Tang em gai tai lieu tu hoc Toan 101112

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu SO; r cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.. ñieåm naèm treân.[r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO TRÌNH TOÁN 10 – 11 – 12 HỒ XUÂN TRỌNG NHÀ XUẤT BẢN GIA SƯ VIỆT NAM MỤC LỤC ĐẠI SỐ 10 Chương I MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Bài 1: Mệnh đề………………………………………………………………………8 Bài 2: Tập hợp…………………………………………………………………… 13 Bài 3: Các phép toán tập hợp………………………………………………………15 Bài 4: Các tập hợp số………………………………………………………………17 Bài 5: Số gần đúng Sai số……………………………………………………… 19 Ôn tập chương I……………………………………………………………………20 Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Bài 1: Hàm số………………………………………………………………………22 Bài 2: Hàm số y = ax + b ………………………………………………………….27 Bài 3: Hàm số bậc hai………………………………………………………… ….29 Ôn tập chương II………………………………………………………………… 32 Chương III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Đại cương phương trình…………………………………………………35 Bài 2: Phương trình quy bậc nhất, bậc hai…………………………………… 38 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhiều ẩn……………………… 42 Ôn tập chương III………………………………………………………………… 45 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Bất đẳng thức……………………………………………………………….48 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình ẩn………………………… 51 Bài 3: Dấu nhị thức bậc nhất………………………………………………… 55 Bài 4: Bất phương trình bậc hai ẩn………………………………………… 58 Bài 5: Dấu tam thức bậc hai………………………………………………… 61 Ôn tập chương IV………………………………………………………………….65 Chương V THỐNG KÊ Bài 1: Bảng phân bố tần số và tần suất…………………………………………….68 Bài 2: Biểu đồ…………………………………………………………………… 71 Bài 3: Số trung bình cộng, số trung vị, mốt……………………………………… 74 Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn……………………………………………… 77 Ôn tập chương V………………………………………………………………… 80 Chương VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: Cung và góc lượng giác…………………………………………………… 83 Bài 2: Giá trị lượng giác cung…………………………………………….88 Bài 3: Công thức lượng giác……………………………………………………….93 Ôn tập chương VI………………………………………………………………….97 Ôn tập cuối năm……………………………………………………………………99 HÌNH HỌC 10 Chương I VECTƠ Bài 1: Các định nghĩa…………………………………………………………… 103 Bài 2: Tổng và hiệu hai vectơ……………………………………………… 106 Bài 3: Tích vectơ với số…………………………………………………109 Bài 4: Hệ trục tọa độ…………………………………………………………… 112 Ôn tập chương I………………………………………………………………… 117 Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Giá trị lượng giác góc bất kì từ 00 đến 1800 …………………… 120 Bài 2: Tích vô hướng hai vectơ………………………………………………124 Bài 3: Các hệ thức lượng tam giác và giải tam giác……………………… 127 Ôn tập chương II………………………………………………………………….133 Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: Phương trình đường thẳng…………………………………………………136 Bài 2: Phương trình đường tròn………………………………………………… 142 Bài 3: Phương trình đường elip………………………………………………… 145 Ôn tập chương III…………………………………………………………………147 Ôn tập cuối năm………………………………………………………………… 149 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1: Hàm số lượng giác……………………………………………………… 152 Bài 2: Phương trình lượng giác bản………………………………………… 158 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp………………………………163 Ôn tập chương I………………………………………………………………… 166 Chương II TỔ HỢP - XÁC SUẤT Bài 1: Quy tắc đếm……………………………………………………………….169 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp…………………………………………….171 Bài 3: Nhị thức Niu-Tơn………………………………………………………….174 Bài 4: Phép thử và biến cố……………………………………………………… 176 Bài 5: Xác suất biến cố……………………………………………………….179 Ôn tập chương II………………………………………………………………….183 Chương III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học……………………………………………186 Bài 2: Dãy số…………………………………………………………………… 188 Bài 3: Cấp số cộng……………………………………………………………… 192 Bài 4: Cấp số nhân……………………………………………………………… 195 Ôn tập chương III…………………………………………………………………198 Chương IV GIỚI HẠN Bài 1: Giới hạn dãy số……………………………………………………… 201 Bài 2: Giới hạn hàm số……………………………………………………….206 Bài 3: Hàm số liên tục…………………………………………………………….212 Ôn tập chương IV……………………………………………………………… 215 Chương V ĐẠO HÀM Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm……………………………………….218 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm…………………………………………………… 221 Bài 3: Đạo hàm hàm số lượng giác………………………………………… 224 Bài 4: Vi phân…………………………………………………………………….227 Bài 5: Đạo hàm cấp hai………………………………………………………… 228 Ôn tập chương V………………………………………………………………….229 HÌNH HỌC 11 Chương I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: Phép biến hình…………………………………………………………… 233 Bài 2: Phép tịnh tiến………………………………………………………………234 Bài 3: Phép đối xứng trục……………………………………………………… 237 Bài 4: Phép quay………………………………………………………………….240 Bài 5: Khái niệm phép dời hình và hai hình nhau……………………….242 Bài 6: Phép vị tự………………………………………………………………….244 Bài 7: Phép đồng dạng……………………………………………………………246 Ôn tập chương I………………………………………………………………… 248 Chương II ĐƯỜNG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Bài 1: Đại cương đường thẳng và mặt phẳng………………………………….251 Bài 2: Hai đường thẳng chéo và hai đường thẳng song song……………….258 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song………………………………… 261 Bài 4: Hai mặt phẳng song song………………………………………………….263 Bài 5: Phép chiếu song song Hình biểu diễn hình không gian… 267 Ôn Tập chương II…………………………………………………………………269 Chương III VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Vectơ không gian……………………………………………………272 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc……………………………………………….276 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng………………………………… 279 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc………………………………………………….283 Bài 5: Khoảng cách……………………………………………………………….289 Ôn tập chương III…………………………………………………………………292 Ôn tập cuối năm………………………………………………………………… 295 GIẢI TÍCH 12 Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến hàm số…………………………………….300 Bài 2: Cực trị hàm số…………………………………………………………305 Bài 3: Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số……………………………309 Bài 4: Đường tiệm cận……………………………………………………………314 Bài 5: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số……………………………… 316 Ôn tập chương I………………………………………………………………… 324 Chương II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài 1: Lũy thừa và các tính chất lũy thừa…………………………………….331 Bài 2: Hàm số lũy thừa………………………………………………………… 336 Bài 3: Lôgarit…………………………………………………………………… 338 Bài 4: Hàm số mũ, hàm số lôgarit……………………………………………… 342 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit… …………………………… 345 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit…………………………349 Ôn tập chương II………………………………………………………………….352 Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Nguyên hàm……………………………………………………………….359 Bài 2: Tích phân………………………………………………………………… 364 Bài 3: Ứng dụng tích phân hình học……………………………………… 370 Ôn tập chương III……………………………………………………………… 374 Chương IV SỐ PHỨC Bài 1: Số phức…………………………………………………………………….376 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức…………………………………………………379 Bài 3: Phép chia số phức………………………………………………………….381 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực……………………………………….383 Ôn tập chương IV……………………………………………………………… 385 HÌNH HỌC 12 Chương I KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: Khái niệm khối đa diện…………………………………………………391 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều………………………………………394 Bài 3: Thể tích các khối đa diện………………………………………………… 396 Ôn tập chương I………………………………………………………………… 401 Chương II MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Bài 1: Mặt nón tròn xoay – Mặt trụ tròn xoay………………………………… 405 Bài 2: Mặt cầu…………………………………………………………………….410 Ôn tập chương II………………………………………………………………….416 Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Hệ tọa độ không gian……………………………………………… 419 Bài 2: Phương trình mặt phẳng………………………………………………… 425 Bài 3: Phương trình đường thẳng không gian…………………………… 432 Ôn tập chương III…………………………………………………………………444 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 CHÖÔNG I MỆNH ĐỀ TẬP HỢP - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tập hợp:  Tập hợp là khái niệm toán học, thường đặt tên các chữ cái in hoa Ví dụ tập hợp A là tập hợp các chữ cái a, b, c Để a là phần tử A, ta kí hiệu: a  A đọc là a thuộc A Để e không chứa tập A, ta kí hiệu: e  A đọc là e không thuộc A hay e không là phần tử cuûa A  Các phần tử tập hợp thường viết hai dấu ngoặc nhọn "{" và "}", cách dấu ";" (nếu có phần tử là số) dấu ","  Có hai cách viết tập hợp: Liệt kê các phần tử tập hợp: Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ viết: B = {0, 1, 2, 3, 4} Chỉ tính chất đặc trưng cho các phần tử tập hợp đó Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ viết: B = {x  N  x < 4}, đó N là tập số tự nhiên  Tập hợp còn minh họa vòng kín (gọi là giản đồ Ven) A c b a  Một tập hợp có thể có phần tử, có hiều phần tử, có vô số phần tử, có thể không có phần tử naøo Ví duï: C = {x} D = {1; 2; 3; ; 100} E = {2; 4; 6; 8; } Tập hơp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu  Tập hợp con: Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B thì tập A gọi là tập hợp 10 B A tập hợp B Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} là tập hợp B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Các tập hợp số thường sử dụng: N = {0; 1; 2; 3; 4; } N* = {1; 2; 3; 4; } Z: tập hợp số nguyên Q: Tập hợp số hữu tỷ R: Tập hợp số thực  Ghi chuù: Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §1 MỆNH ĐỀ I- MỆNH ĐỀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN: Mệnh ñề:  Mệnh đề là câu khẳng định đúng câu khẳng định sai  Một câu khẳng định đúng là mệnh đề đúng Một câu khẳng định sai là mệnh đề sai  Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai Ví dụ: "Hà Nội là thủ đô Việt Nam" là mệnh đề đúng " Số là số chẵn" là mệnh đề sai  Trong các câu sau đậy, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề: a) "Caùc em khoûe khoâng ?" b) "2 + > 6" c) "Các em thật tuyệt vời !" d) "x + = 5" e) "Ngày mai trời nắng." * Chú ý: Người ta thường dùng các chữ cái in hoa P, Q, để kí hiệu cho mệnh đề nào đó Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 là số chẵn" Mệnh ñề chứa biến: Xét câu: "n chia hết cho 3", đây chưa phải là mệnh đề vì ta không khẳng định tính đúng sai cuûa noù  Khi n = ta "4 chia hết cho 3" là mệnh đề sai  Khi n = 15 ta "15 chia hết cho 3" là mệnh đề đúng Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" là mệnh đề chứa biến Ví dụ: Tìm hai giá trị thực x để từ mệnh đề chứa biến Q(x): "x2 + x - = 0" ta mệnh đề đúng và mệnh đề sai Giaûi: II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ:  Hai mệnh đề sau khác điểm nào? "Dơi là loài chim" "Dơi không phải là loài chim" Cho mệnh ñề P Mệnh ñề "khoâng phải P" ñược gọi laø mệnh ñề phủ ñịnh P vaø kí hiệu P Ta coù: P đúng P sai, P sai P đúng Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau đây: P: "3 laø moät soá nguyeân toá", Q: "7 khoâng chia heát cho 5", R: "Toång ba goùc cuûa moät tam giaùc baèng 1800", S: "Tổng ba cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba" Giaûi: Hồ Xuân Trọng Đại số 10 III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO: Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề " Nếu P thì Q" gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q phát biểu là " P kéo theo Q" hay "Từ P suy Q" hay " Vì P nên Q" Mệnh đề P  Q sai P đúng và Q sai Ví dụ: Xét tính đúng sai các mệnh đề sau: a) P: "-3 < -2  (-3)2 < (-2)2", Giaûi: b) Q: " <  < 4" Các định lí toán học là mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q Khi đó ta nói: P laø giaû thieát, Q laø keát luaän cuûa ñònh lí; P là điều kiện đủ để có Q; Q là điều kiện cần để có P Ví duï 1: Ñònh lí Pitago: ABC vuoâng taïi A  BC  AB  AC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Từ các mệnh đề: P: "Tam giaùc ABC coù hai goùc baèng 600" Q: "ABC là tam giác đều" Hãy phát biểu định lí P  Q Nêu giả thiết, kết luận và phát biểu lại định lí này dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Giaûi: IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG: Mệnh đề Q  P gọi là mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Nếu hai mệnh đề P  Q và Q  P đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương Khi đó ta kí hiệu P  Q (đọc P tương đương Q P là điều kiện cần và đủ để có Q P và Q) Mệnh đề P  Q đúng P và Q cùng đúng cùng sai và sai các trường hợp còn lại Ví dụ 1: Cho mệnh đề P: "ABC là tam giác đều", Q: "ABC là tam giác cân" Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Lập mệnh đề P  Q và mệnh đề đảo của nó Xét tính đúng sai các mệnh đề đó Giaûi: Ví duï 2: Ñònh lí Pitago: "Neáu ABC vuoâng thì bình phöông moät caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh coøn laïi" Mệnh đề đảo: "Nếu ABC có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh còn lại thì ABC vuông" Mệnh đề đảo này là mệnh đúng, ta gọi mệnh đề này là định lí đảo Từ đó định lí Pitago phát biểu: "ABC vuông và bình phương cạnh tổng bình phöông hai caïnh coøn laïi" V- KÍ HIỆU  VAØ  :(được sử dụng các mệnh đề chứa biến) Mệnh đề chứa kí hiệu , :  Kí hiệu:  (đọc là "với mọi")  Kí hiệu:  (đọc là "có một" (tồn một) hay "có ít một" (tồn ít một))  Mệnh đề:  "Với x thuộc X cho P(x)" kí hiệu là " x  X : P( x ) "(*) (*) đúng với bất kì x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng (*) sai có x0  X cho P(x0) là mệnh đề sai Ví dụ: Viết lại mệnh đề "Bình phương số thực lớn không" kí hiệu và xét tính đúng sai mệnh đề đó, lí Giaûi: Ví dụ 2: Phát biểu thành lời mệnh sau "nZ: n + > n" Mệnh đề này đúng hay sai? vì sao? Giaûi:  "Toàn taïi x thuoäc X cho P(x)" kí hieäu laø " x  X : P( x ) "(**) (**) đúng có ít x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng (**) sai với bất kì x0  X cho P(x0) là mệnh đề sai Ví dụ: Viết lại mệnh đề "Có số nguyên nhỏ không" kí hiệu và xét tính đúng sai mệnh đề đó, lí 10 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Giaûi: Ví dụ 2: Phát biểu thành lời mệnh sau "xZ: x2 = x" Mệnh đề này đúng hay sai? vì sao? Giaûi: Phủ định mệnh đề chứa các kí hiệu , :  Phủ định mệnh đề" x  X : P( x ) " là mệnh đề " x  X : P ( x ) "  Phủ định mệnh đề" x  X : P( x ) " là mệnh đề " x  X : P ( x) " Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng sai nó? a) P: "x  R : x2 ≠ 1"; b) Q: "n  N: 2n = 1"; c) R: "x  R: x2 + < 1" Giaûi:  Ghi chuù: 11 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến, câu nào không phải là mệnh đề: a) "3 + = 7"; b) "4 + x = 3"; c) "10 laø soá nguyeân toá"; d) "x + y > 1"; e) "2 - < 0"; f) "Ngày mai trời nắng" Bài 2: Xét tính đúng sai mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định nó a) "Soá 11 laø moät soá nguyeân toá"; b) "Soá 111 chia heát cho 3"; c) " < 3,15"; d) "1794 chia heát cho 3"; e) "-125 0; f) " là số hữu tỉ" Bài 3: Cho các mệnh đề kéo theo P: "Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là số nguyên) Q: "Các số nguyên có tận cùng chia hết cho 5" R: "Tam giác cân có hai đường trung tuyến nhau" S: "Hai tam giaùc baèng coù dieän tích baèng nhau" a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề trên b) Phát biểu mệnh đề trên, cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ" c) Phát biểu mệnh đề trên, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần" Bài 4: Xét hai mệnh đề P:" là số vô tỉ" và Q: " không là số nguyên" a) Hãy phát biểu mệnh đề P  Q b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề trên c) Xém xét tính đúng, sai các mệnh đề trên Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' Xét hai mệnh đề: P: "Tam giaùc ABC vaø tam giaùc A'B'C' baèng Q: "Tam giaùc ABC vaø tam giaùc A'B'C' coù dieän tích baèng nhau" a) Xét tính đúng sai mệnh đề P  Q b) Xét tính đúng sai mệnh đề Q  P c) Xét tính đúng sai mệnh đề P  Q d) Lập mệnh đề phủ định và mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Bài 6: Xét hai mệnh đề P: "24 là số chia hết cho và 3", Q: "24 là số chia hết cho 6" a) Xét tính đúng sai mệnh đề P  Q b) Xét tính đúng sai mệnh đề Q  P c) Mệnh đề P  Q có đúng không? Bài 7: Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ" a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho và ngược lại b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là hình thoi và ngược lại c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt và biệt thức nó dương Bài 8: Dùng kí hiệu ,  để viết các mệnh sau: a) Mọi số nhân với chính nó; b) Có số cộng với chính nó 0; c) Mọi số cộng với số đối nó Bài 9: Phát biểu thành lời mệnh đề sau và xét tính đúng sai nó a) x  R : x2 > 0; b) n  N : n2 = n; c) n  N : n  2n; d) x  R : x < x Bài 10: Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau và xét tính đúng sai nó a) n  N : n  n; b) xR : x < x + 1; c) xR : 3x = x2 + 1;d) xQ : x2 = 12 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §2 TẬP HỢP I- KHÁI NIỆM TẬP HỢP: Tập hợp và phần tử:  Tập hợp (còn gọi là tập) là khái niệm Toán học  Để a là phần tử tập A, ta viết a A (đọc a thuộc A)  Để b không là phần tử tập A, ta viết bA (b không thuộc A) Cách xác định tập hợp:  Liệt kê các phần tử nó (viết các phần tử nó hai dấu móc{ }) Ví dụ 1: Liệt kê các phần tử tập hợp A các ước nguyên dương 30 Giaûi:  Chỉ tính chất đặc trưng cho các phần tử nó Ví dụ 1: Viết lại tập hợp sau cách tính chất đặc trưng cho các phần tử nó a) Tập hợp B các nghiệm phương trình 2x2 - 5x + = b) Tập hợp C các số nguyên dương lẻ nhỏ 11 Giaûi: Ví dụ 2: Viết lại các sau dạng liệt kê các phần tử nó a) D = {2k k  N}; b) E = {2n + n  N,  n  4} Giaûi:  Người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao quanh đường kín gọi là biểu đồ Ven B Tập hợp rỗng:  Tập hợp rỗng, kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào  Nếu A không phải là tập rỗng thì A chứa ít phần tử: A    x : x  A II- TẬP HỢP CON: Nếu phần tử tập A là phần tử tập B thì ta nói A là tập hợp B và viết A  B (đọc là A chứa B) A  B ta viết B  A (đọc B chứa A hay B bao hàm A) Nhö vaäy: A  B  x : x  A  x  B ) A khoâng phaûi laø moät taäp cuûa B ta vieát A  B Ta coù: A  B  x : x  A vaø x  B A B B A AB AB Tính chaát: 13 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 C a) A  A với tập hợp A b) Neáu A  B vaø B  C thì A  C c)   A với tập hợp A B A Ví dụ: Liệt kê tất các tập tập hợp A = {a, b, c} Giaûi: * Chú ý: Số tập tập gồm n phần tử là: III- TẬP HỢP BẰNG NHAU:  Xét hai tập hợp A = {n  N  n là bội và 6}, B = {n  N  n là bội 12} Chứng minh A  B và B  A Khi A  B và B  A ta nói tập hợp A tập hợp B và viết A = B Nhö vaäy: A = B  (x : x  A  x  B)  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho biết x là phần tử tập hợp A, xác định tính đúng sai các mệnh đề: a  A, {x}  A, x  A, {x}  A Bài 2: a) Viết các tập hợp sau theo cách liệt kê các phần tử: i) A = { x  N x < 20 vaø x chia heát cho 3}; ii) B = { x  R  (x2 - 2x + 1)(x - 3) = 0}; iii) C = { x  N  x  30, x là bội 5} b) Cho tập hợp D = { 2, 6, 12, 20, 30} Hãy xác định D cách tính chất đặc trưng cho các phần tử nó c) Hãy liệt kê các phần tử tập hợp các học sinh lớp em cao 1m60 Bài 3: Trong hai tập hợp A và B đây, tập hợp nào là tập tập hợp còn lại? Hai tập hợp A và B coù baèng khoâng? a) A là tập hợp các hình vuông B là tập hợp các hình thoi b) A = { n  N n là ước chung 24 và 30} B = { n  N  n là ước 6} Bài 4: Tìm tất các tập tập hợp sau: a) A = {a; b}; b) B = {0, 1, 2} 14 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §3 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP I- GIAO CỦA HAI TẬP HỢP:  Cho A = {n  N  n là ước 12}, B = {n  N  n là ước 18} a) Liệt kê các phần tử A và B; b) Liệt kê các phần tử tập hợp C các ước chung 12 và 18 Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi là giao A và B Kí hiệu: C = AB  A  B = {x  x  A vaø x B} x  A  x A B   x  B A B Ví dụ: Tìm tập hợp giao hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} Giaûi: II- HỢP CỦA HAI TẬP HỢP:  Giả sử A, B là tập hợp các học sinh giỏi Toán, giỏi Văn lớp 10CB Biết A = {Minh, Nam, Lan, Hồng, Nguyệt}, B = {Cường, Lan, Dũng, Hồng, Tuyết, Lê} Gọi C là tập hợp đội tuyển học sinh giỏi lớp gồm các bạn giỏi Toán giỏi Văn Hãy xác định tập hợp C Tập C gồm các phần tử thuộc A thuộc B gọi là hợp A và B Kí hiệu: C = AB  A  B = {x  x  A x  B} x  A  x A B   x  B A B Ví dụ: Tìm hợp hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} và B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Giaûi: III- HIỆU VAØ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP:  Giả sử A = {An, Minh, Bảo, Cường, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, Quý},là tập hợp các học sinh giỏi lớp 10CB B = {An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ, Quý} là tập hợp các học sinh tổ lớp 10CB Gọi C là tập hợp các học sinh giỏi lớp không thuộc tổ Hãy xác định tập hợp C Tập C gồm các phần tử thuộc A không thuộc B gọi là hiệu A và B Kí hiệu: C = A\B  A\ B = {x  x A vaø xB} x  A  x A\ B   x  B A B Ví dụ: Tập hợp phần tử x thuộc R khác (tập R bỏ số 0) viết là: * Ñaëc bieät: B Khi B  A thì A\B goïi laø phaàn buø cuûa B A, kí hieäu C AB A Ví dụ: Phần bù tập hợp N tập hợp Z là tập hợp các số nguyên âm 15 Hồ Xuân Trọng Đại số 10  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Kí hiệu A là tập hợp các chữ cái (không dấu) câu "CÓ CHÍ THÌ NÊN", B là tập hợp các chữ cái (không dấu) câu "CÓ CÔNG MAØI SẮT CÓ NGAØY NÊN KIM" Hãy xác định AB, AB, A\B Bài 2: Vẽ lại và gạch chéo các tập A  B, A  B, A\B, B\A các trường hợp: A B A B A B B A a) b) c) d) Baøi 3: Cho A  B = {2, 3, 4, 5, 6}(1), B \ A = {7, 8, 9}(2), A \ B = {0, 1}(3) Xaùc ñònh A vaø B Bài 4: Trong số 45 học sinh lớp 10A có 15 bạn xếp loại học lực giỏi, 20 bạn xếp loại hạnh kiểm tốt, đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt Hỏi a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn khen thưởng, biết muốn khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi có hạnh kiểm tốt b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt Baøi 5: Cho taäp A, haõy xaùc ñònh A  A, A  A, A  , A  , CAA, CA 16 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §4 CÁC TẬP HỢP SỐ I- CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC: Tập hợp các số tự nhiên N: N = {0, 1, 2, 3, } N* = {1, 2, 3, } = N\{0} Tập hợp các số nguyên Z: Z = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Tập hợp số hữu tỉ Q: a a Q = {a,b Z , (b  0)} với laø phaân soá toái giaûn b b Số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn a a a * Công thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2 an) = n + 2n n 10  Tập hợp các số thực R: Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ Tập hợp các số thực R gồm: các số hữu tỉ và các số vô tỉ Mỗi số thực biểu diễn điểm trên trục số và ngược lại - -2 -1 aâm voâ cực (-, + chæ laø kí hieäu - khoâng phaûi laø moät soá) Ta coù quan heä: N  Z  Q  R II- CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R: Khoảng: (a; b) = {x R, a < x < b} ( a (a;   ) = {x R, a < x} ( a ) b ) b (  ; b) = {x  R, x < b} R = (  ;   ) Mọi số thực R có thể viết: - < x < + Đoạn: [ a ] b [a; b) = {x R, a  x < b} [ a ) b (a; b] = {x R, a < x  b} ( a ] b [a;   ) = {x R, a  x} [ a [a; b] = {x R, a  x  b} Nửa khoảng: ] b (  ; b] = {x R, x  b} 17 + döông vô cực Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ví dụ: Cho các tập hợp: A = {x  R-5  x  4}; B = {x  R7  x  14}, C = {x  Rx > 2}, D = {x  Rx  4} a) Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng, để viết lại các tập hợp đó b) Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số c) Xaùc ñònh AB, AB, AC, A\B, B\C, AD Giaûi:  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho các tập hợp: A = [-3; 1]; B = [-2; 2] và C = [-2; +) a) Cho biết tập hợp nào là tập hợp khác, số các tập hợp trên? Tìm phần bù chúng b) Tìm AB, AB, AC, A\B,B\C Bài 2: Dùng trục số xác định các tập hợp AB, AB, A\B, B\A biết: a) A = [-3; 1), B = (0; 4]; b) A = (0; 2], B = [-1; 1); c) (-2; 15), B = (3; +); d) (-1; ), B = [-1; 2); e) A = (-; 1), B = (-2; +); f) A = (-12; 3], B = [-1; 4] Bài 3: Xác định các tập hợp sau đây: a) (4; 7)(-7; -4); b)(2; 3)[3; 5); c) (-; 2][-2; +); d) (-; 2][-2; +) Bài 4: Xác định các tập hợp sau và sau đó biểu diễn chúng trên trục số: a) (-2; 3)\(1; 5); b) (-2; 3)[1; 5); c) R\(2; +); d) R\(-; 3] 18 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §5 SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ I- SỐ GẦN ĐÚNG: Trong đo đạc, tính toán ta thường nhận các số gần đúng Ví duï: Hình troøn coù baùn kính r = (cm) coù dieän tích S = r2 Vì  laø soá thaäp phaân voâ haïn khoâng tuaàn hoàn  = 3,141592653 nên ta kết gần đúng S Khi đó S 12,56 (cm2) II- SAI SỐ TUYỆT ĐỐI:  Cho hình troøn baùn kính r = (cm) Giả sử bạn Nam lấy   3,1 để tính diện tích hình tròn: SN  12,4 (cm2) Minh lấy   3,1415 để tính diện tích hình tròn: SM  12,56 (cm2) Hỏi kết tính toán bạn nào chính xác hơn? Trị tuyệt đối hiệu số S = r2 với S1, S2 số nào lớn hơn? Sai số tuyệt đối số gần đúng: Nếu a là số gần đúng số đúng a thì  a  a  a gọi là sai số tuyệt đối số gần đúng a Độ chính xác số gần đúng:  Có thể tính sai số tuyệt đối các kết tính toán diện tích hình tròn Nam và Minh không? vì sao? Nếu  a  a  a  d thì -d  a - a  d hay a - d  a  a + d Ta nói a là số gần đúng a với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a = a  d * Chú ý: Sai số tuyệt đối số gần đúng nhận phép đo đạc đôi không phản ánh đầy đủ tính chính xác phép đo đó  Tính độ dài đường chéo hình vuông có cạnh 3cm và xác định độ chính xác kết tìm Cho biết = 1,4142135 III- QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG OÂn taäp quy taéc laøm troøn soá: Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó chữ số Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn thì ta làm trên, cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng quy tròn Cách viết số quy tròn số gần đúng vào độ chính độ chính xác cho trước: Ví dụ: Hãy viết số quy tròn số gần đúng biết: a) a = 2841275 với độ chính xác d = 300; b) 3,1463  0,001 Giaûi: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho soá a = 13,6481 a) Viết số quy tròn a đến hàng phần trăm; b) Viết số quy tròn a đến hàng phần chục Bài 2: Thực các phép tính sau trên máy tính bỏ túi (kết lấy chữ số lẻ phần thập phân) a) 37 14 ; b) 15.12 ; c) 217 : 135 ; d) (3 42  37 ) : 14 19 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xét mối quan hệ bao hàm các tập hợp sau: A là tập hợp các hình tứ giác; D là tập hợp các hình chữ nhật; B là tập hợp các hình bình hành; E là tập hợp các hình vuông; C là tập hợp các hình thang; G là tập hợp các hình thoi Bài 2: Liệt kê các phần tử tập hợp sau: a) A = {3k -  k = 0, 1, 2, 3, 4}; b) B = {x  N  x  12}; c) C = {(-1)n  n  N}; Bài 3: Xác định các tập hợp sau: a) (-3; 7)  (0; 10); b) (-; 5)  (2; +); c) R\(-; 3) 20 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 CHÖÔNG II HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Mặt phẳng tọa độ: y  Hãy xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F treân hình veõ  Hãy vẽ các điểm P(1; 5), Q(5; -2), R(-4; -6), S(2; 5), T(0; 4), S(-5; 0) trên mặt phẳng tọa độ A B -5 -4 -3 -2 -1 O -1 x D -2 E -3 F -4 C -5 -6 Haøm soá y = ax2(a ≠ 0):  Khi a > 0: Hàm số nghịch biến trên (-; 0), đồng biến trên (0; +) Baûng bieán thieân: x - + y + + y x O  Khi a < 0: Hàm số đồng biến trên (-; 0), nghịch biến trên (0; +) Baûng bieán thieân: x - 0 + y O x y - -  Ghi chuù: 21 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §1 HAØM SOÁ I- OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ: Haøm soá Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: Nếu với giá trị x thuộc tập D có và giá trị tương ứng y thuộc tập số thực R thì ta coù moät haøm soá Ta goïi x laø bieán soá vaø y laø haøm soá cuûa x Tập hợp D gọi là tập xác định hàm số Caùch cho haøm soá: a) Haøm soá cho baèng baûng: Ví dụ: Quãng đường y (tính km) và thời gian x kể từ lúc xuất phát (tính giờ) xe khách ghi bảng sau: x 2 2 y 15 35 55 73 98 118 143 160 b) Hàm số cho biểu đồ: Ví dụ: Tỉ lệ học sinh đỗ Đại học - Cao đẳng trường THPT Trần Quốc Toản từ năm 2004 đến 2007 cho biểu đồ: c) Hàm số cho công thức:  Hàm số cho công thức có dạng: y = f(x), đó f(x) là biểu thức chứa biến x Ví duï: Cho haøm soá y = 2x2 + 5x -  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = f(x) laø D = {x  R  f(x) coù nghĩa} Ví duï: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau ñaây: 3x   15  x a) y = ; b) y = x  ; c) y =  5x x 3 Giaûi: 22 Hồ Xuân Trọng Đại số 10  Với giá trị x0  D, giá trị tương ứng y0 = f(x0) gọi là giá trị hàm số x = x0 Ví duï: Xeùt haøm soá y = f(x) = x  Tính giaù trò cuûa haøm soá taïi x = vaø x = a (a  1) Giaûi:  Trong ví dụ trên có tính f(0) không? vì sao? * Chú ý: Một hàm số có thể xác định hai, ba, công thức  x  x  Ví duï: Cho haøm soá y = f(x) =  Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá vaø tính f(-2), f(5)  x x  Giaûi: Đồ thị hàm số: Đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất các điểm M(x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với x thuộc D Ví dụ: Đồ thị hàm số y = x + là đường thẳng, đồ thị hàm số y = x2 là đường parabol y y y=x+1 y = x2 x x -1 O O g(x) = f(x) = x +  Từ đồ thị các hàm số trên tính f(-2), f(-1), f(0), f(2), g(-1), g(-2), g(0)  Tìm x cho f(x) =  Tìm x cho g(x) = Giaûi: x * Nhận xét: Một điểm M(x0; y0) nằm trên (thuộc) đồ thị hàm số y = f(x) 23 và ngược lại Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ví dụ: Các điểm A(-1; 0), B(-2; -1), C(0; -1), D(2; 4), E( ; ), F(a; a + 1), điểm nào nằm trên đồ 2 thò haøm soá y = f(x) = x + Giaûi: II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HAØM SỐ OÂn taäp: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b),  x1, x2  (a; b)  x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên (a; b)  x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên (a; b) Baûng bieán thieân: Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b), ta vẽ mũi tên xuống Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ta vẽ mũi tên lên Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ hình dung đồ thị hàm số (đi lên khoảng nào, xuống khoảng nào) Ví dụ: Hàm số y = x2 xác định trên (-; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +) Ta có bảng biến thiên: x - + + + y * Nhận xét: Khi x > nhận các giá trị túy ý ta nói x dần tới +, x < và x nhận các giá trị tùy ý ta nói x dần tới - Khi x dần tới + hay - thì x2 dần tới + Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số y = -3x + trên R và vẽ bảng biến thiên Giaûi: III TÍNH CHAÜN LEÛ CUÛA HAØM SOÁ Haøm soá chaün, haøm soá leû: Hàm số y = f(x) với tập xác định D  laø haøm soá chaün neáu  x  D thì -x D vaø f(-x) = f(x)  laø haøm soá leû neáu  x  D thì -x D vaø f(-x) = -f(x) 24 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * Chú ý: Một hàm số không thiết phải là hàm số chẵn hàm số lẻ Ví duï: Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá sau ñaây: a) y = x2; b) y = ; c) y = x ; d) y = x + x Giaûi: Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ:  Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng  Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng y y y = x3 y=x x O x O Đồ thị hàm số chẵn: y = x2 Đồ thị hàm số lẻ: y = x3  Ghi chuù: 25 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau ñaây: 3x  x 1 a) y = ; b) y = x  ; c) y = x  ; d) y = ; 2x 1 x  2x  1  x 1 ; e) y = x    x f) y = g) y =  x  x2 x 1  x  x  Tính giá trị hàm số đó x = 3, x = -1, x = Baøi 2: Cho haøm soá y =   x  x  Bài 3: Cho hàm số y = 3x2 - 2x + Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số đó không? a) M(-1; 6); b) N(1; 1); c) P(0; 1) Baøi 4: Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x; b) y = (x + 2)2; c) y = x3 + x; d) y = x2 + x + Baøi 5: Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá sau: a) 3x4 - 2x2 + 7; b) y = 6x3 - x; c) y = 2x + x2; d) y = x   x  ; e) y =  x   x Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến các hàm số sau: a) y = 2x2 treân (0; +); b) y = x  treân taäp xaùc ñònh 26 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §2 HAØM SOÁ y = ax + b I- OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT y = ax + b (a  0) TXÑ: D = R Chieàu bieán thieân: Với a > hàm số đồng biến trên R Với a < hàm số nghịch biến trên R Baûng bieán thieân: a>0 x - + + y - a<0 x y - + + - b Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng qua hai điểm A(0; b); B(  ;0) a y y y = ax y = ax x O x O y = ax + b y = ax + b Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số: b) y =  x  a) y = 3x + 3; Giaûi: II- HAØM SOÁ HAÈNG y = b Đồ thị hàm số y = b là đường thẳng song song trùng với trục hoành và cắt trục tung ñieåm (0; b) Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b * Đặc biệt: Khi b = ta có đường thẳng y = là phương trình trục hoành 27 y b y=b x O Hồ Xuân Trọng Đại số 10 III- HAØM SOÁ y = x  Taäp xaùc ñònh: D = R  x x  Ta coù: y = x =   x x   Chiều biến thiên: Hàm số y = x nghịch biến trên khoảng (-  ;0) và đồng biến trên khoảng (0;+  )  Baûng bieán thieân: x - + y + +  Đồ thị: Trong nửa khoảng [0; +  ) đồ thị hàm số y = x trùng y với đồ thị hàm số y = x Trong khoảng (-  ; 0) đồ thị hàm số y = x trùng với đồ thị hàm số y = -x * Chú ý: Hàm số y = x là hàm số chẵn, đồ thị nó -1 nhận Oy làm trục đối xứng O x  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá y = 3x + a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên b) Vẽ trên cùng hệ trục đồ thị câu a) và đồ thị y = -1 Tìm trên đồ thị tọa độ giao điểm hai đồ thị y = 3x + vaø y = -1 Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = 2x - 3; b) y = ; c) y =  x  ; d) y = x - Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị y = x + và y = 2x + Bài 4: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b qua các điểm a) A(0; 3) vaø B( ; 0); b) A(1; 2) vaø B(2; 1); c) A(15; -3) vaø B(21; -3) Bài 5: Viết phương trình y = ax + b các đường thẳng a) Ñi qua hai ñieåm A(4; 3) vaø B(2; -1); b) Đi qua điểm A(1; -1) và song song với Ox Bài 6: Vẽ đồ thị các hàm số  x với x   x  với x  a) y =  ; b) y =   x  với x   x với x  Bài 7: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x b) Từ đồ thị, hãy tìm giá trị nhỏ hàm số y = x 28 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §3 HAØM SOÁ BAÄC HAI Hàm số bậc hai cho công thức y = ax2 + bx + c (a  0) có tập xác định D = R I- ĐỒ THỊ HAØM SỐ BẬC HAI Nhaän xeùt: a) Hàm số y = ax2 hay parabol y = ax2(a  0; b = c = 0) có đỉnh O(0; 0) và có trục tung là trục đối xứng (đường thẳng x = 0) Khi đó:  a > 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp đồ thị và y  với x  a < 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp đồ thị và y  với x y y x O x O a<0 a>0 b) Haøm soá y = ax2 + bx + c (a  0): y = ax2 + bx + c = a(x + Ñieåm I ( b  ) + ,  = b2 - 4ac 2a 4a b  ; ) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a  0) và đóng vai trò đỉnh O(0; 0) 2a 4a cuûa parabol y = ax2 Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là parabol có đỉnh là điểm I ( b  ; ) , có trục đối xứng 2a 4a b 2a Parabol này quay bề lõm lên trên a > 0, quay bề lõm xuống a < là đường thẳng x =  Caùch veõ parabol y = ax2 + bx + c (a  0): b  )  Xác định tọa độ đỉnh I ( ; 2a 4a b  Vẽ trục đối xứng x =  2a  Xác định tọa độ các giao điểm parabol với các trục tọa độ: Giao với trục tung: x =  y = c Giao với trục hoành: y =  ax2 + bx + c = 0, giải phương trình tìm x (nếu có)  Veõ parabol y y - O - - b 2a - x b O 2a 4a a>0 a<0 29 4a x Hồ Xuân Trọng Ví duï 1: Veõ caùc parabol sau: Giaûi: Đại số 10 a) y = x2 - 2x - 1; b) y = -2x2 - 4x + Ví dụ 2: Tìm phương trình parbol (P) biết parabol (P) có trục đối xứng là đường thẳng x = 2, tung độ ñænh baèng vaø caét truïc tung taïi ñieåm M(0; 5) Giaûi: II- CHIEÀU BIEÁN THIEÂN CUÛA HAØM SOÁ BAÄC HAI Baûng bieán thieân: a>0 b  + x - 2a + +  y 4a a<0 x - y - 30 b 2a  4a  + - Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ñònh lí: b b ), đồng biến trên (  ;+  ) 2a 2a b b  Nếu a < thì hàm số y = ax2 + bx + c đồng biến trên (-  ;  ), nghòch bieán treân (  ;+  ) 2a 2a  Neáu a > thì haøm soá y = ax2 + bx + c nghòch bieán treân (-  ;  Ví duï: Laäp baûng bieán thieân cuûa caùc haøm soá: Giaûi: a) y = 3x2 - 2x - 1; b) y = -2x2 + x +  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Laäp baûng bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x2 - 4x + 1; b) y = -2x2 - 3x + Bài 2: Xác định tọa độ đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) parabol sau: a) y = x2 - 3x + 2; b) y = -2x2 + 4x - 3; c) y = x2 - 2x; d) y = -x2 + Bài 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x2 - 4x + 3; b) y = -x2 - 3x; c) y = -2x2 + x - 1; d) y = 3x2 + 1; e) y = 3x2 - 4x + 1; f) y = -3x2 + 2x - 1; g) y = 4x2 - 4x + 1; h) y = -x2 + 4x - Bài 4: Viết phương trình parabol y = ax + bx + biết parabol đó: a) Ñi qua hai ñieåm A(1; 5) vaø B(-2; 8) b) Cắt trục Ox các điểm có hoành độ x1 = 1, x2 = c) Coù ñænh laø I(2; -2); d) Đi qua điểm A(3; -4) và có trục đối xứng là x =  ; e) Đi qua điểm B(-1; -6) và tung độ đỉnh là  Baøi 5: Tìm phöông trình cuûa parabol (P) bieát (P) ñi qua ñieåm A(8; 0) vaø coù ñænh laø I(6; -12) Bài 6: a) Vẽ parabol y = 3x2 - 2x - Từ đồ thị giá trị x để y < b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá 31 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * 32 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:  x3; a) y = x 1 b) y =  3x  ; 1 2x  với x   c) y =  x    x với x  Bài 2: Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị củc các hàm số: a) y = x - 1; b) y = - 2x; c) y = x ; d) y = x + 1 Bài 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x2 - 2x - 1; b) y = -x2 + 3x + 2; c) y = 2x2 + x + 1; d) y = -x2 + x - Bài 4: Xác định a, b biết đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(1; 3), B(-1; 5) Baøi 5: Xaùc ñònh a, b, c bieát parabol y = ax2 + bx + c a) Ñi qua ba ñieåm A(0; -1), B(1; -1), C(-1; 1); b) Coù ñænh I(1; 4) vaø ñi qua ñieåm D(3; 0) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 33 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 CHÖÔNG III PHÖÔNG TRÌNH HEÄ PHÖÔNG TRÌNH - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Nghiệm đa thức: Nghiệm đa thức f(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + + an-1x + an là số x = x0 làm cho đa thức Ví dụ: x = là nghiệm đa thức f(x) = x4 - 3x2 + x + vì f(1) = 14 - 3.12 + + = Giá trị tuyệt đối:  A neáu A  A   A neáu A  Hai quy tắc biến đổi phương trình:  Trong phương trình, ta có thể chuyển hạng tử từ vế này sang vế và đổi dấu hạng tử đó  Trong phương trình, ta có thể nhân chia hai vế cho cùng số khác Phöông trình baäc nhaát ax + b = (a ≠ 0) vaø phöông trình ñöa veà daïng ax + b: b  Phöông trình: ax + b =  ax = -b  x = - a (3 x  1)( x  2) x  11    Giaûi caùc phöông trình: a) 2x - (3 - 5x) = 4(x + 3); b) 2 Phöông trình tích: A(x).B(x) =  A(x) = B(x) = Ví duï: Giaûi caùc phöông trình: a) (x - 1)(x2 - 3x - 4) = 0; b) 2x3 = x2 + 2x - Phương trình chứa ẩn mẫu: x 2 2x  x x 2x    ; b) Giaûi caùc phöông trình: a) x 2( x  2) 2( x  3) x  ( x  1)( x  3) Phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0): Nêu cách giải phương trình bậc hai và các trường hợp nghiệm đặc biệt?  Ghi chuù: 34 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I- KHAÙI NIEÄM PHÖÔNG TRÌNH Phöông trình moät aån:  Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1) đó f(x) và g(x) là biểu thức x Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải phương trình (1)  Nếu có số thực x0 cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 gọi là nghiệm phöông trình (1) Ví duï: Soá x = laø moät nghieäm cuûa phöông trình x = 3x -  Giaûi phöông trình (1) laø tìm taát caû caùc nghieäm cuûa noù (nghóa laø tìm taäp nghieäm cuûa noù) Ví duï: Phöông trình x2 = -2x + coù hai nghieäm x1 = 1, x2 = -3 neân coù taäp nghieäm T = {-3, 1}  Nếu phương trình không có nghiệm nào thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm cuûa noù laø roãng) Ví duï: Phöông trình x2 - x + = voâ nghieäm ta coù theå vieát: x2 - x + = (voâ nghieäm) (hoặc x2 - x + =  x   x2 - x + = có tập nghiệm T = ) Ñieàu kieän cuûa moät phöông trình: Điều kiện xác định phương trình (1) là điều kiện ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa Ví duï: Haõy tìm ñieàu kieän cuûa caùc phöông trình: x x 1  x 1 ;  x3 a)  x  ; b) c) x2 x 1 2x Giaûi: Phöông trình nhieàu aån: Đó là phương trình có dạng F(x, y, z, ) = G(x, y, z, ), đó F(x, y, z, ) và G(x, y, z, ) là biểu thức nhiều biến Chaúng haïn: 3x + 2y = x2 – 2xy + laøø phöông trình hai aån (x vaø y) Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng x = x0 và y = y0 (với x0, y0 là số) thì ta goïi caëp soá (x0, y0) laø moät nghieäm cuûa noù Khái niệm nghiệm phương trình ba ẩn, bốn ẩn, … hiểu tương tự Phương trình chứa tham số: Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngoài các chữ cái đóng vai trò ẩn số còn có các chữ cái khác xem số và gọi là tham số Ví dụ: Phương trình x2 + (m + 1)x + là phương trình ẩn và chứa tham số Việc giải phương trình chứa tham số thường gọi là giải và biện luận phương trình 35 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 II- PHÖÔNG TRÌNH TÖÔNG ÑÖÔNG VAØ PHÖÔNG TRÌNH HEÄ QUAÛ Phöông trình töông ñöông: Hai phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm 15 = có tương đương với hay không? vì sao? Ví duï: Hai phöông trình 2x – = vaø 3x Giaûi: Phép biến đổi tương đương: Ñònh lyù: Nếu thực các phép biến đổi sau đây trên phương trình mà không làm thay đổi điều kiện nó thì ta phép biến đổi tương đương  Cộng hay trừ hai vế phương trình với cùng số biểu thức;  Nhân chia hai vế phương trình với cùng số khác với cùng biểu thức luoân coù giaù trò khaùc * Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu biểu thức thực chất là thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “” để tương đương các phương trình Vaäy: f(x) = g(x)  f(x)  h(x) = g(x)  h(x) f(x) = g(x) + h(x)  f(x) - h(x) = g(x) f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x) (h(x) ≠ 0) f ( x ) g( x )  f(x) = g(x)  (h(x) ≠ 0) h( x ) h( x )  Tìm sai lầm phép biến đổi sau: x  1 1  1  x   1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Phöông trình heä quaû: Nếu nghiệm phương trình f ( x)  g ( x ) là nghiệm phương trình f1 ( x )  g1 ( x) thì phương trình f1 ( x )  g1 ( x) gọi là phương trình hệ phương trình f ( x)  g ( x ) Ta vieát: f ( x)  g ( x )  f1 ( x )  g1 ( x) Phương trình hệ có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai x 3 2x   Ví duï: Giaûi phöông trình x( x  1) x x  Giaûi: 36 Hồ Xuân Trọng Đại số 10  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm ñieàu kieän cuûa caùc phöông trình: x4 x 1 2x 2 x2;  3 x + a) x     x  x ; b) c) x 1 x 4 x 2 Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: x 1 2x  2  a) ; b) x  ( x  x  ) = 0; c)  x  x   x  ; x 1 x 1 x2  d) x + x    x  ; e) ; f) x2 -  x  x   x 1 x 1 Baøi 3: Trong caùc caëp phöông trình sau, haõy chæ caùc caëp phöông trình töông ñöông: a) x2 - 3x = vaø x2 - 3x - = 0; b) 6x - 12 = vaø x = 2; c) x - = vaø (x - 1) = 9; d) x + 2 = vaø (x + 2)2 = 16 Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình: x5 3x   a) x + + ; b) 2x + ; x 3 x 3 x 1 x 1 x  4x  2x  x   x2;  2x  c) d) x2 2x  CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 37 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §2 PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI I- OÂN TAÄP VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI Phöông trình baäc nhaát:  Giaûi vaø bieän luaän phöông trình daïng ax + b = 0:  Khi a  phương trình ax + b = gọi là phương trình bậc ẩn Ví duï: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau: c) k2(x - 2) = -x + 2k4 a) m(x - 4) = 5x – b) a2x + a + = x; Giaûi: Phöông trình baäc hai: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai: ax2 + bx + c = (a  0): 38 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ñònh lyù Vi-eùt:  Neáu phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = (a  0) coù hai nghieäm x1, x2 thì b c S = x1  x   , P = x1 x  a a u  v  S  Ngược lại, hai số u, v có  thì u, v laø caùc nghieäm phöông trình: x2 – Sx + P =  uv  P Ví duï: Tìm hai soá coù toång baèng 15 vaø tích baèng -34 Giaûi:  Khẳng định "Nếu a và c trái dấu thì phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: đúng không? vì sao? II- PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI Phương trình chứa ẩn mẫu: 2x   Ví duï: Giaûi phöông trình x 1 x 1 Giaûi: Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa giá trị tuyệt  A neáu A  đối: A   bình phương hai vế phương trình dẫn đến phương trình hệ  A neáu A  Ví duï: Giaûi caùc phöông trình: Giaûi: a) x - 3 = 2x + 1; b)3x - 1 = 2x + 3 39 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Phương trình chứa ẩn dấu căn: Để giải các phương trình chứa ẩn dấu bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa phương trình hệ không chứa ẩn dấu Ví duï: Giaûi phöông trình: x   x  Giaûi: Phöông trình truøng phöông: Phöông trình truøng phöông ax4 + bx + c = (a ≠ 0) coù theå ñöa veà phöông trình baäc hai baèng caùch ñaët t = x2 (t  0) Ví duï: Giaûi phöông trình: 3x4 + 7x + = Giaûi:  Ghi chuù: 40 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Giải và biện luận phương trình: m(x - 2) = 3x + với m là tham số Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: x  3x  2 x  2x  24    2;  a) ; b) x 3 x 3 x 9 2x  c) x   ; c) (x2 + 2x)2 - (3x + 2)2 = Baøi 3: Giaûi vaøbieän luaän caùc phöông trình sau theo tham soá m: a) m(x - 2) = 3x + 1; b) m2x + = 4x + 3m; c) (2m + 1)x - 2m = 3x - Bài 4: Có hai rổ quýt chứa số quýt Nếu lấy 30 rổ thứ đưa sang rổ thứ hai thì số rổ thứ hai bình phương số còn lại rổ thứ Hỏi số quýt rổ lúc ban đầu là bao nhieâu? Bài 5: Một người dùng 300 nghìn đồng để đầu tư cho sản xuất thủ công Mỗi sản phẩm người đó lãi 1500 đồng Sau tuần, tính vốn lẫn lãi người đó có 1050 nghìn dồng Hỏi tuần đó, người sản xuất bao nhiêu sản phẩm Bài 6: Một công ti vận tải dự định điều động số ôtô cùng loại để chuyển 22,4 hàng Nếu ôtô chở thêm tạ so với dự định thì số ôtô giảm Hỏi số ôtô công ty dự định điều động để chở hết số haøng treân laø bao nhieâu? Baøi 7: Giaûi caùc phöông trình: a) 2x4 – 7x2 + = 0; b) 3x4 + 2x2 – = 0; c) x4 - 8x2 - = Baøi 8: Giaûi caùc phöông trình: x   3x   a) 3x - 2 = 2x + 3; b)2x - 1 = -5 - 2; c) ; d)2x + 5 = x2 + 5x + 2x  x 1 Baøi 9: Giaûi caùc phöông trình: a) x   x  ; b)  x  x   ; c) x   x  ; d) x  x  10  x  Bài 10: Cho phương trình 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – = Xác định m để phương trình có nghiệm gấp ba nghiệm Tính các nghiệm trường hợp đó Baøi 11: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình x2 – 2mx + m2 -1 = theo tham soá m Baøi 12: Cho phöông trình baäc hai: x2 + (2m - 3)x + m2 – 2m = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị nào m thì phương trình đó có hai nghiệm và tích chúng 8? Tìm các nghiệm trường hợp đó CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 41 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §3 PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN I- OÂN TAÄP VEÀ PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN Phöông trình baäc nhaát hai aån: Phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời (a2 + b2  0)  Cặp (1; -2) có phải là nghiệm phương trình 3x – 2y = không? Phương trình đó có nghiệm khác không? * Chuù yù:  Khi a = b = ta có phương trình 0x + 0y = c, đó: Neáu c  thì phöông trình treân voâ nghieäm Nếu c = thì cặp số (x0, y0) là nghiệm a c x  (2) b a Caëp soá (x0, y0) laø moät nghieäm cuûa phöông trình (1) vaø chæ ñieåm M(x0, y0) thuoäc đường thẳng (2) Tổng quát, người ta chứng minh phương trình bậc hai ẩn luôn có vô số nghiệm Biểu diễn hình học tập nghiệm phương trình (1) là đường thẳng phẳng tọa độ Oxy Ví duï: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa phöông trình 3x – 2y = Giaûi:  Khi b  0, phương trình ax + by = c trở thành: y =  Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån:  a x  b1 y  c1 Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån coù daïng toång quaùt laø:  (3) đó x, y là hai ẩn; a2 x  b2 y  c2 các chữ còn lại là hệ số Nếu cặp số (x0, y0) đồng thời là nghiệm hai phương trình hệ thì (x0, y0) là nghiệm heä phöông trình (3) Giaûi heä phöông trình (3) laø tìm taäp nghieäm cuûa noù 4 x  3y   3x  y  Ví duï1: Giaûi caùc heä phöông trình sau: a)  ; b)   2x  y   x  y  3 Giaûi: 42 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ví dụ 2: Một đoàn xe gồm 13 tắc xi tải chở 36 xi măng cho công trình xây dựng Đoàn xe gồm có hai loại: xe chở và xe chở 2,5 Tính số xe loại Giaûi: II- HEÄ BA PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT BA AÅN  a1 x  b1 y  c1 z  d1  Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát là: a2 x  b2 y  c z  d (4) đó x, y, z là ba a x  b y  c z  d 3  ẩn; các chữ số còn lại là các hệ số Mỗi ba số (x0; y0; z0) nghiệm đúng ba phương trình hệ gọi là nghiệm hệ phương trình (4) 3 x  y  5z   xyz2   Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: a)  y  z  ; b)  x  y  3z   2 x  y  3z  1 z  21   Giaûi: 43 Hồ Xuân Trọng Đại số 10  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN  x  5y  Baøi 1: Cho heä phöông trình:  Tại không cần giải ta kết luận hệ phương trình 14 x  10 y  10 naøy voâ nghieäm? Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình: 2   x y        x y x y x y    a)  ; b)  ; c)  ; d)  3        x y x y x y     x y 3 Bài 3: Hai bạn Vân và Lan đến hàng mua trái cây Bạn Vân mua 10 quýt, cam vớ i giá tiền là 17 800 đồng Bạn Lan mua 12 quýt, cam hết 18 000 đồng Hỏi giá tiền quýt và cam laø bao nhieâu?  x  3y  z   x  y  z  7   Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình: a) 2 x  y  z  ; b)  x  y  3z   3x  y  z   3x  y  z    Bài 5: Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ Ngày thứ bán 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 349 000 đồng Ngày thứ hai bán 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5600000 đồng Ngày thứ ba bán 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 259 000 đồng Hỏi giá bán áo, moãi quaàn, moãi vaùy laø bao nhieâu? Bài 6: Ba máy sản xuất 95 sản phẩm Số sản phẩm máy III làm nhiều số sản phẩm máy I và máy II làm là 10 sản phẩm Số sản phẩm máy I làm đúng số sản phẩm máy II làm Hỏi giờ, máy sản xuất bao nhiêu sản phẩm CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 44 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG III * 45 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình: a) x   x  x   ; b)  x  x  x   ; x  c) ; d) +  x = 4x2 - x + x  x2 x 2 Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình: x  x  3x  3x  4    3;  a) b) ; c) x   x  ; x2 x 2 x 4 2x  d) 4x - 9 = - 2x; e) 2x + 1 = 3x + 5 Baøi 3: Giaûi caùc heä phöông trình sau:  x  y  3 x  y  12 2 x  y  5 x  y  15 a)  ; b)  ; c)  ; d)   x  y  11  5x  2y  3 x  y   x  5y  Baøi 4: Giaûi caùc heä phöông trình:  x  y  z  7  a)  x  5y  3z  ;  x  2y  2z    x  4y  2z   b)  x  y  z  6  x  8y  z  12  Bài 5: Hai công nhân giao việc sơn tường Sau người thức làm và người thức hai làm thì học sơn tường Sau đó họ cùng làm việc với thì chæ coøn laïi tường chưa sơn Hỏi người làm riêng thì sau bao nhiêu người 18 sơn xong tường? Bài 6: Ba phân số có tử số là và tổng ba phân số đó Hệu phân số thứ và phân số thứ hai phân số thứ ba, còn tổng phân số thứ và phân số thứ hai lần phân số thứ ba Tìm các phân số đó Bài 7: Một phân xưởng giao sản xuất 360 sản phẩm số ngày định Vì phân xưởng tăng suất, ngày làm thêm sản phẩm so với định mức, nên trước hết hạn ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm giao là 5% Hỏi tiếp tục làm việc với suất đó thì đến hết hạn phân xưởng làm tất bao nhiêu sản phẩm Bài 8: Tìm hai cạnh mảnh vườn hình chữ nhật hai trường hợp a) Chu vi laø 94,4m vaø dieän tích laø 494,55m2; b) Hieäu cuûa hai caïnh laø 12,1m vaø dieän tích laø 1089m2 Bài 9: Hai người quét sân Cả hai người cùng quyét sân hết 20 phút, quyét mình thì người thứ quét hết nhiều so với người thứ hai Hỏi người quyét sân mình thì hết giờ? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 46 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Bất đẳng thức:  Hệ thức dạng a < b (hay a > b, a  b, a  b) là bất đẳng thức veá traùi veá phaûi  Tính chaát: a) Khi cộng cùng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho b) Khi nhân hai vế bất đẳng thức với cùng số dương ta bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho Khi nhân hai vế bất đẳng thức với cùng số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức đã cho Baát phöông trình baäc nhaát moät aån: a) Dạng: ax + b < (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b  0), đó a, b là các số đã cho, a ≠ b) Hai quy tắc biến đối bất phương trình:  Khi chuyển vế hạng tử bất phương trình từ vế này sang vế phải đổi dấu hạng tử đó  Khi nhân hai vế bất phương trình với cùng số khác 0, phải:  Giữ nguyên chiều bất phương trình số đó dương  Đổi chiều bất phương trình số đó âm Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1 a) x - < 18; b) 3x > 2x + 5; c) x < 3; d)  x  Giaûi:  Ghi chuù: 47 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §1 BẤT ĐẲNG THỨC I- ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng "a < b" "a > b" gọi là bất đẳng thức * Chú ý: Các mệnh đề dạng "a < b" "a > b" gọi là các bất đẳng thức ngặt Các mệnh đề dạng "a  b" "a  b" gọi là các bất đẳng thức không ngặt Bất đẳng thức hệ và bất đẳng thức tương đương: Nếu mệnh đề "a < b  c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a < b và viết là a < b  c < d Nếu bất đẳng thức a < b là hệ bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với và viết là a < b  c < d  Sử dụng các tính chất "a < b và b < c  a < c", "a < b  a + c < b + c, c R" chứng minh a < b  a - b < Để chứng minh bất đẳng thức a < b ta cần chứng minh a - b < Tính chất bất đẳng thức: Tính chaát Ñieàu kieän Noäi dung a<ba+c<b+c c>0 a < b  ac < bc c<0 a < b  ac > bc a  b  c  d a>0 c>0 a+c<b+d a  b  c  d  ac < bd Phaùt bieåu Cộng hai vế bất đẳng thức cho cùng số ta bất đẳng thức tương đương cùng chiều Nhân hai vế bất đẳng thức cho cùng số dương ta bất đẳng thức tương đương cùng chiều Nhân hai vế bất đẳng thức cho cùng số âm ta bất đẳng thức tương đương ngược chiều Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta bất đẳng thức cùng chiều Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta bất đẳng thức cùng chiều Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa lẻ ta n nguyeân bất đẳng thức tương đương cùng chiều döông Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa chẵn ta < a < b  a2n < b2n bất đẳng thức cùng chiều Khai bậc chẵn hai vế bất đẳng thức dương ta a<b a < b a>0 bất đẳng thức tương đương cùng chiều Khai bậc lẻ hai vế bất đẳng thức ta a<b a < b bất đẳng thức tương đương cùng chiều Ví dụ: Chứng minh với a, b ta có a2 + b2  ab Giaûi: a < b  a2n + < b2n + 48 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 II- BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VAØ TRUNG BÌNH NHÂN (CAUCHY) Bất đẳng thức CauChy (Cô-si): Định lí: Trung bình cộng hai số không âm lớn trung bình nhân chúng ab  ab a, b  0, ab  ab vaø chæ a = b Đẳng thức a b Ví dụ: Chứng minh với số dương a, b ta có:   b a Giaûi: Caùc heä quaû: Hệ 1: Tổng số dương với nghịch đảo nó lớn a   , a > a Heä quaû 2:  Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn và x = y  Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ và x = y YÙ nghóa hình hoïc:  Trong tất các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn  Trong tất các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ III- BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Ñieàu kieän Noäi dung x  0, x  x, x  -x x  a  -a  x  a a>0 x  a  x  -a x  a a - b  a + b  a + b Ví dụ: Cho x  [-2; 0] Chứng minh x + 1  Giaûi:  Ghi chuù: 49 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh rằng: 1 a) (a  b)(  )  , a, b > 0; b) a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với a, b, c  R a b Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác a) Chứng minh (b - c)2 < a2; b) Từ đó suy a2 + b2 + c2  2(ab + bc + ca) 3 2 Bài 3: Chứng minh x + y  x y + xy , x  0, y  Bài 4: Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức f(x) = x + x2 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x    x Bài 6: Chứng minh x4 - x  x  x   , x  Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lấy cá điểm A và B thay đổi cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính Xác định tọa độ A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 50 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §2 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MOÄT AÅN I- KHAÙI NIEÄM BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MOÄT AÅN veá traùi veá phaûi Baát phöông trình moät aån: Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) f (x)  g(x) (1) đó f(x) và g(x) là biểu thức chứa x Số thực x0 cho f(x0) < g(x0) (f(x0)  g(x0)) là mệnh đề đúng gọi là nghiệm bất phöông trình (1) Giaûi baát phöông trình laø tìm taäp nghieäm cuûa noù, taäp nghieäm roãng thì ta noùi baát phöông trình voâ nghieäm * Chú ý: Bất phương trình (1) có thể viết lại dạng sau: g(x) > f(x) g(x)  f(x) Ñieàu kieän cuûa moät baát phöông trình: Điều kiện ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) baát phöông trình (1) Bất phương trình chứa tham số: Trong bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác xem số và gọi là tham số Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó Ví duï: Haõy chæ aån soá vaø tham soá caùc baát phöông trình sau: a) (2m - 1)x + < 0; b) x2 - nx +  Giaûi: II- HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MOÄT AÅN Heä baát phöông trình aån a goàm moät soá baát phöông trình aån x maø ta phaûi tìm caùc nghieäm chung cuûa chuùng Mỗi giá trị x đồng thời là nghiệm tất các bất phương trình hệ gọi là nghiệm hệ bất phương trình đã cho Giaûi heä baát phöông trình laø tìm taäp nghieäm cuûa noù Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao các tập nghiệm 3  x  Ví duï: Giaûi heä baát phöông trình  x 1  Giaûi: III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Baát phöông trình töông ñöông: Hai baát phöông trình coù cuøng taäp nghieäm (coù theå roãng) laø hai baát phöông trình töông ñöông vaø duøng kí hiệu "" để tương đương hai bất phương trình đó 51 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Khi hai hệ bất phương trình có cùng tập nghiệm ta nói chúng tương đương với và dùng kí hiệu "" để tương đương đó Phép biến đổi tương đương: Để giải bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết tập nghiệm Các phép biến đổi gọi là các phép biến đổi tương ñöông Cộng (trừ): Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình ta bất phương trình tương đương P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) Ví duï: Giaûi baát phöông trình (x + 2)(2x - 1)  x2 + (x - 1)(x + 3) Giaûi: * Nhận xét: Nếu cộng hai vế bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức -f(x) ta bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x) Do đó: P(x) < Q(x) + f(x)  P(x) - f(x) < Q(x) (Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử f(x) ta bất phương trình tương đương) * Chú ý: Trước giải bất phương trình ta phải tìm điều kiện bất phương trình đó 5x   x x 43 3 x 1   Ví duï: Giaûi baát phöông trình 4 Giaûi: Nhaân (chia): Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) ta bất phương trình tương đương Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta bất phương trình tương ñöông P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x) neáu f(x) > 0, x P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x) neáu f(x) < 0, x 52 Hồ Xuân Trọng Ví duï: Giaûi baát phöông trình Đại số 10 x2  x 1 x2  x  x2  x 1 Giaûi: * Chú ý: Khi nhân hai vế bất phương trình cho f(x), biểu thức f(x) nhận hai giá trị dương lẫn âm thì ta phải xét hai trường hợp f(x) < và f(x) >  Ví duï: Giaûi baát phöông trình x 1 Giaûi: Bình phöông: Bình phương hai vế bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện nó ta bất phương trình tương đương P(x) < Q(x)  [P(x)]2 < [Q(x)]2 Ví duï: Giaûi baát phöông trình Giaûi: x  2x   x  2x  * Chú ý: Khi bình phương hai vế bất phương trình ta phải xét hai trường hợp:  P(x), Q(x) cuøng coù giaù trò khoâng aâm, ta bình phöông hai veá baát phöông trình  P(x), Q(x) cùng giá trị âm, ta biến đối P(x) < Q(x)  -P(x) > -Q(x) bình phương 53 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ví duï: Giaûi baát phöông trình x2  17  x Giaûi:  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Neâu ñieàu kieän coù nghóa cuûa caùc baát phöông trình sau: 1 a)   ; x x 1 2x c) 2x - + x   ; x 1 Bài 2: Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm: a) x2 + x   3 ; b)  2( x  3)   x  x  Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 3x  x   x   a) ; Baøi 4: Giaûi heä baát phöông trình: 2x  ; x  x  4x  d)  x  x  x4 b) ; 2 c)  x   x  b) (2x - 1)(x + 3) - 3x +  (x - 1)(x + 3) + x2 - 5  6 x   x  a)  ; 8x    2x     15 x   x  b)  x  14 2( x  4)   CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 54 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT Nhị thức bậc nhất:  Nhị thức bậc x là biểu thức dạng f(x) = ax + b với a, b, c là hai số đã cho, a ≠ b  Nghiệm nhị thức: f(x) = ax + b là x0 =  (nghiệm phương trình ax + b = 0) a  Giải các bất phương trình -2x + > và biểu diễn trên trục số tập nghiệm nó Từ đó hãy các khoảng mà x lấy giá trị đó thì nhị thức f(x) = -2x + có giá trị: trái dấu với hệ số x; cùng dấu với hệ số x Dấu nhị thức bậc nhất: Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a x lấy các giá trị khoảng b b (  ; +) và trái dấu với hệ số a x lấy các giá trị khoảng (-;  ) a a b x + - Baûng xeùt daáu a ax + b traùi daáu a cuøng daáu a  Nghieäm x0 =  b nhị thức chia trục số thành hai khoảng: a beân traùi soá x0 - f(x) cuøng daáu a f(x) traùi daáu a Ví dụ: Xét dấu các nhị thức sau: Giaûi: x0 + beân phaûi soá x0 a) f(x) = 3x + 2; b) g(x) = -2x +  Minh họa đồ thị: a>0 a<0 y y y = ax + b y = ax + b + + + + - - - - b + + + x a - + O O 55 + + - b x a - - - - Hồ Xuân Trọng Đại số 10 II- ỨNG DỤNG Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất: Ví dụ: Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = (2x - 1)(3 - x); b) g(x) = x ( x  2)  2x Giaûi: Giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình: a) x3- 4x < 0; b)  1 x Giaûi: Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: Ví duï: Giaûi baát phöông trình -2x + 1 + x - < Giaûi: 56 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * Chú ý: Với a > 0, ta có: f(x)  a  -a  f(x)  a f(x)  a  f(x)  -a f(x)  a  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xét dấu các biểu thức: a) f(x) = (2x - 1)(x + 3); 4  c) f(x) = ; 3x   x Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) (x - 1)(4 - 2x)(5x - 3)  0; (3 x  1)(3  x )  0; b) x  17 Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1 x  3x    1; a) ; b) x  ( x  1) x2 1 Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 5x - 4  6; b) f(x) = (-3x - 3)(x + 2)(x + 3); d) f(x) = 4x2 - b) (3x - 1)2 < 9;  c)  x 2x  c) x  10 x  0; x  5x  b) x - 2  x; Baøi 5: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau: 2 x   a)  ; x    d)   x x 4 x 3 5 10  x2 x 1 (2 x  3)( x  1)  b)  x    c) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 57 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §4 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN I- BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN Baát phöông trình baäc nhaát hai aån x, y coù daïng toång quaùt laø ax + by  c (1) (ax + by < c, ax + by  c, ax + by > c) đó a, b, c là số thực đã cho, a và b không đồng thời 0, x và y là các ẩn số II- BIEÅU DIEÃN TAÄP NGHIEÄM CUÛA BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) gọi là mieàn nghieäm cuûa noù Quy taéc bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm (hay mieàn nghieäm) cuûa baát phöông trình ax + by  c (1): Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax + by = c Bước 2: Xét điểm M(x0;y0) không nằm trên  (thường lấy O(0; 0) O  ) Bước 3: Thay x0 và yo vào biểu thức ax + by Bước 4: Kết luận:  Nếu ax0+by0  c là mệnh đề đúng thì nử a mặt phẳng (kể bờ ) chứa điểm M là miền nghieäm cuûa baát phöông trình ax + by + c   Nếu ax0+by0  c là mệnh đề sai thì nửa mặt phẳng (kể bờ ) không chứa điểm M là miền nghieäm cuûa baát phöông trình ax + by + c  * Lưu ý: Miền nghiệm bất phương trình ax + by  c bỏ đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm cuûa baát phöông trình ax + by < c Ví duï: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa caùc baát phöông trình sau: a) 2x + y  3; b) -3x + 2y > Giaûi: III- HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN Heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån goàm moät soá baát phöông trình baäc nhaát hai aån x, y maø ta phaûi tìm caùc nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung đó gọi là nghiệm hệ bất phương trình đã cho Ta coù theå bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån Ví duï: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä baát phöông trình sau: 58 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 3 x  y  xy4  b)   x0  y   2x  y  a)  ; 2 x  5y  12 x  Giaûi: IV- ÁP DỤNG VAØ BAØI TOÁN KINH TẾ Ví dụ bài toán: Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại I phải dùng máy M1 và máy máy M2 Muốn sản xuất sản phẩm loại II phải dùng máy M1 và máy M2 Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M1 làm việc không quá ngày, máy M2 ngày làm việc không quá Hãy đặt kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền lãi cao Giaûi: y 3x + y = C I L = 2x + 1,6y x+y=4  Ghi chuù: 59 O A x Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa caùc baát phöông trình baäc nhaát hai aån sau: a) -x + + 2(y - 2) < 2(1 - x); b) 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - Baøi 2: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa caùc heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån sau:  x y   1   x  2y   3y   a)  x  y  2 ; b)  x  y  2  yx3  x0    Bài 3: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất hai loại sản phẩm I và II Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại phải dùng các máy thuộc các nhóm khác Số máy nhóm và số máy nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm loại cho bảng sau: Số máy nhóm để sản xuất đơn vị sản phẩm Soá maùy Nhoùm moãi nhoùm Loại I Loại II A 10 2 B C 12 Một đơn vị sản phẩm I lãi nghìn đồng, đơn vị sản phẩm II lãi nghìn đồng Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên cho có lãi cao CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 60 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Tam thức bậc hai:  Tam thức bậc hai x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, đó a, b, c là số thực cho trước gọi là các hệ số với a ≠  Nghiệm tam thức bậc hai là nghiệm phương trình ax2 + bx + c =  Lập bảng xét dấu các biểu thức: f(x) = (x - 1)(x + 2); g(x) = (x + 1)(3 - x), h(x) = -(x - 2)2; r(x) = (x - 4)2+ Có nhận xét gì dấu tam thức so với hệ số a tam thức đó Dấu tam thức bậc hai: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0),  = b2 - 4ac  Nếu  < thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với x  R b  Nếu  = thì f(x) cùng dấu với hệ số a, trừ x = - a  Nếu  > thì f(x) có hai nghiệm x và x (x1 < x2) Khi đó f(x) trái dấu với hế số a với x nằm khoảng (x1; x2) và f(x) cùng dấu với hế số a với x nằm ngoài đoạn [x1; x2] * Chuù yù: Khi heä soá b chaün ta coù theå thay  baèng ' = b'2 - ac Các bước lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)  Tính  = b2 - 4ac  Neáu  < thì f(x) voâ nghieäm vaø x - ax + bx + c + cùng dấu với a b  Neáu  = thì f(x) coù nghieäm keùp x = - vaø a b x + - a ax2 + bx + c cùng dấu với a cùng dấu với a  Nếu  > thì f(x) có nghiệm x1, x2 (với x1 < x2) và x - x1 x2 ax + bx + c cùng dấu với a trái dấu với a cùng dấu với a + Ví dụ: Xét dấu các tam thức sau: a) f(x) = -2x2 + 6x - 10; Giaûi: b) f(x) = 2x2 - 5x + 2; c) f(x) = x2 + 4x + 61 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Minh hoïa hình hoïc: <0 =0 y y a>0 >0 + + + + + + + + + + + + + + + x + + + + + O - O <0 x1 + + + + y x - - - O - - - - - - - - x >0 y x - x2 - 2a y a<0 - b =0 y O O + + + + - b x 2a - - + + + + + O - x - II- AÙP DUÏNG GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI Baát phöông trình baäc hai: Baát phöông trình baäc hai aån x laø baát phöông trình daïng ax2 + bx + c < (hoặc ax2 + bx + c  ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c  0), đó a, b, c là số thực đã cho với a ≠  Lập bảng xét dấu các tam thức và trả lời câu hỏi tương ứng a) f(x) = -2x2 + 3x + 5, với giá trị nào x thì f(x)  0; b) g(x) = -3x2 + 7x - 4, với giá trị nào x thì g(x) < Giaûi baát phöông trình baäc hai: Giải bất phương trình bậc hai là tìm các giá trị x để ax2 + bx + c âm (dương, không âm, không dương) tương ứng với < (> 0,  0,  0) bất phương trình Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 3x2 + 2x + > 0; b) -2x2 + 3x + > 0; c) -3x2 + 7x - < 0; d) 9x2 - 24x + 16  Giaûi: 62 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ví dụ 2: Tìm các giá trị m để phương trình 2x2 - (m2 - m + 1)x + 2m2 - 3m - = có hai nghiệm trái daáu Giaûi:  Ghi chuù: 63 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xet dấu các tam thức bậc hai: a) 5x2 - 3x + 1; b) -2x2 + 3x + 5; Bài 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5); c) x2 + 12x + 36; d) (2x - 3)(x + 5) b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1); (3 x  x )(3  x ) d) f(x) = 4x  x  c) f(x) = (4x2 - 1)(-8x2 + x - 3)(2x + 9); Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau:  ; d) x2 - x -  x  3x  x  Bài 4: Tìm các giá trị tham số m để các phương trình sau vô nghiệm a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - = 0; b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + = a) 4x2 - x + < 0; b) -3x2 + x +  0; Bài 5: Với giá trị nào m thì hàm số y = c) x  mx  m luoân xaùc ñònh? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 64 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG IV * 65 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trên cùng mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + và y = g(x) = - x và caùc giaù trò naøo cuûa x thoûa maõn: a) f(x) = g(x); b) f(x) > g(x); c) f(x) < g(x) Haõy kieåm tra laïi keát quaû baèng caùch giaûi phöông trình, baát phöông trình ab bc ca    Bài 2: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh c a b a b   a  b Bài 3: Cho a > 0, b > Chứng minh rằng: a b Bài 4: Bằng cách sử dụng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x4 - x2 + 6x - = và g(x) = x2 - 2x - x  2x Baøi 5: Tìm nghieäm nguyeân cuûa baát phöông trình x(x3 - x + 6) > Bài 6: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai, chứng minh raèng: b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 > x 3 x  y   x  y 3  Baøi 7: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån  y   x   y  CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 66 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 CHÖÔNG V THOÁNG KEÂ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Moät soá khaùi nieäm veà thoáng keâ:  Khi cần điều tra thống kê vấn đề nào đó, người điều tra thu thập số liệu vấn đề đó và ghi lại bảng, gọi là bảng số liệu thống kê Ví dụ: thống kê số học sinh nữ khối 11 trường THPT Trần Quốc Toản, người ta thường ghi vào bảng số liệu thống kê sau: Lớp 11CB1 11CB2 11CB3 11CB4 11CB5 11CB6 11CB7 11CB8 Số lượng 22 20 24 23 25 20 22 21  Vấn đề hay hiên tượng mà người điều tra quan tâm tìm hiểu gọi là dấu hiệu điều tra Ví dụ trên dấu hiệu điều tra là số học sinh nữ lớp, còn lớp là đơn vị điều tra  Ứng với đơn vị điều tra có số liệu, số liệu đó gọi là giá trị dấu hiệu Số tất các giá trò cuûa daáu hieäu baèng soá caùc ñôn vò ñieàu tra  Số lần xuất giá trị dãy số giá trị dấu hiệu là tần số giá trị đó  Ghi chuù: 67 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §1 BAÛNG PHAÂN BOÁ TAÀN SOÁ VAØ TAÀN SUAÁT I- OÂN TAÄP Soá lieäu thoáng keâ: Ví dụ: Khi điều tra “Năng suất lúa hè thu năm 1998” 31 tỉnh, người ta thu thập các số liệu ghi bảng đây: Naêng suaát luùa heø thu (taï/ha) naêm 1998 cuûa 31 tænh 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35 Baûng Tập hợp các đơn vị điều tra là tập hợp 31 tỉnh, tỉnh là đơn vị điều tra Dấu hiệu điều tra là suất lúa hè thu năm 1998 tỉnh Các số liệu bảng gọi là các số liệu thống kê, còn goïi laø caùc giaù trò cuûa daáu hieäu vaø soá caùc soá lieäu thoáng keâ laø 35 Taàn soá: Taàn soá laø soá laàn xuaát hieän cuûa moät soá lieäu baûng thoáng keâ Ví duï: Haõy xaùc ñònh taàn soá cuûa caùc giaù trò khaùc cuûa caùc soá lieäu baûng Giaûi: II- TAÀN SUAÁT Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác (k  n) Gọi xi là giá trị bất kì k n giá trị đó và ni là tần suất giá trị tương ứng Khi đó, số f i  i gọi là tần suất giá trị xi n Ví duï: Haõy tính taàn suaát cuûa caùc giaù trò khaùc coù baûng Giaûi: Dựa vào các kết thu được, ta lập bảng sau: Naêng suaát luùa Taàn soá (taï/ha) Baûng phaân boá taàn soá vaø taàn suaát Taàn suaát (%) 25 30 35 40 45 Coäng 31 Baûng 68 100 (%) Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Nếu bảng 2, bỏ cột tần số ta bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất ta bảng phân boá taàn soá III- BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VAØ TẦN SUẤT GHÉP LỚP Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho phân vào k lớp (k < n) Xét lớp thứ i (i = 1, 2, 3, k) k lớp đó, ta có: Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i gọi là tần số lớp đó n Số f i  i gọi là tần suất lớp thứ i n Ví dụ: Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao 36 học sinh lớp học và thu các số liệu thống kê ghi bảng sau: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh (ñôn vò: cm) 158 152 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 Hãy tính tần số và tần suất các lớp tương ứng và điền vào bảng sau Giaûi: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh Lớp số đo chiều cao Taàn soá Taàn suaát (%) (cm) Baûng phaân boá taàn soá vaø taàn suaát ghép lớp [150 ; 156) [156 ; 162) [162 ; 168) [168 ; 174] Coäng 36 100 (%) Baûng Nếu bảng 3, bỏ cột tần số thì có bảng phân bố tần suất ghép lớp; bỏ cột tần suất thì có bảng phân bố tần số ghép lớp  Cho caùc soá lieäu thoáng keâ baûng sau Tiền lãi (nghìn đồng) ngày 30 ngày khảo sát quầy bán báo 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp sau: [29,5 ; 40,5), [40,5 ; 51,5), [51,5 ; 62,5), [62,5 ; 73,5), [73,5 ; 84,5), [84,5 ; 95,5] 53 55 73 64  Ghi chuù: 69 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho caùc soá lieäu thoáng keâ ghi baûng sau: Tuổi thọ 30 bóng đèn điện thắp thử (đơn vị: giờ) 1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170 a) Laäp baûng phaân boá taàn soá vaø baûng phaân boá taàn suaát b) Dựa vào kết câu a), hãy đưa nhận xét tuổi thọ các bóng đèn nói trên Bài 2: Cho bảng phân bố tầ số ghép lớp sau Độ dài 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp độ dài Taàn soá [10; 20) 18 [20; 30) 24 [30; 40) 10 [40; 50] Coäng 60 a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp b) Dựa vào kết câu a), hãy nêu rõ 60 lá dương xỉ khảo sát: Số lá có độ dài 30 cm chiếm bao nhiêu phần trăm? Số lá có độ dài từ 30 cm đến 50 cm chiếm bao nhiêu phần trăm? Baøi 3: Cho caùc soá lieäu thoáng keâ ghi baûng sau: Khối lượng 30 củ khoai tây thu hoạch nông trường T (đơn vị: g) 90 73 88 99 100 102 111 96 79 93 81 94 96 93 95 82 90 106 103 116 109 108 112 87 74 91 84 97 85 92 Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp sau: [70 ; 80); [80 ; 90); [90 ; 100); [100 ; 110); [110 ; 120] Baøi 4: Cho caùc soá lieäu thoáng keâ ghi baûng sau: Chiều cao 35 cây bạch đàn (đơn vị: m) 6,6 7,5 8,2 8,2 7,8 7,9 9,0 8,9 8,2 7,2 7,5 8,3 7,4 8,7 7,7 7,0 9,4 8,7 8,0 7,7 7,8 8,3 8,6 8,1 8,1 9,4 6,9 8,0 7,6 7,9 7,3 8,5 8,4 8,0 8,8 a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp sau: [6,5 ; 7,0) ; [7,0 ; 7,5) ; [7,5 ; 8,0) ; [8,0 ; 8,5) ; [8,5 ; 9,0) ; [9,0 ; 9,5] b) Dựa vào kết câu a), hãy nêu nhận xét chiều cao 35 cây bạch đàn nói trên CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 70 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §2 BIỂU ĐỒ I- BIỂU ĐỒ TẦN SUẤT HÌNH CỘT VAØ ĐƯỜNG GẤP KHÚC TẦN SUẤT Ta có thể mô tả cách trực quan các bảng phân bố tần suất (hoặc tần số), bảng phân bố tần suất (hoặc tần số) ghép lớp biểu đồ đường gấp khúc Biểu đồ tần suất hình cột: Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh Lớp số đo chiều cao (cm) Taàn soá Taàn suaát (%) [150 ; 156) 16,7 [156 ; 162) 12 33,3 [162 ; 168) 13 36,1 [168 ; 174] 13,9 Coäng 36 100 (%) Ta có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cột sau: Đường gấp khúc tần suất: Cũng có thể mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp cách vẽ đường gấp khúc tần suất a) Giá trị đại diện: Trong bảng phân bố ghép lớp, ta gọi trung bình cộng hai mút lớp thứ i là giá trị đại diện lớp đó, kí hiệu là ci b) Cách vẽ đường gấp khúc tần suất: Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các điểm (ci; fi), i = 1, 2, 3, , k, đó ci và fi là giá trị đại diện, tần suất các lớp bảng phân bố (gồm k lớp) Vẽ các đoạn thẳng nối điểm (ci; fi) với điểm (ci+1; fi+1), i = 1, 2, 3, , k-1 ta thu đường gấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần suất 71 Hồ Xuân Trọng Đại số 10  Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình tháng 12 thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm) Taàn suaát (%) Lớp nhiệt độ ( C) [15 ; 17) 16,7 [17 ; 19) 43,3 [19 ; 21) 36,7 [21 ; 23] 3,3 Coäng 100 (%) Hãy mô tả bảng trên cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất Chú ý: Ta có thể mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp biểu đồ tần số hình cột đường gấp khúc tần số Cách vẽ cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột đường gấp khúc tần suất, đó thay trục tần suất trục tần số II- BIỂU ĐỒ HÌNH QUẠT Người ta còn dùng biểu đồ hình quạt để mô tả bảng cấu ví dụ đây Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp nước năm 1997, phaân theo thaønh phaàn kinh teá Caùc thaønh phaàn kinh teá (1) Khu vực doanh nghiệp nhà nước (2) Khu vực ngoài quốc doanh (3) Khu vực đầu tư nước ngoài Coäng Soá phaàn traêm 23,7 47,3 29,0 100 (%) *Chú ý: Các bảng phân bố tần suất ghép lớp có thể mô tả biểu đồ hình quạt  Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình tháng 12 thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm) Taàn suaát (%) Lớp nhiệt độ (0C) [15 ; 17) 16,7 [17 ; 19) 43,3 [19 ; 21) 36,7 [21 ; 23] 3,3 Coäng 100 (%)  Hãy mô tả bảng trên cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất  Dựa vào biểu đồ hình quạt sau, lập bảng cấu giá trị sản xuất công nghiệp trước năm 1999 Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp nước năm 1999 22% Khu vực doanh nghiệp nhà nước 38.10% Khu vực ngoài quốc doanh 39.90% Khu vực đầu tư nước ngoài 72 Hồ Xuân Trọng Đại số 10  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Độ dài 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp độ dài (cm) Taàn soá [10 ; 20) 18 [20 ; 30) 24 [30 ; 40) [40 ; 50] 10 Coäng 60 Hãy mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp bảng trên cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất Bài 2: Xét bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp bảng số liệu sau: Khối lượng 30 củ khoai tây thu hoạch nông trường T (đơn vị: g) 90 73 88 99 100 102 111 96 79 93 81 94 96 93 95 82 90 106 103 116 109 108 112 87 74 91 84 97 85 92 Theo các lớp: [70 ; 80); [80 ; 90); [90 ; 100); [100 ; 110); [110 ; 120] a) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất b) Hãy vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc tần số c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ câu a), hãy nêu nhận xét khối lượng 30 củ khoai tây khảo sát Bài 3: Dựa vào biểu đồ hình quạt đây, hãy lập bảng cấu "Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp nước năm 2000, phân theo thành phần kinh tế (%)" Cơ cấ u giá trị sả n xuấ t công nghiệ p nướ c nă m 2000 Khu vự c doanh nghiệ p nhà nướ c 32.20% 23.5% Khu vự c ngoà i quốc doanh 44.30% Khu vự c đầ u tư nướ c ngoà i CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 73 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §3 SOÁ TRUNG BÌNH COÄNG SOÁ TRUNG VÒ MOÁT I- SOÁ TRUNG BÌNH COÄNG (HAY SOÁ TRUNG BÌNH) Ta có thể tính số trung bình cộng các số liệu thống kê theo các công thức sau đây Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất 1 k k x  (n1 x1  n2 x   nk x k )   ni x i   f i x i n n i 1 n i 1 với ni, xi là tần số, tần suất giá trị xi, n là số các số liệu thống kê n1 + n2+ +nk = n Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp k k x   n i ci   f i c i n i 1 i 1 với ci, ni, fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê Ví dụ: Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao 36 học sinh lớp học và thu các số liệu thống kê ghi bảng sau: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh (ñôn vò: cm) 158 152 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 a) Haõy tính chieàu cao trung bình cuûa 36 hoïc sinh treân b) Sử dụng bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, hãy tính chiều cao trung bình 36 học sinh trên, với các lớp [150; 156), [156; 162), [162; 168), [168; 174] Giaûi:  Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau Nhiệt độ trung bình tháng thành phố Vinh Từ 1961 đến hết 1990 (30 năm) Lớp nhiệt độ (0C) Taàn soá Taàn suaát (%) [12 ; 14) 3,33 [14 ; 16) 10,00 [16 ; 18) 12 40,00 [18 ; 20) 30,00 [20 ; 22] 16,67 Coäng 30 100 (%) Nhiệt độ trung bình tháng 12 thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm) Lớp nhiệt độ (0C) Tần suất (%) [15 ; 17) 16,7 [17 ; 19) 43,3 [19 ; 21) 36,7 [21 ; 23] 3,3 Coäng 100 (%) a) Haõy tính soá trung bình coäng cuûa baûng treân b) Từ kết đã tính câu a), có nhận xét gì nhiệt độ thành phố Vình tháng và tháng 12 (của 30 năm khaûo saùt) 74 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 II- SOÁ TRUNG VÒ Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng) Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng dãy số phần tử là lẻ và là trung bình cộng hai số đứng dãy số phần tử là chẵn Ví dụ: Điểm thi Toán bốn học sinh lớp xếp thành dãy không giảm là: 1; 2,5; 8; 9,5 Hãy tìm soá trung vò cuûa daõy treân Giaûi:  Trong bảng phân bố tần số, các số liệu thống kê đã thứ tự thành dãy không giảm theo các giá trị chúng Hãy tìm số trung vụ các số liệu thống kê cho bảng sau Số áo bán quý cửa hàng bán áo sơ mi nam Cỡ áo 36 37 38 39 40 41 42 Coäng Taàn soá (số áo bán được) 13 45 126 110 126 40 465 III- MOÁT Mốt bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn và kí hiệu là M0  Nếu bảng phân bố tần số có hai giá trị có tần số và lớn tần số giá trị khác thì chọn mốt là giá trị naøo? Haõy tìm moát cuûa baûng soá lieäu treân  Ghi chuù: 75 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Tính số trung bình cộng các bảng phân bố lập từ hai bảng số liệu sau: Tuổi thọ 30 bóng đèn điện thắp thử (đơn vị: giờ) 1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170 Độ dài 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp độ dài (cm) Taàn soá [10 ; 20) 18 [20 ; 30) [30 ; 40) 24 10 [40 ; 50] Coäng 60 Bài 2: Trong trường THPT, để tìm hiểu tình hình học môn Toán hai lớp 10A và 10B, người ta cho hai lớp thi Toán theo cùng đề thi và lập hai bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây: Điểm thi Toán lớp 10A Lớp điểm thi Taàn soá [0 ; 2) [2 ; 4) [4 ; 6) 12 [6 ; 8) 28 [8 ; 10] Coäng 50 Điểm thi Toán lớp 10B Lớp điểm thi Tần số [0 ; 2) [2 ; 4) 10 [4 ; 6) 18 [6 ; 8) 14 [8 ; 10] Coäng 51 Tính các số trung bình cộng hai bảng phân bố trên và nêu nhận xét kết làm bài thi hai lớp Bài 3: Điều tra tiền lương hàng tháng 30 công nhân xưởng may, ta có bảng phân bố tần số: Tiền lương 30 công nhân xưởng may Tiền lương (đồng) 300 500 700 800 900 1000 Coäng Taàn soá 6 30 Tìm mốt bảng phân bố trên Nêu ý nghĩa kết đã tìm Baøi 4: Tieàn löông haøng thaùng cuûa nhaân vieân moät coâng ti du lòch laø: 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000 (đơn vị: nghìn đồng) Tìm số trung vị các số liệu thống kê đã cho Nêu ý nghĩa kết đã tìm Bài 5: Cho biết tình hình thu hoạch lúa vụ mùa năm 1980 ba hợp tác xã địa phương V sau: Hợp tác xã Naêng suaát luùa (taï/ha) Dieän tích troàng luùa (ha) A 40 150 B 38 130 C 36 120 Hãy tính suất lúa trung bình vụ mùa năm 1980 toàn ba hợp tác xã kể trên CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 76 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §4 PHƯƠNG SAI VAØ ĐỘ LỆCH CHUẨN I- PHÖÔNG SAI  Cho biết giá trị thành phẩm quy tiền (nghìn đồng) tuần lao động công nhân hai tổ là: Toå 1: 180, 190, 190, 200, 210, 210, 220 (1); Toå 2: 150, 170, 170, 200, 230, 230, 250 (2) Hãy tính giá trị trung bình x , y hai dãy số liệu trên và nhận xét xem dãy số liệu nào có các số liệu gần với giá trị trung bình hôn? Ñònh nghóa: Phương sai dãy số liệu là trung bình cộng bình phương các độ lệch các số liệu thống kê và số trung bình dãy đó Công thức tính: Coù theå tính phöông sai theo moät ba caùch sau:  Đối với bảng phân bố tần số, tần suất: s x2  [n1 ( x1  x )  n2 ( x  x )   n k ( x k  x ) ] n  f1 ( x1  x )  f ( x  x )   f k ( x k  x )  Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [n1 (c1  x )  n2 (c  x )   n k (c k  x ) ] n  f1 (c1  x )  f (c  x )   f k (c k  x ) s x2  đó ni, fi là tần số, tần suất giá trị xi bảng phân bố tần số, tần suất (hay là tần số, tần suất lớp thứ i bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp); n1 + n2 + + nk = n là số các số liệu thống kê, x là số trung bình cộng các số liệu thống kê; ci là giá trị đại diện lớp thứ i   Hoặc: s x2  x  x đó x là trung bình cộng các bình phương số liệu thống kê Đối với bảng phân bố tần số, tần suất: x  (n1 x12  n2 x 22   n k x k2 )  f1 x12  f x 22   f k x k2 n Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: với x  (n1c12  n c 22   n k c k2 )  f1c12  f c22   f k ck2 n Ý nghĩa và cách sử dụng phương sai: Phương sai sử dụng để đánh giá mức độ phân tán các số liệu thống kê (so với số trung bình coäng cuûa caùc soá lieäu) Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng xấp xỉ nhau, phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) các số liệu thống keâ caøng beù Ví duï: Tính phöông sai cuûa baûng soá lieäu sau ñaây: 77 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh Lớp số đo chiều cao (cm) Taàn soá [150 ; 156) [156 ; 162) 12 [162 ; 168) 13 [168 ; 174] Coäng 36 Taàn suaát (%) 16,7 33,3 36,1 13,9 100 (%) Giaûi: II- ĐỘ LỆCH CHUẨN Độ lệch chuẩn sx là bậc hai phương sai s x2 : s x  s x2 Phương sai s x2 và độ lệch chuẩn sx dùng để đánh giá mức độ phân tán các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) Nhưng cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng sx, vì sx có cùng đơn vị đo với dấu hiệu nghiên cứu  Ghi chuù: 78 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần số ghép lớp lập từ các bảng số liệu sau: Tuổi thọ 30 bóng đèn điện thắp thử (đơn vị: giờ) 1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170 Độ dài 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp độ dài (cm) Taàn soá [10 ; 20) 18 [20 ; 30) 24 [30 ; 40) 10 [40 ; 50] Coäng 60 Bài 2: Hai lớp 10C, 10D trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng đề thi Kết thi trình bày hai bảng phân bố tần số sau đây: Điểm thi Ngữ văn lớp 10C Ñieåm thi 10 Coäng Taàn soá 12 14 40 Điểm thi Ngữ văn lớp 10D Ñieåm thi Coäng Taàn soá 18 10 40 a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn các bảng phân bố tần số đã cho b) Xét xem kết làm bài thi môn Ngữ văn lớp nào là đồng hơn? Bài 3: Cho hai bảng phân bố tần số ghép lớp Khối lượng nhóm cá mè thứ I Lớp khối lượng (kg) [0,6 ; 0,8) [0,8 ; 1,0) [1,0 ; 1,2) [1,2 ; 1,4] Coäng Taàn soá 6 20 Khối lượng nhóm cá mè thứ II Lớp khối lượng (kg) [0,5; 0,7) [0,7; 0,9) [0,9; 1,1) [1,1; 1,3) [1,3; 1,5] Coäng Taàn soá 20 a) Tính các số trung bình cộng các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho b) Tính phương sai các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho c) Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng hơn? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 79 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG V * BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Kết điều tra 59 hộ gia đình vùng dân cư số hộ gia baûng sau: 1 1 3 2 2 2 2 4 1 3 2 2 1 a) Laäp baûng phaân boá taàn soá vaø taàn suaát; b) Nêu nhận xét số 59 gia đình đã điều tra; c) Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt các số liệu thống kê đã cho Bài 2: Cho các số liệu thống kê ghi hai bảng sau đây 80 đình ghi 3 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Khối lượng (tính theo gam) nhóm cá thứ I 645 650 645 644 650 635 650 654 650 650 650 643 650 630 647 650 645 650 645 642 652 635 647 652 Khối lượng (tính theo gam) nhóm cá thứ II 650 645 650 643 645 650 650 642 640 650 645 650 641 650 650 649 645 640 645 650 650 644 650 650 645 640 640 a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ I với các lớp là: [630 ; 635); [635 ; 640); [640 ; 645); [645 ; 650); [650 ; 655]; b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ II với các lớp là: [638 ; 642); [642 ; 646); [646 ; 650); [650 ; 654]; c) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập câu a) cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất; d) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã lập câu b), cách vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số; e) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn các bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp đã lập Từ đó, xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng Bài 3: Cho các số liệu thống kê ghi bảng sau Mức lương hàng năm các cán và nhân viên công ti (đơn vị: nghìn đồng) 20910 76000 20350 20060 21410 20110 21410 21360 20350 21130 20960 125000 Tìm mức lương bình quân các cán và nhân viên công ti, số trung vị các số liệu thống kê đã cho Nêu ý nghĩa số trung vị Bài 4: Người ta đã tiến hành thăm dò ý kiến khách hàng các mẫu 1, 2, 3, 4, loại sản phẩm sản xuất nhà máy Dưới đây là bảng phân bố tần số theo số phiếu tín nhiệm dành cho caùc maãu keå treân Maãu Coäng Taàn soá 2100 1860 1950 2000 2090 10000 a) Tìm mốt bảng phân bố tần số đã cho b) Trong saûn xuaát, nhaø maùy neân öu tieân cho maãu naøo? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 81 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 CHƯƠNG VI CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tia, goùc hình hoïc vaø cung hình hoïc: B x O  Tia là hình gồm điểm O và phần đường thẳng bị chia điểm O gọi là tia gốc O O A y  Hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O tạo thành hai cung hình học: cung lớn AB và cung nhỏ O x AB  Đơn vị đo cung là "độ"  Hai tia Ox, Oy taïo thaønh moät goùc oOy  Cung nửa đường tròn có số đo là 1800  Đơn vị đo góc là "độ" Giá trị lượng giác góc bất kì từ 00 đến 1800: Với góc  (00    1800) ta xác định điểm M trên y nửa đường tròn đơn vị cho góc xOM và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi đó ta định nghĩa: M y0  sin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu sin = y0;  coâsin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu cos = x0; y y  x  tang cuûa goùc  laø (x0 ≠ 0), kí hieäu tan = ; R=1 x0 x0 x0 -1 O x0 x0  coâtang cuûa goùc  laø (y0 ≠ 0), kí hieäu cot = y0 y0  Ghi chuù: 82 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §1 CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC I- KHÁI NIỆM CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC Đường tròn định hướng và cung lượng giác: Đường tròn định hướng là đường tròn trên đó ta đã chọn chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hoà laøm chieàu döông + A - Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B Một điểm M động trên đường tròn luôn theo chiều (âm dương) từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung kí hiệu là AB * Chuù yù: Trên đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì:  Kí hiệu AB cung hình học (cung lớn cung bé) hoàn toàn xác định  Kí hiệu AB cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng cho điểm M D chuyển động từ C tới D tạo cung lượng giác CD Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD tạo nên góc lượng giác, có tia O M đầu là OC, tia cuối là OD C Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD) Đường tròn lượng giác: y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = Đường tròn này cắt hai trục tọa độ bốn ñieåm A(1 ; 0), A’(-1 ; 0), B(0 ; 1), B’(0 ; -1) Ta laáy A(1 ; 0) làm điểm gốc đường tròn đó Đường tròn xác định trên gọi là đường tròn lượng giác (gốc A) B(0; 1) + A(1; 0) A'(-1; 0) O B'(0; -1) 83 x Hồ Xuân Trọng Đại số 10 II- SỐ ĐO CỦA CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC Độ và rađian: a) Đơn vị rađian: ngoài đơn vị độ thường sử dụng, Toán học và Vật lý ta còn sử dụng đơn vị đo cung và góc khác là rađian (đọc là – - an) Viết tắc là rad Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi là cung có số đo rad b) Quan hệ độ và rađian: 10    180  rad vaø rad    180    Với   3,14 thì 10  0,01745 và rad  57 017'45" * Chú ý: Khi viết số đo góc (hay cung) theo đơn vị rađian, ta thường không viết chữ rad sau số đo đó Chẳng hạn cung  hiểu là cung Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 300 450  Rañian   rad 600 900   Ví dụ: Đổi số đo các góc sau đây rađian: Giaûi: 1200 2 a) 1050; 1350 3 1500 1800 5  b) 57030' Ví dụ: Đổi số đo các góc sau đây độ, phút, giây:a)  15 ; b)  Giaûi: c) Độ dài cung tròn: Cung có số đo  rad đường tròn bán kính R có độ dài: l = R Ví dụ: Một đường tròn bán kính 10cm Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo: a)  18 ; b) 450 Giaûi: Số đo cung lượng giác: Số đo cung lượng giác AM (A ≠ M) là số thực, âm hay dương Kí hieäu soá ño cuûa cung AM laø sñAM * Chuù yù: 84 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Số đo các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khaùc moät boäi cuûa 2 M Ta viết: SđAM =  + 2k, k  Z , đó là số đo cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A điểm cuối là M Khi M truøng A ta coù: sñAA = k2, k  Z; k = thì sñAA =  Nếu viết số đo độ ta có:  O A SñAM = a  k 360 , k  Z đó a0 là số đo cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A và ñieåm cuoái laø M Số đo góc lượng giác: Số đo góc lượng giác (OA, OC) là số đo cung lượng giác AC tương ứng * Chú ý: Vì cung lượng giác ứng với góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo các cung lượng giác và các góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ sau nói cung thì điều đó đúng với góc và ngược lại Ví dụ: Trên hai đường tròn lượng giác sau lấy điểm P trên cung AB cho AP = AB, điểm E là trung điểm cung A'B' Xác định số đo cung AD và số đo các góc lượng giác (OA, OE), (OA, OP)? y y B P D A A A' x O O x E B' Giaûi: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác: Để biểu diễn cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A(1 ; 0) làm điểm đầu cung, vì cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sñ AM =  Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có đo là: 85 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 a) 25 ; b) -7650 Giaûi:  Ghi chuù: 86 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác trên đường tròn lượng giác, có thể xảy trường hợp các điểm cuối chúng trùng không? Khi nào trường hợp này xảy ra? Bài 2: Đổi số đo các góc sau đây rađian: a) 180; b) 57030’; c) -250 ; d) -127045’; 0 e) 105 ; f) 108 ; g) 57 30' Bài 3: Đổi số đo các góc sau đây độ, phút, giây:  3 a) ; b) ; c) -2; d) ; 18 16   e) ; f) ; g) 15 Bài 4: Một đường tròn bán kính 20cm Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo a)  ; c) 370; b) 1,5 ; d)  e) 450 ; 15 18 Bài 5: Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo 5 10 ; ; a)  b) 1350; c) d) -2250; e) 300; 7 4 f) -1200; g) 6300; h) ; i)  Bài 6: Trêân đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết cung AM có số đo tương ứng là (trong đó k là số nguyên tùy ý) a) k; b) k  ; c) k  Bài 7: Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định sđAM =  (0     ) Goïi M1, M2, M3 laàn lượt là điểm đối xứng M qua trục Ox, trục Oy và gốc tọa độ Tìm số đo các cung AM1, AM2, AM3 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 87 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG  Ñònh nghóa:  Tung độ y = OK điểm M gọi là sin  và kí hieäu laø sin Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđAM =  y sin = OK B  Hoành độ x = OH điểm M gọi là côsin  M K vaø kí hieäu laø cos sin = OH  sin  A x A' goïi laø tang cuûa  vaø kí  Neáu cos ≠ thì tæ soá cos  H O sin  hiệu là tan (hoặc tg) Vậy: tan = cos  cos  goïi laø coâtang cuûa  vaø  Neáu sin ≠ thì tæ soá B' sin  cos  kí hiệu là cot (hoặc cotg) Vậy: cot = sin  Các giá trị sin, cos, tan, cot gọi là các giá trị lượng giác cung  Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục côsin * Chú ý: Các định nghĩa trên áp dụng cho các góc lượng giác Nếu    1800 thì các giá trị lượng giác góc  chính là các giá trị lượng giác góc đó đã nêu SGK hình học 10  Tính sin 25 , cos(-240), tan(-4050) Heä quaû:  sin vaø cos luoân xaùc ñònh  R, vaø sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos  Vì -1  OK  1, -1  OH  neân ta coù: -  sin  (sin 1) -  cos  (cos  1)  Với m  R mà -1  m  tồn  và  cho sin = m và cos = m   k ; cot xaùc ñònh   k  Dấu các giá trị lượng giác góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM  tan xaùc ñònh   y Phaàn tö Giá trị lượng giác sin cos tan cot II I II III IV + + + + + - + + + - 88 B I + + + + +++++ A A' O  H -K M III IV B' x Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Giá trị lượng giác các cung đặc biệt:  (00) sin cos tan cot kxñ  (300) 3   (450)  (600) 2 2 2 kxñ 1 (900) II- YÙ NGHÓA HÌNH HOÏC CUÛA TANG VAØ COÂTANG t y B y i M K H A  A x A' O s M K  A' S B s' O x H T T B' B' t' tan = AT  tan biểu diễn độ dài đại số vectơ AT treân truïc t'At  Trục t'At gọi là trục tang * Chuù yù:  tan( + k) = tank    III- QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác bản:  sin2 + cos2 = cot = BS  cot biểu diễn độ dài đại số vectơ BS treân truïc s'As  Trục s'As gọi là trục côtang   cot( + k) = cotk   tan    (   k , k  Z) 2 cos   (  k, k  Z)  tan.cot = (   k , k  Z) 2 sin   Ví dụ 1: Cho sin = , với <  <  Tính các giá trị lượng giác góc  Giaûi:   cot   89 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ví duï 2: Cho tan =  3 , với <  < 2 Tính sin vaø cos Giaûi: Ví duï 3: Cho a ≠  cos a  sin a  tan a  tan a  tan a  cos a + k, k  Z Chứng minh Giaûi: Giá trị lượng giác các cung có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: - và : Ta có: M và M' đối xứng qua trục x'Ox và: y B sin(-) = -sin cos(-) = cos tan(-) = -tan cot(-) = -cot M A'  - O B' b) Cung buø ( -  vaø ): Ta có: M và M' đối xứng qua trục y'Oy, và: sñAM'= - y B sñAM'= - sin( - ) = sin cos( - ) = -cos tan( - ) = -tan cot( - ) = -cot A x H M' Ví duï: sin(-450) = M' M K sñAM =  - A' A x  O 2 ) = c) Cung hôn keùm  ( +  vaø ): Ta có: M và M' đối xứng qua gốc O, và: Ví duï: cos( B' y sñAM'= + sin( + ) = -sin cos( + ) = -cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot Ví duï: cos( sñAM =  B M sñAM =  A' H' + O 4 ) = 90 A x  M' B' H Hồ Xuân Trọng Đại số 10 d) Cung phuï (900 -  vaø ): Ta có: M và M' đối xứng qua đường phân giác y = x, và: sin( cos( tan( cot(     y B - ) = cos sñAM'= M' K'  - M K sñAM =  - ) = sin A' A x  O H' H - ) = cot - ) = tan B'  Ghi chuù: 91 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Có cung  nào mà sin nhận các giá trị tương ứng sau đây không? a) -0,7; b) ; c) - ; Bài 2: Các đẳng thức sau đây có thể xảy đồng thời không? a) sin = vaø cos = ; b) sin =  vaø cos =  ; 5 3 Baøi 3: Cho <  < a) sin( - );  d) c) sin = 0,7 vaø cos = 0,3 Xác định dấu các giá trị lượng giác b) cos( 3 - ); c) tan( + ); Bài 4: Dùng định nghĩa, xác định giá trị lượng giác góc: 1800; d) cot( +  ) 7  4 ; Baøi 5: Tìm caùc giaù trò tan4200, sin8700, cos(-2400) 3 Baøi 6: a) Cho sina =  ,  < a < Tính cosa, tana, cota  b) Cho tana =  , < a <  Tính sina, cosa 2 Bài 7: Tính các giá trị lượng giác góc ,  3 a) cos = vaø <  < ; b) sin = -0,7 vaø  <  < ; 13 2 15  3 c) tan =  vaø <  < ; d) cot = -3 vaø <  < 2 2 Bài 8: Chứng minh (với x là giá trị để các biểu thức có nghĩa), ta có: a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = - 2sin2x Bài 9: Chứng minh tam giác ABC ta có: AC B a) sin(A + B) = sinC; b) tan = cot 2 Baøi 10: Tính , bieát a) cos = 1; b) cos = -1; c) cos = 0; d) sin = 1; e) sin = -1; f) sin = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 92 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 §3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I- CÔNG THỨC CỘNG Với số thực a, b và các biểu thức có nghĩa, ta có: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tan a  tan b tan( a  b)   tan a tan b tan a  tan b tan( a  b)   tan a tan b Ví duï1: Tính tan  12 Giaûi: Ví dụ 2: Chứng minh sin( a  b) tan a  tan b  sin(a  b) tan a  tan b Giaûi: II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI Với số thực a, ta có: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = cos2a - = - 2sin2a 2tana tan 2a   tan a  Công thức hạ bậc:  cos a  cos 2a sin a   cos a tan a   cos 2a cos a  93 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 Ví duï 1: Bieát sina + cosa = Tính sin2a Giaûi: Ví duï 2: Tính cos  Giaûi: III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THAØNH TỔNG, TỔNG THAØNH TÍCH Công thức biến đổi tích thành tổng: cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]  3 13 5 sin Ví dụ: Tính giá trị biểu thức A = sin cos , B = sin 8 24 24 Giaûi: Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos 2 uv uv cosu - cosv = -2sin sin 2 uv uv sinu + sinv = 2sin cos 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2 cosu + cosv = 2cos 94 Hồ Xuân Trọng Ví duï 1: Tính A = cos Đại số 10   cos 5 7  cos 9 Giaûi: Ví dụ 2: Chứng minh tam giác ABc ta có: sinA + sinB + sinC = cos A B C cos cos 2 Giaûi:  Ghi chuù: 95 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tính a) cos2250, sin2400, cot(-150), tan750, cos1050, tan150 ; b) sin 7  13 , cos(  ), tan 12 12 12 Baøi 2: Tính a) cos( +  ), bieát sin = vaø <  < c) cos(a + b), sin(a - b), bieát sina =  ; b) tan( -  ), bieát cos =   vaø <  < ; , < a < 900 vaø sinb = , 900 < b < 1800 Bài 3: Rút gọn các biểu thức: a) sin(a + b) + sin( c) cos(   - a)sin(-b); b) cos(  + a)cos(  - a) + sin a;  - a)sin( - b) - sin(a - b) 2 Bài 4: Chứng minh các đẳng thức: cos(a  b) cot a cot b   a) ; b) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a - sin2b = cos2b - cos2a cos(a  b) cot a cot b  c) cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b = cos2b - sin2a Bài 5: Chứng minh rằng: a) sin4x + cos4x = - sin22x; b) cos4x - sin4x = cos2x Baøi 6: Tính sin2a, cos2a, tan2a, bieát 3  a) sina = -0,6 vaø  < a < ; b) cosa = vaø < a < ; 13 3 c) sina + cosa = vaø < a < ; d) sina - cosa = 5  Baøi 7: Cho sin2a =  vaø < a <  Tính sina vaø cosa Bài 8: Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a) - sinx; b) + sinx; c) + 2cosx; d) - 2sinx sin x  sin x  sin x Bài 9: Rút gọn biểu thức A = cos x  cos x  cos x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 96 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG VI * 97 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tính  vaø     ; 3    2 ; c) tan  , neáu sin    vaø Bài 2: Rút gọn các biểu thức: sin 2  sin 4 a) ; sin 2  sin 4 a) sin  , neáu cos    b) cos , neáu tan   2 vaø     3 ;  d) cot  , neáu cos    vaø       cos   b) tan    sin   ;  sin       sin      cos    sin 5  sin 3 ; 4  4 c) d) cos 4     sin     cos    4  4  Bài 3: Không sử dụng máy tính, hãy tính 22 23 25 10    tan a) cos ; b) sin ; c) sin ; d) cos  sin 3 8 Bài 4: Không sử dụng máy tính, hãy chứng minh a) sin 75  cos 75  b) tan 267  tan 93  ; c) sin 65  sin 55  cos ; d) cos 12  cos 48  sin 18 Bài 5: Chứng minh các đồng thức sin x  sin  cos x  cos x x  tan x ;  cot x ; a) b) x sin x  sin x  cos x  cos sin( x  y ) cos x  sin x    tan   x  ; c) d) tan x  tan y  cos x cos y cos x  sin x 4  Bài 6: Chứng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x     a) A  sin   x   cos  x  ; 4 4       c) C  sin x  cos  x  cos  x  ; 3  3      b) B  cos  x   sin  x  ; 6 3    cos x  sin x cot x d) D   cos x  sin x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 98 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 * OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM * 99 Hồ Xuân Trọng Đại số 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá f ( x )  x  3x    x  x  15 a) Tìm taäp xaùc ñònh A cuûa haøm soá f(x); b) Giả sử B  x  R |  x  5 Hãy xác định các tập A \ B và R \ (A \ B) Baøi 2: Cho phöông trình: mx2 – 2x – 4m – = a) Chứng minh với giá trị m ≠ 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để -1 là nghiệm phương trình Sau đó tìm nghiệm cón lại Baøi 3: Cho phöông trình: x2 – 4mx + 9(m - 1)2 = a) Xét xem với giá trị nào m, phương trình trên có nghiệm b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích chúng Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m c) Xác định m để hiệu các nghiệm phương trình Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 5(x - 1) < x5 – < 5x4(x - 1), neáu x – > 0; b) x5 + y5 – x4y – xy4  0, bieát x + y  ; c) 4a   4b   4c   , biết a, b, c cùng lớn  và a + b + c =  x  3y  2z   Baøi 5: Giaûi heä phöông trình 3 x  5y  z  baèng caùch ñöa veà heä phöông trình daïng tam giaùc 5 x  y  3z  3  Bài 6: a) Xét dấu biểu thức: f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1) b) Lập bảng biến thiên và vẽ cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau: y = 2x(x + 2) (C1) y = (x + 2)(x + 1) (C2) Tính tọa độ các giao điểm A và B (C1) và (C2) c) Tính các hệ số a, b, c để hàm số y = ax2 + bx + c có giá trị lớn và đồ thị nó qua A vaø B Bài 7: Chứng minh các hệ thức sau  sin a  tan a sin a  sin 3a  sin 5a  tan 3a ;  a) ; b) cos a  cos 3a  cos 5a  sin a  tan a sin a  cos a  cos a a tan x tan x  sin x  cos ; c) d) tan x  tan x 2(1  cos a) Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau  sin a  cos a  cos a a cos x  sin x  cos x tan  cos a a) ; b) c)  cos a  cos a  sin a cos x  sin x  cos x Baøi 9: Tính a) 4(cos240 + cos480 – cos840 – cos120); b) 96 sin c) tan  tan 63  tan 810  tan 27 Baøi 10: Ruùt goïn x 2x 4x 8x cos cos a) cos cos ; 5 5 Bài 11: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C (A, B, C cuøng khaùc 100 b) sin  );  48 cos  48 cos  24 cos x 3x 5x  sin  sin 7  12 cos  ; Hồ Xuân Trọng Đại số 10 b) sin A  sin B  sin 2C  sin A sin B sin C sin 40  sin 45  sin 50  tan 15 Bài 12: Không sử dụng máy tính, hãy tính  cos 40  cos 45  cos 50  tan 15   101 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 CHÖÔNG I VECTÔ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đoạn thẳng, đường thẳng và tia: B x A A d Cho hai điểm A, B ta có đoạn thẳng nhất, kí hiệu: AB BA (Giới hạn hai đầu) Troïng taâm tam giaùc: Tia Ax (Giới hạn đầu) Đường thẳng d (Không giới hạn - dài vô tận) A Trọng tâm G tam giác là giao điểm ba đường b c trung tuyeán, vaø AG  AM G B a C M Đường trung bình tam giác: A Đường trung bình tam giác song song và cạnh đáy N M C B Hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD Ta coù: AB // DC vaø AB = DC BC // AD vaø BC = AD AC và BD cắt trung điểm O đường Khi đó O gọi là tâm hình bình hành B C O A D  Ghi chuù: 102 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §1 CAÙC ÑÒNH NGHÓA Khaùi nieäm vectô: Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là đoạn thẳng có hướng Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng B  Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu là: AB A  Khi khoâng caàn chæ roõ điểm đầu và điểm cuối vectơ thì     vectơ kí hiệu là: a , b , x , y , gọi là các vectơ tự a x  Từ hai điểm phân biệt ta có bao nhiêu vectơ? Nhận xét khác đoạn thẳng và vectơ? Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Đường thẳng qua điểm đầu và điểm cuối vectơ gọi là giá vectơ đó giaù cuûa vectô AB B A Định nghĩa: Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng Hai vectơ cùng phương, cùng hướ ng B A C D Q R F P S E Hai vectơ cùng phương, ngược hướng  Nhận xét:  Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng ngược hướng  Ba ñieåm phaân bieät A, B, C thaúng haøng vaø chæ hai vectô AB vaø AC cuøng phöông  Khẳng định: "Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và BC cùng hướng" đúng hay sai? vì sao? Hai vectô baèng nhau:  Mỗi vectơ có độ dài, đó là khoảng cách điểm đầu và điểm cuối vectơ đó Độ dài vectơ AB kí hiệu là AB Vậy: AB  AB  BA  Vectơ có độ dài gọi là vectơ đơn vị  Hãy nhận xét hướng và độ dài hai vectơ AB và DC hình vẽ sau: B C A D 103 Hồ Xuân Trọng Hình học 10      Hai vectơ a và b gọi là chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a  b   Hãy dựng vectơ OA vectơ a a O   * Chú ý: Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm điểm A cho OA  a Vectô - khoâng:  Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), kí hiệu laø: AA vaø goïi laø vectô - khoâng  Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với vectơ  Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên vectơ - không   Vectơ - không kí hiệu:  Ghi chuù: 104 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN     Bài 1: Cho ba vectơ a, b , c khác vectơ Các khẳng định sau đúng hay sai?      a) Nếu hai vectơ a, b cùng phương với c thì a và b cùng phương      b) Nếu a, b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N là trung điểm AD, BC  a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ có điểm đầu và điểm cuối là số các điểm A, B, C, D, O, M, N b) Chỉ hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy số các điểm A, B, C, D, O, M, N mà: i/ cùng phương với AB ; ii/ cùng hướng AB ; iii/ ngược hướng với AB c) Chæ caùc vectô baèng vectô MO , OB Bài 3: Chỉ các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ hình sau: x w a y b v u z Bài 4: Cho tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác đó là hình bình hành và AB = DC Bài 5: Cho lục giác ABCDEF có tâm O  a) Tìm các vectơ khác và cùng phương với OA ; b) Tìm caùc vectô baèng vectô AB Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh EF = CD Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N là trung điểm BC và AD Điểm I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN Chứng minh AM  NC , DK  NI 105 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §2 TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ Toång cuûa hai vectô:   Ñònh nghóa: Cho hai vectô a vaø b Laáy   moät ñieåm A tuøy yù, veõ AB  a vaø BC = b  Vectơ AC gọi là tổng hai vectơ a và      b Ta kí hieäu toång hai vectô a vaø b laø a  b Vaäy:   AC  a  b a b Quy taéc hình bình haønh: B C Neáu ABCD laø hình bình haønh thì: AB  AD  AC A D Tính chaát cuûa pheùp coäng caùc vectô:    Với ba vectơ a, b , c tùy ý ta có:     a  b  b  a (tính chất giao hoán)       (a  b )  c  a  (b  c ) (tính chất kết hợp)      a    a  a (tính chaát cuûa vectô - khoâng) Hieäu cuûa hai vectô:  Hãy nhận xét hướng và độ dài hai vectơ B AB vaø CD hình bình haønh ABCD: C A D   a) Vectơ đối: Cho vectơ a Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a gọi là vectơ đối vectơ   a , kí hieäu laø - a B * Chú ý:  Vectơ đối vectơ AB là BA , nghĩa là  AB  BA A    Vectơ đối vectơ là vectơ Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F là trung điểm BC, AC, AB Tìm ít ba cặp vectơ đối nhau? A Giaûi: E F B D C 106 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 b) Ñònh nghóa hieäu cuûa hai  vectô:  Cho hai vectô a vaø b Ta goïi hieäu cuûa hai       vectô a vaø b laø vectô a  (b ) , kí hieäu a  b Vaäy:     a  b  a  (b ) a * Chú ý: Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn gọi là phép trừ vectơ c) Quy taéc ba ñieåm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: b O AB  BC  AC AB  AC  CB Ví dụ: Chứng minh với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có AB  CD  AD  CB Giaûi: Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:   Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB và IA  IB    Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC vaø chæ GA  GB  GC   Ghi chuù: 107 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh tứ giác ABCD bất kì ta luôn có  a) AB  BC  CD  DA  ; b) AB  AD  CB  CD Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh a) CO  OB  BA ; b) AB  BC  DB ; c) DA  DB  OD  OC ; d) DA  DB  DC  Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh MA  MC  MB  MD Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng: MP  NQ  RS  MS  NP  RQ Bài 5: Cho tam giác ABC, cạnh a Tính độ dài các vectơ AB  BC , AB  AC , AB  AC , AB  BC Bài 6: Cho tam giác ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh  raèng RJ  IQ  PS  Bài 7: Chứng minh AB  CD và trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC trùng Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm A và B cho AM > MB Vẽ các vectơ MA  MB và MA  MB    Bài 9: Cho a, b là hai vectơ khác Khi nào có đẳng thức         a) a  b  a  b ; b) a  b  a  b     Bài 10: Cho a  b  So sánh độ dài, phương và hướng hai vectơ a và b Bài 11: Cho ba lực F1  MA , F2  MB và F3  MC cùng tác động vào vật điểm M và vật đứng yên Biết cường độ F1 , F2 là 100N và góc AMB 600 Tìm cường độ và hướng lực F3 108 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §3 TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ Ñònh nghóa:      Cho số k  và vectơ a  Tích vectơ a với số k là vectơ, kí hiệu là k a , cùng hướng với a   k > 0, ngược hướng với a k < và có độ dài k a  Ta còn gọi tích vectơ với số là tích số với vectơ     Quy ước: a = , k = Tính chaát:   Với hai vectơ a và b bất kì, với số h và k, ta có:         (h + k) a  h a  ka  k( a  b ) = ka  kb        h(k a ) = (hk) a 1 a = a , (-1) a = - a  1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm AB và MC Nhận xét gì mối quan hệ A MA  MB với MI C I M B  2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC Dựa vào đẳng thức GA  GB  GC  , chứng minh MA  MB  MC  3MG Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác: a) Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì với điểm M ta có: MA  MB  2MI b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với điểm M ta có: MA  MB  MC  3MG Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh AB  AC  AD  AC Giaûi: Điều kiện để hai vectơ cùng phương:        Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  ) cùng phương là có số k để a = k b  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng và có số k khác để AB  k AC Phaân tích moät vectô theo hai vectô khoâng cuøng phöông:   Cho hai vectô a vaø b khoâng cuøng phöông Khi  đó vectơ x phân tích cách   nhaát theo hai vectô a vaø b , nghóa laø coù nhaát    caëp soá h, k cho x   kb A' C x A a O b B B' Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho các điểm D, E, F là trung điểm các cạnh BC,   CA, AB và I là giao điểm AD và EF Đặt u  AE , v  AF Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE, DC theo   hai vectơ u , v 109 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Giaûi:  Ví dụ 2: Cho điểm A, B, C, M thỏa mãn MA  MB  3MC  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giaûi:  Ghi chuù: 110 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB  AC  AD  AC Bài 2: Gọi AM là trung tuyến tam giác ABC và D là trung điểm đoạn AM Chứng minh rằng:  a) DA  DB  DC  ; b) 2OA  OB  OC  4OD , với O là điểm túy ý Bài 3: Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và CD tứ giác ABCD Chứng minh rằng: 2MN  AC  BD  BC  AD Baøi 4: Cho AK vaø BM laø hai trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC Haõy phaân tích caùc vectô AB, BC , CA theo hai   vectô u  AK , v  BM Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho MB  3MC Hãy phân   tích vectô AM theo hai vectô u  AB vaø v  AC  Baøi 6: Cho hai ñieåm phaân bieät A vaø B Tìm ñieåm K cho: 3KA  KB   Baøi 7: Cho tam giaùc ABC Tìm ñieåm M cho MA  MB  MC  Bài 8: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm Bài 9: Cho tam giác ABC có O là trọng tâm và M là điểm tùy ý tam giác Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB Chứng minh MD  ME  MF  MO 111 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Trục và độ dài đại số trên trục:  Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là đường thẳng trên đó đã xác định điểm O gọi là điểm gốc  vaø moät vectô ñôn vò e  Kí hieäu: (O; e ) O e M    Cho điểm M nằm trên trục (O; e ) Khi đó có số k cho OM = k e Ta gọi số k đó là tọa độ điểm M trục đã cho    Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; e ) Khi đó có số a cho AB = a e Ta gọi số a đó là độ dài đại số vectơ AB hệ trục đã cho và kí hiệu a = AB   * Nhận xét: Nếu AB cùng hướng e thì AB = AB, còn AB ngược hướng e thì AB = -AB Độ dài đại số vectơ OM chính là tọa độ điểm M   Nếu hai điểm A và B trên trục (O; e ) có tọa độ là a và b thì AB = b - a Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N có tọa độ là -4; 3; 5; -2 a) Hãy biểu diễn các điểm đó trên trục số; b) Hãy xác định độ dài đại số các vectơ AB , AM , MN Giaûi: Hệ trục tọa độ: a) Ñònh nghóa:     Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) và (O; j ) vuông góc với  Điểm gốc O chung hai trục gọi là gốc tọa độ   Trục (O; i ) gọi là trục hoành và kí hiệu Ox   Trục (O; j ) gọi là trục tung và kí hiệu Oy      Caùc vectô i vaø j laø caùc vectô ñôn vò treân Ox vaø Oy vaø i  j =   Hệ trục tọa độ (O; i , j ) còn gọi là Oxy truïc tung (Oy) y y trục hoành (Ox) j O i x 2i -1 O x * Chú ý: Khi mặt phẳng đã cho hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ Oxy hay maët phaúng Oxy b) Tọa độ vectơ:       Đối với hệ trục tọa độ (O; i , j ), vectơ u biểu diễn u = x i +y j với (x; y) là cặp số nhaát 112 Hồ Xuân Trọng Hình học 10    Khi đó: cặp số (x; y) gọi là tọa độ vectơ u , kí hiệu là: u = (x; y) hay u (x; y)     Nhö vaäy: u = (x; y)  u = x i + y j * Nhận xét: Hai vectơ và chúng có hoành độ và tung độ  x  x'     Neáu u  ( x; y ) , u '  ( x' ; y ' ) thì u  u '    y  y' c) Tọa độ điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ vectơ OM gọi là tọa độ ñieåm M  Cặp số (x; y) là tọa độ điểm M và OM = (x; y) Ta viết: M(x; y) M = (x; y) Hoành độ điểm M còn kí hiệu xM, tung độ điểm M còn kí hiệu yM y  Gọi M1, M2 là hình chiếu M trên Ox, Oy Khi đó, M(x; y) thì x = OM1 M(x; y) M2 y = OM j O Ví duï 1: Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F trên hình veõ Giaûi: x M1 i y E A D C -6 -4 -5 -3 -2 -1 1 x O -1 -2 -3 F -4 B -5 -6 Ví duï 2: y Biểu diễn các điểm sau đây trên hệ trục tọa độ Oxy: M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2) 1 -6 -5 -4 -3 -2 O -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 113 x Hồ Xuân Trọng Hình học 10 d) Liên hệ tọa độ điểm và tọa độ vectơ mặt phẳng: Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA) Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giaùc ABCD laø hình bình haønh Giaûi:      Tọa độ các vectơ u  v , u  v , ku :   Cho u = (u1; u2) và v = (v1 ; v2) Khi đó:       u  v = (u1 + v1; u2 + v2);  u  v = (u1 - v1; u2 - v2);  k a = (kx; ky) với k  R;        Ví dụ 1: Cho a  (1;2) , b  (3;4) , c  (5;1) Tìm tọa độ vectơ u  2a  b  c Giaûi:      Ví duï 2: Cho a  (1;1), b  (2;1) Haõy phaân tích vectô c  (4;1) theo a vaø b Giaûi:   * Chú ý: Vectơ u =(u1; u2) cùng phương với vectơ v =(v1; v2) với  u  kv1   khaùc cho u  kv hay  u  kv2   Ví dụ 1: Cho u =(2; -5) Tìm x biết b = (6; x) cùng phương với Giaûi:   v  và tồn số thực k  u 114 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 ), C(2; 1) Hãy chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai vectơ AB và AC cùng hướng hay ngược hướng? Giaûi: Ví duï 2: Cho ba ñieåm A(-2; -1), B(3; Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác:   Cho A(xA; yA), B(xB; yB), gọi I(xI; yI) là trung điểm AB Từ đăng thức IA  IB  , hãy tìm tọa độ điểm I?  Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) Khi đó tọa độ trung điểm I(xI; yI) AB tính theo x  xB y  yB công thức: x I  A , yI  A 2  Cho A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), goïi G(xG; yG) laø troïng taâm tam giaùc ABC Haõy phaân tích vectô OG theo ba vectô OA, OB, OC Từ đó hãy tính tọa độ G theo tọa độ A, B, C  Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG; yG) tính theo x  x B  xC y  y B  yC công thức xG  A , yG  A 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2) Tìm tọa độ trung điểm I cạnh AB và troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC Giaûi:  Ghi chuù: 115 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN  Bài 1: Trên trục (O; e ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ là -1; 2; 3; -2 a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục; b) Tính độ dài đại số AB và MN Từ đó suy hai vectơ AB và MN ngược hướng Bài 2: Tìm tọa độ các vectơ sau:           a) a  2i ; b) b  3 j ; c) c  3i  j ; d) d  0,2i  j Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1) Tìm tọa độ đỉnh D      Baøi 4: Cho a =(2; -2), b =(1; 4) Haõy phaân tích vectô c =(5; 0) theo hai vectô a vaø b Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) là trung điểm các cạnh BC, CA và AB tam giác ABC Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác ABC và A'B'C' truøng CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 116 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * 117 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho lục giác ABCDEF có tâm O Hãy các vectơ AB có điểm đầu và điểm cuối là O các đỉnh lục giác Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh a Tính: a) AB  AC ; b) AB  AC Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng: MP  NQ  RS  MS  NP  RQ Bài 4: Chứng minh G và G' là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C' thì ta có đẳng thức: 3GG'  AA'  BB'  CC '    Baøi 5: Cho a = (2; 1), b = (3; -4), c = (-7; 2)     a) Tìm tọa độ vectơ u  3a  2b  4c ;      b) Tìm tọa độ vectơ x cho x  a  b  c ;    c) Tìm caùc soá k vaø h cho c  ka  hb      1   Bài 6: Cho u  i  j , v  mi  j Tìm m để u và v cùng phương Bài 7: Cho tam giác OAB Gọi M, N là trung điểm OA và OB Tìm các số m, n cho: b) AN  mOA  nOB ; a) OM  mOA  nOB ; c) MN  mOA  nOB ; d) MB  mOA  nOB CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 118 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VAØ ỨNG DỤNG - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Caùc ñieåm ñaëc bieät tam giaùc: A A A b c A b c G H R hc hb B a r C a B I C B C M b c O C B a Troïng taâm G cuûa tam giaùc laø Trực tâm H tam giác Tâm O đường tròn ngoại Tâm I đường tròn nội giao điểm ba đường trung ABC laø giao ñieåm ba tieáp ABC laø giao ñieåm tieáp ABC laø giao ñieåm ba đường cao tuyeán, vaø AG  AM ba đường trung trực đường phân giác Tam giaùc vuoâng ABC vuoâng taïi A:  Hệ thức lượng: A A B  B C AC AB sin = cos = BC BC AC AB tan = cot = AB AC 2  Ñònh lí Pitago: BC = AB + AC2  Dieän tích: S = AB.AC Các công thức đặc biệt: H C M  Nghịch đảo đường cao bình phương: BC  Độ dài đường trung tuyến AM =  Công thức khác: AB.AC = AH.BC  Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  Dieän tích caùc hình ñaëc bieät khaùc:  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2  BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh   Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình troøn: S = R2 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: B A N C M  Hình thoi: S = (cheùp daøi  cheùo ngaén)  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao  Hình vuoâng: S = caïnh  caïnh A 1   2 AH AB AC M N P  ABC ∽MNP chúng có hai góc tương ứng AB MN   Neáu ABC ∽MNPthì AC MP 119 C B AM AN MN   AB AC BC Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 Ñònh nghóa: y Nửa đường tròn đơn vị: Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = gọi là nửa đường tròn đơn vị x R=1 O -1  Nếu cho trước góc nhọn  thì ta có thể xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho góc xOM  Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0) Hãy chứng tỏ sin = y0, cos = x0, tan = y0 x , cot = x0 y0 Với góc  (00    1800) ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho góc xOM và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi đó ta định nghĩa:  sin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu sin = y0;  coâsin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu cos = x0; y y  tang cuûa goùc  laø (x0 ≠ 0), kí hieäu tan = ; x0 x0 x x  coâtang cuûa goùc  laø (y0 ≠ 0), kí hieäu cot = y0 y0 y M y0  -1 x0 x R=1 O Các số sin, cos, tan, cot gọi là các giá trị lượng giác góc   Nhắc lại mối quan hệ tọa độ điểm M(x0; y0) và độ dài đại số các vectơ OH vaø OK hình veõ sau: y M(x0;y0) H x0 Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác góc 1350 Giaûi: K y x O y M y0 1350 x0 x O * Chuù yù:  Neáu  laø goùc tuø thì cos, tancot   tan chæ xaùc ñònh  ≠ 900, cot chæ xaùc ñònh  ≠ 00 vaø  ≠ 1800 Tính chaát: y sin(108 -  = sin cos(1080 -  = -cos tan(1080 -  = -tan cot(1080 -  = -cot N M y0  -x0 120 O x0 x Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Giá trị lượng giác các góc đặc biệt:  Giaù trò 00 300 450 600 900 2 2 2  1 lượng giác sin cos tan cot  3 Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác các góc 1200 và 1500 Giaûi: Góc hai vectơ:    Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ Từ   điểm O bất kì ta vẽ OA  a và OB  b Góc AOB với   số đo từ 00 đến 1800 gọi là góc hai vectơ a và b     Ta kí hiệu góc hai vectơ a và b là (a, b )     Nếu (a, b ) = 900 thì ta nói a và b vuông góc với     nhau, kí hiệu là a  b b  a     * Chú ý: Từ định nghĩa ta có (a, b ) = (b, a) A b a a B b O Ví duï: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø coù goùc B = 500 Tính caùc goùc ( BA, BC ), ( AB, BC ), ( CA, CB ), ( AC, BC ), ( AC, CB ), ( AC, BA ) Giaûi: Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác góc:  Tính các giá trị lượng giác góc : AÁn MODE maøn hình xuaát hieän Deg Rad Gra "Độ" ấn để chọn đơn vị đo góc là "độ" "Radian" 121 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Để tính sin, cos, tan góc  ấn sin, cos hay tan  ấn góc  Ví dụ: Tính sin góc  = 63052'41'' ta thực hiện: AÁn sin  aán 63  aán o'''  aán 52 aán o'''  aán 41 aán o'''  aán = ta kết  0.897859012 * Chuù yù: = 60', 1' = 60''  Xác định độ lớn góc biết giá trị lượng giác góc đó: Để xác định xem giá trị a là sin, cos, tan góc  là bao nhiêu độ ta thực hiện:  Choïn ñôn vò cho maùy laø "Deg" aán sin-1, cos-1 hay tan-1  aán soá a  aán = Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện: AÁn sin-1  aán 0.3502  aán =   SHIFT  aán o''' ta kết 20029'58'' Công thức sin2 + cos2: y Với góc  bất kì ta có: sin2 + cos2 * Chú ý: (sin)2 kí hiệu sin2 M K Ví duï1: sin2(2a) + cos2(2a) = x x sin2 + cos2 = 2 R  O H x Ví dụ 2: Cho góc tù x biết sinx = 0,2 Hãy tính các giá trị lượng giác góc x Giaûi:  Ghi chuù: 122 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh rằng: a) sin1050 = sin750; b) cos1700 = -cos100; c) cos1220 = -cos580 Baøi 2: Tính 3sin1350 + cos600 + 4sin1500 Bài 3: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin sin(B + C); b) cosA = -cos(B + C) Bài 4: Cho góc x, với cosx = Tính giá trị biểu thức P = 3sin2x + cos2x Bài 5: Cho AOB là tam giác cân O có OA = a và có các đường cao OH và AK Giả sử góc AOH  Tính AK vaø OK theo a vaø  Baøi 6: Cho hình vuoâng ABCD Tính: cos( AC , BA) , sin( AC, BD) , cos( AB, CD ) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 123 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ñònh nghóa:       Cho hai vectơ a và b khác vectơ Tích vô hướng a và b là số, kí hiệu là a.b , xác định công thức sau:      a.b  a b cos(a , b )      * Chú ý:  Nếu a = b = ta quy ước a.b =        Với a và b khác vectơ ta có a.b   a  b         Khi a  b tích vô hướng a a = a a cos 0 kí hiệu là a và số này gọi là bình  phương vô hướng vectơ a  2 Ta có: a  a (bình phương vô hướng vectơ bình phương độ dài nó) Ví dụ: Cho tam giác ABC có cạnh a và có chiều cao AH Tính các tích vô hướng AB AC , AC.CB , AH.BC Giaûi: Các tính chất tích vô hướng:    Với ba vectơ a, b , c bất kì và số k ta có:   a.b  b.a      a.(b  c )  a.b  a.c      (ka).b  k (a.b )  a.(kb )     a  0, a   a  (tính chất giao hoán) (tính chaát phaân phoái) Từ các tính chất tích vô hướng, ta có:            (a  b )2  a  2a.b  b  (a  b )  a  2a.b  b        (a  b )(a  b )  a  b Biểu thức tọa độ tích vô hướng:     Trên mặt phẳng tọa độ (O, i , j ) , cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ) , b  (b1 ; b2 ) Khi đó:  a.b  a1b1  a2 b2    * Nhận xét: Cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ) , b  (b1 ; b2 ) khác vectơ Ta có:    a  b  a.b  Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2) Chứng minh AB  AC Giaûi: 124 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm M(-3; 4), N(1; -3) Tìm điểm P trên trục Ox cho tam giaùc MNP vuoâng taïi P Giaûi: Ứng dụng:  a) Độ dài vectơ: Độ dài vectơ a  (a1 ; a2 ) tính theo công thức:  2 a  a1  a2    b) Góc hai vectơ: Cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ) , b  (b1 ; b2 ) khác thì ta có:  a1b1  a2 b2 a.b   cos( a, b )     ab a12  a22 b12  b22 Ví dụ: Tính góc hai vectơ OM  (2;1) và ON  (3;1) Giaûi: c) Khoảng cách hai điểm: Khoảng cách hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) tính: AB  AB  ( x B  x A )  ( y B  y A )2 Ví dụ: Tính khoảng cách hai điểm M(-2; 2), N(1; 1) Giaûi:  Ghi chuù: 125 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a Tính các tích vô hướng AB AC , AC.CB Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a, có trọng tâm G a) Tính các tích vô hướng: AB.CA , GA.GB theo a b) Tính sin(GA, GB) , cos( AB, CG ) , tan(GA, BG) , cot( AB, BC)   Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy hãy tính góc hai vectơ a, b các trường hợp sau:       a) a  (2;3), b  (6;4) ; b) a  (3;2),b  (5;1) ; c) a  (2;2 ), b  (3; ) Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2) Chứng minh tứ giác ABCD laø hình vuoâng Bài 5: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1) Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm C có tung độ cho tam giác ABC vuông C Baøi 6: Treân maët phaúng Oxy, cho hai ñieåm A(1; 3), B(4; 2) a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox cho DA = DB; b) Tính chu vi tam giaùc OAB; c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(8; 9), C(5; -3) a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b) Tính: chu vi tam giác ABC, số đo góc A ABC, tọa độ trực tâm H ABC Bài 8: Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB Với điểm M tùy ý, tính MA.MB theo AB và MI Bài 9: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b Tính tích vô hướng OA.OB hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB; b) Điểm O nằm đoạn AB Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn cho hai daây cung AM vaø BN caét taïi I a) Chứng minh AI AM  AI AB và BI BN  BI BA b) Hãy dùng kết câu a) để tính AI AM + BI.BN theo R CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 126 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VAØ GIẢI TAM GIÁC Ñònh lí coâsin: a) Định lí: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta coù: A b c a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC B a C b) Heä quaû: b2  c2  a a2  c2  b2  cos B  bc ac 2 a b c  cos C  ab Ví dụ: Tam giác ABC có BC = 8, AB = 3, AC = Lấy điểm D trên cạnh BC cho BD = Tính độ dài đoạn AD Giaûi:  cos A  c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B và C Ta có: A b2  c2 a2  ma b c 2 a c b2  mb  mc mb 2  a b c C a  mc2  B M Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm Hãy tính độ dài các đường trung tuyến tam giác ABC đã cho Giaûi: ma2  127 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Ñònh lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta coù: a b c    2R sin A sin B sin C A b c O R a B Ví duï: Cho tam giaùc ABC coù b = 7cm, c = 5cm vaø cosA = C Tính a, sinA và bán kính đường tròn ngoại tieáp ABC Giaûi: Công thức tính diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi R và r là bán kính đường tròn abc ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC Gọi p = là nửa chu vi ABC Kí hiệu ha, hb, hc là chiều cao ABC ứng với các đỉnh A, B, C và S là diện tích ABC Ta có: 1 aha  bhb  chc moät phaàn hai caïnh 2 đáy nhân chiều cao 1 S = ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 abc S= nửa tích số hai cạnh 4R nhân sin góc xen S = pr S = p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê-rông) A S= c b O R r B a C Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a = 13m, b = 14m vaø c = 15m a) Tính dieän tích tam giaùc ABC; b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC Giaûi: 128 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Ví duï 2: Tam giaùc ABC coù caïnh a = , caïnh b = vaø goùc C = 300 Tính caïnh c, goùc A vaø dieän tích tam giaùc ABC Giaûi: Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc: a) Giaûi tam giaùc: Giaûi tam giaùc laø tìm moät soá yeáu toá cuûa tam giaùc cho bieát caùc yeâu toá khaùc Ví duï 1:Cho tam giaùc ABC bieát caïnh a = 17,4m, goùc B = 44030' vaø goùc C = 640 Tính goùc A vaø caùc caïnh b, c Giaûi: Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC coù caïnh a = 49,4cm, b = 26,4cm vaø goùc C = 47020' Tính caïnh c, goùc A vaø goùc B Giaûi: 129 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 b) Ứng dụng vào việc đo đạc:  Vấn đề 1: Để đo chiều cao cây sân (không leo lên cây) ta làm nào?  Vấn đề 2: Muốn biết sông rộng bao nhiêu ta làm sao? (không có phương tiện qua sông) 130 Hồ Xuân Trọng Hình học 10  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho tam giác ABC có a = , b = 2, c = + Tính các góc A, B, bán kính R đường tròn ngoại tiếp, trung tuyến ma tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, góc B = 580 và cạnh a = 72cm Tính góc C, cạnh b, cạnh c và đường cao Baøi 3: Cho tam giaùc ABC bieát caùc caïnh a = 52,1cm, b = 85cm vaø c = 54cm Tính caùc goùc A, B vaø C Baøi 4: Cho tam giaùc ABC coù goùc A = 1200, caïnh b = 8cm vaø c = 5cm Tính caïnh a vaø caùc goùc B, C cuûa tam giác đó Bài 5: Tính diện tích S tam giác có số đo các cạnh là 7, và 12 Baøi 6: Tam giaùc ABC coù goùc A = 1200 Tính caïnh BC cho bieát caïnh AC = m vaø AB = n Baøi 7: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a = 8cm, b = 10cm vaø c = 13cm a) Tam giác đó có góc tù không? b) Tính độ dài đường trung tuyến MA tam giác ABC đó Bài 8: Tính các góc lớn tam giác ABC biết a) Caùc caïnh a = 3cm, b = 4cm vaø c = 6cm; b) Caùc caïnh a = 40cm, b = 13cm vaø c = 37cm Baøi 9: Cho tam giaùc ABC bieát caïnh a = 137,5cm, goùc B = 830 vaø goùc C = 570 Tính goùc A, baùn kính R cuûa đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c tam giác Bài 10: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) a = bcosC + ccosB; b) sinA = sinBcosC + sinCcosB b2  c  a Bài 11: Chứng minh tam giác ABC ta có: cotA = 4S Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n Chứng minh ta có đẳng thức sau: m2 + n2 = 2(a2 + b2) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 131 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 132 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * 133 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN    Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a  (3;1) và vectơ b  (2;2) , hãy tính tích vô hướng a.b Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A = 600, BC = Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Baøi 3: Cho tam giaùc ABC coù a = 12, b = 16, c = 20 Tính dieän tích S cuûa tam giaùc, chieàu cao ha, caùc baùn kính R, r các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) Goùc A nhoïn vaø chæ a2 < b2 + c2; b) Goùc A tuø vaø chæ a2 > b2 + c2; c) Goùc A vuoâng vaø chæ a2 = b2 + c2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 134 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đường thẳng y = ax + b: Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng gọi là đường thẳng y = ax + b Hệ số góc đường thẳng: y d x   Tang góc  tạo đường thẳng d với trục Ox gọi là hệ số góc đường thẳng d k = tan  Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a O Đường tròn:  Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách điểm O khoảng R Đường tròn tâm O, bán kính R thường kí hiệu C(O; R) C(O; R) = {M  OM = R}  Tiếp tuyến đường tròn là đường thẳng tiếp xúc Tieáp ñieåm M với đường tròn điểm R  Tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính Tiếp tuyến đường tròn tieáp ñieåm O  Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (O; R) và khoảng cách từ O đến  bán kính R Quan hệ hai vectơ:  Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng      u cuøng phöông v k  R\{0} : u =k v     u  v  u.v =  Ghi chuù: 135 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng:  Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  là đồ thị hàm số y  x a) Tìm tung độ hai điểm M0 và M nằm trên  , có hoành độ là và b) Cho vectơ u  2;1 Hãy chứng tỏ M M cùng phương với u  Vectơ u gọi là vectơ phương đường thẳng     u  và giá u song song trùng với  Nhaän xeùt:    Nếu u là vectơ phương đường thẳng  thì ku (k ≠ 0) là vectơ phương  Do đó đường thaúng coù voâ soá vectô chæ phöông  Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm và vectơ phương đường thẳng đó y Vectơ phương đườ ng thẳng u v x O Phương trình tham số đường thẳng: a) Ñònh nghóa:  Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ u  (u1 ; u2 ) làm vectơ  x  x  u1t chæ phöông coù phöông trình tham soá laø:  , đó t  R là tham số  y  y  u2 t x   6t  Hãy tìm ít ba điểm trên đường thẳng :  y   8t vaø hai vectô chæ phöông cuûa noù b) Liên hệ vectơ phương và hệ số góc đường thẳng:  u Nếu đường thẳng  có vectơ phương u  (u1 ; u2 ) với u1 ≠ thì  có hệ số góc k  u1 Ví dụ: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua hai điểm A(2; 3) và B(3; 1) Tính hệ số góc cuûa d Giaûi: Vectơ pháp tuyến đường thẳng: x  5  2t  Cho đường thẳng :  y   3t và vectơ n  3; 2  Hãy chứng tỏ n vuông góc với vectơ phương  136 Hồ Xuân Trọng Hình học 10  Vectơ n gọi là vectơ pháp tuyến đường thẳng y  n  và n vuông góc với vectơ phương  Nhaän xeùt:  Nếu n là vectơ pháp tuyến đường thẳng  thì k n k   là vectơ pháp tuyến  Do đó đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến  Một đường thẳng hoàn toàn xác định bieát moät ñieåm vaø moät vectô phaùp tuyeán cuûa noù Vectơ pháp tuyến đường thẳng u n x O Phương trình tổng quát đường thẳng: a) Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  qua điểm M0(x0; y0) và nhận n  a; b  làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = hay ax + by + c = với c = ax0 + by0 Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = thì  có vectơ pháp   tuyeán laø n = (a; b) vaø coù moät vectô chæ phöông laø u = (-b; a) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát đường thẳng  qua hai điểm A(2; 2) và B(4; 3) Giaûi: b) Các trường hợp đặc biệt: Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = (1) y c  Nếu a = thì (1) trở thành bx + c = hay y   b Khi đó đường thẳng  vuông góc với trục Oy điểm (0;  - c ) b c b x O y  Nếu b = thì (1) trở thành ax + c = hay x =  c a c Khi đó đường thẳng  vuông góc với trục Ox điểm (  ;0 ) a - O 137 c a x Hồ Xuân Trọng Hình học 10 y  Nếu c = thì (1) trở thành ac + by = Khi đó đường thẳng  qua gốc tọa độ O x O  Nếu a, b, c khác ta có thể đưa (1) dạng x y   với a0 b0 c c a0   , b0   Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn a b cuûa  Đường thẳng này cắt Ox và Oy M(a0; O) và N(0; b0) y - c b - O c a x Vị trí tương đối hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát là: a1x + b1y + c1 = vaø a2x + b2y + c2 = a x  b1 y  c1  Tọa độ giao điểm 1 và  là nghiệm hệ phương trình:  a2 x  b2 y  c2  Ta có các trường hợp sau: a) Heä (I) coù moät nghieäm (x0; y0)  caét  taïi ñieåm M  x0 ; y0  (I) b) Heä (I) coù voâ soá nghieäm  1 truøng  c) Heä (I) voâ nghieäm  1 song song  Ví dụ : Cho đường thẳng d có phương trình x - y + = 0, xét vị trí tương đối d với đường thẳng sau: 1: 2x + y - = 0, 2: x - y - = 0, 3: 2x - 2y + = Giaûi: 138 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Góc hai đường thẳng:  Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và các cạnh AB = 1, AD = Tính soá ño caùc goùc AID vaø DIC A D I B Cho hai đường thẳng 1: a1x + b1y + c1 = 0, 2: a2x + b2y + c2 = Góc hai đường thẳng 1, 2 kí hiệu là (1, 2) a1 a2  b1 b2 Đặt  = (1, 2), đó ta có: cos   a12  b12 a22  b22 C n1  n2  Ví dụ: Tính góc hai đường thẳng 1: 3x - y + = và 2: 2x - 4y + 19 = Giaûi: * Chuù yù:    1  2  n1  n2  a1a2 + b1b2 =  Nếu 1 và 2 có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì 1  2  k1.k2 = -1 Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = và điểm M0(x0; y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), tính công thức: ax  by0  c d M ,    a  b2 Ví dụ: Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 1) và O đến đường thẳng  có phương trình 3x - 2y - = Giaûi:  Ghi chuù: 139 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Lập phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau:  a) d ñi qua ñieåm M(2; 1) vaø coù vectô chæ phöông u = (3; 4)  b) d ñi qua ñieåm M(-2; 3) vaø coù vectô phaùp tuyeán laø n =(5; 1) Bài 2: Lập phương trình tổng quát đường thẳng  trường hợp sau: a)  ñi qua M(-5; -8) vaø coù heä soá goùc k = -3; b)  ñi qua hai ñieåm A(2; 1) vaø B(-4; 5) Bài 3: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua điểm A(1; -2) và song song đường thẳng d: 2x - 3y - = a)  ñi qua hai ñieåm M(1; -1) vaø N(3; 2) a)  qua điểm P(2; 1) và vuông góc đường thẳng d: x - y + = Baøi 4: Cho tam giaùc ABC, bieát A(1; 4), B(3; -1) vaø C(6; 2) a) Lập phương trình tổng quát các đường thẳng AB, BC và CA; b) Lập phương trình tổng quát đường cao AH và trung tuyến AM Baøi 5: Cho tam giaùc ABC, bieát A(-4; 1), B(2; 4) vaø C(2; -2) a) Tính cosA; b) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB Bài 6: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây: x   t a) d1 : x  10 y   vaø d : x  y   ; b) d1 : 12 x  y  10  vaø d2 :  ;  y   2t  x  6  5t  x  1  5t  x  6  5t' c) d1 : x  10 y  12  vaø d2 :  ; d) d1 :  vaø d2 :  y   t  y   4t  y   4t'  x   2t Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình tham số  Tìm ñieåm M thuoäc d vaø caùch ñieåm A(0; 1) y   t khoảng Bài 8: Tìm số đo góc hai đường thẳng d1: 4x - 2y + = và d2: x - 3y + = Bài 9: Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng các trường hợp sau: a) A(3; 5), : 4x + 3y + = 0; b) B(1; -2), d: 3x - 4y - 26 = 0; c) C(1; 2), m: 3x + 4y - 11 = Bài 10: Tìm bán kính đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y - 10 = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 140 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 141 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước: y Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là: M(x; y) R (x - a)2 + (y - b)2 = R2 b * Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O vaø coù baùn kính R laø: x2 + y2 = R2 I(a; b) x O a Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a) (C) coù taâm I(1; -2) vaø ñi qua ñieåm A(3; 5) b) (C) nhận AB làm đường kính với A(3; -4) và B(-3; 4) c) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng x + y = d) (C) ñi qua ñieåm M(1; 2), N(5; 2) vaø P(1; -3) Giaûi: Nhaän xeùt: 142 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = là phương trình đường tròn (C) và a2 + b2 - c > Khi đó (C) có bán kình là R = a  b  c Ví dụ: Tìm tọa độ tâm và độ dài bán kính đường tròn (C) x2 + y2 - 2x + 4y - = Giaûi:  Hãy cho biết phương trình nào các phương trình sau đây là phương trình đường tròn: 2x2 + y2 - 8x + 2y - = 0; x2 + y2 + 2x - 4y - = 0; 2 x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = x + y - 2x - 6y + 20 = 0; Phương trình tiếp tuyến đường tròn: M Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R Tiếp tuyến  điểm M(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) có phöông trình: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = M0 I Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(3; 4) thuộc đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = Giaûi:  Ghi chuù: 143 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau: a) x2 + y2 - 2x - 2y - = 0; b) 16x2 + 16y2 + 16x - 8y - 11 = 0; c) x2 + y2 - 4x + 6y - = Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a) (C) coù taâm I(-2; 3) vaø ñi qua M(2; -3); b) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x - 2y + = 0; c) (C) có đường kính AB với A(1; 1) và B(7; 5) Bài 3: Lập phương trình đường tròn qua ba điểm: a) A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) b) M(-2; 3), N(5; 5), P(6; -2) Bài 4: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1) Bài 5: Cho đường tròn có phương trình x2 + y2 - 4x + 8y - = a) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm A(-1; 0); b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn, biết nó vuông góc với đường thẳng x + 2y = Bài 6: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm trên đường thẳng  có phöông trình 4x - 2y - = Bài 7: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 4x + 8y - = a) Tìm tọa độ tâm và bán kính (C); b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A(-1; 0); c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x - 4y + = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 144 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa đường elip:  Cho hai điểm cố định F1 , F2 và độ dài không đổi 2a lớn F1 F2 Elip là tập hợp các điểm M maët phaúng cho: F1 M  F2 M  2a  Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm elip Độ dài F1 F2  2c gọi là tiêu cự elip Phöông trình chính taéc cuûa elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1(-c; 0), F2(c; 0) Khi đó phương trình chính tắc elip (E) coù daïng: x2 y2   với b2 = a2 - c2 a2 b2 B2 M(x; y) A1 A2 O F1 F2 x B1 Hình daïng cuûa elip:  (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O b B  (E) caét truïc Ox taïi hai ñieåm A1(-a; 0), A2(a; 0) vaø caét  (E) caét truïc Oy taïi hai ñieåm B1(0; -b), B2(0; b) A A -a F (-c; 0) O F (c; 0) a x  Caùc ñieåm A1, A2, B1, B2 goïi laø caùc ñænh cuûa elip  Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục -b B nhoû cuûa elip c  Tỉ số = e gọi là tâm sai elip a x2 y2  Hãy xác định các đỉnh, tiêu điểm và độ dài các trục elip  E  Ví duï 1: Cho elip  E  :  Giaûi: 2 1 Ví duï 2: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát: a) (E) có độ dài trục lớn 10 và tiêu cự 6; b) (E) có độ dài trục lớn 8, tăm sai e = Giaûi: 145 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 Liên hệ đường tròn và đường elip: a) Từ hệ thức b  a  c ta thấy tiêu cự elip càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ elip càng gần trục lớn Lúc đó elip có dạng gần đường tròn b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x  y  a Với điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta xét điểm M'(x'; y')  x '  x b (với < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa cho  '  y y  a x ' y' mãn phương trình   là elip (E) Khi đó ta nói đường tròn a b (C) co thành elip (E)  Ghi chuù: y M(x; y) M'(x'; y') O H x BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh các elip có phương trình sau: x2 y2   1; a) b) 4x2 + 9y2 = 1; c) 4x2 + 9y2 = 36 25 Baøi 2: Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip (E) , bieát: 12 a) (E) có độ dài trục lớn, trục nhỏ là và 6; b) (E) ñi qua hai ñieåm M(0; 3), N(3;  ); c) Elip coù moät tieâu ñieåm laø F1(  ; 0) vaø ñieåm M(1; ) naèm treân (E) Bài 3: Để cắt bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên ván ép hình 3.19 Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 146 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG III * 147 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Biết các đỉnh A(5; 1), C(0; 6) và phương trình CD: x + 2y - 12 = Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại Baøi 2: Cho ba ñieåm A(4; 3), B(2; 7) vaø C(-3; -8) a) Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H tam giác ABC; b) Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh T, G và H thẳng hàng; c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 3: Lập phương trình hai đường phân giác các góc tạo đường thẳng : x  y  12  và đường thaúng d: 12 x  y   Bài 4: Tìm góc hai đường thẳng 1 và  các trường hợp sau: a) 1 : x  y   vaø  : x  y   ; b) 1 : y  2 x  vaø  : y  x  2 x2 y2   Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó Baøi 5: Cho elip (E): 16 Bài 6: Cho đường thẳng : x - y + = và hai điểm O, A(2; 0) a) Tìm điểm đối xứng O qua  ; b) Tìm điểm M trên  cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn Bài 7: Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính Chứng minh tập hợp các điểm M mà từ đó ta vẽ hai tiếp tuyến với (C) tạo với góc 600 là đường tròn Hãy viết phương trình đường tròn đó Bài 8: Cho A(1; 2), B(-3; 1) và C(4; -2) Tìm tập hợp các điểm M cho MA2  MB  MC Bài 9: Tìm tập hợp các điểm cách hai đường thẳng 1: 5x + 3y - = và 2: 5x + 3y + = Bài 10: Ta biết Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là elip mà Trái Đất là tiêu điểm Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ là 769 266 km và 769 106 km Tính khoảng cách ngắn và khoảng cách dài từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết các khoảng cách đó đạt Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn elip CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 148 Hồ Xuân Trọng Hình học 10 * OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM *         Bài 1: Cho hai vectơ a và b có a = 3, b = 5, ( a, b ) = 1200 Với giá trị nào m thì hai vectơ a  mb và   a  mb vuông góc với nhau? Baøi 2: Cho tam giaùc ABC vaø hai ñieåm M, N cho AM   AB , AM   AC 2 a) Haõy veõ M, N  = ,  =  ; 3 b) Hãy tìm mối liên hệ  và  để MN song song với BC Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a a) Cho M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính MA  MB  MC theo a; b) Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d cho NA  NB  NC nhỏ Bài 4: Cho tam giác ABC có cạnh cm Một điểm M nằm trên cạnh BC cho BM = cm a) Tính độ dài đoạn thẳng AM và tính côsin góc BAM; b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM; c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh C tam giác ACM; d) Tính dieän tích tam giaùc ABM Bài 5: Chứng minh tam giác ABC có: a) a = bcosC + ccosB; b) sinA = sinBcosC + sinCcosB; c) = 2RsinBsinC Baøi 6: Cho caùc ñieåm A(2;3 ), B(9; 4), M(5; y) vaø P(x; 2) a) Tìm y để tam giác AMB vuông M; b) Tìm x để ba điểm A, P và B thẳng hàng Bài 7: Cho tam giác ABC với H là trực tâm Biết phương trình đường thẳng AB, BH và AH là 4x + y - 12 = 0, 5x - 4y - 15 = và 2x + 2y - = Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba Bài 8: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng : 4x + 3y - = và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x + y + = và d2: 7x - y + = x2 y2   Baøi 9: Cho elip (E): 100 36 a) Hãy xác định tọa độ đỉnh, các tiêu điểm elip (E) và vẽ elip đó; b) Qua tiêu điểm elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip hai điểm M và N Tính độ dài đoạn MN 149 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT HAØM SỐ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các giá trị lượng giác cung (góc) :  sin luoân xaùc ñònh  R vaø sin( + k2) = sin cos luoân xaùc ñònh  R vaø cos( + k2) = cos  -  sin  (sin 1) -  cos  (cos  1)  tan xaùc ñònh     k vaø tan(k) = tan; cot xaùc ñònh   k vaø cot( + k) = cot  Dấu các giá trị lượng giác góc  Phaàn tö Giá trị lượng giác sin cos tan cot I II III IV + + + + + - + + + - Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:  (00) sin cos tan cot kxñ  (300) 3  (450)  (600) 2 2 2 1 3 Công thức lượng giác bản:  sin2 + cos2 =   tan    (900) kxñ  (   k , k  Z) 2 cos   (  k, k  Z)  tan.cot = (   k , k  Z) 2 sin  Giá trị lượng giác các cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-) và  Cung hôn keùm : ( + ) vaø  Cung buø:( - ) vaø  Cung phuï:(  - ) vaø  sin(-) = -sin sin( - ) = sin sin( + ) = -sin  sin( - ) = cos cos(-) = cos cos( - ) = -cos cos( + ) = -cos   cot   tan(-) = -tan tan( - ) = -tan cot(-) = -cot cot( - ) = -cot  - ) = sin  tan( - ) = cot  cot( - ) = tan cos( - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 150 tan( + ) = tan cot( + ) = cot Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: Công thức nhân đôi: Công thức hạ bậc:  cos 2a cos(a - b) = cosacosb + sinasinb sin2a = 2sinacosa cos a  2 cos(a + b) = cosacosb - sinasinb cos2a = cos a - sin a 2  cos 2a sin(a - b) = sinacosb - cosasinb = cos a - sin a  2 sin(a + b) = sinacosb + cosasinb = - 2sin a  cos 2a tan a  tan b 2tana tan a  tan( a  b)  tan 2a   cos 2a  tan a tan b  tan a tan a  tan b tan( a  b)   tan a tan b Công thức biến tích thành tổng: Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] cosu + cosv = 2cos 2 uv uv sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] cosu - cosv = -2sin sin 2 uv uv sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] sinu + sinv = 2sin cos 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2  Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a - 3cosa  Công thức sina + cosa: sina + cosa = sina + cosa =  Ghi chuù:  )  cos(a - )  )  sina - cosa = - cos(a + ) sin(a + sina - cosa = sin(a - - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 151 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §1 HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC I- ÑÒNH NGHÓA: Haøm soá sin vaø haøm soá coâsin: a) Haøm soá sin: y y B sinx M' sinx M x A' O A x O x x B'  Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx sin: R  R x  y = sinx gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá sin laø: D = R b) Haøm soá coâsin: y y B M'' cosx M x A' O cosx A x O x x B'  Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx cos: R  R x  y = cosx gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá coâsin laø: D = R Haøm soá tang vaø haøm soá coâtang: a) Haøm soá tang: sin x  Hàm số tang là hàm số xác định công thức y = (cosx ≠ 0), kí hieäu laø y = tanx cos x  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = tanx laø: D = R\{  + k, k  Z} b) Haøm soá coâtang:  Hàm số côtang là hàm số xác định công thức y = cos x (sinx ≠ 0), kí hieäu laø y = cotx sin x  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = cotx laø: D = R\{k, k  Z}  Nhaéc laïi ñònh nghóa haøm soá chaün, haøm soá leû Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) vaø y = cot(x) - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 152 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy các hàm số y = tanx và y = cotx là hàm số lẻ II- TÍNH TUẦN HOAØN CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC:  Giải nghĩa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống Tìm số T cho f(x + T) = f(x) với x thuộc tập xác định các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx  Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2  Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2  Hàm số y = tanx và y = cotx là hàm số tuần hoàn, với chu kì  III- SỰ BIẾN THIÊN VAØ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC: Haøm soá y = sinx:  Hàm số y = sinx xác định với x  R và -1  sinx  1;  Laø haøm soá leû;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]: x3 x4 y y B x2 sinx2 sinx1 A' sinx2 x1 sinx1 A x O O x1 x2 x3  x4  x B'   ] vaø nghòch bieán treân [ ; ] 2 Hàm số y = sinx đồng biến trên [0; Baûng bieán thieân:  x  y = sinx 0 y * Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, ta đồ thị hàm số trên đoạn [-; 0] - -  O   x -1 b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R: y - 5 -2 - - -  3  3 O  -1 2 5 x 2 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 153 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 c) Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = sinx: Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = sinx laø T = [-1; 1] Haøm soá y = cosx:  Hàm số y = cosx xác định với x  R và -1  cosx  1;  Laø haøm soá chaün;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;  Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghịch biến trên [0; ]  Baûng bieán thieân: x -  y = cosx -1 -1  Đồ thị hàm số y = cosx: y - 5 - - -2 - 3   O  3 2 2 -1  Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = cosx laø T = [-1; 1] Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx gọi chung là các đường hình sin Haøm soá y = tanx:  Taäp xaùc ñònh: D = R\{   k , k  Z};  Laø haøm soá leû;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;  ): y B M2 T2 tanx2 T1 tanx1 A O M1 A' O x1 x2 B' Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;  ) - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 154 5  x x Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Baûng bieán thieân:  - x  + y = tanx * Nhaän xeùt: Khi x caøng gaàn   thì đồ thị hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x = 2 b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D:    Đồ thị hàm số y = tanx trên ( ; ) : 2 y - O   Đồ thị hàm số y = tanx trên D: -3 x y - -  3  O   2 x  Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = tanx laø T = (-; +) Haøm soá y = cotx:  Taäp xaùc ñònh: D = R\{k, k  Z};  Laø haøm soá chaün;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; ): Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; )  x  + y = tanx - - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 155 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 y  O  x b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D: y -2 -3 - O -  2   3 2 x  Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = cotx laø T = (-; +)  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 156 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Hãy xác định các giá trị x trên đoạn [-; a) Nhaän giaù trò baèng 0; c) Nhaän giaù trò döông; Baøi 2: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá:  cos x  cos x a) y = ; b) y = ;  cos x sin x 3 ] để hàm số y = tanx: b) Nhaän giaù trò baèng 1; d) Nhaän giaù trò aâm  c) y = tan( x  ) ; d) y = cot( x   ) Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị x để hàm số đó nhận giá trị dương Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị x để hàm số đó nhận giá trị âm Bài 6: Tìm giá trị lớn các hàm số: a) y = cos x + 1; b) y = - 2sinx Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị x để cosx = Bài 7: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị hàm số y = sinx Bài 8: Chứng minh sin2(x + k) = sin2x với số nguyên k Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Xeùt tính chaün - leû cuûa moãi haøm soá sau: a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos2x + tanx Bài 2: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = 2cos(x +  ) + 3; b) y =  sin( x ) - 1; c) y = 4sin x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 157 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phöông trình sinx = a: Xeùt phöông trình sinx = a (a  R) (1) Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp a  1:  x    k 2 sinx = sin   (k  Z )  x      k 2 sinx = a sin M' B a K A' -1 M A O  x  arcsin a  k 2 sinx = a   (k  Z )  x    arcsin a  k 2 coâsin -1 B' * Chuù yù: sin u( x )  sin   u( x )    k 2 [  k 360 ] (k  Z )   0 [sin u( x )  sin  ] u( x )      k 2 [180    k 360 ]  sinu(x) = a (-1  a  1) sin u( x )  a  u( x )  arcsin a  k 2 [arcsin a  k 360 ] (k  Z )   0 (sin u( x )  a) u( x )    arcsin a  k 2 [180  arcsin a  k 360 ]  f ( x )  g( x )  k 2 (k  Z )  Toång quaùt: sin[f(x)] = sin[g(x)]    f ( x )    g( x )  k 2  Ñaëc bieät:  + k2, k  Z  sin[f(x)] = -1  f(x) = - + k2, k  Z sin[f(x)] =  f(x) = sin[f(x)] =  f(x) = k, k  Z Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: 1 a) sinx = ; b) sinx = ; c) sin2x = 1; Giaûi: 10 d) sin(x + 450) = - - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 158 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Phöông trình cosx = a: Xeùt phöông trình cosx = a (a  R) (2) Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm Trường hợp a  1:  x    k 2 cosx = cos   (k  Z )  x    k 2 cosx = a sin B M A' -1  x  arccos a  k 2 cosx = a   (k  Z )  x   arccos a  k 2 A a O coâsin H M' -1 B' * Chuù yù: cos u( x )  cos  u( x )    k 2 [  k 360 ] (k  Z )   0 [cos u( x )  cos  ]  u( x )    k 2 [   k 360 ]  cosu(x) = a (-1  a  1) cos u( x )  a u( x )  arccos a  k 2 [arccos a  k 360 ] (k  Z )   [cos u( x )  a]  u( x )   arccos a  k 2 [ arccos a  k 360 ]  f ( x )  g( x )  k 2  Toång quaùt: cos[f(x)] = cos[g(x)]   (k  Z )  f ( x )   g( x )  k 2  Ñaëc bieät: cos[f(x)] =  f(x) = k2, k  Z cos[f(x)] = -1  f(x) =  + k2, k  Z cos[f(x)] =  f(x) =  + k, k  Z Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) cosx = cos Giaûi:  ; b) cos3x = - ; c) cosx = ; d) cos(x + 600) = - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 159 11 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Phöông trình tanx = a: tanx = tan  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z] tanx = a tanx = a x = arctana + k, k  Z [x = arctana + k1800, k  Z] * Chuù yù: tan[u(x)] = tan  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  tan[u(x)] = a tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k  Z [ux) = arctana + k1800, k  Z]  Toång quaùt: tan[f(x)] = tan[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z  Ñaëc bieät: tan[u(x)] =  u(x) = k, k  Z Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau:  b) tan2x = - ; c) tan(3x + 150) = a) tanx = tan ; Giaûi: Phöông trình cotx = a: cotx = cot  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z] cotx = a cotx = a x = acrcota + k, k  Z [x = acrcota + k1800, k  Z] * Chuù yù: cot[u(x)] = cot  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  cot[u(x)] = a cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k  Z [ux) = acrcota + k1800, k  Z]  Toång quaùt: cot[f(x)] = cot[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z  Ñaëc bieät: cot[u(x)] =  u(x) = Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: 2 a) cot4x = cot ; 12  + k, k  Z b) cot3x = -2; - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 160 c) cot(2x - 100) = Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Giaûi:  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 161 13 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) sin(x + 2) = ; b) sin3x = 1; 2x   )=- ; c) sin( d) sin(x + 200) = 3 2 Bài 2: Với giá trị nào x thì giá trị các hàm số y = sin3x và y = sinx nhau? Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: a) cos(x - 1) = ; b) cos3x = cos120; 3x  1 c) cos( d) cos22x =  )=- ; 4 cos x  Baøi 4: Giaûi phöông trình  sin x Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: a) tan(x - 150) = ; b) cot(3x - 1) = - ; c) cos2x.tanx = 0; d) sin3xcotx = Bài 6: Với giá trị nào x thì giá trị các hàm số y = tan(  - x) vaø y = tan2x baèng nhau? Baøi 7: Giaûi caùc phöông trình sau: a) sin3x - cos5x = 0; b) tan3x.tanx = Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm nghiệm các phương trình sau khoảng đã cho: a) sin2x =  với < x < ; b) cos(x - 5) = với - < x < ; 2  1 c) tan(2x - 150) = với -1800 < x< 900; d) cot3x = với  < x < Baøi 2: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa moãi haøm soá sau:  cos x sin( x  2) a) y = ; b) y = cos x  cos x sin x  tan x ; d) y = c) y =  tan x cot x  CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 14 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 162 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Phương trình bậc hàm số lượng giác là phương trình dạng: at + b = đó a, b là các số (a ≠ 0) và t là các hàm số lượng giác Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho phương trình lượng giác Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: d) cotx - = a) 2sinx - = 0; b) 5cosx + = 0; c) tanx + = 0; Giaûi: II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC: Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác là phương trình dạng: at2 + bt + c = đó a, b, c là các số (a ≠ 0) và t là các hàm số lượng giác Caùch giaûi: Ñaët aån phuï (ñieàu kieän cho aån phuï neáu coù), giaûi phöông trình theo aån phuï roài ñöa veà vieäc giaûi các phương trình lượng giác Ví duï: Giaûi phöông trình sau: x x 2 c) 2sin + sin - = a) 3cos x - 5cosx + = 0; b) 3tan x - tanx + = 0; Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 163 15 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VAØ cosx: Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx: asinx + bcosx = a  b sin(x + ) với cos = a a2  b2 vaø sin = b a2  b2 Phöông trình daïng asinx + bcosx = c: Xeùt phöông trình asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1) Nếu a = 0, b ≠ (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc hàm số lượng giác c Neáu a ≠ 0, b ≠ thì (1)  a  b sin(x + ) = c  sin(x + ) = a2  b2 Ví duï 1: Giaûi phöông trình sinx + cosx = Giaûi: Ví duï 2: Giaûi phöông trình 3sin3x - 4cos3x = Giaûi:  Ghi chuù: 16 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 164 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) sin2x - sinx = 0; b) 2cos2x - 3cosx + = 0; c) 2tan2x + 3tanx + = Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: a) cosx - sinx = ; b) sin3x - cos3x = ; c) 2sinx + 2cosx - = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: x x a) 2sin2x + sin4x = 0; b) sin  cos   ; c) tanx - 2cotx + = 2 Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2; c) sin2x + sin2x - 2cos2x = ; d) 2cos2x - 3 sin2x - 4sin2x = -4 Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1; b) tanx + tan(x + Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – = 0; c) (1 - b) 2sin2x - 3 (sinx + cosx) + = 0; )(1 + sinx – cosx) = sin2x; d) cosx – sinx + 3sin2x – = 0; e) 5sin2x + sinx + cosx + = 0; f) sin2x + Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) cosxcos5x = cos2xcos4x; c) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x; Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: a) sinx + cosx = 2sin(2x +  ) = sin(x -  ) = b) sin2x + sin4x = sin6x; d) (sinx – cosx)2 – ( + 1)(sinx – cosx) +  ); b) 2sinx(cosx - 1) = b) cos3x - sinx = (cosx - sin3x); Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau:   a) cos[ cos( x  )]  ; c) cosx - sinx = = cos2x; (sin3x - cos3x)  b) tan[ (cos x  sin x)]  CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 165 17 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * 18 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 166 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: a) Haøm soá y = cos3x coù phaûi laø haøm soá chaün khoâng? Taïi sao? b) Haøm soá y = tan(x +  ) coù phaûi laø haøm soá leû khoâng? Taïi sao? Bài 2: Căn vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm giá trị x trên đoạn [  a) Nhaän giaù trò baèng -1; b) Nhaän giaù trò aâm Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: x a) sin(x + 1) = ; b) sin22x = ; c) cot2 = ; Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2cos2x - 3cosx + = 0; Bài 5: Tìm giá trị lớn các hàm số sau: a) y = 3 ; 2] để hàm số đó: d) tan(  + 12x) = - 12 b) 2sinx + cosx =  ) - 2; cos x 2(1  cos x ) + 1; b) y = 3sin(x - c) y = - 4sinx; d) y = 2 Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá:  cos x tan x  cot x a) y = ; b) y =   sin x  tan( x  ) Bài 2: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = 2cos( x   ) + 3; b) y =  sin( x ) - 1; c) y = 4sin x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 167 19 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 CHƯƠNG II TỔ HỢP - XÁC SUẤT - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tập hợp:  Tập rỗng:  là tập hợp không chứa phần tử nào  Taäp con: A B A  B  x : x  A  x  B )  Số tập tập có n phần tử là 2n Các phép toán trên tập hợp: Giao Hợp  A = B  A  B vaø B  A  Tính chaát: a) A  A với tập hợp A b) Neáu A  B vaø B  C thì A  C c)   A với tập hợp A  Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập hợp số không có phần tử Hieäu Phaàn buø B A A B  A  B ={xx  A vaø x  B} x  A x  B  x A B   A B A  A  B ={xx  A x  B} x  A x  B  x A B   B  A\ B ={xx  A vaø x  B} x  A x  B  x A\ B   Khi B  A thì A\B goïi laø phaàn buø cuûa B B A, kí hieäu C A Daáu hieäu chia heát:  Số chia hết cho là số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6;  Số chia hết cho là số có chữ số tận cùng là  Số chia hết cho là số có tổng các chữ số chia hết cho  Số chia hết cho là số có tổng các chữ số chia hết cho Số và chữ số: số có ba chữ số 128  Ghi chuù: chữ số 20 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 168 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §1.QUY TẮC ĐẾM Số phần tử hữu hạn tập hợp A kí hiệu n(A) A a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử tập hợp A là 3, ta viết n(A) = A = b) Neáu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} vaø B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7} - Số phần tử tập hợp A là n(A) = - Số phần tử tập hợp B là n(B) = - Số phần tử tập hợp A\B là n(A\B) = I- Quy taéc coäng: Quy tắc: Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động có n cách thực (không trùng với bất kì cách nào hàng động thứ nhất) thì công việc đó có m + n cách thực * Chú ý:  Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động  Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao Vậy A và B là các tập hữu hạn không giao thì n(A  B) = n(A) + n(B) II- Quy taéc nhaân: Quy tắc: Một công việc hoàn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ và ứng với cách đó có n cách thực hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công vieäc * Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp B Ví dụ 1: Một mạng đường các thành phố A, B, C, D sau: A D (Số hai địa điểm số đường hai địa điểm đó) C Có bao nhiêu cách từ thành phố A đến thành phố D? Giaûi: Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) chữ số; b) chữ số khác Giaûi: Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và chia heát cho 5? - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 169 21 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Giaûi: Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác nhau? Giaûi:  Có bao nhiêu số điện thoại gồm chữ số  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tựnhiên gồm: a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau? Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên bé 100? Bài 3: Các thành phố A, B, C, D nối với các đường (như hình vẽ) A B C D Hoûi: a) Có bao nhiêu cách từ A đến D mà qua B và C lần? b) Có bao nhiêu cách từ A đến D rối quay lại A? Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đồng hồ gồm mặt và dây? Bài 5: Lớp 11CB1 có 20 nam và 24 nữ Có bao nhiêu cách chọn ban cán lớp người gồm lớp trưởng nam, lớp phó nam và lớp phó nữ Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn số là số chẵn là số nguyeân toá Bài 2: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá ba chữ số khác nhau? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 22 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 170 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP I- HOÁN VỊ:  Coù bao nhieâu caùch saép xeáp ba baïn A, B, C vaøo moät baøn daøi coù choã ngoài Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi là hoán vị n phần tử đó * Nhận xét: Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp Số các hoán vị: Kí hiệu Pn là số các hoán vị n phần tử Ta có: Pn = n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n! Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau, các chữ số lấy từ tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Giaûi: II- CHỈNH HỢP:  Có bao nhiêu cách chọn hai bạn giữ chức vụ bí thư và phó bí thư chi đoàn số bạn đắc cử ban chấp hành Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A và xếp chúng theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử đã cho Số các chỉnh hợp: Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k n phần tử (1  k  n) Ta có: Ank = n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1) * Chuù yù: a) Với quy ước 0! = 1, ta có: Ank = n! (1  k  n)(n, k  N) (n  k )! b) Mỗi hoán vị n phần tử chính là chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Pn = Ann  Ví dụ: Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm điểm phân biệt Có bao nhiêu vectơ khác vectơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? Giaûi: III- TỔ HỢP:  Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt A, B, C, D (không có ba điểm nào thẳng hàng) Liệt kê tất các đoạn thẳng tạo thành từ các điểm đó? Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi là tổ hợp chập k n phần tử đã cho * Chú ý: Vì tập  (0 phần tử) là tập tập A nên ta có điều kiện  k  n Số các tổ hợp: Kí hiệu C nk là số các tổ hợp chập k n phần tử Ta có: Cnk  n! (0  k  n) (n, k  N) k!(n  k )! - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 171 23 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm nam và nữ Cần lập đoàn đại biểu gồm người Hỏi: a) Coù taát caû bao nhieâu caùch laäp? b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, đó có ba nam, hai nữ Giaûi: Tính chaát cuûa caùc soá C nk : a) Tính chaát 1: Cnk  Cnnk (0  k  n) Ví duï: C73  C74 b) Tính chất 2: Cnk11  Cnk1  Cnk (1 k < n) - công thức Pascal Ví duï: C73  C74  C84 Ví dụ: Chứng minh rằng, với  k  n - 2, ta có: Cnk  Cnk22  2Cnk21  Cnk2 Giaûi:  Ghi chuù: 24 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 172 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập các số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi: a) Coù taát caû bao nhieâu soá? b) Coù bao nhieâu soá chaün, bao nhieâu soá leû? c) Coù bao nhieâu soá beù hôn 432000? Bài 2: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành dãy Bài 3: Giả sử có bảy bông hoa màu khác và ba lọ khác Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm bông)? Baøi 4: Trong maët phaúng, cho saùu ñieåm phaân bieät cho khoâng coù ba ñieåm naøo thaúng haøng Hoûi coù theå lập bao nhiêu tam giác mà các đỉnh nó thuộc tập điểm đã cho? Bài 5: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác nhau? Baøi 6: Coù bao nhieâu caùch caém boâng hoa vaøo loï khaùc (moãi loï caém khoâng quaù moät boâng) neáu: a) Caùc boâng hoa khaùc nhau? b) Caùc boâng hoa nhö nhau? Bài 7: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường thẳng song song với và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó? Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu vào bàn hình tròn? Bài 2: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn người trực lớp a) Moät caùch tuøy yù; b) Có đúng nữ; c) Có ít nữ; d) Có nhiều hai nữ Bài 3: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào: a) Moät caùch tuyø yù; b) Lớp trưởng là nữ; c) Có đúng nữ; d) Có ít nữ CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 173 25 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §3 NHỊ THỨC NEWTON I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:  Khai triển đẳng thức (a + b)3 và viết lại các hệ số dạng tổ hợp chập k phần tử? Trong khai triển đó thành phaàn naøo laø soá haïng? thaønh phaàn naøo laø heä soá cuûa soá haïng? (a  b)n  Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2 b   Cnk a nk b k   Cnn1ab n1  Cnn b n Heä quaû:  Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = Cn0  Cn1   Cnn  Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = Cn0  Cn1   (1)k Cnk   (1)n Cnn * Chú ý: Vế phải khai triển nhị thức NewTon: a) Số các hạng tử là n + 1; b) Tổng các số mũ a và b hạng tử luôn n (quy ước a0 = b0 = 1) c) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu và cuối thì Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)6 Giaûi: Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (2x - 3)4 Giaûi: Ví dụ 3: Chứng tỏ với n  4, ta có: Cn0  Cn2  Cn4   Cn1  Cn3   n1 Giaûi: II- TAM GIAÙC PASCAL: n = n = n = n = n = n = n = 26 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 174 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: a) (a + b)5; b) (a - )6; c) (x - 13 ) x ) x2 Bài 3: Từ khai triển biểu thức (3x - 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số đa thức nhận Baøi 4: Bieát heä soá cuûa x2 khai trieån cuûa (1 - 3x)n laø 90 Tìm n Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khai triển ( x  )8 x Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm số hạng thứ năm khai triển (x + )10, mà khai triển đó số mũ x giảm dần x Bài 2: Trong khai triển (1 + ax)n ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2 Haõy tìm a vaø b Bài 2: Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức (x + CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 175 27 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §4 PHÉP THỬ VAØ BIẾN CỐ I- PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:  Khi gieo súc sắc lần, em có biết trước kết không? Hãy liệt kê các kết có thể có việc gieo súc saéc laàn? Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước kết nó, mặc dù đã biết tập hợp tất các kết có thể có phép thử đó Không gian mẫu: Tập hợp các kết có thể xảy phép thử gọi là không gian mẫu phép thử và kí hiệu là  Ví dụ: Mô tả không gian mẫu các phép thử sau: a) Gieo đồng tiền lần; b) Gieo đồng tiền lần; c) Gieo moät suùc saéc laàn Giaûi: II- BIEÁN COÁ:  Hãy gieo đồng tiền hai lần, mô tả không gian mẫu Xét kiện A: "Kết hai lần gieo là nhau", hãy viết lại kiện A theo kiểu liệt kê các phần tử tập hợp A là tập hợp các khả có thể xảy kiện trên? Em hãy cho thêm vài kiện khác? A  Bieán coá laø moät taäp cuûa khoâng gian maãu * Chuù yù: i) Các biến cố thường kí hiệu các chữ in hoa A, B, C, Khi nói: "cho các biến cố A, B, C" (mà không nói gì thêm) thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến phép thử ii) Các biến cố thường cho mệnh đề mô tả biến cố mệnh đề xác định tập khoâng gian maãu Ví dụ: Một hộp chứa bốn cái thẻ đánh số 1, 2, 3, Lấy ngẫu nhiên hai thẻ a) Moâ taû khoâng gian maãu b) Xác định biến cố A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn" mệnh đề mô tả tập con; c) Xác định biến cố B = {(2, 4), (1, 3)} mệnh đề Giaûi: 28 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 176 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11  Hãy nêu đặc điểm khác tồn hai biến cố A: "Con súc sắc xuất mặt chấm" và B: "Con súc sắc xuất mặt có số chấm không vượt quá 6" thực phép thử gieo súc sắc lần?  Tập  gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) Còn tập  gọi là biến cố chaén * Chú ý: Biến cố A xảy phép thử nào đó và kết phép thử đó là phần tử tập A (hay thuận lợi cho A) III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ: a) Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử Tập \A gọi là biến cố đối biến cố A, kí hieäu laø A b) Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có:  Tập A  B gọi là hợp các biến cố A và B; A  B xảy và A xảy B xaûy  Tập A  B gọi là giao các biến cố A và B (còn viết tắt là A.B); A  B xảy và A và B đồng thời xảy  Neáu A  B =  thì ta noùi A vaø B xung khaéc; A vaø B xung khaéc vaø chæ chuùng khoâng naøo cuøng xaûy Kí hieäu Ngôn ngữ biến cố A A laø bieán coá A= A laø bieán coá khoâng A A= A laø bieán coá chaéc chaén B C=AB C là biến cố "A B" C=AB C laø bieán coá "A vaø B" AB= A vaø B xung khaéc A và B đối B= A Ví dụ: Xét phép thử gieo đồng tiền hai lần với các biến cố A: "kết hai lần gieo là nhau", B: "Có ít lần xuất mặt sấp", C: "Lần thứ hai xuất mặt sấp" và D: "Lần đầu xuất hiệ n maët saáp" a) Xác định các biến cố A, C, D dạng mệnh đề mô tả tập hợp b) Xaùc ñònh caùc bieán coá C  D vaø A  D Giaûi:  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 177 29 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Gieo moät suùc saéc hai laàn a) Moâ taû khoâng gian maãu b) Phát biểu các biến cố sau dạng mệnh đề: A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}; B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}; C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Bài 2: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, a) Hãy biểu diễn các biến cố A: "Không bắn trúng", B: "Cả hai bắn trúng", C: "Có đúng người bắn trúng" và D: "Có ít người bắn trúng" qua các biến cố A1, A2 b) Chứng tỏ A = D ; B và C xung khắc Bài 3: Gieo đồng tiền liên tiếp lần đầu tiên xuất mặt sấp bốn lần ngửa thì dừng lại a) Moâ taû khoâng gian maãu; b) Xác định các biến cố A: "Số lần gieo không vượt quá ba" và B: "Số lần gieo là bốn" Bài 4: Gieo đồng tiền ba lần a) Moâ taû khoâng gian maãu b) Xác định các biến cố A: "Lần đầu xuất mặt sấp", B: "Mặt sấp xảy đúng lần" và C: "Mặt ngửa xảy ít lần" Bài 5: Một hộp chứa năm cầu đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần lần và xếp theo thứ tự từ trái sang phải a) Moâ taû khoâng gian maãu b) Xác định các biến cố A: "Chữ số sau lớn chữ số trước", B: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau" và C: "Hai chữ số nhau" Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Gieo đồng tiền, sau đó gieo súc sắc Quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) đồng tiền và số chấm suất trên súc sắc a) Xây dựng không gian mẫu b) Xác định các biến cố A: "Đồng tiền xuất mặt sấp và súc sắc xuất mặt chẵn chấm", B: "Đồng tiền xuất mặt ngửa và súc sắc xuất mặt lẻ chấm" và C: "Mặt chấm xuất hiện" Bài 2: Từ hộp chứa 10 cái thẻ, đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, màu đỏ, thẻ đánh số màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng Lấy ngẫu nhiên thẻ a) Moâ taû khoâng gian maãu b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố A: "Lấy thẻ màu đỏ", B: "Lấy thẻ màu trắng" và C: "Lấy thẻ ghi số chẵn" Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C các tập hợp tương ứng không gian mẫu CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 30 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 178 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §5 XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN COÁ I- ÑÒNH NGHÓA COÅ ÑIEÅN CUÛA XAÙC SUAÁT:  Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối và đồng chất lần Mô tả không gian mẫu và cho biết khả xuất moãi maët laø bao nhieâu? Khaû naêng xuaát hieän cuûa bieán coá A: "Con suùc saéc xuaát hieän maët leû" laø bao nhieâu? Định nghĩa: Giả sử là biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả n( A ) naêng xuaát hieän Ta goïi tæ soá laø xaùc suaát cuûa bieán coá A, kí hieäu laø P(A) n( ) n( A ) P(A) = n( ) * Chú ý: n(A) là số phần tử A hay là số các kết thuận lợi cho biến cố A, còn n() là số các kết có thể xảy phép thử Caùc ví duï: Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) A: "Maët saáp xuaát hieän hai laàn"; b) B: "Mặt sấp xuất đúng lần"; c) C: "Maët saáp xuaát hieän ít nhaát moät laàn" Giaûi: Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một súc sắc cân đối và đồng chất Tính xác suất biến cố: a) A: "Maët chaün xuaát hieän"; b) B: "Xuaát hieän maët coù soá chaám chia heát cho 3"; c) C: "Xuaát hieän maët coù soá chaám khoâng beù hôn 3" Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 179 31 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Ví dụ 3: Gieo ngẫu nhiên một súc sắc cân đối và đồng chất hai lần Tính xác suất các bieán coá sau: a) A: "Soá chaám hai laàn gieo baèng nhau"; b) B: "Toång soá chaám baèng 8" Giaûi: II- TÍNH CHAÁT CUÛA XAÙC SUAÁT: Định lí: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Khi đó:  P(P  P với biến cố A.  Nếu A và B xung khắc, thì P(A  B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Hệ quả: Với biến cố A, ta có: P( A ) = - P(A) Caùc ví duï: Ví dụ 1: Từ hộp chứa ba cầu trắng, hai cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai Hãy tính xác suất cho hai đó: a) Khaùc maøu; b) Cuøng maøu Giaûi: Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 cầu đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất caùc bieán coá sau: a) A: "Nhận cầu ghi số chẵn"; b) B: "Nhận cầu ghi số chia hết cho 3"; c) A  B; d) C: "Nhận cầu ghi số không chia hết cho 6" Giaûi: 32 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 180 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 III- CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT: Ví dụ: Bạn thứ có đồng tiền, bạn thứ hai có súc sắc (đều cân đối, đồng chất) Xét phép thử "Bạn thứ gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo súc sắc" a) Mô tả không gian mẫu phép thử này b) Tính xaùc suaát cuûa caùc bieán coá sau: A: "Đồng tiền xuất mặt sấp"; B: "Con suùc saéc xuaát hieän maët chaám"; C: "Con suùc saéc xuaát hieän maët leû" c) Chứng tỏ P(A.B) = P(A).P(B); P(A.C) = P(A).P(C) Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 181 33 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối và đồng chất hai lần a) Haõy moâ taû khoâng gian maãu b) Xaùc ñònh caùc bieán coá sau: A: "Toång soá chaám xuaát hieän hai laàn gieo khoâng beù hôn 10" B: "Maët chaám xuaát hieän ít nhaát moät laàn" c) Tính P(A), P(B) Bài 2: Gieo súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm Xét phương trình x2 + bx + = Tính xaùc suaát cho: a) Phöông trình coù nghieäm; b) Phöông trình voâ nghieäm; c) Phöông trình coù nghieäm nguyeân Bài 3: Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng lúc bốn Tính xác suất cho: a) Cả bốn là át; b) Được ít át; c) Được hai át và hai K Bài 4: Một người chọn ngẫu nhiên hai giày từ bốn đôi giày cỡ khác Tính xác suất để hai chon tạo thành đôi Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Có bốn bìa đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên ba a) Haõy moâ taû khoâng gian maãu b) Xaùc ñònh caùc bieán coá sau: A: "Toång caùc soá treân ba taám bìa baèng 8"; B: "Các số trên ba bìa là ba số tự nhiên liên tiếp" c) Tính P(A), P(B) Bài 2: Hai bạn nam và hai bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện Tính xaùc suaát cho: a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau; b) Nữ ngồi đối diện Bài 3: Có hai hộp chứa các cầu Hộp thứ chứa trắng, đen Hộp thứ hai chứa trắng, đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Kí hiệu: A là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ trắng" và B là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng" a) Xét xem A và B có độc lập không b) Tính xaùc suaát cho hai quaû caàu laáy cuøng maøu c) Tính xaùc suaát cho hai quaû caàu laáy khaùc maøu CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 34 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 182 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 183 35 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, cho: a) Các chữ số có thể giống nhau; b) Các chữ số khác Bài 2: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau; b) Ba baïn nam ngoài caïnh Baøi 3: Gieo moät suùc saéc ba laàn Tính xaùc suaát cho maët saùu chaám xuaát hieän ít nhaát moät laàn Bài 4: Từ hộp chứa sáu cầu trắng và bốn cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn Tính xaùc suaát cho: a) Boán quaû laáy cuøng maøu; b) Coù ít nhaát moät quaû maøu traéng Bài 5: Cho lục giác ABCDEF Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm ghi trên thẻ đó là: a) Caïnh cuûa luïc giaùc; b) Đường chéo lục giác; c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác Bài 6: Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn; b) Tích caùc soá chaám treân hai suùc saéc laø soá leû Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Trong khai triển (x + a)3(x - b)6, hệ số x7 là -9 và không có số hạng chứa x8 Tìm a và b Baøi 2: Bieát raèng heä soá cuûa xn - khai trieån (x - )n baèng 31 Tìm n CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 36 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 184 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 CHÖÔNG III DAÕY SOÁ - CAÁP SOÁ COÄNG - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tính chaát chia chaát cuûa moät toång:  Nếu tất các số hạng tổng chia hết cho cùng số thì tổng chia hết cho số đó  Nếu có số hạng tổng không chia hết cho số, còn các số hạng khác chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó Tính chất luỹ thừa với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta coù: am a0 = a1 = a am.an = am + n = am – n n a n a a ( ) n  n (b ≠ 0) (am)n = am.n (ab)n = anbn b b Tính chất bất đẳng thức:  a < b  a + c < b + c;  Với c > thì a < b  ac < bc;  Với c > thì a < b  ac > bc; + 2n + 2n +  Với n  Z thì a < b  a <b ;  Với n  Z+ thì < a < b  a2n < b2n; a  b 0  a  b   a + c < b + d;    ac < bd; c  d 0  c  d  Với a > thì a < b  a < a<b b; a < b , a  R  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 185 37 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC  Xét mệnh đề chứa biến dạng P(n) ="3n < n + 100" và Q(n) = "2n > n" với n  N* a) Với n = 1, 2, 3, 4, thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b) Với n  N * thì P(n), Q(n) đúng hay sai? I– PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Bước Kiểm tra mệnh đề đúng với n = Bước Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k  (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh nó đúng với n = k + II– VÍ DUÏ AÙP DUÏNG: Ví dụ 1: Chứng minh với n  N* thì + + + … + (2n – 1) = n2 Giaûi:  Chứng minh với n  N* thì + + + + n = n(n  1) Ví dụ 2: Chứng minh với n  N* thì n3 - n chia hết cho Giaûi: 38 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 186 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 n * n  Cho hai số và 8n với n  N So sánh với 8n n = 1, 2, 3, 4, và sau đó dự đoán kết chứng minh * Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với số tự nhiên n  p (p là số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k  p và phải chứng minh nó đúng với n = k +  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Chứng minh với n  N*, ta có các đẳng thức: n(3n  1) a) + + +…+ 3n – = ; 1 1 2n  b)     n  n ; 2 n (n  1)(2n  1) c) 12 + 22 + 32 +…+ n2 = 1 n     Baøi 2: Cho toång Sn = với n  N* 1.2 2.3 n(n  1) n  a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh quy nạp Bài 3: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh là n(n  3) Bài 4: Chứng minh với n  N*, ta có: c) n3 + 11n chia heát cho 6; a) n3 + 3n2 + 5n chia heát cho 3; b) n + 15n – chia heát cho 9; Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức: a) 3n  3n  ; b) 2n 1  2n  Bài 2: Chứng minh tam giác ABC vuông A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với số tự nhiên n  2, ta có bất đẳng thức bn + cn  an CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 187 39 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §2 DAÕY SOÁ I– ÑÒNH NGHÓA:  Cho haøm soá f(n) = , n  N* Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) 2n  1 Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* gọi là dãy số vô haïn (goïi taét laø daõy soá) Kí hieäu: u: N*  R n  u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…, đó un = u(n) viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát dãy số Ví dụ: Chỉ số hạng đầu và số hạng tổng quát các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên lẻ; b) Daõy soá chính phöông Giaûi: Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m} với m  N* gọi là dãy số hữu hạn Dạng khai triển nó là u1, u2, u3,…, um, đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối Ví duï: a) -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có: u1 = và = 13 1 1 , là dãy số hữu hạn có: u1 = ., u5 = b) , , , 16 32 II– CAÙCH CHO MOÄT DAÕY SOÁ: Dãy số cho công thức số hạng tổng quát: 3n Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = (-1)n n Ta coù: u5 = Daïng khai trieån: Ví dụ 2: Viết số hạng đầu tiên dãy số cho công thức un = n n 1 Giaûi:  Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát các dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo các số tự nhiên lẻ; b) Dãy các số tự nhiên chia cho dư 40 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 188 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Daõy soá cho baèng phöông phaùp moâ taû: Ví dụ: Số  là số thập phân vô hạn không tuần hoàn: 3,141 592 653 589 Lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu số  với sai số tuyệt đối 10-n, ta có: u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = ; u4 = .; u5 = Daõy soá cho baèng phöông phaùp truy hoài: Ví dụ: Viết 10 số hạng đầu dãy số (un) xác định sau: u1  u2   (Fibonacci)  un  un1  un2 với n  Giaûi:  Haõy cho moät daõy soá khaùc baèng phöông phaùp truy hoài III– BIEÅU DIEÃN HÌNH HOÏC CUÛA DAÕY SOÁ: Ví dụ: Các số hạng dãy số cho công thức un = n 1 biễu diễn trên trục số sau: n 4 u4 u3 2 u2 u1 u(n) IV– DAÕY SOÁ TAÊNG, DAÕY SOÁ GIAÛM VAØ DAÕY SOÁ BÒ CHAËN:  Cho các dãy số (un) và (vn) với un =  n , = 5n - Tính un+1 và vn+1, chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, n  N* Daõy soá taêng, daõy soá giaûm:  Dãy số (un) gọi là dãy số tăng ta có un+1 > un với n  N*  Dãy số (un) gọi là dãy số giảm ta có un+1 < un với n  N*  Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm: Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = 2n – là dãy số tăng Giaûi: Ví dụ: Dãy số (un) với un = n laø daõy soá giaûm 3n Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 189 41 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  3 , tức là dãy soá: -3, 9, -27, 81,… khoâng taêng vaø cuõng khoâng giaûm n  Chứng minh các bất đẳng thức n vaø n   1, n  N *  2n n 1 2 Daõy soá bò chaën:  Dãy số (un) gọi là bị chặn trên tồn số M cho un  M, n  N*  Dãy số (un) gọi là bị chặn tồn số m cho un  m, n  N*  Dãy số (un) gọi là bị chặn nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn các số m, M cho m  un  M , n  N* Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = Giaûi: n bò chaën n 1  Ghi chuù: 42 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 190 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Viết năm số hạng đầu các dãy số có số hạng tổng quát un cho công thức: 2n  n a) un = n ; b) un = n ; 1 1 n n  1 c) un = 1   ; d) un =  n n2  Bài 2: Cho dãy số (un), biết: u1 = -1, un+1 = un + với n  a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – Baøi 3: Xeùt tính taêng, giaûm cuûa caùc daõy soá (un), bieát: n 1 a) un =  ; b) un = ; n 1 n 2n  c) un = (-1)n(2n + 1); d) un = 5n  Bài 4: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? a) un = 2n2 – 1; b) un = ; n(n  2) c) un = ; d) un = sinn + cosn 2n  Bài 5: Dãy số (un) cho bởi: u1 = 3, un+1 =  un2 , n  a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó phương pháp quy nạp Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho dãy số (un) với un = n2 - 4n + a) Viết công thức truy hồi dãy số; b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới; c) Tính tổng n số hạng dãy đã cho u1   Bài 2: Dãy số (un) xác định công thức  u  u  n vớ i n  n  n1 a) Tìm công thức số hạng tổng quát; b) Tính số hạng thứ 100 dãy số CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 191 43 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §3 CAÁP SOÁ COÄNG  Biết bốn số hạng đầu dãy số là -1, 3, 7, 11 Từ đó quy luật viết tiếp năm số hạng dãy đã cho theo quy luật đó I– ÑÒNH NGHÓA:  Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn vô hạn), đó kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi d  Số d gọi là công sai cấp số cộng  Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: un+1 = un + d với n  N*  Đặc biệt d = thì cấp số cộng là dãy số không đổi (tất các số hạng nhau) Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1, -3, -7, -11, -15 Giaûi:  Cho (un) là cấp số cộng có sáu số hạng với u1 =  , d = Vieát daïng khai trieån cuûa noù II– SOÁ HAÏNG TOÅNG QUAÙT:  Hai baïn chôi troø xeáp caùc que dieâm thaønh hình thaùp treân mặt sân Cách xếp thể hình bên Hỏi tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế tháp? taàng taàng taàng Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1 + (n – 1)d với n  Ví duï: Cho caáp soá coäng (un), bieát u1 = -5, d = a) Tìm u15 b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu? c) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên trục số Nhận xét vị trí điểm u2, u3, u4 so với hai ñieåm lieàn keà Giaûi: 44 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 192 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 III– TÍNH CHAÁT CAÙC SOÁ HAÏNG CUÛA CAÁP SOÁ COÄNG: Định lí: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) là trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u  uk 1 với k  uk = k 1 IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG: Định lí: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un Khi đó: n(u1  un ) Sn = * Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết: n(n  1) d Sn = nu1 + Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = 3n – a) Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng Tìm u1 và d b) Tính tổng 50 số hạng đầu c) Bieát Sn = 260, tìm n Giaûi:  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 193 45 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm số hạng đầu và công sai các cấp số cộng sau, biết: u1  u3  u5  10 u7  u3  a)  ; b)  u1  u6  17 u2 u7  75 Bài 2: Trong các bài toán cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn a) Hãy viết các hệ thức liên hệ các đại lượng đó Cần phải biết ít đại lượng để có thể tìm các đại lượng còn lại? b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống: u1 -2 d -4 27 un 55 Sn 120 17 n 20 15 -5 12 72 -205 Bài 3: Từ đến 12 trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nó đánh chuông báo và số tiếng chuông số giờ? Bài 4: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai nó n  3n a) un = – 2n; b) un =  ; c) un = 3n ; d) un = 2 Bài 5: Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang từ tầng lên tầng hai goàm 21 baäc, moãi baäc cao 18 cm a) Viết công thức để tìm độ cao bậc tuỳ ý so với mặt sân b) Tính độ cao sàn tầng hai so với mặt sân Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Chứng minh ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số 1 , , theo thứ tự lập thành cấp số cộng b c c a a b Bài 2: Có thể cómột tam giác mà số đo các cạnh và chu vi nó lập thành cấp số cộng khoâng? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 46 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 194 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §4 CAÁP SOÁ NHAÂN  Hãy tìm quy luật dãy số: 2, 4, 8, 16, 32, 64 và viết tiếp số hạng dãy theo quy luật đó Nhận xét cách tổng quát mối quan hệ số hạng và số hạng đứng trước nó dãy I– ÑÒNH NGHÓA:  Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn vô hạn), đó kể từ số hạng thứ hai, số hạng là tích số hạng đứng trước nó với số không đổi q  Số q gọi là công bội cấp số nhân  Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un 1  un q với n  N* * Ñaëc bieät: Khi q = 0, caáp soá nhaân coù daïng u1, 0, 0,…,0,… Khi q = 1, caáp soá nhaân coù daïng u1, u1, u1,…, u1,… Khi u1 = thì với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,… Ví dụ: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số nhân: -4, 1, - 1 1 , , 16 64 Giaûi:  Nếu ô thứ trên bàn cờ vua đặt hạt thóc, ô thứ hai đặt hạt, ô thứ ba đặt hạt, Hãy tính xem ô thứ 11 có hạt? II– SOÁ HAÏNG TOÅNG QUAÙT: Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un xác định công thức: un  u1.q n 1 với n  Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q =  a) Tính u7; b) Hoûi là số hạng thứ mấy? 256 Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 195 47 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Ví dụ 2: Tế bào E.Coli điều kiện nuôi cấy thích hợp 20 phút lại phân đôi lần a) Hỏi tế bào sau mười lần phân chia thành bao nhiêu tế bào? b) Nếu có 105 tế bào thì sau hai phân chia thành bao nhiêu tế bào? Giaûi:  Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q =  .Viết năm số hạng đầu dãy và so sánh u22 với tích u1 u3 , u32 với tích u2 u4 ; Từ đó nhận xét tổng quát từ kết trên III– TÍNH CHAÁT CAÙC SOÁ HAÏNG CUÛA CAÁP SOÁ NHAÂN: Định lí: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: uk2  uk 1.uk 1 (hay uk  uk 1.uk 1 ) với k   Nếu ô thứ trên bàn cờ vua đặt hạt thóc, ô thứ hai đặt hạt, ô thứ ba đặt hạt, Hãy tổng số hạt thóc 11 ô đầu IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN: Định lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q  Đặt Sn  u1  u2   un Khi đó: Sn  u1 (1  q n ) 1 q * Chú ý: Nếu q = thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… Khi đó Sn = n.u1 Ví dụ: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18 Tính tổng mười số hạng đầu tiên Giaûi:  Tính toång S =  48 1    n 3 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 196 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với công bội q a) Bieát u1 = 2, u6 = 486 Tìm q? b) Bieát q = , u4 = Tìm u1? 21 c) Biết u1 = 3, q = -2 Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy? Baøi 2: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân (un) coù naêm soá haïng, bieát: a) u3 = vaø u5 = 27 b) u4 – u2 = 25 vaø u3 – u1 = 50 Bài 3: Tỉ lệ tăng dân số tỉnh X là 1,4% Biết số dân tỉnh là 1,8 triệu người Hỏi với mức tăng thì sau năm, 10 năm số dân tỉnh đó là bao nhiêu? 1 Bài 4: Chứng minh các dãy số ( n ) , ( n ) , (( ) n ) là các cấp số nhân 2 Bài 5: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng năm số hạng đầu là 31 và tổng năm số haïng sau laø 62 Bài 6: Cho hình vuông C1 có cạnh Người ta chia cạnh hình vuông thành bốn phần và nối các điểm chia cách thích hợp để có hình vuông C2 Từ hình vuông C2 lại làm tiếp trên, ta nhận dãy các hình vuông C1, C2, C3, …, Cn,… Gọi an là độ dài cạnh hình vuông Cn Chứng minh daõy soá (an) laø moät caáp soá nhaân Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho dãy số (un) với un = 22n + a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân nêu nhận xét tính tăng, giảm dãy số; b) Lập công thức truy hồi dãy số; c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ dãy số này? Bài 2: Cho bốn số nguyên dương, đó ba số đầu lập thành cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng là 36, tìm bốn số đó CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 197 49 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG III * 50 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 198 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Chứng minh với n  N*, ta có: a) 13n  chia heát cho b) 3n3  15n chia heát cho Bài 2: Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1 = 2un -1 (với n  ) a) Viết năm số hạng đầu dãy b) Chứng minh un = 2n 1  phương pháp quy nạp Baøi 3: Xeùt tính taêng, giaûm vaø bò chaën cuûa caùc daõy soá (un), bieát: 1 n 1 a) un  n  ; b) un =  1 sin ; c) un = n 1  n n n Bài 4: Tìm số hạng đầu u1 và công sai d các cấp số cộng (un), biết: u7  u15  60 5u1  10u5  a)  ; b)  S4  14 u4  u12  1170 Bài 5: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q các cấp số nhân (un), biết: u2  u5  u4  10 u6  192 u4  u2  72 a)  ; b)  ; c)  u5  u3  144 u3  u6  u5  20 u7  384 Bài 6: Tứ giác ABCD có số đo (độ) các góc lập thành cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D Biết góc C gấp năm lần góc A Tính các góc tứ giác? Baøi 7: Bieát raèng ba soá x, y, z laäp thaønh moät caáp soá nhaân vaø ba soá x, 2y, 3z laäp thaønh moät caáp soá coäng Tìm coâng boäi cuûa caáp soá nhaân Bài 8: Người ta thiết kế cái tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt trên tầng nửa diện tích mặt trên tầng bên và diện tích bề mặt trên tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12 288 m2 Tính diện tích mặt trên cùng? Baøi taäp naâng cao: 1 Bài 1: Chứng minh các số a2, b2, c2 lập thành cấp số cộng (abc  0) thì các số , , bc ca cuõng laäp thaønh moät caáp soá coäng ab Baøi 2: Tính toång: 2n  a)     n ; b) 12 - 22 + 32 - 42 + + (-1)n-1.n2 2 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 199 51 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tính chaát cuûa caên baäc hai:  A neáu A  A2  A    A neáu A   Ghi chuù: 52 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 200 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: Ñònh nghóa:  Ta nói dãy số (un) có giới hạn là n dần tới dương vô cực, un có thể nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở Kí hieäu: lim un  hay un n   n    Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay dần tới a) n   , lim (vn – a) = n   Kí hieäu: lim = a hay vn a n   n   Ví dụ: Cho dãy số (vn) với = 2n  Chứng minh lim = n   n Giaûi: Một vài giới hạn đặc biệt: Từ định nghĩa ta suy các kết sau: 1  ; lim k  với k nguyên dương; a) lim n   n n   n n b) lim q  neáu q  ; n   c) Neáu un = c (c laø haèng soá) thì lim un = lim c = c n   n   * Chú ý: Từ sau thay cho lim un = a, ta viết tắt là limun = a n   II– ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN: Ñònh lí: a) Neáu limun = a vaø limvn = b thì:  lim(un + vn) = a + b;  lim(un – vn) = a – b; u a  lim n  (neáu b  0) b  lim(un.vn) = a.b; b) Nếu un  với n và limun = a thì a  và lim un  a 3n  n Ví duï 1: Tìm lim  n2 Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 201 53 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * Nhaän xeùt:  4n Ví duï 2: Tìm lim  2n Giaûi: * Nhaän xeùt: III – TOÅNG CUÛA CAÁP SOÁ NHAÂN LUØI VOÂ HAÏN:  Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với q < gọi là cấp số nhân lùi vô hạn  Lấy hai ví dụ cấp số nhân lùi vô hạn (ứng với q âm và q dương), sau đó tính tổng n số hạng đầu tiên các cấp số nhân đã cho theo n  Gọi S là tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) hay S = u1 + u2 + u3 +…+ un +… Khi đó: u S=  q  1 1 q Ví duï: a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un), với un = 1  1 b) Tính toång          Giaûi: 54 3n n 1  - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 202 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 IV– GIỚI HẠN VÔ CỰC: Ñònh nghóa:  Ta nói dãy số (un) có giới hạn   n   , un có thể lớn số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở Kí hieäu: limun =   hay un =   n    Dãy số (un) gọi là có giới hạn   n   lim  un    Kí hieäu: limun =   hay un   n   * Nhaän xeùt: limun =    lim  un    Một vài giới hạn đặc biệt: Ta thừa nhận các kết sau: a) lim nk   với k nguyên dương b) lim q n   neáu q > Ñònh lí: a) Neáu limun = a vaø limvn =   thì lim un  b) Nếu limun = a > 0, limvn = và > với n thì lim un   c) Neáu limun =   vaø limvn = a > thì limunvn =   2n  Ví duï 1: Tìm lim n.3n Giaûi: Ví duï 2: Tìm lim(n2 - 2n - 1) Giaûi: * Nhaän xeùt: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 203 55 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Ví duï 3: lim 3n  5.4n 4n  2n Giaûi: * Nhaän xeùt:  Ghi chuù: 56 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 204 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính các giới hạn sau:  3n 9n  n  3n  n  6n  lim( ) ; b) lim ; c) Tính ; d) lim 3n  2n  4n  2 n  3n Bài 2: Để trang hoàng cho hộ mình, chú chuột Mickey định tô màu miếng bìa hình vuông cạnh Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ đánh số là 1, 2, 3,…, n,…, đó cạnh hình vuông nửa cạnh hình vuông trước đó Giả sử quy trình tô màu Mickey có theå tieán voâ haïn a) Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n Tính u1, u2, u3 và un b) Tím limSn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un  1n 1 Baøi 3: Tính toång S =      n 1  10 10 10 Bài 4: Tính các giới hạn sau: a) lim(n3 + 2n2 - n + 1); b) lim(-n2 + 5n - 2); a) lim c) lim( n  n - n); d) lim( n  n + n) Bài 5: Cho hai dãy số (un) và (vn) Biết limun = 3, limvn =   Tính các giới hạn: 3u  v 2 a) lim n ; b) lim n2 un   Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Có 1kg chất phóng xạ độc hại Biết rằng, sau khoảng thời gian T = 24 000 năm thì nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại sức khỏe người (T gọi là chu kì bán rã) Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n a) Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy soá (un) b) Chứng minh (un) có giới hạn là c) Từ kết câu b), chứng tỏ sau số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại người, cho biết chất phóng xạ này không độc hại khối lượng chất phoùng xaï coøn laïi beù hôn 106 g Bài 2: Biết dãy số (un) thoả mãn un   với n Chứng minh limun = n Bài 3: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (với chu kì là 02) Hãy viết số a dạng phaân soá CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 205 57 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §2 GIỚI HẠN CỦA HAØM SỐ I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HAØM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM: Kí hiệu: K = (a; b) K = (-; b) K = (a; +) K = (-; +) Ñònh nghóa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K trên K\{x0} Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn K\{x0} và xn  x0 , ta coù f(x)  L Kí hieäu: lim f ( x)  L hay f(x)  L x  x0 x  x0 Ví duï 1: Cho haøm soá f ( x)  x2  Chứng minh lim f ( x)  4 x  2 x2 Giaûi: * Nhaän xeùt:  lim x  x x  x0  lim c  c , với c là số x  x0 Định lí giới hạn hữu hạn: Ñònh lí: a) Giả sử lim f ( x)  L và lim g ( x)  M Khi đó: x  x0 x  x0  lim  f ( x)  g ( x)  L  M ; x  x0  lim  f ( x)  g ( x)  L  M ; x  x0  lim  f ( x).g ( x)  L.M ; x  x0  f ( x)  L   lim  (neáu M  0) x  x0 g ( x)    M b) Neáu f ( x)  vaø lim f ( x)  L , thì L  vaø lim x  x0 x  x0 f ( x)  L (Dấu f(x) xét trên khoảng tìm giới hạn, với x  x0 ) Ví duï 1: Cho haøm soá f ( x)  x2  Tìm lim f ( x) ? x3 x Giaûi: 58 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 206 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 x2  x  x 1 x 1 Ví duï 2: Tính lim Giaûi: Giới hạn bên: Ñònh nghóa:  Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b) Số L gọi là giới hạn bên phải hàm số y = f(x) x  x0 với dãy số (xn) bất kì, x0  xn  b và xn  x0 , ta có f ( xn )  L Kí hieäu: lim f ( x)  L x  x0  Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0 ) Số L gọi là giới hạn bên trái hàm số y = f(x) x  x0 với dãy số (xn) bất kì, a  xn  x0 và xn  x0 , ta có f ( xn )  L Kí hieäu: lim f ( x)  L x  x0 Ñònh lí: lim f ( x)  L vaø chæ lim f ( x)  lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 5x  x  Ví duï 1: Cho haøm soá f(x) =  Tính giới hạn hàm số x  (nếu có)  x  x  Giaûi: 5x  a x  Ví duï 2: Cho haøm soá f(x) =  Tìm a để hàm số có giới hạn x  1, tính giới hạn đó  x  x  Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 207 59 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 II– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HAØM SỐ TẠI VÔ CỰC: Ñònh nghóa: a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L x   neáu voùi daõy soá (xn) baát kì, xn > a vaø xn   , ta coù f ( xn )  L Kí hieäu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L x   x   b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L x   neáu voùi daõy soá (xn) baát kì, xn < a vaø xn   , ta coù f ( xn )  L Kí hieäu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L x   x   Ví duï: Cho haøm soá f ( x)  2x  Tìm lim f ( x) vaø lim f ( x) x   x   x 1 Giaûi: * Chuù yù: a) Với c, k là các số và k nguyên dương, ta luôn có:  lim c  c vaø lim c  c ; x  x  c c  vaø lim k  k x  x x  x b) Định lí giới hạn hữu hạn hàm số x  x0 còn đúng x   xn    lim Ví duï: Tìm lim f ( x)  x   3x  x x2  Giaûi: * Nhaän xeùt: 60 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 208 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 III– GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HAØM SỐ: Giới hạn vô cực: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;   ) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là   x   với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn   , ta có f ( xn )   Kí hieäu: lim f ( x)   hay f (x)   x   x   * Nhaän xeùt: lim f ( x)    lim ( f ( x))   x   x   Một vài giới hạn đặc biệt: a) lim x k   với k nguyên dương n   b) lim x k   neáu k laø soá leû n   c) lim x k   neáu k laø soá chaün n   Một vài quy tắc giới hạn vô cực: a) Quy tắc tìm giới hạn tích: f(x).g(x) Nếu lim f ( x)  L  và lim g ( x)   (hoặc   ) thì lim f ( x).g ( x) tính theo quy tắc cho x  x0 x  x0 x x baûng sau: lim f ( x) lim g ( x) x x0 x x     L>0 L<0 b) Quy tắc tìm giới hạn thương: lim f ( x) x x0     f ( x) g ( x) lim g ( x) x x lim f ( x).g ( x) x x0 Daáu cuûa g(x) lim x x f ( x) g ( x) Tuyø yù +  L>0  +  L<0    * Nhận xét: Các quy tắc trên đúng cho các trường hợp x  x , x  x , x  +, x  - L  Ví duï 1: Tìm lim ( x  x ) x  Giaûi: * Nhaän xeùt: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 209 61 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: a) lim x 1 2x  ; x 1 b) lim x 1 2x  x 1 Giaûi:  Ghi chuù: 62 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 210 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính các giới hạn sau: x2  a) lim ; x  3 x  2x  d) lim ; x    x Bài 2: Tính các giới hạn sau: 3x  a) lim ; x 2 ( x  2) Baøi 3: Tính: a) lim ( x  x  x  1) ;  x2 b) lim ; x  2 x  17 e) lim ; x   x  b) lim x 1 x3 3 ; x6  2x2  x  f) lim x   3 x c) lim x 6 2x  ; x 1 c) lim x 1 b) lim (2 x3  3x  5) ; x   c) lim x   2x  x 1 x   x  2x  ; d) lim x   x2   x  2x Bài 4: Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:  5x2 x 1 ; b) lim a) lim x   x  x  3x  2 Baøi taäp naâng cao:  x  x  1 Baøi 1: Cho haøm soá f ( x )   và các dãy số (un) với un  , (vn) với   n n  x x  a) Tính limun, limvn, lim f (un ) vaø lim f (vn ) b) Từ đó có kết luận gì giới hạn hàm số đã cho x  ? Bài 2: Tính giới hạn các hàm số x  + và x  - a) f(x) = x  3x ; x2 b) f(x) = x + x2  x 1 ; c) f(x) = x2  x  x2 1    x  Baøi 3: Cho haøm soá f(x) =  x  x   mx  x  Với giá trị nào tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn x  1? Tìm giới hạn này CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 211 63 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §3 HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC I– HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC TAÏI MOÄT ÑIEÅM: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0  K Hàm số y = f(x) gọi là liên tục taïi x0 neáu lim f ( x )  f ( x ) x  x0 Ví duï: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá f ( x)  x taïi x0 = x2 Giaûi:  Hàm số y = f(x) không liên tục x0 gọi là hàm số gián đoạn điểm đó II– HAØM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG: Ñònh nghóa:  Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên khoảng nó liên tục điểm khoảng đó  Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f ( x)  f (a) , lim f ( x)  f (b) x a x b Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, (a; b], [a; +), định nghĩa cách tương tự * Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên khoảng là “đường liền” trên khoảng đó y y a x a O b x O b Haøm soá lieân tuïc treân (a; b) Haøm soá khoâng lieân tuïc treân (a; b) III– MOÄT SOÁ ÑÒNH LÍ CÔ BAÛN: Ñònh lí 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực R b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên khoảng tập xác định chúng Định lí 2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó: a) Caùc haøm soá y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) vaø y = f(x).g(x) lieân tuïc taïi x0; f ( x) b) Haøm soá y  lieân tuïc taïi x0 neáu g(x0)  g ( x) 2x  2x  Ví duï: Cho haøm soá h(x) =  x  x  Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá treân taäp xaùc ñònh cuûa noù 5 x  Giaûi: 64 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 212 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn ít điểm c  (a; b) cho f(c) = y y f(b) a f(a) x O b O a f(a) b x f(b) * Nhaän xeùt: Ví dụ: Chứng minh phương trình x3  x   có ít nghiệm Giaûi: * Nhaän xeùt:  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 213 65 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: a) Duøng ñònh nghóa xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá f ( x)  x3  x  taïi x0 =  x3   b) Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá y = g(x) taïi x0 = 2, bieát g( x )   x  x  5 x  c) Trong biểu thức xác định g(x) trên, cần thay số số nào để hàm số liên tục x0 =  3x  x  Baøi 2: Cho haøm soá f(x) =   x  x  1 a) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Từ đó nêu lên nhận xét tính liên tục hàm số trên tập xác ñònh cuûa noù b) Khẳng định nhận xét trên chứng minh Bài 3: Chứng minh phương trình: a) x3  x   coù ít nhaát hai nghieäm; b) cosx = x coù nghieäm x 1 Baøi 4: Cho caùc haøm soá f ( x)  và g(x) = tanx + sinx Với hàm số, hãy xác định các khoảng x  x6 trên đó hàm số liên tục Baøi taäp naâng cao:  x 1 , neáu x   taïi x = Baøi 1: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá g(x) =   x    x , neáu x   x2  x   Bài 2: Tìm giá trị tham số m để hàm số f(x) =  x  , x  liên tục x =  m , neáu x  Bài 3: Chứng minh phương trình (1 - m2)x5 - 3x - = luôn có nghiệm với tham số m CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 66 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 214 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG IV * - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 215 67 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tên học sinh mã hóa số 1530 Biết chữ số số này là giá trị các biểu thức A, H, N, O với: 3n  a) A  lim ; b) H = lim( n  2n  n) ; n2 3n  5.4n n 2 c) N  lim ; d) O  lim  4n 3n  Hãy cho biết tên học sinh này, cách thay các chữ số trên các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng Bài 2: Tìm các giới hạn sau: x2  5x  2x  x3 a) lim ; b) lim ; c) lim ; x  3 x2 x  x  x4 x  x  3x x2  2x   x x3 ; f) lim x  x   x   x  3x   x2  x   Baøi 3: Xeùt tính lieân tuïc treân R cuûa haøm soá g(x) =  x  x    x x  Bài 4: Chứng minh phương trình x  3x  5x   có ít ba nghiệm nằm khoảng (-2; 5) Baøi 5: a) Coù nhaän xeùt gì veà coâng boäi cuûa caùc caáp soá nhaân luøi voâ haïn? b) Cho ví duï veà moät caáp soá nhaân luøi voâ haïn coù coâng boäi laø soá aâm vaø moät caáp soá nhaân luøi voâ haïn có công bội là số dương và tính tổng cấp số nhân đó Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hai dãy số (un) và (vn) Biết un   với n và limvn = Có kết luận gì giới hạn d) lim ( x  x  x  1) ; e) lim daõy soá (un)? Bài 2: Chứng minh phương trình: a) m(x - 1)3(x2 - 4) + x4 - = luôn có ít hai nghiệm với giá trị tham số m b) x3 - 3x = m có ít hai nghiệm với giá trị m  (-2; 2)  u1   2u  Bài 3: Cho dãy số (un) xác định  un1  n với n   un  a) Chứng minh un > với n b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 68 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 216 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 CHƯƠNG V ĐẠO HAØM - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Hệ số góc đường thẳng: y  O x  Tang góc tạo đường thẳng  và trục hoành gọi là hệ số góc đường thẳng   Đường thẳng : y = ax + b có hệ số góc là k = a Phương trình đường thẳng: Đường thẳng  qua M(x0; y0), hệ số góc k có dạng: y - y0 = k(x - x0)  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 217 69 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §1 ĐỊNH NGHĨA VAØ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HAØM I– ĐẠO HAØM TẠI MỘT ĐIỂM: Định nghĩa đạo hàm điểm: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu f ( x)  f ( x0 ) haïn) lim thì giới hạn đó gọi là đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 và kí hiệu là x  x0 x  x0 f ( x)  f ( x0 ) f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là: f'(x0) = lim x  x0 x  x0 * Chuù yù:  Đại lượng x = x - x0 gọi là số gia đối số x0  Đại lượng y = f(x) - f(x0) = f(x0 + x) - f(x0) gọi là số gia tương ứng hàm số Vậy: y y’(x0) = lim x  x Cách tính đạo hàm định nghĩa: Quy taéc:  Bước 1: Giả sử x là số gia đối số x0, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) y x y  Bước 3: Tìm lim x  x  Bước 2: Lập tỉ số Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số f ( x)  taïi ñieåm x0 = x Giaûi: Quan hệ tồn đạo hàm và tính liên tục hàm số: Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 thì nó liên tục điểm đó * Chuù yù: a) Định lí trên tương đương với khẳng định: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn x0 thì nó không có đạo hàm điểm đó b) Mệnh đề đảo Định lí không đúng Một hàm số liên tục điểm có thể không có đạo hàm điểm đó Ý nghĩa hình học đạo hàm:  a) Vẽ đồ thị hàm số f ( x )  x 2 b) Tính f'(1) c) Vẽ đường thẳng qua điểm M(1; ) và có hệ số góc f'(1) Nêu nhận xét vị trí tương đối đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho 70 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 218 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 a) Tiếp tuyến đường cong phẳng: Là đường thẳng tiếp xúc y (C) với đường cong (C) điểm M; điểm M gọi là tiếp điểm b) Ý nghĩa hình học đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định M f(x) trên khoảng (a; b) và có đạo hàm x0  (a; b) Gọi (C) là đồ thị T hàm số đó Định lí: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 là hệ số góc f(x0) M0 cuûa tieáp tuyeán M0T cuûa (C) taïi ñieåm