Chuyên đề II phương trình lượng giác

Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A)LÝ THUYẾT: • Cần thuộc lòng công thức lượng giác, nắm vững phương pháp giải dạng phương trình sau: Phương trình lượng giác Phương trình bậc 2, 3,…đối với hàm số lượng giác P/trình bậc sin & cos ( phương trình cổ điển) : a.s inu + b.cos u = c Phương trình đẳng cấp bậc 2, 3,4, … a.cos 2u + b sin u.cos u + c sin u = d (B2) a.cos3u + b sin u.cos u + c sin u.cos 2u + d cos 3u + e.cos u + f sin u = (B3) P/trình đối xứng, phản xứng: a (cos u ± s inu) + b sin u.cos u + c = • Để giải phương trình lượng giác thường biến đổi đưa dạng kể trên, đưa dạng tích đặt ẩn phụ Chú ý đặt điều kiện (nếu cần) kiểm tra lại điều kiện trước kết luận nghiệm Thường dùng đường tròn lượng giác thay biểu thức nghiệm vào bất đẳng thức điều kiện để chọn k thích hợp • Cần sử dụng công thức cách phù hợp để đưa phương trình dạng nói Ví dụ 1: Giải phương trình: a) cos2x = cosx+sinx → biến đổi cos2x = cos x − sin x để đặt thừa số chung → biến đổi cos2x = 2cos x − để đưa phương trình bậc hai theo cosx ` b) cos2x = cosx → biến đổi cos2x = − 2sin x để đưa phương trình bậc hai theo sinx a) cos2x = sinx • Cần thuộc công thức thường dùng như: 1 + cos x + cos4x cos x + sin x = − sin 2 x = = 2 + 3cos x + 3cos4x cos6 x + sin x = − sin 2 x = = 4 4 cos x − sin x = cos2x ± sin x = (cosx ± sinx) π π cosx ± sinx = 2cos( mx) = sin( ± x) 4 • Khi đặt nhân tử chung cần ý đến biểu thức có nhân tử chung: Ví dụ: - Những biểu thức có chứa nhân tử cosx + sinx là: cos2x – sin2x ; cos3x+sin3x; cos4x-sin4x; π cos3x – sin3x; 1+tanx; 1+cotx; cotx-tanx; sin( x + ) ; - Những biểu thức có chứa nhân tử 1+sinx cos2x, 1+sin3x, - Cần ý đến phân tích tam thức bậc hai theo hàm số lượng giác thành tích, ví dụ: 2sin2x – 5sinx + = 2(sinx-2)(sinx -1/2) =(sinx-2)(2sinx-1) B)BÀI TẬP: • Phương trình lượng giác có điều kiện: Bài 1:Giải − x (sin 2π x − 3cos π x) = *x = ± 2; ± 1; ± sin x = *VN Bài 2: 5sin x + cos x + cos x + cos 3x = (3 − sin x) * k 2π Bài 3: cos x + cos x − π π *mπ ; + m Bài 4: cos 3x.tan x = sin x 20 10 • Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ có chứa sin 2a, cos2a, tana; cota (Đặt t = tana) *kπ ; are tan( x = ± − 3) π * + Kπ / Bài 6: sin x + cos x + tan x = π * + kπ / Bài 7: tan x + cot x = sin x • Phương trình có chứa biểu thức cos α ± sin α π Bài 8: cos x.cos x − sin x = − sin x.sin x * kπ ; − + kπ cos x − sin x cos x π = *- + k 2π / Bài 9: cos x + sin x − 18 π π π π Bài 10: 8sin x.cos x = 3.sin x + cos x * + k ; − + k 12 24 sin x + sin x + sin x π = * + kπ Bài 11: cos x + cos x + cos x 2π 6π 53π 35π 59π ; ; Bài 12: cos x − sin x = − 2; x ∈ ( ; ) * 84 84 84 π 2π 7π 2π * +k ; k Bài 13: 3sin x − cos x = + 4sin x 18 54 • Pt đối xứng,phản xứng, pt chứa cos α + sin α & cos α sin α π π 1− Bài 14: cos3 x + sin x = 2.cos x.sin x* + k 2π ; ± arccos + k 2π 4 π *k2π ;- + k 2π Bài 15: sin x + 4(cos x − sin x) = 1 π + + tan x + cot x = −2* − + kπ Bài 16: cos x + sin x + cos x sin x • Phương trình đẳng cấp bậc bậc π * + kπ , x = arc cot + kπ Bài 17: sin x − 3sin x cos x = −1 π *kπ ; + kπ Bài 18: sin x + cos x = cos x 3 2 Bài 19: 2sin x − sin cos x + 2sin x cos x − cos x = 0*arctan + kπ • Phương trình bậc cao đối xứng sin x & cosx:Hạ bậc → cos 2a , đặt ẩn phụ t = cos 2a 17 π π 8 * +k Bài 20: sin x + cos x = cos x 16 π 6 *k Bài 21: sin x + cos x = • Phương trình đưa dạng tích: ( thường gặp đề thi) 3π π * + kπ ; + k 2π Bài 22: cos x + cos x + sin x = Bài 23: cos x + sin x + (cos x + sin x) sin x = sin x + cos x 3π π * + kπ ; k 3 − sin x − cos x π π Bài 24: = k 2π ; + kπ ; ± arccos(1 − ) + k 2π * cos x − s in x 4 • Phương trình lượng giác có chứa mũ, logarit, đại số… Bài 5: sin x = tan x Bài 25: (3 + 2) tan x + (3 − 2) tan x = *k Bài 26: 9sin x + 9cos x = • Đặt ẩn phụ: Bài 27a) cos 4x = cos x b) cos x = cos x + tan x *± π *k 3π ; ± *− π + kπ π 3π +k π 1− + kπ ; kπ ;arctan + kπ π π + k 2π ; ± + k 2π π Bài 29: + tan x + 4(tan x + cot x) − = * − + kπ sin x • Phương trình có chứa căn, π * − + k 2π ; π + k 2π Bài 30: + sin x + cos x = 3π π 5π + (2m + 1)π Bài31: 2sin( x + ) = + 8sin x.cos x * + m2π ; 12 12 2π *− + k 2π Bài 32: cot x = tan x + sin x π 4 *k Bài33: cos x + sin x = cos x + sin x • Phương trình lgiác có cách giải đặc biệt( không mẫu mực) : p chặn Bài 34: cos15 x + sin 24 x = * kπ / =2 Bài 35: cos x + * k 2π cos x Bài 36: sin x.sin x = * VN π Bài 37: (cos x − cos x) = + sin x * + k 2π π Bài 38: cos x + tan x − cos x + tan x + = * − + k 2π • Phương trình lượng giác có tham số Bài 39: m? phương trình sau có nghiệm * ≤m≤0 a) sin x + cos x = m(sin x + cos x) m b) m sin x + (m + 1) cos x = * m ≤ −4; m > cos x n0 x ≠ kπ Bài 40: m?pt sin 2( x − π ) − sin(3 x − π ) = m sin x có * − ≤ m < 1;1 < m < π Bài 41: m ? pt cos x − cos x + m cos− = có 7n0 ≠ ∈ (− ; 2π )*1 < m < 3π + 4sin( − x) tan ϕ có n0 * ϕ = π + k π ϕ ? pt : Bài 42: = sin x + tan ϕ Bài 28: 3cot x + 2 sin x = (2 + 2) cos x * ± Biến đổi thành phương trình chứa hàm số lượng giác (Bậc nhất, hai, ba ) 2+3 1.DBA06 cos x cos3 x − sin x sin x = ± 3.D_2009 cos x − 2sin x cos