Chuyên đề 4

Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh Chuyên đề 4: Hàm số vấn đề liên quan • Vấn đề 1: Tính đơn điệu hàm số A) Tóm tắt lý thuyết: f có đạo hàm (a;b) - f '( x) ≥ ∀x ∈ ( a; b ) (*) ⇔ f db / ( a; b ) - f '( x) ≤ ∀x ∈ ( a; b ) (*) ⇔ f nb / ( a; b ) - f '( x) = ∀x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( x) = C ∀x ∈ ( a; b ) ( Dấu “=” (*) không xảy xảy số hữu hạn điểm) Chú ý: - f đơn điệu (a;b) liên tục đoạn [ a; b ] khoảng [ a; b ) ; ( a; b] f đơn điệu tập tương ứng - f , g liên tục & đơn điệu ngược ( hoặc1hàm đơn điệu, hàm hằng) K mà phương trình f(x)=g(x) có nghiệm K nghiệm nghiệm K - f liên tục [ a; b ] , có f (a) f (b) < pt f ( x) = có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) - f đơn điệu K với ∀u; v ∈ K : f (u ) = f (v) ⇔ u = v u ≥ v f db/K f (u ) ≥ f (v) ⇔  u ≤ v f nb/K B) Phương pháp giải toán: Bài1: Tìm khoàng đơn điệu hàm số sau: a ) y = − x3 − 3x + 24 x − b) y = x − x + x − d ) y = − x + x − e) y = g) y = k)y = x − 3x + x −1 x3 x2 − 3x + 2x − c) y = − x3 − 3x + 24 x − f ) y = 3x − − 2x − x2 − x + x2 − h) y = x + s i n x − i) y = l ) y = 25 − x m) y = x − x Bài 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số: -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh a ) y = x + (m + 3) x + mx − m đồng biến R *m = b) y = x + (m − 1) x + (m2 − 4) x + đồng biến R *m ≤ 1− 3 1+ 3 ;m ≥ 2 x3 − mx − x − nghịch biến mxđ * − ≤ m ≤ mx + d)y = đồng biến khoảng xác định *m < −2 x −1 m e) y = − x + − nghịch biến khoảng xđ *m ≤ x −1 c) y = m h) y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x − m đồng biến (2; +∞) *m ≤ 12 Bài 3: Chứng minh phương trình sau có nghiệm nhất: c) x − x − x − = (D 2004 ) b) x − x − = Bài 4: Sử dụng tính đơn điệu, chứng minh BĐT sau: a ) x > si n x ; ∀x > c) sin x > x − Bài5: Giải  π b) sin x + tan x > x ; ∀x ∈  0; ÷  2 x3 x2 ; ∀x>0 d )cosx > − ; ∀x ≠  x − cotx = y − coty  π ; x, y ∈ ( 0; π ) *x = y = π hệ:  x + y =  • Vấn đề 2: Cực trị hàm số A) Tóm tắt lý thuyết:  f dat cuc tri tai x ⇒ f '( x0 ) = 1) Điều kiện cần: ∃f '( x )  Ý nghĩa hình học: Tại điểm cực trị đồ thị có tiếp tuyến tiếp tuyến song song trùng với trục Ox 2) Điều kiện đủ thứ nhất: f có đạo hàm khoảng (a;b) có chứa điểm x0 - Khi x biến thiên qua điểm x0 mà đạo hàm đổi dấu từ + sang - f đạt cực đại x0 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh - Khi x biến thiên qua điểm x0 mà đạo hàm đổi dấu từ - sang + f đạt cực tiều x0 Lưu ý: Nếu x0 hàm số đạo hàm, cần f liên tục x0 định lý 3) Điều kiện đủ thứ hai: f  f f  f '( x0 ) = ⇒ f dat cuc tieu tai x "( x0 ) > '( x0 ) = "( x0 ) < ⇒ f dat cuc dai tai x B) Phương pháp giải toán: Bài : Tìm cực trị hàm số sau: a ) y = x − 3x + d ) y = −x + + x −1 g ) y = si n x b) y = − x3 + 3x − x + e) y = x − x − c) y = 2x2 + x + x +1 f ) y = x − x + 132 x − h) y = − x − x Bài 7:Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau có cực trị: b) y = x − 3mx + 3(2m − 1) x + * m ≠ a ) y = x − 3x + mx − *m < c) y = x + mx − *m >1 x −1 Bài 8:Tìm tất giá trị tham số m để hàm số: a ) y = x3 − x + mx − đạt cực tiểu x=1 *m = b) y = x + mx + đạt x+m cực đại x=2 *m = −3 Bài 9:Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 có cực trị * m ∈ (−∞; −3) ∪ (0;3) -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh Bài 10:Tìm a; b để cực trị hàm số y = a x + 2a x − x + b dương x0 = − điểm cực đại 81   a= a=−    25 * ; 400 36 b > b > 243   Bài11:Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau có cực trị, viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị tìm toạ độ điểm cực trị theo tham số m: x + (m + 2) x − m x +1 Bài12 : Định m để hàm số y = mx + có cực trị khoảng cách từ điểm x *m = cực tiểu đến tiệm cận xiên x + (m + 1) x + m + Bài 13: CM với ∀m ∈ R đồ thị hàm số y = có điểm x +1 a ) y = x3 − 3mx + 3(2m − 1) x + b) y = cực đại cực tiểu khoảng cách điểm 20 Bài14:Tìm tất giá trị tham số m để hàm số: a ) y = x3 − 3mx + 6mx + có điểm cực trị nằm phía oy b) y = − x3 + mx + có điểm cực trị nằm hai phía trục 0x m c) y = x3 − (m − 1) x + (m − 5) x + đạt cực trị x1 & x2 cho x12 + x22 > 24 x − 3x + m d)y = đạt cực trị cho yCD − yCT > x−m • Vấn đề 3: Giá trị lớn nhất, nhỏ A) Tóm tắt lý thuyết: 1) Định nghĩa:  f ( x) ≤ M ; ∀x ∈ D M = maxf ( x) ⇔  x∈D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh  f ( x) ≥ m; ∀x ∈ D m = f ( x) ⇔  x∈D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m Chú ý: Hàm số liên tục đoạn có gtln & gtnn đoạn 2) Cách tìm ymax; ymin : - Cách1: BBT Đặc biệt: Nếu f liên tục đoạn [ a; b ] cần tính y’, giải pt y’= tìm nghiệm x1; x2;…;xn (nếu có) khoảng ( a; b ) , tính f(a); f(b); f(x1); f(x2);…; f(xn) Từ kết luận số lớn ymax; số nhỏ ymin ( Không cần lập BBT) - Cách2: Đánh giá ( thường dùng sin u ≤ 1; cosu ≤ 1; A ≥ 0; Cauchy, Bunhia; ) - Cách3: Dùng điều kiện phương trình có nghiệm sau: y thuộc MGT hàm số  pt ẩn x: f(x) = y có nghiệm thuộc D Từ tìm điều kiện y, suy ymax , ymin B) Phương pháp giải toán: Bài15:( Cỏ thể dùng BBT) Tìm gtln, gtnn (nếu có) hàm số sau: a) y = x2 + x +1 x + x +1 + sin x + cos x d)y = + sin x + cos x ( x > 0) x b) y = c) y = x − + x − + x − a Bài16: Tìm GTLN; GTNN đoạn si n x ; x ∈ [ 0; π ] + cosx a ) y = x3 + 3x − x + 1; x ∈ [ −4; ] b) y = c) y = x + − x d ) y = x −1 + − x e) y = x3 + 3x − 72 x + 90 ; x ∈ [ −5;5] f ) y = cosx + si n x g ) y = x − x + (1 + x)(3 − x) i) y = h) y =  π 3π  ; x ∈  ;  − si n x 4  ln x ; x ∈ 1; e3  x -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh Bài17:( Nhiều biến) a) Tìm gtnn M = x + y + xy với x+y =1 x y b) Cho x ≥ 0; y ≥ Tìm gtln; gtnn A = y + + x + c) Tìm gtln; gtnn A = x2 + y2 ; ( x + y ≠ 0) x + xy + y d) Tìm gtnn P = x + y + + x + my − theo tham số m Bài 18:( Dùng đk để phương trình có nghiệm) Tìm gtln, gtnn: a) y = x x2 + b) y = 2sin x + 4s i n x.cosx + c) y = + cosx si n x + cosx − Bài19: (Đánh giá, thường dùng sin u ≤ 1; cosu ≤ 1; A ≥ 0; bđt Cô-si, Bunnhi-a; …) a) Tìm gtln, gtnn y = cos x + sin x + sin x + cos x a2 b2 + ; a > 1, b > a −1 b −1 π x; y ∈ (0; ) & tan y = tan x Tìm gtln b) Tìm gtnn A = c) Cho z = y − x d) Cho tam giác nhọn ABC Tìm gtnn P = tan A.tan B.tan C e) Cho x + y = Tìm GTLN & GTNN A = x − y Bài20: ( Các toán thực tế) a) Trong tất hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R, hỏi hcn có kích thước diện tích nhỏ nhất? b) Một bìa hình chữ nhật có chiều rộng 2cm; chiều dài 4cm Cắt bỏ góc hình vuông để gấp lại thành hộp không nắp Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích hộp lớn c) Cho tam giác ABC cạnh