M0(x0; f(x0)) c) Phöông trình tieáp tuyeán: x x0 x O Định lí: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) taïi ñieåm M0(x0; f(x0)) laø: y - y0 = f'(x0)(x - x0) đó y0 = f(x0) Ví dụ: Cho parabol y = -x + 3x - Viết phương trình tiếp tuyến parabol điểm có hoành độ x = Giaûi: II– ĐẠO HAØM TRÊN MỘT KHOẢNG: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nó có đạo hàm điểm x trên khoảng đó Khi đó, ta gọi hàm số f': (a; b)  R x  f'(x) là đạo hàm hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x) Ví dụ: Hàm số y = x2 có đạo hàm y’ = 2x trên khoảng (-; +) Giaûi:  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 219 71 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tính y vaø a) y  x  ; y cuûa caùc haøm soá sau theo x vaø x: x b) y  x  ; c) y  2x3 ; d) y  x Bài 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số y = x2 + x x0 = 1; Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3: a) Taïi ñieåm (-1; -1); b) Tại điểm có hoành độ 2; c) Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng Bài 4: Một vật rơi tự theo phương trình s = gt2, đó g  9,8m/s2 là gia tốc trọng trường a) Tìm vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + t, các trường hợp t = 0,1s; t = 0,05s; t = 0,001s b) Tìm vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = 5s Baøi 5: Tìm soá gia cuûa haøm soá f(x) = x3, bieát raèng: a) x0 = 1; x = 1; b) x0 = 1; x = -0,1 Bài 6: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số sau các điểm đã ra: x 1 b) y  taïi x0 = a) y  , taïi x0 = 2; x x 1 Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y  x a) Taïi ñieåm ( ; 2); b) Tại điểm có hoành độ -1; c) Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng - Baøi taäp naâng cao: ( x  1)2 x  Bài 1: Chứng minh hàm số f(x) =  không có đạo hàm điểm x = có đạo x   x haøm taïi ñieåm x = ( x  1)2 , neáu x  Bài 2: Chứng minh hàm số f(x) =  không có đạo hàm x = 0, liên tục đó ( x  ) , neá u x   CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 72 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 220 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HAØM I– ĐẠO HAØM CỦA MỘT HAØM SỐ THƯỜNG GẶP: Định lí 1: Hàm số y  x n ( n  N , n  1) có đạo hàm x  R và: (xn)' = nxn - * Nhaän xeùt: Đạo hàm hàm 0: (c') = (c = const) Đạo hàm hàm số y = x 1: (x)' = Định lí 2: Hàm số y = x có đạo hàm x dương và: ( x )'  x II– ĐẠO HAØM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG: Ñònh lí: Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có:  (u + v)' = u' + v';  (u - v)' = u' - v'; u u' v  v' u ( )'  (v = v(x) ≠ 0)  (u.v)' = u'v + v'u;  v v2 Toång quaùt: (u1  u2   un)' = (u1)'  (u2)'   (un)' Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = x2 - x4 + x Giaûi:  Tính đạo hàm các hàm số y = 5x3 - 2x5, y =  x x Heä quaû: Heä quaû 1: Neáu k laø moät haèng soá thì (ku)' = ku' v' Heä quaû 2: ( )'   ( v  v( x)  0) v v III– ĐẠO HAØM CỦA HAØM HỢP: Hàm hợp: Giả sử u = g(x) là hàm số x, xác định trên khoảng (a; b) và lấy giá trị trên khoảng (c; d); y = f(u) là hàm số u, xác định trên (c; d) và lấy giá trị trên R Khi đó, ta lập hàm số xác định trên (a; b) vaø laáy giaù trò treân R theo quy taéc sau: x  f(g(x)) Ta gọi hàm số y = f(g(x)) là hàm hợp hàm y = f(u) với u = g(x) Ví dụ 1: Hàm số y = (1 - x3)10 là hàm số hợp hàm số với u = Ví dụ 2: Tìm hàm số hợp hàm số y = f(u) = u3 biết u = Giaûi: x2 1 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 221 73 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Đạo hàm hàm hợp: Định lí: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là u'x và hàm số y = f(x) có đạo hàm u là y'u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: y'x = y'u.u'x Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = (1 - 2x) Giaûi:  Ghi chuù: 74 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 222 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y  x5  x3  x  ; b) y  x x3 x    1; Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau: c) y  a) y = (x7 - 5x2)3; 1  x  x  0,5 x ; d) y  3x5 (8  3x ) b) y = (x2 + 1)(5 - 3x2);  5x n ; e) y = (m  )3 (m, n laø caùc haèng soá) x  x 1 x Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau: d) y = c) y = 2x ; x2 1 a) y = x  x x  ; x3 c) y = (a laø haèng soá); a2  x b) y =  5x  x ; 1 x d) y = 1 x Bài 4: Cho y  x3  3x  Tìm x để: a) y’ > 0; b) y’ < Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau: a) y   x  x taïi x0 = 1; b) y  x3  x  taïi x0 = Bài 2: Cho f(x) = x5 + x3 - 2x - Chứng minh rằng: f'(1) + f'(-1) = -4f(0) x2 x3  Giaûi baát phöông trình f(x)  g(x) Baøi 3: Cho f(x) = , g(x) = x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 223 75 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §3 ĐẠO HAØM CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC Giới hạn hàm số y =  Tính sin x : x sin 0,01 sin 0,001 baèng maùy tính boû tuùi , 0,01 0,001 sin x 1 x tan x Ví duï 1: Tính lim x 0 x Giaûi: Ñònh lí 1: lim x 0 sin x x 0 x Ví duï 2: Tính lim Giaûi: Đạo hàm hàm số y = sinx: Định lí: Hàm số y = sinx có đạo hàm x  R và (sinx)’ = cosx * Chuù yù: Neáu y = sinu vaø u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu  Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = sin(3x  ) Giaûi: Đạo hàm hàm số y = cosx:  Tính đạo hàm hàm số y = sin(   x) Định lí: Hàm số y = cosx có đạo hàm x  R và (cosx)’ = -sinx * Chuù yù: Neáu y = cosu vaø u = u(x) thì: (cosu)’ = -u’.sinu 76 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 224 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cos(x3 - 1) Giaûi: Đạo hàm hàm số y = tanx:  Tính đạo hàm hàm f ( x )  sin x cos x (x    k , k  Z )  + k, k  Z vaø: (tan x )'  cos x * Định lí: Hàm số y = tanx có đạo hàm x ≠ * Chuù yù: Neáu y = tanu vaø u = u(x) thì ta coù: (tan u)'  u' cos u Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = tan(3x2 + 5) Giaûi: Đạo hàm hàm số y = cotx:  Tính đạo hàm hàm số y = tan(   x ) với x ≠ k, k  Z Định lí: Hàm số y = cotx có đạo hàm x ≠ k, k  Z và: (cot x )'   sin x * Chuù yù: Neáu y = cotu vaø u = u(x), ta coù: u' (cot u)'   sin u Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cot (3x - 1) Giaûi:  Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 225 77 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = 5sinx - 3cosx; b) y = sin x  cos x ; sin x  cos x c) y = xcotx; sin x x ; e) y = 1 tan x ; f) y = sin  x  x sin x Bài 2: Chứng nminh các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;   2 2 b) y = cos (  x )  cos (  x )  cos (  x )  cos (  x )  sin x 3 3 Baøi 3: Giaûi phöông trình f'(x) = 0, bieát raèng: 2  x ) a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x; b) f(x) = - sin( + x) + 2cos ( Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau: x2  2x  x2  x  x 1 2x  a) y  ; b) y  ; c) y  ; d) y   4x x  3x 5x   3x Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1); b) y = (6 x  )(7 x  3) ; c) y = ( x  2) x  ; x x d) y = tan2x - cot2x; e) y = cos 1 x f ' (1) x Baøi 6: Tính , bieát raèng f(x) = x2 vaø (x) = 4x + sin  ' (1) 2 Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: x2  x  x2  2x 1 a) y’ < với y = ; b) y’  với y = ; c) y’ > với y = x 1 x 1 x x4 Baøi 2: Giaûi baát phöông trình f'(x) > g'(x), bieát raèng: x2 a) f(x) = x3 +x - , g(x) = 3x2 + x + ; b) f(x) = 2x3 - x2 + , g(x) = x3 + - d) y = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 78 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 226 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §4 VI PHAÂN Ñònh nghóa:  Cho haøm soá f(x) = x , x0 = vaø x = 0.01 Tính f'(x0)x Ta gọi tích f'(x)x là vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia x Kí hiệu là df(x) dy, tức là: dy = df(x) = f'(x)x * Chú ý: Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, ta có: dx = d(x) = (x)'x = 1.x = x Do đó, với hàm soá y = f(x) ta coù: dy = df(x) = f'(x)dx Ví duï: Tìm vi phaân cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x3 - 5x + 1; b) y = sin3x Giaûi: Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng: f(x0 + x)  f(x0) + f'(x0)x Ví dụ: Tính giá trị gần đúng Giaûi: 3.99  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm vi phaân cuûa caùc haøm soá sau: x a) y  (a, b laø caùc haèng soá); ab Baøi 2: Tìm dy, bieát: b) y = ( x  x  1)( x  x ) a) y  tan2 x ; b) y  cos x  x2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 227 79 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 §5 ĐẠO HAØM CẤP HAI I– ÑÒNH NGHÓA: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x  (a; b) Khi đó, hệ thức y' = f'(x) xác định hàm số trên khoảng (a; b) Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm x thì ta gọi đạo hàm y' là đạo hàm cấ p hai hàm số y = f(x) và kí hiệu là y'' f''(x) * Chuù yù:  Đạo hàm cấp ba hàm số y = f(x) định nghĩa tương tự và kí hiệu là y''' f'''(x)hoặc f3(x)  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu là fn - 1(x) (n  N, n  4) Nếu fn - 1(x) có đạo hàm thì đạo hàm nó gọi là đạo hàm cấp n f(x), kí hiệu là y(n) fn(x) fn(x) = (f(n - 1)(x))' II– Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HAØM CẤP HAI: Đạo hàm cấp hai f''(t) là gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình s(t) = Asin(t + ) (A, ,  là số) Tìm gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động Giaûi:  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: a) Cho f(x) = (x + 10)6 Tính f''(2)   b) Cho f(x) = sin3x Tính f ' ' ( ) , f ' ' (0) , f ' ' ( ) 18 Bài 2: Tìm đạo hàm cấp hai các hàm số sau: 1 a) y = ; b) y = ; c) y = tanx; 1 x 1 x d) y = cos2x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 80 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 228 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG V * - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 229 81 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau: x3 x2   x 5; a) y = b) y = 2 d) y = (  3x )( x  1) ; e) y = x Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau: cos x a) y = x sin x  ; b) y = x cos   sin  d) y = ; e) y = sin   cos   2 3 ; x x x 7x 1 x ; 1 x cos x ; 2x  tan x ; sin x  Baøi 3: Cho haøm soá f(x) =  x Tính f(3) + (x - 3)f'(3) Baøi 4: Giaûi phöông trình f'(x) = 0, bieát raèng: f(x) = 3x  3x  x  ; 4x  x  7x  f) y = x  3x c) y = t  cos t c) y = ; sin t cot x f) y = x 1 60 64   x x3 Baøi 5: Vieát phöông trình tieáp tuyeán: x 1 a) Cuûa hypebol y = taïi ñieåm A(2; 3); x 1 b) Của đường cong y = x3 + 4x2 - điểm có hoành độ x0 = -1; c) Của parabol y = x2 - 4x + điểm có tung độ y0 = f ' ( 0) cos x Baøi 6: Cho f(x) = , g(x) = xsinx Tính g' (0) x f ' ( 0) Tính Baøi 7: Cho haøm soá f(x) = tanx vaø g(x) = 1 x g' (0) Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s = t3 - 3t2 - 9t, đó t tính giây và s tính mét a) Tính vận tốc chuyển động t = 2s b) Tính gia tốc chuyển động t = 3s c) Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu d) Tính vận tốc thời điểm gia tốc triệt tiêu x2 vaø y = Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã Baøi 2: Cho hai haøm soá y = x 2 cho giao điểm chúng Tính góc hai tiếp tuyến kể trên CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 82 - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - 230 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VAØ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Vectô: a) Caùc ñònh nghóa: caùc caëp vectô cuøng phöông  Độ dài vectơ AB kí hiệu AB độ dài đoạn thẳng AB  Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng  Hai vectơ gọi là chúng cùng hướng và cùng độ dài  Hai vectơ gọi là đối chúng ngược hướng và   cùng độ dài Vectơ đối vectơ a kí hiệu là - a ; vectơ đối hai vectơ đối hai vectô baèng a u MN laø NM neân ta coù  MN  NM     v b  Hai vectô a vaø b cuøng phöông  k  R: a = k b v =- u a = 2b     a  b  a.b   Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình  Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: bình haønh thì: AB  BC  AC B C AB  AC  CB  A, B, C thaúng haøng  AB  k AC , k  R   I laø trung ñieåm AB  IA  IB  A D   G laø troïng taâm ABC  GA  GB  GC  AB  AD  AC b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:   Cho hai vectô u = (u1; u2), v = (v1; v2), ta coù:    u  v = (u1 + v1; u2 + v2)    u  v = (u1 - v1; u2 - v2)   k u = (ku1; ku2)   u.v = u1v1 + u2v2 Cho hai ñieåm A(xA; yA), B(xB;yB), ta coù:  AB = (xB - xA; yB - yA)   u  u12  u22  u  v1    uv u2  v2  AB = AB x A  x B y A  yB ) ; 2 x  x B  x C y A  y B  yC )  Tọa độ trọng tâm ABC: G( A ; 3 Đường thẳng mặt phẳng:  x  x0  at  ñi qua M(x ; y )  Phương trình tham số đường thẳng :  laø :   y  y0  bt coù VTCP u  (a; b)  ñi qua M(x ; y )  Phương trình tổng quát đường thẳng :  laø: A(x - x0) + B(y - y0) = coù VTPT n  (A; B)  Phương trình Ax + By + C = là phương trình đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n  ( A; B )    Nếu đường thẳng d có vectơ phương u  (a; b) thì d có vectơ pháp tuyến n  (b; a) Nếu đường   thaúng  coù vectô phaùp tuyeán n = (A; B) thì  coù moät vectô chæ phöông laø u  ( B; A)  Tọa độ trung điểm AB: I( 231 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = có dạng: Ax + By + C1 = (C ≠ C1)  Đường thẳng vuông góc đường thẳng : Ax + By + C = có dạng: -Bx + Ay + C2 = Đường tròn:  taâm I (a; b)  Đường tròn (C):  coù phöông trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 baùn kính R  Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = là phương trình đường tròn (C) và a2 + b2 - c > Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R = a2  b  c  Ghi chuù: 232 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §1 PHEÙP BIEÁN HÌNH  Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M Dựng hình chiếu vuông góc M' điểm M lên đường thẳng d Dựng bao nhieâu ñieåm M' nhö theá? ÑÒNH NGHÓA: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M' mặt phẳng đó gọi là phép biến hình mặt phẳng Neáu kí hieäu pheùp bieán hình laø F thì tavieát F(M) = M' hay M' = F(M) vaø goïi ñieåm M' laø aûnh cuûa ñieåm M qua pheùp bieán hình F Nếu H là hình nào đó mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh hình H qua pheùp bieán hình F Phép biến hình biến điểm M thành chính nó gọi là phép đồng  Cho trước số a dương, với điểm M mặt phẳng, gọi M' là điểm cho MM' = a Quy tắc đặt tương ứng điểm M với ñieåm M' neâu treân coù phaûi laø moät pheùp bieán hình khoâng? vì sao?  Ghi chuù: CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 233 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §2 PHEÙP TÒNH TIEÁN I- ÑÒNH NGHÓA:  Trong maët phaúng cho vectô v Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm v  M thành điểm M' cho MM ' = v gọi là phép tịnh tiến  M theo vectô v    Phép tịnh tiến theo vectơ v thường kí hiệu là Tv , v gọi là vectơ tịnh tiến   Vaäy: Tv ( M )  M '  MM '  v M'  Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng  Cho hai tam giác ABE và BCD Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba ñieåm B, C, D v C H' B H D  Pheùp tònh tieán theo vectô v bieán hình H thaønh hình H'  Ví dụ: Dựng ảnh các hình sau đây qua phép tịnh theo vectơ v A E v M v N A d I B C II- TÍNH CHAÁT: Tính chất 1: Nếu Tv ( M )  M ' , Tv ( N )  N ' thì M ' N '  MN và từ đó suy M'N' = MN Hay phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có cuøng baùn kính III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (a; b), với điểm M(x; y) Gọi M'(x'; y') là ảnh M qua  phép tịnh tiến theo vectơ v , đóù:  x'  x  a (biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tv )  ' y y b     v = (1; 2) Tìm tọa độ điểm M' là ảnh điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến Tv  Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + = Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh d qua phép tịnh tiến Tv  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ Giaûi: 234 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - = Tìm ảnh  cuûa (C) qua pheùp tònh tieán theo vectô v = (-2; 3) Giaûi:  Ghi chuù: 235 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù G laø troïng taâm Xaùc ñiïnh aûnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp tònh tieán theo vectô AG Xaùc ñònh ñieåm D cho pheùp tònh tieán theo vectô AG bieán D thaønh A  Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (2; -1), điểm M(3; 2) Tìm tọa độ các điểm A cho: a) A = Tv (M ) ; b) M = Tv (A)  Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phöông trình x - 2y + =  a) Tìm tọa độ các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ v  b) Tìm tọa độ điểm C cho A là ảnh C qua phép tịnh tiến theo v  c) Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh d qua phép tịnh tiến theo v Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = Tìm ảnh  (C) qua pheùp tònh tieán theo vectô v = (-2; 5) Bài 6: Chứng minh rằng: M' = Tv ( M )  M  Tv ( M ' ) Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với Hãy phép tịnh tiến biến a thành b Có bao nhieâu pheùp tònh tieán nhö theá Baøi taäp naâng cao:  Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v = (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + = 0, đường thẳng d1 coù phöông trình 2x - 3y - = a) Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh d qua Tv  b) Tìm tọa độ w có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh d qua Tw Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - = Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d' Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O) Chứng minh A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên đường tròn CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 236 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I- ÑÒNH NGHÓA: Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành M' cho d là đường trung trực đoạn thẳng MM' gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục M Đường thẳng d gọi là trục phép đối xứng d M trục đơn giản là trục đối xứng Phép đối xứng trục d thường kí hiệu là Đd M' Nếu hình H' là ảnh hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với qua d * Nhaän xeùt:  Cho đường thẳng d Với điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc M trên đường thẳng d Khi đó: M' = Đd(M)  M M '   M M    M' = Ñd(M)  M = Ñd(M') Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD Tìm ảnh các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC Giaûi: Ví dụ 2: Dựng ảnh các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đd: M N a d d B I C A d d 237 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ 1) Chọn hệ tọa độ Oxy cho trục Ox trùng với đường thẳng d Với điểm M(x; y), gọi M' = Ñd(M) = (x'; y') thì:  x'  x  y'   y y M (x; y) M0 d x O Biểu thức tọa độ phép ĐOy M' (x'; y') 2) Chọn hệ tọa độ Oxy cho trục Oy trùng với đường thẳng d Với điểm M(x; y), gọi M' = Ñd(M) = (x'; y') thì:  x'   x   y'  y y M'(x'; y') d M (x; y) M0 x Biểu thức tọa độ phép ĐOy O  Tìm ảnh các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + = và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - = Tìm ảnh M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox Giaûi: III- TÍNH CHAÁT: Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH: Định nghĩa: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng hình H phép đối xứng qua d biến H thành chính nó Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) các hình sau đây: B A B CD A D E C F B A C B C D A F E 238 C D Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1) Tìm ảnh A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + = Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh d qua phép đối xứng trục Oy Bài 3: Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng AC và BD cắt E Xác định ảnh tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - = và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - = Tìm ảnh M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng? VIETNAMWTO Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + = Tìm ảnh M qua Ñd Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + = và đường thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d' Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác và đường thẳng d Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh nằm trên d CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 239 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §4 PHEÙP QUAY I- ÑÒNH NGHÓA: Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điểm M khác O thành M' cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM')  gọi là phép quay tâm O góc  M' Điểm O gọi là tâm quay còn  gọi là góc quay phép quay đó Phép quay tâm O góc  thường kí hiệu là Q(O,) α M O * Nhaän xeùt: M' 1) Chieàu döông cuûa pheùp quay laø chieàu döông cuûa đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ M' α α M O Chieàu quay döông 2) Với k là số nguyên ta luôn có:  Phép quay Q(O; 2k) là phép đồng  Phép quay Q(O; (2k + 1)) là phép đối xứng tâm O M O Chieàu quay aâm M' M O  Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB Tìm ảnh A, B qua phép quay tâm O, góc quay -900 Chứng minh AB = A'B' II- TÍNH CHAÁT: Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì C' Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng noù, bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, bieán đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính R I B' A' O C R * Nhận xét: Phép quay góc  với <  < , biến đường thẳng d thành đường thẳng d' cho góc d vaø d' baèng  (neáu <     B O I' A O d ),  -  (nếu α H d' I   α H' Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB Xác định ảnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp quay taâm O goùc quay 600 Giaûi: C B A O 240 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4) Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh A qua phép quay taâm O goùc 900 Giaûi:  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Cho hình vuoâng ABCD taâm O a) Tìm aûnh cuûa ñieåm C qua pheùp quay taâm A goùc 900 b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - = Tìm aûnh cuûa A vaø d qua pheùp quay taâm O goùc 900 Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD taâm O M laø trung ñieåm cuûa AB, N laø trung ñieåm cuûa OA Tìm aûnh cuûa tam giaùc AMN qua pheùp quay taâm O goùc 900 Bài 4: Cho lục giác ABCDEF, O là tâm đối xứng nó, I là trung điểm AB a) Tìm aûnh cuûa tam giaùc AIF qua pheùp quay taâm O goùc 1200 b) Tìm aûnh cuûa tam giaùc AOF qua pheùp quay taâm E goùc 600 Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm hai điểm A và C Dựng phía đường thẳng AC các tam giác ABE và BCF a) Chứng minh AF = EC và góc hai đường thẳng AF và EC 600 b) Gọi M và N là trung điểm AF và EC Chứng minh BMN Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng Hãy tìm trên a và b hai điểm A và B cho ABC là tam giác CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 241 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §5 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VAØ HAI HÌNH BẰNG NHAU I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH: Ñònh nghóa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N thành các điểm M', N' thì MN = M'N' * Nhaän xeùt: 1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình 2) Phép biến hình có cách thực liên tiếp hai phép dời hình là phép dời hình Ví dụ: Cho tam giác ABC Tìm ảnh ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp pheùp quay taâm B goùc 900 vaø pheùp tònh tieán theo vectô AB A C B  Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm AC và BD Tìm ảnh các điểm A, B, O qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép đối xứng qua đường thẳng BD II- TÍNH CHAÁT: Phép dời hình biến: 1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm; 2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó; 3) Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, goùc thaønh goùc baèng noù; 4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính A' * Chuù yù: a) Nếu phép dời hình biến tam giác B' A I' H' ABC thaønh tam giaùc A'B'C' thì noù cuõng bieán troïng O' G' tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại I O tiếp tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, G trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp H B C C' cuûa tam giaùc A'B'C' b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành caïnh A Ví dụ: Cho lục giác ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp nó Tìm ảnh tam giác OAB qua phép dời hình có cách thực lieân tieáp pheùp quay taâm O, goùc 600 vaø pheùp tònh tieán theo vectô OE B E O C 242 F D Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Giaûi:  Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, EF Hãy tìm phép dời hình bieán tam giaùc AEI thaønh tam giaùc FCH III- KHAÙI NIEÄM HAI HÌNH BAÈNG NHAU: v H'' Định nghĩa: Hai hình gọi là có phép dời hình biến hình này thành hình H -600 H' O  Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I là giao điểm AC và BD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AD và BC Chứng minh raèng caùc hình thang AEIB vaø CFID baèng  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3) a) Chứng minh các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh A, B và C qua phép quay taâm O goùc -900 b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh tam giác ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh tam giác A1B1C1 Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, K, O, I, J là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC  Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v =(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = Tìm ảnh d qua phép  dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG Chứng minh hai hình thang AIOE và GJFC Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I Trên tia BC lấy điểm e cho BE = AI Xác định phép dời hình biến A thành B và I thành E, dựng ảnh hình vuông ABCD qua phép dời hình CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 243 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §6 PHÉP VỊ TỰ I- ÑÒNH NGHÓA: Ñònh nghóa: Cho ñieåm O vaø soá k ≠ Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M' cho OM '  k.OM gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k Phép vị tâm O, tỉ số k thường kí hiệu là V(O,k) Ví duï: M' M O B' A O B H' M' H M A' O Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự tâm O tỉ số * Nhaän xeùt: 1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó 2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng 3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự 4) M' = V(O,k)(M)  M = V ( M ' ) (O , ) k  Cho tam giác ABC Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC Tìm phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F II- TÍNH CHAÁT:  Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì M ' N '  k.MN vaø M'N' = k MN M' M O  Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: a) Bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm; b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; d) Biến đường tròn bán kính R thành đường troøn baùn kính k R N N' A A' B A' C' A C B' I C' I C B B' A' A R' R I O O'  Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Tìm phép vị tự biến tam giác ABC thaønh tam giaùc A'B'C' Ví dụ 1: Cho điểm O và đường tròn (I; R) Tìm ảnh đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2 Giaûi: 244 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - = Hãy viết phương trình đường thẳng d' là ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = Giaûi:  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm Tìm ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tæ soá Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + (y + 1)2 = Hãy viết phương trình đường tròn (C') là ảnh (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2 Bài 3: Chứng minh thực liên tiếp hai phép vị tự tâm O phép vị tự tâm O Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tam giác ABC có hai góc B, C nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có EF = 2DE với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G nằm trên AC, AB Bài 2: Cho nửa đường tròn đườn kính AB Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB nửa đường tròn đó CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 245 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §7 PHÉP ĐỒNG DẠNG I- ÑÒNH NGHÓA: B Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng chúng ta luôn có M'N' = kMN M B' M' A C N C' N' A' * Nhaän xeùt: a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k c) Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta phép đồng dạng tỉ soá pk II- TÍNH CHAÁT: Phép đồng dạng tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy; b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR * Chuù yù: a) Nếu phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác A'B'C' b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành caïnh  Dựng ảnh tam giác ABC qua phép đồng dạng F có từ việc thực liên tiếp hai phép vị tự tâm I tỉ số vaø pheùp quay taâm I goùc quay 900 Nhaän xeùt hai tam giaùc treân I B A C III- HÌNH ĐỒNG DẠNG: Định nghĩa: Hai hình gọi là đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình này thành hình Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt I Gọi H, K, L và J là trung điểm AD, BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với Giaûi: 246 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tam giác ABC Xác định ảnh nó qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số và phép đối xứng qua đường thẳng trung trực BC Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt I Gọi H, K, L và J là trung điểm AD, BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính Viết phương trình đường tròn là ảnh đường tròn trên qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, AH là đường cao kẻ từ A Tìm phép đồng dạng biến tam giác HBA thaønh tam giaùc ABC Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt và điểm C Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định Gọi I là giao điểm hai đường chéo a) Tìm tập hợp các điểm C D thay đổi b) Tìm tập hợp các điểm I C và D thay đổi câu a) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 247 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * 248 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm ảnh tam giác AOF a) Qua pheùp tònh tieán theo vectô AB ; b) Qua pheùp quay taâm O goùc 1200 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + = Tìm aûnh cuûa A vaø d  a) Qua pheùp tònh tieán theo vectô v = (2; 1); b) Qua pheùp quay taâm O goùc 900 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(3; -2), bán kính a) Viết phương trình đường tròn đó;  b) Viết phương trình ảnh đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2; 1) Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính Viết phương trình ảnh đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số và phép đối xứng qua trục Ox Bài 5: Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB Qua điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN Chứng minh điểm N thuộc đường tròn xác ñònh Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số chiều rộng và chiều dài Chứng minh luôn có phép đồng dạng biến hình này thành hình Baøi 2: Cho tam giaùc ABC Tìm moät ñieåm M treân caïnh AB vaø moät ñieåm N treân caïnh AC cho MN song song với BC và AM = CN CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 249 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HEÄ SONG SONG - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Hình hoïc phaúng: a) Ñònh lí Talet: b) Vị trí tương đối hai đường thẳng a, b: A b a a M N C MN// BC  AM AN  AB AC c) Một số tính chất thường sử dụng: Tính chaát baéc caàu:  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song Moät soá hình hình hoïc khoâng gian: Hình chóp Lăng trụ đứng A' S b ab a // b a caét b B a b Hình hộp chữ nhật B' C' B' C' D' A' B B A D A A C C C D B  Ghi chuù: 250 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG I- KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU: Maët phaúng: Mặt phẳng là đối tượng toán học Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn  Để biểu diễn tả mặt phẳng ta thường dùng hình bình haønh hay moät mieàn goùc vaø ghi teân cuûa maët P α phaúng vaøo moät goùc cuûa hình bieåu dieãn  Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa chữ cái Hi Lạp đặt dấu ngoặc "( )" Ví duï maët phaúng (P)  vieát taét mp(P) hay (P); maët phaúng ()  vieát taét mp() hay (); Ñieåm thuoäc maët phaúng: Cho ñieåm A vaø maët phaúng () A A   Ñieåm A thuoäc maët phaúng () ta noùi A naèm  trên () hay () chứa A () qua A  Kí hieäu: A  ()  Ñieåm A khoâng thuoäc maët phaúng () ta noùi A naèm ngoài () hay () không chứa A () không qua A  Kí hieäu: A  () Hình bieåu dieãn cuûa moät hình khoâng gian: Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn hình không gian Hình biểu diễn vẽ dựa vào các quy tắc:  Hình biểu diễn đường thẳng là đường thẳng, đoạn là đoạn thẳng;  Hình biểu diễn hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt là hai đường thẳng cắt nhau;  Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc các điểm và đường thẳng;  Dùng nét vẽ liền " " để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn "- - - -" biểu diễn cho đường bị che khuất Ví duï: Veõ hình bieåu dieãn cuûa moät hình laäp phöông Giaûi: II- CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN: Tính chất 1: Có và đường thẳng qua hai điểm phân biệt 251 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Tính chaát 2: Coù moät vaø chæ moät maët phaúng ñi qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng đó Nếu đường thẳng d có hai điểm thuộc mp() thì đó điểm đường thẳng d thuộc mp() ta nói d chứa (nằm trong) mp() hay mp() d và kí hiệu d  () hay ()  d  Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài đoạn BC Hãy cho biết M có thuộc mp(ABC) không? và đường thẳng AM coù naèm mp(ABC) khoâng? Tính chaát 4: Toàn taïi boán ñieåm khoâng cuøng thuoäc moät maët phaúng Nếu có nhiều điểm cùng thuộc mặt phẳng thì ta nói điểm đó đồng phẳng, còn không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng còn có điểm chung khác Neáu hai maët phaúng phaân bieät coù moät ñieåm chung  thì chúng có đường thẳng chung qua điểm  chung aáy Đường thẳng chung hai mặt phẳng phân biệt d ( và () gọi là giao tuyến hai mặt phẳng () vaø () vaø kí hieäu laø: d = ()  () giao tuyeán cuûa hai maët phaúng A  Hình vẽ bên cạnh đúng hay sai? vì sao? B  Trong maët phaúng (P), cho hình bình haønh ABCD Laáy ñieåm S nằm ngoài mặt phẳng (P) Hãy điểm chung hai maët phaúng (SAC) vaø (SBD) khaùc ñieåm S C M K L P Tính chất 6: Trên mặt phẳng, các kết đã biết hình học phẳng đúng III- CAÙCH XAÙC ÑÒNH MOÄT MAËT PHAÚNG: Ba caùch xaùc ñònh maët phaúng: a) Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết nó qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng B Maët phaúng qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C kí A  hieäu laø: mp(ABC) (ABC) b) Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết nó qua điểm và chứa đường thẳng không qua điểm đó Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, đó  ta xác định mặt phẳng, kí hiệu là: mp(A, d) hay (A, d) c) Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết nó chứa hai đường thẳng cắt Cho hai đường thẳng cắt a và b Khi đó hai đường thaúng a vaø b xaùc ñònh moät maët phaúng vaø kí hieäu laø:  mp(a, b) hay (a, b), mp(b, a) hay (b, a) Một số bài toán bản: a) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai maët phaúng: 252 C A d b a Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N AM AN cho  vaø  Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (DMN) với các mặt phẳng (ABD), BM NC (ACD), (ABC) vaø (BCD) Giaûi: Phöông phaùp: b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên ba cạnh AB, AC và AD lấy các điểm M, N và K cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD J Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng Giaûi: 253 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Phöông phaùp: c) Tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng: Ví dụ: Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) Gọi K là trung điểm đoạn AD và G là trọng tâm tam giác ABC Tìm giao điểm đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD) Giaûi: Phöông phaùp: IV- HÌNH CHÓP VAØ HÌNH TỨ DIỆN:  Trong mặt phẳng () cho đa giác lồi A1 A2 An Lấy điểm S nằm ngoài () Lần lượt nối S với các đỉnh A1 A2 An ta n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,…, SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2 An và n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A1A2 An Ta gọi S là đỉnh và đa giác A1 A2 An là mặt đáy Các tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 gọi là các mặt bên; các đoạn SA1 , SA2 , , SAn là các cạnh bên; các cạnh đa giác đáy gọi là các cạnh đáy hình chóp Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…  Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và kí hiệu là ABCD Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh tứ diện Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh tứ diện Hai cạnh không qua đỉnh gọi là hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt tứ diện Đỉnh không nằm trên mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó * Đặt biệt: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác gọi là hình tứ diện 254 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Hãy kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy hình chóp S.ABCD (hình vẽ trên)? Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, P là trung điểm AB, AD, SC Tìm giao điểm mặt phẳng (MNP) với các cạnh hình chóp và giao tuyến mặt phẳng (MNP) với các mặt hình chóp Giaûi: * Các bước giải bài toán hình học không gian: 255 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng  chứa tam giác BCD Lấy E, F là các điểm nằm treân caùc caïnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm mặt phẳng (ABC) b) Khi EF và BC cắt I, chứng minh I là điểm chung hai mặt phẳng (BCD) và (DEF) Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi GA, GB, GC, GD là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi M, N là trung điểm AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP = 2PD a) Tìm giao điểm đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) b) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (MNP) vaø (ACD) Baøi 4: Cho hình choùp S.ABCD coù AB vaø CD khoâng song song Goïi M laø moät ñieåm thuoäc mieàn cuûa tam giaùc SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM) b) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SBM) vaø (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC) d) Tìm giao điểm P SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy giao tuyến hai mặt phẳng (SCD) và (ABM) Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng () có hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng () và M là trung điểm đoạn SC a) Tìm giao điểm N đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB) 256 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 b) Gọi O là giao điểm AC và BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi I, K là trung điểm hai đoạn thẳng AD, BC a) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (IBC) vaø (KAD) b) Gọi M và N là hai điểm lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC Tìm giao tuyến hai mặt phaúng (IBC) vaø(DMN) Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD a) Gọi E là giao điểm đường thẳng MP và đường thẳng BD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (PMN) vaø (BCD) b) Tìm giao ñieåm cuûa maët phaúng (PMN) vaø BC Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d qua A và không song song với các cạnh hình bình hành, d cắt đoạn BC E Gọi C’ là điểm nằm treân caïnh SC a) Tìm giao ñieåm M cuûa CD vaø maët phaúng (C’AE) b) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (C’AE) Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Gọi M là giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng () Chứng minh M là điểm chung () với mặt phẳng bất kì chứa d Bài 2: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm mặt phẳng và cắt đôi Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 257 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VAØ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a và b Khi đó ta nói a và b đồng phẳng, có ba khả xảy ra: i) a vaø b coù ñieåm chung nhaát M Ta noùi a vaø b caét taïi M vaø kí hieäu laø a  b = {M} Ta coù theå vieát a  b = M ii) a và b không có điểm chung Ta nói a và b song song với và kí hiệu là a // b iii) a truøng b, kí hieäu laø a  b b a a  b a b   ab=M a // b ab Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm mặt phẳng và không có ñieåm chung Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b Khi a đó ta nói a và b chéo hay a chéo với b A I B b  D a vaø b cheùo C  Hãy tất các cặp đường thẳng chéo tứ diện ABCD II- TÍNH CHAÁT: Định lí 1: Trong không gian, qua điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có và đường thẳng song song với đường thẳng đã cho * Nhaän xeùt: M d' Hai đường thẳng song song a và b xác định mặt d phaú ng, kí hieäu laø mp(a, b) hay (a, b)   Cho hai mặt phẳng () và ( ) cắt Một mặt phẳng () cắt () và ( ) theo giao tuyến a và b Chứng minh a vaø b caét taïi I thì I laø ñieåm chung cuûa () vaø ()  Ñònh lí 2: (veà giao tuyeán cuûa ba maët phaúng): Neáu ba maët phaúng phaân bieät ñoâi moät caét theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đồng quy đôi song song với I     a a b c b  Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó d   d d1 258 d2 d    d2 d1  Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Xác định giao tuyến các mặt phẳng (SAD) vaø (SBC) Giaûi: Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm BC và BD (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD M, N Chứng minh tứ giác IJNM là hình thang Nếu M là trung điểm AC thì tứ giaùc IJNM laø hình gì? Giaûi: Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với  Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song   a b c Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R và S là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC Chứng minh các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy trung điểm đoạn Giaûi: 259 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA Chứng minh bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC song song đồng quy b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD song song đồng quy Bài 2: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lấy trên ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S AD và mặt phẳng (PQR) hai trường hợp sau đây: a) PR song song với AC b) PR caét AC Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm cạnh AB và CD và G là trung điểm caïnh MN a) Tìm giao điểm A’ đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD) b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) M’ Chứng minh B, M’, A’ thaúng haøng vaø BM’ = M’A’ = A’N c) Chứng minh GA = 3GA’ Bài 4: Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy điểm M cho MB = 2MC Chứng minh MG // (ACD) Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 là trọng tâm các tam giác ACD và BCD Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm AC và BD, M là trung điểm SA Tìm thiết diện mặt pẳng () với hình chóp S.ABCD () qua M và đồng thời song song với SC và AD CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 260 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §3 ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG SONG SONG I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG: Cho đường thẳng d và mặt phẳng () Tùy theo số điểm chung d và (), ta có ba trường hợp:  d và () không có điểm chung Khi đó ta nói d song song với () hay () song song với d và kí hiệu là: d // () hay () // d d  d  d và () có điểm chung M Khi đó ta noùi d vaø () caét taïi M vaø kí hieäu laø: d  () = {M} hay d  () = M M   d và () có từ hai điểm chung trở lên Khi đó, d nằm () hay () chứa d và kí hiệu:  d  () hay ()  d II- TÍNH CHAÁT: Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng () và d song song với đường thẳng d’ nằm () thì d song song với () d  d d'   Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ():  Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P là trung điểm AB, AC, AD Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mp(BCD) khoâng? Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng () Nếu mặt phẳng () chứa a và cắt () theo giao tuyến b thì b song song với a  a b  Ví du: Cho tứ diện ABCD Lấy M là điểm thuộc miền tam giác ABC Gọi () là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD Xác định thiết diện tạo () và tứ diện ABCD Thiết diện đó là hình gì? Giaûi: 261 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng đó  d' d  Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF khoâng cuøng naèm moät maët phaúng a) Gọi O và O’ là tâm các hình bình hành ABCD và ABEF Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE) b) Gọi M và N là trọng tâm hai tam giác ABD và ABE Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF) Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Cho () là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD a) Tìm giao tuyến () với các mặt tứ diện b) Thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng () là hình gì? Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng () qua O, song song với AB và SC Thiết diện đó là hình gì? Bài 4: Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy điểm M cho MB = 2MC Chứng minh MG // (ACD) Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 là trọng tâm các tam giác ACD và BCD Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm AC và BD, M là trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD () qua M và đồng thời song song với SC và AD CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 262 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §4 HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG I- ÑÒNH NGHÓA: Hai mặt phẳng (), () gọi là song song với chúng khoâng coù ñieåm chung Khi đó ta kí hiệu: () // () hay () // () II- TÍNH CHAÁT   Định lí 1: Nếu mặt phẳng () chứa hai đường thẳng cắt a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng ( thì () song song với () a b  M   Cho tứ diện SABC Hãy dựng mặt phẳng () qua trung điểm I đoạn SA và song song với mặt phẳng (BCA)? Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (DBC) Giaûi:  Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Định lí 2: Qua điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có và mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho A   Hệ 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng () thì () có đường thẳng song song với d và qua d có mặt phẳng () song song với () d   263 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với Heä quaû 3: Cho ñieåm A khoâng naèm treân maët phaúng () Mọi đường thẳng qua A và song song với () nằm mặt phẳng qua A và song song với ()  A  Ví dụ: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC Gọi Sx, Sy, Sz là phân giác ngoài các góc S ba tam giác SBC, SCA, SAB Chứng minh: a) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC); b) Sx, Sy, Sz cuøng naèm treân moät maët phaúng Giaûi:  b a A' Ñònh lí 3: Cho hai maët phaúng song song Neáu moät maët phaúng caét maët phaúng naøy thì cuõng caét maët phaúng vaø hai giao tuyeán song song với  A a  B'  B b  Heä quaû: Hai maët phaúng song song chaén trên hai cát tuyến song song đoạn thaúng baèng III- ÑÒNH LÍ TA-LEÙT (THALEØS): d Ñònh lí (Ñònh lí Ta-leùt): Ba maët phaúng ñoâi moät song song chắn trên hai cát tuyến bất kì đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Neáu d vaø d' laø hai caùt tuyeán baát kì caét ba maët phẳng song song (), (), () các điểm A, B, C vaø A', B', C' thì: AB BC CA   A' B' B' C ' C ' A' 264 d' A' A P B B' Q C R C' Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 IV- HÌNH LAÊNG TRUÏ VAØ HÌNH HOÄP: Cho hai maët phaúng song song () vaø (') Treân () cho ña giaùc loài A1 A2 An Qua caùc ñænh A1, A2 , , An ta vẽ các đường thẳng song song với và cắt (') A'1 , A'2 , , A'n  Hình goàm hai ña giaùc A1 , A2 , , An , A'1 , A'2 , , A'n vaø caùc hình bình hành A1 A'1 A'2 A2 , A2 A'2 A'3 A3 , , An A'n A'1 A1 gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là A1 A2 An A'1 A'2 A'n A'4 A'5  Hai đa giác A1 , A2 , , An và A'1 , A'2 , , A'n gọi là hai mặt đáy A'1 A'3 A'2 ' cuûa hình laêng truï  Các đoạn thẳng A1 A'1 , A2 A'2 , , An A'n gọi là các cạnh bên hình laêng truï  Các hình bình hành A1 A'1 A'2 A2 , A2 A'2 A'3 A3 , , An A'n A'1 A1 gọi A4 A5 A1 A2  A3 laø caùc maët beân cuûa hình laêng truï  Các đỉnh hai đa giác gọi là các đỉnh hình lăng trụ * Nhaän xeùt: + Các cạnh bên hình lăng trụ và song song với + Caùc maët beân cuûa hình laêng truï laø caùc hình bình haønh + Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác  Hình lăng trụ gọi tên dựa vào tên đa giác đáy: "lăng trụ" ghép với "tên đa giác đáy" V- HÌNH CHOÙP CUÏT: Ñònh nghóa: Cho hình choùp S A1 , A2 , , An ; moät maët phaúng (P) khoâng S qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy hình chóp cắt các cạnh SA1 , SA2 , , SAn A'1 , A'2 , , A'n Hình tạo thiết diện A'1 A'2 A'n và đáy A1 A2 An hình chóp cùng với các tứ giác A'1 A'2 A2 A1 , A'2 A'3 A3 A2 , , A'n A'1 A1 An goïi laø hình choùp cuït A'1  Đáy hình chóp gọi là đáy lớn hình chóp cụt, còn thiết diện A'1 A'2 A'n gọi là đáy nhỏ hình chóp cụt Các tứ giác A'2 A'5 A'3 P A'4 A'1 A'2 A2 A1 , A'2 A'3 A3 A2 , , A'n A'1 A1 An goïi laø caùc maët beân cuûa hình choùp cụt Các đoạn thẳng A1 A'1 , A2 A'2 , , An A'n gọi là các cạnh bên hình A2 A A3 choùp cuït  Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác…, ta có hình chóp cụt tam A4 A5 giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,… * Tính chaát:  Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cặp cạnh tương ứng  Các mặt bên là hình thang  Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy điểm 265 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, M’ là trung điểm các cạnh BC, B’C’ a) Chứng minh AM song song với A’M’ b) Tìm giao điểm mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M c) Tìm giao tuyeán d cuûa hai maët phaúng (AB’C’) vaø (BA’C’) d) Tìm giao điểm G đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M) Chứng minh G là trọng tâm tam giaùc AB’C’ Baøi 2: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 và G2 hai tam giác BDA’ và B’D’C c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần d) Gọi O và I là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C Xác định thiết diện mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD Gọi A1 là trung điểm cạnh SA và A2 là trung điểm đoạn AA1 Gọi () và () là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và qua A1, A2 Mặt phẳng ( cắt các cạnh SB, SC, SD B1, C1, D1 Mặt phẳng () cắt các cạnh SB, SC, SD B2, C2, D2 Chứng minh: a) B1, C1, D1 là trung điểm các cạnh SB, SC, SD b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D c) Chỉ các hình chóp cụt có đáy là tứ giác ABCD Bài 4: Trong mặt phẳng () cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với và không nằm trên () Trên a, b, c lấy ba điểm A’, B’, C’ tùy ý a) Hãy xác định giao điểm D’ đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’) b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình vuông ABCD và ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên các đường chéo AC và BF lấy các điểm M và N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N cắt AD và AF M' và N' Chứng minh: a) (ADF) // (BCE); b) M'N' // DF; c) (DEF) // (MM'N'N) vaø MN // (DEF) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD = 2BC Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm AC và BE I là điểm di động trên cạnh AC khác với A và C Qua I, ta vẽ mặt phẳng () song song với (SBE) Tìm thiết diện tạo bới () và hình chóp S.ABCD CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 266 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §5 PHEÙP CHIEÁU SONG SONG HÌNH BIEÅU DIEÃN I- PHEÙP CHIEÁU SONG SONG: Cho mặt phẳng () và đường thẳng  cắt () Với điểm M không gian, đường thẳng qua M và song M song trùng với  cắt () điểm M’ xác định Điểm M’ goïi laø hình chieáu song song cuûa ñieåm M treân maët phaúng () theo phöông đường thẳng  nói gọn là theo phương  Mặt phẳng () gọi là M' maët phaúng chieáu Phöông  goïi laø phöông chieáu Phép đặt tương ứng điểm M không gian với hình chiếu M’  nó trên mặt phẳng () gọi là phép chiếu song song lên () theo phöông  Nếu H là hình nào đó thì tập hợp H’ các hình chiếu M’ tất điểm M thuộc H goïi laø hình chieáu cuûa H qua pheùp chieáu song song noùi treân * Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu đường thẳng đó là điểm Sau đây ta xét các hình chiếu đường thẳng có phương không trùng với phương chieáu II- CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA PHEÙP CHIEÁU SONG SONG: Ñònh lí 1: a) Pheùp chieáu song song bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng laøm thay đổi thứ tự ba điểm đó b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng C B A A' B' C'  c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song trùng b b a a b' a'  b'  a'   d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song cùng nằm trên đường thẳng aA A C D A' C' C D a b' a' B B b a' A' B' B' C' D'   AB A' B'  CD C' D' AB A' B'  CD C' D' 267 D' Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 III- HÌNH BIEÅU DIEÃN CUÛA MOÄT HÌNH KHOÂNG GIAN TREÂN MAËT PHAÚNG: Hình bieåu dieãn cuûa moät hình H khoâng gian laø hình chieáu song song cuûa hình H treân moät maët phaúng theo phương chiếu nào đó hình đồng dạng với hình chiếu đó Hình biểu diễn các hình thường gặp: Hình biểu diễn tam giác thường, tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, v.v… là: Hình biểu diễn tứ giác, hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật,… là: Một hình thang bất kì có thể coi là hình biểu diễn hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy hình biểu diễn phải tỉ số độ dài hai đáy hình thang ban đầu Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn Ví duï: Veõ hình bieåu dieãn cuûa caùc hình sau: a) Hình chóp S.ABC có đáy là: tam giác vuông A; tam giác đều; tam giác cân B b) Hình chóp S.ABCD có đáy là: hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang vuông; c) Hình laêng truï ABC.A'B'C', hình hoäp ABCD.A'B'C'D'  Ghi chuù: CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 268 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * 269 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hai hình thang ABCD, ABEF chung đáy lớn AB và không cùng nằm mặt phẳng a) Tìm giao tuyeán cuûa caùc maët phaúng sau: (AEC) vaø (BFD); (BCE) vaø (ADF) b) Lấy M là điểm thuộc đoạn DF Tìm giao điểm đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE) c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Bài 3: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn Gọi M, N theo thứ tự là trung ñieåm cuûa caùc caïnh SB, SC a) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SAD) vaø (SBC) b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (AMN) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt cùng phía mặt phẳng (ABCD), song song với và không nằm mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng () cắt Ax, By, Cz, Dt A’, B’, C’ và D’ a) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt) b) Gọi I = AC  BD, J = A'C'  B'D' Chứng minh IJ song song với AA’ c) Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c Haõy tính DD’ Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Vẽ thiết diện hình hộp tạo mặt phẳng qua hai trung điểm M, N cuûa caùc caïnh AB, AD vaø taâm O cuûa maët CDD'C' Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Cho hình bình haønh ABCD vaø ABEF naèm hai maët phaúng khaùc Laáy caùc ñieåm M, N laàn lượt thuộc các đường chéo AC, BF cho MC = 2AM, NF = 2BN Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF M1, N1 Chứng minh rằng: c) mp(MNN1M1) // mp(DEF) a) MM // DE; b) M1N1 // mp(DEF); Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Trên ba cạnh AB, DD', C'B' lấy ba điểm M, N, P không AM D' N B' P trùng với các đỉnh cho   AB D' D B' C' a) Chứng minh mp(MNP) và mp(AB'D') song song với b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mp(MNP) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 270 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 CHÖÔNG III - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Vectô:  Vectơ là đoạn thẳng có hướng đặc trưng bởi: phương, chiều và độ lớn Đường thẳng chứa vectơ   a gọi là giá vectơ a  Độ dài vectơ AB , kí hiệu AB  AB  BA  Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng      Hai vectơ a và b gọi là chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a  b   Hai vectơ gọi là đối chúng ngược hướng và có cùng độ dài, vectơ đối vectơ a , kí hiệu  laø - a Ta coù:  AB  BA Quy taéc hình bình haønh vaø quy taéc ba ñieåm: Quy taéc hình bình haønh: Neáu ABCD laø hình bình haønh thì: AB  AD  AC Quy taéc ba ñieåm: cho ba ñieåm A, B, C baát kì ta coù  AB  BC  AC Caùc tính chaát cuûa pheùp coäng vectô:    Cho ba vectô a, b , c baát kì, ta coù:            (a  b )  c  a  (b  c )  ab ba  AB  AC  CB       a0  0a a Phép nhân số với vectơ:     Định nghĩa: Cho số k  và vectơ a  Tích vectơ a với số k là vectơ, kí hiệu là k a , cùng    hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < và có độ dài k a    Tính chất: Với hai vectơ a và b bất kì, với số h và k, ta có:         (h + k) a   ka  k( a  b ) = ka  kb        h(k a ) = (hk) a 1 a = a , (-1) a = - a Một số tính chất thường gặp:   Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB và IA  IB    Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC vaø chæ GA  GB  GC   Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì với điểm M ta có: MA  MB  MI  Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với điểm M ta có: MA  MB  MC  3MG        Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  ) cùng phương là có số k để a = k b  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng và có số k khác để AB  k AC     Cho hai vectơ a và b không cùng phương Khi đó vectơ x phân tích cách      theo hai vectô a vaø b , nghóa laø coù nhaát caëp soá h, k cho x   kb  Ghi chuù: 271 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §1 VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN I- ÑÒNH NGHÓA VAØ CAÙC PHEÙP TOÙAN VEÀ VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN: Cho đoạn thẳng AB không gian Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có vectơ, kí hieäu laø AB Định nghĩa: Vectơ không gian là đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn kí hiệu là a, b, x, y ,… Các khái niệm có liên quan đến vectơ giá vectơ, độ dài vectơ, cùng phương, cùng hướng hai vectơ, vectơ – không, hai vectơ, … định nghĩa tương tự mặt phẳng  Cho hình tứ diện ABCD Hãy các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại hình tứ diện Các vectơ coù cuøng naèm maët phaúng khoâng? Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh hình hộp và vectơ AB Phép cộng và phép trừ vectơ không gian: ( ) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Chứng minh: AC  BD  AD  BC Giaûi:  Cho hình hộp ABCD.EFGH Hãy thực các phép toán sau đây: a) AB  CD  EF  GH ; b) BE  CH B'  Quy taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù C' A' ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’ Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: AB  AD  AA'  AC ' D' B A C D Phép nhân vectơ với số: ( .)   Trong không gian, tích vectơ a với số k ≠ là vectơ k a định nghĩa tương tự mặt phẳng và có các tính chất giống các tính chất đã xét mặt phẳng Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng: a) MN  ( AB  DC) ; b) AB  AC  AD  AG ; Giaûi: 272 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11           Trong không gian cho hai vectơ a và b khác vectơ - không Hãy xác định các vectơ m  a , n  3b và p  m  n II- ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ: Khái niệm đồng phẳng ba vectơ không gian: Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm mặt phẳng, đó ta nói nằm mặt phẳng thì ta nói ba vectơ a, b, c ba vectơ a, b, c không đồng phẳng đồng phẳng A a a O A b O b c B C B c C * Chú ý: Việc xác định đồng phẳng không đồng phẳng ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào vieäc choïn ñieåm O b Ñònh nghóa: a Trong không gian ba vectơ gọi là đồng a phẳng các giá chúng cùng song song với b O c maët phaúng  c Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm AB và CD Chứng minh ba vectơ BC , AD, MN đồng phẳng Giaûi:  Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I và K là trung điểm các cạnh AB và BC Chứng minh các đường thẳng IK và ED song song với mp(AFC) Từ đó suy ba vectơ AF , IK , ED đồng phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ a, b không cùng phương và vectơ c Khi đó ba vectơ a, b , c đồng phẳng và có cặp số m, n cho c = ma  nb Ngòai cặp số m, n là           Cho hai vectơ a và b khác vectơ Hãy xác định vectơ c  a  b và giải thích ba vectơ a, b , c đồng phẳng        Cho ba vectơ a, b , c không gian Chứng minh ma  nb  pc  và số ba số m, n, p khác không thì    ba vectơ a, b , c đồng phẳng 273 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm AB và CD Trên các cạnh AD và BC 2 lấy các điểm P và Q cho AP  AD và BQ  BC Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q 3 cuøng thuoäc moät maët phaúng Giaûi: Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b , c Khi đó với vectơ x ta tìm ba số m, n, p cho x  ma  nb  pc Ngòai ba số m, n, p là Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB  a , AD  b , AE  c Gọi I là trung điểm đoạn BG Haõy bieåu thò vectô AI qua ba vectô a, b , c Giaûi:  Ghi chuù: 274 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: a) AB  B' C '  DD'  AC ' b) BD  D' D  B' D'  BB' c) AC  BA'  DB  C ' D  Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Gọi S là điểm nằm ngòai mặt phẳng chứa hình bình hành Chứng minh raèng: SA  SC  SB  SD Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm AB và CD Chứng minh rằng: 1 a) MN  ( AD  BC ) ; b) MN  ( AC  BD ) 2 Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: DA  DB  DC  3DG Bài 5: Gọi M và N là trung điểm các cạnh AC và BD tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MN và P là điểm bất kì không gian Chứng minh rằng:  a) IA  IB  IC  ID  b) PI  ( PA  PB  PC  PD ) Bài 6: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ I, K, L, M Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh hình laêng truï Haõy chæ caùc vectô: a) Cùng phương với IA b) Cùng phương với IA c) Ngược hướng với IA Baøi 7: Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A’B’C’ coù AA'  a , AB  b , AC  c Haõy phaân tích (hay bieåu thò) caùc vectô B' C , BC ' qua caùc vectô a, b , c Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD Hãy xác định hai điểm E, F cho: a) AE  AB  AC  AD b) AF  AB  AC  AD Bài 2: Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS  2MA và trên đoạn BC lấy điểm N cho NB   NC Chứng minh ba vectơ AB , MN , SC đồng phẳng Baøi 3: Cho hình hoäp ABCD.EFGH Goïi K laø giao ñieåm cuûa AH vaø DE, I laø giao ñieåm cuûa BH vaø DF Chứng minh ba vectơ AC , KI , FG đồng phẳng CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 275 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I- TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: Góc hai vectơ không gian:   Ñònh nghóa: Trong khoâng gian, cho u vaø v laø hai vectô khaùc vectô - khoâng Laáy moät ñieåm A baát kì, goïi B vaø C laø hai ñieåm   cho AB  u , AC  v Khi đó ta gọi góc BAC (00  C  1800) là     góc hai vectơ u và v không gian, kí hiệu là ( u, v ) u B A C  v  Cho tứ diện ABCD có H là trung điểm cạnh AB Hãy tính góc các cặp vectơ: AB và BC , CH và AC Tích vô hướng hai vectơ không gian: Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ u và v khác vectơ - không Tích vô hướng hai vectơ u và v là số, kí hiệu là u v , xác định công thức:      u.v  u v cos( u , v ) Trường hợp u = v = ta quy ước u v = Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc và OA = OB = OC = Gọi M là trung điểm cạnh AB Tính góc hai vectơ OM và BC Giaûi:  Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' Haõy phaân tích caùc vectô AC' vaø BD theo ba vectô AB , AD , AA' Tính cos( AC ', BD ) vaø từ đó suy AC' và BD vuông góc II- VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG: Ñònh nghóa: Vectô a khaùc vectô – khoân g a gọi là vectơ phương đường thẳng d d giá vectơ a song song trùng với đường thaúng d Nhaän xeùt:    Nếu a là vectơ phương đường thẳng d thì vectơ ka với k  là vectơ phöông cuûa d  Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d và  vectô chæ phöông a cuûa noù  Hai đường thẳng song song với và chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectô chæ phöông cuøng phöông 276 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 III- GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: b Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a và b không gian là góc hai đường thẳng a’ và b’ cùng qua a b' điểm và song song với a và b O a' Nhaän xeùt:  Để xác định góc hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc hai đường thẳng đó vẽ đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại    Nếu u là vectơ phương đường thẳng a và v là vectơ phương đường thẳng b và   (u, v ) =  thì góc hai đường thẳng a và b  00    900 và 1800 -  900 <   1800  Nếu a và b song song trùng thì góc chúng 00  Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc các cặp đường thẳng: AB và B'C'; AC và B'C'; A'C' và B'C Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a Tính góc hai đường thaúng AB vaø SC Giaûi: V- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC: Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là vuông góc với góc chúng 900 Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với là a  b Nhaän xeùt:     Nếu u và v là các vectơ phương hai đường thẳng a và b thì: a  b  u.v   Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng  Hai đường thẳng vuông góc với có thể cắt chéo Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD Gọi P và Q là trung điểm AB và CD Chứng minh AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với Giaûi: 277 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11  Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Hãy nêu tên các đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AB, AC  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc các cặp vectơ sau đây: a) AB vaø EG ; b) AF vaø EG ; c) AB vaø DH Bài 2: Cho tứ diện ABCD a) Chứng minh AB.CD  AC.DB  AD.BC  ; b) Từ đẳng thức trên hãy suy tứ diện ABCD có AB  CD và AC  DB thì AD  BC Bài 3: Trong không gian cho hai tam giác ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AC, CB, BC’, C’A Chứng minh rằng: a) AB  CC’; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có góc ASB = BSC = CSA Chứng minh rằng: SA  BC, SB  AC, SC  AB Baøi 5: Trong khoâng gian cho hai hình vuoâng ABCD vaø ABC’D’ coù chung caïnh AB vaø naèm hai maët phẳng khác nhau, có tâm O và O’ Chứng minh rằng: AB  OO’ và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật Bài 6: a) Trong không gian hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với không? b) Trong không gian đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không? Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC = BAD = 600 Chứng minh rằng: a) AB  CD b) Nếu M, N là trung điểm AB và CD thì MN  AB và MN  CD 2 AB AC  ( AB AC ) Bài 2: Cho S là diện tích hình tam giác ABC Chứng minh rằng: S = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 278 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I- ÑÒNH NGHÓA: Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng () d vuông góc với đường thẳng a nằm maët phaúng () Khi d vuông góc với () ta còn nói () vuông góc với d, d và () vuông góc với Kí hieäu: d  () II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: Định lí: Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt cùng thuộc mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng Hệ quả: Nếu đường thẳng vuông góc với hai cạnh tam giác thì nó vuông góc với cạnh thứ ba tam giác đó  Nhaän xeùt:  Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông B và có cạnh SA vuông góc với mặt phaúng (ABC) a) Chứng minh BC  (SAB) b) Gọi AH là đường cao tam giác SAB Chứng minh AH  SC Giaûi: 279 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 III- TÍNH CHAÁT: d Tính chaát 1: Coù nhaát moät maët phaúng ñi qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Người ta gọi mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB O  M A B I  O Tính chất 2: Có đường thẳng qua điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước  IV- LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VAØ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MAËT PHAÚNG: Tính chaát 1: a b a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc  với mặt phẳng thì song song với Tính chaát 2: a a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng  nào vuông góc với mặt phẳng này thì vuông góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với  đường thẳng thì song song với Tính chaát 3: b a a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng () song song với Đường thẳng nào vuông góc với () thì vuông góc với a b) Nếu đường thẳng và mặt phẳng  (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với đường thẳng khác thì chúng song song với V- PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VAØ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC: Pheùp chieáu vuoâng goùc: Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng () Phép chiếu song song theo phương  lên mặt phẳng () gọi là phép chiếu vuông góc leân maët phaúng () A B A'  280 B' Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 * Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng là trường hợp đặc biệt phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất phép chiếu song song Chú ý người ta còn dùng tên gọi “phép chiếu lên maët phaúng ()” thay cho teân goïi “pheùp chieáu vuoâng goùc leân maët phaúng ()” vaø duøng teân goïi H' laø hình chieáu cuûa H treân maët phaúng () thay cho teân goïi laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân maët phaúng () A Định lí ba đường vuông góc: B Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng () b và b là đường thẳng không thuộc() đồng thời không vuông góc với () Gọi b’ là hình chiếu vuông góc b' A' B' b trên () Khi đó a vuông góc với b và a  a vuông góc với b’ Góc đường thẳng và mặt phẳng: Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng () d A  Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì ta nói góc đường thẳng d và mặt phẳng () 900  Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng  O () thì góc d và hình chiếu d’ nó trên () gọi là góc H d' đường thẳng d và mặt phẳng ()  * Chú ý: Nếu là góc đường thẳng d và mặt phẳng () thì ta luoân coù 00    900 Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a) Gọi M và N là hình chiếu điểm A lên các đường thẳng SB và SD Tính góc đường thaúng SC vaø maët phaúng (AMN) b) Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) Giaûi:  Ghi chuù: 281 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD Gọi O là giao điểm AC và BD Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b) Đường thẳng AC vuông góc với mp(SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mp(SAC) Bài 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: 1 1 a) H là trực tâm tam giác ABC; b)    2 OH OA OB OC Baøi 3: Treân maët phaúng () cho hình bình haønh ABCD Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, S laø moät ñieåm nằm ngoài mặt phẳng () cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vông góc mp() b) Nếu mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB H thì AB vuông góc với mp(SOH) Bài 4: Cho điểm S không thuộc mặt phẳng () có hình chiếu trên () là điểm H Với điểm M bất kì trên () và M không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu đường xiên đó Chứng minh raèng: a) Hai đường xiên và hai hình chiếu chúng b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn thì có hình chiếu lớn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn thì lớn Bài 5: Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng () Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? a) Neáu a // () vaø b  () thì a  b b) Neáu a // () vaø b  a thì b  () c) Neáu a // () vaø b // () thì b // a d) Neáu a  () vaø b  a thì b // () Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I là trung ñieåm cuûa caïnh BC a) Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (ADI) b) Gọi AH là đường cao tam giác ADI, chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (BCD) Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mp(ABCD) Gọi I SI SK Chứng minh: và K là hai điểm lấy trên hai cạnh SB và SD cho  SB SD a) BD vuông góc với SC b) IK vuông góc với mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông B SM SN Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho Chứng  SB SC minh raèng: a) BC  (SAB) vaø AM  (SBC) b) SB  AN CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 282 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §4 HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Ñònh nghóa: Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó Nếu hai mặt phẳng song song trùng thì ta nói góc hai mặt phẳng đó 00 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt nhau:  Giả sử hai mặt phẳng () và () cắt theo giao tuyến c b Từ điểm I bất kì trên c ta dựng () đường thẳng a vuông góc với c và dựng () đường thẳng b vuông góc với c c Người ta chứng minh góc hai mặt phẳng () và a I () là góc hai đường thẳng a và b  Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc: Cho ña giaùc H naèm maët phaúng () coù dieän tích laø S vaø H’ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân mặt phẳng (), gọi  là góc mp() và mp() Khi đó diện tích S’ H’ tính theo công thức: S’ = Scos  Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng a (ABC) vaø SA = a) Tính góc hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) b) Tính dieän tích tam giaùc SBC Giaûi: 283 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 II- HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC: Ñònh nghóa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc hai mặt phẳng đó là góc vuông Nếu hai mặt phẳng () và () vuông góc với ta kí hiệu ()  () Caùc ñònh lí: Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với là mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Hệ quả1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng  d c  Heä quaû 2: Cho hai maët phaúng () vaø () vuông góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng () ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () thì đường thẳng này nằm mặt phaúng () d   Ñònh lí 2: Neáu hai maët phaúng caét vaø cùng vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng đó     Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi vuông góc với Chứng minh các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) đôi vuông góc với  Cho hình vuông ABCD Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD a) Hãy nêu tên các mặt phẳng chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD) 284 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông C, mặt bên (SAC) là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy a) Chứng minh mp(SAC)  mp(SBC); b) Gọi I là trung điểm SC, chứng minh mp(ABI)  mp(SBC) Giaûi: III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG: Ñònh nghóa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi là chiều cao hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,v.v… gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,v.v… Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác gọi là hình lăng trụ Ta có các loại lăng trụ hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, hình lăng trụ ngũ giác đều… Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên là hình vuông gọi là hình lập phöông Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là hình chữ nhật Lăng trục đứng tam giác Lăng trụ đứng ngũ giác 285 Hình hộp chữ nhật Hình laäp phöông Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Ví duï: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a Tính dieän tích thieát dieän cuûa hình laäp phương bị cắt mặt phẳng trung trực () đoạn AC’ Giaûi: IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VAØ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU: Hình chóp đều: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là đa giác A1 A2 An vaø H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân maët phaúng S đáy ( A1 A2 An ) Khi đó đoạn thẳng SH gọi là đường cao hình chóp và H gọi là chân đường cao Một hình chóp gọi là hình chóp nó có đáy là đa giác và có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy C B A D H F E  Cách vẽ hình chóp đều:  Hai loại hình chóp thường gặp: 286 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Nhaän xeùt: a) Hình chóp có các mặt bên là tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy các goùc baèng b) Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy các góc B' Hình chóp cụt đều: Phần hình chóp nằm đáy và thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên hình chóp gọi là hình chóp cụt C' D' A' F' E' C B D A F E  Ghi chuù: 287 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông B Một đoạn thẳng AD vuông góc với () A Chứng minh rằng: a) Góc ABD là góc hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD) c) HK // BC với H, K là giao điểm DB, DC với mp(P) qua A và vuông góc với DB Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: a) Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với mặt phẳng (BCD’A’) b) Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a Chứng minh: a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) b) Tam giaùc SBD laø tam giaùc vuoâng Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c a) Chứng minh mặt phẳng (ADC’B’) vuông góc với mặt phẳng (ABB’A’) b) Tính độ dài đường chéo AC’ theo a, b, c Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy a Gọi O là tâm hình vuoâng ABCD a) Tính độ dài đoạn thẳng SO b) Gọi M là trung điểm đoạn SC Chứng minh mp(MBD)  mp(SAC) c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) Bài 6: Cho ba mặt phẳng (), (), () mệnh đề nào đây đúng? a) Neáu ()  () vaø () // () thì ()  (); b) Neáu ()  () vaø ()  () thì () // () Bài 7: Tính độ dài đường chéo hình lập phương cạnh a Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SH là đường cao Chứng minh SA  BC và SB  AC Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hai mặt phẳng () và () vuông góc với Người ta lấy trên giao tuyến  hai mặt phẳng đó hai điểm A và B cho AB = cm Gọi C là điểm trên () và D là điểm trên () cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến  và AC = cm, BD = 24 cm Tính độ dài đoạn CD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A 600, cạnh SC a = và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA K Hãy tính độ dài IK c) Chứng minh góc BKD = 900 và từ đó suy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 288 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 §5 KHOẢNG CÁCH I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm O và đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi O H là hình chiếu vuông góc O trên a Khi đó khoảng cách a hai điểm O và H gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường H  thaúng a, kí hieäu laø d(O,a) O Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho ñieåm O vaø maët phaúng () Goïi H laø hình chieáu vuoâng góc O lên mặt phẳng () Khi đó khoảng cách hai điểm O và H gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () và H  kí hiệu là d(O, ()) II- KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: O Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song: a Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng () Khoảng cách đường thẳng a và mặt phẳng () là khoảng H cách từ điểm bất kì a đến mặt phẳng (), kí hiệu là d(a,  ()) Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song O là khoảng cách từ điểm bất kì mặt phẳng này đến mặt  phaúng Ta kí hiệu khoảng cách hai mặt phẳng () và () song H song với là d((),()) Khi đó d((),()) = d(M, ()) với  M  (), và d((),()) = d(M’,()) với M’ () III- ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VAØ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU:  Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm cạnh BC và AD Chứng minh rằng: MN  BC và MN  AD Ñònh nghóa: a) Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo a, b và cùng vuông góc với đường thẳng gọi là đường vuông goùc chung cuûa a vaø b b) Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b Cách tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo a và b Gọi () là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc a treân maët phaúng () Vì a // () nên a // a’ Do đó a’ và b’ cắt điểm Gọi điểm này là N Gọi () là mặt phẳng chứa a và a’  là đường thẳng qua N và vuông góc với () Khi đó () vuông góc với () Như  nằm () nên cắt đường thẳng a M và cắt đường thẳng b N, đồng thời  cùng vuông góc với a và b Do đó   là đường vuông góc chung a và b 289 M a b N a b Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 Nhaän xeùt: a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng a M cách hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với  nó chứa đường thẳng còn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng N b  cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC và BD Giaûi:  Ghi chuù: 290 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H, K là trực tâm tam giaùc ABC vaø SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy b) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) c) Xác định đường vuông góc chung BC và SA Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ và AC’ Bài 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối diện tứ diện đó Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC) Bài 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? a) Đường thẳng  là đường vuông góc chung hai đường thẳng a và b  vuông góc với a và  vuông góc với b b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với hai đường thẳng a và b chéo Khi đó đường vuông góc chung  a và b luôn luôn vuông góc với (P) c) Gọi  là đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo a và b thì  là giao tuyến là hai maët phaúng (a, ) vaø (b, ) d) Cho hai đường thẳng chéo a và b Đường thẳng nào qua điểm M trên a đồng thời cắt b N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung a và b e) Đường vuông góc chung  hai đường thẳng chéo a và b nằm mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Chứng minh các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ Tính khoảng cách đó Baøi 2: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’) b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ và CD’ Bài 3: Chứng minh đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD tứ diện ABCD là đường vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD thì AC = BD vaø AD = BC CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 291 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 * OÂN TAÄP CHÖÔNG III * 292 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 293 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA a và vuông góc với mặt phaúng (ABCD) a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b) Mặt phẳng () qua A và vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB Baøi 2: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB’ và BC’ a Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có BAD = 600 và SA = SB = SD = a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) c) Chứng minh SB vuông góc với BC d) Gọi  là góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Tính tan  Bài 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì chúng song song b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì chúng song song c) Mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng b mà b vuông góc với đường thẳng a, thì a song song với () d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì chúng song song e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì chúng song song Bài 5: Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào là đúng? a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo là đoạn ngắn các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng và ngược lại b) Qua điểm có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng khác c) Qua đường thẳng có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng khác d) Đường thẳng nào vuông góc với hai đường thẳng chéo cho trước là đường vuông góc chung hai đường thẳng đó Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc BAD = 600 Gọi O là giao là trung điểm đoạn BC, F là trung điểm đoạn BE a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC) b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC) Bài 2: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tam giác ABC vuoâng taïi A coù AB = a, AC = b Tam giaùc ADC vuoâng taïi D coù CD = a a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là tam giác vuông b) Gọi I và K là trung điểm AD và BC Chứng minh IK là đường vuông góc chung hai đường thẳng AD và BC 294 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 11 * OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM * Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(1 ; 1), B(0 ; 3), C(2 ; 4) Xác định ảnh tam giác ABC qua caùc pheùp bieán hình sau: a) Pheùp tònh tieán theo vectô v = (2 ; 1) b) Phép đối xứng qua trục Ox c) Phép đối xứng qua tâm I(2 ; 1) d) Pheùp qua taâm O goùc 900 e) Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm O tæ soá k = -2 Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm tam giác, các điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’ b) Chứng minh O, G, H thẳng hàng c) Tìm ảnh O qua phép vị tự F d) Gọi A”, B”, C” là trung điểm các đoạn thẳng AH, BH, CH; A1, B1, C1 theo thứ tự là giao điểm thứ hai các tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A’1, B’1, C’1 tương ứng là chân các đường cao qua A, B, C Tìm ảnh A, B, C, A1, B1, C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số e) Chứng minh chín điểm A’, B’, C’, A”, B”, C”, A’1, B’1, C’1 cùng thuộc đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le tam giác ABC) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn Gọi M là trung điểm đoạn AB, E là giao điểm hai cạnh bên hình thang ABCD và G là trọng tâm tam giác ECD a) Chứng minh bốn điểm S, E, M, G cùng thuộc mặt phẳng   và mặt phẳng này cắt hai maët phaúng (SAC) vaø (SBD) theo cuøng moät giao tuyeán d b) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SAD) vaø (SBC) c) Lấy điểm K trên đoạn SE và gọi C’ = SC  KB, D’ = SD  KA d) Chứng minh giao điểm AC’ và BD’ thuộc đường thẳng d nói trên Bài 4: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M và N là trung điểm AC, BD, AC’ và BD’ Chứng minh MN = EF Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có E và F là trung điểm các cạnh AB và DD’ Hãy xác định các thiết diện hình lập phương cắt các mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC’), (EFK) với K là trung ñieåm cuûa caïnh B’C’ Baøi 6: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a a) Hãy xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo BD’ và B’C b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD’ và B’C Bài 7: Cho hình thang ABCD vuông A và B, có AD = 2a, AB = BC = a Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S Gọi C’, D’ là hình chiếu vuông góc A trên SC và SD Chứng minh raèng: a) SBC = SCD = 900 b) AD’, AC’ vaø AB cuøng naèm treân moät maët phaúng c) Chứng minh đường thẳng C’D’ luôn luôn qua điểm cố định S di động trên tia Ax 295 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT HAØM SỐ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Dấu nhị thức bậc nhất:  Dạng f(x) = ax + b (a  0) Nghiệm nhị thức là nghiệm phương trình ax + b =  Bảng xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b (a  0): b + - x a ax + b trái dấu với a cùng dấu với a Dấu tam thức bậc hai:  Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Nghiệm tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c =  Tính  = b2 - 4ac  Neáu  < thì: phöông trình f(x) = voâ nghieäm vaø x - + f(x) cùng dấu với a b  Neáu  = thì: phöông trình f(x) = coù nghieäm keùp x = - vaø 2a b - + x 2a f(x) cùng dấu với a cùng dấu với a  Neáu  > thì: phöông trình f(x) = coù nghieäm x1, x2 (x1 < x2) vaø x2 + x - x1 f(x) cùng dấu với a trái dấu với a cùng dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' hệ số b chẵn Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phöông trình moät aån: Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc và tam thức bậc hai Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình ẩn Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau:  2x 1 a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) = ; c) f(x) = ; d) f(x) = 2 ( x  1) ( x  1) x2  x  Ví duï 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x2 + 2x + < 0; b) (x - 1)(x + 1)2  0; Ví duï 3: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau: c)  ; x  2x  1 x   ; a)   x  x   x  3x   x 1  x  x  15  b)     x x  d) Daáu caùc nghieäm phöông trình baäc hai: Cho phöông trình: ax2 + bx + c = (*) ( = b2 - 4ac) Phöông trình (*) coù hai Phöông trình (*) coù hai nghieäm Phöông trình (*) coù hai nghieäm nghieäm traùi daáu (x1 < < x2) aâm phaân bieät (x1 < x2 < 0) döông phaân bieät (0 < x1 < x2 ) c  a0  a0 vaø chæ khi: P = <   0 a   c  c vaø chæ khi:  P   vaø chæ khi:  P   a a   S   b  S   b    a a 296 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Điều kiện không đổi dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) a  a) f(x)  x  R   ;   a  b) f(x)  x  R     Chia đa thức: r ( x) f ( x)  k ( x)  (với f(x) là đa thức có bậc lớn bậc g(x)), đó g ( x) g ( x) f ( x) k(x) laø thöông vaø r(x) laø dö pheùp chia g ( x) r ( x) f ( x) Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng thaønh daïng k ( x )  : g ( x) g ( x) x  2x  x  3x  x3 1 x2 a) ; b) ; c) ; d) ; x 1 x 1 x2 x 1  x  2x  x  3x  x  5x  x  x  3x  e) ; f) ; g) ; h) 1 x 2x   2x x2 1 Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau đây thành tích nhị thức bậc với đa thức có bậc nhỏ đa thức đã cho: a) -x3 + 3x2 - 3x + 1; b) x3 + x2 - 2x - 2; c) x3 + (m - 1)x2 - m Các khái niệm liên quan đến hàm số: Hàm số cho biểu thức kí hiệu y = f(x) với f(x) là biểu thức chứa biến x  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: D = {x  R  f(x) coù nghóa} y  Giaù trò cuûa haøm soá y = f(x) taïi x0 laø y0 = f(x0) Ví duï 1: Giaù trò cuûa haøm soá y = x2 + taïi x0 = laø y = f(x) = x +  2x Ví duï 2: Cho haøm soá y = f(x) = (1) x7 a) Tính f(2), f(-1); b) Tính giaù trò cuûa haøm soá taïi x = -2; c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = trên đồ thị hàm soá (1); d) Tìm trên đồ thị hàm số (1) điểm có tung độ Ví duï 3: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: 3x  a) y = x – x + 3; b) y = ; x O 1 x x2  x 1 2x c) y = ; d) y = ; x 1 ( x  9) x f) y = e) y = x  x  20 ; 16  x Tính giới hạn: Yêu cầu tính các giới hạn dạng: lim f ( x) , lim f ( x ) , lim f ( x) Yeâu caàu bieãu dieãn x  x0 Ví dụ: Tính các giới hạn sau: 3x  a) lim ; x 1  x b) lim x 1 x  x0 3x  ; 1 x x   3x  ; x   x c) lim 297 3x  ; x   x d) lim Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 e) lim ( x  3x  x  1) ; x  i) lim x  2x  x  x  20 ; f) lim ( x  3x  x  1) ; x  j) lim x   2x  ; x  x  20 ;  x2 x2  k) lim ; x   x g) lim x  ;  x2 x2  l) lim x   x2 h) lim x   Đạo hàm: a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm, đó: (u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ; u u' v  v'u v' ( )'  ( )'   v v2 v v b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp bản: Đạo hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = (x)' = x-1(  R, x > 0) (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) u' ( x )'  ( u )'  (x > 0) (u > 0) x u 1 u' ( )'   (x  0) ( )'   (u  0) x u x u (sinu)' = cosu.u' (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u'  u'  (tanu)' = (tanx)' = (x   k , k  Z) (u   k , k  Z) 2 cos x 2 cos u u' (cotx)' = - (x  k, k  Z) (cotu)' = - (u  k, k  Z) sin x sin u c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt: ax  b ad  bc ax  bx  c adx  2aex  be  dc )' = ( ( )'  cx  d dx  e (cx  d ) (dx  e) ax  bx  c (ae  bd ) x  2(af  dc ) x  bf  ec ( )'  dx  ex  f (dx  ex  f ) Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây: x3 1 x a) y = x3 + - x  ; b) y = ; c) y = ; d) y = x x2 x2 x 1 d) Ý nghĩa hình học đạo hàm: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyeán taïi M(x0; y0) coù daïng: y - y0 = f'(x0)(x - x0) Ví dụ: Cho hàm số y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đó, biết: a) Tieáp ñieåm laø ñieåm (1; 1); b) Tung độ tiếp điểm 4; c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2; d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x  10 Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):  Yêu cầu lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số bậc và hàm số bậc hai Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x - 1; b) y = - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x 11 Tìm tọa độ giao điểm hai đường:  Yêu cầu tìm tọa độ giao điểm hai đường có phương trình cho trước 298 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số: a) (C): y = x2 - 2x + vaø d: y = x; b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + vaø d: y = x + 1; c) (C): y = x3 + 3x2 + vaø d: y = 2x + 5; d) (C): y = x3 - 3x vaø d: y = x2 + x - Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm các đường sau đây với hai trục tọa độ: a) y = x + 1; b) y = x2 + 1; c) y = x2 - 5x + 6; d) y = x4 - 4x2 +  Ghi chuù: 299 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HAØM SỐ I - TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1) Ñònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) K = [a; b) K = (a; b] K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K Haøm soá y = f(x) nghòch bieán (giaûm) treân K với cặp x1, x2 thuộc K cho: với cặp x1, x2 thuộc K cho: x1 < x2  f(x1) < f(x2) x1 < x2  f(x1) > f(x2) y y Baûng bieán thieân: x Baûng bieán thieân: a b x lim a b lim xb xa y y lim lim x a x b x x O a O b Đồ thị hàm số đồng biến là đường lên từ trái sang phải a b Đồ thị hàm số nghịch biến là đường xuống từ trái sang phải 2) Tính đơn điệu và dấu đạo hàm:  Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút nhaän xeùt: a) y = x2 y TXÑ: D = R y' = 2x y' =  2x =  x =  y = Baûng bieán thieân: Đồ thị: X - + + y' + + y x O b) y = x TXÑ: D = y y' = Baûng bieán thieân: X - Đồ thị: + y' x O y Nhaän xeùt: Neáu y' < treân K thì haøm soá treân K Neáu y' > treân K thì haøm soá treân K 300 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K a) Nếu f'(x) > x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K b) Neáu f'(x) < x  K thì haøm soá f(x) nghòch bieán treân K * Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x) Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu các hàm số a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx trên khoảng (0; 2) Giaûi: * Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi: y Khẳng định sau đúng hay sai? vì sao? y=x "Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > với x  R" Trả lời: O x Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f'(x)  (f'(x)  0), x  K và f'(x) = số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K  Nếu f'(x) = x  K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm y = c trên K) II QUY TAÉC XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: Tìm các khoảng đơn điệu hàm số y = f(x):  Trình baøy baøi giaûi:  Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá (D = {x  R  f(x) coù nghóa})  Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, , n) mà đó đạo hàm khoâng xaùc ñònh  Lập bảng biến thiên (lưu ý xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên)  Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số 301 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví dụ 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) = x  x  2x  Giaûi: Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu các hàm số sau: a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 - 3; c) y = - x4 -x + ; 2 d) y = x 1 x 1 Giaûi: 302 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh x > sinx trên khoảng (0;  ) Giaûi:  Ghi chuù: 303 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2; d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x + Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu các hàm số: a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5; 16 c) y = 16x + 2x2 x -x; d) y = x – x + 3 Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu các hàm số: 3x   2x x 1 a) y = ; b) y = ; c) y = 1 x x7 x 1 Bài 4: Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số: x2  x 1 x  2x x  2x  a) y = ; b) y = ; c) y = x 1 1 x x 1 Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số: 2x a) y = ; b) y = x  x  20 x 9 x đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng Bài 2: Chứng minh hàm số y = x 1 (-; -1) và (1; +) (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1) và y' 0x (-;-1) (1; +)) Bài 3: Chứng minh hàm số y = x  x đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2) Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: x3   a) tanx > x (0 < x < ); b) tanx > x + (0 < x < ) 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 304 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §2 CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Laäp baûng bieán thieân cuûa haøm soá sau: y = x3  x2  x 2 Đồ thị hàm số y = 3 x  x  x 2 y 25 ( -6 -5 )-4 -1 64 -7 x O Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0  (a; b) a) Nếu tồn số h > cho f(x) < f(x0) với x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x0) với x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 * Chuù yù: a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f(x0) gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung là cực trị hàm số c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị x0 thì f'(x0) = II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HAØM SỐ CÓ CỰC TRỊ: Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên K treân K \{x0}, h > a) Nếu f'(x) > trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là điểm cực đại hàm số f(x) b) Nếu f'(x) < trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là điểm cực tieåu cuûa haøm soá f(x) 305 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ: Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị hàm số y = f(x)  Tìm taäp xaùc ñònh  Tính f'(x) Tìm các điểm x cho đó f'(x) f'(x) không xác định  Laäp baûng bieán thieân  Từ bảng biến thiên suy các điểm cực trị x F'(x) x0 - h + x0 yCÑ x0 + h - f(x) x f'(x) x0 - h - x0 x0 + h + f(x) yCT "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" "Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị hàm số y = x3 - x2 - x + Giaûi: Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm số y = 3x  x 1 Giaûi:  Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trị hàm số f(x) = x(x2 - 3) Quy taéc 2: Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > Khi đó:  f ' ( x0 )   f ' ( x0 )  a) Neáu  thì x0 là điểm cực tiểu b) Neáu  thì x0 là điểm cực đại  f ' ' ( x0 )   f ' ' ( x0 )  Quy taéc 2:  Tìm taäp xaùc ñònh  Tính f'(x) Giaûi phöông trình f'(x) = vaø kí hieäu xi (i = 1, 2, ) laø caùc nghieäm cuûa noù  Tính f''(x) vaø tính f''(xi)  Dựa vào dấu f''(xi) để suy tính chất cực trị điểm xi Ví dụ: Tìm các điểm cực trị các hàm số sau: a) f(x) = x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x 306 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Giaûi:  Ghi chuù: 307 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị các hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x + ; x d) y = x3(1 - x)2; e) y = x  x  Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị các hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + Bài 3: Tính khoảng cách điểm cực đại và điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + x  mx  m  Bài 4: Tìm các giá trị m để x = là điểm cực tiểu hàm số y = x 1 x  mx  Bài 5: Xác định giá trị tham số m để hàm số y = đạt cực đại x = xm Bài 6: Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu (HD: Chứng minh y' = có hai nghiệm phân biệt) Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Cho haøm soá y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - Xaùc ñònh m cho: a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu 5 Bài 2: Tìm a và b để các cực trị hàm số y = a2x3 + 2ax2 - 9x + b là số dương và x0 =  là điểm cực đại CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 308 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ I ÑÒNH NGHÓA: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân taäp D a) Số M gọi là giá trị lớn hàm số y = f(x) trên tập D f(x)  M với x thuộc D và toàn taïi x0  D cho f(x0) = M Kí hieäu M = max f(x) D b) Số m gọi là giá trị nhỏ hàm số y = f(x) trên tập D f(x)  m với x thuộc D và toàn taïi x0  D cho f(x0) = m Kí hieäu m = f(x) D II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:  Quan sát đồ thị các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng: y y x f(x) = x O -1 5+ x -2 x O -5 -3 f(x) = x2 + 4∙x Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f(x) = x - + Giá trị lớn hàm số f(x)= -x + 4x - treân (-; +) laø: taïi x = x treân (0; +) laø: taïi x =  Bài toán: Tìm giá trị lớn (GTLN) và giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b)  Ta lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó suy kết luận (Nếu bài toán không khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định) x f'(x) a x0 + b x f'(x) - a x0 - b + GTLN f(x) f(x) GTNN Trong đó: f'(x) = không xác định x0 Ví duï 1: Tìm GTNN vaø GTLN cuûa haøm soá y = x - + trên khoảng (0; +) x Giaûi: 309 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: 1 a) f(x) = - ; b) f(x) = treân (0; 1) x 1 x Giaûi: III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN: 1/ Định lí: Mọi hàm số liên tục trên đoạn có giá trị lớn và giá trị nhỏ trên đoạn đó  Quan sát đồ thị hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng: y Giá trị lớn hàm số y = x3 - x2 - x + trên đoạn [0; 2] là: x = Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x3 - x2 - x + treân O [ ] f(x) = x x2 x đoạn [0; 2] là: x = x+2 2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số liên tục trên đoạn:  Tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng (a; b), đó f'(xi) = không xác định (i = 1, 2, n)  Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)  Tìm số lớn M và số nhỏ m {f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)} Ta có: max f(x) = M, f(x) = m a;b  a;b  310 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví duï 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10 trên [-3; 1] Giaûi: Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sinx trên các đoạn [  7 ; ] vaø [  ;2 ] Giaûi: * Chuù yù:  Nếu hàm số y = f(x) đồng biến treân [a; b] thì: max y = f(b), y = f(a) [ a ;b ] y f(a) maxy [a;b] maxy [a;b] [ a ;b ]  Neáu haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân [a; b] thì: max y = f(a), y = f(b) [ a ;b ] y f(b) miny miny [a;b] [a;b] f(a) f(b) x x [ a ;b ] a O b a b O Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = -x3 + trên [-1; 1] Giaûi: 311 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 IV ỨNG DỤNG: Ví duï: Cho moät taám nhoâm hình vuoâng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vuoâng baèng nhau, roài gaäp taám nhoâm laïi nhö hình vẽ để cái hộp không nắp Tính caïnh cuûa caùc hình vuoâng bò caét cho thể tích khối hộp là lớn a x Giaûi:  Ghi chuù: 312 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 treân [-4; 4] vaø [0; 5]; b) y = x4 - 3x2 + treân [0; 3] vaø [2; 5]; 2 x c) y = treân [2; 4] vaø [-3; -2]; d) y =  x treân [-1; 1] 1 x Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y =  x  x Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số: 4 a) y = ; b) y = 4x3 - 3x4; c) y = x + (x > 0); x 1 x x d) y = x; e) y = ; f) y =  x2 1 x4 Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn (HD: Gọi x là cạnh thứ hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi hình chữ nhật theo x.) Bài 5: Trong tất các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ (HD: Gọi x là cạnh thứ hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.) Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: x2  3 a) y = ; b) f(x) = -3x2 + 4x - treân [-2; ); c) y = x - treân (0; 2] x x  x2 Baøi 2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f(x) = x + với x > x 1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10; 10] Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số: b) y = cos22x - sinxcosx + a) y = 2sin2x + 2sinx - 1; Bài 5: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng hai số dương cho tích chúng là lớn Baøi 6: Tìm hai soá bieát hieäu cuûa chuùng laø 13 cho tích cuûa chuùng laø beù nhaát Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn tổng cạnh góc vuông và cạnh huyền baèng haèng soá a (a > 0) Bài 8: Cho hàm số y  x  x  x  Tìm trên đồ thị hàm số điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y = 2x - là nhỏ Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất: a) y = x(6 - x), x [0; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3; ] CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 313 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN  Quan sát đồ thị hàm số y = x 1 , trả lời các câu hỏi sau: x2 y  Tính các giới hạn lim x 2  Khoảng cách từ điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng y = càng gần số nào x   ? và đồ thị hàm số nào với đường thẳng y = x  ? y=1 O x 1 x 1 vaø lim x   x2 x2 x  Khoảng cách từ điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng x = càng gần số nào x  2+ và x 2- và đồ thị hàm số nào với đường thẳng x = x  2+ vaø x 2-? x=2 I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +  ), (-  ; b) (-  ; +  )) Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f(x) ít các điều kiện sau thỏa mãn: lim f(x) = y0 (hoặc lim f(x) = y0) x   x   * Chuù yù: Neáu lim f ( x)  lim f ( x)  l , ta vieát chung laø lim f ( x)  l x   x   x   II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f(x) ít các điều kiện sau thỏa mãn: lim f(x) = +  x  x0 (hoặc lim f(x)= -  ; lim f(x) = -  ; lim f(x) = +  ) x  x0 x  x0 Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận đồ thị hàm số: x 1 a) y = ; b) y = ; 2x  x Giaûi: x  x0 x2  x  c) y = x 1 314 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: 3x  x5 x x7 a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; 2x  2 x x 1 x3 4 2x  e) y = ; f) y = ; g) y =  ; h) y = x 1 5x  x x Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị hàm số: x2  x 1 x  3x  2 x a) y = ; b) y = ; c) y = ; x 1  x2  x  5x x3 x 1 x2  x 1 d) y = ; e) y = ; f) y = x 4 x 4 x 1 Baøi taäp naâng cao: 2x  Baøi 1: Cho haøm soá y = có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận đồ thị (C), tìm điểm M x 1 thuoäc (C) cho IM nhoû nhaát x2 Baøi 2: Cho haøm soá y = (1) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số (1) cho khoảng cách từ M đến x3 tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 315 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ  Điểm uốn đồ thị hàm số: y  Điểm uốn đồ thị hàm số là điểm I(x0; y0) với x0 là nghieäm phöông trình y'' =  Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) có hai cực trị thì điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị đồ thị Loài x O * Nhaän xeùt: Hàm bậc ba có điểm uốn không có điểm uốn Hàm bậc bốn trùng phương có hai điểm uốn khoâng coù ñieåm uoán Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác hình dáng: bên "loài" leân, beân "loõm" xuoáng Loõm Ñieå m uoá n I- KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d (a  0)  Taäp xaùc ñònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giaûi phöông trình f'(x) =  y'' = f''(x) y'' = Keát luaän ñieåm uoán I  Tính các giới hạn lim y = , x   lim y = (chæ caàn keát quaû, khoâng caàn giaûi thích) x    Veõ baûng bieán thieân + Kết luận các khoảng đơn điệu + Kết luận cực trị hàm số  Ñieåm ñaëc bieät: Điểm cực trị (nếu có) Giao điểm với trục tung: x = tìm y Giao điểm với trục hoành: y = giải phương trình f(x) = tìm x  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 4; b) y = -x3 + 3x2 - 4x + 2; c) y = x3 - x + x + Giaûi: 316 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 317 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax + bx + c (a  0)  Taäp xaùc ñònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giaûi phöông trình f'(x) =  Tính các giới hạn lim y = , x   lim y = (chæ caàn keát quaû, khoâng caàn giaûi thích) x    Veõ baûng bieán thieân + Kết luận các khoảng đơn điệu + Kết luận các điểm cực trị đồ thị hàm số  Ñieåm ñaëc bieät: Điểm cực trị; Giao điểm với trục tung: x = tìm y; Giao điểm với trục hoành (nếu có): y = giải phương trình f(x) = tìm x  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng Ví du: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: x4 b) y = - - x + 2 a) y = x - 2x - 3; Giaûi: 318 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =  Taäp xaùc ñònh: D = R\{  ax  b (c  0, ad - bc  0) cx  d d } c  y' = f'(x)  Tính các giới hạn: a a a , lim y =  Tieäm caän ngang y = x   c x c c lim y = , lim y   Tiệm cận đứng x = x0 (chỉ cần kết quả, không cần giải thích) lim y = xx0 x  x0  Veõ baûng bieán thieân Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Hàm số không có cực trị  Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = tìm y Giao điểm với trục hoành: y = giải phương trình f(x) = tìm x  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: x2 a) y = ; x 1 Giaûi: b) y = x2 2x  319 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1/ Tọa độ giao điểm hai đồ thị: Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm hai đường: (C) y = x2 + 2x - và d: y = 2x + Giaûi: 2/ Biện luận đồ thị số nghiệm phương trình f(x) = g(x): x 1 Ví dụ 1: Chứng minh đồ thị hàm số y = luôn luôn cắt đường thẳng y = m - x với giá trị x 1 cuûa m Giaûi: 320 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - có đồ thị (C1) Dựa vào đồ thị (C1), biện luận theo m số nghiệm phöông trình: x3 + 3x2 - = m Giaûi: y (C1) m d y=m O -1 x -2  Ghi chuù: 321 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = + 3x - x3; b) y = x3 + 4x2 + 4x; d) y = -2x + 5; e) y = x3; Bài 2: Khảo sát biến tiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = -x4 + 8x2 - 1; b) y = x4 - 2x2 + 2; c) y = x3 + x2 + 9x; f) y = -2x3 + 3x2 + x + x2 - ; 2 f) y = x - 2x c) y = d) y = -2x2 - x4 + 3; e) y = x4; Bài 3: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: x3  2x x2 a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; x 1 2x  2x  x 1 4x  x e) y = ; f) y = ; g) y = x 2x  x 1 Baøi 4: Cho haøm soá y = x3 + 3x2 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình x3 + 3x2 + m = Baøi 5: Cho haøm soá y = -x3 + 3x + (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Dựa vào (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 - 3x + m = theo tham số m Baøi 6: Cho haøm soá y = x4 - 2x2 + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Với giá trị nào m thì phương trình x4 - 2x2 + m = có nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó qua điểm M( ; 1) Baøi 7: Baèng caùch khaûo saùt haøm soá, haõy tìm soá nghieäm cuûa caùc phöông trình sau: a) x3 - 2x2 + = 0; b) -2x3 + 3x2 - = 0; c) 2x2 - x4 = -1 mx  Baøi 8: Cho haøm soá y = 2x  m 322 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 a) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số luôn luôn đồng biến trên khoảng xác ñònh cuûa noù b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị hàm số qua A(-1; ) c) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 1 Baøi 9: Cho haøm soá y = x4 + x2 + m a) Với giá trị nào tham số m, đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1)? b) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Bài 10: Cho hàm số y = x + (m + 3)x + - m (m là tham số) có đồ thị là (Cm) a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1 b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2 (m  1) x  2m  Baøi 11: Cho haøm soá y = (m là tham số) có đồ thị là (G) x 1 a) Xác định m để đồ thị (G) qua điểm (0; -1) b) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (G) giao điểm nó với trục tung Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = x - x2 + có đồ thị (C) 3 a) Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình 2x3 - 3x2 + < b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để bất phương trình 2x3 - 3x2 + - m > có nghiệm x [0; 1] Baøi 2: Cho haøm soá y = x4 - 2x2 + (C1) a) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + + m = có nghiệm thuộc (-1; 1] b) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để bất phương trình x4 - 2x2 + - m  nghiệm đúng x  [0; ] CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 323 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * 324 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 325 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 II CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 Haøm soá y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)  y '  coù nghieäm  a0  (x1, x2 laø nghieäm cuûa y'= 0)  y '  coù nghieäm  a0  (x1, x2 laø nghieäm cuûa y'= 0)  y '  coù1 nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0)  y '  coù nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0) x y' + x2 - + + + y fCT - x y' - x1 - + + x2 + - fCÑ y - fCT x y' - + x0 + + + y - x y' - - x0 + - + y - - + + + y - x y'  y '  voâ nghieäm  a0  x1 fCÑ x y'  y '  voâ nghieäm  a0  - - + - + y - 326 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Haøm soá y = ax4 + bx2 + c (a  0)  y '  coù nghieäm  a0  x y' (x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa y'= 0) y - x1 - + + x2 yCÑ x y' - + x3 + + + yCT  y '  coù nghieäm  a0  (x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa y'= 0) yCT x1 x2 - + yCÑ x3 yCÑ + - y  y '  coù1 nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0) x y' - yCT - - x0 + - + + + y yCT  y '  coù nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0) x y' - x0 yCÑ - + + y - - Haøm soá y = x ad  cb  -  - y' d c + a c + a c y Hai đường tiệm cận -  - y' ad  cb  + + y x ax  b (ad - bc  0) cx  d d c + - - a c + a c - 327 Hai đường tiệm cận Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1:Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây: a) y = x3 - 3x + 2; b) y = x4 - 2x2; c) y = 2x  2x  Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số: a) y = x3 - 3x + điểm trên (C) có hoành độ 2; b) y = x4 - 2x2 điểm trên (C) có tung độ 8; 2x  c) y = giao điểm (C) với trục tung 2x  Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số: a) y = x3 - 3x + bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng 9; b) y = x4 - 2x2 biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 24x; 2x  c) y = biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = x 2x  Baøi 4: Cho haøm soá y = -x + 3x - (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1); b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + m = Baøi 5: Cho haøm soá y = -x4 + 3x2 + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1); b) Tìm m để phương trình x4 - 3x2 + m = có nghiệm phân biệt Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: 2x  a) y = x3 - 8x2 + 16x - trên đoạn [1; 3]; b) y = trên đoạn [0; 2]; x3 8x  c) y  ; d) y = 2sin3x - 3sin2x - sinx x  x 1 Baøi 7: Cho haøm soá y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 328 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Giaûi baát phöông trình f'(x - 1) > c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0, biết f''(x0) = -6 Bài 8: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + = theo tham soá m c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu đồ thị (C) Baøi 9: Cho haøm soá y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + (m laø tham soá) a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định b) Với giá trị nào tham số m, hàm số có cực đại và cực tiểu? c) Xác định m để f''(x) > 6x Baøi 10: Cho haøm soá y = f(x) = x4 - 3x2 + 2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f''(x) = c) Bieän luaän theo tham soá m soá nghieäm cuûa phöông trình x4 - 6x2 + = m Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + (m là tham số) có đồ thị (Cm) a) Biện luận theo m số cực trị hàm số b) Với giá trị nào m thì (Cm) cắt trục hoành? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu x3 Baøi 2: Cho haøm soá y = x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt M vaø N c) Xác định m cho độ dài đoạn MN ngắn d) Tiếp tuyến điểm S bất kì (C) cắt hai tiệm cận (C) P và Q Chứng minh S là trung ñieåm cuûa PQ 1 Baøi 3: Cho haøm soá f(x) = x3 - x2 - 4x + a) Giaûi phöông trình f'(sinx) = 0; b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đã cho điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f''(x) = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 329 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 CHƯƠNG II HAØM SỐ LŨY THỪA - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1) Lũy thừa số hữu tỷ:  Lũy thừa số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta có: a0 = a1 = a am.an = am + n am = am – n (am)n = am.n (ab)n = anbn an a an ( ) n  n (b ≠ 0) Neáu am = an thì m = n (a ≠ 1, a ≠ 0) b b  Lũy thừa số mũ nguyên dương: x ≠ 0, n  Z+, ta có: x  n  n x 2) Caên baäc hai: A A A2  A  (A0, B>0) AB  A B (A0, B0) B B A B  A B (B0) A B  A B (B>0) B C A B  Ghi chuù:  A B A  B B A B (A0, B0) AB (AB0, B≠0) C( A  B (A0, B0, A≠B) AB A B   A B (A<0, B0) C AB  C ( A  B) (A0, A≠B2) A  B2 0A<B A B 330 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §1 LŨY THỪA I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA: 1/ Lũy thừa với số mũ nguyeân: Cho n nguyeân döông  Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a (a lũy thừa n) là tích n thừa số a soá muõ cô soá a Ví duï: 23 = n a a a =  a n thừa số a  Với a  Ví duï: (1,2)0 = a =1 a n  an 2-3 =  4 * Chuù yù: 00 vaø 0-n khoâng coù nghóa 1 Ví dụ 1: Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A = ( ) 10 27 3  (0, 2) 4 252  1281.( ) 9 Giaûi:  a 2  a 3  Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B =  (a  0, a  1)  1 a 1   a 2  (1  a ) Giaûi: 2/ Phöông trình xn = b (*)  Trường hợp n lẻ (n = 1, 3, 5, ): Với số thực b, phương trình có nghiệm  Trường hợp n chẵn (n = 2, 4, ) Với b < phương trình (*) vô nghiệm Ví duï: x3 = -8  Ví duï: x2 = -2  Với b = phương trình (*) có nghiệm x = x2 =  Với b > phương trình (*) có hai nghiệm đối x2 =  331 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 3/ Caên baäc n a) Khaùi nieäm: Cho sốâ thực b và số nguyên dương n (n  2) Số a gọi là bậc n số b an = b Ví duï: Soá -2 laø caên baäc cuûa -8 vì (-2)3 = -8 Soá vaø -3 laø caên baäc cuûa vì (3)2 = vaø (-3)2 = Ta coù:  Với n lẻ và b  R: Ví duï: n Coù nhaát moät caên baäc n cuûa b, kí hieäu laø b Soá -2 coù moät caên baäc 5: (2)  Với n chẵn: Với b < 0: Không tồn bậc n b Với b = 0: Có bậc n b là số Với b > 0: Có hai trái dấu, giaù trò döông kí hieäu laø n b giaù trò aâm kí hieäu laø - n b b) Tính chaát: Ví duï: Ví duï: Soá -8 khoâng toàn taïi caên baäc =0 Soá coù hai caên baäc hai laø: 8= 2   2 n a n b  n a.b 2.3  n a n a  b b 16  a, n leû an    a , n chaün (2)  n n  (2)  (n a ) m  n a m (4 )  n k a  nk a ( )  4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Cho số thực a dương và số hữu tỷ r = m , đó m  Z, n  N, n  Lũy thừa a với số mũ r là n số ar xác định bởi: Ví duï: ar  a m n = n am (3 a  n Ñaëc bieät: a  n a (a > 0, n  2) a  5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ: Ta gọi giới hạn dãy số ( a rn ) là lũy thừa a với số mũ , kí hiệu là a a = lim arn với  = lim rn n n  Chuù yù: = (  R) 332 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 II- TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho a, b  R* vaø ,   R Ta coù: a) Các tính chất biểu thị đẳng thức:  Ví duï: +  a a = a 3  a = a –   a 27  24 (a) = a. (2 ) = (ab) = ab (2 )2 = a a ( )   b b ( b) Các tính chất biểu thị bất đẳng thức: 2 )  Ví duï: So saùnh caùc soá sau: 1 i) Neáu a > thì a > a   >  2 ii) Neáu a < thì a > a   <  1 ( ) 3 ( )  2 ** Các dạng toán thường gặp: 1) Rút gọn biểu thức: Ví dụ: Rút gọn các biểu thức: a) A = a (a 1 .a 2 ) 2 2 (a > 0); b) B = a b b 6 a b a (a > 0) Giaûi: 2) So sánh hai lũy thừa cùng số: Ví duï 1: Khoâng duøng maùy tính, haõy so saùnh caùc soá Giaûi: vaø 53 333 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví dụ 2: Chứng minh ( ) Giaûi:  ( )3 3) Viết biểu thức dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Ví dụ: Viết các biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: b) E = a a3 a a a) D = a a ; Giaûi:  Ghi chuù: 334 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Khoâng duøng maùy tính, tính: 5   a) 27 ; b) 144 : ; c) ( ) 0,75  (0,25) ; d) (0,04) 1,  (0,125) 16 Bài 2: Cho a, b là số thực dương Viết các biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a) b b b ; b) a : a ; Bài 3: Cho a, b là số thực dương Rút gọn các biểu thức sau: a) a (a  3  a3 )  a (a  a ) Baøi 4: So saùnh caùc caëp soá: b) b (5 b  b 1 ) 3 b3 b2 b với b = 1,3; ; c) a 3b 2 b ( b b )  1 a) ( ) vaø ( ) ; 3 7 b) ( ) Bài 5: Chứng minh rằng: Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: So saùnh caùc caëp soá: a) 10 vaø 20 ; b) vaø ; Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị các biểu thức sau: a) a a với a = 0,09; c) ; c) b : b   1  a 3b a2  b2  vaø ( ) 10 c) 23000 vaø 32000 b) b : b với b = 27; d) a a 12 a với a = 2,7 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 335 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §2 HAØM SỐ LŨY THỪA I- KHAÙI NIEÄM: Hàm số y = x, với   R, gọi là hàm số lũy thừa Tập xác định hàm số lũy thừa:  Với  nguyên dương, tập xác định D = R; Ví duï: y = x2, TXÑ: D =  Với  nguyên âm 0, tập xác định là D = R\{0}; y = x-1, TXÑ: D =  Với  không nguyên, tập xác định D = (0; +) y= II- ĐẠO HAØM CỦA HAØM SỐ LŨY THỪA: Hàm số y = x (  R) có đạo hàm với x > 0: (x)' = x - Đối với hàm số hợp y = u (với u = u(x)) x , TXÑ: D = Ví duï: ( x )' = (u)' = u - 1.u' [( ( x  1) ]' = =  III- KHẢO SÁT HAØM SỐ LŨY THỪA y = x Các tính chất hàm số lũy thừa y = x trên khoảng (0; +) >0 <0 -1 -1 Đạo hàm y' = x y' = x Chieàu bieán thieân Haøm soá luoân taêng Haøm soá luoân giaûm Tieäm caän ngang: Ox Tieäm caän Khoâng coù Tiệm cận đứng: Oy Đồ thị Đồ thị luôn qua điểm (1; 1) * Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số đó trên toàn tập xác định nó  Ghi chuù: y α>1 α=1 0<α<1 α=0 α<0 O 336 x Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá:  3 c) y = ( x  1) 2 ; a) y = (1  x ) ; b) y = (2  x ) ; Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số: 1 d) y = ( x  x  2)  a) y = (2 x  x  1) ; b) y = (4  x  x ) ; c) y = (3 x  1) ; d) y = (5  x ) Bài 3: Hãy so sánh các số sau với số 1: a) (4,1)2,7; b) (0,2)0,3; c) (0,7)3,2; d) ( ) 0, Baøi 4: Haõy so saùnh caùc caëp soá sau: 10 12 a) (3,1)7,2 vaø (4,3)7,2; b) ( ) 2,3 vaø ( ) 2,3 ; c) (0,3)0,3 vaø (0,2)0,3 11 11 Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:  0,5 a) (0,3) , (0,3) , (0,3) , (0,3)3,1415; b)  , (1,9), ( )  , ; 2 2     c) 5-2, 5-0,7, , ( ) 2,1 ; d) (0,5) , (1,3) ,  , ( ) 2 Bài 2: Vẽ đồ thị các hàm số y = x và y = x trên cùng hệ trục tọa độ Hãy so sánh giá trị các hàm số đó x = 0; 0,5; 11; ; 2; 3; CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 337 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §3 LOÂGARIT I- KHAÙI NIEÄM LOÂGARIT: 1) Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a = b gọi là lôgarit số a cuûa b vaø kí hieäu laø logab logab =   a = b Ví duï: a) log28 = b) log = * Chuù yù: Khoâng coù loâgarit cuûa soá aâm vaø soá 2) Tính chaát: Cho a, b > 0, a  Ta coù: Ví duï: loga1 = 0, logaa = 1, log10001 = , log a loga b  b log  loga(a) =  log2(25) = 3 = II- QUY TAÉC TÍNH LOÂGARIT: 1) Loâgarit cuûa moät tích: Ñònh lí: Cho soá döông a, b1, b2 , a  1, ta coù: loga(b1.b2) = logab1 + logab2 Ví duï: log42 + log48 = * Mở rộng: cho n số dương b1, b2, ,bn và a  1, ta có: loga(b1.b2 bn) = logab1 + logab2+ +logabn 2) Loâgarit cuûa moät thöông: b Ñònh lí: Cho soá döông a, b1, b2 , a  1, ta coù: log a  log a b1  log a b2 b2 Ví duï: log7343 - log749 = 3) Lôgarit lũy thừa: Định lí: Cho số dương a, b, a  Với  ta có: logab = logab log235 = Ví duï: n * Ñaêïc bieät: log a b  log a b n Ví duï: log 2 = III- CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ: Ñònh lí: Cho soá döông a, b, c, a  1, c  1, ta coù: log a b  log c b  logca.logab = logcb log c a log 18 = log Ví duï: 338 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 * Ñaëc bieät: log a b  Ví duï: (b  1)  logab.logba = log b a log a b   log a b (  0) log36.log89.log62 = log 3 = IV- MOÄT SOÁ DAÏNG BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: 1) Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức: Ví duï 1: Tính A = log24 + log22 + log28 Giaûi: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B = log  log 49  log 3 + log5 25 Giaûi: 2) Tính giá trị biểu thức theo giá trị lôgrit cho trước: Ví duï: Cho log220 = m Tính log205 theo m Giaûi: 3) So saùnh hai soá: Ví duï: So saùnh hai soá log23 vaø log65 Giaûi: 339 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 V- LÔGARIT THẬP PHÂN LÔGARIT TỰ NHIÊN: 1) Lôgarit thập phân: Lôgarít thập phân là lôgarít số 10, log10b kí hiệu lgb logb log 10 b  log b  lg b 2) Lôgarit tự nhiên: Lôgarít tự nhiên là lôgarít số e với e = lim (1  ) n , logeb kí hiệu lnb n   n log e b  ln b  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính: a) log ; b) log ; log Bài 2: Chứng tỏ rằng: a) 27  c) log ; ; d)log0,50,125 b) log36.log89.log62 = Bài 3: Đơn giản các biểu thức: log a) ( ) ; b) Baøi 4: Tính: 340 log log Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 a) log2 ; b) 27 log9 ; c) Bài 5: Rút gọn biểu thức A = logab + log a2 b Baøi 6: So saùnh caùc caëp soá sau: a) log vaø log 10 ; log d) log8 27 ; b) log35 vaø log74; b) log0,32 vaø log53; c) log210 vaø log530 Baøi 7: a) Cho a = log303, b = log305 Haõy tính log308 vaø log301350 theo a, b b) Cho c = log153 Haõy tính log12515 theo c c) Cho a = log315, b = log310 Haõy tính log 50 theo a vaø b Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Cho log25 = a Haõy tính log41250 theo a Baøi 2: Cho logax = p, logbx = q, logabcx = r Haõy tính logcx theo p, q, r Bài 3: Cho log1218 = a, log2454 = b Chứng minh ab + 5(a - b) = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 341 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §4 HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOÂGARIT I- HAØM SOÁ MUÕ: 1) Định nghĩa: Cho số thực dương a  Hàm số y = ax gọi là hàm số mũ số a 2) Đạo hàm hàm số mũ: Định lí 1: Hàm số y = ex có đạo hàm x và (ex)' = ex * Chú ý: Đối với hàm số hợp y = eu(x) Ví duï: u u (e )' = e u' ( e x  x 1 )' = Định lí 2: Hàm số y = ax (a > 0, a  1) có đạo hàm x và (ax)' = axlna * Chú ý: Đối với hàm số hợp y = au(x) (au)' = au.lna.u' Ví duï: (2 x 1 ) ' = 3) Khaûo saùt haøm soá muõ y = ax (a > 0, a  1): y y a 1 a x O O a>1 0<a<1 Toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = a (a > 0, a  1) Taäp xaùc ñònh D = (-; +) Đạo hàm y' = axlna a > 1: hàm số luôn đồng biến; Chieàu bieán thieân < a < 1: haøm soá luoân nghòch bieán Tieäm caän truïc Ox laø tieäm caän ngang Đồ thị qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0, x  R) II- HAØM SOÁ LOÂGARIT: 1) Định nghĩa: Cho số thực dương a khác Hàm số y = logax gọi là hàm số lôgarit số a 2) Đạo hàm hàm số lôgarit: Định lí 3: Hàm số y = logax (a > 0, a  1) có đạo hàm x > và (log a x )'  x ln a u' * Chú ý: Đặc biệt (ln x )'  Đối với hàm số hợp y = ln[u(x)] thì (ln u)'  x u Đối với hàm số hợp y = logau(x), ta có: Ví duï: u' (log a u )'  [log ( x  1)]' = u ln a 3) Khaûo saùt haøm soá loâgarit y = logax (a > 0, a  1) x 342 x Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 y y 1 x O a O a x 0<a<1 a>1 x Toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = a (a > 0, a  1) Taäp xaùc ñònh D = (0; +) y' = Đạo hàm x ln a a > 1: hàm số luôn đồng biến; Chieàu bieán thieân < a < 1: haøm soá luoân nghòch bieán Tieäm caän trục Oy là tiệm cận đứng Đồ thị ñi qua caùc ñieåm (1; 0) vaø (a; 1), naèm phía beân phaûi truïc tung * Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax và y = logax (a > 0, a  1) đối xứng qua đường thẳng y = x Ví dụ: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ: a) y = 4x vaø y = log4x; b) y = ( ) x vaø y = log x 4 Giaûi: Bảng đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit Haøm soá sô caáp Hàm hợp (u = u(x)) Haøm soá sô caáp Hàm hợp (u = u(x)) x x (e )' = e (eu)' = eu.u' (x)' = x - (u)' = u - 1.u' (ax)' = axlna (au)' = aulna.u' 1 u' ( )'   ( )'   u' x u (ln x )'  (ln u )'  x u x u u' ( x )'  ( u )'  u' (log a x )'  (log a u )'  x u x ln a u ln a  Ghi chuù: 343 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: x 1 3x a) y = 5x2 - 2xcosx; b) y = c) y = log ( x  x  3) ; d) y = log 0, Baøi 2: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: a) y = log2(5 - 2x); b) y = log3(x2 - 2x); 3x  1 x Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = 3x2 - lnx + 4sinx; b) y = log(x2 + x + 1); c) y = log x x Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số mũ, hãy so sánh cặp số sau: b) (0,3)2 vaø 1; c) (3,2)1,5 vaø (3,2)1,6; a) (1,7)3 vaø 1; 1 d) (0,2)-3 vaø (0,2)-2; e) ( ) vaø ( )1, ; d) 6 vaø 63,14 5 Bài 2: Hãy so sánh x với số 1, biết rằng: a) log3x = -0,3; b) log x  1,7 ; c) log2x = 1,3; d) log x = -1,1 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 344 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §5 PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT I- PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: 1) Phöông trình muõ cô baûn: Daïng: ax = b (a > 0, a  1)  Với b > ta có: ax = b  x = logab Ví duï: 2x =   Với b  ta có: ax = b  x   2) Caùch giaûi moät soá phöông trình muõ ñôn giaûn: a/ Ñöa veà cuøng cô soá: aA(x) = aB(x)  A(x) = B(x) Ví duï: Giaûi phöông trình (1,5)5x - = ( )x + Giaûi: 2x = -3  b/ Ñaët aån phuï: Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 9x - 4.3x - 45 = 0; Giaûi: b) 6.9x – 13.6x + 6.4x = c/ Loâgarit hoùa: Ví duï: Giaûi phöông trình 3x x = Giaûi: 345 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 II- PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT: 1) Phöông trình loâgarit cô baûn: Ví duï: Daïng: logax = b (a > 0, a  1) b Với b ta có: logax = b  x = a log2x = -3  2) Caùch giaûi moät soá phöông trình loâgarit ñôn giaûn: a/ Đưa cùng số: Với điều kiện < a ≠ 1, A(x) > 0, B(x) > ta có loga[A(x)] = loga[B(x)]  [A(x)] = [B(x)] Ví duï: Giaûi phöông trình log3x + log9x + log27x = 11 Giaûi: b/ Ñaët aån phuï: Ví duï: Giaûi phöông trình    log x  log x Giaûi: c/ Muõ hoùa: Ví duï: Giaûi phöông trình log2(5 - 2x) = - x Giaûi: 346 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12  Ghi chuù: 347 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình muõ: a) (0,3)3x - = 1; b) ( ) x  25 ; c) x 3 x   4; x d) ( ) x  x3  x 1 ; e) x   ; f) (0,5)x + 7.(0,5)1 - 2x = Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình muõ: a) 32x - = 108; b) 2x + + 2x - + 2x = 28; c) 64x - 8x - 56 = 0; d) 2.16x - 17.4x + = 0; e) -lg3x + 2lg2x = - lgx; f) 3.4x - 2.6x = 9x Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình loâgirt: a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5); b) log(x - 1) - log(2x - 11) = log2; c) log2(x - 5) + log2(x + 2) = 3; c) log(x2 - 6x + 7) = log(x - 3) Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: x b) x  36.32 x ; d) (5  24 ) x  (5  24 ) x  10 a) x  51 x  4 ; c) 52x – + 5x + = 250; Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: 1 a) log(x2 + x - 5) = log5x + log ; 5x c) log x + 4log4x + log8x = 13; b) log( x  x  1) = log8x - log4x; d) log ( x  2)  log ( x  5)  log  Bài 3: Giải các phương trình sau phương pháp đồ thị: a) 4x + 5x = 9x; Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình: Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - = 0; 1 a) ( ) x  x  ; 2 x x b) + 12 = 13x b) ( ) x   x b) x.2x = x(3 - x) + 2(2x - 1) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 348 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §6 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT I - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: 1) Bất phương trình mũ bản: Bất phương trình mũ có dạng ax > b (hoặc ax  b, ax < b, ax  b) với a > 0, a   Nếu b  thì ta có ax >  b đúng với x  R nên tập nghiệm bất phương trình là T = R Ví duï:  Neáu b > ta coù ax > b  ax > a log a b * Khi a > thì ax > a log a b  x > logab 3x >  * Khi < a < thì ax > a log a b  x < logab 1 ( )x >  32 2) Baát phöông trình muõ ñôn giaûn: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x  x < 9; Giaûi: b) 4x - 2.52x < 10x II- BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT: 1) Bất phương trình lôgarit bản: Bất phương trình lôgarit có dạng logax > b (hoặc logax  b, logax < b, logax  b) với a > 0, a  Ví duï: b  Khi a > ta coù logax > b  x > a log2x >   Khi < a < ta coù logax > b  < x < ab log x   2) Baát phöông trình loâgarit ñôn giaûn: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) log0,5(5x + 10) < log0,5(x2 + 6x + 8); Giaûi: b) log2(x - 3) + log2(x - 2)  349 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12  Ghi chuù: 350 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình muõ: a)  x 3 x b) ( ) x 3 x  ; x x e) - 3.2 + > 0; < 4; d) x 3 x 4  x 1 ; Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình loâgarit: a) log8(4 - 2x)  2; b) log (3 x  5)  log ( x  1) ; d) log x  log x   0; c) x  x 1  28; f) 9x - 5.3x + < c) log 0,5 (4 x  11)  log 0, ( x  x  8) ; e) log 0, x  log ( x  2)  log 0, ; f) log ( x  2)   log x  Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 4x 2  a) ( ) 2 x  ( ) x ; b) (0,4)x - (2,5)x + 1> 1,5; c) x 5  3x Bài 2: Giải các bất phương trình sau phương pháp đồ thị: a) ( ) x  x  ; b) log3x > - x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 351 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG II * I LÍ THUYEÁT: 1) Nêu các tính chất thức? n n a.n b  n  n leû an    n chaün 2) Nêu các tính chất luỹ thừa? n a b n k  (n a) m  a  Cho a, b  R* vaø ,   R Ta coù: a) Các tính chất biểu thị đẳng thức: a = a a ( )  (ab) = b b) Các tính chất biểu thị bất đẳng thức: a.a = i) Neáu a > thì a > a  (a) = ii) Neáu a < thì a > a  3) Nêu định nghĩa lôgarit, tính chất và các phép toán lôgarit?  Ñònh nghóa loâgarit: logab =    Tính chaát: Cho a, b > 0, a  Ta coù: loga1 = a log a b  logaa = loga(a) =  Các phép toán: Cho số dương a, b1, b2, c, a  1, c  1,  ta có: b log a  loga(b1.b2) = b2 logab = log a n b  log a b  (  0) log c b =  logca.logab = log c a  (b  1)  logab.logba = log b a 4) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, y = ( ) x , y = log2x và y = log x và nêu các tính chất chúng? 2 352 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 5) Nêu đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit? Haøm soá sô caáp Hàm hợp (u = u(x)) Haøm soá sô caáp Hàm hợp (u = u(x)) (x)' = (u)' = (ex)' = (eu)' = ( )'  x ( )'  u (ax)' = (au)' = ( x )'  (ln x )'  (ln u )'  ( u )'  (log a x )'  (log a u )'  II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: 1) Tính giá trị (rút gọn) biểu thức: log Ví duï 1: Tính 27 = Ví duï 2: a) logab = 3, logac = -2 Tính loga(a3b2 c ) = b) Cho 4x + 4-x = 23 Tính 2x + 2-x 2) So saùnh hai loâgarit: Ví duï: So saùnh caùc soá sau: a) log35 vaø log74; Giaûi: b) log0,32 vaø log53 353 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 3) Tìm taäp xaùc ñònh: Ví duï: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: x 1 a) y = x ; b) y = log ; c) y = log x  x  12 ; 2x  3 3 Giaûi: d) y = 25 x  x 4) Đạo hàm hàm số mũ và lôgarit: Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) (2xex + 3sin2x)' = b) (5x2 - lnx + 8cosx)' = 5) Giaûi phöông trình muõ vaø loâgarit: Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2 x  x 5  ; c) 4.9x + 12x - 3.16x = 0; b) 25x - 6.5x + = d) 3x + + 3.5x + = 5x + + 3x + 3;   f)  lg x  lg x e) log7(x - 1)log7x = log7x ; Giaûi: 354 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 355 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 6) Giaûi baát phöông trình muõ vaø loâgarit: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 22x - + 22x - + 22x -  448; c) log [log ( x  1)]  ; b) (0,4)x - (2,5)x + > 1,5; d) log 20,2 x  log 0, x  6 Giaûi: 356 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12  Ghi chuù: CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 357 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 CHƯƠNG III NGUYÊN HAØM - TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1) Đạo hàm các hàm số sơ cấp: Đạo hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = (x)' = x-1(  R, x > 0) (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) u' ( x )'  ( u )'  (x > 0) (u > 0) x u 1 u' ( )'   (x  0) ( )'   (u  0) x u x u (sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u' (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u'  u'  (tanx)' = (x   k , k  Z) (tanu)' = (u   k , k  Z) 2 cos x 2 cos u u' (cotx)' = - (x  k, k  Z) (cotu)' = - (u  k, k  Z) sin x sin u x x u (e )' = e (e )' = u'.eu (ax)' = ax.lna (au)' = u'.au u' (ln u )'  (u ≠ 0) (ln x )'  (x ≠ 0) x u u' (log a x )' = (log a u )' = (x ≠ 0) (u ≠ 0) x ln a u ln a 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm x  (a; b) dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:  tanx = sin x cos x  sin2a = 2sinacosa cos x sin x  cos 2a  cos a     cot x sin x  cotx =   tan x cos x  sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a - b)]  Ghi chuù:   tanx.cotx = 1  cos 2a  cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]  sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]  sin a  358 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §1 NGUYEÂN HAØM I- NGUYEÂN HAØM VAØ TÍNH CHAÁT Nguyeân haøm: Kí hiệu K là khoảng đoạn nửa khoảng R Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên K F'(x) = f(x) với x  K * Chuù yù: 1) Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân K thì F(x) + C, C  R laø hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f(x) treân K Kí hieäu  f ( x )dx = F(x) + C 2) Trong kí hieäu  f ( x )dx thì "d " gắn với biến tương ứng hàm f Ví dụ:  s ds ,  cos tdt , 3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân nguyên hàm F(x) f(x), vì dF(x) = F'(x)dx = f(x) Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: Tính chaát 1:  f ' ( x )dx  f ( x )  C  x dx   (ln x )' dx = lnx Ví dụ: Với x  (0; +), Tính chaát 2:  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k laø haèng soá khaùc 0) Tính chaát 3:  [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx Ví duï: Tìm nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = cosx + trên khoảng (0; +) x  f ( x )dx  Sự tồn nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K có nguyên hàm trên K 2 Ví duï: Haøm soá f(x) = x coù nguyeân haøm treân (0; +) vaø Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp: x x  0dx  C  e dx  e  C  dx  x  C x  a dx  ax  C(0  a  1) ln a  x dx  3 x + C  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C dx  cos x  tgx  C x  1  x dx     C(  1) dx dx  sin x   cot gx  C  x  ln x  C(x  0) Ví duï 1: x3  2x  dx = a)  x2  b)  (2 s  s )2 ds = 359 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 c)  tan tdt = Ví duï 2: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = f(x) = x2 + 2x - 1, bieát raèng F(1) = Giaûi: II- PHÖÔNG PHAÙP TÍNH NGUYEÂN HAØM Phương pháp đổi biến số: Định lí: Nếu  f (u)du  F (u)  C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì  f [u( x )]u' ( x )dx  F[u( x )]  C Ví duï 1: Tìm  ln x dx x Giaûi: Ví duï 2: Tìm  sin x cos xdx Giaûi: Ví duï 3: Tìm  x x2 1 dx Giaûi: 360 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví duï 4: Tìm x dx 4 Giaûi: Heä quaû: Neáu  f ( x )dx  F( x )  C thì  f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C x3 (2 x  1)3  C neân  (2 x  1) dx  Ví duï 1: Ta coù  x dx  +C 3 Ví duï 2: Tìm hoï caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:  cos(2 x  1)dx =  sin(1  x)dx =  3x  dx = Ví duï 3: Tính x e x   x dx = 2 dx = x dx = x 1 dx  5x  Giaûi: Phương pháp tính nguyên hàm phần: Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì  u( x)v' ( x)dx  u( x).v( x)   u' ( x)v( x)dx * Chuù yù: Ta coù v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du neân Phöông phaùp: Tính  u ( x )v' ( x)dx  udv  uv   vdu Lấy vi phân: lấy đạo hàm nhân thêm d biến tương ứng vi phaân hai veá Ñaët u   du  dx Khi đó ta có  u ( x )v' ( x)dx = uv   vdu dv  dx  v  nguyeân haøm hai veá 361 Hồ Xuân Trọng Ví duï: Tính a)  xe x dx ; Giaûi tích 12 b)  x cos xdx ; c)  ln xdx Giaûi:  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tìm caùc nguyeân haøm sau: x a)  sin dx ; b)  (1  x ) dx ; c)  dx ; 3x  362 x3 dx d)  x2 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Baøi 2: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2x  x  x 1 ; b) f(x) = a) f(x) = ; ex x ; sin x cos x f) f(x) = (1  x )(1  x) c) f(x) = e) f(x) = tan2x; d) f(x) = sin5x.cos3x; Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 2 a)  (1  x ) dx (ñaët t = - x); b)  x(1  x ) dx (ñaët t = + x2); c)  cos3 x sin xdx (ñaët t = cosx); d)  dx (ñaët t = ex + 1) x e e 2 x Baøi 4: Tìm: x 1 dx x  2x  Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, hãy tính: a)  (1  x) cos xdx ; b)  x sin xdx ; c)  x ln(1  x )dx ; d)  ( x  x  1)e x dx ; a)  (e x  5) e x dx ; e)  x sin( x  1)dx ; b)  sin x cos xdx ; g)  (1  x )e x dx ; c)  h)  x ln(1  x )dx Baøi 6: Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa caùc haøm soá sau: a) f(x) = x   4.e x bieát raèng F(0) = 1; x Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x a) y = (2tanx + cotx)2; b) y = cos ; Baøi 2: Tìm: a)  x x  1dx ; e tan x dx ; cos2 x Baøi 3: Tìm: a)  x e x dx ; e)  b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x bieát raèng F() = c) y = sinx cos x  b)  3x x 1dx ; c)  x dx ; (3 x  9) d)  e x dx ;  e x g)  dx ; x ln x h)  xe x f)  d)  x cos(3x )dx ; Baøi 5: Tìm haøm soá y = f(x), bieát raèng a) f'(x) = x - + vaø f(1) = 2; x 2x  dx ; x  4x  2 4 dx b)  3x cos(2 x)dx ; c)  x ln( x )dx ; e)  x ln xdx ; f)  x sin x dx b) f'(x) = 3(x + 2)2 vaø f(0) = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 363 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §2 TÍCH PHAÂN I- KHAÙI NIEÄM TÍCH PHAÂN: Dieän tích hình thang cong: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b gọi là hình thang cong Với hình phẳng D giới hạn đường y cong kín bất kì ta có thể chia nhỏ thành B hình thang cong cách kẻ đường y = f(x) song song với các trục tọa độ A x O a b Dieän tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), đó F(x) là nguyên hàm hàm số y = f(x) Ñònh nghóa tích phaân: Cho y = f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) b haøm soá f(x), kí hieäu laø  f ( x )dx Duøng kí hieäu F( x ) b a để hiệu số F(b) - F(a), ta có: a b  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a ) (NewTon - Lebniz) a Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: a)  x dx  e b)  dx = x a b * Chú ý: i) Ta quy ước  f ( x)dx  (a = b), a  a f ( x)dx    f ( x )dx (a > b) a b ii) Tích phân hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, phụ thuộc vào hàm b soá vaø caùc caän a, b neân ta coù theå kí hieäu  b f ( x )dx a  f (t)dt a iii) Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b b], thì tích phaân  f ( x )dx là diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai a b đường thẳng x = a, x = b Vậy S =  f ( x )dx a II- TÍNH CHAÁT CUÛA TÍCH PHAÂN: 364 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 b * Tính chaát 1: b  kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k laø haèng soá) a a b * Tính chaát 2: b b   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx a a a Ví duï: Tính tích phaân sau:  (x  x )dx = b * Tính chaát 3: c y b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (a < c < b) a a + + + + + O c Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 2 a) I =  x  1dx ; b) J =   cos x dx 2 sinx x x - Giaûi: III- PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN: Phương pháp đổi biến số: Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a; b Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo hàm liên tục trên b  đoạn  ;   cho  (  )  a, () = b và a   (t )  b , t   ;   ta có:  f ( x )dx   f ( (t )) ' (t )dt a b a) Đổi biến số dạng 1: Tính I =  f ( x )dx cách đặt x =  (t ) a Ví duï: Tính tích phaân 1 x dx 365  Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Giaûi: b b) Đổi biến số dạng 2: Tính I =  f ( x )dx cách đặt t = (x) a Ñaët t = (x)  dt = '(x)dx Đổi cận: x = a  t1 = (a) x = b  t2 = (b) Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C là số) t2 b Khi đó ta có: I =  a t2 f ( x )dx   C f [ ( x )]. ' ( x )dx   C f (t )dt t1 t1 Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:  a)  sin x cos xdx ; 2 b)  x x  1dx ; 1 c)  x (x  1)2010 dx Giaûi: Phương pháp tính tích phân phần: Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b thì : 366 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 b b b b b b  u ( x)v' ( x)dx  (u ( x)v( x)) a   u' ( x)v( x)dx hay  udv  uv a   vdu a a a a vi phaân hai veá b u   du  dx b b * Chuù yù: Tính I =  u ( x)v ' ( x )dx Ñaët , đó: I = (uv)   vdu dv  dx  v  a a a nguyeân haøm hai veá Ví duï 1: Tính caùc tích phaân:   a) I =  ln x dx ; x5 c) K =  xe x dx ; b) J =  x cos xdx ; 0 d) L =  e x sin xdx Giaûi: 367 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví dụ 2: Tính tích phân I =  x (1  x ) dx hai phương pháp đổi biến và tích phân phần Giaûi:  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 2 x  2x a)  dx ; x3  b)  x ( x  1) dx ; (1  x ) dx ;  x3 1 dx ; e)  x 1 g)  h)  dx ; (  )(  ) x x 1 dx ; x ( x  1) Baøi 2: Tính caùc tích phaân sau: 368 c)  (1  x ) dx ; 2 d) ln f)  e x 1  dx ; ex dx x  3x  1 i)  Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12    2 a)  sin(  b)  sin x cos xdx ;  x )dx ;   d)  sin xdx c)  sin x sin xdx ;    Baøi 3: Tính caùc tích phaân sau: 2 a)   x dx ; d)  x  x  dx b)  x  x  1dx ; 3 c)  x  x  dx ; 0 Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: e)  x 0 x e (1  x ) dx ; x xe  dx ; d)  sin x cos xdx ; 2  c)  e x xdx ; b)  x  x dx ; a)  x  2dx ; g)   x dx f)  (1  x ) Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân phần, hãy tính:  e 2 a)  ( x  1) sin xdx ; b)  x ln xdx ; d)  ( x  x  1)e  x dx c)  ln(1  x )dx ; Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: x2 a)  ( ) dx ; x3 2 b)  ( x   x  )dx ; c)  x  x dx ; 4  2x  d)  2 e)  f)  cos x dx ;  sin x dx ; x2  x  Baøi 2: Tính caùc tích phaân sau: 1 a)  dx 4 x ; b) x a dx ; x  2x  1 dx ; 3 c)  d)  x9 dx x10  x  a  x2 dx(a  0) Baøi 3: Tính caùc tích phaân sau:  e 2 a)  ( x  x  3) sin xdx ; 2 b)  x ln xdx ; 2x c)  ( x  1)e dx ; d)  x cos xdx CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 369 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I- TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: Hình phẳng giới hạn giới hạn đường cong và trục hoành: y Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) và hai đường thẳng x = a, x = b tính theo công thức: b S   f ( x ) dx a Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thaúng x = -1, x = Giaûi: x O a b Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: Hình phẳng giới hạn hai đường cong: Cho hai haøm soá y = f1(x) vaø y = f2(x) lieân tuïc trên đoạn [a; b] Gọi D là hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b Khi đó diện tích hình phẳng D là: y y  f1 ( x ) y  f2 ( x ) b O S   f1 ( x )  f ( x ) dx a a x b * Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f1(x) = f2(x) có đúng hai nghiệm x1, x2  (a; b) với (x1 x1 < x2) thì  a x1 f1 ( x )  f ( x ) dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx Khi đó: a b x1 x2 b S   f1 ( x )  f2 ( x ) dx   [ f1 ( x )  f ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx a a x1 x2 Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x - 3x + và y = x + Giaûi: y f (x) = x2 3∙x + g(x) = x + x O 370 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = Giaûi: y f(x) = x3 O x x g(x) = x x Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x =  Giaûi: y y = sin(x) x  O  y = cos(x) II- TÍNH THEÅ TÍCH: Theå tích cuûa vaät theå: Cắt vật thể (T) hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc trục Ox x = a, x = b Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox taïi x  [a; b] caét (T) theo thieát dieän coù diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b] Khi đó thể tích vật thể (T) là: b V =  S( x )dx a Theå tích khoái choùp cuït: Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy là B, B' và có chiều cao h h Khi đó thể tích khối chóp cụt là V = ( B  BB'  B' ) 371 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 III- THEÅ TÍCH KHOÁI TROØN XOAY: Hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh truïc Ox taïo thaønh khoái troøn xoay Theå tích khoái troøn xoay laø: b V    [ f ( x )]2 dx a Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = cosx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x =  Tính thể tích khối tròn xoay thu quay hình này xung quanh trục Ox Giaûi: x y y = cos(x)  O Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = -x2 - 2x + 3, y = quay quanh truïc Ox Giaûi: y x O  Ghi chuù: 372 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = - x2, y = và đường thẳng y = -x Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2; c) y = x2 - 12x + 36, y = 6x - x2 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: a) y = x2, y = x + 2; b) y = lnx, y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường này điểm M(2; 5) vaø truïc Oy Bài 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn trục hoành và parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hoành Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường sau đây quay quanh trục Ox: x  a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin , y = 0, x = 0, x = ; c) y = lnx, y = 0, x = e Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục Ox: a) y = - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x =  ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =  Baøi taäp naâng cao: x2 Baøi 1: Parapol y = chia hình tròn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần Tìm tỉ số diện tích cuûa chuùng Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y = x2, x - y + = 0, y = Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng xác định y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 373 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG III * 374 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); c) f(x) = ; 1 x2 Baøi 2: Tính a)  (2  x ) sin xdx ; dx ; (sin x  cos x ) Baøi 3: Tính: x a)  dx ; 1 x x 64 1 x x e 3x  dx ; ex 1 dx f)  (1  x )(2  x ) dx ; e)  b)  d) f(x) = (ex - 1)3 ( x  1) b)  d)  b) f(x) = sin4xcos22x; 1 x  x c)  dx ;  c)  x e x dx ; dx ; d)   sin x dx 0 Baøi 4: Tính:  2 a)  cos x sin xdx ; x b)   x dx ; 1 ( x  1)( x  2)( x  3) dx ; x2 c)   d)  dx ;   x x  e)  (sin x  cos x ) dx ; f)  ( x  sin x ) dx Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn y =  x và y = 2(1 - x) a) Tính dieän tích hình D; b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay thành Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn các đường (C): y = x2 + 1, trục tung vaø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm (1; 2) quay quanh truïc Ox CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 375 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 CHƯƠNG IV SỐ PHỨC - oOo - §1 SỐ PHỨC Soá i: Phương trình x2 + = có nghiệm là số kí hiệu là "i" với i2 = -1 Định nghĩa số phức:  Mỗi biểu thức dạng a + bi, đó a, b  R, i = -1 gọi là số phức  Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo z  Tập hợp các số phức kí hiệu là C (Complex) * Chuù yù: z = a + bi  Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a là số phức và R  C  Soá thuaàn aûo: bi = + bi  i = + 1i (số i gọi là đơn vị ảo)  Số phức + (-3)i có thể viết - 3i, số phức + i còn có thể viết + i Số phức nhau: Hai số phức là phần thực và phần ảo chúng tương ứng a + bi = c + di  a = c vaø b = d Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i Giaûi: Biểu diễn hình học số phức: Điểm M(a; b) hệ tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi Ví dụ 1: Biểu diễn hình học các số phức: + 2i, - i, -2 - 3i, 3i, Giaûi: y -5 -4 -3 -2 -1 O -1 Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo -5 và phần thực thuộc khoảng (-4; 4) -2 -3 -4 -5 Giaûi: 376 -6 x Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Môđun số phức: Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Độ dài vectơ OM gọi là môđun số phức z và kí hiệu là z Vậy: z  a  bi  OM = y M b a  b2 x O Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi là số phức liên hợp z vaø kí hieäu laø z = a - bi Ví duï: Số phức liên hợp z = -3 + 2i là: a y z = a + bi M b x Số phức liên hợp z = - 3i là: * Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng qua trục Ox, và z  z, z  z O -b a M' z = a - bi  Ghi chuù: 377 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết: a) z = - i; b) z = - i; c) z = Bài 2: Tìm các số thực x và y, biết: a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i Bài 3: Tính z với: a) z = -2 + i ; b) z = - 3i; Baøi 4: Tìm z , bieát: a) z = - i ; b) z = - + i ; 2; b) (1 - 2x) - i = d) z = -7i + (1 - 3y)i; c) z = -5; d) z = i c) z = 5; d) z = 7i Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực z -2; b) Phaàn aûo cuûa z baèng 3; c) Phần thực z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo z thuộc đoạn [-2; 2] Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z = 1; b) z  1; c) < z  2; d) z = vaø phaàn aûo cuûa z baèng Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z  Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z  i  CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 378 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §2 CỘNG, TRỪ VAØ NHÂN SỐ PHỨC Phép cộng và phép trừ hai số phức: Phép cộng và phép trừ số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Ví dụ: Cho số phức z1 = + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2 Giaûi: Phép nhân hai số phức: Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 = -1 kết nhận (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i * Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất các tính chất phép cộng và phép nhân các số thực Ví dụ: Cho các số phức z = - 2i, z1 = -2 + 3i Thực các phép tính: a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1 Giaûi:  Ghi chuù: 379 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Thực các phép tính sau: a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i); d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i) Bài 2: Tính  + ,  -  với: a)  = 3,  = 2i; b)  = 5i,  = -7i; c)  = 1- 2i,  = 6i; d)  = 15,  = - 2i Bài 3: Thực các phép tính sau: a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i); c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i Baøi 4: Tính: a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3 Bài 5: Tính i3, i4, i5 Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tùy ý Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tính giá trị biểu thức Q = (2 + i)2 + (2 - i)2 Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo các số phức sau: a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i); 2 12 13 e) z = 2i  i ; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3 d) z = (1 + i) – (1 – i) ; CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 380 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC Tổng và tích hai số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi thì z  z = 2a và z.z = a  b  z  Tổng số phức với số phức liên hợp nó hai lần phần thực số phức đó  Tích số phức với số phức liên hợp nó bình phương môđun số phức đó Phép chia hai số phức: a  bi ac  bd ad  bc   i Cho số phức c + di và a + bi Ta có z  c  di c  d c  d c  di * Chú ý: Để tính , ta nhân tử và mẫu với số phức liên hợp mẫu (a + bi) a  bi Ví dụ 1: Thực các phép chia sau: 1 i  3i a) ; b)  3i 5i Giaûi: Ví duï 2: Giaûi phöông trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z Giaûi:  Ghi chuù: 381 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Thực các phép chia: 1 i 2i ; a) ; b)  2i 2i Bài 2: Tìm nghịch đảo số phức z, biết: z a) z = + 2i; b) z = - 3i; Bài 3: Thực các phép tính sau: c) 5i ;  3i d)  2i i d) z = + i c) z = i; (1  i )2 (2i )3 b) ; 2i  4i d) - 3i +  6i a) 2i(3 + i)(2 + 4i); c) + 2i + (6 + i)(5 + i); Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) z  (2  3i)   2i  3i Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo các số phức sau :  2i a) z   i  ; b) z = - 2i - (3 - 2i)2; i i i  3i   5i  ; e) ; d) z =  1 i  2i i 1i Bài 2: Cho z   3i Tìm phần thực, phần ảo và modun số phức Baøi 3: Giaûi phöông trình c) z = 7i + - 4i; 2i z  7i z5 2i   3i z 1i 2i CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 382 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Căn bậc hai số thực âm: Số thực a (a < 0) có hai bậc hai là  i a Ví duï: soá -2 coù hai caên baäc hai laø  i 2 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Giaûi phöông trình baäc hai: ax2 + bx + c = (*) (a, b, c  R, a  0) Tính:  = b2 - 4ac (' = b'2 - ac) b  Nếu  > thì (*) có nghiệm thực x1,2 = 2a b Nếu  = thì (*) có nghiệm thực x =  2a Nếu  < thì (*) có nghiệm phức x1,2 = bi  2a * Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n  1) có n nghiệm phức (không thiết phân biệt) Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + = trên tập số phức Giaûi: Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - = trên tập số phức Giaûi: Định lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức: a) Cho z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình az2 + bz + c = (a, b, c  R, a  0) Hãy tính z1 + z2 và z1.z2 theo a, b, c b) Cho z = a + bi là số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghieäm c) Cho hai số phức z1, z2 Biết z1 + z2 và z1.z2 là hai số thực Chứng tỏ z1, z2 là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực Giaûi: 383 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm các bậc hai phức các số sau: -7; -8; -12; -20; -121 Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) -3z2 + 2z - = 0; b) 7z2 + 3z + = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x2 + x + = 0; b) 3x2 - x + = 0; c) x 2  x   Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z4 + z2 - = 0; b) z4 + 7z2 + 10 = Bài 5: Cho phương trình: x2 - 3x + = Gọi z và z' là nghiệm phương trình đã cho Hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) z + z'; b) z2z' + zz'2 Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau treân C: a) x  3.x   ; b) x  3.x   ; c) x 2  x   Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z   ; b) x   ; c) z3 – = 0; d) z  z  10 z  CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 384 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG IV * 385 Hồ Xuân Trọng Giaûi tích 12 Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn phần gạch chéo các hình sau đây? y y y x x -2 -1 x -1 a) b) c) Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực z 1; b) Phaàn aûo cuûa z baèng -2; c) Phần thực z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) z  Bài 3: Tìm các số thực x, y cho: a) 3x + yi = 2y + + (2 - x)i; b) 2x + y - = (x + 2y - 5)i Bài 4: Thực các phép tính sau: 1 i a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + ; 2i  i  3i  c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) 2i 2i Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 3z2 + 7z + = 0; b) z4 - = 0; c) z4 - = Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng chúng và tích chúng Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm các số thực a, b để z   3i là nghiệm phương trình z4 + bz2 + c = Bài 2: Tìm các số phức z cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) là số thực Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo số phức z = (1 - i)2009 Baøi 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Tính f(1 - 3i) Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Chứng minh f(1 + i) + f(1 - i)  R Baøi 6: Tính z6 bieát 3z - z = -4 + 8i Bài 7: Chứng minh z    i laø moät nghieäm cuûa phöông trình z3 = 2 Bài 8: Tìm các nghiệm phức phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + = Bài 9: a) Tìm các số thực a, b để có phân tích 2z3 - 9z2 + 14z - = (2z - 1)(z2 + az + b) giải phương trình 2z3 - 9z2 + 14z - = treân C b) Tìm các số thực a, b để có phân tích z4 - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) giải phương trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = treân C Baøi 10: Giaûi caùc heä phöông trình sau:  z z  4i  z z  5  5i 2 z  (2  i ) z   6i a)  21 22 ; b)  2 ; c)  z1  z2   2i z1  z2  5  2i  z1  2iz  16  4i 386 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 CHÖÔNG I KHOÁI ÑA DIEÄN - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: I- MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG: A A b c G H a hc R r C a B I O C M b c hb B A b c A C B C B a Troïng taâm G cuûa tam giaùc laø Trực tâm H tam giao điểm ba đường trung Tâm O đường tròn ngoại Tâm I đường tròn nội giaùc ABC laø giao ñieåm tieáp tam giaùc laø giao ñieåm tieáp tam giaùc laø giao ñieåm tuyeán, vaø AG  AM ba đường cao ba đường trung trực ba đường phân giác Tam giaùc vuoâng ABC vuoâng taïi A:  Hệ thức lượng: A A B  C AC AB sin = cos = BC BC AC AB tan = cot = AB AC 2  Ñònh lí Pitago: BC = AB + AC2  Dieän tích: S = AB.AC 2 Các công thức đặc biệt: B H C M  Nghịch đảo đường cao bình phương:  Độ dài đường trung tuyến AM =  Công thức khác: AB.AC = AH.BC 1   2 AH AB AC BC BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB 3  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh   Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  Hệ thức lượng tam giác:  Ñònh lí Coâsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC a b c    2R  Ñònh lí sin: sin A sin B sin C Các công thức tính diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là ha, hb, hc; r, R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC; Gọi S là diện tích ABC: 1 1 1  S = aha  bhb  chc  S = bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 2 2 abc abc S=  S = pr  S = p( p  a)( p  b)( p  c) (với p = ) 4R Dieän tích caùc hình ñaëc bieät khaùc:  Hình vuoâng: S = caïnh  caïnh  Hình thoi: S = (cheùp daøi  cheùo ngaén)  Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 2  Hình troøn: S = R  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2  387 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: B A N A C M M N P C B  ABC ∽MNP chúng có hai góc tương ứng AB MN   Neáu ABC ∽MNPthì AC MP AM AN MN   AB AC BC II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG: Hình choùp coù mp(SAB)  (ABC) Hình chóp tứ giác S Hình chóp tam giác S S A B H C A B C G I C A D B Hình choùp S.ABC coù caïnh beân vuông góc mặt đáy Hình choùp S.ABC coù ba caïnh beân taïo với đáy góc  Lăng trụ thường A' C' S S B' C A  A  A C C I  B B B Lăng trụ đứng A' Hình hộp chữ nhật Hình hộp thường C' B' B' C' C' B' D' A' D' A' B C C A C B A B * Chú ý: Lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác A D 388 D * Chuù yù: Hình laäp phöông laø hình hoäp coù maët laø hình vuoâng Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG: Một số phương pháp chứng minh hình học không gian:  Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Phöông phaùp: Trình baøy baøi giaûi: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc mp(P) ta chứng minh  vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm mp(P)   a  ( P ) Ta coù:    b  ( P )    (P) a A b P  Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Phöông phaùp: Trình baøy baøi giaûi: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d ta chứng minh  vuông góc với mp(P) chứa d Ta coù:   (P)  d  d d P  Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Phöông phaùp: Trình baøy baøi giaûi: Để chứng minh mp(Q)  mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa đường thẳng  vuông góc mp(P)    ( P) Ta coù:  Q   (Q )   (Q)  (P) P Hai ñònh lí veà quan heä vuoâng goùc:  Ñònh lí 1: Neáu mp(P) vaø mp(Q) cuøng vuoâng goùc  Ñònh lí 2: Cho mp(P) vuoâng goùc mp(Q) Moät với mp() thì giao tuyến (nếu có) chúng đường thẳng d nằm mp(P) vuông góc vuoâng goùc mp() với giao tuyến  (P) và (Q) thì d vuông goùc mp(Q) P  Q P d  Q 389 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Goùc: Góc hai mặt phẳng: Góc đường thẳng và mặt phẳng: Góc đường thẳng  và mp() là góc Góc hai mặt phẳng () và () là góc