x − sin x = x= π π +k 16 π π π  2.DBD07 2 sin  x − ÷cos x = x = + kπ ; x = + kπ 12   x  3B06 cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2  4.B0 sin x + cos x sin x + cos x = 2(cos x + sin x) π π 2π + k2π, x = +k 42 (1 − 2sin x) cos x π 2π = x =− +k 5.A_2009 (1 + 2sin x)(1 − sin x) 18 x=− π 5π +kπ; +kπ 12 12 4.A_2005 cos 3x cos x − cos x = x = k π (k ∈ Z ) π  π  4 5.D05 cos x + sin x + cos  x − ÷sin  x − ÷ − = 4  4  x= 6.DB _03 π 5π + k2π; +k2π 6 x= x= 3cos x − sin x = 10.DBA 03 cos x + cos x ( tan x − 1) = 10.DBA_2005Tìm no (0; π) π + k 2π , π + k 2π =0 x= 4sin 5π + 2kπ x 3π  − cos x = + cos  x −  x=− x = kπ ; x = ± 2π + k 2π 2 1.B-10 (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = π π x= +k 2.D-10 sin x − cos x + 3sin x − cos x − = π 5π x = + k 2π, x = + k 2π 6 1  7π  + = 4sin  − x÷ 3π  3.A_2008 sin x    sin  x − ÷   π + k 2π 16.DBB.03 3cos x − 8cos x + cos x + = x=− π π + k , kπ sin x.sin x + cos x cos3 x =− 17 tan  x − π  tan  x + π   ÷  ÷     x=− π + kπ x=− x= sin x x= π + 2k π x= x= 20 cos10 x + 2cos x + 6cos3x.cosx = cosx + 8cosx.cos 3x 7π   ÷− 3cos  x −   kπ ; x=- ; x4 = ; x5 = x= 25 x=− tan( π − x ) tan( π + x) x=± tan x + cot x ( cos x − sin x ) cot x − x=− sin x + cos x = ( tan x + cot x ) sin x 29 = π π + k2π; x = - + kπ cos x π + sin x − sin x + kπ + tan x π π 2 x x 11.D03 sin  − ÷tan x − cos = π + k2π; - +kπ 2 4 10.A03 cot x − = π k π  (1 + sin x + cos 2x)sin  x + ÷ 4 26.A-10  = cos x + tan x π 7π x = − + k 2π , x = + k 2π 6 27 cos x + 2 sin x sin x − cos x − = π x = ± + kπ 28 π 2π + kπ ; x = ± + k 2π 9.D_2004 (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x − sin x + cot x cot x + ( sin x + cos x ) = x = π + k π 4 cos x = cos 4 x π π 2π 5π 2π + k 2π ; x = + k ;x = +k 18 18 8.B_2005.1 + sin x + cos x + sin x + cos x = π 2π  2 2 23 Cos  x + ÷+ Cos  x + ÷ = (s inx + 1) 3    π 5π x = k 2π , x = + k 2π , x = + k 2π 6 sin x + cos x π π + kπ; x = + k2π; x = k2π 7.B_2007 2sin 2 x + sin x − = sin x  ÷= + sin x , x ∈ (π/2;3π)  13π 5π 17π x1 = π ; x2 = 2π ; x3 = π 2π + kπ ; x = ± + k 2π 6.A_07 (1 + sin x) cos x + (1 + cos x) sin x = + sin x x = k 2π x= π kπ π + ; x = − + kπ 5.D_2008 2sin x (1 + cos x) + sin x = + cos x π + k π ; (k ∈ ¢ ) 21 sin6 x + cos x = cos x π π 5π + kπ ; x = − + k π ; x = + kπ 8 4.B_08 sin x − cos x = sin x cos x − sin x cos x 18 sin x.