a; dựng hình chữ nhật MNPQ có M; N cạnh BC, P&Q nằm cạnh AC&AB Xác định vị trí điểm M diện tích hcn MNPQ lớn d) Trong tất hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R; hỏi hình trụ có kích thước thể tích lớn nhất? -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh e) Cho khối chóp S.ABCD có SA= x; cạnh lại có độ dài Tính VS.ABCD theo x, xác định điều kiện x để toán có nghĩa Định x để VS.ABCD lớn f) Định m để đường thẳng d: y = mx+m cắt đường tròn (C): ( x − 2) + ( y + 1) = điểm phân biệt A&B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I tâm đương tròn g) Một hình chóp tứ giác ngoại tiếp hình cầu bán kính R - Chứng minh thể tích khối chóp là: V = khối chóp) 4R x2 ( 3( x − R) x chiều cao - Tìm x để Vmax • Vấn đề 4: Tiệm cận A) Tóm tắt lý thuyết: - Đường thẳng d có phương trình x = x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thoả: lim f ( x) = +∞ ; lim f ( x) = +∞ ; lim f ( x) = −∞ ; lim f ( x) = −∞ x→x x→ x x→x x→x - Đường thẳng d có phương trình y = y0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thoả: lim f ( x) = y0 ; lim f ( x) = y0 x →+∞ x →−∞ - Đường thẳng d có phương trình y = ax + b(a ≠ 0) tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thoả: lim [ f ( x) − (ax + b) ] = ; lim [ f ( x) − (ax + b) ] = x →+∞ x →−∞ Chú ý:- TCN trường hợp đặc biệt TCX a = , nên x → +∞ x → −∞ mà đồ thị có TCX TCN & ngược lại -Nếu hàm phân thức có bậc tử lớn bậc mẫu đơn vị thực phép chia tứ cho mẫu để tìm tiệm cận xiên B) Phương pháp giải toán: Bài23: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: + a) y = − 2x + x −3 + b) y = x − + − x −1 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh c) y = x − 3x + 2x +1 d)y = x3 x2 −1 Bài24: Tuỳ theo m tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y = mx + x − x+2 mx − x − 3x + y = mx + có x b) y = Bài25: Tìm m để hàm số cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên Bài26:Tìm điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số y = 2x + x +1 cho tổng khoảng cách từ đến tiệm cận nhỏ Bài27: Cho hàm số y = mx + 3x + m x −1 Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ Ox; Oy điểm phân biệt A&B cho diện tích tam giác OAB (đvdt ) Bài28: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) hàm số y= x2 + x −1 x+2 biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên • Vấn đề 5: Khảo sát hàm số A) Tóm tắt lý thuyết: Thực bước: 1) Mxđ: 2) Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Tính y’; tìm nghiệm y’(nếu có); xét dấu y’ để suy khoảng đơn điệu hàm số - Tìm cực trị - Giới hạn, tiệm cận (nếu có) - Lập BBT 3) Vẽ đồ thị: - Tìm điểm đặc biệt ( Đối với hàm bậc 3, trùng phương phải tìm điểm uốn) - Vẽ đồ thị - Nhận xét tính đối xứng đồ thị -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh B) Phương pháp giải toán: Bài29: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: x3 + x2 + x −1 a ) y = x3 − x + x − b) y = − x + x − c) y = d ) y = x4 − x2 + x4 − x2 + 2 x+2 h) y = 2x +1 l) y = −x + x−2 f ) y = x3 − x + x + x +1 x k)y = 1− + x −1 g) y = − e) y = − x2 − 3x + x −1 x3 m) y = x −1 i) y = • Vấn đề 6: Các toán liên quan đến khảo sát hàm số Baì toán 1: Tìm điểm cố định họ đường cong A) Tóm tắt lý thuyết: Cho họ đường cong (Cm ) có phương trình: y = f ( x; m) (1) Điểm cố định họ đường cong (Cm ) điểm mặt phẳng mà đường cong (Cm ) qua Để tìm điểm cố định (nếu có) ta làm sau: - Từ pt (1), lấy m làm thừa số chung, ta có (1) A.m + B = A = - Điểm cố định điểm có toạ độ thoả hệ:  B = Giải hệ ta tìm  ( C ) điểm cố định họ m B) Phương pháp giải toán: Bài30:Tìm điểm cố định họ đường thẳng (dm): mx + y + m − = Bài31: Cho họ đường cong: (Cm ) : y = x3 − 3mx + 3x + 3m − Chứng minh đường cong họ qua điểm cố định Ox, từ tìm điều kiện tham số m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt x − 4m Bài32:CMR với ∀m ≠ ± đường cong ( H m ) : y = 2(mx − 1) qua 2 điểm cố định A; B có thêm điều kiện m ≠ tích hệ số góc tiếp tuyến A&B số -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh Baì toán2: Từ đồ thị (C ) hàm số y = f ( x) , suy đồ thị (C1 );(C2 );(C3 ); hàm số y = − f ( x); y = f ( x) ; y = f ( x ); A) Tóm tắt lý thuyết: - Đồ thị (C1 ) hàm số y = − f ( x) đối xứng với (C ) qua Ox  f ( x) f ( x) ≥ - Vì f ( x) = − f ( x) f(x) ≤ nên (C2 ) suy từ (C ) sau:  Giữ nguyên phần đồ thị (C) Ox .Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía Ox qua Ox - Vì y = f ( x ) hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung Khi x ≥ y = f ( x ) = f ( x) tức bên phải trục tung đồ thị (C3 ) trùng với đồ thị (C) Từ lấy đối xứng phần đồ thị (C3) bên phải trục tung qua trục tung ta có toàn đồ thị (C3) B) Phương pháp giải toán: Bài33: a)Vẽ đồ thị (C ) hàm số: y = x3 − 3x + b)Từ đồ thị (C ) , suy đồ thị hàm số: y = − x3 + x − 2; y = x3 − 3x + ; y = x − 3x + Bài34: 10 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh 2x + a)Vẽ đồ thị (C ) hàm số: y = x −1 b)Từ đồ thị (C ) , suy đồ thị hàm số: y= x +1 2x +1 2x +1 ; y= ; y= x −1 x −1 x −1 Bài35: x2 − x + a) Vẽ đồ thị (C ) hàm số: y = x −1 b)Từ đồ thị y= (C ) , suy đồ thị hàm số: x2 − x + x2 − x + x −x+2 ; y= ;y= x −1 x −1 x −1 Baì toán 3: Quan hệ số nghiệm phương trình hoành độ số điểm chung hai đồ thị A) Tóm tắt lý thuyết: - Số nghiệm pt hoành độ = số điểm chung hai đồ thị -Từ ta có thể: -Dựa vào số nghiệm phương trình hoành độ suy số điểm chung hai đồ thị -Dựa vào số điểm chung hai đồ thị suy số nghiệm phương trình hoành độ B) Phương pháp giải toán: Bài39: Bìện luận theo tham số msố điểm chung đường thẳng (dm) y = mx + 4m đường cong (C ): y = x + x Bài36: Gọi dlà đường thẳng qua A (3;20) có hàm số góc m Tìm điều kiện m để (d) cắt (c): y = x3 − 3x + điểm phân biệt Bài 37: Tìm m để dường thẳng y=m cắt đồ thị (c )của hàm số y= − x + 3x − tai 2( x − 1) điểm A&B cho AB=1 Bài 38: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x − x − 11 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh x − x − = m có nghiệm phân biệt b) Chọn m để pt Bài 39: a) Vẽ đồ thị hàm số: y = x2 + x + (C ) x +1 b)Biện luận theo tham số h số no thuộc khoảng (−π ; π ) phương trình cos2t +2 (1-h) cost + 3- 2h = Bài 40:Bluận theo m số no pt: x − x + = m x − Baì toán 4: Sự tiếp xúc hai đồ thị A) Tóm tắt lý thuyết: Cho y = f ( x) (C ) & y = g ( x) (C ') - (C ) & (C ') tiếp xúc M ( x0 ; y0 )  x0 nghiệm hệ:  f ( x) = g ( x )   f '( x) = g '( x) - Lưu ý: Đthẳng tiếp xúc với parabol  pt hoành độ có nghiệm kép Các trường hợp tiếp xúc khác phải dùng hệ B) Phương pháp giải toán: Baì 41:Tìm tất giá trị