian mêtric nón (X , d ) với nón P