Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có ngh[r]
(1)CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ MŨ Hành Trình Vạn Dặm Bắt Đầu Từ Một Bước Chân Giải phương trình: 2x 2x 2; x x CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ Giải phương trình: BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Chú ý: Đối với phương trình cần thiết rút gọn trước logarit hoá Phương pháp BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: a 1 f x g x a a 0 a 1 f x g x a a 1 f x g x 0 x 500 Phương pháp Phương pháp dùng ẩn phụ dạng là việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Phương trình k k 1a(k 1)x .1a x 0 0 VD minh hoạ x Khi đó đặt t a điều kiện t>0, ta được: k t k k t k 1 t 0 0 Giải phương trình: 2 x x sin x x 2 cos x Giải phương trình: x 3 3x2 5x 2 x 6x x2 x BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Phương pháp Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùng số vế phương trình, ta có các dạng: Dạng 1: Phương trình: 0 a 1,b f x a b f x log a b Dạng 2: Phương trình : f x a bg(x) log a a f (x) log a bf (x ) f(x) g(x).log a b log b a f( x ) log b bg(x ) f(x).log b a g(x) VD minh hoạ f (x) Mở rộng: Nếu đặt t a , điều kiện hẹp t>0 2f(x ) t ,a3f(x ) t , ,a kf (x ) t k Khi đó: a a f(x) t Và x x Dạng 2: Phương trình 1a 2a 3 0 với a.b=1 bx x t ta Khi đó đặt t a , điều kiện t<0 suy 1 t 3 0 1t 3t 0 t được: f (x ) Mở rộng: Với a.b=1 thì đặt t a , điều bf (x) t kiện hẹp t>0, suy Dạng 3: Phương trình x 1a2x ab 3b2x 0 đó chia vế x 2x a2x , a.b phương trình cho b >0 ( ), ta 2x x a a 1 2 3 0 b được: b (2) a t , b điều kiện t<0, ta được: Đặ t Khi đó ta thực phép chia vế phương x trình cho c 0 , để nhận được: 1t 2t 0 a b A B C 0 c c từ đó thiết lập ẩn phụ x x Mở rộng: Với phương trình mũ có chưa các f a2f ,b2f , a.b nhân tử: , ta thực theo các bước sau: 2f Chia vế phương trình cho b (hoặc 2f a , a.b f ) f a t b điều kiện hẹp t>0 Đặ t Dạng 4: Lượng giác hoá Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 f (x ) cho trường hợp đặt t a vì: x Nếu đặt t a thì t>0 là điều kiện đúng x2 1 Nếu đặt t 2 thì t>0 là điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải là t 2 Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số x x cot g2 x Giải phương trình: Giải phương trình: 74 x 2sin x 0 ; 74 2 đánh giá: ; 1 Ta đã lựa chọn ẩn phụ phương trình 9.2x x 0 Giải pt: 23x 6.2x 3 x 1 12 1 2x Chú ý: Tiếp theo chúng ta quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng giác hoá 22x 22x 2x t 2 BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp Nhận xét: Như ví dụ trên việc 1 x Chú ý: Trong ví dụ trên, vì bài toán không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ t vô nghiệm là t>0 và chúng ta đã thấy với Do bài toán có chứa tham số chúng ta cần xác định điều kiện đúng cho ẩn phụ sau: 2 1 1 x x x 2x x 24 t 2 4 Giải pt: 0 b t c 2x Giải phương trình: VD minh hoạ x a t ,t c và suy x cho Ví dụ ta miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng a.b=1, đó là: a b 1 c c tức là với các phương trình có x x dạng: A.a B.b C 0 *Phương pháp dùng ẩn phụ dạng là việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ các hệ số còn chứa x *Phương pháp này thường sử dụng phương trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn triệt để qua ẩn phụ đó biểu diễn thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp *Khi đó thường ta phương trình bậc theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số là số chính phương a.b c VD minh hoạ Giải phương trình: 32x 2x 3x 9.2x 0 ; (3) 2 Giải pt: 9x x2 3 3x 2x2 0 2x 18 x 1 x x x Giải Pt: 2 ; BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 2x Giải phương trình: Phương pháp BÀI TOÁN 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ *Phương pháp dùng ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ phương trình và khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích 2x 6 Phương pháp Sử dụng các tính chất hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có hướng áp dụng: VD minh hoạ 2 x 3x 2 4x 6x 5 42x 3x 7 ; Giải Pt: x2 5x 6 21 x 2.26 5x m Cho pt: m.2 2.1 Giải phương trình với m=1; 2.2 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp *Phương pháp dùng ẩn phụ dạng là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ *Trong hệ thì k-1 thì phương trình nhận từ các mối liên hệ các đại lượng tương ứng *Trường hợp đặc biệt là việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ và ẩn x, đó ta thực theo các bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu tượng phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: f x, x 0 y x Bước 3: Đặt ta biến đổi phương trình y x f x;y 0 thành hệ: VD minh hoạ Hướng1: Thực các bước sau: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: x x f x f x k + Với đó x x là nghiệm x x f x f x k + Với đó phương trình vô nghiệm x x f x f x k + Với đó phương trình vô nghiệm Vậy x x0 là nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm nghịch f x g x biến Xác định x cho Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm x x Hướng 3: Thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(u)=f(v) (3) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó: (3) u v với u,v Df (4) VD minh hoạ x 1 x 4 x 2 2 ; 4x 8 4.32x 5 27 0 ; log2 x 3 ; Giải phương trình: x 2.3 Giải Pt: log3 x Cho pt: 1 x 3x 5 2mx 2 3x x2 x 2 2x2 4mx 2 x 2mx m m 5; 3.1 Giải phương trình với 3.2 Giải và biện luận phương trình 5 x x 4.3 9.2 5.6 ; x x x 8.3 3.2 24 ; 72x x 6 0.7 x 100 ; x x 3x 1 125 50 2 ; x 1 x x 4x x.3 2x 2x ; x BÀI TOÁN 8: SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Phương pháp Với phương trình có chưa tham số: f(x,m)=g(m) Chúng ta thực các bước sau: Bước 1: Lập luận số nghiệm (1) là số giao điểm đồ thị hàm số (C): y=f(x,m) và đường thẳng (d): y=g(m) Bước 2: Xét hàm số y=f(x,m) + Tìm miền xác định D + Tính đạo hàm y’ ròi giải phương trình y’=0 + Lập bảng biến thiên hàm số Bước 3: Kết luận: + Phương trình có nghiệm minf x,m g(m) max f x,m (x D) + Phương trình có k nghiệm phân biệt (d) cắt (C) k điểm phân biệt d C + Phương trình vô nghiệm VD minh hoạ x2 2x 2 x2 2x m ; Cho pt: 1.1 Giải phương trình với m=8; 1.2 Giải phương trình với m=27; 1.3 Tìm m để phương trình có nghiệm Với giá trị nào m thì phương trình: x2 4x 3 1 m4 m2 5 có nghiệm phân biệt Giải và biện luận theo m số nghiệm x x phương trình: m BÀI TẬP x 1 x 2 x 4 x 3 10 7.3 3 ; x x x 11 6.4 13.6 6.9 0 ; x 2x 12 8 ; 2x 1 3.52x 110 ; 13 x x x 14 3.4 2.9 5.6 ; 2x 8 4.3x 5 27 0 ; 15 x 1 x 2 x 4 x 3 16 7.3 3 ; 1 x x 17 6.9 13.6 3 6 x2 2x 1 6.4 x 0 ; 2 x2 2x 101 10 18 ; x x x x 2 19 0 ; 2x 4x 3x ; 20 x x x 2x 