tham số m để parabol ( P) : y = x + m tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y = x − x − Baì 42: m? (d m ) y = m( x − 3) tiếp xúc với (C ) : y = − x3 + 3x Baì 43: m? (Cm): y = x − 3x + 3mx + 3m + tiếp xúc với Ox Baì 44: CMR với ∀m ∈ R tiệm cận xiên ( hay ngang) họ (Cm) y= mx + (m − m + 1) x − m x −1 tiếp xúc với parabol cố định Tìm phương trình parabol 12 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh Baì 45: CMR đường cong họ (Cm): y = x3 − 3mx + x + tiếp xúc điểm Tìm phương trình tiếp tuyến chung chúng Baì toán 5: Viết pttt với đồ thị (C) hàm số y=f(x) A) Tóm tắt lý thuyết: Cần phân biệt trường hợp: - TH1: Viết pttt với (C) điểm M ( x0; y0 ) ∈ (C ) Pttt là: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) (*) - TH2: Viết pttt với (C) biết tt qua điểm A( x A; y A ) Làm sau: - Pttt có dạng: y = k ( x − x A ) + y A (d )  f ( x) = k ( x − x A ) + y A  f '( x) = k - (d) tiếp xúc (C)  Hệ  (1) (2) có nghiệm - Thế (2) vào (1) có pt ẩn x ( pt để tìm hoành độ tiếp điểm), giải tìm x, có x vào (2) tìm k, có k vào (d) có pttt Chú ý: Có thể làm theo cách sau: Thay toạ độ A vào pt (*) để tìm x0 ⇒ y0 ⇒ f '( x0 ) ⇒ pttt B) Phương pháp giải toán: Baì 46: Cho hàm số y = − x3 − 3x + (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Viết pttt với (C ) điểm uốn.Tìm giao điểm tt với Oy c) Viết pt tiếp tuyến (C ) biết tt qua A(0;4) d) Tìm trục tung điểm mà từ kẻ đến (C) tiếp tuyến 13 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh Bài 47: Tìm đt y = điểm mà từ kẻ đến đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x + hai tiếp tuyến vuông góc Bài 48: Cho hàm số y = ( x − 1) ( x + 1) (C) parabol (P): y = x + b Tìm b để hai đường cong tiếp xúc Viết pttt chung tiếp điểm Bài 49: Cho y = x2 + (C ) x a) Tìm tt vuông góc với TCX b) Tìm Ox tất điểm mà từ kẻ đến (C) 2tt vuông góc Bài 50: Cho y = 2x + (C ) x +1 a) Viết pttt (d) điểm M0 có hoành độ x0 nằm (C) b) Tiếp tuyến (d) cắt hai tiệm cận A&B Chứng minh M0 trung điểm đoạn thẳng AB • Vấn đề 7:Toán tổng hợp hàm số *Hàm bậc 3: y = f ( x) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) Bài 51: Cho hàm số y = x3 − 3x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (c) hàm số 2) Các vấn đề tiếp tuyến : a Viết phương trình điểm uốn * y = −3x + b Viết pttt qua A ( 0;4 * y = −3x + ; y = 15 x+4 c Tìm M thuộc ( C) mà tiếp tuyến M có + Hệ số góc k = * M (−1; −1); M (3;3) + Hệ số góc k lớn * M (1;1) ≡ Điểm uốn d) Với điều kiện tham số k ( C ) có tiếp tuyến ( 1tt’; khồng có tt’ nào) có h/s góc k * k > −3 : 2tt; k = −3 :1tt; k < −3 : 0tt e) -Tìm tt’ (C) // đt y = 24x + 2008 * y = 24 x + 31; y = 24 x − 77 - Tìm tt’ (C) vuông góc với đt y = x + 2009 45 * y = 45 x − 172; y = 45 x + 84 f) m? đ thẳng (d) : y = 24 x + m tiếp tuyến (C) * m = 31; m = −77 14 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh g) Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ đến (C) tt’( 2tt’ 1tt’) * Gọi m tung độ điểm cần tìm, ta có kết quả: m = m < 3 < m < : 3tt ;  : 2tt;  :1tt m = m > h, Tìm đt y = - điểm mà từ kẻ đến (C) tt’(2tt’ 1tt’) * Gọi m tung độ điểm cần tìm, ta có kết quả:  m < −1  : 3tt ;  m > (m ≠ 2)    m = −1   m = : 2tt ; < m < 2( m ≠ ) :1tt  m =  i)Tìm tất điểm đường thẳng y = -1 mà từ kẻ đến (C) 3tt’, có tt’vuông góc * M ( 55 ; −1) 27 k) Xét điểm M có hoành độ x0 thuộc (C) +Tiếp tuyến với (C) M cắt (C) N.Tìm toạ độ N theo x0 * N (−2 x0 + 3; −8 x03 + 24 x02 − 18 x0 + 3) 3) Dùng phương trình hoành độ : a, (∆) qua A (-1;-1) & có h/s góc k.Bluận theo k số điểm chung (∆) & (C) * < k ≠ : 3diem chung ; k = : 2diem chung ; k < :1diem chung b, k? (∆) cắt (C) điểm phân biệt A (-1;-1);B;C cho: +Các tt’tại B&C vuông góc * k = ± 35 + BC = * k=1 c m? (Cm): y = x3-2x2-2mx+5-m cắt(C) điểm phân biệt + Nằm bên phải oy * < m < + Nằm phía đt x = * m > 4) Dùng đồ thị: Dùng đồ thị (C) để: a, Bluận số n0 pt x − 3x = m b, m? pt x − 3x + = m có nghiệm phân biệt * < m < 15 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh c, m? pt x − 3x = m có nghiệm * m = π π   d, Bluận theo m số nghiệm ∈  − ;  pt: cos3t +3sin2t = m 2   5) Đối xứng a CM (C) có tâm đối xứng b.(C’) đxứng với (C) qua I(1;-2) Tìm hàm số có đồ thị (C’) * y = x3 − 3x − c.(C’’) đối xứng với(C) qua đthẳng x = 2.Tìm hàm số có đồ thị (C’’) * y = − x3 + x − 12 x − d (C’’’) đối xứng với (C)qua đ thẳng y = 2.Tìm hàm số có đồ thị (C’’’) * y = − x3 + x − e Tìm (c) cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ *(1;1);(-1;-1) Bài 52: Cho đường cong bậc : y = x3 – 3x2 +3mx +3m +4 ( Cm) Tìm điểm cố định :* (-1;0) m?h/số a Tăng /R * m ≥ b Đồng biến /(0;1) * m ≤ (1; +∞ ) c Đồng biến/ * m ≥ 3) Cực trị a m? có cực trị , viết p/trình đ/thẳng qua điểm cực trị , tìm toạ độ điểm cực trị theo tham số m * m < ptđt qua điểm cực trị là:y=2(m1)x+4m+4; toạ độ điểm CĐ (1 − − m ;6m + − 2(m − 1) − m ) CT (1 + − m ; 6m + + 2(m − 1) − m ) b m? hàm số: +Đạt CĐ x = * m = −3 +Đạt CT x = * m = h/số có cực trị thoả +2 điểm cực trị nằm phía Oy * m < + 2điểm cực trị nằm phía Oy * < m < +2 điểm cực trị nằm phía đ/t x = c m? * m < 16 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh +2 điểm cực trị nằm phía trục Ox(tức Cm cắt ox điểm p/biệt hay pt y = có nghiệm p/biệt ) * −3 ≠ m < +2 điểm cực trị nằm phía đ/thẳng x – y = * m < + Khoảng cách gữa điểm cực trị = * m = 0; m = − 78 + Khoảng cách từ điểm cực đại đến trục tung = * m = −3 + điểm cực trị gốc toạ độ thẳng hàng * m = −1 +OA vuông góc với OB(0 gốc toạ độ ; A,B điểm cức trị ) * m = 4) Sự tương giao a m? ( Cm) + Tiếp xúc với Ox * m = 0; m = −3 + Có với Ox điểm chung ( đ /chung ,1 đ /chung) * b.m? để (Cm) + Cắt ox điểm p/biệt có hoành độ âm + Có với Ox điểm & điểm có hoành độ dương +Cắt Ox tai điểm p/biệt có hoành độ lập thành csc +Cắt đt y = mx+ m tai điểm p/biệt có hoành độ lập thành 1csc c m? (Cm) cắt đ/thẳng (d) y = 2x + điểm p/biệt M (-1;0) & N;P Sao cho + NP = + Các tt’tại N&Pvuông góc d m? để tiếp tuyến với (Cm) điểm có hoành độ x = 1vuông góc với đt x + 6y – = Đối xứng a m? ( Cm) nhận điểm I (1;-4) làm tâm đ/xứng b m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ c m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua I(0;-3) * Hàm trùng phương: y = f ( x) = ax + bx + c(a ≠ 0) Bài 53: Cho hàm số y = x4 -2x2 -1 (c) a Khảo sát vẽ đồ thị (C) h/số b Viết p/t tiếp tuyến tai điểm uốn 17 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh c Viết p/t tiếp tuyến với (C)biết tiếp tuyến // đt y = 24x d m? pt x − x − = m có nghiệm p/biệt e Tìm Oy điểm mà từ kẻ đến (C) tt’ j Bluận theo vị trí điểm M Oy số t/tuyến kẻ từ M đến (C) g Bluận theo k số điểm chung (C)và họ đ/cong(P) : y = kx2 -1 Bài 60: Cho họ đường cong (Cm) : y = -x4 + 2mx2 -2m + a Tìm điểm cố định họ ( Cm) b Biện luận theo m số cực trị họ (Cm) c Tìm tập hợp điểm cực đại (Cm) d Xác định m cho (Cm) cắt Ox tai điểm phân biệt có hoành độ lập thành csc Xác định cặp số cong e m? (Cm) tiếp xúc với đt y = m ax + b (c ≠ 0; ad − bc ≠ 0) cx + d 2x + (c ) hàm số y = x +1 * Hàm biến : y = Cho Bài54: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Các vấn đề tiếp tuyến a Viết pt tiếp tuyến giao điểm (C)với Ox b Viết pt tiếp tuyến // đt y = x + 10 c Tìm điều kiện tham số k đề (C)có 2tiếp tuyến có h/s góc k d Tìm tiếp tuyến qua A(0;5) e Chứng minh tiếp tuyến (C) qua giao điểm tiệm cận f) m? y= 2x +m tiếp tuyến (C) g Tiếp tuyến điểm M thuộc (C) cắt tiệm cận A&B.Chứng minh M trung điểm AB diện tích tam giác IAB không đổi ( I giao điểm tiệm cận) h Tìm oy tất điểm mà từ kẻ đến (C) 1tiếp tuyến ,2tt’ ; tiếp tuyến vuông góc 3.Sự tương giao 18 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh a.Gọi (∆) đ/thẳng qua 0(0;0)& có h/s góc k Tìm k để : + (∆) cắt (c) điểm phân biệt + (∆) cắt(c) điểm phân biệt thuộc nhánh + (∆) cắt(c) điểm phân biệt thuộc nhánh khác + (∆) cắt(c) điểm phân biệt A,B cho AB = 10 + (∆) cắt(c) điểm phân biệt AB cho + (∆) cắt(c) A,B Sao cho O trung điểm AB b Gọi (dm) :y = x + m Biệm luận theo m số điểm chung (dm) & (C) Khi (dm) cắt (C) điểm phận biệt M&N Tìm quỉ tích trung điểm I MN c P (-2;3) thuộc (c) Tìm Q thuộc (C) cho tam giác OPQvuông O Khoảng cách a Chứng minhtích k/cách từ điểm M thuộc (C) đến tiệm cận hàm số b.Tìm M thuộc (C) có tổng k/cách đến tiệm cận nhỏ (có tổng k/cách đến tiệm cận = 17 ?) c Tìm M thuộc (C) có tổng k/cách đến trục toạ độ nhỏ d Tìm M thuộc (C) có k/cách đến đ/tx – y + =0 e Tìm M thuộc (C) có khoảng cách từ M đến ox gấp 2lần k/cách từ M đến Oy f Tìm điểm thuộc nhánh (c)sao cho k/cách chúng nhỏ 5.Biện luận theo tham số m số nghiệm p/trình a x + = m x + b .2 x + =m x +1 c x + = m( x + 1) c m( x + 1) = x + Đối xứng a CM (C) nhận giao điểm tiệm cận tâm đối xứng b CM (C) nhận đ/thẳng y = x + 3; y = − x + làm trục đối xứng c Tìm cặp điểm (C) đối xứng qua điểm H( 0; ) 19 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh Bài 55: Cho h/số mx + m − x + m −1 ( Hm) a CMR với m ≠ , đ/cong (Hm) qua điểm cố định tai điểm đường cong có chung tiếp tuyến b m? h/s đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) c Tìm quỉ tích giao điểm I tiệm cận m thay đổi * Hàm hữu tỉ: y = f ( x) = ax + bx + c (a.a ' ≠ ; a'x + b' tử mẫu nghiệm chung) Bài 56: Cho hàm số y = ( x + 1)2 x+2 (C) Khảo sát biến thiên vẽ đ/thị (C) h/số Tìm điểm (C) có toạ độ nguyên Các vấn đề tiếp tuyến : a Viết p/t tiếp tuyến giao điểm (C)với Oy b Viết p/t tiếp tuyến qua A ( 0;-4) Tính góc tiếp tuyến c Viết p/trình tiếp tuyến //đt y = x + d.Viết p/t tiếp tuyến vuông góc tiệm cận xiên e CM (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song nhạu f m? đt y = x + m tiếp tuyến (C) g Tìm oy tất điểm mà từ kẻ đến (c) : + Đúng tiếp tuyến ( 1tt’ ; 0tt’ ) + Được 2tiếp tuyến vuông góc h.Tiếp tuyến điểm M thuộc (C) cắt tiệm cận Avà B CM Mlà trung điểm AB d/tích tam giác IAB không đổi ( I giao điểm