Chuyên đề III phương trình, bất pt, hệ pt

Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh • Vấn đề 1: - Phương trình bậc hai,tam thức bậc hai - Phương trình bậc n (n ≥ 2) A)LÝ THUYẾT: I) Phương trình bậc hai: 1) Dạng: ax + bx + c = (a ≠ 0) (1) 2) Cách giải: Lập ∆ = b − 4ac −b − ∆ −b + ∆ ; x2 = 2a 2a −b - ∆ = ⇔ (1) có nghiệm kép x1 = x = 2a - ∆ < ⇔ (1) vô nghiệm Chú ý: Khi b chẵn lập ∆ ' 3) Định lí Viet: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 (tức ∆ ≥ ) thì: - ∆ > ⇔ (1) có nghiệm phân biệt x1 = S = x1 + x2 = − P = x1 x2 = b a c a Lưu ý: Chỉ sử dụng Viet ∆ ≥ Hai số có tổng S, tích P số nghiệm pt II) Tam thức bậc hai (Hàm số bậc hai): 1) Dạng: f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) x − Sx + P = 2) Định lý dấu tam thức bậc hai:Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) • Miền xác định: D = R Để xét dấu f(x) R ta dùng định lý sau: ∆ < ⇔ f ( x) dấu với a ( tức a.f(x) > 0) với ∀x ∈ R • ∆ = ⇔ f ( x) dấu với a ( tức a.f(x) > 0) với ∀x ≠ − b 2a ∆ > ⇔ Trong trái ; Lưu ý: Hai trường hợp đầu ghi gộp lại là: ∆ ≤ ⇔ a f ( x) ≥ ; ∀x ∈ R • III) Phương trình bậc n ( n ≥ 2) 1)Dạng: Thường gặp phương trình bậc3, bậc dạng trùng phương, dạng phản thương 2)Cách giải: - Đối với phương trình bậc có hệ số số ta bấm máy tính để tìm nghiệm, nhẩm nghiệm dùng sơ đồ Hóc-nơ đưa dạng tích - Cách dùng sơ đồ Hóc-ne để phân tích đa thức có nghiệm thành tích: Ví dụ: Đa thức f ( x) = x − x + có nghiệm x0 = nên phân tích thành tích dạng: f ( x) = ( x − 1)( A.x + B.x + C ) Ta tìm nhanh hệ số A; B; C theo sơ đồ Hóc-ne sau: x0 = A=2 -5 B = 1.2 + (−5) = −3 C = 1.(−3) + = −3 Dư = 1.(-3)+3 = -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh Vậy f ( x ) = ( x − 1)(2.x − 3.x − 3) + Chú ý: Có thể dùng sơ đồ Hóc-ne cho đa thức bậc n tuỳ ý (n ∈ Z ) ax + bx + c = ( a ≠ 0) (1) ta đặt t = x ≥ có at + bt + c = (2) Từ dựa vào phương trình (2) để giải biện luận - Đối với phương trình trùng phương : phương trình bậc hai phương trình(1) - Đối với phương trình phản thương ax + bx + cx ± bx + a = (a ≠ 0) (1) ta chia vế cho x ≠ đặt ẩn phụ để giải B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Bài1:Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x + mx + = (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả: a) x12 x22 + >7 x22 x12 1 − >1 x1 x2 b) c) x1 + x2 = 2 Bài2: Cho pt: x + 2(m + 1) x + m + 4m + = 0(1) a)Tìm tất giá trị tham số m để (1) có nghiệm ** −5 ≤ m ≤ −1 b) Khi pt (1) có nghiệm x1 & x2 Tìm maxA với A = x1 x2 − 2( x1 + x2 ) ** maxA=9/2 Bài3 : Cho pt bậc 3: x − x + 3mx + 3m + = 0(1) a) Phương trình (1) có nghiệm không phụ thuộc m, tìm nghiệm b) m ? để phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt ** -4/3  A < B ⇔ * A ≥ ;  A < B * B ≥  A ≤ B ⇔ A ≥  A ≤ B B <   A ≥ * A>B⇔ ; B ≥    A > B * A+C + B+C >  B ≤   A ≥ * A ≥ B ⇔>  B >    A ≥ B A ≥  A + B ⇔ B ≥ C >  *Bất phương trình có nhiều bậc hai: Đặt điều kiện cho có nghĩa, xét