Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 1 HÌNH HỌC I. PHÉP TỊNH TIẾN 1. Cho hai điểm cố đònh B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm q tích trực tâm H của ABC. HD: Vẽ đường kính BB . Xét phép tònh tiến theo 'v B C . Q tích điểm H là đường tròn (O ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó. 2. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF. HD: Gọi H là trực tâm CEF, K là trực tâm DEF. Xét phép tònh tiến theo vectơ v BA . Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với 'AA BA ). 3. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M nằm trong tứ giác ABCD được xác đònh bởi AB DM và góc CBM CDM . Chứng minh: góc ACD BCM . HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ AB . 4. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tònh tiến theo v trong các trường hợp sau: a) 4; 3v b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1. Cho hai điểm B, C cố đònh trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm q tích trực tâm H của ABC. HD: Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục BC. Q tích điểm H là đường tròn (O ) ảnh của (O) qua phép Đ BC . 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trò nhỏ nhất. HD: Gọi A = Đ d (A). M là giao điểm của A B và d. 3. Cho ABC nhọn với trực tâm H. a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính bằng nhau. b) Gọi O 1 , O 2 , O 3 là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm O 1 , O 2 , O 3 có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC. 4. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B Ox, C Oy sao cho chu vi ABC là bé nhất. HD: Xét các phép đối xứng trục: Đ Ox (A) = A 1 ; Đ Oy (A) = A 2 . B, C là các giao điểm của A 1 A 2 với các cạnh Ox, Oy. 5. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy: a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0 c) x 2 + y 2 + 2x – 4y – 11 = 0 III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố đònh và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của ABC và H là điểm sao cho HBHC là hình bình hành. Chứng minh rằng H nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra q tích của điểm H. HD: Gọi I là trung điểm của BC. Đ I (H ) = H Q tích điểm H là đường tròn (O ) ảnh của (O) qua phép Đ I . 2. Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A, B, C, D lần lượt là điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành. 3. Cho đường tròn (O, R) và một dây cố đònh AB = R 2 . Điểm M chạy trên cung lớn AB thoả mãn MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và BH cắt (O) theo thứ tự tại A và B. AB cắt AB tại N. a) Chứng minh AB cũng là đường kính của đường tròn (O, R). b) Tứ giác AMBN là hình bình hành. c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên. d) HN cắt AB tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên. HD: a) ''A BB = 1v b) AM //A N, BM // AN c) HN = B A = 2R d) Gọi J là trung điểm AB. Đ J (M) = N, Đ J (O) = O . 'OIO = 1v Tập hợp các điểm I là đường tròn đường kính OO. 4. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB tại P và Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với các đường chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình hành mới. HD: Xét phép Đ O . 5. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1): a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 IV. PHÉP QUAY Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 2 1. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh IMJ vuông cân. HD: Xét phép quay Q (A,90 0 ) . 2. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM = 1 2 FK. HD: Gọi D = Đ (A) (B). Xét phép quay Q (A,90 0 ) . 3. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh BMN đều. HD: Xét phép quay Q (B,60 0 ) . 4. Cho ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC 1 , CAB 1 , CAB 1 . Chứng minh rằng các đoạn thẳng AA 1 , BB 1 , CC 1 bằng nhau. HD: Xét các phép quay Q (A,60 0 ) , Q (B,60 0 ) . 5. Cho ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và DOE = 120 0 . HD: Xét phép quay Q (O,120 0 ) . 6. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C và D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của ABC. HD: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông ACIJ. Xét phép quay Q (O,90 0 ) IB CK. Tương tự CD BK. V. PHÉP VỊ TỰ VA ĐỒNG DẠNG 1. Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và 2GH GO . HD: Xét phép vò tự V (G,–2) (O) = H. 2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố đònh, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm q tích trọng tâm G của ABC. HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vò tự 1 ( , ) 3 I V (A) = G. 3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ. b) Tìm q tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi. HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình. b) Xét các phép vò tự V (C,2) (Q) = M; 1 ( , ) 2 C V (Q) = N. 4. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O). a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố đònh. b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O của đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực tâm H của MPQ. HD: a) Kẻ OI d, OI cắt PQ tại N. 2 .OI ON r N cố đònh. b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O 1 ) đường kính NO. Tập hợp các điểm O đường trung trực đoạn OI. Tập hợp các điểm H là đường tròn (O 2 ) = V (O,2) . 5. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E. a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí của điểm M. b) Tứ giác CDNE là hình gì? c) Tìm tập hợp trọng tâm G của MAC. HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD CDNE là hình thang. c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K, 3 R ) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép 1 ( , ) 3 I V . 6. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau: a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 2 f) k = 1 2 Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 3 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1 : x – 2y + 1 = 0 và 2 : x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vò tự V (I,k) biến 1 thành 2 . 8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2: a) 22 ( 1) ( 5) 4xy b) 22 ( 2) ( 1) 9xy c) x 2 + y 2 = 4 9. Xét phép vò tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C). Tìm phương trình của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C) là: a) 22 ( 1) ( 5) 4xy b) 22 ( 2) ( 1) 9xy c) 22 1xy HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD). b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC). 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD). 3. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong BCD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN). 4. Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN). 