tiệm cận ) 3.Sự tương giao a k? thì(d):y = kx cắt (C) điểm thuộc nhánh khác ( thuộc nhánh ?) b k? thì(d) : y = kx cắt (C) điểm phân biệt A,B cho AB = 10 20 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh c m? (dm):y = 2x + m cắt (C) điểm phân biệt A;B cho AB=5 Khoảng cách a CMR tích k/cách từ điểm M thuộc (C) đến tiệm cận h/số b Tìm M thuộc (C) có tổng k/c đến tiệm cận nhỏ c Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến trục toạ độ d Tìm M thuộc (C) có khoảng cách đến đ/thẳng 2x +y +6 = bé e Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến Ox gấp lần k/cách từ M đến Oy f Tìm nhánh (C)1 điểm cho k/cách điểm bé Biện luận số nghiệm đồ thị Biện luận theo m số nghiệm p/trình sau: a m( x + 1) = x + 2 b ( x + 1) = m x + c 4t + 2t +1 + = m(2t + 2) t ∈ [ 0; 2π ] d cos 2t + 2(2 − m)cost + − 4m = 2t t e e + (2 − m)e + − 2m = m? có nghiệm dương f x + (2 − m) x + (3 − 2m) x + (2 − m) x + = Đối xứng a Tìm cặp điểm (C) đối xứng qua A(0;-2) b Tìm cặp điểm (C) đối xứng qua đường thẳng (d): :y = x – c Gọi (C’)là hình đối xứng (c)qua đ/thẳng y = Tìm h/số có đồ thị (C’ ) d CM (C) nhận giao điểm t/c làm tâm đối xứng e Tìm điểm (c) có toạ độ số nguyên Bài57: Cho họ đường cong (Cm) : y = x + mx − m − x +1 21 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh 1.Đơn điệu a m? h/số đồng biến khoảng xác định b m? h/số đồng biến (1; +∞) c m? h/số nghịch biến (0;1) Cực trị a.m? có cực trị Viết p/trình đ/thẳng qua điểm cực trị Tìm toạ độ đ cực trị b m? h/số có cực trị đồng thời thoả đ/kiện sau + khoảng cách điểm cực trị = -m k/cách từ điểm CĐ đến TCX 2 + điểm cực trị nằm phía (1phía) so với oy ( với đt x =1) +2 điểm c/trị nằm phía (1phía )so với đ/t x - y + = ( đường tròn x + y = ) + điểm cực trị gốc toạ độ tạo thành tam giác cân + Đ/thẳng qua điểm cực trị chắn trục toạ độ tạo thành tam giác có d/tích =1( cách khoảng cách =2; qua M(1;2)& tiếp xúc đường tròn x+1)2 +(y+3)2 =5;…) 3.Tiệm cận : T/cận xiên đ/thẳng phụ thuộc h/số m nên gặp câu hỏi tương tự đ/thẳng qua điểm cực trị Tiếp tuyến : Tìm tất giá trị tham số m để : a Từ 0(o;o)kẻ đến (c)đúng tiếp tuyến b (Cm) cắt ox điểm phân biệtA&Bsao cho tiếp tuyến A&Bvuông góc Tương giao Tìm tất giá trị tham số m để: a (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương (âm, dấu…) b (Cm) & đ/thẳng y = m cắt điểm p/biệt A,B cho AB = 10 Đối xứng: Tìm tất giá trị tham số m để (Cm) tương xứng có cặp điểm đối xứng quaO (0;0) 22 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011 – 2012, GV Ngô Khánh “ Làm biếng dễ trở thành khó; siêng khó trở thành dễ ” *** 23 -Luyện thi đại học môn Toán năm học 2011- 2012, GV: Ngô Khánh ... = 24x + 2008 * y = 24 x + 31; y = 24 x − 77 - Tìm tt’ (C) vuông góc với đt y = x + 2009 45 * y = 45 x − 172; y = 45 x + 84 f) m? đ thẳng (d) : y = 24 x + m tiếp tuyến (C) * m = 31; m = −77 14. .. c) y = d ) y = x4 − x2 + x4 − x2 + 2 x+2 h) y = 2x +1 l) y = −x + x−2 f ) y = x3 − x + x + x +1 x k)y = 1− + x −1 g) y = − e) y = − x2 − 3x + x −1 x3 m) y = x −1 i) y = • Vấn đề 6: Các toán liên... toán: Baì 41 :Tìm tất giá trị tham số m để parabol ( P) : y = x + m tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y = x − x − Baì 42 : m? (d m ) y = m( x − 3) tiếp xúc với (C ) : y = − x3 + 3x Baì 43 : m? (Cm):