Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b).. udv uv v du[r]
(1)Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
CHƯƠNG 3
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa nguyên hàm • Định nghĩa:Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x)
là nguyên hàm f(x) (a,b) nếu:
• Ví dụ:
, ,
F x f x x a b
là nguyên hàm của trên
nguyên hàm a treân R.
tan 1 tan
\ 2 1 2
ln
x x
x x
R n
a a
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân bất định
• Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu:
• Được xác định sau:
• F(x) nguyên hàm f(x).
• C: số tùy ý.
f x dx
f x dx F x C
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tính chất
)
) .
)
i f x dx f x
ii k f x dx k f x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
Công thức bản
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. cos
8. sin
x x
k dx x dx
dx dx
x x
a dx e dx
ax b dx
ax b dx
Công thức bản
2
2
2 2
2
9. 10.
cos sin
11. 12.
1 1
13. 14.
15. 16.
dx dx
x x
dx dx
x x
dx dx
a x a x
dx dx
(2)Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Công thức bản
2
2
17. 18.
sin cos
19. 20.
cos
21. 22.
sin
ax b
dx dx
x x
dx dx
ax b
ax b
dx
e dx
ax b
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định
• Định nghĩa:Nếu f hàm số xác định [a;b].
3 Gọi là điểm mẫu bất kỳ trong đoạn con
* * *
1
* , , ,
; . n
i i i
x x x
x x x
2.Giả sử là điểm biên
những đoạn Ta có0 , , , ,
. : .
n i
a x x x x b
x a i x
1.Chia đoạn thành phần nhau, có chiều rộng
[ , ]a b n b a x
n
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định
• Tích phân xác định hàm f từ a đến b là:
(nếu giới hạn tồn tại).
• Khi ta nói hàm f khả tích [a,b].
* lim
b n
i n
i a
f x dx f x x
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Chú ý
: dấu tích phân : hàm lấy tích phân : cận lấy tích phân : biến độc lập Tích phân là số, khơng phụ thuộc vào
Tổng Riemann: * ,
b
a
b b b
a a a
n i i
f x
a b dx x
f x dx x
f x dx f t dt f r dr f x x
Tích phân xác định
• Cơng thức:
• Trong F(x) nguyên hàm (tích phân bất
định) f(x).
b b
a a
f x dx F x F b F a
Tính chất
• Giả sử f(x), g(x) khả tích [a;b] Khi ta có:
) ( ) ( )
) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b
a a
b b b
a a a
b c b
a cf x dx c f x dx
b f x g x dx f x dx g x dx
(3)Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tính chất
d) Với a<b g(x)≤f(x) [a;b] ta có:
Hệ quả:
, ,
b b
a a
g x f x x a b g x dxf x dx
b b
a a
f x dx f x dx
Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tính chất
• e) Nếu
• thì:
, ,
m f x M x a b
b
a
m ba f x dxM ba
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân hàm đối xứng • Cho f liên tục [-a; a].
0 2
0
a a
a
a
a
f x dx f x dx
f x dx
f
f x f x
x x
f
f) Nếu f hàm chẵn thì:
g) Nếu f hàm lẻ thì:
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Các phương pháp tính
• Phân tích, biến đổi
• Đổi biến dạng 1
• Đổi biến dạng 2
• Tích phân phần
Phương pháp phân tích
• Chia đa thức
• Nhân liên hợp
• Áp dụng cơng thức biến đổi hàm số
• Sử dụng cơng thức bản
Đổi biến số dạng 1
• Đặt t=u(x)
• Ta đưa tích phân dạng:
• Phải tìm u’ biến đổi u’ xuất trước.
u'
(4)Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ
• Tính tích phân sau
3
2
. cos 2 . 2 1
. 1 . . tan
a x x dx b x dx
c x x dx d xdx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đổi biến số dạng 2 • Đặt: x=u(t)
• Biến đổi biểu thức tính tích phân dạng:
. f x dx f u t u t dt
Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ
• Tính tích phân sau
2
2
2
0
1
2 2
0
) 4 )
1
) )
1 1
x
a x dx b dx
x
dx dx
c d
x x x
Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân phần
• Đưa biểu thức tính tích phân dạng:
• Đặt:
• Khi đó:
. f x dx h x g x dx
' du h x u h x
dv g x dx v g x dx
. .
f x dx h x g x dx uv v du
Tích phân phần
• Đưa biểu thức dạng tích
• Chọn hàm để đặt u dv
• Chú ý: chọn cho việc tính đạo hàm tích
phân dễ tính.
• Áp dụng cơng thức:
. udv uv v du
Các dạng cần nhớ
sin cos . . n n
ax n
P x ax dx
P x ax dx
P x e dx ln .arctan .arcsin n
n
P x x dx
P x x dx
(5)Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ
• Tính tích phân sau
2
1
1
0
) ln ) 2 1 sin
) cos ) arctan
e
a x xdx b x xdx
c x xdx d x xdx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng tích phân kinh tế
• Tìm chi phí biết chi phí cận biên
• Tìm doanh thu biết doanh thu cận biên
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng tích phân kinh tế
• Giả sử mức sản lượng Q, chi phí cận biên
là:
• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định C0=200.
2 90 120 27
MC Q Q Q
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng tích phân kinh tế
• Giả sử mức sản lượng Q, chi phí cận biên
là:
• Giả sử Q=1 chi phí 60 Tìm hàm chi phí.
2
50 18 45 4
MC Q Q Q Q
Ứng dụng tích phân kinh tế
• Giả sử mức sản lượng Q, doanh thu cận
biên là:
• Giả sử Q=1 R=37 Tìm doanh thu hàm giá
theo sản lượng.
2
3 8 30
MR Q Q Q
Ứng dụng tích phân kinh tế
• Cho biết doanh thu cận biên mức giá p là:
• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) R=10,4
(triệu đồng) Tìm doanh thu hàm sản lượng theo giá.
3
4 3 24 15
(6)Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân suy rộng
• Loại 1: cận vơ hạn
• Loại 2: hàm có điểm kỳ dị
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến TPSR loại 1
• Dạng:
• Cách tính:
a
f x dx
lim b
b
a a
f x dx f x dx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến TPSR loại 1
Nếu hữu hạn
thì hội tụ.
lim b
b a
a
f x dx S f x dx
Nếu
không tồn tại
thì phân kỳ.
lim b
b a
a
f x dx f x dx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ
• Tính tích phân sau:
• Tổng qt:
2
1
. dx . dx
a I b J
x x
1 dx K
x
Ghi nhớ
• Tổng quát:
1 dx K
x
hội tụ >1; phân kỳ khi 1 cùng tính chất.
' dx 0
K a
Các loại khoảng vô hạn
Daïng b lim b
a a
f x dx f x dx
Daïng c
c
f x dx f x dx f x dx
hội tụ
(7)Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn hội tụ 1 • Cho
0 f x g x , x a,
Nếu hội tụ hội tụ.
Nếu phân kỳ phân kỳ.
a a
a a
g x dx f x dx
f x dx g x dx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn hội tụ 2
Cho vàø
Nếu thì tích phân tính chất.
HT HT
: PK
; 0, , lim
0 0:
x
a a
a a
f x
f x g x x a k
g x k
k g x dx f x dx
k g x dx f x dx PK
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn hội tụ 3 Cho có dấu tùy yùtreân
Nếu HT HT tuyệt đối.
PK
Nếu bán HT.
HT
, .
a a
a
a a
f x a
f x dx f x dx
f x dx
f x dx f x dx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến TPSR loại 2
• Điểm kỳ dị: điểm x0gọi điểm kỳ dị hàm
f(x) nếu:
0 lim x x f x
Điểm kỳ dị cận trên
• Xét tích phân:
• Ta có:
vớilim c
x c a
f x dx f x
=lim
c b
b c
a a
f x dx f x dx
Điểm kỳ dị cận dưới
• Xét tích phân:
• Ta có:
với lim b
x a a
f x dx f x
=lim
b b
c a
a c
(8)Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Điểm kỳ dị khoảng tích phân
• Ta tách thành tích phân có cận cận
dưới điểm kỳ dị.
• Nếu tích phân thành phần hội tụ tích
phân ban đầu hội tụ.
• Giả sử c điểm kỳ dị nằm (a,b)
=
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ghi nhớ
• Tổng quát:
;
b b
a a
dx dx
K L
x a b x
hội tụ <1; phân kỳ khi 1
Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn hội tụ 1 • Cho
0 f x g x , x a b,
Nếu hội tụ hội tụ.
Nếu phân kỳ phân kỳ.
b b
a a
b b
a a
g x dx f x dx
f x dx g x dx
Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn hội tụ 2
Cho vàø
Nếu thì tích phân tính chất.
HT HT
: PK
; 0, , lim
0 0:
x b
b b
a a
b b
a a
f x
f x g x x a b k
g x k
k g x dx f x dx
k g x dx f x dx PK
Tiêu chuẩn hội tụ 3 Cho có dấu tùy ýtrên
Nếu HT HT tuyệt đối.
PK
Nếu bán HT.
HT
,
b b
a a
b
b a
b
a
f x a b
f x dx f x dx
f x dx