2 21 2 ; x log 2x 3 22 ; x 3x 2x 2 2 x x 8 500 ; x 1 x x x 750 ; 23 x x x 24 25 15 2.9 ; x 16 10.2 25 2x2 1 26 x2 x 9.2 x ; 2x 2 2 0 ; 12 23x 6.2x 3 x 1 x 1 2 27 ; x x 28 2 ; x 29 128 ; x x 30 0 ; X x 1 31 25 6.5 0 ; x x 32 5.3 0 ; x x 33 25.3 54 0 ; x 4 ; (5) 2 x 2 x 34 30 ; 2 x 1 82.3x 0 ; 35 f x a a 3x 2x 2x 3x 36 9.5 5 9.7 ; 2 x 1 36.3x 0 ; 37 x2 1 3x 1 0 ; 38 x a a f x g x Dạng 2: Với bất phương trình: a f x g x f x g x a a a 1 0 a f x g x a a f x g x 0 Chú ý: Cần đặc biệt lưu ý tới giá trị số a bất phương trình mũ x x 1 39 6 ; 2x 2x x x 40 3 2.5 2.3 ; x 41 2 1 3x 3x 2x 2x 5x 102 x 42 ; 43 3 x 2 16 x x ; x 2x 3 ; x 44 3.16 2.81 2.36 ; 45 2 x 46 47 x lo2x x 2 log2 x 1 x ; x x 4 x 4x log2 log2 x x x log2 ; ; x x 2 x 48 6 ; log x 2x 3log8 x 0 ; 49 2.x 50 x x log2 x 2 51 52 lg10x x log2 log2 4 x 2 6 lg x x VD minh hoạ Giải các bất phương trình: 2x x2 2x 1.1 ; ; 4 x 2 lg100x 2.3 1 2x 3 53 x ; ; x 1.2 x 1 1 2x ; 2x 7.3x 6.3x 9x 1 0 ; 54 5.3 x x x 1 55 12.3 3.15 20 ; 2x 2x x x 1 10 2 x2 2x 10 x2 2x 2x x2 2x 1 x x 2 CHỦ ĐỀ II: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau: Dạng 1: Với bất phương trình: x 1 x 3 x 2x x Phương pháp 2x 2 BÀI TOÁN I: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG x x Chú ý: Để tránh sai sót không đáng có biến đổi bất phương trình mũ với số nhỏ các em học sinh nên lựa chọn cách biến đổi: log2 2x x log2 2.3log2 4x ; 56 x x 57 6x ; 58 g x a f x g x 0 a f x g x Nhận xét rằng: 10 10 1 10 10 Khi đó bất phương trình viết dạng: 1 (6) 10 x x 10 x 1 x 3 10 x x 1 x x 3 1 BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG x Phương pháp x Mục đích chính phương pháp này là chuyển Vậy nghiệm bất phương trình là: các bài toán đã cho bất phương trình đại số 3; 1; quen biết đặc biệt là các bất phương trình bậc các hệ bất phương trình BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ VD minh hoạ x x 1 x2 0 0 x x 3 x x 3 Phương pháp x Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit hoá theo cùng số hai vế bất phương trình mũ Chúng ta lưu ý số trường hợp sau cho các bất phương trình mũ: f(x) Dạng 1: Với bất phương trình: a b ( với b>0) a f x log a b 0 a f x log a b 2 Giải bất Pt: 9 Giải bất pt: 11 2 5 Giải bất pt: 5x Giải bất pt: 2x 21 3 x x x 2.5 52x 2 2 5 2x x 1 21 ; x ; x 2x log2 ; 3 BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp Dạng 2: Với bất phương trình: a f x 0 b f (x ) a b a f(x) log a b 0 a f(x) log a b Phương pháp này giống phương trình mũ VD minh hoạ x x 1 x Giải bất phương trình: 0 ; 9x 2 x 5 3x 2x 1 0 Giải bất pt: BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp Dạng 3: Với bất phương trình: a f( x) bg(x ) lg a f(x ) lg bg( x ) f(x).lga g(x).lg b có thể sử dụng logarit theo số a hay b VD minh hoạ x x Giải bất phương trình: 49.2 16.7 ; Sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ bất phương trình và khéo léo biến đổi bất phương trình thành phương trình tích, đó lưu ý: A A B B A.B A.B A A B và B VD minh hoạ (7) x x 2 x 2x Giải bất phương trình: 4.3 ; x 1 x 16 2.log ; x 2x 1 4x ; Giải bất pt: 2x Bất phương trình: x 5x 5x 52x log5 2.5x 1 16 nghiệm là: 3.1 x 1 ; 3.2 x>1 có CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƯỢC GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH 2 x 1 x 1 8 0 ; x 1 x 10 9.4 5.6 4.9 ; x 4 x x 1 9 x ; 