trường hợp, bình phương vế phải không âm *Chú ý: -Khi gặp dạng biến đổi tương đương theo công thức nêu Nếu chưa có dạng cần quan tâm đến điều kiện có nghĩa bậc chẵn ( biểu thức không âm) sau bước biến đổi để xuất dạng -Thường xuyên lưu ý có vế ≥ ( hay ≤ 0) chưa để việc biến đổi đặt điều kiện bớt phức tạp -Khi nâng hai vế phương trình hay bất phương trình lên bậc chẵn cần kiểm tra xem vế không âm chưa Nếu chưa cần đặt điều kiện để hai vế không âm, không đảm bảo vế không âm mà bình phương tìm nghiệm xong phải thử lại -Gặp có chứa nhóm A ± B ; A ± B ; ta thường nhân với lượng liên hiệp tương ứng A m B ; A mB ; -Gặp không biến đổi đưa dạng ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ, biến đổi thành tích, thành tổng bình phương, đánh giá hai vế, dùng tính đơn điệu hàm số,… -Khi giải pt, bpt học sinh thường gặp sai lầm: + Ước lược nhân tử chung vế : A.B = A.C ⇔ B = C (Sai chỗ thiếu trường hợp A = ); A.B > A.C ⇔ B > C (Sai chỗ không phân biệt trường hợp A > 0, A < ) -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh + Nhân chéo: B > 0, B < ) A > C ⇔ A > B.C (Sai B chỗ không phân biệt trường hợp A.B = A B ( Chỉ trường hợp A ≥ 0, B ≥ ), A ≤ 0, B ≤ A.B = − A − B + + A2 = A ( Sai A2 = A ) + Giải toán tìm tham số m cách đặt ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ không x + x + = m có nghiệm t ≥ Đ/k không chặt dẫn đến tìm m chặt, ví dụ giải bài: Tìm tất giá trị tham số m để pt: Giải: Đặt t = x + , đ/k: t ≥ ( sai, điều kiện chặt sai +Vân vân … B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: LOẠI 1: CÓ SẴN DẠNG CƠ BẢN HOẶC BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG CƠ BẢN Bài1: Giải pt, bpt sau: x2 + = 2x −1 b) x − + x − 3x + = 0( D − 2006) e) f) g) h) = *x≤ c) x − x + 1-x+2 > d) * x =1 *x a) 3− ; x > x + + 3x + = x + x + *x = ( Thử lại) x −1 + x − = 2x − *x = 1; x = 2; x = x3 + + x + = x2 − x + − x + x+3 *x = ± 2( x − 16) x −3 + x −3 > 7−x x −3 ( K A 2004) x − − x − > x − (K A 2005) *x > 10 − 34 *2 ≤ x < 10 *x ≥ 3; x ≤ − i) ( x − 3) x − ≤ x − 13 k) 51 − x − x  A =   B > ; A.B ≥ ⇔  A.B = A.B = ⇔  ; A.B > ⇔  A.B >  A < B =     B < Tương tự cho trường hợp A.B < 0; A.B ≤ Để đưa dạng tích ta thường gặp trường hợp sau: 1) Đặt thừa số chung, ý sử dụng đẳng thức để đưa dạng tích Bài2: Giải pt, bpt sau: a) b) (x − x ) x − x − ≥ (2002 D) x + x − + x + x − ≤ x + x − 5( AN ) c) x − x − − ( x − 1) x + d) f) *x x2 − x = x + = x2 − x − e) x − + * x + ≥ (3 x − 2)( x + 2) + 3 x ( x + 2) = x + 3 3x( x + 2) 2)Chú ý dạng thường gặp sau: • Dạng: u + v = + uv ⇔ Bài 3: • =2 x = 1; x = −5 − 97 18  34  *x ∈  ;  ∪ [ 2; +∞ )  47  *x =1 *x = 0; x = −1 *x = 0; x = (u − 1)(v − 1) = x + + x + = + x + 3x + Dạng: au + bv x = 2; − ;3 * x =1 * = ab + uv ⇔ (u − b)(v − a ) = Bài4: a) x + + 2x x + = 2x + x2 + 4x + x + x + 3x + + x = x + + x + x A− B • Dạng: A ± B = C x+3 Bài5: x + − x − = b) * x=0 *x =2 -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh • A + B = A+ B Dạng: x + x + + x + x + = x + x + 12 A = 2 Dạng: A + B = ⇔  B = Bài6: • Bài7: : Đặt điều kiện, bình phương vế x + 3x + = x x + + 2 x − • Dạng: Nhân với lượng liên hiệp để đưa dạng tích Bài8 : Giải phương trình, bất phương trình sau: a) x − − x + > x − 2x b) (3 − + x ) < x + 21 *x =1 * − < x < * * - ≤ x < ( x ≠ 0) 2 *x =5 m) 3x + − − x + x − 14 x − = ( K B 2010) n) 3x − x + − x − = 3( x − x − 1) − x − x + * x=2 LOẠI 3: ĐẬT ẨN PHỤ • Dang 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình, bpt ẩn Bài9: Giải phương trình, bất phương trình sau: a) x ( x + 1) + 10 < x + x + ** b) x − + c) x − = x − + x − x + **x=2 x + = + x − x + **x = (Thi thử ĐH2009-Trường PCT-ĐN) d) − x + e) -1- 57 -1+ 57 < x < −2; 1 ( ý : a ≤ 0; b ≤ ⇒ ab = − a −b ) giải bpt ta x = 9/8(loại) TH3: x ≥ (b) ⇔ x − + x + = x Giải bpt ta x = 9/8 ( nhận ) Vậy nghiệm (b) x = 0; x = 9/8 (các lại hs tự làm.) Bài4:Giải phương trình, bất phương trình sau: a) x ( x + − x − 2) = x + − x − b) x + x + + c) x + x2 −1 = 2x + d) 1 + =2 x − x2 f) x e) − x = x + x − = 12( x − 1) p 2x + + 2x x2 + x2 − g) 4( x + 1) < (2 x + 10)91 − x − 2) Hướng dẫn giải : a) Đặt thừa số chung ; đáp số x=1/2 b) Đặt thừa số chung ; đáp số x = ±1 3 c)Nhân với LLH; đáp số : < x < − 2; x > + 2 d) Đặt ẩn phụ ; đáp số : x = ± e) Đặt ẩn phụ ; đáp số : x=1; x=3 f) Biến đổi , đặt ẩn phụ ; đáp số : − ≤ x < 3( x ≠ −1) Bài 5: Tìm tất giá trị tham số m để bpt: −4 (4 − x)(2 + x) ≥ Mặt khác theo Cauchy: t≤ 4− x+2+ x = (dấu xảy x=1) Vậy điều kiện t t thuộc đoạn [0;3]; phương trình cho thành: m ≥ t − 4t + 10 = g (t ); t ∈ [ 0;3] ⇔ m ≥ max g (t ); t ∈ [ 0;3] = g (0) = 10 Vậy chọ m ≥ 10 Bài 6: Tìm tất giá trị tham số m để bpt: − x = m − x (1) có nghiệm Hướng dẫn : (1) ⇔ m = x + − x = g ( x )(*) (1)có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm thuộc [-1;1] ⇔ m thuộc MGTcủa hàm g(x); với x thuộc [-1;1] Tính đạo hàm ;lập BBTcủa hàm g(x) với x thuộc [-1;1] tìm MGT  −1;  Vậy chọn −1 ≤ m ≤ -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 10 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - a) Giải hệ a = * (0; 2);(2;0);(0; −2);( −2;0) b) a? hệ có hai nghiệm *a = 2 x + y + x + y = Bài5: Cho hệ:   xy ( x + 1)( y + 1) = m a) Giải hệ m = 12 * (2;1);(1; 2);(2; −2);( −2; 2);( −3;1);(1; −3) 33 b) m? hệ có nghiệm * − ≤ m ≤ 16 16 III)Hệ đối xứng loại II:  f ( x; y ) = (1) 1)Dạng:  Vậy hoán vị x ; y pt(1) trở thành pt(2)  f ( y; x ) = (2) ngược lại 2)Cách giải: Thường dùng hai cách:  f ( x; y ) =  f ( x; y ) − f ( y; x) = Cách 1: Hệ ⇔  Cách 2: Hệ ⇔   f ( x; y ) − f ( y; x) =  f ( x; y ) + f ( y; x) = 3)Bài tập: Bài6: Giải:  2x + =  y x  x = 3x + y   x = x + y a)  b)  c)   y = y + x  y = y + x 2 y + =  x y * a) (0;0);(5;5);( −1; 2);(2; −1) b) (1;1);(−1; −1);(− 2; 2);( 2; − 2) c) (0;0);( 3; 3);( − 3; − 3);(1; −1);( −1;1) IV)Hệ đẳng cấp bậc hai: ax + bxy + cy = d (1) 1)Dạng:  2  a ' x + b ' xy + c ' y = d ' (2) 