Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính của đường tròn C1; biết đường tròn C1 tiếp xúc với các đường thẳng 1 , 2 và tâm K thuộc đường tròn C.. viết phương trình đường thẳng AC.[r]
(1)Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** PHẦN 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy Bài 1: Tọa độ điểm và véctơ mặt phẳng Oxy A Lí thuyết: Cho ba điểm: A x A ; y A ; B xB ; yB ; C xC ; yC Ta có: Tọa độ véctơ AB xB x A ; y B y A x xB y A y B Tọa độ trung điểm I AB là: I A ; x xB xC y A y B yC Tọa độ trọng tâm G ABC là: G A ; 3 Cho hai véctơ: a a1; a2 ; b b1; b2 Ta có: a b a1 b1; a2 b2 a b a1 b1; a2 b2 a.b a1.b1 a2 b2 k a k a1; k a2 a a12 a22 cos a; b a.b a b a.b a; b 90 a.b a; b 90 a.b a; b 900 0 a b a.b a a a // b b1 b2 B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1) a) Chứng minh ABC cân A b) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh BC MA c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành d) Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh MG GA e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông A C Bài tập vận dụng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có A(1;5); B(-3;2); C(4;1) a) Chứng minh ABC cân A b) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh BC MA c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành d) Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh MG GA e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông B ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (2) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** - Bài 2: Phương trình đường thẳng mặt phẳng Oxy A Lí thuyết: Nhắc lại kiến thức đường thẳng lớp 10: Đường thẳng d có dạng: y = k.x + b, đó k gọi là hệ số góc đường thẳng a Hệ số góc k = tan = ( là góc hợp d với trục Ox, a (a1; a2 ) là VTCP d) a1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 có hsg k1 và k2 Ta có: Nếu d1 d thì : k1.k2 = -1 Nếu d1 // d2 thì : k1 = k2 Véctơ phương và véctơ pháp tuyến đường thẳng: Véctơ phương đường thẳng là véctơ có phương trùng song song với đường thẳng Thường kí hiệu : a Véctơ pháp tuyến đường thẳng là véctơ có phương vuông góc với đường thẳng Thường kí hiệu là : n Cách suy từ a sang n n sang a : Giả sử : a =( a1;a2 )là VTCP d n ( a2 ; a1 ) n (a2 ;a1 ) là véctơ pháp tuyến d Giả sử : n ( A; B ) là VTPT d a ( B; A) a ( B; A) là véctơ phương d (Đảo vị trí và đổi dấu hai tọa độ) Phương trình đường thẳng : Cho a (a1; a2 ) là VTCP d n ( A; B ) là VTPT d Điểm M( x0 ; y0 ) thuộc d Ta có : PT tham số d: x = x0 a1t y y a2 t x x0 y y0 PT chính tắc d: a1 a2 PT tổng quát d: A( x x0 ) B ( y y0 ) hoặc: Ax By C Đặc biệt: Đường thẳng d cắt Ox A(a;0) và cắt Oy B(o;b) thì ptđt d viết theo đoạn chắn là: x y 1 a b Góc và khoảng cách: Góc hai đường thẳng: a1.a2 n1 n2 Cos (d1 ; d ) cos(n1 ; n2 ) cos(a1 ; a2 ) n1 n2 a1 a2 Khoảng cách từ M( x0 ; y0 ) đến d: Ax By C ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (3) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Ax0 By0 C d(M;d) = A2 B PT hai đường phân giác các góc tạo : d1 A1 x B1 y C1 ; d A2 x B2 y C2 là: A x B1 y C1 A x B2 y C2 2 A1 B1 A22 B22 Lưu ý: Dấu tương ứng với đường phân giác góc nhọn và đường phân giác góc tù Để phân biệt dấu nào là đường phân giác góc nhọn và dấu nào là đường phân giác góc tù thì cần nhớ quy tắc sau: Đường phân giác góc nhọn luôn nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc tù mang dấu còn lại B:Bài tập điển hình: (GV trực tiếp giải) Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2) a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân B Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số đt AB; chính tắc đt AC; tổng quát BC c) Viết phương trình đường cao BH tam giác ABC d) Viết phương trình đường trung tuyến CM tam giác ABC e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC tam giác ABC g) Viết phương trình đường thẳng qua C và song song với AB h) Viết phương trình đường thẳng (h) qua A và vuông góc AC k) Gọi K là giao điểm (h) và trung trực cạnh BC Tìm tọa độ điểm K Chứng minh ABHK là hbh l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy cho tam giác ACD vuông C m) Viết phương trình đường thẳng DC Tìm tọa độ giao điểm DC và trục hoành 2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) và hai đường thẳng: d1: x – 2y + = x 1 y d 2: 3 a) Viết phương trình đường thẳng 1 qua M và song song d1 b) Viết phương trình đường thẳng qua M và song song d2 c) Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc d1 d) Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc d2 Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết trung điểm các cạnh là: M(2;1); N(5;3); P(3;4) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + = qua điểm A(4;1) a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc d b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A xuống d c) Tìm điểm đối xứng với A qua d Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 : x + 2y – = và : x – 3y + = a) Tính góc tạo 1 và b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến 1 và c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 và ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (4) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có cạnh AB: 5x – 3y + = và hai đường cao có phương trình: AH: 4x – 3y + = 0; BI: 7x + 2y – 22 = Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba ABC Lập ptđt d qua M(2;5) đồng thời cách hai điểm P(6;2) và Q(5;4) Lập ptđt qua A(2;1) và tạo với đt d: 2x + 3y + = góc 450 Lập pt đường thẳng d qua A(3 ;1) và cách điểm B(1 ;3) khoảng 2 10 Lập pt các cạnh ABC biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có pt : 5x + 3y – = 3x + 8y + 13 = 11 Hai cạnh hbh có pt : x - 3y = và 2x+5y+6=0 Một đỉnh hbh là C(4 ;-1)Viết pt hai cạnh còn lại và đường chéo AC 12 Lập pt các cạnh ABC ,biết A(1 ;3) và hai đường trung tuyến có pt : x - 2y + = ;y – = 13 Cho đt : x = + 2t y=3+t Tìm M nằm trên và cách điểm A(0 ;1) khỏang C:Bài tập vận dụng : Cho ABC, M(-1 ;1) là trung điểm cạnh còn hai cạnh có pt: x+2y-2=0 và 2x+6y+3=0 Xác định tọa độ các đỉnh tam giác Cho hình vuông đỉnh A(-4 ;5)và đường chéo đặt trên đt :7x-y+8=0 Lập pt các cạnh và đường chéo thứ hình vuông Một hình bình hành có cạnh nằm trên đt : x + 3y – = ; 2x - 5y – = Tâm I(3 ;5) Viết pt hai cạnh còn lại hình bình hành Trong mp 0xy cho đt: d1: 3x + 4y – = ; d2: 4x + 3y – = ; d3: y = a Xác định tọa độ đỉnh A,B,C biết: A= d1 d2 ; B= d2 d3 ;C= d1 d3 b Viết pt đường phân giác các góc A,B c Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp ABC Tìm quỹ tích các điểm cách đt : 2x - 5y + = troảng Tìm quỹ tích các điểm cách hai đt d1: 4x - 3y + = d2: y – = Lập ptđt qua P(2 ;-1) cho đt đó cùng với đt d1: 2x - 4y + = ; d2: 3x + 6y – = tạo cân có đỉnh là giao điểm d1 và d2 Cho ABC cân A biết AB : x + y + = và BC : 2x - 3y – = Lập pt cạnh AC biết nó qua M(1 ;1) Cho ABC cân A(3 ;0) tìm tọa độ B và C biết B,C nằm trên đt d :3x + 4y + = và SABC = 18 ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (5) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** 10 Cho ABC có B(2 ;-1) Đường cao qua A có pt : 3x - 4y + 27 = 0, đường phân giác gód C là : x + 2y – = Hãy tìm tọa độ các đỉnh ABC 11 Viết pt các cạnh ABC biết tọa độ chân ba đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C là M(-1 ;-2), N(2 ;2), K(-1 ;2) - Bài 3: Phương trình đường tròn mặt phẳng Oxy A Lí thuyết : Phương trình đường tròn : Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R có phương trình : Dạng : x a 2 y b 2 R Dạng : x y 2ax 2by c Trong đó : R a b c , điều kiện : a b c Vị trí tương đối đường thẳng d và đường tròn (C): d ( I ; d ) R d (C ) d không có điểm chung với (C) d ( I ; d ) R d (C ) A d tiếp xúc với (C) d ( I ; d ) R d (C ) A; B d cắt (C) hai điểm phân biệt Phương trình trục đẳng phương hai đường tròn không đồng tâm có dạng : x y 2a1 x 2b1 y c1 x y 2a2 x 2b2 y c2 Phương trình tiếp tuyến đường tròn M(x0 ;y0) có dạng : x0 x y0 y a ( x0 x) b( y0 y ) B Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải) 1.Tìm tâm và bán kính đường tròn có phương trình sau : 2 a) x y 1 b) x 3 y 1 c) x y x y d) x y x y 2 e) x y x y f) x y x y g) x y x h) x y Viết phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau : a) (C) có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7 b) (C) có tâm I(1;3) qua điểm A(3;1) c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5) d) (C) có tâm I(-2;0) và tiếp xúc với d: 2x + y – = e) (C) qua điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2) f) (C) có tâm là giao điểm đường thẳng d1 : x – 3y +1 = với đường thẳng d2 : x = -4 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d3 : x + y -1 = Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – = a) Viết phương trình tiếp tuyến (T) A(-1 ;0) ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (6) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** b) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến đó // d : 2x – y = c) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến đó vuông góc với d’ : 4x – 3y + = d) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến qua B(3 ;-11) e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = tiếp xúc với đường tròn (T) Xét vị trí tương đối các đường thẳng sau với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 2y - = a) d1 : x + y = b) d2 : y + = c) d3 : 3x + 4y +5 = Tìm trục đẳng phương hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 2x + y – = (C2) : x2 + y2 + 3x - 4y – = Cho hai đường tròn có phương trình : (Tm) : x2 + y2 – 2mx +2(m+1)y – = (Cm) : x2 + y2 – x + (m – 1)y + = a) Tìm trục đẳng phương hai đường tròn theo tham số m b) Chứng tỏ m thay đổi, trục đẳng phương luôn qua điểm cố định Lập phương trình đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm đường thẳng d: x – 7y + 10 = với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = Viết phương trình đường tròn có tâm là giao điểm hai đường thẳng d1 : x – 3y + = và d2 : x + = đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – = Viết phương trình đường tròn qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ 10 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – = và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : 7x – y + = 11 Cho (Cm) : x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y – m + = a) Tìm m để (Cm) là đường tròn b) Tìm quỹ tích tâm I đường tròn 12 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: (T1) : x2 + y2 – = 2 (T2) : x y 3 16 13 Viết phương trình đường tròn (T), biết (T) qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm trên đường thẳng d : 3x – y + 10 = 14 Cho điểm M(2 ;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 6y + = a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) b) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường tròn hai điểm A, B cho M là trung điểm AB c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d 15 Cho đường tròn (C) : x 1 y 3 25 a) Tìm giao điểm A, B đường tròn với trục ox b) Gọi B là điểm có hoành độ dương, viết phương trình tiếp tuyến (C) B ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (7) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành dây cung có độ dài AB 16 Cho điểm A(8 ;-1) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x - 4y + = a) Tìm tâm và bán kính (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A c) Gọi M, N là các tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN 17 Cho hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 2x + 4y - = (C2) : x2 + y2 + 4x - 4y - 56 = a) Tìm tâm và bán kính (C1) và (C2) b) Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc c) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) và (C2) 18 Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) và đường thẳng d : x – y + tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d = Viết phương trình đường C:Bài tập vận dụng : Viết phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = b) (C) có tâm I(0;2) và qua điểm A(3; 1) c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) và B(5; 1) d) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng : x y e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) f) (C) có tâm là giao điểm đường thẳng d: x – 2y – = với trục Ox đồng thời tiếp xúc với đường thẳngd/: 2x + 3y + = Xét vị trí tương đối các đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 2)2 = a) 1 : x b) : x c) : x y Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (T): x2 +y2 = trường hợp sau: a) Biết tiếp điểm A(0; 2) b) Biết tt song song : x y 17 c) Biết tt vuông góc / : x y d) Biết tt qua M(2; 2) e) Biết tt tạo với trục Ox góc 450 f) Tìm m để đường thẳng d : x +my – = Tiếp xúc đường tròn (T) Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – = Viết pttt (T) biết tiếp tuyến đó : a) Tiếp xúc với đương tròn A(-1 ; 0) b) Vuông góc với đường thẳng d: x + 2y = c) Song song với đường thẳng d/: 3x - 4y – = d) Đi qua B(3; -11) e) Tìm m để đường thẳng : x (m 1) y m có điểm chung với (T) - - ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (8) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy ĐH KA 2004 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B( 3;1) Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến AB ĐH KD 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m Tìm tọa độ trọng tâm G ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = , d2: 2x + y – = Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết A d1; C d và B, D thuộc trục hoành ĐH KB 2005: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường tròm (C) tiếp xúc với trục hoành A và khoảng cách từ tâm I (C) đến điểm B ĐH KD 2005: x2 y2 Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): và điểm C(2; 0) Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác ĐH KA 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho các đường thẳng: d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x – 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐH KB 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + = và điểm M(-3; 1) Gọi T1, T2 là các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình T1T2 ĐH KD 2006 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + = và đường thẳng d : x – y + 3=0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên d cho đường tròn tâm M ó bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngời với (C) 10 ĐH KA 2007 : Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A(0; 2), B(-2;-2), C(4;-2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lâng lượt là trung điểm AB và BC Viết phương trình đường tròn qua ba điểm H, M, N 11 ĐH KB 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng: d1: x + y – = ; d2: x + y – = Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1, C thuộc d2 cho tam giác ABC vuông cân A 12 ĐH KD 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = và đường thẳng d: 3x – 4y + m = Tìm m để trên d có điểm P mà từ đó có thể kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới C (A, B là các tiếp điểm) cho tam giác PAB 13 ĐH KA 2008: Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc elip (E) biết (E) có tâm sai và hình chữ nhật sở (E) có chu vi 120 14 ĐH KB 2008: ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (9) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình: x – y + = và đường cao kẻ tưg B có phương trình: 4x + 3y – = 15 ĐH KD 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A(1;4) Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) cho góc BAC 900 Chứng minh đường thẳng BC luôn qua điểm có định 16 ĐH KA 2009: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x y Viết phương trình đường thẳng AB 17 ĐH KB 2009:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = và hai đường thẳng 1 : x y , : x y Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1 , và tâm K