11 8.3 x 12 x x 1 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 2z 13 6.9 Như thông qua các bài toán trên, chúng ta đã biết các phương pháp để giải bất phương trình mũ và thông qua các ví dụ minh hoạ chúng ta có thể thấy điều rằng, bất phương trình có thể thực nhiều phương pháp khác Trong mục này minh hoạ ví dụ giải nhiều phương pháp khác với mục đích là: + Giúp các em học sinh đã tiếp nhận đầy đủ kiến thức toán THPT trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải + Giúp các em học sinh lớp 10 và 11 lựa chọn phương pháp phù hợp với kiến thức mình 14 x 13.62x ; x 6.42x x 1 15 4x x 16 2 2x x2 1 17 25 x x 2.3 x x 2x ; 5 2x x2 1 9 2 x2 2 x m m2 m log3 19 5 x x 0,12 1 ; log x x 5 3 x x log x 1 2x 1 ; 1 ; 1; 22 log6 x x log6 x 12 ; 23 log2 x 1 log2 x 24 8 log x x log x 10 ; 18 x2 2 x m m2 m 1 x x 1 ; 34.152x x log log 32.log3 x 3x log3 2 0 ; 21 Tìm m dương để bất phương trình sau có x 2x.3x 5x 3x 4x 3x ; x2 VD minh hoạ 2 5x 3x2 2x 20 nghiệm: 2x 3 1 22x 1 21 2 1 x 52 ; log2 x 2 .5 x 2x 7.3 25 log2 x 4 32 ; 26 x 1 12 ; x 2x x BÀI TẬP x 27 4x x.2 x 7 x 9 ; x 1 2x 1 122 28 2 ; 3.2x x 2x 8x 12 ; x 1 1 x 1 x 12 3 ; loga x loga 4 3.x 16 ; 1 x2 x 2 x x 1 CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ 3 2x x x 4 9.9 x 4 ; 8.3 3x x2 3x 1 ; 5 BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ x x ; Phương pháp Phương pháp sử dụng nhiều để giải các hệ mũ là việc sử dụng các ẩn phụ Tuỳ theo dạng hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích (8) hợp Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu các hệ đại số đã biết cách giải (hệ bậc ẩn, hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II và hệ đẳng cấp bậc 2) Bước 3: Giải hệ nhận Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu VD minh hoạ Giải hệ phương trình: 32x 2 22y 2 17 x 1 y 2.3 3.2 8 ; m3 x 1 2y 2m x 1 m2y m ; Cho hệ phương trình: 3 2.1 Tìm m để hệ có nghiệm 2.2 Tìm m nguyên để nghiệm hệ là nghiệm nguyên 2cot gx siny 3 9 sin y 81cot gx 2m Cho hệ phương trình: ; 3.1 Giải hệ phương trình với m=1; 3.2 Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả y mãn 2 42x 22x y 4y 1 2y 2 2x2 y 3.2 16 Giải hệ phương trình: 22 x 1 3.2 x y 2x Giải hệ phương trình: 2y 3y 2 9log2 xy 2 xy log2 2 x y 1 Giải phương trình: ; 3x 1 y y 3x 2 3.2 3x xy x Giải hệ phương trình: BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định phương trình hệ theo ẩn ẩn, giải phương trình này phương pháp hàm số đã biết Bước 3: Giải hệ nhận VD minh hoạ 3x 3y y x x xy y 12 Giải hệ phương trình: x 2 2x 3 y y 2y 3 x Giải hệ phương trình: x y 2 y x xy 2 x y 2 Giải hệ Pt : BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp Nhiều bài toán cách đánh giá tinh tế dựa trên các: + Tam thức bậc hai +Tính chất hàm số mũ +Bất đẳng thức +…… Ta có thể nhanh chóng nghiệm hệ biến đổi hệ dạng đơn giản VD minh hoạ 2x 3y2 2x 2 3y2 x y 1 Giải hệ Pt : 2 BÀI TẬP x y 4x 5 y x y x3 y 1 ; x y y x 4 32 log x y 1 log3 x y ; (9) x 1y 2y 9 3 x 3y 2x x y 3 2 32 16 ; 3y 2xy 2 2 x x 2 1 y y 3.3 y ; xy 1 2 lg x lg y 2 ; 32x 2y 77 y 3x 2 7 ; 2.log y x y 3 4y log xy log y x x ; x y 3.2 2.3 x 1 y 1 19 ; x y x y 5 x y 5 5.3x y ; 3x 2 5y 4y x 2x 1 y x 10 ; x y 3y x 1 x4 y 0 8 x y 11 ; 3lg x 4lg y lg lg3 4x 3y 12 ; logxy y.x x log y log y y 3x 1 13 ; 23x 1 2y 3.2y 3x 3x xy x 14 