2)Cách giải: - Xét riêng trường hợp x = - Khi x ≠ , đặt y = tx, thay vào hệ, chia phương trình (vế theo vế), ta có pt ẩn k, giải tìm k, có k thay vào (1) (2) ⇒ x, y 3)Bài tập: Bài7: Giải hệ: -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 26 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - 3 x − xy = 16 3 x − xy − y = −3 3 x − xy + y = a)  b)  c)  2 2  x − 3xy − y = 9 x + 11xy − y = 5 x − xy − y = *a) (−2;1);(2; −1) b) (1; −2);(−1; 2) c) (2 y; y ), ( y ∈ R) V)Hệ bậc hai ẩn (Hệ Crame): ax + by = c (1) 1)Dạng:   a ' x + b ' y = c ' (2) 2)Cách giải: a b c b a c - Lập định thức: D = ; Dx = ; Dy = a' b' c' b' a' c' - Kết quả: D D + D ≠ : Hệ có nghiệm (x; y) với x = x ; y = y D D D = 0, D ≠ ∨ D ≠ + : Hệ vô nghiệm x y + D = Dx = Dy , lúc (1) ≡ (2): Hệ có vô số nghiệm thỏa ax + by = c 3)Bài tập: Bài8: Giải biện luận:  mx + y = 2m 6mx + (2 − m) y = a)  b)   x + my = m + (m − 1) x − my = ax + y = c ( a + b) x + ( a − b) y = a c)  d)  (2a − b) x + (2a + b) y =  x + ay = c + c  mx + y = m − Bài9: m? hệ:  có nghiệm (x;y) thỏa y ≥ x +  x + my = m + Bài 10: Tùy theo m tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = mx + y + + x + VI)Hệ có chứa mũ, logarit, căn: 1)Dạng: Là hệ có phương trình có chứa mũ logarit 2)Cách giải: Thường biến đổi để tìm mối quan hệ trực tiếp x&y, thay vào pt lại, có hệ ẩn không chứa mũ, logarit 3)Bài tập: Bài11: Giải hệ phương trình sau: -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 27 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - 3x   x log + log y = y + log 2 b)   x log 12 + log x = y + log y 3   2(log y x + log x y ) = a)   x y =  sinx y cos y = 11 4 +  log x − = 15 c)  d)  y y +1 3 log x = + log x  sinx cos y =2 5.16 − 2.3 * a) (2;4);(4;2) b) (1;2) π 5π π + k 2π ; y = ± + k 2π d) c) x = + k 2π ; x = 6 VII) Hệ dùng điều kiện cần:  x + xy + y = m + Bài 12: m? hệ  có nghiệm  x + xy + y = m  xy + x = m( y − 1) Bài13: m? hệ  có nghiệm  xy + y = m( x − 1) VIII) Hệ dùng đồ thị:  mx + (m + 1) y = Bài 14: m? hệ  có nghiệm x + y = 2  x + y = 2(1 + m) Bài 15: m? hệ  có hai nghiệm thực phân biệt ( x + y ) = VIII) Hệ sử dụng phương pháp “ Sống chung với lũ”: Bài 16: 2  y = (5 x + 4)(4 − x)  xy + x + y = x − y a)  b)   y − x − xy + 16 x − y + 16 =  x y − y x − = x − y  x + xy + y = c)  d)  y + xy + x = * a) b) (5;2) c) (1;1), (-1;-3) d) -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 28 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - IX) Hệ dùng tính đơn điệu: Bài 17:  x − x = y − y  y (1 + x ) = x(1 + y ) a)  b)   x + y =  x + y = 1   x + − y + = x − y x − x = y − y c)  d)  2  x − 12 xy + y + =  x3 + = y   x − y sin x π e = sin y ; x, y ∈ (0; ) e)  3 x + + = y − y + + y   x11 + xy10 = y 22 + y12  x − y + y − x − f)  g)  2 2 7 y + 13x + = y x(3 x + y − 1)  x + − x − y − y = −1 + x = y = ; x = y = − b) c)d) ( 2; 2) e)f)g) 2 X) Hệ có phương trình đưa dạng tích: a) * a) x = y = ± XI) Hệ dùng phương pháp