(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2sin x 24 π π kπ + kπ, + 12 36 3.Biến đổi thành phương trình tích 15.DB.D_2008 4(sin x + cos x) + cos x + sin x = 5π 3cos4x = 4cos x − x π −π 7π + k 2π , + k 2π , + k 2π 6     π 3π 5π 7π ;x = ;x = ;x = 2 2 14.DB_2008 3sin x + cos x + sin x = sin x cos 22 sin  x + π  π kπ 2π + ,x = − kπ 24 12 2cos  − 2x ÷+ 13.D02 Tìm x ∈ [ 0;14] cos x − cos x + 3cos x − = 19.2tanx + cotx = +  5π 17π 5π ÷ 18 ; 18 ;  11 2sin x + 3cos3 x + sin x = 12.D_2006 cos 3x + cos x − cos x − = x= cos x + sin x x = 2π / + k 2π / 3; x = π + k 2π 2 − 2sin x 7π +k2π; x=kπ 9.DB-D _2004 sin x + sin x = ( cos x + cos x ) π sin x + cos x 1 ± + kπ = cot x − 5sin x 8sin x 2(cos x + sin x ) − sin x cos x 2π + kπ π  8.DB_A_06 2sin  x − ÷+ 4sin x + = 6  cos 3x + sin x   π 5π  sin x + ÷ = cos x + x = ; x = + 2sin x   x π π  − ÷   = + kπ 7.DB_A_ 2cos x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x) π x=± +kπ sin x 8.A_2002 Tìm nghiệm x ∈ (0;2π) củapt: 11.A_06 2 7.B_2003 cot x − tan x + 4sin x = ± ( − ) cos x − 2sin cos x − π + kπ 6.B04 5sin x − = 3(1 − sin x) tan x 9.DB _2002 π π π π − k hay x = − − k 18 12.B_02 sin x − cos x = sin x − cos x 13.DB.A08 tan x = cot x + cos 2 x kπ kπ , π π π π + k ,− + k π π   14.DB.A08 sin  x − ÷ = sin  x − ÷+ 4 4   π π + kπ , ± + k 2π π + k 2π 4 VN π π   15.DB.B_2008 2sin  x + ÷− sin  x − ÷ = 3 6   Phương trình bậc với sin cos x  x 1.D_07  sin + cos ÷ + cos x = 2  π π + kπ , x = + k π 1 − = cot x 16.DB.A07 sin x + sin x − 2sin x sin x x=− π π +k2π; - +k2π 2.CĐ_2008 sin x − cos 3x = 2sin x x= π 4π 2π + k 2π , x = +k , ( k ∈Z) 15 x= π π +k 3x  5x π   x π 17.DB.B07 sin  − ÷− cos  − ÷ = cos  4 2 4 x= π 2π π +k ; x = + k 2π ; x = π + k 2π 3 x= 18.DB.B07 sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x sin x cos x + = tan x − cot x cos x sin x π 3 3.DBA_2005 2 cos  x − ÷− 3cos x − sin x = 4  π + k 2π x=± x= π kπ;- +kπ 19.DB.D07 (1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x 2 21B_2006 cos x + ( + cos x ) ( sin x − cos x ) = π π + kπ ; x = ± + n 2π π x = + kπ 6.sinx−4sin3x+cosx =0 4sin x + 3cos3 x − 3sin x − sin x cos x = π π + k π , ± + kπ π x = + kπ Sin2 x + tan x = π kπ , − + k π , Cos x − sin x = + sin x 2 10 3cos x − 4sin x cos x + sin x = π π x = ± + k π , x = ± + kπ 22.DB.06 cos3 x + sin x + 2sin x = π π + kπ ; k 2π ; − + k 2π 23.DB.D_2006 4sin x + 4sin x + 3sin x + cos x = x=- π 2π + k2π; x = ± + k2π sin x π 5π  3π  + k2π; + k2π − x ÷+ =2 6   + cos x 24.DBD05 tan  π 1  = 25.DB.B _2004 2 cos  x + ÷+  sin x cos x  26.DB.D03 cos x ( cos x − 1) = ( + sin x ) sin x + cos x − 27.DB.D _2003 cot x = tan x + ± 29 tan ( − sin x +1 = ) x sin x 3x  π x  π x = + k 2π ÷ = 3.sin  − ÷   2 π π π 2.sin(2x - ) = 5sin(x - ) + cos3x x = + kπ 6 π 5π π π 3.2cos( x + ) = sin3x - cos3x − + kπ , + kπ , − + kπ 12 6 k 2π 2sin x + 2sinx - = 2sin2x + 2sin2x - π k 2π 5π k 2π + , + 18 18 cos x 30.DBA03 − tan x ( tan x + sin x ) + cos x = 31 3cos x − sin x = π 4  sin  + 2π + kπ 28.DBA 02 tan x + cos x − cos x = sin x ( + tan x tan 2x ) Giải phương pháp đặt ẩn phụ góc phụ π + k 2π , π + k 2π 2 cos x sin x ± p x = + k2p,k Î ¢ π k 2π , ± + k 2π , cos x Cos2 x + = 2(2 − cos x)(s inx − cos x) π + k 2π , π + k 2π π x = − + nπ ; x = kπ2 7.2sin3x – cos2x + cosx = cos x − 8cos x + = π + kπ 3 cos x + sin x π π π + kπ , + k 2π , + k 2π 32.DB.D_2005 sin x + cos x + 3sin x − cos x − = x= x= π π 5π + k2π; x = π + k2π; x = ; x = +k2π 6   34 2cos2x + sin2xcos x + 3π sin x + cos8 x = π + k 2π 33.9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x =   π ÷− 4sin x + ÷ = 4   π 3π x = − + kπ ; x = k2π ; x = + k2π π 35 sin x.tan x + 3(sin x − tan x) = 3 − + k π  π  36 sin  3x − ÷ = sin x sin  x + ÷ 4 4   π   x=± π π + kπ π 37 tan  x − ÷tan  x + ÷.sin x = sin x + sin x 6  3  kπ 2π ,− + kπ 38 cos x − 4sin3 x − 3cosx.sin x + sinx = − π   39 ( sin x − cos x ) = tg  x − ÷   π π + kπ ,± + mπ π 2π + kπ , ± + k 2π π π kπ +k , 40.sin23x - sin22x - sin2x = 41 sin x ( cos x + ) − 3cos x − 3cos2 x + ( ) cos x − s inx − 3 = x= π + kπ , x = k 2π π  42 sin  x + ÷ = 3sin x + cos x + 4  π + k 2π , π + k 2π sin x π cot x + = sin( x + ) 43 sin x + cos x 2 − x= π π t 2π + kπ ; x = + ( 2 π 44 sin x sin x − cos x sin x + = cos x − ) x = π + 2k π 45 (1 + sin x)2 = cosx  x = k2p, x = - π 47.cos3x+cos2x+2sinx–2 = p + k2p π + kπ 2 46 sin  x − ÷ = sin x − tan x   x = k 2π ; x = x = kπ x=− π π x + kπ; + k2π; π + k2π − π π +kπ; x= +kπ π  4.cosx = 8sin3  x + ÷ 6  2 5.tanx.sin x−2sin x=3(cos2x+sinx.cosx) π π 20.DB.B06 (2 sin x − 1) tan x + 3(2 cos x − 1) = ± +k 2 π kπ π + ; x = − + kπ π + n 2π Phương trình đẳng cấp 1.DBA_04 4(sin x + cos3 x) = cos x + 3sin x π π + kπ , ± + kπ 17 32 x= π π +k Luyện thi đại học môn Toán 2012 Giáo viên: Ngô Khánh Chuyên đề 2: Phương trình lượng giác ... sin x * + k 2π π Bài 38: cos x + tan x − cos x + tan x + = * − + k 2π • Phương trình lượng giác có tham số Bài 39: m? phương trình sau có nghiệm * ≤m≤0 a) sin x + cos x = m(sin x + cos x) m b) m... môn Toán 2012 Giáo viên: Ngô Khánh Chuyên đề 2: Phương trình lượng giác ... 0*arctan + kπ • Phương trình bậc cao đối xứng sin x & cosx:Hạ bậc → cos 2a , đặt ẩn phụ t = cos 2a 17 π π 8 * +k Bài 20: sin x + cos x = cos x 16 π 6 *k Bài 21: sin x + cos x = • Phương trình đưa dạng