2x xy y 14 log x 1 y 2 log y 2 x 3 15 ; x y y x 1 2 1 2 4 4 CHỦ ĐỀ 4: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp Dựa vào các phép toán biến đổi tương đương cho các bất đẳng thức hệ bất phương trình, ta có thể tìm nghiệm hệ Phép toán thường A B A C BD C D sử dụng là: Việc lựa chọn phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ bất phương trình mũ thường thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Thực các phép biến đổi tương chuyển hệ bất phương trình đại số đã biết cách giải Bước 3: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đó đưa lời kết luận cho hệ Với hệ bất phương trình mũ chứa tham số thường thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Thực các phép biến đổi tương đương (phương pháp sử dụng khá nhiều phép biến đổi tương đương) để nhận từ hệ bất phương trình ẩn chưa tham số Bước 3: Giải và biện luận theo tham số bất phương trình nhận Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đó đưa kết luận cho hệ Chú ý: Đối với hệ bất phương trình mũ ẩn thường giải bất phương trình hệ, kết hợp các tập nghiệm tìm để đưa kết luận nghiệm cho hệ bất phương trình VD minh hoạ (10) Giải hệ bất Pt: 22x 1 9.2x x 22x 2 2x x 4x BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp Việc lựa chọn đặt ẩn phụ thích hợp cho hệ phương trình mũ, ta có thể chuyển hệ các hệ đại số đã biết cách giải Cụ thể ta thường thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ cho hệ và điều kiện cho các ẩn phụ Bước 3: Giải hệ nhận từ đó suy nghiệm x; y Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đó đưa lời kết luận cho hệ VD minh hoa 22x 2y 2x 2y log3 0 Giải hệ bất Pt: BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Phương pháp Trong phần này chúng ta sử dụng phương pháp cần và đủ đã biết để giải các hệ bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối VD minh hoạ + Các bất đẳng thức như: Côsi, Bunhiacôpxki…… + Tính chất trị tuyệt đối ……… Ta có thể nhanh chóng nghiệm nó VD minh hoạ 2x y 2y 2y x y y y Giải hệ bất Pt : 2 CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ LOGARIT CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Phương pháp Để chuyển ẩn số khỏi lôgarit người ta có thể lôgarit hoá theo cùng số vế phương trình, bất phương trình Chúng ta lưu ý các phép biến đổi sau: 0 a 1 log a f(x) b b f x a Dạng 1: Pt: Dạng 2: Phương trình: 0 a 1 log a f x log a g x f x g x Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f(x)>0 g(x)>0 tuỳ thuộc vào độ phức tạp f(x) và g(x) Tìm m để hệ sau có nghiệm 22x 22y 2y 1 m 2y 2x x 1 2 m BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp Nhiều bất phương trình đánh giá tinh tế dựa trên: + Tam thức bậc VD minh hoạ Giải phương trình: 2 log x log x.log3 2x ; Giải phương trình: log x log x log x BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp (11) Phương pháp đặt ẩn phụ dạng là việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Nếu đặt t log a x với x>0 thì: log a k x t k ;log x a t với x 1 log b c clogb a đó Dạng 2: Ta biết rằng: a log b x log b a đặt t a thì t x Tuy nhiên log b x nhiều bài toán có chứa a , ta thường đặt ẩn phụ dần với t log b x Cho phương trình: log 5x log 2.5x 2 m Phương pháp dùng ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ cho biểu thức lôgarit phương trình và biến đổi phương