giữa  và hình chiếu ' nó trên mp() hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng (), () và cùng vuông góc với giao tuyến Q d' I  ' H   Trình baøy baøi giaûi:  Ta coù ' laø hình chieáu cuûa  treân mp()  Suy ra: (,()) = (,') =  P d    Trình baøy baøi giaûi: ( P)  (Q )     Ta coù  ( P )  d    (Q )  d '     Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') =  Khoảng cách: Khoảng cách đường thẳng và mặt Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: phaúng song song: Khoảng cách hai đường thẳng  và ' chéo là Khoảng cách đường thẳng  và độ dài đoạn vuông góc chung  và ' và với mp() song song với nó là khoảng cách khoảng cách  và mp() chứa ' và song song với  M  A từ điểm M trên  đến mp() M  H H   N '  Trình baøy baøi giaûi:  Trình baøy baøi giaûi: d(,()) = d(M,()) = MH d(,') = d(,()) = d(A,()) = AH Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu: d A S d' C H  A' S'   Goïi d' laø hình chieáu cuûa d treân () Ta coù:   d'    d  Ghi chuù:  B S' = Scos 390 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §1 KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN I - KHOÁI LAÊNG TRUÏ VAØ KHOÁI CHOÙP:  Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt là phần không gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt  Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi là điểm ngoài khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó gọi là điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï B' hai ñieåm M, N khoâng phaûi laø ñieåm cuûa khoái choùp S C' D' A' F' E' hình laø phaàn voû bọc bên ngoài Khối goàm phaàn voû beân ngoài và phần ruột ñaëc beân N A B B C D M A F E D C II- KHAÙI NIEÄM VEÀ HÌNH ÑA DIEÄN VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN: Khaùi nieäm veà hình ña dieän:  Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình tạo số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chaát: a) Hai đa giác phân biệt có thể không có điểm chung, có đỉnh chung, chæ coù moät caïnh chung b) Mỗi cạnh đa giác nào là cạnh chung đúng hai đa giác  Mỗi đa giác gọi là mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh các đa giác theo thứ tự gọi laø caùc ñænh, caïnh cuûa hình ña dieän Ñænh Caïnh Maët Khaùi nieäm veà khoái ña dieän:  Khối đa diện là phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện đó  Những điểm không thuộc khối đa diện gọi là điểm ngoài khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện đó gọi là điểm khối đa diện Tập hợp các điểm gọi là miền trong, tập hợp điểm ngoài gọi là miền ngoài khối đa diện  Moãi hình ña dieän chia caùc ñieåm coøn laïi cuûa khoâng gian thaønh hai mieàn khoâng giao laø mieàn và miền ngoài hình đa diện, đó có miền ngoài là chứa hoàn toàn đường thẳng nào 391 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 d Miền ngoài Ñieåm N Điểm ngoài M III- HAI ÑA DIEÄN BAÈNG NHAU: Phép dời hình không gian: Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' xác định gọi là pheùp bieán hình khoâng gian Phép biến hình không gian gọi là phép dời hình nó bảo toàn khoảng cách hai ñieåm tuøy yù * Một số phép dời hình không gian:  a) Pheùp tònh tieán theo vectô v : M' Laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh M' cho  MM '  v v M b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm thuoäc (P) thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khoâng thuoäc (P) thaønh điểm M' cho (P) là mặt phẳng trung trực MM' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) gọi là mặt phẳng đối xứng (H) M I P M' c) Phép đối xứng qua tâm O: Laø pheùp bieán hình bieán ñieåm O thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khaùc O thaønh ñieåm M' cho O laø trung ñieåm MM' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O gọi là tâm đối xứng (H) d) Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục ): Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thaúng  thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khoâng thuộc  thành điểm M' cho  là đường trung trực cuûa MM' Nếu phép đối xứng trục  biến hình (H) thành chính nó thì  gọi là trục đối xứng (H) 392 M' O M I M M' Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 * Nhaän xeùt:  Thực liên tiếp các phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H'), biến đỉnh, cạnh, mặt (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H') Hai hình baèng nhau: Hai hình gọi là có phép dời hình biến hình này thành hình  Ví dụ: Thực liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O hình (H) bieán thaønh hình (H'') Ta coù: hình (H) baèng hình (H'') D' v D C'' A' B' B A C C' O A'' B'' (H') (H'') (H) IV- PHAÂN CHIA VAØ LAÉP GHEÙP CAÙC KHOÁI ÑA DIEÄN: Nếu khối đa diện (H) là hợp hai khối đa diện (H1), (H2) cho (H1) vaø (H2) khoâng coù chung ñieåm nào thì ta nói có thể chia khối đa diện (H) thaønh hai khoái ña dieän (H1) vaø (H2), hay coù theå laép ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với để khoái ña dieän (H) Ví dụ: Ta có thể chia khối hộp chữ nhật thành hai khối lăng trục đứng D'' (H 1) (H) (H 2)  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác Bài 2: Phân chia khối lập phương thành năm khối tứ diện Bài 3: Phân chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 393 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VAØ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I- KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI: Khối đa diện (H) gọi là khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì (H) luôn thuộc (H) Khi đó đa diện xác định (H) gọi là đa diện lồi * Chú ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi và miền nó luôn nằm phía mặt phẳng chứa mặt nó  II- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU: Định nghĩa: Khối đa diện là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a) Mỗi mặt nó là đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung đúng q mặt Khối đa diện gọi là khối đa diện loại {p; q} Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó là: Loại Teân goïi Soá ñænh Soá caïnh Soá maët {3; 3} Tứ diện {4; 3} Laäp phöông 12 {3; 4} Bát diện 12 {5; 3} Mười hai mặt 20 30 12 {3; 5} Hai mươi mặt 12 30 20  Ghi chuù: 394 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh tâm các mặt hình tứ diện là các đỉnh hình tứ diện Bài 2: Cho hình bát diện ABCDEF Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi vuông góc với và cắt trung điểm đường b) ABFD, AEFC và BCDE là hình vuông CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 395 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §3 KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN I- KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN: Có thể đặt tương ứng cho khối đa diện (H) số dương V(H) thỏa mãn tính chất sau: a) Neáu (H) laø khoái laäp phöông coù caïnh baèng thì V(H) = b) Neáu hai khoái ña dieän (H1) vaø (H2) baèng thì V( H1 )  V( H ) c) Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì V( H )  V( H1 )  V( H ) Số dương V(H) nói trên gọi là thể tích khối đa diện (H) hay thể tích hình đa diện giới hạn khối đa dieän (H) Khối lập phương có cạnh gọi là khối lập phương đơn vị II- THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT VAØ LĂNG TRỤ: Thể tích khối hộp chữ nhật: Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thước nó c Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c thì theå tích cuûa noù laø: b V = abc a Theå tích khoái laêng truï: A' Theå tích khoái laêng truï coù dieän tích ña giác đáy Sđ và chiều cao h là: B' C' D' h A V = Sñ x h B' A' C' h SABC B A H C VABC.A'B'C' = SABC x h D B SABCD VABCD.A'B'C'D' = SABCD x h III- THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP: S Thể tích khối chóp có diện tích đáy Sđ vaø chieàu cao h laø: h V= Sñ x h A B SABCD D C VS.ABCD = SABCD x h  Trình bày bài giải bài toán tính thể tích:  Veõ hình, xaùc ñònh caùc giaû thieát;  Xác định, chứng minh đường cao và tính chiều cao tương ứng;  Xác định và tính diện tích mặt đáy;  Áp dụng công thức thể tích, tính thể tích khối đa diện tương ứng 396 C Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a Góc mặt bên và mặt đáy là 60 Tính theå tích khoái choùp S.ABCD Giaûi: Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh 2a, hình chiếu đỉnh A' lên mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC và góc A'A với mp(ABC) 600 Tính thể tích khối laêng truï Giaûi: 397 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác ABC vuông B, cạnh BC = a, SA = a và vuông góc mặt đáy Góc cạnh bên SC và mặt đáy là 450 a) Tính theå tích khoái choùp S.ABC b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Giaûi: IV- CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỐI VỚI HÌNH CHÓP TAM GIÁC: Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta có tỉ số thể tích: S C' VS.A' B'C' SA' SB' SC '  VS.ABC SA SB SC * Ñaëc bieät: Neáu A'  A ta coù: A' VS.A' B'C' SB' SC '  VS.ABC SB SC B' C A B 398 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, góc cạnh bên và mặt đáy là 60 Đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và song song cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC M, N Tính tỉ số thể tích hai khối tứ diện SAMN và SABC; từ đó suy thể tích khối chóp S.MNCB Giaûi: 399 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 2: Cho khối hộp MNPQ.M'N'P'Q' có thể tích V Tính thể tích khối tứ diện P'MNP theo V Bài 3: Trên cạnh PQ tứ diện MNPQ lấy điểm I cho PI  PQ Cho biết tỉ số thể tích hai khối tứ dieän MNIQ vaø MNIP Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Bài 5: Tính thể tích khối bát diện cạnh a CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 400 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 401 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Bài 1: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao Tính tỉ số thể tích chúng Bài 2: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với đôi và OA = OB = OC = a Tính thể tích khối tứ diện OABC Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mp(SBC) các trường hợp sau: a) Tam giaùc ABC vuoâng taïi B vaø AC = 5a, BC = 3a vaø SA = a b) Tam giác ABC cạnh a và góc mp(SBC) và mp(ABC) là 600 c) Tam giác ABC vuông C, AB = 5a, BC = 3a và góc cạnh SC và mp(ABC) là 450 Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) các trường hợp sau: a) Góc cạnh bên và mặt đáy 600 b) Góc mặt bên và mặt đáy 600 c) Goùc ASB = 600 Baøi 5: Cho khoái choùp S.ABC coù hai maët phaúng (SAB)  (ABC), goïi H laø trung ñieåm AB Tính theå tích khoái chóp S.ABC và khoảng cách từ H đến mp(SAC) các trường hợp sau: a) Tam giác ABC và SAB là hai tam giác cạnh a b) Tam giaùc ABC vuoâng taïi C coù AC = a , BC = a vaø SAB vuoâng caân taïi S c) Tam giác SAB cạnh 3a, tam giác ABC cân C và góc cạnh SC với mặt đáy là 450 Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân A, mặt bên BB'C'C là hình vuông có diện tích baèng 2a2 Tính theå tích cuûa khoái laêng truï Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cạnh a, cạnh bên a và hình chiếu vuông góc với A' lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy góc 600 Đỉnh A' cách các đỉnh ABCD Tính thể tích khối hộp Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cạnh 2a, cạnh bên a và hình chiếu vuông góc A' lên (ABC) trùng với trung điểm AG với G là trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ Bài 10: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính tỉ số thể tích các khối tứ diện AMND và ABCD, từ đó suy thể tích hai khối đa diện AMND, DMNCB các trường hợp sau: a) M, N là trung điểm BC, BD b) M là trung điểm AB, N nằm A và C cho NA = 2NC Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi G là trọng tâm tam giaùc ABC vaø H laø trung ñieåm caïnh AB a) Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối tứ diện SAGB b) Tính khoảng cách từ C và G đến mp(SAB) c) Tính tæ soá theå tích cuûa hai khoái ña dieän SAHC vaø SHCB Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD Maët phaúng (AB'D') caét SC taïi C' Tính theå tích khoái choùp S.AB'C'D' Bài 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt SB E và cắt SD F Tính thể tích khoái choùp S.AEMF Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có tất các cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C 402 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 b) Mặt phẳng qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC E và F Tính thể tích hình choùp C.A'B'FE Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB' và DD' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Baøi 17: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh a Goïi M laø trung ñieåm cuûa A'B', N laø trung ñieåm cuûa BC a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H') là khối đa diện còn lại Tính tỉ số V(H) và V(H') CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 403 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 CHÖÔNG II MAËT NOÙN, MAËT TRUÏ, MAËT CAÀU - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đường tròn: A  Tất các điểm A nhìn đoạn thẳng BC góc vuông nằm trên đường tròn đường kính BC B  Đường tròn (C) bán kính r có: Chu vi: C = 2r Dieän tích: S = r2 C O Dieän tích xung quanh vaø theå Dieän tích xung quanh vaø theå Dieän tích maët caàu vaø theå tích tích cuûa hình truï: tích hình noùn: hình caàu: r M h h l r O r r Hình nón có bán kính đường Hình trụ có bán kính đường Maët caàu baùn kính r coù dieän tròn đáy r và chiều cao h có diện tròn đáy r, độ dài đường sinh l và tích vaø theå tích hình caàu töông tích và thể tích tính theo chiều cao h có diện tích và thể ứng tính theo công thức: tích tính theo công thức: công thức: S = 4r2 Sxq = rl Sxq = 2rh V = r3 V = r2h V = r h 3 Diện tích toàn phần:  Diện tích toàn phần hình đa diện là tổng diện tích tất các mặt đa diện đó  Diện tích toàn phần hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy  Diện tích toàn phần hình nón là tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy  Ghi chuù: 404 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §1 KHAÙI NIEÄM VEÀ MAËT TROØN XOAY I- SỰ TẠO THAØNH MẶT TRÒN XOAY: Trong không gian cho mp(P) chứa đường thẳng  và đường cong l Khi quay mp(P) quanh  moät goùc 3600 thì điểm M trên l vạch đường troøn coù taâm thuoäc  vaø naèm treân maët phẳng vuông góc với  Như quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng  thì đường l tạo nên hình goïi laø maët troøn xoay  Đường l gọi là đường sinh cuûa maët troøn xoay  Đường thẳng  gọi là trục cuûa maët troøn xoay II- MAËT NOÙN TROØN XOAY: Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và  cắt và tạo thành góc  với 00 <  < 900 Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh  thì đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi là mặt nón tròn xoay ñænh O, goïi taét laø maët noùn  Đường thẳng  gọi là trục O   Đường thẳng d gọi là đường sinh  Góc 2 gọi là góc đỉnh mặt nón d Hình noùn troøn xoay vaø khoái noùn troøn xoay: a) Cho tam giác OIM vuông I Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón  Hình tròn tâm I sinh các điểm thuộc cạnh IM IM quay quanh trục OI gọi là mặt đáy cuûa hình noùn  Ñieåm O goïi laø ñænh cuûa hình noùn  Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao hình nón (OI = khoảng cách từ O đến mặt đáy)  Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh hình nón  Phần mặt tròn xoay sinh các điểm trên cạnh OM quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh hình nón đó 405 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 b) Khối nón tròn xoay hay khối nón là phần không gian giới hạn hình nón tròn xoay kể hình nón đó Những điểm không thuộc khối nón gọi là điểm ngoài khối nón Những điểm thuộc khối nón không thuộc hình nón tương ứng gọi là điểm khối nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón là đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng c) Dieän tích xung quanh cuûa hình noùn vaø theå tích khoái noùn: Goïi Sñ, Sxq, V là diện tích hình tròn đáy, diện tích xung quanh và thể tích hình noùn coù:  Chieàu cao: h  Bán kính hình tròn đáy: r  Độ dài đường sinh: l O h l Sxq = rl 1 V = Sñ x h = r h 3 I r M Ví duï: Trong khoâng gian cho tam giaùc vuoâng OIM vuoâng taïi I, goùc IOM baèng 300 vaø caïnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay đó b) Tính thể tích khối nón tròn xoay tạo hình nón tròn xoay nói trên Giaûi: III- MAËT TRUÏ TROØN XOAY: Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh  thì đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi là mặt trụ troøn xoay, goïi taét laø maët truï r l  Đường thẳng  gọi là trục  Đường thẳng l là đường sinh r  r là bán kính mặt trụ đó  406 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Hình truï troøn xoay vaø khoái truï troøn xoay: a) Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay goïi taét laø hình truï  Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC vạch hai hình tròn gọi là hai đáy hình truï, baùn kính cuûa chuùng goïi laø baùn kính cuûa hình truï  Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh hình trụ  Phần mặt tròn xoay sinh các điểm trên cạnh CD quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh cuûa hình truï  Khoảng cách AB hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao hình trụ b) Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian giới hạn hình trụ tròn xoay kể hình trụ tròn xoay đó Những điểm không thuộc khối trụ gọi là điểm ngoài khối trụ Những điểm A thuộc khối trụ không thuộc hình trụ tương ứng gọi là điểm r D khối trụ Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính hình trụ là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính khối trụ tương ứng h c) Dieän tích xung quanh cuûa hình truï vaø theå tích cuûa khoái truï: Goïi Sñ, l Sxq, V là diện tích hình tròn đáy, diện tích xung quanh và thể tích cuûa hình truï coù:  Chieàu cao: h  Baùn kính: r  Độ dài đường sinh: l Sxq = 2rl V = Sñ x h = r2h B r C  Ví dụ: Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I và H là trung điểm các cạnh AB và CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta hình trụ tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đó b) Tính thể tích khối trụ tròn xoay giới hạn hình trụ nói trên Giaûi:  Ghi chuù: 407 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trong trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay khối tròn xoay sinh bởi: a) Ba cạnh hình chữ nhật quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư b) Ba cạnh tam giác cân quanh quanh trục đối xứng nó c) Một tam giác vuông kể các điểm tam giác vuông đó quay quanh đường thẳng chứa caïnh goùc vuoâng d) Một hình chữ nhật kể các điểm hình chữ nhật đó quay quanh đường thẳng chứa caïnh Bài 2: Cho hình nón có đường cao 12cm, bán kính đáy 16cm Tính diện tích xung quanh hình nón đó Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAB 600 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Bài 4: Một mặt phẳng qua trục khối trụ cắt khối trụ đó theo hình vuông cạnh a Tính theo a diện tích xung quanh và thể tích khối trụ đó Bài 5: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó ta thiết diện là tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón đó Bài 6: Một khối trụ có chiều cao 12 và bán kính đáy Một mặt phẳng song song với trục và cách trục khoảng là cắt khối trụ theo thiết diện là hình gì? Cho biết diện tích thiết diện đó Bài 7: Cho khối nón có chiều cao là 12, bán kính đáy là Một mặt phẳng qua đỉnh khối nón và hai đường sinh cắt đáy theo dây cung có độ dài là 13 Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết diện tạo thaønh Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ tạo nên b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm Hãy tính diện tích thiết diện taïo neân Baøi 9: Moät hình truï coù baùn kính r vaø chieàu cao h = r a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ 408 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ đã cho c) Cho hai điểm A và B nằm trên hai đường tròn đáy cho góc đường thẳng AB và trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB và trục hình trụ Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho b) Tính thể tích khối nón tạo thành hình nón đó c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích thiết diện đó Bài 11: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r) Khoảng cách hai đáy là OO' = r Một hình nón đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O; r) a) Goïi S1 laø dieän tích xung quanh cuûa hình truï vaø S2 laø dieän tích xung quanh cuûa hình noùn, haõy tính tæ soá S1 và S2 b) Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 12: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón tương ứng b) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy moät goùc 600 Tính dieän tích tam giaùc SBC Baøi 13: Moät hình truï coù baùn kính r vaø coù chieàu cao cuõng baèng r Moät hình vuoâng ABCD coù hai caïnh AB vaø CD là các dây cung hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh hình trụ Tính diện tích hình vuông đó và côsin góc mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy Bài 14: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d qua điểm cố định và tạo với (P) góc  không đổi (với 00 <  < 900) Chứng minh d luôn thuộc mặt nón cố định Bài 15: Cho mặt phẳng (P) và đường tròn tâm O trên đó Điểm M di động trên (O) Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) Chứng minh đường thẳng d luôn thuộc mặt trụ cố định Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn luôn qua A và cách B khoảng 10cm Chứng tỏ đường thẳng d luôn luôn nằm trên mặt nón, hãy xác định trục và góc đỉnh mặt nón đó Bài 17: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mp(P) Từ điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ đường thẳng vuông góc với (P) Chứng minh đường thẳng nằm trên mặt trụ tròn xoay Hãy xác định trục và bán kính mặt trụ đó CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 409 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §2 MAËT CAÀU I- MẶT CẦU VAØ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU: Maët caàu: Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r (r > 0) gọi là mặt cầu tâm O bán kính r  Mặt cầu tâm O, bán kính r kí hiệu: S(O; r) hay vieát taét laø (S)  Ta coù: M r O S(O; r) = {M  OM = r} Hình bieåu dieãn cuûa maët caàu daây cung  Neáu hai ñieåm CD naèm treân maët caàu S(O; r) thì đoạn thẳng CD gọi là dây cung mặt cầu đó C  Dây cung AB qua tâm O gọi là đường kính mặt cầu Khi đó độ dài đường kính baèng 2r r D B O A đườ ng kính Điểm nằm và nằm ngoài mặt cầu: Cho maët caàu S(O; r) vaø moät ñieåm A baát kì khoâng gian điểm nằm ngoài ñieåm naèm  Neáu OA = r thì ta noùi ñieåm A naèm treân maët caàu S(O; r)  Neáu OA < r thì ta noùi ñieåm A naèm maët caàu S(O; r)  Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) B C O A Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm mặt cầu đó gọi là khối cầu hình cầu tâm O bán kính r ñieåm naèm treân Đường kinh tuyến và vĩ tuyến mặt cầu: vó tuyeán Ta coù theå xem maët caàu laø moät maët troøn xoay taïo nên nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính nửa đường tròn đó  Giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục mặt cầu gọi là kinh tuyến  Giao tuyến (nếu có) mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục gọi là vĩ tuyến maët caàu  Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi là hai cực mặt cầu 410 A O kinh tuyeán B Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 II – GIAO CUÛA MAËT CAÀU VAØ MAËT PHAÚNG: Cho maët caàu (S) taâm O, baùn kính r vaø maët phaúng (P) Ta coù: Maët caàu (S) vaø mp(P) khoâng coù ñieåm chung Maët caàu (S) vaø mp(P) coù ñieåm chung (mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)) O O r r H P H P (P)S(O; r) =   d(O, (P)) > r Maët phaúng (P) caét maët caàu (S) theo giao tuyeán laø đường tròn (C) tâm H, bán kính r' (P) S(O; r) = {H}  d(O, (P)) = r Khi đó: (P) gọi là tiếp diện mặt cầu (S), H gọi tieáp ñieåm Maët phaúng (P) ñi qua taâm O cuûa maët caàu đường tròn lớn O O r r C(O; r) P M r' H P (P) S(O; r) = C(H, r')  d(O, (P)) < r  Taâm H laø hình chieáu cuûa O treân mp(P)  Baùn kính r' = Khi đó giao tuyến mp(P) và S(O; r) là đường tròn C(O; r) gọi là đường tròn lớn r  [d (O, ( P))]2 III – GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG, TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU: Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính r và đường thẳng  Ta có: Đường thẳng  cắt mặt cầu (S) điểm Đường thẳng  không cắt mặt cầu (S)  O O r  H P H N M P   S(O; r) =   d(O, )) > r   S(O; r) = {M; N}  d(O, )) < r Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) H O r H  P Khi đó:  gọi là tiếp tuyến mặt cầu (S), H gọi là tiếp điểm 411 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 * Nhaän xeùt: A A O O Qua moät ñieåm A naèm treân maët caàu S(O; r) coù voâ Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có số tiếp tuyến mặt cầu Tất các tiếp tuyến vô số tiếp tuyến với mặt cầu Các tiếp tuyến này này vuông góc với bán kính OA mặt cầu tạo thành mặt nón đỉnh A Khi đó độ dài các đoạn A và nằm trên tiếp diện mặt cầu A thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Maët caàu noäi tieáp hình ña dieän neáu maët Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất các đỉnh cầu đó tiếp xúc với tất các mặt hình đa diện nằm trên mặt cầu Còn nói hình đa diện hình đa diện Còn nói hình đa diện ngoại nội tiếp mặt cầu S tieáp maët caàu O A B D C Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S.ABCD vaø chæ OA = OB = OC = OD = OS = r Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, SA vuông góc mặt đáy Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết AB = BC = a và SA = a Giaûi: 412 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 600 Xác định tâm và tính bán kính maët caàu ñi qua caùc ñænh cuûa hình choùp Giaûi: Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc đôi một, OA = OB = OC = a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giaûi: 413 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 IV- CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VAØ THỂ TÍCH KHỐI CẦU: Cho maët caàu (S) coù baùn kính r, ta coù:  Dieän tích maët caàu: S = 4r2  Theå tích khoái caàu: V = r3 * Chuù yù:  Diện tích S mặt cầu bán kính r bốn lần diện tích hình tròn lớn mặt cầu đó  Thể tích V khối cầu bán kính r thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu và có chiều cao bán kính khối cầu đó  Ghi chuù: 414 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác có tất các cạnh a Tính diện tích mặt cầu qua đỉnh cuûa hình laêng truï Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh nằm trên mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu đó Baøi 4: Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù SA  (ABC), tam giaùc ABC vuoâng taïi B, caïnh AC = 5a, AB = 3a vaø SA = a a) Tính thể tích khối chóp, từ đó suy khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, BB' = b, CC' = c a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua đỉnh hình hộp đó b) Tính bán kính đường tròn là giao tuyến mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên Bài 6: Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; r) kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu A, B và C, D a) Chứng minh MA.MB = MC.MD b) Goïi MO = d Tính MA.MB theo r vaø d Bài 7: Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp(P) I Gọi M là điểm nằm trên mặt cầu không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến mặt cầu cắt (P) A và B Chứng minh goùc AMB baèng goùc AIB CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 415 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * 416 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC Biết AB = AD = a, tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón tạo thành quay đường gấp khuùc BDA quanh caïnh AB Bài 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi H là hình chiếu vuông góc đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tính độ dài đoạn AH b) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ tâm O hình vuông dựng đường thẳng  vuông góc với mặt a phẳng (ABCD) Trên  lấy điểm S cho OS = Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu đó Bài 4: Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO' a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ đó b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu tạo nên hình trụ và mặt cầu đã cho CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 417 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông:     Hai vectơ u , v cùng phương với và tồn số thực k cho u  kv Ba vectơ đồng phẳng:  Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ gọi là đồng phẳng các giá chúng cùng song song với mặt phẳng    Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Trong không gian cho hai vectơ a , b không cùng phương và        vectơ c Khi đó ba vectơ a, b , c đồng phẳng và có cặp số m, n cho c  ma  nb Ngoài cặp soá m, n laø caëp nhaát Tích vô hướng hai vectơ:     Trong không gian, cho hai vectơ u và v khác vectơ - không Tích vô hướng hai vectơ u và v là       số, kí hiệu là u v , xác định công thức: u v  u v cos(u , v )    * Chuù yù: u  v  u v Vectơ phương đường thẳng:  Vectơ a khác vectơ - không gọi là vectơ phương đường  thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d d * Nhaän xeùt:   a  Nếu a là vectơ phương d thì vectơ ka với k ≠ laø vectô chæ phöông cuûa d  Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác định  neáu bieát moät ñieåm A thuoäc d vaø moät vectô chæ phöông a cuûa noù  Hai đường thẳng song song với và chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ phương cùng phương  Ghi chuù: 418 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VAØ CỦA VECTƠ: Hệ tọa độ: Trong khoâng gian, cho ba truïc x'Ox, y'Oy, z'Oz    vuông góc đôi Gọi i , j , k có    i  j  k  là các vectơ đơn vị trên caùc truïc x'Ox, y'Oy, z'Oz Heä ba truïc nhö vaäy goïi là hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz Trong đó:  Điểm O gọi là gốc tọa độ  Caùc maët phaúng: (Oxy), (Oyz), (Oxz) ñoâi vuông góc gọi là các mặt phẳng tọa độ       i j  j k  k i  z j y i O k x Tọa độ điểm và tọa độ vectơ: z  Trong heä truïc Oxyz, cho ñieåm M    OM  x i  yj  xk z Bộ ba số (x; y; z) gọi là tọa độ điểm M hệ trục Oxyz Kí hiệu: M(x; y; z) M = (x; y; z) M(x; y; z) k O y j y i   Trong heä truï Oxyz, cho a     a  a1i  a2 j  a3 k Bộ ba số (a1; a2; a3) gọi là tọa độ  vectơ a hệ trục Oxyz   Kí hiệu: a = (x; y; z) a (x; y; z) x M' x II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ: Ñònh lí:   Trong khoâng gian Oxyz cho hai vectô a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) Ta coù:    a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) ,    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ,   ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ) , k  R        Ví dụ: Cho a  (1;3;2) , b  (0;1;3) , c  (1;2;2) Tính tọa độ vectơ d  a  2b  c Giaûi: 419 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Heä quaû:  a1  b1      a) Cho hai vectô a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) Ta coù: a  b  a2  b2 a  b   b) Vectô  (0;0;0) , O(0; 0; 0)     c) Với b  thì hai vectơ a, b cùng phương  k  R cho a1 = kb1, a2 = kb2, a3 = kb3 d) Trong khoâng gian Oxyz, neáu cho hai ñieåm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) thì:  AB  ( x B  x A ; y B  y A ; zB  z A ) x  x B y A  y B z A  zB ; ;  Tọa độ trung điểm M AB là M( A ) 2 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, ba điểm M(1; 1; 1), N(-4; 3; 1), P(-9; 5; 1) Chứng minh ba điểm M, N, P thaúng haøng Giaûi: Ví duï 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba ñieåm A(3; 4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4) a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác b) Tìm ñieåm D cho ABCD laø hình bình haønh Giaûi:    Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a  (2; 3; 4) , b  (5; 7; 0) , c  (3;  2; 4) không đồng phẳng  Haõy phaân tích d  (4; 12;  3) theo vectô treân Giaûi: 420 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 III- TÍCH VÔ HƯỚNG: Biểu thức tọa độ tích vô hướng:   Định lí: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) xác  định công thức a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3   Ví dụ: Tính tích vô hướng hai vectơ a = (1; -5; 2), b = (4; 3; -5) Giaûi: Ứng dụng:   a) Độ dài vectơ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) ta có: a  a12  a22  a32 b) Khoảng cách hai điểm: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) AB = AB  ( x B  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  x A )2   c) Góc hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) Gọi  là   a1 b1  a2 b2  a3 b3   góc hai vectơ a, b Ta có: cos = cos( a, b )  a1  a22  a32 b12  b22  b32    * Chuù yù: a  b  a.b   a1b1  a2 b2  a3b3  Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(3; 4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4) a) Tìm độ dài các cạnh ABC b) Tính cosin cuûa goùc BAC ABC Giaûi: IV- PHÖÔNG TRÌNH MAËT CAÀU: Ñònh lí: Trong khoâng gian Oxyz, maët caàu (S) taâm I(a; b; c) baùn kính r coù phöông trình laø: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 * Nhaän xeùt: Phöông trình daïng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = laø phöông trình maët caàu thoûa A2 + B2 + C2 - D > 0, lúc đó mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C) và bán kính r = 421 A2  B2  C  D Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví duï 1: Phöông trình x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z + = coù phaûi laø phöông trình cuûa moät maët caàu khoâng? Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó phải Giaûi: Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) các trường hợp sau: a) Taâm I(2; 1; 3) vaø baùn kính r = b) Qua A(1; 2; 4) vaø coù taâm laø B(1; 3; 1) c) Có đường kính AB với A(1; 2; -1), B(3; 2; 1) c) Qua ñieåm A(3; 2; 6), B(3; 1; 0), C(0; 7; 3), D(2; 1; -1) D B B B I r A Maët caàu qua A coù taâm B A A Mặt cầu có đường kính AB Maët caàu qua ñieåm A, B, C, D Giaûi: 422 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12  Ghi chuù: BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn:    Baøi 1: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba vectô a  (1;2;4), b  (5;2;1), c  (1;1;2)       a) Tính tọa độ vectơ d  2a  3b  c b) Tìm x cho u =(x; -1; 2) vuoâng goùc a    Baøi 2: Cho ba vectô a  (2;5;3) , b  (0;2;1) , c  (1;7;2)    1      a) Tính tọa độ vectơ d  4a  b  3c b) Tìm tọa độ e cho e  4b  2c  a Baøi 3: Cho ba ñieåm A(1; -1;  1), B(0; 1; 2), C(1; 0; 1) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  Baøi 4: Cho a = (3; 0; -6), b = (2; -4; 0) 423 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12     a) Tính a.b b) Chứng minh a  c với c = (6; 1; 3) Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tính tọa độ các ñænh coøn laïi cuûa hình hoäp Baøi 6: Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu coù phöông trình sau ñaây: a x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + = ; b x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - = ; c) x2 + y2 + z2 - 2z - = 0; d) 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z - = Bài 7: Viết phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau: a) Taâm I(5; -3; 7) vaø coù baùn kính r = b) Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3) c) Ñi qua ñieåm A(5; -2; 1) vaø coù taâm C(3; -3; 1) d Ñi qua boán ñieåm O, A(2; 2; 3, B(1; 2; -4, C(1; -3; -1 Baøi taäp naâng cao:  Baøi 1: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba ñieåm P(1; -2; 3), Q(2; 0; 1), R(-1; 1; -2) Tìm moät vectô n vuoâng goùc  với PQ và n vuông góc PR  Baøi 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho vectô a = (1; -3; 4)   a) Tìm y0 và z0 vectơ b = (2; y0; z0) cùng phương với a      b) Tìm tọa độ vectơ c biết a và c ngược hướng và c = a             Bài 3: Trong không gian cho ba vectơ tùy ý a , b , c Gọi u = a - b , v = b - c , w  2c  3a Chứng tỏ    vectơ u , v , w đồng phẳng    Baøi 4: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba veùctô a  (2; 3; 4) , b  (5; 7; 0) , c  (3;  2; 4) a) Chứng tỏ vectơ trên không đồng phẳng   b) Cho d  (4; 12;  3) Haõy phaân tích d  (4; 12;  3) theo veùctô treân Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; -2), C(2; 1; 0), D(0; -1; 1) Chứng minh A, B, C, D là đỉnh tứ diện Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2), B(-2; 1; 3), C(1; 4; 0) a) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp I tam giác ABC b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Chứng minh H, G, I thẳng hàng Baøi 7: Trong khoâng gian Oxyz, cho ñieåm A(2; 2; 4), B(4; 5; 7) a) Tìm tọa độ M trên trục Ox biết tam giác ABM vuông M b) Tìm tọa độ K trên trục Oz biết tam giác KAB cân K CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 424 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §2 PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG I- VECTÔ PHAÙP TUYEÁN CUÛA MAËT PHAÚNG:   Ñònh nghóa: Cho maët phaúng () Neáu vectô n khaùc vaø coù giaù vuoâng  góc với mặt phẳng () thì n gọi là vectơ pháp tuyến mp()    * Chuù yù: Neáu n laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa mp() thì n1  kn, (k  0) cuõng laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa mp()   Ví duï: n  (6;9;0) laø vectô phaùp tuyeán cuûa mp() thì n1 = (2; 3; 0)  1 cuõng laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa mp() vì n1  n * Vectơ vuông góc với hai vectơ không cùng phương cho trước: Trong khoâng gian Oxyz, cho mp() vaø hai vectô khoâng cuøng   phương a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song nằm n  n b mp() a   a2 a3 a3 a1 a1 a2  ; ; Khi đó:  Vectơ n =  b b b b b1 b2  3  a' = (a2b3 - b2a3; a3b1 - b3a1; a1b2 - b1a2) a b'      α là vectơ vuông góc với hai vectơ a và b Kí hiệu n  a  b      n  [a , b ] gọi là tích có hướng hai vectơ a, b     Vectô coù hướ n g n  a  b vuoâng goùc  Vectô n xaùc ñònh nhö treân laø moät vectô phaùp tuyeán   với hai vectơ a và b cuûa mp() II- PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA MAËT PHAÚNG: Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, đó A, B, C không đồng thời 0, gọi là phương trình tổng quát mặt phẳng * Nhaän xeùt:  Neáu maët phaúng () coù phöông trình toång quaùt laø Ax + By + Cz + D = thì noù coù moät vectô phaùp  tuyeán laø n  ( A; B; C )  ñi qua ñieåm M ( x ; y0 ; z0 )  Mp():  coù phöông trình A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) =  vectô phaùp tuyeán n  ( A; B; C ) Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng () các trường hợp sau:  a) () ñi qua M(1; -2; 2) vaø nhaän n  (2;3;1) laøm vectô phaùp tuyeán   b) () qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá hai vectơ a = (0; 1; 1), b = (-1; 0; 2) c) () qua A(2; -1; 4) vuông góc BC với B(3; 2; -1), C(0; -2; -1) d) () chứa đường thẳng AB với A(2; 1; 4), B(3; 2; 1) và vuông góc với mp(P): x + 2y + 3z - = e) () qua A(1; 0; 5) và song song với mp(Q): 2x - y + z - 17 = n C b a a'  b'    Mp() song song với giá hai vectơ a , b 425 B Mp() vuông góc đường thẳng BC Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 P nQ nP Q B  A  nP Mp() song song mp(Q) Mp() AB và vuông góc mp(P) Giaûi: 426 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví duï 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba ñieåm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Laäp phöông trình maët phaúng (ABC) Giaûi: Các trường hợp riêng: a) Mặt phẳng qua gốc tọa độ có dạng: Ax + By + Cz = b) Mặt phẳng song song chứa Ox có dạng: By + Cz + D = Mặt phẳng song song chứa Oy có dạng: Ax + Cz + D = Mặt phẳng song song chứa Oz có dạng: Ax + By + D = c) Mặt phẳng song song trùng với mp(Oxy) có dạng: Cz + D = Mặt phẳng song song trùng với mp(Oxz) có dạng: By + D = Mặt phẳng song song trùng với mp(Oyz) có dạng: Ax + D = d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Cho ba ñieåm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) naèm treân các trục tọa độ x y z Phöông trình maët phaúng (ABC) laø:    a b c Ví duï: Trong khoâng gian Oxyz cho ba ñieåm P(0; 1; 0), Q( 2; 0; 0), R(0; 0; 3) Haõy vieát phöông trình mp(PQR) Giaûi: z C(0; 0; c) y O A(a; 0; 0) x III- ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC: Trong khoâng gian Oxyz cho hai maët phaúng 427 B(0; b; 0) Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12  (1): A1x + B1y + C1x + D1 = coù vectô phaùp tuyeán n1  ( A1; B1; C1 ) ;  (2): A2x + B2y + C2x + D2 = coù vectô phaùp tuyeán n2  ( A2 ; B2 ; C2 ) Điều kiện để hai mặt phẳng song song:    n1  kn2 ( A1; B1; C1 )  k( A2 ; B2 ; C2 ) (1 ) //( )    D1  kD2  D1  kD2    n1  kn2 ( A1 ; B1; C1 )  k ( A2 ; B2 ; C2 ) (1 )  ( )    D1  kD2  D1  kD2   (1) caét (2)  n1  kn2  (A1; B1; C1)  k(A2; B2; C2) n1 1 n2 2 Ví dụ: Xác định các giá trị A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau: (): Ax - y + 3z + = 0, (): 2x + By + 6z + = Giaûi: Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:   (1 )  ( )  n1 n2   A1A2 + B1B2 + C1C2 = Ví duï: Laäp phöông trình cuûa maët phaúng () ñi qua ñieåm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (): 3x - 2y + 2z + = và (): 5x - 4y + 3z + = α2  n2  n n n n1 α1  Giaûi: 428 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 IV- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG: Ñònh lí: Trong khoâng gian Oxyz, cho maët phaúng () coù phöông trình Ax + By + Cz + D = vaø ñieåm M0(x0; y0; z0) Khoảng cách từ điểm M0 đến mp(), kí hiệu là d(M0; ()) tính theo công thức: Ax  By0  Cz0  D d ( M ; ( ))  A2  B2  C Ví dụ1: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm M(1; -2; 13) đến mặt phẳng (): 2x - 2y - z + = Giaûi: Ví dụ 2: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song () và () cho các phương trình sau đây: (): x + 2y + 2z + 11 = 0, (): x + 2y + 2z + = Giaûi:  Ghi chuù: 429 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Vieát phöông trình cuûa maët phaúng:  a) Ñi qua M(1; -2; 4) vaø nhaän n  (2;3;5) laøm vectô phaùp tuyeán   b) Đi qua điểm A(0; -1; 2) và song song với giá hai vectơ u = (3; 2; 1), v = (-3; 0; 1) c) Ñi qua ba ñieåm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; -1) d) Ñi qua ba ñieåm M(-1; 2; 3), N(2; -4; 3), C(4; 5; 6) Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3) Bài 3: Lập phương trình các mặt phẳng qua điểm M(2; 6; -3) và song song với các mặt phẳng tọa độ Baøi 4: Laäp phöông trình cuûa maët phaúng: a) Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2); b) Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3); c) Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7); Bài 5: Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Haõy vieát phöông trình cuûa caùc maët phaúng (ACD) vaø (BCD); b) Hãy viết phương trình mặt phẳng () qua cạnh AB và song song với cạnh CD Bài 6: Lập phương trình mặt phẳng () qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (): 2x - y + z - = Bài 7: Xác định các giá trị m và n để cặp mặt phẳng sau đây là cặp mặt phẳng song song: a) 2x + my + 3z - = vaø nx - 8y - 6z + = 0; b) 3x - 5y + mz - = vaø 2x + ny - 3z + = Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) đến các mặt phẳng sau: a) 2x - y + 2z - = 0; b) 12x - 5z + = 0; c) x = Bài 9: Giải bài toán sau đây phương pháp tọa độ: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh baèng 430 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói trên Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Trong khoâng gian Oxyz, cho A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1) a) Laäp phöông trình maët phaúng (ABC) b) Chứng tỏ ABCD là tứ diện và tính độ dài đường cao hạ từ D Baøi 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho ñieåm A(2; 3; 4) Haõy vieát phöông trình cuûa maët phaúng () ñi qua caùc hình chiếu điểm A trên các trục tọa độ Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(2; -1; 2) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (): 2x - y + 3z + = Bài 4: Cho A(2; 3; 0) Viết phương trình mp(P) qua A song song với Oy và đồng thời vuông góc với mp(Q): 3x - 4y - = Baøi 5: Trong khoâng gian Oxyz, cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ O đến (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, C và vuông góc với mp (): x - 2y + 3z - = c) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mp() và (ABC) đồng thời qua điểm I(-1; 2; 3) Baøi 6: Trong khoâng gian Oxyz, cho maët phaúng (): x + y - z + = vaø ñieåm M(1; 0; 5) Laäp phöông trình mp(P) đối xứng với () qua M Bài 7: Tìm tập hợp các điểm cách hai mặt phẳng (): 3x - y + 4z + = 0, (): 3x - y + 4z + = Bài 8: Lập phương trình mặt phẳng () qua điểm M(1; 2; 3) và cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 431 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I- PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG: z Định lí: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng   ñi qua ñieåm M0 (x0;y0;z0) vaø nhaän a = (a1;a2;a3) laøm vectơ phương Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên  là có số thực t cho:  x  x0  ta1   y  y0  ta2  z  z  ta  Vectô chæ phöông cuûa   v u = (a; b; c) y M(x0; y0; z0) O x  Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ phương a =  x  x0  ta1  (a1;a2;a3) laø phöông trình coù daïng:  y  y0  ta2 (t  R)  z  z  ta  * Chú ý: Nếu a1, a2, a3 khác thì phương trình  có thể viết dạng chính tắc: x  x y  y z  z0   a1 a2 a3 Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M0(1; 0; -2) và có vectơ phương là  a  (1;3;0) Giaûi: Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm A, B với A(1; -2; 2), B(3; 4; 2) Giaûi: Ví dụ 3: Hãy tìm tọa độ vectơ phương và các điểm M, N, P nằm trên đường thẳng  có phương trình  x  1  t  tham soá :  y   3t (t  R)  z   4t  Giaûi: 432 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 II– ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU:  x  x0'  t ' a1  x  x0  ta1   Cho hai đường thẳng d:  y  y0  ta2 và d':  y  y0'  t ' a2  y  z'  t'a  y  z  ta 3   Điều kiện để hai đường thẳng song song:  Đường thẳng d qua M và có vectơ phương a , đường thẳng d'  coù vectô chæ phöông a'   M a  ka '  d song song d' vaø chæ  M  d '   a  ka ' * Ñaëc bieät: d truøng d' vaø chæ  M  d ' a d d' a' Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau:  x0  ta1  x'0  t ' a'1  Hai đường thẳng d và d' cắt và hệ phương trình ẩn t, t':  y0  ta2  y '0  t ' a'2 có đúng  z  ta  z ' t ' a ' 3  moät nghieäm Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng d và d' chéo và   a vaø a ' khoâng cuøng phöông vaø heä phöông trình  x0  ta1  x'0  t ' a'1  aån t, t' :  y0  ta2  y '0  t ' a'2 voâ nghieäm  z  ta  z ' t ' a ' 3  d a a' d' 433 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví dụ: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau đây: x   t  x   2t '  x  3t  x   3t '     a) d:  y  2t vaø d':  y   4t' ; b) d:  y   t vaø d':  y   3t ' ; z   t  z   2t ' z   t  z   t'      x 1 t  x   2t '   c) d: y   3t vaø d': y  2  t' ;  z  3t  z   3t '    x   2t  x   3t '   d) d: y  1  3t vaø d': y  2  2t '  z  5 t  z  1  2t '   Giaûi: 434 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12   * Ñaëc bieät: d  d'  a  a ' d Ví dụ: Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc:  x  5t  x   2t '   d: y  3  2t vaø d': y  13  3t '  z  4t  z   t'   a a' d' Giaûi: * Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng:  x  x0  ta  Cho đường thẳng d:  y  y0  ta và mp(): Ax + By + Cz + D =  y  z  ta  Xeùt: A(x0 + ta) + B(y0 + ta) + C(z0 + ta) + D = (1)  d caét ()  (1) coù nghieäm nhaát  d // ()  (1) voâ nghieäm  d  ()  (1) coù voâ soá nghieäm Ví dụ: Tìm số giao điểm mp(): x + y + z - = với đường thẳng d các trường hợp sau: x   t  x   2t  x   5t    a) d:  y   t ; b) d:  y   t ; c) d: y   4t  z 1  z 1 t  z   3t    Giaûi: 435 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12  * Đặc biệt: d  () và vectơ phương ud đường  thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến n( ) mp() ud n ( )  x  1 t  Ví dụ: Chứng minh đường thẳng d: y   2t vuông góc với mặt  z   3t   phaúng (): 2x + 4y + 6z + = d Giaûi: * Một số bài toán khác: ª Hình chieáu cuûa ñieåm M treân mp(): M * Bước 1: Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuoâng goùc mp() * Bước 2: Xác định giao điểm M'  với mp() M' laø hình chieáu caàn tìm M' α Ví dụ: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng () có phöông trình: 2x - y + 2z + 11 = Giaûi: ª Giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): * Bước 1: Tìm hình chiếu O trên mp(P) * Bước 2: Tính OH là khoảng cách từ O đến mp(P) * Bước 3: Giao tuyến cần tìm là đường tròn (C) tâm H vaø baùn kính r' = I r r  OH M P 436 r' H Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 Ví duï: Cho maët caàu (S) coù phöông trình: (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 100 vaø maët phaúng () coù phương trình: 2x - 2y - z + = Mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn (C) Giaûi: ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mp(): M * Bước 1: Tìm hình chiếu I điểm M trên mp() * Bước 2: Tìm điểm M' cho I là trung điểm M và M' Đó là điểm đối xứng cần tìm I α M' Ví dụ: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (): x + 3y - z - 27 = Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp() Giaûi: 437 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng : * Bước 1: Viết phương trình mp() qua M và vuông góc với đường thẳng  * Bước 2: Xác định giao điểm I () và  (I là hình chieáu cuûa M treân ) * Bước 3: Tìm điểm M' cho I là trung điểm M và M' Đó là điểm đối xứng cần tìm M u I M' α  x   2t  Ví dụ: Cho điểm A(1; -2; -5) và đường thẳng :  y  1  t  z  2t  a) Tìm hình chieáu cuûa A treân  b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua  c) Tính khoảng cách từ A đến  Giaûi: ª Khoảng cách hai đường thẳng chéo  và ': 438 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12  * Bước 1: Viết phương trình mp() chứa ' và song song đường thẳng  * Bước 2: Tìm điểm A trên  * Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến () M A H  N '  x  1 t' x 1 y  z   và ':  y   2t ' Tính khoảng cách hai đường  Ví dụ: Cho hai đường thẳng : 1  z 1  thaúng  vaø ' Giaûi: ª Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng x 3 z2  y 1  Ví dụ: Cho mp(): 3x - 2y - z + = và đường thẳng : a) Hãy chứng tỏ  song song mp() b) Tính khoảng cách  và () Giaûi: 439 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 ª Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng Ví dụ: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (): x + 2y + 2z + 11 = và () cho phöông trình: x + 2y + 2z + = Giaûi: ª Phương trình đường cao tam giác không gian: Đường cao AH ABC qua A vuông góc  với giá hai vectơ n  [ AB, AC ] và CB A C H B Ví dụ: Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC biết A(1; 0; 6), B(0; 2; -1), C(1; 4; 0) Giaûi:  Ghi chuù: 440 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 441 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau:  a) d ñi qua ñieåm M(5; 4; 1) vaø coù vectô chæ phöông a  (2;3;1) b) d qua điểm A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng () có phương trình x + y - z + =  x   2t  c) d qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng :  y  3  3t  z  4t  d) d ñi qua hai ñieåm P(1; 2; 3) vaø Q(5; 4; 4) x 1 y 1 z   e) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3; 2; -1) và song song đường thẳng 3 Bài 2: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d' cho phương trình sau:  x    2t  x   t'  x  1 t  x   2t '     a) d:  y  2  3t vaø d':  y  1  4t ' b) d:  y   t vaø d':  y  1  2t '  z   4t  z  20  t ' z  3t  z   2t '      x  1 t  x  1 t'  x  7t x  y 1 z       c) d:  y   2t vaø d':  y   2t ' d) d: vaø d':  y   4t  z  3t  z 1  z   5t    Bài 3: Tìm số giao điểm đường thẳng d với mp() các trường hợp sau:  x  12  4t  x  1 t   a) d:  y   3t vaø (): 3x + 5y - z - = 0; b) d:  y   t vaø (): x + 3y + z + = 0;  z  1 t  z   2t    x  1 t  b) d:  y   2t vaø (): x + y + z - =  z   3t   x  3  2t  Bài 4: Tính khoảng cách đường thẳng :  y  1  3t và mp(): 2x - 2y + z + =  z  1  2t   x   at  x  1 t'   Bài 5: Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt d:  y  t vaø d':  y   2t '  z  1  2t  z   t'    x  2t  Bài 6: Cho đường thẳng d:  y  3  2t Viết phương trình tham số các đường thẳng là hình  z   3t  chiếu vuông góc d trên các mặt phẳng tọa độ  x  2t  Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng :  y   2t  z t  a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng  b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng  Baøi 8: Cho ñieåm M(1; 4; 2) vaø maët phaúng (): x + y + z - = 442 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm M trên mp() b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp() c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp() Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Giải bài toán sau đây phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mp(A'BD) vaø mp(B'D'C) Baøi 2: Cho hai mp(P): 2x - y - 11 = vaø mp(Q): x - y - z + = a) Chứng minh mp(P) cắt mp(Q); b) Tìm phương trình đường thẳng giao tuyến hai mp(P) và mp(Q) x2 y3 z 4 x 1 y  z    , d2 :   Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 : 5 1 2 a) Chứng tỏ hai đường thẳng trên chéo b) Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng trên c) Tính khoảng cách hai đường thẳng đó CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI 443 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG III * 444 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 445 Hồ Xuân Trọng Hình hoïc 12 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Cho boán ñieåm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện b) Tìm góc hai đường thẳng AB và CD c) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD Bài 2: Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính r mặt cầu (S) b) Laäp phöông trình cuûa maët caàu (S) c) Lập phương trình mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Baøi 3: Cho boán ñieåm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD c) Viết phương trình mp() chứa AB và song song với CD Bài 4: Lập phương trình tham số đường thẳng: a) Ñi qua hai ñieåm A(1; 0; -3), B(3; -1; 0)  x  2  2t  b) Đi qua điểm M(2; 3; -5) và song song với đường thẳng :  y   4t  z  5t   x  12  4t  Bài 5: Cho mặt phẳng () có phương trình 3x + 5y - z - = và đường thẳng d:  y   3t  z  1 t  a) Tìm giao điểm M đường thẳng d và mp() b) Viết phương trình mp() chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d  x   3t   Bài 6: Cho điểm A(-1; 2; -3), vectơ a  (6;2;3) và đường thẳng d có phương trình  y  1  2t  z   5t   a) Viết phương trình mặt phẳng () chứa điểm A và vuông góc với giá a b) Tìm giao ñieåm cuûa d vaø ()  c) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A, vuông góc với giá a và cắt đường thẳng d Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 10x + 2y + 26z + 170 = và  x  5  2t  x  7  3t '   song song với hai đường thẳng d:  y   3t ; d':  y  1  2t '  z  13  2t  z 8    x t  x   2t '   Bài 2: Cho hai đường thẳng d:  y  4  t và d':  y  3  t ' Viết phương trình đường thẳng  vuông góc  z  3t  z   5t '   với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng d, d' 446