Phương pháp tính tích phân

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: Những phép đổi biến phổ thông: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nµo cã luü thõa cao nhÊt.. - [r]

TÝch ph©n Phương pháp tính Tích phân  I Tính tích phân phương pháp đổi biến: Những phép đổi biến phổ thông: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên dấu ngoặc nµo cã luü thõa cao nhÊt - Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số - Nếu hàm số chứa thức thì đặt t là phần bên dấu thức dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  ln x x - Nếu tích phân chứa e x thì đặt t  e x dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  x x dx - Nếu tích phân chứa thì đặt t  x x - Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t  sin x - Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t  cos x dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  tgx cos x dx - NÕu tÝch ph©n chøa thì đặt t  cot gx sin x Bµi tËp minh ho¹: e 1 dx e x dx  x  1x  2x  1 dx  x.3  xdx  0 e x  x  ln x 0  dx x 1 x  dx  sin x    cos xdx sin xdx e tgx dx 0 sin x  sin x  0  cos x 0 cos x 10  x  x dx II Tính tích phân phương pháp tích phân phần: b b b C«ng thøc:  f ( x )dx  uv a   vdu Nh­ vËy viÖc chän ®­îc u vµ dv cã vai trß quyÕt a a định việc áp dụng phương pháp này Ta thường gặp ba loại tích phân sau: Lo¹i 1: b  a Pn ( x ) sin f ( x ).dx b   u  Pn ( x ) : Trong đó Pn ( x ) là đa thức bậc n   Pn ( x ) cos f ( x ).dx a  b f (x)   Pn ( x ).e dx a -N2C- Lop12.net TÝch ph©n Ta ph¶i tÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn b Lo¹i 2:  P( x ) ln n f ( x ).dx  u  ln n f ( x ) : TÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn a  b x  a e sin  x.dx Lo¹i 3:  b §©y lµ hai tÝch ph©n mµ tÝnh tÝch ph©n nµy ph¶i tÝnh lu«n c¶  x  e cos  x.dx  a tích phân còn lại Thông thường ta làm sau: - TÝnh  e x sin  x.dx :§Æt u  e x Sau tÝch ph©n tõng phÇn ta l¹i cã tÝch ph©n b a b e x cos  x.dx Ta l¹i ¸p dông TPTP víi u nh­ trªn a - Tõ hai lÇn TPTP ta cã mèi quan hÖ gi÷a hai tÝch ph©n vµ dÔ dµng t×m ®­îc kÕt qu¶ Bµi tËp minh ho¹:  e  x  x  1 sin x.dx  x ln x.dx 2   e x cos 5x.dx   x cos 3x.dx   0  e 2003 x sin 2004x.dx  e x sin x.dx Ngoài ta xét thêm vài bài tích phân áp dụng phương pháp TPTP không theo quy tắc đặt trên:  x e dx  sin x x  ln x  .e dx dx       1 x   0  cos x 1 x  III TÝch ph©n hµm ph©n thøc h÷u tû: PhÇn 1: TÝch ph©n h÷u tû c¬ b¶n A A dx  ln ax  b  C a.D¹ng:  ax  b a ax  b a A dx   dx   dx b.D¹ng:  cx  d c cx  d ax  bx  c C c D¹ng:  dx   Ax  B dx   dx dx  e dx  e dx a.D¹ng:  ax  bx  c x  x1   x  x dx dx - NÕu   :     ax  x x  x  x  x ax  x x  x  dx - NÕu   :   b  a x   2a   dx - NÕu   :  §Æt x     .tgt x   2   e  cosln x .dx 2 x dx  x e x -N2C- Lop12.net TÝch ph©n Ax  B dx ax  bx  c  Ax  B ax  bx  c ' dx Ph©n tÝch: I   dx  m. dx  n. 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c dx  m ln ax  bx  c  n. ax  bx  c Bµi tËp minh ho¹: 2004x  2003 dx dx dx    dx  2003 x  2004  x  5x x  6x  x  x  1 2x   3x  dx  dx  x  5x x  x  b A( x ) PhÇn 2: TÝch ph©n h÷u tû tæng qu¸t  dx a Q( x ) - Bước 1: Nếu bậc A(x) lớn bậc B(x): Chia chia A(x) cho B(x) Ta phải tính tÝch ph©n: b P( x ) a Q( x) dx - Bước 2: + Nếu Q(x) toàn nghiệm đơn: Q( x )  x  a x  a  x  a n  , ta tìm A , A A n cho : A1 A2 An P( x )     Q( x ) x  a x  a x  an D¹ng: I   + Nếu Q(x) gồm nghiệm đơn và nghiệm bội: Q( x )  x  a x  b x  c  , ta tìm A, B,C1 ,C cho : C1 C2 P( x ) A B     x  c  Q( x ) x  a x  b x  c  + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn: Q( x )  x  a x  px  q  , ta t×m A, B, C cho : P( x ) A Bx  C   Q( x ) x  a x  px  q + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội: Q( x )  x  a x  px  q  , ta t×m A, B , C1 , B , C cho : B x  C1 B x  C2 P( x ) A    22 Q( x ) x  a x  px  q  x  px  q Bµi tËp minh ho¹: 2 x1 4x  16x  3x  3x   dx dx dx   3 x  4x x  x x  3x  IV Tích phân hàm vô tỷ đơn giản: b b dx 1.D¹ng:  n ax  b dx;  n : §æi n ax  b  ax  b n ax  b a a -N2C- Lop12.net TÝch ph©n b 2.D¹ng:  ax  bx  c dx a b - NÕu a>0 : TÝch ph©n cã d¹ng  u  a du đặt u=atgt a  Hoặc chứng minh ngược công thức: b NÕu a<0 : TÝch ph©n cã d¹ng  u 2 u2 u  a du  u  a  ln u  u  a  C 2 2 a u du đặt u=asint a dx b  3.D¹ng: ax  bx  c x  x1   x  x dx dx - NÕu   :     ax  x x  x  x  x ax  x x  x  dx dx   - NÕu   :    b  b   a x   a x   2a   2a   dx - NÕu   : Víi a>o:  §Æt x     .tgt 2 x      du Hoặc chứng minh ngược công thức:   ln u  u  a  C 2 u a dx Víi a<0:  §Æt x      sin t 2   x    Bµi tËp minh ho¹: 1 dx dx dx dx I   2 I   I   I   0 0 x  3x  x  2x  x  x1  x  2x  a 1 I   x  x  1.dx I    x  2x  dx 0 b 4.D¹ng  x    a BTMH:  dx ax  bx  c dx t dx §Æt x      2x  4 x  2x x  1 x  x  5.D¹ng:  R  ax  b  ; ax  b  .dx §Æt t  ax  b  BTMH:  q dx 2x  1 2 m n  p víi s lµ BCNN cña n vµ q dx 2x  1 s  1  2x   1  2x  1 x x dx V Tích phân hàm số lượng giác: b 1.D¹ng:  f sin x; cos x dx a - NÕu f lµ hµm lÎ theo sinx: §Æt t=cosx -N2C- Lop12.net TÝch ph©n - NÕu f lµ hµm lÎ theo cosx: §Æt t=sinx - NÕu f lµ hµm ch½n theo sinx vµ cosx: §Æt t=tgx Bµi tËp minh ho¹:    sin x cos x dx dx  dx  3 cos x  sin x sin x cos x   dx  sin x  cos x  b 2.D¹ng:  sin m x cos n x.dx a - NÕu m vµ n ch½n: H¹ bËc - NÕu m lÎ: §Æt t=cosx - NÕu n lÎ: §Æt t=sinx  Bµi tËp minh ho¹:    sin x dx dx  4 cos x cos x sin x  sin x cos x.dx  sin x cos x.dx  b 3.Dạng:  R sin x; cos x .dx đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx a x 2dt 2t 2t  t2 sin x  tgx  §Æt t  tg  dx  ; ; ; cos x   t2  t2  t2  t2 b dx Cô thÓ lµ hµm: I   a a sin x  b cos x  c Bµi tËp minh ho¹:    1  sin x  dx I  dx dx I    sin x  cos x  sin x cos x  1 cos x   b a sin x  b cos x 4.D¹ng: I   dx a c sin x  d cos x Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’ b b b b b a sin x  b cos x c cos x  d sin x dc sin x  d cos x  I dx  A  dx  B. dx  A  dx  B. c sin x  d cos x a c sin x  d cos x a a c sin x  d cos x a a I    sin x  cos x dx sin x  cos x b a sin x  b cos x  c 5.D¹ng: I   dx a a sin x  b cos x  c Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’+C b b b a cos x  b sin x dx I  A  dx  B  dx   C a a a sin x  b cos x  c a a sin x  b cos x  c Bµi tËp minh ho¹: I   da sin x  b cos x  c   C.J a sin x  b cos x  c a a J lµ tÝch ph©n tÝnh ®­îc b b  A  dx  B    sin x  cos x  sin x  Bµi tËp minh ho¹: I   dx I   dx sin x  cos x  3 sin x  cos x  -N2C- Lop12.net TÝch ph©n VI Phép đổi biến đặc biệt: b I   f ( x )dx a Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính ta thử dùng phép đổi biến: t  a  b   x Thực chất phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ hàm số f(x) Bµi tËp minh ho¹:     x sin x sin 2004x cos x I   x dx I   dx dx I   ln x  x  dx I   x e  1  cos x 1 2003   Chøng minh r»ng: a a a NÕu f(x) lµ hµm sè ch½n vµ liªn tôc trªn  a; a th×:  f ( x )dx  2. f ( x )dx a NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ vµ liªn tôc trªn  a; a th×:  f ( x )dx  a     0 0  f (sin x )dx   f (cos x )dx  x.f (sin x )dx   f (sin x )dx -N2C- Lop12.net