trình thành phương trình tích VD minh hoạ Giải phương trình: log2 x x 1 log x.log x x 0 Phương pháp ; 1.1 Giải phương trình với m=1; 1.2 Xác định m để phương trình có nghiệm x 1 Giải phương trình: Phương pháp BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG VD minh hoạ log2 x BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG log x x2 x2 log3 x x Phương pháp đặt ẩn phụ dạng là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ Trong hệ thì k-1 phương trình nhận từ các mối liên hệ các đại lượng tương ứng VD minh hoạ BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Giải phương trình: x 3log x x 2 log x ; Phương pháp Giải phương trình: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng là việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ các hệ số còn chứa x Phương pháp này thường sử dụng phương trình lựa chọnẩn phụ cho biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn triệt để qua ẩn phụ đó biểu diễn thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp Khi đó thường ta phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biết số là số chính phương VD minh hoạ Giải phương trình: lg x lg x.log 4x 2log x 0 log x 4x 5 log x 4x 6 BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ dạng là việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ và ẩn x Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: f x, x =0 y x Bước 3: Đặt , ta biến đổi phương (12) y x f x;y 0 trình thành hệ: VD minh hoạ Giải phương trình: log x x log x 2 VD minh hoạ Giải phương trình: log 22 x log x 1 BÀI TOÁN 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ; Giải phương trình: log x2 2x 3 2log x 2x Giải phương trình: x Giải phương trình: Phương pháp Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: x x f x f x0 k + Với đó x x là nghiệm x x0 f x f x0 k + Với đó phương trình vô nghiệm x x f x f x k + Với đó phương trình vô nghiệm Vậy x=x0 là nghiệm phương trình Hướng 1: Thực theo các bước: Hướng 2: Thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm nghịch biến Xác định x0 cho f(x0)=g(x0) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm x=x0 log 1 x 3x 5 x log2 ; ; 3x x 2 BÀI TOÁN 8: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp VD minh hoạ Giải phương trình: log x x 1 BÀI TẬP log x 3 log x 2 log ; 2 log 5 x x 2x 65 2 ; lg5 lg x 10 lg 21x 20 lg 2x 1 1 1 lg x lg x lg x 2 2 8; lg x 2 lg x 3lg x lg x ; log x log x 0 3 ; x log 21 4x log 8 ; log 4 x log 2x 2 10 Hướng 3: Thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(u)=f(v) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó (3) u v với u,v Df log x 4log x x 2log 4x x 3log 2x x 2 log log x 1 x ; ; ; 11 log x x 40log 4x x 14log16x x3 0 ; log x.log x.log x 12 log x.log3 x log x.log x log x.log x ; (13) x3 19 log x ; lg lg x lg lg x 2 0 ; log3 x log5 2x 2 ; log x 3 log 6x 10 0 ; 2.log x x log x ; log x2 x x 1 ; 2 log x 4x log x 12 ; 20 log x x lg 4,5 0 13 14 15 16 17 18 log3 3x log x log3 39 40 41 42 43 25 log 2 x 2x log 2 log 2x log x 2x log2 x 28 ; 50 30 31 log2 x 32 ; x 3 log x 2 x 2 log3 x 2 16 log x 3 2x x 2; log 36 log 81 log 3x 4x 15 33 log ; log x 1 2x 2 34 ; log x x log x 2x 0 35 ; 36 4.log x log x 3 ; x x log 2 ; ; x x 6 log 2 log 4x 3 ; x log x log3 3x 3 x 3 ; x log x x log x log x log x 37 ; 38 log x 3x log x 7x 12 3 log 51 52 ; x2 ; log 9x 5.3x 4 log x x 1 ; 4.3 2 3x x x ; 54 log x log3 1 ; x log x log 2x 12 55 log x log x 1 16 53 log x2 log x 2 x x log x log 20 x log2 x3 1 lg x 10 lg x 2 lg 29 ; 3x2 5 1 ; 0 45 ; 46 log x log3 x log 3.log 225 ; log 3x 2 log x log x 47 ; x x 1 log x log 48 ; log x 2log x log x.log x 7 49 ; 2.log x log3 x.log 2x 1 26 ; log3 x log3 3x 0 27 ; x 1 log x log 4x 44 log x log x 3 log 3 ; x 2x 2.log log ; log5 log 25 log 2 x x log x2 x 0 x 3 3 log2 x log2 x 3 x x 21 ; x lg x x 4 lg x 2 22 ; log x 3 log 6x 10 0 23 ; 24 2 2 56 log2 x x 2 ; ; log2 x 1 x ; 57 58 59 log x log x log log3 log x 1 x 2 2 x lg x 60 61 ; ; lg x 0 ; log32 x x 5 log x 2x 0 log x x2 log x x log x x2 ; ; (14) theo cùng số vế bất phương trình Chúng ta lưu ý các phép biến đổi sau: Dạng 1: Với bất phương trình: log a f x log a g x log x log x log x3 5 62 63 16 x x 1 log 5 log 25 ; 5 1 ; log x log x log 3.log 225 5 64 ; log x log x 26 0 65 ; 66 x log x 27.log x x ; a 0 f x g x a f x g x 67 68 log3 x 2 log x 4x 9 log1 2x 6x 5x log1 3x 4x2 4x 1 0 x 69 lg x2 2 x ; ; 1 lg x 1 0 ; 70 log5 x log log x 2 2log x 25 71 x 2 log32 x 1 x 1 log3 x 16 0 72 3 log x 2 log x log x 4 0 a 1 f x g x a f x g x Dạng 2: Với bất phương trình: a b 0 f x a log a f x b 0 a f x a b Dạng 3: Với bất phương trình: a b f x a log a f x b 0 a 0 f x a b x3 VD minh hoạ log3 log x log log x x 73 ; Giải bất phương trình: 74 log x 3x 1 log x x2 1 ; 2 log 3x 7 12x 4x log 2x 5 6x 23x 21 4 log x 5x2 8x 3 2 Giải bất phương trình: ; 75 x2 log 5x2 2x x log 5x 2x x 2x BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT log x.log3 x log3 x log x 76 Phương pháp x 3 log x 2log x 77 VD minh hoa x 3 log x 2log x ; Giải bất phương trình: 78 2lg 5 x 1 lg x x ; log x x log7 x 3 2log x 3 log x 2 log3 35 x3 3 log x CHỦ ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Giải bất phương trình: ; Giải bất phương trình: BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP log x log 1 x BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 3 ; Phương pháp Để chuyển ẩn số khỏi loga người ta có thể mũ hoá (15) BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp Mục đích chính phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho bất phương trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phương trình bậc các hệ bất phương trình VD minh hoạ VD minh hoạ Giải bất phương trình: log3 x.log x 2log x log x BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp VD minh hoạ Giải bất phương trình: Giải bất phương trình: x3 32 log x log3 8 log 24 x log 9log 4log x x ; 8 x 2 Giải bất phương trình: Chú ý: Trong ví dụ trên các em cần lưu ý 1 thực các phép biến đổi cho toán tử: log 2x 3x log x 1 2 3 x x x log log log 8 2 2 BÀI TẬP x3 log log x log2 x 8x log 2 x 1 ; x log log3 4x 2 2 log x log x log x log 22 x ; log x 3x ; BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG log 3x 4x log 3x 4x ; Phương pháp x 1 log x3 6x ; VD minh hoạ 2x 1 log Giải bất phương trình: x 2; log 32 x log 8x log x log x 1 log x x 2 4 ; BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG Phương pháp Sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ bất phương trình và biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tích, đó lưu ý: A A B B A.B A.B A A B và B x3 32 log24 x log 21 9log 4.log21 x x 2 ; 2x log x 4x x log x log x2 4x 5 1 10 ; 11 log x log 2x 4 ; 12 x2 4x log x x 8x 2x2 0 ; (16) 4x 13 14 16x log x 3 0 ; log3 x2 5x log x log x 3 3 log3 15 2x 1 1 x ; 16 log x log x log x.log3 x ; 1 log 2x 3x log x 3 17 ; log x 3x 2 18 ; log x 11x 43 19 ; log x 4x 2 20 ; log x log x 21 ; x 6x log log x x 22 ; x 18 log 18 2x log 23 ; x log x log 24 ; log x log x log x 3 25 ; log3x x2 x 26 ; log x x x 2 27 ; 2 x 7x 12 x 28 14x 2x 24 log x x; 31 32 log0,3 x 5 x 1 0 5x 3x x 2x log x 1 x 47 ; log3 x 1 48 log3 x ; log2 x 2log x 49 ; log5 35 x 3 log5 x 50 ; log x2 x 1 2x2 2x 2; 51 log x log x 2 52 ; ; ; ; ; log x log 1 ; log x log x log x.log 5x; 44 log2 x2 9x 2 log2 x 45 ; log x 2 log x log 2x ; 46 log3 x2 5x log x log x 3 3 43 log5 x2 4x 11 log11 x2 11 33 42 log x 5x2 8x ; x 1 log 3x log 16 4 log x log 2x 2 9.log x 4log x ; log x 2 x 40 2x ; log x 0 2x x 41 ; 30 39 x 0 log x 29 38 1 log x log3 x 4 34 ; 4x log x2 x 2; 35 log x log 1 x 2 36 ; log x log x 2 37 ; 0 ; log2 x 1 log3 x 1 53 x 3x 0 ; (17) lg x 3x 54 lg x lg2 2 55 ; log x 5x 18x _ 16 56 log2x 64 log x2 16 3 4 x x 3y x y log x 1(2) Giải hệ Pt: ; 2 4x y 2 log 2x y log 2x y 1 Giải hệ Pt: 57 2 ; ; log x log x ; 1 log x x 2 4 58 ; 2x log x 4x 59 x log x 60 61 log x 2 x log x 1 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp ; ; 2.log 225 x 1 log5 log x 2x 62 log 2x 3x log 2x 3x ; x3 32 log 24 x log 21 9log 4log 21 x 8 x 2 63 ; log 22 x log x2 log x 64 65 log x log 2 x 7 ; Phương pháp sử dụng nhiều để giải các hệ lôgarit là việc sử dụng các ẩn phụ Tuỳ theo dạng hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu các hệ đại số đã biết cách giải (hệ đối xứng loại I, loại II và hệ đẳng cấp bậc hai) Bước 3: Giải hệ nhận Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu VD minh hoạ CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép để nhận từ hệ phương trình theo ẩn x y (đôi có thể là theo ẩn x, y) Bước 3: Giải phương trình nhận các phương pháp đã biết phương trình chứa thức Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ phương trình yx yx 4 32 log x y 1 log3 x y Giải hệ Pt: BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định phương trình hệ theo ẩn theo ẩn, giải phương trình này phương pháp hàm số đã biết Bước 3: Giải hệ nhận VD minh hoạ VD minh hoạ (18) Giải hệ phương trình: log x 1 log3 y log y 1 log x BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp VD minh hoạ ex ey log y log x xy x y 1(2) Giải hệ Pt: log x y x y log xy 1 x y Giải hệ Pt: x y 2 BÀI TẬP log x 3x 2y 2 log 3y 2x 2 10 y log x 3x 5y log y 3y 5x 4 log 3x 5y log y 3y 5x 4 11 x 1 log3 x log3 y 0 x y 2y 0 12 log3 y log3 x x 2y 27 log y log3 x 1 13 5.log x log y 5.log x3 log y 14 2 lg x lg y lg xy lg x y lg x.lg y 0 15 16 2.log1 x xy 2x y 2 log 2y x 2x 1 6 log1 x y 5 log 2y x 1 4 x x 3y x log x y 1 17 log log xy 4 2 xy x y 3x 3y 12 18 y x x y 4 32 log x y 1 log3 x y 19 x y log y log x xy 3 x y 16 lg x lg y 3 4 lg lg3 4x 3y log x log2 y 2 log log x y 1 2 log y x log x y 5 xy 8 log8 y log x x y 4 log x log y 1 log y log x x y 4 20 log x log y 1 log x2 y log 2x log x 3y 21 x log xy log 4y 2y 2x log y log log x log log y log log x log log x 22 2x xy y 14 log x 1 y 2 log y 2 x 3 x log3 y 3 x 2y y 12 81y log xy 4 x log y 2 1 2x 2 x xy 2y x2y 2x 2x2 y 4x 0 (19)