thuộc đường tròn (C) 18 ĐH KD 2009: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A có phương trình là 7x – 2y – = và 6x – y – = viết phương trình đường thẳng AC 19 ĐH KA 2010: (chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x y và d2: x y Gọi (T) là đường tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B và C cho tam giác ABC vuuon A viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương 20 ĐH KA 2010: (nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6), đường thẳng qua trung điểm I, J các cạnh AB và AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao qua đỉnh C tam giác đã cho 21 ĐH KB 2010: (chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(-4;1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương 22 ĐH KB 2010: (nâng cao) x2 y2 Gọi F1 và F2 là các Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; ) và elip (E): tiêu điểm (E) (F1 có hoành độ âm) M là giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 23 ĐH KD 2010: (chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương 24 ĐH KD 2010: (nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) và là đường thẳng qua O gọi H là hình chiếu vuông góc A trên Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH 25 ĐH KA 2011: (chuẩn) ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (10) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + = và đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = Gọi I là tâm (C), M là điểm thuộc Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 26 ĐH KA 2011: (nâng cao) x2 y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O và có diện tích lớn 27 ĐH KB 2011: (chuẩn) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – = và d : 2x – y – = Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng điểm M thỏa mãn OM.ON = 28 ĐH KB 2011: (nâng cao) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ;1 Đường tròn nội tiếp tam giác 2 ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng các điểm D, E, F Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương 29 ĐH KD 2011: (chuẩn) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x y = Tìm tọa độ các đỉnh A và C 30 ĐH KD 2011: (nâng cao) Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C) : x2 + y2 2x + 4y = Viết phương trình đường thẳng cắt (C) điểm M và N cho tam giác AMN vuông cân A - - ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (11) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** PHẦN 2: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz Bài 1: Tọa độ điểm và véctơ không gian Oxyz A Lí thuyết: Các công thức bản: Cho ba điểm: A x A ; y A ; z A ; B xB ; y B ; z B ; C xC ; yC ; zC Ta có: Tọa độ véctơ AB xB x A ; y B y A ; z B z A x xB y A y B z A z B Tọa độ trung điểm I AB là: I A ; ; 2 x xB xC y A y B yC z A z B zC Tọa độ trọng tâm G ABC là: G A ; ; 3 Cho hai véctơ: a a1 ; a2 ; a3 ; b b1 ; b2 ; b3 Ta có: a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 k a k a1; k a2 ; k a3 a a12 a22 a32 cos a; b a.b a b a.b a; b 90 a.b a; b 90 a.b a; b 900 0 a b a.b a a a a // b b1 b2 b3 Tích có hướng hai véc tơ không gian và ứng dụng: Khái niệm: Trong không gian Oxyz, tích có hướng hai véctơ a và b là véctơ vuông góc với a và b Kí hiệu : [ a; b ] Cho : a a1; a2 ; a3 b b1; b2 ; b3 [ a; b ] a a3 b2 b3 ; ba33 ab11 ; ba11 ab22 Ứng dụng: S ABC [ AB; AC ] A Nhớ : bỏ cột ; bỏ cột đổi chiều ; bỏ cột VABCD A / B / C / D / [ AB; AD ] AA/ VABCD [ AB; AC ] AD A A ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (12) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** C B [a; b].c a, b, c đồng phẳng [a; b] a, b cùng phương B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm: A(1;-2;4); B(-3;2;0); C(3;-1;0) a) Tìm tọa độ các véc tơ: AB; BA; AC ; CA; BC ; CB b) Tìm tọa độ m AB ; n AB AC ; e AC 3.BC AB c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác ABC d) Tính các góc tam giác ABC e) Tìm tọa độ trung điểm I AB Tính độ dài đường trung tuyến CI tam giác ABC f) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GI CI g) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành h) Tìm điểm E thuộc 0x để tam giác ACE vuông C Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm: A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A tam giác ABC c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A tứ diện ABCD d) Tìm các góc tạo các cạnh đối diện tứ diện ABCD C:Bài tập vận dụng : Cũng với yêu cầu bài 1, phần bài tập điển hình thay đổi tọa độ các điểm sau: A(3;-4;2); B(-1;0;6); C(5;-3;2) Cũng với yêu cầu bài 2, phần bài tập điển hình thay đổi tọa độ các điểm sau: A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2), D(6;2;0) - Bài 2: Phương trình mặt phẳng không gian Oxyz A Lí thuyết: Cho n ( A; B; C ) là véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) Điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc mặt phẳng ( ) phương trình mặt phẳng ( ) : A.( x x0 ) B.( y y0 ) C.( z z0 ) n Nếu mp ( ) có cặp VTCP là a1 và a2 thì VTPT ( ) là n [a1; a2 ] B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với BC b) Viết phương trình mp (ABC) c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực AC Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M(5 ;1 ;2) và song song với mp ( ) : x + 2y +3z - = Viết phương trình mp ( ) chứa MN với M(1 ;0 ;1) ; N(-1 ;3 ;2) và vuông góc với mp ( ) : x – 2y + z +5 =0 ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (13) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Viết phương trình mp ( ) qua gốc tọa độ O, song song với PQ với P(1 ;0 ;1) ; Q(0 ;2 ;0) và vuông góc với ( ) : y – 2z +1 = Viết phương trình mp ( ) qua M(5 ;2 ;-3) và vuông góc với hai mặt phẳng (1 ) : x – z + = và ( ) : 2x + 3y + z = C:Bài tập vận dụng : Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) ; B(0;1;0); C(-2;1;-1) a)Viết phương trình mp ( ) qua C và vuông góc với AB b)Viết phương trình mp(ABC) c)Viết phương trình mặt phẳng trung trực BC Viết phương trình mp ( ) qua M(2 ;-1 ;0) và song song với mp ( ) : x + y + 3z – = Viết phương trình mp ( ) qua MN với M(1 ;1 ;-2) , N(3 ;1 ;0) và vuông góc với mp ( ) : 5x + 3y - z + = Viết phương trình mp ( ) qua A(1 ;0 ;1) và vuuong góc với hai mp (1 ) : x – y + = ( ) : 2x – y + z = o - Bài 3: Phương trình đường thẳng không gian Oxyz A Lí thuyết: Cho a (a1; a2 ) là véctơ phương đường thẳng d Điểm M ( x0 ; y0 ) d Phương trình tham số d là: x = x0 + a1.t y = y0 + a2.t z = z0 + a3.t x x0 y y0 z z0 Phương trình chính tắc d là : a1 a2 a3 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d xem là giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) Nếu mp(P) : A1.x + B1.y + C1.z + D1 = và mp(Q) : A2.x + B2.y + C2.z + D2 = Thì phương trình tổng quát đường thẳng d là : A1.x + B1.y + C1.z + D1 = A 2.x + B2.y + C2.z + D2 = Nếu xem mp(P) và mp(Q) có véctơ pháp tuyến là n1 và n2 thì VTCP d là : a [n1; n2 ] B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; -2); B(3; -1; -1); C(2; 0; 3) a) Viết phương trình tham số AC b) Viết phương trình chính tắc AB c) Viết phương trình tổng quát BC d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC Viết phương trình đường thẳng các trường hợp sau : a) qua M(2 ;1 ;0) và song song với đường thẳng d : x = 3t y=2 –t z = 1+ 5t x2 y3 z4 b) qua N(1 ;0 ;-3) và song song với đường thẳng d : 1 ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (14) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Viết phương trình đường thẳng qua A(1 ;0 ;-2) và vuông góc với mp : 2x + y – z +1 = x y 1 z Viết phương trình mp qua M (2 ;-3 ;1) và vuông góc với đường thẳng d : 5 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x = + 2t và mp ( ) : x – 3y + 2z + = y = -2 – t z = 4t a) Tìm giao điểm d và ( ) b) Viết phương trình mp chứa đường thẳng d và vuông góc với mp ( ) Viết phương trình mp chứa m(2;1;0), N(3;-1;2) đồng thời vuông góc với mp( ): 2x + y + z -3 = x 1 y z Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng d: trên mp(Oxz) C:Bài tập vận dụng : x y 1 z Trong không gian Oxyz cho mp : 2x – 3y + z – = và đường thẳng d: 3 2 a) Viết pt mp 1 qua A(1;1;0) và // b) Viết pt mp qua B(0;1;0) và vuông góc với d c) Viết pt đường thẳng d1 qua C(0;2;0) và // d d) Viết pt đường thẳng d2 qua D(2;-1;0) và vuông góc e) Viết pt mp chứa d và vuông góc f) Viết pt đường thẳng d3 nằm trên vuông góc d đồng thời qua E(0;1;2) g) Viết pt hình chiếu vuông góc d xuống mp ( ) - Bài 4: Góc và khoảng cách không gian Oxyz A Lí thuyết: Góc: Góc hai đường thẳng : Cho a1 là VTCP đường thẳng 1 a2 là VTCPcủa đường thẳng Cos( 1 : ) = /Cos( a1 ; a2 )/ = a1.a2 a1 a2 Góc hai mặt phẳng : Cho n1 là VTPT mp n2 là VTPT mp Cos ; = /Cos( n1 ; n2 )/ = n1; n2 n1 n2 Góc đường thẳng và mặt phẳng : ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (15) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Cho a làVTCP đường thẳng n là VTPT mp Sin ; = /Cos( a ; n )/ = a.n a.n Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng ( ): A.x + B.y + Cz + D = Ax0 By0 Cz0 D d(M; ( )) = A2 B C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng qua điểm M0 và có VTCP a d(M; ) = [ MM ; a ] a Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Cho đường thẳng 1 qua M1 và có VTCP a1 đường thẳng qua M2 và có VTCP a2 d 1; = [a1 ; a2 ].M 1M [a1 ; a2 ] 1 chéo [a1 ; a2 ].M 1M Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Tìm góc tạo cặp đường thẳng 1 x = + 2t x = – 5t’ y = 3t y= 1+ t’ z = -2 + t z=5 Tìm góc tạo mp sau: ( ) x – y + z + =0 và ( ) : 4x – 3y + 5z + = Tìm góc tạo đường thẳng : x = 3t và mp ( ) : 2x +5y + = y = - 2t z = + 5t Tính khoảng cách từ M( 0;1;-2) đến mp ( ) : 2x + 3y – z – = Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng : x = + t y = -1 + 3t z = – 2t Tính khoảng cách hai đường thẳng x y 1 z x y2 z 1 : 2 : 2 6 Trên trục Oy, tìm điểm cách hai mp : ( ) : x + y – z + = và ( ) : x – y + z – = C:Bài tập vận dụng : Tìm góc tạo đường thẳng 1 : x = + 2t : x = – t’ y = -1+ t y = -1+3 t’ ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (16) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** z = + 4t z = + 2t Tìm góc tạo các cặp mp sau: a) ( ) : x + y – 5z + = và ( ) : 5x + y – 3z = b) ( ) : 2x – 2y + z + = và ( ) : z + = c) ( ) : x – 2z + = và ( ) : y = Tìm góc tạo đường thẳng và mp ( ) các trường hợp sau đây : x = + 2t và ( ) : 2x – y + 2z – = : y = -1 + 3t z=2-t x y 1 z b) : và ( ) : x + y – z + = 2 Tìm khoảng cách từ các điểm M(1 ;-1 ;2) ; N(3 ;4 ;1) ; P(-1 ;4 ;3) đến mp ( ) : x + 2y + 2z – 10 = x y 1 z 1 Tính khoảng cách từ các điểm M(2 ;3 ;1) và N(1 ;-1 ;1) đến đường thẳng : 2 Tìm khoảng cách các cặp đường thẳng sau đây : x 1 y z x y 1 z 1 a) 1 : x = + t b) 1 : và : : x = – 3t’ 4 2 y = -1 - t y = -2+3 t’ z=1 z = 3t’ a) - Bài 5: Phương trình mặt cầu không gian Oxyz A Lí thuyết: Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng: Dạng 1: (x – a )2 + (y – b )2 + (z – c )2 = R2 Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2a.x – 2b.y – 2c.z + d = Trong đó : R = a b c d , điều kiện : a b c d Vị trí tương đối mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) : d I ; ( ) R ( ) không cắt mặt cầu (S) d I ; ( ) R ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d I ; ( ) R ( ) cắt mặt cầu (S) tạo giao tuyến là đường tròn Đường tròn không gian: Gọi K là tâm đường tròn không gian R là bán kính đường tròn Tâm K là hình chiếu I xuống mp( ) (viết pt đt d qua I và ( ) ; tìm giao điểm K d và ( ) ) Bán kính r R IK , đó: IK d I ; ( ) B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Tìm tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau: a) ( x 1) ( y 2) ( z 3) b) ( x 2) ( y 1) z c) x y z x y z 20 ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (17) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** d) x y z x y 2 e) x y z x y z f) x y z y g) x y z Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) và mặt phẳng ( ): a) (S) : x y z x y z ( ): x + 2y + z - = b) (S) : x y z x y z ( ): x + y – z – 10 = c) (S): x y z x y z ( ): x + 2y – 2z + = d) (S) x y z x y z ( ) : 3x – 4y = Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-3;1) và qua B(5;-2;1) Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-2;1) và tiếp xúc với mp ( ) : 4x – 3y – = Lập phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4) Lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2), C(1 ;-1 ;2) ; D(-2 ;3 ;1) 8.Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) M(4 ;3 ;0), biết (S) : x y z x y z 9.Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) biết tiếp diện đó song song với mp ( ) : x - 2y + z +3=0 và mặt cầu (S) có phương trình : x y z x y z 10 tìm tâm và bán kính các đường tròn là giao tuyến mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) các trường hợp sau đây: a) mp ( ) : x + 2y - 2z + = và (S) : x y z x y z b) mp ( ) : 2x + 2y + z – = và (S) : x y z 12 x y z 24 C:Bài tập vận dụng : Tìm tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau: a) ( x 2) ( y 1) ( z 3) b) x y z x y z c) x y z x y z d) x y z x y z Xét vị trí tương đối mp( ) và mặt cầu (S) các trường hợp sau : 69 a) ( ) : 3x + 4y – =0 và (S) : x y z x y z 0 b) ( ) : x – y + 2z + = và (S) : x y z z Lập phương trình mặt cầu tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mp( ) : x + 2y – 2z + = Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1 ;3 ;5) và B(7 ;9 ;11) 5.Lập phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C với A(1 ;0 ;-1), B(1 ;2 ;1), C(0 ;2 ;0) 6.Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1 ;1 ;1), B( ;2 ;1), C(1 ;1 ;2), D(2 ;2 ;1) 7.Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau : a) x – y + z - = ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (18) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** x2 y z x y 8z b) 2x + 3y – z + = x2 y z y - - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP – NÂNG CAO Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) và đường thẳng d có phương trình: x y 1 z ( ): 2x – 3y + z – = ; d: 3 2 a) Viết phương trình mặt phẳng (P1) qua A(1;1;0) và // ( ) b) Viết phương trình mặt phẳng (P2) qua B(0;1;0) và d c) Viết phương trình đường thẳng (d1) qua C(0;2;0) và // d d) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua D(2;-1;0) và ( ) e) Viết phương trình mặt phẳng (P3) chứa d và ( ) f) Viết phương trình đường thẳng (d3) nằm trên ( ) và vuông góc với d đồng thời qua E(0;1;2) g) Tính khoảng cách từ O đến ( ) và d h) Tính góc d và ( ) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : x 2t y 1 t z 3t và mp( ): x y z 10 a) Tìm giao điểm M và mp( ) b) Viết phương trình đường thẳng d qua M và ( ) c) Viết phương trình mp( ) chứa và ( ) Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-1;2) và mp( ): 2x – y +2z + 11 = a) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M và ( ) b) Tìm hình chiếu H M xuống ( ) c) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ( ) x 2t y 1 t Trong không gian Oxyz cho điểm m(2;-1;1) và đường thẳng d: z 2t ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (19) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** a) Viết phương trình mp( ) qua M và d b) Tìm hình chiếu M’ M xuống d c) Tìm điểm đối xứng M qua d x y z 1 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: : và d : 1 1 a) Viết phương trình mp( )chứa d và // b) Chứng minh và d chéo Tính khoảng cách và d c) Viết phương trình ’ qua A(1;-2;1) dồng thời vuông góc và d x 2t y 2t z 2t Trong không gian Oxyz cho mp( ): y + 2z = và hai đường thẳng: x 1 t x 2t ; 2 : 1 : y t y 2t z 4t z 1 a) Tìm giao điểm hai đường thẳng với ( ) b) Viết phương trình đường thẳng d nằm ( ) và cắt hai đường thẳng 1 và c) Tính khoảng cách 1 và Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: x 1 y 1 z x2 y2 z và : 1 : 1 2 a) Chứng minh 1 và chéo b) Viết phương trình đường thẳng qua M(1;0;-2) và vuông góc với 1 và c) Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng 1 và Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng: 1 : x = 3t ; y = –t ; z = + t : x = + t’ ; y = -2 + 4t’ ; z = + 3t’ x4 y7 z 3 : a) Chứng minh 1 chéo ; chéo b) Tính khoảng cách 1 và c) Viết phương trình đường thẳng // 1 và cắt hai đường thẳng và Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : x 1 t 1 : y t z 4t x 2t 2 : y 3 t z 5t a) Tính góc hợp 1 và b) Tính khoảng cách từ O đến 1 và c) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp tọa độ Oxz và cắt 1 và ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (20) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: x 1 2t 1 : y t và : z 3t x2 y 3 z 2 a) Viết phương trình mp qua A(1;-1;1) và song song với 1 và b) Viết phương trình mp chứa 1 và // c) Viết phương trình đường thẳng qua A(1;-1;1) đồng thời cắt 1 và 11 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng: 1 : x 1 y 1 z và : 1 x 1 y 1 t z 2t a) Tìm hình chiếu A’ A xuống 1 b) Viết phương trình mp( ) chứa và qua A c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc 1 và cắt đồng thời qua A 12 Trong không gian Oxyz cho A(0;1;-1) và mp( ): x – 2y + z = và đường thẳng có phương x 4t trình : y 1 t z 5 4t a) Viết phương trình mp ( ) qua A, vuông góc với ( ) và // với b) Chứng minh cắt ( ), tìm giao điểm c) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc và cắt x 1 t 13 Trong không gian Oxyz cho mp ( ): x + y + z – = và : y z 1 a) Viết phương trình mp( ) chứa và vuông góc với ( ) b) Tìm giao điểm A và ( ) c) Viết phương trình đường thẳng qua A, nằm mp( ) và vuông góc với 14 Cho mp( ) và đường thẳng có phương trình: x 12 y z ( ): 3x + 5y – z – = và : a) Chứng minh cắt ( ), tìm giao điểm b) Viết phương trình mp( ’) qua M(1;2;-1) và 15 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) b) Tìm tọa độ giao điểm (S) với đường thẳng qua hai điểm M(1;1;1) và N(2;-1;5) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) các giao điểm đó 16 Cho mp ( ): y + z – = và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2z = a) Chứng tỏ ( ) cắt (S) b) Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến mp( ) và mặt cầu (S) ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (21) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** c) Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) biết tiếp diện này //mp( ) 17 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm: A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0) a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và bán kính b) Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C Tìm tâm và bán kính đường tròn vừa viết phương trình x 2t 18 Trong không gian Oxyz cho mp( ): x + y – 3z +1 =0, M(1;-5;0) và đường thẳng : a) Viết phương trình mp( ) chứa và qua Q(1;1;1) b) Tìm N thuộc cho khoảng cách từ N đến mp( ) 11 c) Tìm R thuộc Ox cho d(R; ( ) = 44 d) Tìm P thuộc mp ( ): x – 2y – = cho P cách mp ( ) khoảng 11 d) Tìm E thuộc mp Oxy cho cho E,O,A thẳng hàng, với A(1; 2; 1) y 1 3t z 2t f) Tìm K thuộc d cho tam giác OAK cân O biết d1 qua giao điểm và ( ) đồng x 1 y z thời //d’: 2 1 - ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz ĐH KA 2004 : Trong không gian Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 ) Goi M là trung điểm cạnh SC a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SC và BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ĐH KB 2004: Trong không gian Oxyz cho A(-4;-2;4) và đường thẳng d : x = -3 + 2t y=1-t z = -1 + 4t Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d ĐH KD 2004: 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a > 0, b > a)Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng B1C và AC1 theo A,B b)Cho a,b thay đổi luông thỏa mãn a + b = Tính a,b để khoảng cách giửa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn 2) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1;) và mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc mp(P) ĐH KA 2005: x 1 y z Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng 1 (P): 2x + y – 2z + = a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mp (P) b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d và mp (P) Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mp (P), biết qua A và vuông góc vơí d ĐH KB 2005: ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (22) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1(4;0;4) a) Tìm tọa độ đỉnh A1;C1 Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mp(ACC1A1) b) Gọi M là trung điểm cuả A1B1 Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A,M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1 C1 điểm N, tính độ dài đoạn MN ĐH KD 2005: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : x 1 y z 1 d1 : d2 : x = 3t 1 y=4–t z = + 2t a)Chứng minh d1//d2 Viết phương trình mp (P) chứa hai đường thẳng d1 và d2 b)Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1d2 lần lược các điểm A,B Tính diện tích OAB (O là gốc tọa độ ) ĐH KA 2006: Trông không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A`B`C`D` với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A`(0;0;1) Gọi M và N là trung điểm AB và CD a) Tính khoảng cách giửa hai đường thngr A`C và MN b) Viết phương trình mp chứa A`C và tạo với mp Oxy góc ( ) biết Cos( ) = ĐH KB 2006: x y 1 z 1 1 d2 : x = + t y = -1 - 2t z=2+t Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng d1 : a) Viết phương trình mp(P) qua A và song song với d1, d2 b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A,M,N thẳng hàng ĐH KD 2006 : x2 y z 3 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d1 : 1 x 1 y 1 z 1 d2 : 1 a) Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1 b) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d1 cắt d2 10 ĐH KA 2007 : x y 1 z Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : d1 : 1 D : x = -1 + 2t Y=1+t Z=3 a) Chứng minh d1 và d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) : 7x + y – 4z = và cắt hai đường thẳng d1,d2 11 ĐH KB 2007: ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (23) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mp(S) : x2 + y2 + Z2 – 2x + 4y + 2z - = và mp(P) : 2x – y + 2z – 14 = a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn 12 ĐH KD 2007: x 1 y z Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thắng : 1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G OAB và vuông góc với mp(OAB) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đương thẳng cho MA2 + MB2 nhỏ 13 ĐH KA 2008: Trong không gian VỚI HỆ TỌA ĐỘ Oxyz , cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng x 1 y z d: 2 a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm Atreen đường thẳng d b) Viết phương trình mp( )chứa d cho khoảng cách từ A đến mp( ) lớn 14 ĐH KB 2008: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phăng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC 15 ĐH KD 2008: Trông không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A,B,C,D b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 16 ĐH KA 2009:(chuẩn) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng , (P): 2x – 2y – z – = và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0.Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó 17 ĐH KA 2009: (nâng cao) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = và hai đường thẳng x 1 y z x 1 y z 1 Δ1 : , Δ2 : Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 1 2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) 18 ĐH KB 2009: (chuẩn) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ Dđến (P) 19 ĐH KB 2009: (nân cao) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z – = và hai điểm A(3;0;1), B(1;1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ 20 ĐH KD 2009: (chuẩn) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(2;1;0), C(1;1;0) và mặt phẳng (P) : x + y + z -20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) 21 ĐH KD 2009: (nân cao) ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (24) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** x2 y2 z Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ : và mặt phẳng 1 1 (P) : x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 22 ĐH KA 2010: (chuẩn) x 1 y z Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: và mặt phẳng 1 (P): x − 2y + z = Gọi C là giao điểm Δ với (P), M là điểm thuộc Δ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 23 ĐH KA 2010: (nân cao) x2 y2 z3 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng Δ: Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ hai điểm B và C cho BC = 24 ĐH KB 2010: (chuẩn) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), đó b, c dương và mặt phẳng (P): y − z + = Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) 24 ĐH KB 2010:( nâng cao) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y 1 z Xác định tọa độ điểm M trên 2 trục hoành cho khoảng cách từ M đến Δ OM 25 ĐH KD 2010:(chuẩn) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − = và (Q): x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 25 ĐH KD 2010:( nâng cao) x=3+t Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳngΔ1: y=t và Δ2: x2 y2 z 2 z = t và Xác định tọa độ điểm M thuộc Δ1 cho khoảng cách từ M đến Δ2 26 ĐH KA 2011:(chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = 25 ĐH KA 2011:( nâng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 và điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB 26 ĐH KB 2011:(chuẩn) ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (25) Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán năm 2013 Chuyên đề : Hình giải tích ********************************************************************************** x y 1 z Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng (P) : x + 2 1 y + z – = Gọi I là giao điểm và (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với và MI = 14 25 ĐH KB 2011(âng cao) x y 1 z Tong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : và hai điểm A (-2; 1; 2 1); B (-3; -1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho tam giác MAB có diện tích 25 ĐH KD 2011:(chuẩn) x 1 y z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d : Viết 2 phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục O 25 ĐH KD 2011 (nâng cao) x 1 y z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng (P) : 2x y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính và tiếp xúc với mặt phẳng (P) - - ********************************************************************************** Biên soạn: Lê Minh Đạt ĐT: 0918 344 200 (26)