thế: XII) Hệ biến đổi để có phương trình đồng bậc: xy  = x2 + y x + x − 2x +  XIII) Hệ dùng phương pháp đánh giá:  xy y + = y2 + x  y − 2y + XIV) Hệ dùngphương pháp đặt ẩn phụ: IX) Các dạng hệ khác: Tùy theo đặc điểm hệ, phương pháp thường dùng biến đổi để đặt ẩn phụ, đưa dạng tích, dùng tính đơn điệu, bất đẳng thức để đánh giá, … Bài 8: a) -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 29 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - 1  x + x + y + y =  c) m? hệ  có nghiệm 1 3 x + + y + = 15m − 10  x3 y3 d)  a2 x = y +  y  e) CM hệ :  có nghiệm với ∀a ∈ R 2 y = x + a  x 1 b)x = y = a) (1; 2); ( ;1) c) x = y = 0; x = y = 2 Sơ đồ tư để giải hệ phương trình Hệ phương trình Đánh giá, c/m VN Đối xứng I Đối xứng II Đ/cấp ẩn phụ Đơn điệu crame Đồ thị Thế (Đơn,Cụm) Đồng bậc Có pt bậc Hệ mũ, log, căn, Sống chung với lũ Điều kiện cần -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 30 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - HỆ PT TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM TRƯỚC: Bài9:   x + y + xy + xy + xy = − ( A08 ) a)   x + y + xy (1 + x ) = −  4 2  x + x y + x y = x + ( B08 ) b)  = 6x +  x + xy  xy + x + y = x − y (D )  c)  x y − y x − = x − y 08  x − my = d)  m?hệ có n0 thỏa xy < 0( ACD 08 )  mx + y = 1  x + x Y + y =  m − 10 m? hệ có n0 thực ( D07 ) e)  1 3 x + + y = 15 x3 y3  e − e = l n(1 + x ) − l n(1) y ) f)  CMR ∀a > hệ có n0 ( D06 ) y − x = a   x − + − y = log ( y − x) − log y = (B05 ) h)  ( A04 ) g)  3log (9 x ) − log y = 2  x + y = 25    x + y = x − x = y − y m ? hệ có n0 ( D04 ) k)  ( A03 ) i)   x x + y y = − 3m 2 y = x3 +  -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 31 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh -  y2 + y =  x2   x − y = x − y ( B ) m ) ( B02 ) l)   03 x + x + y = x + y + 3 x =   y2  x + y − xy =  x log8 y + y log8 x = ( A ) o)   n)  x + + y + = 06 log x − log y =  lg( x y ) = −4   x + y + − x + y = log x − log x < q)  r)  p)  x 3 x + y =  x − 3x + > lg( y = 11   x + y = 2m − Bài10: a)  a, m? hệ có n0 b, m ?hệ có n0 thỏa xymax 2  x + y = m + 2m −  x + y = 2(m + 1) b)  m? hệ có nhất1 n0 thỏa x>o, y>0 ( x + y ) = 2  x + my = m − c)   mx + y = m? hệ có nghiệm  y = x − x + mx d)  m? Có nghiệm!  x = y − y + my 2  x − y + a( x + y ) = x − y + a e)  a,b? hệ có n0 phân biệt  x + y + bxy =  x + y = a  x − 3x + ≤ n f)  hệ có g)  m có n0 nghiệm x − x x − m − 15 m ≥ x + y − xy = a     x − x + ≤ h)  m có ;m?có nghiệm!  x − 2( m + 1) x + m + m ≤ -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 32 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ& LOGARIT A)Lý thuyết : * MŨ: I)Công thức mũ: ( với điều kiện vế có nghĩa ) M N M N N N N 4) ( a.b) = a b : a N = a M − N 3) (a ) = a M −N 6) a 7) n M 8) a = 1; a = a = N n a = a a x II)Hàm số mũ: -Dạng: y = a (0 < a < 1) -Mxđ: D = R ; Mgt: T = (0; +∞)  y ' > 0, ∀x ∈ R a > x ⇒ Hàm số đồng biến R -BBT: y ' = a ln a ⇒  y ' < 0, ∀ x ∈ R < a <  a > , nghịch biến R < a < = aM +N a aN 5) ( ) N = b bN 1) a M a N 2) a M -Đồ thị: III)Phương trình, bất phương trình mũ: Cho • • < a < , ta có: a =a ⇔M =N a M = N ⇔ M = log a N M N  M > N a > aM > aN ⇔   M < N < a <  M > log a N a > • aM > N ⇔   M < log a N < a < Các bpt có dấu ≥ dạng ngược lại dựa vào a > < a < để xét *LOGARIT: Nhắc lại: log a N có nghĩa < a ≠ • 1) Công thức logarit Với điều kiện vế có nghĩa, ta có : 2) log a ( M N ) = log a M + log a N N = M ⇔ N = aM M α 3) log a 4) log a M = α log a M = log a M − log a N N log M M 5) log α M = 6) M = log a a = a a log a M a α 7) log a a = 1; log a = 8) a logb c = c logb a log c b ; log c a.log a b = log c b; log a b = 9) log a b = log c a log b a 1) log a Chú ý: Với M ≠0 log a M n = 2n.log a M II) Hàm số logarit: -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 33 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh -Dạng: y = log a x (0 < a ≠ 1) -Mxđ: D = ( 0; +∞ ) ; Mgt: T=R  y ' > 0, ∀x ∈ R a > y ' = a x ln a ⇒  ⇒ H àm số đồng biến R  y ' < 0, ∀x ∈ R < a < a > , nghịch biến R < a < - BBT: -Đồ thị: III)Phương trình, bất phương trình logarit: Với • • < a ≠ , ta có: M = N log a M = log a N ⇔   M > (hay N > 0) N log a M = N ⇔ a = M  M > N > a > log a M > log a N ⇔  0 < M < N < a <  M > a N a > • log a M > N ⇔  N 0 < M < a < a < Các bpt có dấu ≥ dạng ngược lại dựa vào a > < a < để xét • B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Dạng1: Có sẵn dạng biến đổi đưa dạng bản: Bài1:Tìm miền xác định hàm số: y = log ( *D 1 − ) 1− x 1+ x ) ) =  −1 − 2; −1 ∪  −1 + 2;1 Bài2:Giải phương trình, bất phương trình sau: a) x 17 10   * x ∈  0; ÷∪ ( 2012; +∞ ) 2012   *x x (0,125) x = b) + log x 2012 < x − x −1 1 (BK, Luật) ≥ ÷ 3  x − 3x +  d) log 0,5  ÷ ≥ (2008D) x   c) x2 + x e) log x (5 x = *x≥ − x + 3) > *  m) log x − x + log ( x + 1) * 0 < x < 3  1 < x <  l) Dạng2:Đặt ẩn phụ Bài3:Giải phương trình, bất phương trình sau: a) ( 2− b) 41+ ln x ) x ( + 2+ ) x =4 *x ( + ) − 16 ( − ) = 8.2 d) ( 26 + 15 ) + ( + ) − 2(2 − x x x ) = log x ( 2+ 2) + x 2− log x log x x x e) log ( x + f) e2 x = log −3 (4 + 2) * *x − 6ln x − 2.32 +ln x = c) ( log x = + x2 = 3) x = *x ) = ±2 = *x =0 *x =1 -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 35 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh g) log x = log ( x − 2) h) log (4 i) log (2 x +1 + ) log (4 x + 1) = log k) − 9.2 l) 4log (2 x ) m) log n) x2 + x (4 x ) + 144 ) − log < + log (2 x− + 1) lg ( x − 1) + lg ( x − 1)3 = 25 Bài 4: Biết số hạng thứ tư khai triển =0 ≤ x ≤ log * x = −1; x = *x= + 22 x+ = − x log = 2.3log2 (4 x *x * log 2 x +1 = 49 − 1).log (2 x+1 − 2) ≥ −2 x *x o) ( x 1+ lg x Dạng 3: Đưa dạng tích Bài5:Giải phương trình, bất phương trình sau: a) 8.3x + 3.2 x = 24 + x (2006B) 32 x − 8.3x + + x) 12 x +4 − 9.9 200 Tìm x+4 >0 x * x = 10; = 1; x = 1 b) x *x= ( x + − x − 2) = x + − x − 2 2 x − x − x − + x − + c) x (9 −3 )=3 −3 + x − 18 * x = 2; x = x x d) x.2 = x (3 − x ) + 2(2 − 1) * x = 0; x = e) 2 16 log (3x − 4)6 log x = log x + log (3 x − 4)  * x = 1; 2; ( ) Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu, đánh giá: Bài6: Giải phương trình, bất phương trình sau: a) 3x = 13 − x b) c) +4 =5 x ( x 2+ x ) +( x 2− ) x = 2x x * x=2 *x =2 *x =2 = −1 * x =1 *x=4 * VN x + 3x = x e) 2.2 x + 3.3x ≥ x − f) log ( x − 1) = − x *x d) g) a *x + b x = c x (0 < a < c < b) -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 36 1000 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh h)  x2 −  log 2015  ÷ = x − 3x + 2 x + x +   *x =1 Dạng 5: Sử dụng phương pháp logarit hóa Bài 7: Giải phương trình, bất phương trnhf sau: a) Dạng 6: Những toán có tham số: Bài7:Cho phương trình log 32 x + log32 x + − 2m − = 0(1)( K A − 2002) a) Giải m = *x = 3± b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 1;3    *0 ≤ m ≤ Bài8:Cho phương trình: ( x − 2) log 4( x − 2) = 2m.( x − 2)3 (1) *x a) Giải m = b) m? (1) có hai nghiệm x1 & x2 thỏa = ;x =5 ≤ x1 < x2 ≤ * ≤ m ≤ 4 Bài9:Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình: log x − x + m + log ( x + x + m ) ≤ thỏa với ∀x ∈ [ 0; 2] * ≤ m ≤ m.4 x − (2m + 1)2 x + m − = x1 & x2 thỏa x1 < < x2 < * −2 < m < Bài10: m? phương trình: có nghiệm Bài11:Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình: + log ( x + 1) ≥ log (mx + x + m) thỏa với  Bài12:Cho bất phương trình: log 25 ( x − 1) ≥  log  ∀x ∈ R * m ≤ 2; m ≥ ?  ÷.log ( x − 1) (1) 2x −1  a) Giải (1) b) m?để nghiệm bpt (1) nghiệm bpt x x −3 ≤ m C) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài1:Giải phương trình, bất phương trình sau: a) log x −3 (3 − − x + x ) = c) log ( x + 14) + log ( x + 2) < log 1 9.4 x − 5.6 x < 4.9 x d) x 4−log x < 32 -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 37 b) Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh e) g) log (2 x − 1).log (2 x+1 − 2) > −2 x 25 x − 2(3 − x).5 + x − = f) (log x 2) ( log x ) = log 42 x h) log ( x − 1) + x − ≤ log (3 x + x + 2) + > log (3 x + x + 2) i) Hướng dẫn: a) log x −3 (3 − − x + x ) = (a) Đ/k: < x + ≠ ⇔ −3 < x ≠ (a ) ⇔ x + = − x − Xét trường hợp để bỏ giá trị tuyệt đối − 29 TH1: x ≥1 TH2: −3 < x < 1( x ≠ −2) (a ) ⇔ x + = + x Giải, so đ/k có x = −3 + b) x (a ) ⇔ x + = − x Giải, so đ/k có x = x 9.4 − 5.6 < 4.9 x (b) 1  x  x  x Chia vế cho > , (b) ⇔  ÷ +  ÷ < Đặt t =  ÷ > có 9 3 3 4 9t + 5t − < ⇔ −1 < t < Do t > , chọn < t < ; S = (0; ) 9 c) log ( x + 14) + log ( x + 2) < log (c) Đ/k: x > −2 Đưa số 2, ta x (c ) ⇔ log ( x + ) ( x + 14 )  < log 64 ⇔ x + 16 x + 36 < ⇔ −18 < x < So đ/k chọn S = ( −2; ) x > Lấy logarit vế theo số 2, ta có: ( + log x ) log x < ⇔ −5 < log x < ⇔ < x < 32 x x+1 log (2 − 1).log (2 − 2) > − 2 e) (e) ĐK: x > d) x − log x < 32 (d) Đ/k: (e) ⇔ Đặt − log(2 − 1) log 2(2 x − 1) > −2 ⇔ log (2 x − 1) 1 + log (2 x − 1)  < x t = log (2 x − 1) ⇒ t (t + 1) < ⇔ −2 < t < hay -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 38 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - < x − < ⇔ log < x < log 4 f) ( thỏa) (log x 2) ( log x ) = log 42 x (f) (f) ⇔ ĐK: < 1 x ≠ ; ;1 1 = ⇔ log x(1 + log x) = + log x) 2 log x.log (2 x) log (4 x) 4 ⇔ x = 23 = 2 x x g) 25 − 2(3 − x).5 + x − = (g) : Cách giải giống 3đ.