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). 6. Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong BCD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABO). b) AO và (BMN). HD: a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD). b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO). 7. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC. a) Tìm giao điểm của IK với (SBD). b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC. HD: a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK). b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD). 8. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI). 9. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF). b) Tính diện tích của thiết diện. HD: b) 2 6 a 10. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). HD: Thiết diện là 1 ngũ giác. 11. Cho hình chóp S.ABCD. Trong SBC, lấy một điểm M. Trong SCD, lấy một điểm N. a) Tìm giao điểm của MN và (SAC). b) Tìm giao điểm của SC với (AMN). c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN). HD: a) Tìm (SMN) (SAC) b) Thiết diện là tứ giác. 12. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC. a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA. b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD. HD: b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1. II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ//CD. 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh: MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì? 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của SAB. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 4 b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. 4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM). 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). HD: b) 2 5 (a+b). 6. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. a) Xác đònh thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện đó. HD: b) 2 5 51 288 a III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O, O lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = 1 3 AE, BN = 1 3 BD. Chứng minh MN // (CDFE). 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP). c) Gọi G 1 , G 2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G 1 G 2 // (SBC). 3. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD). HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD). 4. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA. a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). c) Tìm diều kiện của MN để thiết diện là hình thang. HD: c) MN // BC 5. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B = 60 0 , AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. HD: b) S MNPQ = (4 3 ) 4 x a x . S MNPQ đạt lớn nhất khi x = 2 3 a Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau: a/ sinyx b/ 2 sinyx c/ 1 sin 1 y x d/ tan 6 yx Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số: a/ y = 2sin 1 4 x b/ 2 cos 1 3yx c/ 2 cos 2sin 2y x x d/ y = sin 3 cos 3xx Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin 4 x f/ y = sinx.cosx Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) 2 tan 1 3 tan 3 0xx 3) 2 4sin 2 3 1 sin 3 0xx PHẦN 1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 5 4) 3 4cos 3 2sin 2 8cosx x x 5) tan 2 x + cot 2 x = 2 6) cot 2 2x – 4cot2x + 3 = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 4sin 2 3x + 2 3 1 cos3 3x = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 3) 4cos 2 (2 – 6x) + 16cos 2 (1 – 3x) = 13 4) 2 1 3 3 tan 3 3 0 cos x x 5) 3 cos x + tan 2 x = 9 6) 9 – 13cosx + 2 4 1 tan x = 0 Bài 3. Cho phương trình sin3 cos3 3 cos2 sin 1 2sin 2 5 x x x x x . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc 0 ; 2 . Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ; . PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) cos 3sin 2xx 2) 6 sin cos 2 xx 3) 3cos3 sin3 2xx 4) sin cos 2sin5x x x 5) 3 1 sin 3 1 cos 3 1 0xx Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 2 2sin 3sin2 3xx 2) sin8 cos6 3 sin6 cos8x x x x 3) 31 8cos sin cos x xx 4) cosx – 3sin 2cos 3 xx Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm . Bài 4. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Bài 1. Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 3 1 1,4sin 3 3sin2 2cos 4 2,sin sin2 2cos 2 3,2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1 4,sin 4sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 22 2sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x 2) 22 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x 3) 22 4sin 3 3sin .cos 2cos 4x x x x 4) 22 1 sin sin 2 2cos 2 x x x Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin 2 x – sin2x + 2cos 2 x = 1 có nghiệm. I. Qui tắc đếm Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. ĐS: a) 6 6 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Bài 3: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a/ 18. b/ 15. Bài 4: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? ĐS: a/ 3125. b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000. Bài 5: Một đội văn nghệ chuẩn bò được 2 vở kòch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kòch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kòch, điệu múa, các bài hát là như nhau? PHẦN 3. TỔ HP –XÁC SUẤT Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 6 ĐS: 36. Bài 6: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35. b/ 29. Bài 7: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24. Bài 8: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48. Bài 9: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). ĐS: a/ 35. b/ 24. II. Hoán vò Bài 1: Giải các phương trình: a) P 2 .x 2 – P 3 .x = 8 b) 1 1 1 6 xx x PP P ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 Bài 2: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 3: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1? c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135? ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118. Bài 4: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vò của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. ĐS: 279999720. Bài 5: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa? ĐS: a) P 12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 6: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q 8 = 7! b) Q 7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp Bài 7: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? ĐS: 8! 7 3! 3! Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9. ĐS: 18. Bài 9: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: 480. Bài 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho: a/ Bạn C ngồi chính giữa? Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 7 b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? ĐS: a/ 24. b/ 12. Bài 11: Một hội nghò bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tòch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000. Bài 12: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau? ĐS: a/ 86400. b/ 2903040. III. Chỉnh hợp Bài 1: Tìm n N sao cho: a) 2 4 13 210 . n n n P AP b) 2( 32 3 nn AA ) = P n+1 c) 22 2 6 12 n n n n P A P A ĐS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3 Bài 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: Có 33 10 6 .AA cách Bài 3: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ? ĐS: 2 4 A = 12 vectơ Bài 4: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ĐS: 2 n A = 132 n = 12 Bài 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ĐS: a) 4 9 9.A b) Có 9 5 số Bài 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5? ĐS: a) 6. 4 6 A b) 33 55 6. 3.5AA c)ó 43 65 4.5.AA = 1560 số Bài 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? ĐS: 3 10 1A = 999 Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? ĐS: a) 9. 4 10 A = 9.10 4 số b) Có tất cả: 65 10 10 AA = 9.10 5 số gồm 6 chữ số Có 9.10 5 – 9.10 4 số c) Có 9.10.10.10 = 9000 số Bài 9: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau? ĐS: a) 6 10 A = 10 6 b) 6 10 A = 15120 Bài 10: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu: a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn). b/ Có 3 cầu thủ bò chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4. ĐS: a/ 55440. b/ 120. Bài 11: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau? b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau? c/Người đó có 8 pho tượng khác nhau? ĐS: a/ 6!. b/ 360. c/ 20160. Bài 12: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả: a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345. d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1? ĐS: a/ 312. b/ 24. c/ 6. d/ 120 ; 480. IV. Tổ hợp Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 8 Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 4 34 1 24 23 n n nn A AC b) 4 5 6 1 1 1 x x x C C C c) 1 2 3 10 1023 x x x x x x x x C C C C ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10 Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ. d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ. ĐS: a) 4 40 C b) 13 25 15 .CC c) 22 25 15 .CC d) 1 3 2 2 3 1 4 25 15 25 15 25 15 25 C C C C C C C e) 4 4 4 40 25 15 C C C Bài 2: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? ĐS: 20 ; 10. Bài 3: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 1200. Bài 4: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: a/ 4 viên bi cùng màu? b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? ĐS: a/ 20. b/ 150. Bài 5: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn? ĐS: 4651200. Bài 6: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó: a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ? b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? ĐS: a/ 112 b/ 150. Bài 7: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần. ĐS: 544320. Bài 8: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số: a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2? b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ? ĐS: a/ 360. b/ 2448. Bài 9: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1). b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. ĐS: a/ 33600 b/ 11340. Bài 10: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy? ĐS: 1800. Bài 11: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? ĐS: a/ 2974. b/ 15048. V. Nhò thức Newton Bài 1: a/ Tìm hệ số của 12 13 xy trong khai triển 25 (2 3 ) .xy b/ Tìm các số hạng giữa của khai triển 3 15 ( ) .x xy ĐS: a) 13 12 13 25 3 .2 . .C b) 31 7 29 8 89 6435 . , 6435 . .T x y T x y Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức: 9 10 14 ( ) (1 ) (1 ) (1 )P x x x x ta sẽ được đa thức: 2 14 0 1 2 14 ( ) .P x a a x a x a x Hãy xác đònh hệ số a 9 ? Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 9 ĐS: 9 3003.a Bài 3: Khai triển 80 2 80 0 1 2 80 ( ) ( 2) .P x x a a x a x a x Tìm hệ số a 78 ? ĐS: 78 12640.a Bài 4: Khai triển 50 2 50 0 1 2 50 ( ) (3 ) .P x x a a x a x a x a/ Tính hệ số a 46 ? b/ Tính tổng 0 1 2 50 .S a a a a ĐS: a/ a 46 = 18654300 b/ 50 4.S Bài 5: a/ Trong khai triển 4 1 n aa a cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 44. Tìm n. b/ Cho biết trong khai triển 2 1 , n x x tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm hạng tử khôn g chứa x. c/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2 3 n x là 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x 4 . ĐS: a/ n = 11 b/ n = 9 ; 84. c/ n = 8; 1120x 4 . VI. Biến cố và xác suất Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. ĐS: a) n( ) = 36. n(A) = 5 P(A) = 5 36 b) 1 4 c) 3 4 Bài 2: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. ĐS: a) 1 6 b) 1 6 Bài 3: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh. ĐS: 5 8 Bài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. ĐS: 1 2 Bài 5: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 3 5 , của người thứ hai là 1 2 . Tính xác suất để con thú bò bắn trúng. ĐS: 4 5 Bài 6: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm. ĐS: a) 1 6 b) 1 6 c) 11 36 d) 25 36 Bài 7: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa. c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa. ĐS: a) 1 16 b) 1 4 c) 11 16 Bài 8: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được: a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt. Bài 9: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi. Bài 10: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2011 - 2012 Trang 10 xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. VII. Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất để cả hai người cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bò thủng lưới ít nhất một lần là 0,94. Bài 2: Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Bài 3: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X. Bài 4: Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X: X 1 2 3 P 0,3 0,5 0,2 Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Bài 5: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi đỏ lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X. . trong các trường hợp sau: a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 2 f) k = 1 2 Trường THPT chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2 011 - 2012 Trang 3 7. Trong. THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O, O lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO song song với các mặt phẳng. chuyên Hùng Vương Đề cương ôn tập HKI lớp 11NC năm học 2 011 - 2012 Trang 6 ĐS: 36. Bài 6: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi