Gọi I là giao điểm của MO vá AB Theo đề bài MI là đường trung bình của tam giác ABC nên IA=IB Do đó tam giác OAB cân tại O MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến Suy ra : OA =OB Mà OB vu[r]
(1)BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ (10-11) TOÁN ĐẠI SỐ 26 √ 3+5 2) Rút gọn biểu thức : A = ( √ 2+ √ 6) √ 2− √3 Bài1 : 1) Trục thức mẫu : Giải 1)Trục thức mẫu : 26 √ 3+5 26 26(2 √ −5) = = √ 3+5 (2 √3+5)(2 √ −5) √3 ¿2 −52 ¿ 26(2 √ −5) ¿ 26(2 √ −5) 26(2 √ −5) = = = –2(2 12− 25 −13 2)Rút gọn biểu thức : A = ( √ 2+ √6) √ 2− √ A= √ √ 2− √ + √ √ 2− √ = √ 2(2− √ 3) + √ 6(2 − √ 3) = √ − √ + √ 12− √3 = √ 1− √ 3+3 + √ −2 √ 3+3 √3 √3 ¿ = 12 − 3+¿ + 32 − 2.¿3 3+¿ √ √ √3 – 5) =–4 √ +10 = 10– √ Bài 2: 1) 2) Giải √¿ √¿ 2 1− √ ¿ −√ ¿ = + = ¿ ¿ √¿ √¿ |3 − √ 3| = √ –1+ – √ = Giải phương trình : √ x +20 −3 √ x+5+ √9 x +45=6 √4 x − x +1=3 1) √ x +20 −3 √ x+5+ √ x +45=6 |1 − √ 3| + 2) √ x +5 −3 √ x+5+ √ x+ 5=6 √ x+5 (2− 3+4 )=6 √ x +5=6 √ x+5=2 |x +5| = * x + = ( với x ≥ – ) x = – Nhận * – x – = (Với x – ) x = – Nhận Vậy S = { 2; − } Bài : Tìm x thỏa điều kiện sau a) √ 3+ √ x = b) √ 25 x – √ 16 x = Giải Tìm x thỏa điều kiện sau a) √ 3+ √ x = Suy :3+ √ x =9 hay √ x = = √ 36 Vậy x = 36 Bài 4: 1/Giải phương trình : √ 1− x + √ −4 x+ √ − x =6 √ x − x +1=3 x +1 ¿2 ¿ ¿ √¿ |2 x+1| = ⇔ ⇔ * ⇔ 2x + = (x ≥ −1 ) x=1 * – 2x – = Nhận (x −1 X= – Nhận { 1; − 2} Vậy S = b) √ 25 x – √ 16 x = Suy √ x – √ x = Hay √ x = = √ 81 Vậy x = 81 ) (2) 2/Tính : √ − √ √ −2 √ 3+2 √3+1 3/Rút gọn biểu thức: A= √3 Giải 1/ Giải phương trình : √ 1− x +√ −4 x+ √9 − x =6 √ 1− x +2 √ 1− x +3 √ 1− x=6 √ 1− x (1+2+3) =6 √ 1− x =6 √ 1− x =1 |1 − x| =1 * 1– x = ( với x ≤ ) x= –2 Nhận * –(1 – x) = (với x 1) – 1+ x = x= Nhận Vậy S = { −2 ; } 2/Tính : √ − √ √3 √ − √ = √ 1− √ 3+3 = 1− √ ¿ = = |1 − √ 3| = ¿ √¿ Vậy √ − √ = √ –1 ¿ − √ 3+¿ √¿ √ –1 3/Rút gọn biểu thức: A= √ −2 √ 3+2 √3+1 √3 √3 √ −1+2 √ 3+1 = = =3 √3 √3 Bài : Cho biểu thức Q = ( 1−√ x√ x + 1+√√x x ) + − √x x −1 với x ≥0 và x ≠ 1) Rút gọn Q 2) Tìm x để Q = – Giải a) Q = ( √x + √x 1− √ x 1+ √ x ) + x 1+ √ ¿ ¿ x − √¿ − √x = + ¿ x −1 ¿ ) √ x( ¿ (1+ √ x )(1− √ x ) √x¿ ¿ ¿ x 1+ √ ¿ ¿ − √x = + √ x (1− √ x ) + x −1 √ x(¿¿(1 − √ x)(1+ √ x)¿) ¿ ¿ x + x +√ x − x − √x √ +¿ = 1−x x −1 x x−3 = √ + √ 1−x 1−x 3√ x−3 = 1−x √x + √x Bài : Cho biểu thức P = √ x −2 √ x +2 ( 3√x−3 =–1 1−x 3( √ x −1) =–1 (1− √ x)(1+ √ x) − 3(1 − √ x) =–1 (1− √ x)(1+ √ x) −3 =–1 1+ √ x 1+ √ x = √x = − √x x −1 b)Với Q = – Ta có x=4 ) ( ) x −4 √4 x với x ; x (3) a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm x biểu thức P = c/ Tìm x để P > a/ = P= ( x −4 √4 x ( √ x√−2x + √ √x x+2 ) √ x (√ x +2)+ √ x (√ x −2) ) x −4 √4 x x −2 x −4 2x = x −4 √4 x 2x x x √x = = = = √x 2√x √x √x √x b) P = √x = c) P > √x > x ( √ x+2) √ x ( √ x − 2) + ( x − 2)( √ x +2) ( √ x+ 2)( √ x − 2) ( √√ = = ( x+2 √ x+ x −2 √ x x−4 ) ) x −4 √4 x x−4 √4 x x = 36 √ x = √ 36 √x > √9 x > Bài 7: a / Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ : (d) : y = 3x – (d’) : y = -2x +4 b/ Tìm toạ độ giao điểm (d) và (d’) Giải 1)Tìm giao điểm (d) với trục là A(0; -3) , B(1; 0) Tìm giao điểm (d’) với trục là A’(0:3) , B’(2;0) Vẽ đúng đồ thị Đường thẳng (d) qua A và B Đường thẳng (d’) qua A’ và B’ 2) 3x-3 = - 2x +4 3x+2x = 4+3 5x=7 ⇔ x= Thay vào tìm y = Vậy Tìm toạ độ giao điểm (d) và (d’) là điểm M ( ; ) Bài 8: a / Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ : (d) : y = x -2 (d’) : y = -2x +3 b/ Tìm toạ độ giao điểm (d) và (d’) Giải a/ (d):y = x -2 Có giao điểm với trục hoành x= y=-2 A(0;-2) Giao điểm trục tung y=0 = x -2 x=4 B(4;0) (d’) : y = -2x +3 Có giao điểm với trục hoành x= y=3 A’(0;3) Giao điểm trục tung Y=0 = -2x +3 x= =1,5 B’(1,5;0) b/ Tìm hoành độ giao điểm là 1 x -2 = -2x +3 x +2x=3+2 x =5 x=2 Thay x=2 vào hai phương trình ta tìm tung độ giao điểm là y = -2.2 +3 = -1 Vậy toa độ giao điểm là I(2;-1) (4) Vẽ đồ thị hai hàm số -Xác định cá điểm A(0;-2) ,B(4;0), A’(0;3) , B’(1,5;0) Đường thẳng (d) qua A và B Đường thẳng (d’) qua A’ và B’ √ 24+12 x+ √24 − 12 x Bài 9: Cho biểu thức A = √24 +12 x − √ 24 −12 x 1) Tính giá trị biểu thức x = Sau đó rút gọn biểu thức Làm mẫu biểu thức A Sau đó rút gọn biểu thức 3) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định Giải 1)Khi x=1 ta có √ 36+ √ 12¿ 36+2 √ 36 √ 12+12 √ 24+12 1+ √24 − 12 √ 36+√ 12 ¿ A= = =A= = ¿ 24 √ 24 +12 1− √ 24 −12 √36 − √ 12 = 48+2 √ 24 √2 .3 = 48+2 √ 24 ¿ 24(2+ √ 3) 48+24 √ = = 24 24 = + √3 2) Làm thức √ 24+12 x+ √ 24 − 12 x ¿2 √ 24+12 x+ √ 24 − 12 x A= = √ 24 +12 x − √ 24 −12 x ¿ ¿ ¿ 24+12 x+ √ 24+ 12 x √ 24 −12 x +24 −12 x 48+2 2 √6+ x √ − x = 24 x 24 x 48+2 2 √ (2+ x) √ 3(2 − x ) 48+2 2 √ (2+ x )(2− x) 48+24 √22 − x = = = = 24 x 24 x 24 x 24(2+ √22 − x 2) 2+ √ 22 − x = x 24 x = 3)Tìm điều kiện x để biểu thứcA xác định Biểu thức xác định mẫm khác và thúc có nghĩa Nên √ 24+12 x √ 24 −12 x Suy x 0 Và 24+12x ≥ và 24 -12x ≥ Suy x ≥ -2 và x ≤ Hay -2 ≤x ≤ Vậy điều kiện x để biểu thức xác dịnh là -2 ≤x ≤ và x 0 Bài 10 : 1) Rút gọn các biểu thúc sau : M= √ x+1 −2 √ x và N = √ x+1+2 √ x ) Giải phương trình M+N = Giải 1) rút gọn 2)Giải phương trình M+N = 2 √ x ¿ +1 − √ x M+N = M= √ x+1 −2 √ x = ¿ √ x -1 + √ x +1 =4 = √¿ = √ x -1 √(√ x) −1 ¿ N = √ x+1+2 √ x = = √ x ¿2 +12 +2 √ x ¿ √¿ √(√ x)+1 ¿ = √ x +1 √ x = √ x =2 √ x = √4 x=4 Vậy : Tập nghiệm phương trình là S = {4 } (5) Bài 11 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường thẳng (dm ) có phương trình y = (2m+4)x– 1)Với giá trị nào m thì hàm số y = (2m+4)x– là hàm đồng biến 2) Khi m = ta có đường thẳng (d), Viết phương trình đường thẳng ()qua điểm M(1;2) và song song với đường thẳng (d) 3) Vẽ (d) và biểu diễn M lên mặt phẳng tõa độ Oxy 1) Hàm số đồng biến : 2m +4 2m -4 m -2 Vậy với m -2 thì hàm số y = (2m+4)x– là hàm đồng biến 2)Khi m = ta có đường thẳng (d) : y=(2.1+4)x -3 y=6x-3 Phương trình đường thẳng ()có dạng y =ax+b vì song song với đường thẳng (d) Nên a= Phương trình đường thẳng ()có dạng y = 6x +b Phương trình đường thẳng ()qua điểm M(1;2) nên ta có = 6.1 +b b= -4 Vậy phương trình đường thẳng ()là y= 6x – 3)Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với hai trục tọa độ: (d) : y=6x-3 Với x=0 y= -3 nên giao điểm với trục tung điểm A(0;-3) 1 Với y=0 0= 6x -3 6x=3 x = nên giao điểm với trục hoành điểm B( ;0) Vẽ đường thẳng qua A và B ta phương trình đường thẳng (d) Bài 12 : a/ Tìm giá trị x để biều thức b/ Trục thức mẫu : √7+ √ c/ Tính giá trị biểu thức : Giải a/ Tìm giá trị x để biều thức nghĩa √ x−1 √ x −1 có nghĩa x−1 √ 2+ √ có ≥0 x–1 0 x1 Vậy : Để biều thức √ x−1 x−1 có nghĩa thì x có nghĩa + − √3 √ 7+ √ 4 ( √ − √ 5) = ( √ 7+ √ 5)( √ − √ 5) √ 7+ √ 4( √7 − √5) = −5 4( √7 − √ 5) = 2( − = √ √ 5) b/ Trục thức mẫu : Bài 13: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc và qua điểm A(-2;1) Giải Phương trình đường thẳng có dạng y=ax+b Vì hệ số góc nên a = , ta có phương trình y= 3x +b Vì qua điểm A(-2;1) nên ta có 1= 3.(-2)+b b = Vậy phương trình cần viết là y=3x+7 (6) BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ (10-11) TOÁN HÌNH HỌC Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi M là điểm thuộc Ax Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt By N a/ Tính số đo góc MON b/ Chứng minh : MN=AM + BN c/ Chứng minh : AM BN =R2 Giải: Vẽ hình đúng b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AM=MI và MI = BN Mà MI+IN = MN Nên MN=AM+BN c) Trong tam giác vuông OMN Ta có OI2= MI IN (hệ thức h2= b’ c’) Mà AM=MI và MI = BN Suy R2= AM.BN Gọi I là tiếp tuyến MN với nửa đường tròn a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có ¿ ¿ ¿ ^ ❑ ^I ❑ ^ ❑ M O A= M O I (= AO ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ^ ❑ ^I ❑ ^ ❑ N O I = N O B ¿ Mà (= BO ¿ ¿ ¿ ¿ ^ ❑ ) ) ^ ❑ A O I và B O I kề bù ¿ ¿ ^ ❑ ¿ ^ ❑ ¿ ¿ ^ ❑ Do đó M O I + I O N = 90 hay M O N = 900 ¿ ¿ ¿ Bài : Cho ΔABC vuông A có AB = cm , AC = cm Kẻ đường cao AH a)Tính BC , AH , HB , HC b)Tính giá trị biểu thức Q = sinB + cosB Giải: a)Vẽ hình đúng Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông ABC Ta có :BC2= AB2+AC2 =102 BC = 10 (cm) AB AC AH = BC HB = AB BC = 6.8 = 10 62 10 = 4,8 (cm) = 3,6 (cm) HC = 10 -3,6 = 6,4 (cm) (7) b)Q = sinB + cosB = 10 + 10 14 = 10 = Bài Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vuông góc với BC Gọi M là trung điểm đoạn BC Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt Bx O 1)Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn (O;OA) 2) Chứng minh bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên đường tròn Giải: Vẽ hình đúng 1)Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn (O;OA) Gọi I là giao điểm MO vá AB Theo đề bài MI là đường trung bình tam giác ABC nên IA=IB Do đó tam giác OAB cân O (MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) Suy : OA =OB Mà OB vuông góc với BC Vì BC là tiếp tuyến đường tròn (O;OA) 2)Chứng minh bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên đường tròn Tam giác BOM vuông B nên ba điểm B,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO Xét hai tam giác BOM và AOM có OA=OB ¿ ^ ❑ ¿ ^ ❑ AOM = BOM (do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ¿ ¿ MO là cạnh chung ) Vì ΔBOM=ΔAOM (c,g,c) Do đó Tam giác AOM vuông A nên ba điểm A,O,M cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO Vậy bốn điểm O,A,M,B cùng nằm trên đường tròn Bài : Một cái thang dài m , đặt dựa vào tường , góc thang và mặt đất là 600 Hãy vẽ hình minh họa và tính khoảng cách từ chân thang đến tường Giải: Vẽ hình đúng Khoảng cách chân thang đến tường là : cos 600 =4 = (m) Bài 5: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB =2R Kẻ các tiếp tuyến Ax ; By cùng phía với nửa đường tròn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn E cắt Ax , By theo thứ tự C và D (8) Chứng minh : a/CD=AC+BD ¿ ^ ❑ B/ COD =900 ¿ C/ Tích AC.BD = R2 Giải: Vẽ hình Chứng minh a/ CD=AC+BD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt Thì AC= EC và BD=ED mà DC = EC+ED Nên CD = AC+BD ¿ ^ ❑ b/ COD =900 ¿ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có ¿ ¿ ¿ ^ ❑ ^E ❑ ^ ❑ (= A O C O A= C O E ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ^ ❑ ^ ❑B ^ ❑ E O D = B O D(= EO ¿ Mà ¿ ¿ ^ ❑ ) ) ^ ❑ A O E và E O B kề bù ¿ ¿ ¿ ¿ ^ ❑ ^ ❑ Do đó C O E + EB = 90 hay C O D = 900 ¿ ¿ c/ Tích AC.BD = R2 Trong tam giác vuông OCD Ta có OE2= EC ED (hệ thức h2= b’ c’) mà AC= EC và BD=ED Suy R2= AC.BD Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , có BC= Cm , AB =2AC a/Tính AB b/Kẻ đường cao AH Tính HB , AH ¿ ^ ❑ ¿ ^ ❑ c/Tính tg BAH , Suy giá trị gần đúng số đo BAH ¿ ¿ d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) và (C;CA) Gọi E là giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh CE là tiếp tuyến đường tròn (B) Giải: Vẽ hình a)Tính AB Áp dụng định lý Pitago tam giác AB vuông , ta có AB + = BC2 AB AB2+ = BC2 ( ) (9) AB2 + AB2 AB = BC2 = BC2 5AB2 = 4BC2 AB2 = AB= BC 52 = = 20 5 √ 20 = √ (cm) b)Kẻ đường cao AH Tính HB , AH AB Ta có AC= = √ = √ (cm) AH.BC=AB.AC (hệ thức h.a=b.c ) AB AC √5 √5 AH= = = (cm) BC AB = BC.HB ( Hệ thức c2=a.c’) √ ¿2 AB ¿ Suy HB= = = (cm) ¿ BC ¿ ¿ ¿ ^ ❑ ^ ❑ c)Tính tg BAH , Suy giá trị gần đúng số đo BAH ¿ ¿ ¿ HB ^ ❑ Ta có tg BAH = AH ¿ Suy = =2 ¿ ^ ❑ BAH ¿ ≈ d) Xét hai tam giác ABC và EBC có BA=BE (là bán kính đường tròn (B;BA) ) CA =CE (là bán kính đường tròn (C;CA) ) BC là cạnh chung Suy ΔABC=ΔEBC (c,c,c) ¿ Mà ^ ❑ A ¿ ¿ =90 nên ^ ❑ E ¿ = 900 Hay CE vuông góc với bán kính BE tiếp điểm E Vậy : CE là tiếp tuyến đường tròn (B;BA) (10)