Đáp số x = h) log ( x − 1) + x − ≤ (h) Đặt f(x)=VT (h) f liên tục tăng lên (1; +∞) có = f (5) nên: ⇔ f ( x) ≤ f (5) ⇔ < x ≤ ⇔ log x = − i) log (3 x + x + 2) + > log (3 x + x + 2) (i) Đặt: t = log (3 x + x + 2) + ⇒ log (3 x + x + 2) = log (3 x + x + 2) = 2t (1) thành: t + > t ⇔ −1 < t < Do đk t ≥ ta chọn: ≤ t < , tức là: ≤ log (3x + x + 1) < ⇔ ≤ log (3 x + x + 2) <   ⇔ ≤ 3x + x + > ⇔ x ∈ (− ; −1) ∪  − ;1÷   Bài2: Giải phương trình; bất phương trình sau: a) 25 x c) b) + 15x = 2.9 x 3x − 6.2 x − 3( x −1) ( x − 1) log + log ( x x +1 + 3) = log (11.3x − 9) d) log ( x + 1) e) log ( x 2 + = log x ) = x2 + 8x − ≤ x +1 12 = 2x − x + log (4 + x) + x − 1) − log x = 2.x − x g) x + log (9 − i) log 2 + h) log ( x − 1) + 1g ( x − 1)3 = 25 x + log x = k) 4lg(10 x ) f) 1g − 6lg x = 2.3lg(100 x ) Hướng dẫn: a) Chia vế cho x x ; đặt ẩn phụ : t = (5 / 3) -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 39 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh b) Phương trình cho viết lại : 23 x − 6(2 x − x ) = Đặt ẩn phụ t = − x **x = 3x 2 x −1 x −1 x c) Biến đổi phương trình cho dạng: (3 + 3) = 11.3 − x Đặt t = > **x = 0; x = d)Đk: ( x ≠ 1; −4 < x < 4) 23 x − ⇔ x + = 16 − x ** x = 2; x = − 24 e)Đk x > Phương trình cho viết lại: log ( x + + 1) = − ( x − 1) Đánh giá vế có: ** x = x f) Đặt ẩn phụ ** x = 11 x = 1,1 ** g) Biến đổi ẩn phụ x = 0; x = h) Đặt ẩn phụ ** x = PT cho x2 + 8x = 0< ≤ x +1 Giải hệ có: −4 − < x ≤ −5; −4 + 17 < x ≤ k)Đk x = Bpt ⇔ 4.4lg x − 6lg x = 18.9lg x Từ đóchia vế 9lg x đặt ẩn phụ tìm x = 1/ 100 x x Bài3: m? Thì bpt + m.2 + m + ≤ 0(1) có nghiệm HD: t = x > ⇒ t + mt + m + ≤ ⇔ m(t + 1) ≤ −t − ⇔ i) Bất phương trình cho tương đương với −t − = g (t )(2) t +1 (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t > ⇔ m ≤ m axg (t ) = −1 ⇒ m≤ Bài4: Tìm a để bpt: HD: Đặt log x + a > log x chọn m ≤ −1 (1) có nghiệm t = log a + x ≥ ⇒ log x = t − a t > t − a ⇔ a > t − t = g (t )(2) (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 t ≥ ⇔ a > g (t )(t ≥ 0) = g ( ) = − Vậy chọn: a > −1/ (1) thành: -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 40 ... -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 10 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - -Chuyên đề: Phương trình, bất. .. -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 22 Luyện thi đại học theo chuyên đề, năm 2016 G/viên: Ngô Khánh - -Chuyên đề: Phương trình, bất. .. tìm mối quan hệ trực tiếp x&y, thay vào pt lại, có hệ ẩn không chứa mũ, logarit 3)Bài tập: Bài11: Giải hệ phương trình sau: -Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình