Bài tập nguyên hàm tích phân và ứng dụng

DẠNG 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm cơ bản.  Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm. Bài tập minh họa.. Câu hỏi trắc nghiệm.. Sử dụng các kỹ thuật đặc biệt để tìm họ nguyên hàm của cá[r]

(1)

1 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG

A-L THU T

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x  xác định khoảng K

Hàm số F x  gọi nguyên hàm hàm số f x  F' x  f x  với xK Ví dụ

a) Tính đạo hàm hàm số F x sinxxcosx C , với C số b) Từ suy xsin d x x

Lời giải

Ví dụ

a) Tính đạo hàm hàm số  

ln

F x  x x  C, với C số b) Từ suy

2

d

x x 



Lời giải

Nhận xét

Nếu F x  nguyên hàm f x  F x C, C  nguyên hàm f x  Ký hiệu:  f x dxF x C

3 Tính chất  

 /   d

f x x  f x



     

d d ,

K f x xK f x x K K 

 

    d  d  d f x g x x f x x g x x

 

 

  

4 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp

(2)

2 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng

d

k xkx C

 , k số

 

1

d

1 x

x x C



 





   



    

d

1 ax b

ax b x C

a

 





  





1

dx ln x C

x  

 dx 1lnax b C

ax b  a  

 d

x x

e xe C



d

ax b ax b

e x e C

a

   



d ln

x

x a

a x C

a

 

 d

.ln mx n mx n a

a x C

m a 

  



cos dx xsinx C

    

cos ax b dx sin ax b C a

   

 sin dx x cosx C

    

sin ax b dx cos ax b C a

    



1

d tan

cos x x x C

 2   

1

d tan

cos ax b xa ax b C 

2

1

d cot

sin x x  x C

 2   

1

d cot

sin ax b x a ax b C 

Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số

3

y x x

x

   Lời giải

Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số F x   2x1 d x, biết F 1 5 Lời giải

B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

DẠNG Tìm họ nguyên hàm hàm 1 Phương pháp

 Áp dụng bảng nguyên hàm để tìm

 Áp dụng định nghĩa để chứng minh F x  nguyên hàm hàm số f x :

F' x  f x  với xK

 Nếu toán cho điều kiện F a b ta thay ,a b vào họ nguyên hàm vừa tìm để tìm số C

2 Bài tập minh họa

Bài tập 1.Tìm họ nguyên hàm hàm số sau:

a)  

3

f x  x  b) f x 2xsin 2x c) f x( )3x

d).f x cos 2x e).f x( )3x15 d)  

2

f x x  x

f)  

2

1

3

f x x

x

   g).sin 2016 x2017 d x h)

 

2

1

(3)

3 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải

Bài tập Tìm hàm số f x  biết  

2

1

'

f x x

x

 

  

  f  1 2

Lời giải

Bài tập Chứng minh hàm số:   2 ;

1 ; x

e x

F x

x x x

  

 

   nguyên hàm hàm số  

; ;

x

e x

f x

x x

 

 

 



Lời giải

Bài tập Tìm số thực m để hàm số    

3

F x mx  m x  x nguyên hàm hàm số  

3 10

(4)

Bài tập Cho hàm số  

x

f x x e Tìm , , a b c để    

x

F x  ax bx c e nguyên hàm hàm số f x 

Lời giải

3 Câu hỏi trắc nghiệm

Mức độ Nhận biết Câu 1.(Đề Chính Thức 2018) Nguyên hàm hàm số

f x x x A

x x C B

3x  1 C C

x  x C D

4x 2x C Lời giải

Câu 2.(THPT Nguyễn Huệ-Huế2019)Nguyên hàm hàm số

3

y x x

x

  

A

3

3 ln

3

x x

x C

   B

3 2

3

x x

C x

   C

3

3 ln

3

x x

x C

   D

3

3 ln

3

x x

x C

  

Lời giải

Câu 3.(THPT Trần Phú 2018) Họ nguyên hàm hàm số  

5

f x  x  x  A

20x 12xC B x52x3 x C C 20x512x3 x C D

4

2

4 x

x x C

  

Lời giải

(5)

5 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 4.(THPT Phan Chu Trinh 2018) Họ nguyên hàm hàm số f x ex cosx2018 là:

A F x ex sinx2018xC B F x exsinx2018xC C F x exsinx2018x D F x exsinx2018C

Lời giải

Câu 5.(THPT Đức Thọ 2018)Nguyên hàm hàm số   2018

f x x , (x ) hàm số hàm số đây?

A 2018

( ) 2017

F x  x C, (C ) B

2019

( )

2019 x

F x  C, (C )

C 2019

( )

F x x C,(C ) D 2017

( ) 2018

F x  x C, (C ) Lời giải

Câu 6.(SGD Bắc Giang 2018)Họ nguyên hàm hàm số f x 2 cos 2x

A 2sin 2x C B sin 2x C C 2sin 2x C D sin 2x C

Lời giải

Câu 7.(Sở GD-ĐT Quãng Nam 2018) Tìm 12dx x



A 12 dx C x  x

 B 12dx C

x   x

 C 12d

2

x C

x  x

 D

2

1

dx lnx C

x  



Lời giải

Câu 8.(THPT Năng Khiếu TP HCM 2018) Biết F x  nguyên hàm  

1 f x

x





 0

F  F 1

A ln B 2ln C D

Lời giải

Câu 9.(THPT Trần Nhân Tơng 2018)Tìm ngun hàm hàm số ysin 2 x1 A 1cos 2 1

2 x C B cos 2 x 1 C C  

cos

2 x C

   D 1sin 2 1

2 x C

  

Lời giải

Câu 10.(SGD Đồng Tháp 2018) Hàm số sau không nguyên hàm  

f x  x

0;? A  

3

1

x

F x   B  

3

x x

F x   C  

4

3 4

F x  x  D  

3

2

(6)

Câu 11.(THPT Chuyên Lê Quý Đôn 2018) Nguyên hàm hàm số

e x y   A

e

x C

   B

3e x C

  C

e

x C  

  D

3e x C Lời giải

Câu 12.(Chuyên Hùng Vương 2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 5x1 A

ln x

x C

  B 5x x C C lnx x x C D 5x x C Lời giải

Câu 13.(THPT Hải Hậu A 2018) Tìm d

x x  A 1ln 2 1

2 x C B  2

2

2x C

 

 C ln 2x 1 C D

1

ln 2 x C

Lời giải

Câu 14.(THPT Trần Kỳ Phong 2018) Họ nguyên hàm hàm số f x  3sin 2x2 cosxex A 6 cos 2x2sinx ex C B cos 2x2sinx ex C

C 3cos 2sin e

x

x x C D 3cos 2sin e

2

x x x C Lời giải

Câu 15.Họ nguyên hàm hàm số   2018

3

f x  xx A

2019

673 x

x C B

2019

2

2019 x

x  C C

2019

1

673 x

C x   D

2017

1

6054

2 x  x C Lời giải

Câu 16.(Lương Văn Chánh 2018) Tìm nguyên hàm hàm số  

4

f x x





A 2d ln C

4

x

x x

 

   

  

 B 2d 1ln

4 2

x

x C

x   



C 2d 1ln

4 2

x

x C

x

 

   

  

 D 2d 1ln

4

x

x C

x   



(7)

Câu 17.(THPT Chuyên Lương Thế Vinh 2018) Nguyên hàm hàm số  

1

f x

x





A  f x dx 2 ln 2 x C B  f x dx2 ln 2 x C C  d 1ln

2

f x x   x C

 D  f x dxln 2 x C

Lời giải

Câu 18.(Sở GD -ĐT Hậu Giang 2018) Họ nguyên hàm hàm số  

2

1

7

f x x

x x

   

A

ln

x x x

x

   B

ln

x x x C

x

   

C

ln

x x x C

x

    D

ln

x x x C

x

   

Lời giải

Câu 19.(THPT Chuyên ĐHSP 2018) Cho F x  nguyên hàm hàm số

yx Giá trị biểu thức F 4

A B C D 16

Lời giải

Mức độ Thông Hiểu

Câu 20.(Sở GD-ĐT Sóc Trăng 2018) Cho F x cos 2xsinx C nguyên hàm hàm số f x  Tính f  π

A f  π  3 B f  π 1 C f  π  1 D f  π 0 Lời giải

Câu 21.(SGD Đồng Tháp 2018) Cho hàm số   x

f x  x e Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  thỏa mãn F 0 0

A  

1

x

F x x  e B   x

F x x e C F x ex1 D  

1

x F x x  e Lời giải

(8)

8 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 22.(THPT Nguyễn Khuyến 2019)Gọi F x là nguyên hàm hàm số f x 2xexthỏa mãn F 0 2019 Tính F 1

A e 2019 B e 2018 C e 2018 D e 2019

Lời giải

Câu 23.(Chuyên ĐH Vinh 2019) Tìm nguyên hàm hàm số biết

A B C D

Lời giải

Câu 24.(THPT Ninh Giang 2018) Cho F x là nguyên hàm  

e x

f x  thỏa mãn F 0 1 Mệnh đề sau đúng?

A  

e

3

x

F x   B  

e

x

F x  C  

e

3

x

F x   D  

e

3

x F x    Lời giải

Câu 25.(THPT Chuyên Hà Tỉnh 2019) Biết F x nguyên hàm hàm số   f x exsinx thỏa mãn F 0 0 Tìm F x ?  

A   x cos

F x  e  x B   x cos

F x  e  x C F x excosx2 D F x   ex cosx2

Lời giải

Câu 27.(THPT Thuận Thành 2019) Cho F x  nguyên hàm hàm số   f x

x



 , biết

 0

F  Giá trị F 2

A 1ln

 B 1ln

2

 C ln 3 D 11 ln 3

2 

Lời giải

 

F x f x exx F 0 2

 

2 x x

F x e    

2

1 x x

F x e    

2

1 x x

F x e    

2

(9)

9 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 28.(TH Tuổi TRẻ 6-2018) Tính nguyên hàm hàm số   e 2017 2018e5



 

   

 

x x

f x

x A  d 2017ex 20184

f x x C

x

  

 B  d 2017ex 504, 54

f x x C

x

  



C f x dx 2017ex 504, 54 C x

  

 D f x dx 2017ex 20184 C

x

  



Lời giải

Câu 29.(THPT Kim Liên 2019) Tìm nguyên hàm hàm số  

 2

1 sin cos

f x

x x





A  d 1tan

2

f x x  x C

 

 B  d 1tan

2

f x x x C

 



C  d 1tan

2

f x x  x C

 

 D  d 1tan

2

f x x x C

 



Lời giải

Câu 30.(Chuyên Phan Bội Châu 2019) Hàm số sau nguyên hàm hàm số

 

2

f x x



 ?

A F x ln 2x 1 B   1ln 2

2

F x  x  C   1ln

2

F x  x  D    

ln 4

4

F x  x  x  Lời giải

Câu 31 (THTT số 6-489 2018) Tính nguyên hàm hàm số   e 2017 2018e5 x x

f x

x 

 

   

 

A f x dx 2017ex 20184 C x

  

 B f x dx 2017ex 504, 54 C

x

  



C f x dx 2017ex 504, 54 C x

  

 D f x dx 2017ex 20184 C

x

  



(10)

Mức độ Vận dụng

Câu 32.(Chuyên Lê Q Đơn Điện Biên)Tìm ngun hàm F x  hàm số

f x  ax b2 x 0

x

   , biết F  1 1,F 1 4, f  1 0 A  

2

3

2 4

x F x

x

   B  

2

3

4

x F x

x

  

C  

2

3

4

x F x

x

   D  

2

3

2 2

x F x

x

  

Lời giải

Câu 33.(Sở Phú Thọ 2019) Cho F x  nguyên hàm   1 f x

x



 khoảng 1;

thỏa

mãn Fe 1  Tìm F x 

A 2lnx 1 B lnx 1 C 4lnx1 D.lnx 1 Lời giải

Câu 34.(Cụm trường chuyên) ChoF x là nguyên hàm hàm số   f x

x 

 Biết  1

F  Giá trị F 2 A  2 1ln

2

F   B F 2 ln 2 C F 2 2 ln 2 D  2 1ln 2

F  

Lời giải

Câu 35 (Liên Trường Nghệ An) Cho hàm số   2

2 x x

f x  x e   xe , ta có  

3

2 2

x x x

f x dxme  nxe pe C

 Giá trị biểu thức m n pbằng

A

3 B C

13

6 D

(11)

Câu 36.(THPT Đoàn Thượng 2019)Biết hàm số y f x  có  

3

f x  x  xm,f  2 1 đồ thị hàm số y f x  cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f x  là:

A

2 5

x  x  x B

2x x 7x5 C

3

x x  x D

4

x x  x Lời giải

Câu 37.(Tạp Chí Tốn Học)Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x 2x, thỏa mãn

 

0

ln

F  Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1   F2018F2019 A

2019

2

1009 ln

T   B 2019.2020

2

T  C

2019

2

ln

T   D

2020

2

ln T   Lời giải

Câu 38.(THPT Thăng Long 2019)Cho F x  x4 2x21 nguyên hàm hàm số

 

f x  x Hàm số y f x  có tất điểm cực trị?

A B C D

Lời giải

(12)

12 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 39.(Sở Quảng Ninh)Cho F x( ) nguyên hàm hàm số   2 

4 x

f x e x  x Hàm số ( )

F x có điểm cực trị?

A B C D.4

Lời giải

Câu 40 (THTT lần5)Cho hàm số f x  có đạo hàm với x f x  2x Giá trị    2 

f f

A B C D

Lời giải

Câu 41.(Nam Tiền Hải Thái Bình)Biết F x  nguyên hàm hàm số f x( )sin 2x

1

F   

  Tính F 

     

A

6

F   

  B

5

6

F   

  C.F



    

  D

3

6

F   

 

Lời giải

Câu 42.(THPT Kim Liên 2019) Cho hai hàm số        

e ,x ex

F x  x ax b f x  x  x Biết ,

a b số thực để F x  nguyên hàm f x  Tính S  a b

A S  6 B S12 C S6 D S4

Lời giải

Câu 43.(Cụm trường chuyên)Biết    

e x

F x  ax bxc  nguyên hàm hàm số

   

2 e x

f x  x  x  Giá trị biểu thức f F  0 bằng : A

e



B 3e C

(13)

Câu 44.(THPT chuyên Thái Nguyên)Cho F x là nguyên hàm hàm số f x ex2x34x Hàm số  

F x x có điểm cực trị?

A B C D

Lời giải

Câu 45.(Chuyên ĐH Vinh) Biết ex

x nguyên hàm f  x khoảng  ;  Gọi F x  nguyên hàm f x ex thỏa mãn F 0 1, giá trị F 1

A

2 B

5 e



C e

2



D

2 Lời giải

(14)

Câu 46(THPT chuyên Bắc Giang)Cho hàm số F x  nguyên hàm    2 

2019x

f x  x x  x Khi số điểm cực trị hàm số F x 

A.3 B C D

Lời giải

Câu 47.(Sở GD ĐT Quảng Ninh)Cho hàm số 2

( ) ( ) x

F x  ax bx c e nguyên hàm

hàm số 2

( ) (2018 1) x

f x  x  x e khoảng ( ; ) Tính T  a 2b4c

A T 1011 B.T  3035 C T 1007 D T  5053 Lời giải

Câu 48.(Trường Chuyên Hùng Vương 2018) Hàm số F x   ax b  4x1 (a b, số thực) nguyên hàm   12

4

x f x

x



 Tính a b

A B C D

Lời giải

(15)

15 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 49.(THPT Đoàn Thượng 2018) Hàm số   1 

e 24 17

27

x

F x   x  x C nguyên hàm hàm số

A    

2 e x

f x  x  x  B    

2 e x

f x  x  x 

C    

2 e x

f x  x  x  D    

2 ex

f x  x  x  Lời giải

Câu 50.(Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Cho hàm số f x  xác định thỏa mãn f x 2x1  1

f  Phương trình f x 5 có hai nghiệm x1, x2 Tính tổng S log2 x1 log2 x2

A S1 B S 2 C S0 D S4

Lời giải

Câu 51.(THPT Lê Quý Đôn)Cho  

2

e

d ln 5e

1

x

x ax b c x

x x x x C

x

    

      

 

  

 



Tính giá trị biểu thức M   a b c

A B 20 C 16 D 10

Lời giải

DẠNG Sử dụng kỹ thuật đặc biệt để tìm họ nguyên hàm hàm phức tạp 1 Phương pháp

 Dấu hiệu: Một số hàm khơng có dạng hàm chứa tích đa thức, hàm chứa thức, tích hàm lượng giác, Phân thức hữu tỉ…

 Cách tìm: ta sử dụng kỹ thuật sau để tìm họ nguyên hàm:

(16)

16 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 2 Bài tập minh họa

Bài tập Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a)  

2

1

2

f x x x

x x

  

    

   b)  

2

1 x f x

x



 

   Lời giải

Mức độ Nhận biết

Câu 52 (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x  3x 12

x

 

A  d 3x

f x x C

x

  

 B  d

ln x

f x x C

x

  



C f x dx 3x C x

  

 D  d

ln x

f x x C

x

  



Lời giải

Câu 53.(PTNK-ĐHQG TP HCM 2018) Tìm nguyên hàm F x  hàm số  

2

4 x x

x x f x    

 

A   12

ln12

x

x x

F x   C B F x 12xx xC C  

2

ln ln x x

x x x F x    

  D  

2

2 ln

ln ln x x

x x x F x    

 

Lời giải

Câu 54.(THPT Nguyễn Trãi Đà Nẵng 2018) Tính

2

1 d

x x

x

  

 

 



A 208

17 B

196

15 C

305

16 D

275 12

(17)

Câu 55.(Sở Vĩnh Phúc) Tìm nguyên hàm hàm số f x   x 1x2 A  

3

d

3 x

f x x  x  x C

 B  f x dx2x 3 C

C  

3

2

d

3 x

f x x  x  x C

 D  

3

2

d

3 x

f x x  x  x C



Lời giải

Câu 56.(THPT Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F x  hàm số f x   x 1x2x3 ? A  

4

3 11

6

4

x

F x   x  x  x C B  

6 11

F x  x x  x  x C

C  

4

3 11

2

4

x

F x   x  x  x C D F x  x3 6x211x26x C Lời giải

Kỹ thuật Sử dụng công thức lũy thừa  0

m

n xm xn x để tìm họ nguyên hàm thức.

Bài tập Tìm nguyên hàm sau: a)

2

3 d

x x x

x x



 b) x x 2 xdx

x



 c)

3

1 d

x x

 

 d) d

1 x x

x x

 



Lời giải

(18)

Câu 57.(Trường BDVH218LTT 2018)Tìm nguyên hàm hàm số

A B

C D

Lời giải

Câu 58.(Chuyên Đại Học Vinh) Tất nguyên hàm hàm  

3

 

f x

x A 3x 2 C B

3 x C C

2

3

 x C D 2 3x 2 C Lời giải

Câu 59.(Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Hàm số nguyên hàm hàm số

f x x 0; ?

A

2

F x x x B

2

F x x

x

C

2

F x

x D

3

2

1

F x x x

Lời giải

 

f x  x

  2 

d 3 C

3

f x x x x 

   1 

d 3 C

3

f x x x x 



  1 

d 3 C

3

f x x  x x 

  

d C

2

f x x x 

(19)

19 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 60.(THPT Kim Liên 2019) Tìm nguyên hàm hàm số f x  x 12

x

 

A  

d

f x x x C

x

  

 B   3

d

f x x x C

x

  



C  

d

f x x x C

x

  

 D  

d

f x x x C

x

  



Lời giải

Câu 61.(THPT Ngô Quyền Hà Nội) Nguyên hàm f x  x x



A

2

x C

 

B C

x  C

2 C x



 D

2

x C

 Lời giải

Câu 62.(THPT Quỳnh Lưu) Nguyên hàm hàm số f x  3x2 A 23 2

3 x x C B  

1

3

3 x x C

C 23 2

9 x x C D

3

2 3x2C Lời giải

Câu 63.(Chuyên Nguyễn Du Đăk Lăk)Họ nguyên hàm hàm số   2019

3

f x  xx

A 2018

2019 C

3 x  x  B

2018

3

2019 C

2 x  x 

C

2020

2 C

2020 x

x x  D

2020

3 C

2020 x

x x  Lời giải

Câu 64.(THPT Kim Liên 2017)Tìm số a để hàm số f x  x x



 có nguyên hàm

  ln 1

F x a x 

A a2 B a3 C a1 D

2

a Lời giải

(20)

20 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 65.(Chuyên Tiền Giang 2018)Tìm hàm số F x  biết F x  nguyên hàm hàm số

 

f x  x F 1 1 A  

3

F x  x x B  

3

F x  x x

C   1

2

F x

x

  D  

3

F x  x x Lời giải

Câu 66.(Chuyên Vĩnh Phúc-2018)Một nguyên hàm hàm số f x  2 x là: A 32 1

2 x  x B  

3

1 2

2 x x

  

C 32 1

4 x  x D  

1

1 2

3 x x

  

Lời giải

Câu 67.(Sở GD & ĐT Cần Thơ 2018)Biết F x nguyên hàm hàm số     1

2

f x m

x

  



thỏa mãn F 0 0 F 3 7 Khi đó, giá trị tham số m

A 2 B C 3 D

Lời giải

Kỹ thuật Sử dụng công thức cộng lượng giác

1

sin cos [sin( ) sin( ) ]

1

sin sin [cos( ) cos( ) ]

1

cos cos [cos( ) cos( ) ]

ax bx a b x a b x

   

   

   

để tìm

(21)

21 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 2 Bài tập minh họa

Bài tập Tìm nguyên hàm sau:

a).sin cos dx x x b)  

8cos 2x1 sin x xd



Lời giải

a).cosxsin 2x2 cos cosx xdx b).sin cos d x x x Lời giải

Mức độ Nhận biết Câu 68.(THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Tìm sin cos d x x x A 1cos C

5 x B

1

cos cos

8 x 12 x C

  

C 1cos

5 x C

  D 1cos cos

8 x12 x C

Lời giải

Câu 69.(THPT Kim Liên) Họ nguyên hàm hàm số f x sin2 xcos2x A 1 sin

4x16 x C B

1

sin 8x32 x

C 1sin

8x8 x C D

1

(22)

Câu 70.(THPT Quỳnh Lưu) sin cos dx x x A cos

4

x C

 B

2

sin

x C

  C

2

sin

x C

 D

2

cos

x C

 Lời giải

Câu 71.(THPT Chuyên Quốc Học Huế 2018) Tìm họ nguyên hàm f x tan 2x

A  

tan dx x2 tan 2 x C

 B tan dx x ln cos 2x C

C 1 

tan d tan 2

x x  x C

 D tan d 1ln cos

2

x x  x C



Lời giải

Câu 72.(THPT Yên Lạc 2019) F x  nguyên hàm hàm số y2sin cos 3x x F 0 0,

A F x cos 4xcos 2x B   cos cos

4 8

x x

F x   

C   cos cos

2 4

x x

F x    D   cos cos

4

x x

F x   

Lời giải

(23)

23 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 73.(KonTum 12) Họ nguyên hàm hàm số f x 2sin cos 2x x

A 1cos cos

3 x x C

   B 1cos cos

3 x x C

C 1cos cos

3 x x C D cos3xcosx C

Lời giải

Câu 74.(THPT Thanh Chương Nghệ An)Họ nguyên hàm hàm số   sin cos 1

f x x x

x

 



A   1cos ln

F x  x x C B F x  4 cos 2xln x 1 C C   1cos ln 1

4

F x   x x C D   1cos ln

4

F x   x x C Lời giải

Kỹ thuật Sử dụng công thức hạ bậc

 

2

sin cos

2

cos cos

2

x x

 

 

để tìm họ nguyên hàm hàm

lượng giác có mũ bậc chẵn 1 Bài tập minh họa

Bài tập 10 Tìm nguyên hàm sau: a)

4 cos x xd

 b).1 sin x2dx

Lời giải

(24)

Bài tập 11 Tìm nguyên hàm sau:

a) 2 2 d sin xcos x x

 b) 4 2 d

4 cos x4 cos x1 x



Lời giải

a).3 cos 2 x2dx b)

2

5

sin d

sin

x x

x

  

 

 



Lời giải

a).sin tan dx x x b)

tan x xd 

Lời giải

(25)

25 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 14 Tìm nguyên hàm sau:

a)

sin dx x

 b)

sin x xd 

Lời giải

Câu 75.(Trường BDVH218LTT 2018) Tìm nguyên hàm hàm số  

cos

x f x    

 

A  f x dx x sinx C B  f x dx x sinx C

C  d 1sin

2

x

f x x  x C

 D  d 1sin

2

x

f x x  x C



Lời giải

Câu 76 (TT Diệu Hiền-Cần Thơ 2018) Trong hàm số sau: (I)  

tan

f x  x (II)   22

cos

f x

x



(III)  

tan

f x  x

Hàm số có nguyên hàm hàm số g x tanx ?

A Chỉ (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II), (III) D (I), (II), (III) Lời giải

(26)

26 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 77.(Sở GD & ĐT Cần Thơ 2018)Họ nguyên hàm hàm số  

4x sin

f x   x A 1sin

ln 4 x

x C

  B

3

sin ln

3

x x

x C C

3

sin ln

3

x x

x C D 1sin

ln 4 x

x

x C

  

Lời giải

Câu 78.(THPT Chuyên Hà Tỉnh) Cho hàm số  

sin

 m

f x x

 Giá trị tham số để nguyên

hàm F x  hàm số f x  thỏa mãn điều kiện F 0 1

4

F    

  là:

A

3

 

m B

4



m C

4

 

m D

3

 

m

Lời giải

Câu 79.(THPT Chuyên Hà Tỉnh) Biết Giá trị

A B C D

Lời giải

1

d tan cos

x

x a C

x  b



 S a b

(27)

Kỹ thuật Sử dụng kỹ thuật tách hạng tử, nhóm hạng tử, thêm bớt hạng tử để tìm họ nguyên hàm hàm hữu tỉ  

 d P x

x Q x

 , với P x  Q x  đa thức 1 Phương pháp

 Nếu bậc P x  lớn bậc Q x thì ta tách lấy P x  chia cho Q x 

 Nếu bậc P x  nhỏ bậc Q x  lấy nguyên hàm Ta xét hai toán sau:

Bài toán Mẫu nhị thức bậc Q x ax b , a0 Suy P x  số Khi tích phân cần tính có dạng A dx A dx A ln1 ax b

ax b  ax b  a 

 

Bài tập 15 Tìm nguyên hàm hàm số sau: a)  

2

1

2

x x x

f x

x

  

 b)  

3

3x x 5x

f x

x

  



Lời giải

2

3

d

3

x x

 



 b)

3

1 d x

x x

 



Lời giải

(28)

Bài toán Mẫu tam thức bậc hai    

,

Q x ax bx c a  Suy P x  số hay hàm số bậc

1 Phương pháp  Trường hợp

0

ax bx c có hai nghiệm phân biệt x1, x2 phân tích  

 

P x A B

Q x  xx  xx Sau dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A B

 Trường hợp

0

ax bx c có nghiệm kép x0  

    2

P x P x

Q x  a xx với

b x

a

 

▪ Nếu P x số  

 2  2  

0

1

d d

A A A

x x

a a x x

a x x x x

  

   



   

 

▪ Nếu P x  hàm bậc

 

0

2

0

1

d A x x B Ax d

Ax B

x x

a

a x x x x

  

 

 

 

 

0

0 0

1 1

d d

A x B Ax x

a x x x x

 

    

 

 

   

Bài tập 17 Tìm nguyên hàm sau: a) 2 d

5 x

x  x

 b) 2 d

5

x

x x  x



Lời giải

(29)

Bài tập 18 Tính tích phân sau:

a) 25 d

2 x

I x

x x

 

 

 b)

3 d

1 x

I x

x

 



Lời giải

4

16

2

x f x

x

 

 b)  

1

4

f x

x x



 

Lời giải

(30)

4

2 d x x

x x



 

 b) d

1 x

x  x



Lời giải

3

8 x

x e f x

e

 

 b)    

2

3x 4x

f x  

Lời giải

(31)

Bài tập 22 Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a)  

3cos 2x

f x  x  b)  

5 2

2 x x x x

x e

f x

e 





Lời giải

10 dx x

 b) 1d

x

x x e





Lời giải

Câu 80.(THPT Trần Quốc Tuấn 2018) Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2

x f x

x

 



thỏa mãn (2)F 3 Tìm F x :

A F x( ) x ln 2x 3 B F x( ) x ln(2x 3) C F x( ) x ln 2x 3 D F x( ) x ln | 2x 3 |

Lời giải

(32)

32 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 81 Một nguyên hàm hàm số  

1

x f x

x

 

A  f x dx x ln x 1 B  f x dxln x  1 x C  f x dx x lnx1 D xlnx1

Lời giải

Câu 82.(SGD Đồng Tháp 2018) Cho F x nguyên hàm hàm số    

2

1

x x

f x

x

 



 thỏa

mãn F 0  1.Tính F 1

A F   1 ln B F    1 ln C F  1 ln D F   1 ln Lời giải

Câu 83.(Sở GD-ĐT Sóc Trăng 2018) Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2

1 x x f x

x

  

  0 2018

F  Tính F 2

A F 2 không xác định B F  2

C F  2 2018 D F  2 2020

Lời giải

Câu 84.(Chun Lê Thánh Tơn 2019) Tìm ngun hàm hàm số F x hàm số     2

3

2

x x x

f x

x x

  



 

A  

 2

2

1

F x C

x

  

 B  

2

x

F x x C

x

   



C  

2

x

F x x C

x

   

 D    2

2

1

F x C

x

  



(33)

Câu 85.(THPT Thuận Thành Bắc Ninh) Gọi F x  nguyên hàm hàm số  

2

6

x

x e f x

e



 ,

biết F 0 7 Tính tổng nghiệm phương trình F x 5

A ln B ln C 5 D.0

Lời giải

Câu 86.(THPT Ninh Bình 2019)Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  x 21 x





A F x  ln | |x C x

    B F x  ln | |x C

x

  

C F x  ln | |x C x

   D F x  ln | |x C

x

    Lời giải

Câu 87.(Tạp Chí Tốn Học)Cho biết

 2113 2d ln ln x

x a x b x C

x x

     

 



Mệnh đề sau đúng?

A a2b8 B a b 8 C 2a b 8 D a b 8

Lời giải

Câu 88.(Tạp Chí Toán học)Cho biết 24 11 dx ln ln

5

x

a x b x C

x x



    

 



Tính giá trị biểu thức: 2

Pa ab b

A 12 B 13 C 14 D 15

(34)

Câu 89.(Tạp Chí Tốn Học) Cho biết 31 dx alnx 1x 1 bln x C

x x     



Tính giá trị biểu thức: P2a b

A B -1 C

2 D

Lời giải

Câu 90.(Sở GD ĐT Thanh Hóa 2019) Cho 21 d ln ln

1 x a x b x C

x      

 , với a, b số

hữu tỷ Khi ab

A B C D 1

Lời giải

Câu 91.(Sở Quảng Ninh)Cho hàm số f x  xác định R\ 1  thỏa mãn '  1

f x x

  ,  0 2017

f  , f  2 2018 Tính S  f  3  f  1

(35)

Câu 92.(SGD Nam Định 2018)F x  nguyên hàm hàm số  

3

2

f x x

x

 

 Biết

 0

F  , F 1 a bln

c

  trong a , b, c số nguyên dương b

c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a b c 

A B C D 12

Lời giải

Câu 93.(THPT Tứ Kỳ Hải Dương 2018)Nguyên hàm F x  hàm số  

2

f x x



 thỏa mãn

e

2

F   

  là:

A   ln 1

F x  x  B F x 2 ln 2x 1 C   1ln 1

2

F x  x  D   ln 1

2

F x  x  Lời giải

(36)

36 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 94.(THPT Lục Ngạn Bắc Giang 2018) Cho hàm số f x xác định   \

3

   

  thỏa mãn

 

3

f x x

 

 , f 0 1

2

f   

  Giá trị biểu thức f   1 f  3

A 5ln 3 B 5ln 2 C 5ln 4 D 5ln 2 Lời giải

Câu 95.(Sở GD-ĐT Gia Lai 2018) Cho F x  nguyên hàm hàm số  

1

f x x



 thỏa mãn

 5

F  F 0 1 Mệnh đề đúng?

A F   1 ln B F 2  2 ln C F 3  1 ln D F  3 Lời giải

Câu 96.(Chuyên Quốc Học Huế) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số

 

2 cos sin

x f x

x



 khoảng 0; Biết giá trị lớn F x  khoảng 0; Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A 3

6

F    

  B

2

3

F   

  C F 3



     

  D

5

3

6

F    

 

(37)

Câu 97.(THPT Yên Khánh 2019)Cho F x  nguyên hàm hàm số   4 31 2

2

x f x

x x x

 

 

trên khoảng 0; thỏa mãn  1

F  Giá trị biểu thức

S F 1 F 2 F 3  F2019 A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D

2019 2020



Lời giải

Câu 98.(Sở GD ĐT Phú Thọ 2018) Biết    

2

F x  ax bx c x a b c, ,   nguyên hàm hàm số  

2

20 30 11

2

x x

f x

x

 



 khoảng

;

 

 

  Tính T   a b c

(38)

Câu 99.(Sở GD ĐT Phú Thọ 2018)Cho hàm số f x  xác định \ 1;1 thỏa mãn  

2

f x x

 

 , f   2 f  2 0

1

2

f   f   

    Tính f   3 f  0  f  4 kết

A ln6

5 B

6

ln

5 C

4

ln

5 D

4

ln

5

Lời giải

(39)

39 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong phần đạo hàm ta tính đạo hàm chứa tích đa thức, thương đa thức, đạo hàm chứa thức, đạo hàm hàm hợp ta thường sử dụng quy tắc bảng đạo hàm hợp Tuy nhiên, phần nguyên hàm tích phân ta khơng thể sử dụng quy tắc tích, thương hàm hợp Do đó, để tính ngun hàm ta phải sử dụng hai phương pháp: đổi biến số

(đặt ẩn phụ), phương pháp phần A LÝ THUYẾT

I Phương pháp đổi biến số

1 Phương pháp Nếu  f x dxF x C  f u x     'u x dxF u x  C

Trong thực hành: Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I  f x dx, ta phân tích      ' 

f x g u x u x ta thực phép đổi biến số t u x , suy dtu x' dx Khi ta nguyên hàm g t dtG t  C G u x  C

2.Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay tu x 

3 Ví dụ minh họa

Ví dụ Tìm nguyên hàm sau:

3 d

I  x  x x Lời giải

Ví dụ Tìm ngun hàm sau:

a)

5

1 d 18

x

I  x    x

 

 b)

 

2 10

d

x x I

x

 

 Lời giải

II Phương pháp lấy nguyên hàm phần

(40)

40 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Phương pháp. Cho hai hàm số u v liên tục đoạn  a b có đạo hàm liên tục đoạn ;

 a b Khi ; u vd uvv ud  *

2 Trong thực hành để tính nguyên hàm  f x dx phần ta làm sau: Bước Chọn u v, cho f x dxu vd (chú ý dvv x' dx)

Sau tính vdv duu'.dx Bước Thay vào cơng thức  * tính v ud

3 Chú ý. Thứ tự đặt u sau: nhất log arit, nhì đa (đa thức), tam lượng (lượng giác), tứ mũ Ta thường gặp dạng sau

Dạng   sin d cos

x

I P x x

x

 

  

 

 , P x đa thức   Với dạng này, ta đặt

  sin

d d

cos u P x

x

v x

x

  

  



  

 



Dạng I P x e  ax b dx, P x  đa thức Với dạng này, ta đặt  

d ax bd u P x

v e  x

   





Dạng I P x  ln mxndx, P x  đa thức Với dạng này, ta đặt  

 

ln

d d

u mx n

v P x x

 

 





Dạng sin d cos

x x

I e x

x

 

  

 



Với dạng này, ta đặt

sin cos d xd x u

x v e x

  



  

  

  

4 Ví dụ minh họa

Ví dụ Tìm nguyên hàm sau:

a) I x1 sin d x x b) I x2cos dx x Lời giải

(41)

Ví dụ Tìm nguyên hàm :

a)

1 cos x

I dx

x

 

 b)

2 cos

x

I  x e dx c)   ln

I  x xdx Lời giải

B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

(42)

42 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880  Nếu  f x dxF x C  f u x     'u x dxF u x  C

 Khi gặp hàm số chứa thức f x , hàm hợp f u x  …thì ta thực phép đổi biến số Bước 1: đặt tu x , suy dtu x' dx

Bước Rút biến x theo biến t, tách, thêm, bớt Bước Tìm nguyên hàm trả lại biến x

g t dtG t  C G u x  C

 Chú ý:

Đối với nguyên hàm hàm lượng giác lẻ costhì đặt sin, lẻ sinthì đặt cos 2 Bài tập minh họa

Bài tập 1.Tìm nguyên hàm sau: a)

5

1 d 18

x

I  x    x

 

 b)

 

2 10

d

x x I

x

 

 Lời giải

Bài tập 2.Tìm nguyên hàm sau:

a)

3 d

I  x  x x b)

9d

I x x  x Lời giải

(43)

a)

 2

1

d

I x

x x





 b).I x x1dx

Lời giải

a)

sin cos d

I  x x x b)  2

cos d

I x x x

c)

1 sin cos

I  x xdx d)

1 cos sin

I dx

x x



d) 2 2 cos

sin 5sin x

I dx

x x



 



Lời giải

(44)

a) 14 d

cos

I x

x

 b) d

1 sin

I x

x

 



Lời giải

(45)

a) tan3 d cos

x

I x

x

 b) 4 cos2 sin d

cos 3cos

x x

I x

x x

 

 



Lời giải

a).I lnxdx x

 b)  

2

ln

d x x

I x

x

 





Lời giải

(46)

a) I lnx 3dx x



 b)

 

2

ln

d

1 ln

x

I x

x x



 



Lời giải

a) I xex2dx b) d

x e

I x

x



Lời giải

a) sin

cos d

x

I e x x b) d

2 x x

x I

e e



 



Lời giải

(47)

3 Bài tập rèn luyện

Bài 1.Tìm nguyên hàm sau: a)

 

3

3 d

x x

I x

x

 



 b)  

 

2015 2017

1 d

3

x

I x

x

 



  

 

2010 2012

1

3

x

I dx

x

 

 

Lời giải

Bài 2.Tìm nguyên hàm sau:

a)

4d

I x x  x b)

3 d

3 x

I x

x





(48)

a)  

sin sin cos d

I  x  x x x b)

 3

2

d

cos tan

x I

x x







Lời giải

a)

lnln 1d x

I x

x x





 b)  

 

2

ln ln

d

ln ln ln

x

I x

x x x





 

 



Lời giải

(49)

a)

ln

d x e

I x

x

 b)

tan d

cos x e

I x

x



Lời giải

Bài 6.Tìm nguyên hàm:

a) 1

3

1

dx I

x x



  

 b) 2

2

I x x  dx

c). 3

2

1 dx I

x x





 d)

 

4

3

2

1

xdx I

x x



  

 Lời giải

(50)

Bài 7.Tìm nguyên hàm :

a)

 

3

1 2

3

x x

I dx

x

 



 b)

2

3

1

,

1

x

I dx x

x x



 

 

 c)

3

2 2

3 x

J dx

x







d)

2

3 2

4 x

J dx

x





 e) 3

dx K

x x

 

 f)

 

2 4

1

dx K

x x



 

h) 2 2

2 xdx K

x x



 

 k) 2

3

x

J dx

x x



 

 l) 1

1

x

J dx

x



 

(51)

(52)

a)

1 tan

I  xdx b)

1 cos

I dx

x



c)

1 tan

J  xdx d)

5sin 2sin cos cos

x x

J dx

x x

 

 



Lời giải

(53)

a)

5

cos sin

x

I dx

x

 

 b)

4

2

sin cos

x

I dx

x

 c)

3

1 sin

1 cos

I x dx

x

 

   



 

 Lời giải

(54)

Câu 1.(THPT Đơ Lương)Tìm họ ngun hàm  

 3

1

2

F x dx

x







A  

 3

1

4

F x C

x



 

 B    4

1

8

F x C

x



 



C  

 2

1

4

F x C

x



 

 D    2

1

6

F x C

x



 



Lời giải

Câu 2.(Sở GD ĐT Bắc Ninh)Tìm họ nguyên hàm hàm số  

.e 

 x

f x x

A  

3

d e

3



 

 x x

f x x C B  

d 3e  

 x

f x x C

C  

d e  

 x

f x x C D  

d e

3 

 

 x

f x x C

Lời giải

Câu 3.(THTT-2018) Hàm số F x  nguyên hàm hàm số

1

y x ?

A    

4

3

F x  x C B   3 14

3

F x  x C C   3 3

1

4

F x  x x C D   34 13

4

F x  x C Lời giải

(55)

55 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 4.(THPT Ninh Giang-2018) Xét 3 5

4 d

I x x  x Bằng cách đặt:

4

u x  , khẳng định sau đúng?

A

d 16

I  u u B

d 12

I  u u C

d

I u u D

d

I  u u Lời giải

Câu 5.(THPT Kim Liên 2019) Tìm nguyên hàm hàm số   2cos

e x.sin f x   x

A   2cos

d 2e x

f x x  C

 B   2cos

d 2e x

f x x   C



C   2cos

d e

2 x f x x  C

 D   2cos

d e

2 x f x x   C



Lời giải

Câu 6.(Sở GD Và Đào Tạo Bắc Ninh) Họ nguyên hàm hàm số f x  2x1

A 12 1

3 x x C

    B

2 x C C 22 1

3 x x C D  

1

2

3 x x C Lời giải

Câu 7.(Sở GD Đào Tạo Đà Nẵng) Họ nguyên hàm hàm số f x  ln x

x



A

ln ln

2 x x C B

2

1 ln

2 x C C

2

ln x C D ln ln x C Lời giải

Câu 8.(Sở GD Đào Tạo Quảng Nam) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0; 

Khi  d

f x

x x



 bằng:

A  

2 f x C B f  x C C 2 f x C D 2 f  x C Lời giải

(56)

Câu 9.(THPT Nghèn) Họ nguyên hàm hàm số

2

( )

1 x f x

x





A

3

1

3

C x



 B

3

2

1

3 x  C C

2

3

C x



 D

3

1

3 x  C Lời giải

Câu 10.(THPT Thạch Thành 2019)Họ nguyên hàm hàm số  

2

20 30

2

x x

f x

x

 



 khoảng

3 ;

 

 

  là?

A  

4x 2x1 2x 3 C B  

4x 2x1 2x3

C  

3x 2x1 2x3 D  

4x 2x1 2x 3 C Lời giải

Câu 11.(Chuyên Đại Học Vinh) Cho 2x3x26dx A3x28B3x27C với , ,A B C

Tính giá trị biểu thức 12A7B A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7 Lời giải

(57)

Câu 12 (Chuyên Hoàng Văn Thụ 2019) Biết      

102 101

100 2

2 d x x

x x x C

a b

 

   

 , ,a b

Giá trị hiệu a b

A B C.1 D

Lời giải

Câu 13.(Sở GD ĐT Thanh Hóa) Tìm hàm số f x  biết  

 2

cos sin

x f x

x

 



A  

 2

sin sin

x

f x C

x

 

 B  

1 cos

f x C

x

 



C  

2 sin

f x C

x

  

 D  

sin sin

x

f x C

x

 



Lời giải

Câu 14.(Chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội) Gọi F x  nguyên hàm hàm số

2

( )

 

x f x

x

thỏa mãn F 2 0 Khi phương trình F x x có nghiệm là:

A x0 B x1 C x 1 D x 1

Lời giải

(58)

Câu 15.(Chuyên Nguyễn Du-Đăk Lăk) Cho  

 

2017 2019

1 1

d

1

b

c

x x

x C

a

x x

 

 

 

 với a , b, c số nguyên Giá trị a b c 

A 4.2018 B 2.2018 C 3.2018 D 5.2018

Lời giải

Câu 16.(THPT Quỳnh Lưu) Cho F x  nguyên hàm hàm số   1 x f x

e



 F 0  ln 2e

Tập nghiệm S phương trình F x lnex 1 là:

A S 3 B S  2;3 C S  2;3 D S  3;3 Lời giải

Câu 17.(THPT Thanh Miện -2018) Khi tính nguyên hàm d

1

x x x

 

 , cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào?

A  

2u u 4 du

 B  

4 d

u  u

 C  

2 u 4 du

 D  

3 d

u  u



Lời giải

(59)

Câu 18.(THPT Chuyên Hạ Long 2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x

x





A  d

2

f x x x C

 B  f x x d  2x 1 C

C  f x x d 2 2x 1 C D  

 

1 d

2

f x x C

x x

 

 



Lời giải

Câu 19.(Tạp Chí Tốn Học 2018)

Hàm số nguyên hàm hàm số sin cos  

2 x.2 x cos sin

y x x ?

A sin cos

2 x x

y  C B

sin cos

2 ln

x x

y C sin cos

ln 2.2 x x

y  D

sin cos

2 ln

x x

y C



  

Lời giải

Câu 20.(THPT Hồng Bàng 2018) Biết F x  nguyên hàm hàm số  

sin cos f x  x x  0

F  Tính

2

F  

 

A

2

F     

  B F

 

    

  C

1

2

F      

  D

1

2

F     

 

Lời giải

(60)

Câu 21.(Chuyên Hùng Vương 2019) Giả sử  

     

2 d

1



  

   

 x x C

x x x x g x (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x 0

A 1 B C D 3

Lời giải

Câu 22.(THPT Lương Văn Chánh 2018) Cho F x  nguyên hàm hàm số   2ex f x 



thỏa mãn F 0 10 Tìm F x 

A   1 ln 2e 3 10 ln

3

x

F x  x    B   1 10 ln 2e 3

3

x

F x  x  

C   ln e 10 ln ln

3

x

F x  x     

 

  D  

1 ln ln

ln e 10

3

x

F x  x     

 

Lời giải

Câu 23.(THPT Chuyên Hạ Long-2018) Tìm họ nguyên hàm hàm số  

tan f x  x

A  

d tan tan ln cos

4

f x x x x x C

 B  

d tan tan ln cos

4

f x x x x x C 

C  

d tan tan ln cos

4

f x x x x x C

 D  

d tan tan ln cos

4

f x x x x x C 

Lời giải

(61)

Câu 24.(THPT Chuyên Quốc Học-Huế 2019) Biết F x nguyên hàm   hàm

số  

 2 2018

2017

x f x

x



 thỏa mãn F 1 0 Tìm giá trị nhỏ m F x 

A

2

m  B

2017 2018

1 2

m  C

2017 2018

1 2

m  D

2 m Lời giải

Câu 25.(THPT Chuyên Hạ Long-2018) Biết khoảng 3;

2

  

 

 , hàm số   20 30

2

x x

f x

x

 



 có nguyên hàm    

2

F x  ax bxc x ( a , b , c số nguyên) Tổng S  a b c

A B C D

Lời giải

(62)

Câu 26.(Chuyên Phan Bội Châu-2018) Hàm số   cos 4sin

cos sin

x x

f x

x x

 

 có nguyên hàm F x 

thỏa mãn

4

F    

  Giá trị F 

   

  bằng?

A 11ln

 

B

4



C

8



D ln

4

 

Lời giải

Câu 27.(THPT Lê Qúy Đôn) Cho  

2

e

d ln 5e

1

x

x ax b c x

x x x x C

x

    

      

 

  

 



Tính giá trị biểu thức M   a b c

A B 20 C 16 D 10

Lời giải

(63)

Câu 28.(THPT Chuyên Quang Trung) Cho  

2

( )

1

x

f x x

x

  

 , biết F x nguyên  

hàm hàm số f x thỏa   F 0 6 Tính

4

F  

 

A 123

16 B

125

16 C

126

16 D

127 16 Lời giải

Câu 29.(THPT Chuyên KHTN) Nguyên hàm  

 

10 12

2 d x

x x

 



A

11

1

33

x

C x



  

  

  B

11

1

11

x

C x



  

  

  C

11

1

3

x

C x



  

  

  D

11

1

11

x

C x



 

   



 

Lời giải

Câu 30.(THPT Nguyễn Tất Thành) Tìm nguyên hàm

1 x dx I

e

 



A I  x ln 1ex C B I  x ln 1ex C C I   x ln 1ex C D

ln x

I  x e C

Lời giải

(64)

DẠNG Phương pháp phần

1 Phương pháp

 Phương pháp. Cho hai hàm số u v liên tục đoạn  a b có đạo hàm liên tục ; đoạn  a b Khi ; u vd uvv ud  *

 Trong thực hành để tính nguyên hàm  f x dx phần ta làm sau: Bước Chọn u v, cho f x dxu vd (chú ý dvv x' dx)

Sau tính vdv duu'.dx Bước Thay vào cơng thức  * tính v ud

 Chú ý. Thứ tự đặt u sau: nhất log arit, nhì đa (đa thức), tam lượng ( lượng giác), tứ mũ 2 Bài tập minh họa

Loại   sin d

cos x

I P x x

x

 

  

 

 P x  đa thức Với dạng này, ta đặt

  sin

d d

cos u P x

x

v x

x

  

  



  

 



a) I x1 sin d x x b)

cos d

I x x x Lời giải

(65)

Loại I P x e  ax b dx, P x  đa thức Với dạng này, ta đặt   d ax bd u P x

v e  x

   





a) I xe xxd b)  

1 xd

I  x  x e x Lời giải

a) 2 1

x

I  x e dx b)

d

x I x e x Lời giải

(66)

Loại I P x  ln mxndx, P x  đa thức Với dạng này, ta đặt    

ln

d d

u mx n

v P x x

 

 





a)  

ln d

I x x x b).I 2x1 ln x1 d x Lời giải

a)  

2

3 2

ln

x x x

I dx

x

 





 b)  

1 ln

K  x x  dx Lời giải

(67)

Loại sin d cos

x x

I e x

x

 

  

 

 Với dạng này, ta đặt

sin cos d xd x u

x v e x

  



  

  

  

Bài tập 17.Bài 14 Tìm nguyên hàm sau:

a) I sinxe xxd b)

cos xd

I  xe x

c)

2 cos

x

I  x e dx d)

sin d x

I  x e x Lời giải

(68)

Loại Đổi biển phần

a)

d x

I x e x b)

d x I e  x Lời giải

(69)

a) I 1 2 x e3 x x 2d x b) I  xe xd x Lời giải

3 Bài tập rèn luyện

a) I 2x1 cos d x x b) I x2cos dx x Lời giải

(70)

a) I  lnx x21 d x

 b) I exlnex1 d x

Lời giải

Bài12.Tìm nguyên hàm sau:

a)

 

4

4 4

1

x

I dx

x





 b)

ln d

I  x x c)

 

8

5 4

1

x

I dx

x



 

Lời giải

(71)

Câu 31 (Sở GD Đào Tạo Quãng Bình 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x.sin 2x là: A 1cos 1sin

2 x x



 B cos 1sin

2

x

x x C

  

C 1cos 1sin

2 x x C

  

D cos 1sin

2

x

x x Lời giải

(72)

72 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 32 (Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm hàm số f x xcosx

A  f x dxxsinxcosx C B  f x dxxsinxcosx C C  f x dx xsinxcosx C D  f x dx xsinxcosx C

Lời giải

Câu 33.(Sở GD ĐT Lạng Sơn 2019) Cho hàm số y f x 

Biết hàm số cho thỏa mãn hệ thức f x sinxdx = f x cosxxcosxdx Hỏi hàm số

 

y f x hàm số hàm số sau? A f x  xln B  

ln x f x 



 C f x xln D  

ln x

f x 



 

Lời giải

Câu 34 (Trường Thực Hành Cao Nguyên 2019) Hàm số f x   x1ex có nguyên hàm

 

F x kết sau đây, biết nguyên hàm x0?

A F x   x1ex B F x   x1ex1 C F x   x2ex D F x   x2ex3 Lời giải

Câu 35.(Chuyên Trần Đại Nghĩa) Giá trị

2

2 ln x

I xdx

x

  

  

 



A

2

2 ln ln

2

x x

I  x x c B

2

ln ln

2

x x

I   x x c

C

2

ln ln

2

x x

I  x x c D

2 2

ln

2

x x x

(73)

Câu 36.(THPT Chuyên-Sơn La 2019)Họ nguyên hàm hàm số f x  x sin x

A

2

sin cos

x

x x x C

   B

2

cos sin

x

x x x C

  

C

2

cos sin

x

x x x C

   D

2

sin cos

x

x x x C

  

Lời giải

Câu 37.(THPT Lý Nhân Tông) Một nguyên hàm (x 2) sin 3xdx (x a) cos 3x 1sin 3x 2017

b c



    

 tổng S  a b cbằng

A S 3 B S 15 C S 10 D S 14

Lời giải

Câu 38.(THPT Triệu Thái Vĩnh Phúc) Họ nguyên hàm hàm số f x( )3x x cos 3xlà :

A cos

sin

3 x

x x x C B cos

sin

3 x x x x C C

sin cos

x x x x C D cos

sin

(74)

Câu 39.(THPT Hải Hậu) Họ nguyên hàm hàm số f x   x 2sin x là:

A  

2 s inx

x  x C B

2 cos 2sin x  x x xC C

2 cos 2sin

2x  x x xC D

2

1

2 cos 2sin 2x  x x xC Lời giải

Câu 40.(Sở GD Đào Tạo Quảng Nam) Biết  

2

ln d ln ln x x  xa b c

 với a , b, c số

hữu tỉ Tính P  a b c

A P3 B P0 C P5 D P2

Lời giải

(75)

75 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 41.(THPT TX Quãng Trị 2019) Nguyên hàm hàm số  

2

2 ln

x

f x x

x





A

2

2 ln ln

2

x x

x x C B

2

ln ln

2

x x

x x C C

2

ln ln

2

x x

x x C D

2 2

ln

2

x x x

x C

  

Lời giải

Câu 42.(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Họ nguyên hàm hàm số  

ex f x x x A  

1 e

x

x  x C B  

1 e

x

x  x C C

e

x

x x C D  

4x  x exC Lời giải

Câu 43 (THPT Gia Lộc Hải-Dương 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x   2x1ex

A 2x3exC B 2x3exC C 2x1exC D 2x1exC Lời giải

(76)

Câu 44 (Cụm Trần Kim Hưng 2019) Tìm họ nguyên hàm  

1 e x d

x  x



A

2

1

.e e

2

x x

x

x C

   B

2

.e e

2

x x

x

x C

  

C

2

1

.e e

2

x x

x

x C

   D

2

.e e

x x x

x C

  

Lời giải

Câu 45 (THPT Chuyên Quang Trung 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn  0 0,   2

1 x

f f x

x



 



Họ nguyên hàm hàm số g x 4 x f x  A    2

1 ln

x  x x C B  

ln

x x  x C    

1 ln

x  x  x C D x2 1 ln x2 1 x2 Lời giải

Câu 46 (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Họ nguyên hàm hàm số  

x f x x e

A  

2

x

F x  e x C

  B    

2

1

2

x

F x  e x C

C    

2 x

F x  e x C D  

2

x

F x  e x C

 

Lời giải

(77)

Câu 47 (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Họ nguyên hàm hàm số

( ) ln f x x x

A 2 

2 ln ln

4x x x C B  

2

1

2 ln ln 4x x x C

C 2 

2 ln ln

2x x x C D  

2

1

2 ln ln 2x x x C Lời giải

Câu 48 (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Họ nguyên hàm hàm số    

e x

f x x  là:

A  

2

1

3 e

9

x x

x  C B  

2

1

3 e

9

x x x  C

C  

2

1

3 e

9

x x

x  C D  

2

1

3 e

9

x x x  C Lời giải

Câu 49 (THPT Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x 2xsinx1

A x22 cosx x2sinxC. B 2 

cos

x x x C

C x22 cosx x2sinxC. D x22 cosx x2sinxC

Lời giải

(78)

Câu 50 (THPT Nguyễn-Đức Cảnh Thái Bình) Họ nguyên hàm hàm số f x x e x sinx

A x1exxcosxsinxC B x1exxcosxsinxC C x1exxcosxsinxC D x1ex xcosxsinxC

Lời giải

Câu 51 (THPT Hai Bà Trưng 2019)Cho biết

( )

3

F x x x

x

   nguyên hàm

 2 2

2

( ) x a

f x

x



 Tìm nguyên hàm ( )g x xcosax

A xsinxcosx C B sin 1cos

2x x4 x C

C xsinxcosx C D sin 1cos

2x x4 x C Lời giải

Câu 52 (THPT Hàm Rồng) Biết xcos dx xaxsin 2xbcos 2xC với a , b số hữu tỉ

Tính ab?

A

8

ab  B

8

ab C

4

ab D

4 ab  Lời giải

(79)

Câu 53.(THPT Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số f x , biết f x xex1 f 0 1 Khi f  1

bằng

A e + 1 B C e + 2 D

Lời giải

Câu 54 (Chuyên Thái Bình 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x 2xsin 2x là:

A

cos 2

x  x C B

2cos

x  x C C

cos 2

x  x C D

2cos x  x C Lời giải

Câu 55.(THPT Phúc Trạch Hà Tĩnh 2019) Tính   e d3 x

F x x x Chọn kết A   3 3 e

x

F x  x C B    3 e

x F x  x C C   3e3

3 x x

F x   C D   3e3

3 x x

F x   C Lời giải

Câu 56 (Sở GD Đào Tạo Phú Thọ) Họ nguyên hàm hàm số y3 (x xcos )x là:

A x33( sinx xcos )x c

B x33( sinx xcos )x c

C

3( sin cos )

x  x x x c D

(80)

Câu 57 (Chuyên Nguyễn Du-Đăk Lăk) Cho  

2

ln

x x x

F x

a b

  nguyên hàm hàm số   ln

f x x x, ,a b số thực Giá trị 3a b

A B C D

Lời giải

Câu 58.(Sở GD Đào Tạo Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số    

2 e x

f x x 

A  

e

9 x

x  x C B 2  

e

9 x

x  x C

C 2  

2 e

3 x

x  x C D  

e

9 x

x  x C Lời giải

Câu 59 (Tạp Chí Tốn Học ) Tìm họ ngun hàm    

1 x F x  x  x e dx A F x x23exC B F x x2 x 4exC

C    

3 x

F x  x  x e C D    

3 x

F x  x  x e C Lời giải

(81)

Câu 60 (Chuyên Hùng Vương Bình Phước) Cho ( ) 13

3 F x

x

  nguyên hàm hàm số ( )

f x

x Tìm nguyên hàm hàm số f x'( ) lnx A '( ) ln d ln3 15

5 x

f x x x C

x x

  

 B '( ) ln d ln3 13

3 x

f x x x C

x x

   



C '( ) ln d ln3 13 x

f x x x C

x x

  

 D '( ) ln d ln3 15

5 x

f x x x C

x x

  



Lời giải

Câu 61.(THPT Chuyên Hà Tỉnh) Cho hàm số Họ nguyên hàm hàm số

A B

C D

Lời giải

Câu 62 (Sở GD ĐT Hà Nam) Họ nguyên hàm hàm số f x   2x3 ln x

A  

2

3 ln

2

x

x  x x  xC B  

2

3 ln

2

x

x  x x  x C

C  

2

3 ln

2

x

x  x x  x C D  

2

3 ln

2

x

x  x x  x C Lời giải

e sinx

y x

1

e cos e sin

2

x x

x x C 1e cos 1e sin

2

x x

x x C

  

1

e cos e sin

2

x x

x x C 1e cos 1e sin

2

x x

x x C

(82)

Câu 63.(Sở GD ĐT Phú Thọ) Họ nguyên hàm hàm số y3x x cosx

A  

3 sin cos

x  x x x C B  

3 sin cos

x  x x x C

C  

3 sin cos

x  x x x C D  

3 sin cos

x  x x x C Lời giải

Câu 64.(Chuyên ĐH Vinh) Tất nguyên hàm hàm số   2

sin x f x

x

 khoảng x(0; ) A.xcotxln(sin )x C B.xcotxln(sin )x C

C.xcotxln(sin )x C D.xcotxln(sin )x C Lời giải

Câu 65.(Chuyên ĐH Vinh) Tất nguyên hàm hàm số ( ) 2

cos x f x

x

 khoảng 0;



 

 

 

A B

C D

Lời giải

tan ln cos

F x x x x C F x xtanx ln cosx C

tan ln cos

(83)

Câu 66.(THPT Ngô Quyền Hà Nội) Cho  

F x x nguyên hàm hàm số f x e  2x Khi  

xd f x e x



A

2

x x C

   B

x x C

   C

2x 2x C D

2x 2x C

  

Lời giải

Câu 67 (Chuyên ĐH Vinh) Tìm nguyên hàm hàm số

tan

x x 0;



 

 

 

A

2

tan d tan ln cos

2

x

x x xx x x  C

 B

2

tan d tan ln cos

2

x

x x xx x x  C



C

2

tan d tan ln cos

2

x

x x xx x x  C

 D

2

tan d tan ln cos

2

x x x x x x x  C



Lời giải

Câu 68.(THPT Nguyễn Khuyến)Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x lnx23 x thỏa mãn F  2 F 1 0 F  1 F 2 aln 2bln 5, với a , b số hữu tỷ Giá trị

3a6b

A 4 B C D 3

(84)

Câu 69.(Trung Tâm Thanh Tường) Họ nguyên hàm hàm số  

2

l

2x x n y

x x

 



A  

2

1 ln x

x x x

x     C B  

2

1 ln x

x x x

x     C

C  

2

1 ln

x

x x x

x     C D  

2

1 ln

x

x x x

x     C Lời giải

(85)

Câu 70.(THPT Lê Qúy Đôn) Họ nguyên hàm hàm số f x 2x2 ln x

A 2

ln

2x x x B

2

3

ln

2x x x C C

2

5

ln

2x x x D

2

5

ln

2x x x C Lời giải

Câu 70.(THPT Chuyên Quốc Học-Huế 2018) Cho a số thực dương Biết F x  nguyên

hàm hàm số f x  ex ln ax x

 

   

  thỏa mãn

1

F a

    

    2018

2018 e

F  Mệnh đề sau ?

A ;1

2018

a 

  B

1 0;

2018

a 

  C a1; 2018 D a2018;

Lời giải

(86)

86 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 71 (THPT Gia Lộc 2019) Cho hàm số f x xác định   \ 2 thoả mãn  

2

x f x

x

  

 ,  0

f  f   4 Giá trị biểu thức f 2  f  3

A 12 B ln C 10 ln 2 D 3 20ln 2

Lời giải

DẠNG Phương pháp lấy nguyên hàm hai vế (Tích phân hàm ẩn)

1 Phương pháp chung

Khi gặp nguyên hàm hàm f x  cho dạng hàm f x như: f x( )p x f( ) n( )x 0 f x f( ) n( )x  p x( ) u x f x( ) ( )u x f x( ) ( )h x( )hoặc f x( ) f x( )h x( )hoặc

( ) ( ) ( )

f x  f x h x ta nghỉ đến kỹ thuật lấy nguyên hàm hai vế Loại f x( )p x f( ) n( )x 0(thương) 2 Phương pháp

Bước Chia hai vế biểu thức cho n 

f x ta ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Bước Lấy nguyên hàm hai vế ta ( )d ( )d ( )

n f x

x p x x

f x



 

 

Bước Đặt t f x dt f x dx Bước Tìm nguyên hàm dtn p x x( )d

t  

  theo biến t trả lại biến x

Câu 72.(Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số y f x  xác định , thỏa mãn f x 0, x

  f x 2f x 0 Tính f  1 biết f  1 1 A

e B

e C

e D

e Lời giải

(87)

Câu 73.(THQG 2018)Cho hàm số f x thỏa mãn  2

25

f      

4

f x  x f x  với x Giá trị f  1 bằng?

A 41

100



B

10



C 391

400



D

40



Lời giải

Câu 74.(Đề Chính Thức 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn  2

5

f      

f x x f x  với mọi x Giá trị f  1

A

35

 B 71

20

 C 79

20

 D

5

 Lời giải

Câu 75.(THPT Lê Xoay 2018) Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;

(88)

88 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 A 2 f  5 3 B 1 f  5 2 C 4 f  5 5 D 3 f  5 4

Lời giải

Câu 76.(Đề Chính Thức 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn  2

9

f   f x 2x f x  2 với mọi x Giá trị f  1

A 35 36

 B

3

 C 19

36

 D

15

 Lời giải

Câu 77.(THPT Đặng Thúc Hứa) Cho hàm số f x  có đạo hàm xác định, liên tục đoạn  0;1

đồng thời thỏa mãn điều kiện f 0  1 f x 2  f x Đặt T  f  1  f  0 , chọn khẳng định đúng?

A    2 T B   1 T C 0 T D 1 T Lời giải

(89)

Câu 78 (THPT Yên Định 2018)Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục   thỏa mãn

 

f x  , x  Biết f  0 1    

'

2

f x

x

f x   Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f x m có hai nghiệm thực phân biệt

A me B 0 m C 0 m e D 1 m e

Lời giải

Câu 79 Cho hàm số f x  liên tục \0; 1 , thỏa mãn      

1

x x f x  f x x x với x \0; 1  f  1  2 ln Biết f  2  a bln với a b,  , tính Pa2b2

A

P B

4

P C 13

4

P D

2 P Lời giải

(90)

90 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 80.Cho hàm số f x liên tục, không âm    0;3 , thỏa f x f     x 2x f2 x 1 với

 0;3

x f  0 0 Giá trị f 3

A B C D 11

Lời giải

Câu 81.Cho hàm số f x  liên tục, không âm 0;

2



 

 

 , thỏa      

2

' cos

f x f x  x  f x với

mọi 0; x  

  f  0  Giá trị f



     

A 0. B C D 2

Lời giải

Câu 82.(THPT Lý Thường Kiệt Hà Nội) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục nhận giá

trị dương khoảng thỏa mãn với Mệnh đề

nào sau đúng?

A B C D

Lời giải

 

f x ,

0; f  1 1, f x  f ' x 3x1 x0

 

(91)

Câu 83.(THPT Thuận Thành) Cho hàm số ( )f x 0;      2

2

f x  x f x f  1  0,5 Biết tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 a

b

     ; a ;b  với a

b tối giản Chọn khẳng định

A a

b   B a b 1 C b a 4035 D a b  1

Lời giải

Câu 84 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0;, biết      2

' 0,

f x  x f x   

f x  với x0  1

f  Tính P 1 f  1  f  2   f 2018  A 1009

2020

P B 2019

2020

P C 3029

2020

P D 4039

2020 P Lời giải

(92)

Câu 85.(THPT Quỳnh Lưu) Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện      2

2

f x  x f x

 

0

f   Biết tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 f 2018 a b

      với  *

,

a b a

b phân số tối giản Mệnh đề sau đúng? A a

b   B

a

b  C a b 1010 D b a 3029 Lời giải

Câu 86.(THPT Yên Phong) Cho hàm số f x  liên tục tập thỏa mãn

   

1

f x x   x f x  f x  1, f  0 0 Tính f  3

A B C D

Lời giải

(93)

93 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 87.(THPT Hoàng Hoa Thám-2018)Cho hàm số f x  liên tục, không âm đoạn 0;

2



 

 

 , thỏa

mãn f  0  3và     2 

 cos 1

f x f x x f x , 0;

2 x  

   

  Tìm giá trị nhỏ m giá trị

lớn M hàm số f x  đoạn ;

 

 

 

 

A 21

2

m , M2 B

m , M3 C

m , M D.m 3, M2 Lời giải

Câu 88.(THPT Kinh Môn 2018)Giả sử hàm số ( )f x liên tục, dương ; thỏa mãn f  0 1

 

1

f x x

f x x

 

 Khi hiệu T  f  2 2f 1 thuộc khoảng

(94)

Câu 89.(Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục khoảng

0; , biết      2

2

f x  x f x  ,  x  2

f  Tính giá trị biểu thức  1  2 2019

P f  f   f A 2021

2020 B

2020

2019 C

2019

2020 D

2018 2019

Lời giải

Câu 90.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho hàm số y f x  đồng biến 0;; y f x  liên tục,

nhận giá trị dương 0; thỏa mãn  3

f  f ' x 2 x1   f x Mệnh đề đúng?

A 2613 f2 8 2614 B 2614 f2 8 2615

C 2 

2618 f 2619 D 2 

2616 f 2617 Lời giải

(95)

Câu 91.Cho hàm số f x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn

 

15

f       2

2

f x  x f x  Tính f  1  f  2  f  3 A

15 B

11

15 C

11

30 D

7 30 Lời giải

Loại ( ) n( ) ( )

f x f x  p x (tích) 1 Phương pháp

Bước Lấy nguyên hàm hai vế ta  fn( ) ( )dx f x x  p x x( )d Bước Đặt t f x dt f x dx

Bước Tìm nguyên hàm tndt  p x x( )d theo biến t trả lại biến x

Câu 92.(THPT Đoàn Thượng) Cho hàm số y f x  thỏa mãn f   x f x x4x2 Biết f  0 2 Tính f2 2

A 2 2 313 15

f  B 2 2 332 15

f  C 2 2 324 15

f  D 2 2 323

15

f 

Lời giải

(96)

Câu 93 Cho hàm số f x  thỏa    

3

f x f x  x  x Biết f  0 2, tính 2 

2 f A 2 

2 64

f  B 2 

2 81

f  C 2 

2 100

f  D 2 

2 144

f 

Lời giải

Câu 94.Cho hàm số f x  có đạo hàm f ' x liên tục nhận giá trị không âm 1;, thỏa

 1 0,

f  e2f x .f x 2 4x2 4x1 với x 1;  Mệnh đề sau đúng? A  1 f 4 0 B 0 f 4 1 C 1 f 4 2 D 2 f 4 3

Lời giải

Câu 95.(Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số y f x  liên tục có đạo hàm đoạn 1; 0,

đồng thời thỏa mãn điều kiện        

3 f x , 1;

f x  x  x e   x Tính A f  0  f  1

A A 1 B A

e

(97)

Loại Sử dụng đạo hàm tích biểu thức có dạng

u( )x f x( )u( )x f( )x h x( )hoặc 2 

(

( ) ( )

( )

( ) )

u f x x f x

h x f

x

u

   

Bước Biến đổi biểu thức dạng u( )x f x( )u x( )f x( )h(x)[u x( )f x( )] h( )x

Bước Khi lấy nguyên hàm hai vế [u x( )f x( )]h x( )[u x( )f x( )]dxh x d( ) x

u x f x( ) ( )h x x( )d

Bước Tìm hàm f x 

Chú ý:

      

2

( ( ) ( )

)

) ( )

(

u

x u

x f x u x f x x

h x h

f x f x



 

    

 

 





Câu 96.(Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số ( )f x thỏa mãn (1) 3f  (4x  f x'( )) f x( ) 1 với

x Tính (2)f

A B C D.3

Lời giải

Câu 97.(Đặng Thành Nam)Cho hàm số f x  có đạo hàm \ 0  thỏa mãn   f x 

f x x

x

  

và f  1  1 Giá trị

2

f   

 

A

96 B

1

64 C

1

48 D

1 24

(98)

Câu 98.(Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số f x thỏa mãn   f x 2 f x f     x 15x412x,

x

  f  0  f 0 1 Giá trị 2 

1

f bằng: A

2 B

5

2 C 10 D

Lời giải

Câu 99.(Cầu Giấy Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai 0; thỏa mãn

       

2xf x  f x  x xcos ,x  x 0; ; f 4 0 Giá trị biểu thức f  9 là:

A B 3  C   D 2 

Lời giải

(99)

99 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 100.(THPT Chuyên ĐH Vinh 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  1; thỏa mãn f  1 4    

2

f x xf x  x  x Tính f  2

A B 20 C 10 D 15 Lời giải

Câu 101.(KHTN Hà Nội Lần 3)Cho hàm số f x  liên tục đoạn  0;4 thỏa mãn

     

   

2

 

 

     



f x

f x f x f x

x

f x 0 với x 0;4 Biết f 0  f  0 1, giá trị f  4

A

e B 2e C

e D

1



e Lời giải

(100)

100 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Loại f x( )u x( ) ( )f x h x (thương)

Bước Nhân hai vế biểu thức với ep x( )dxta f x( )eu x( )dxu x e( ) u x( )dx (f x)eu x( )dxh x 

 

( )d ( )d

( ) u x x u x x

f x e  e h x

 

   

  



Bước Từ suy f x( )eu x( )dxeu x( )dxh x dx Bước Tìm nguyên hàm để tìm hàm số f x 

Đặt biệt:

 f x( ) f x( )h x( ) e f xx ( )e f xx ( )e h xx ( )e f xx ( )e h xx ( )(nhân với x e )

 f x( ) f x( )h x( ) ex.f x( )ex.f x( )ex.h x( )ex.f x( ) ex.h x( )(nhân với ex 2 Bài tập minh họa

Câu 102.(Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm số thỏa mãn

Tất nguyên hàm

A B C D

Lời giải

Câu 103 (Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm số thỏa mãn

Tất nguyên hàm

A B C D

Lời giải

 

f x f x  f x e ,x  x f  0 2

 

e x f x

x2 e x ex C x2 e 2x ex C x1 e xC x1 e xC

 

f x f x 2xf x 2xex2,  x  0

f  x f x  ex2

 2 2

1

x  C 1 12

2

x

x  e C  2

1 x

(101)

101 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 104.(Chuyên Thái Bình)Cho ( )f x hàm số liên tục thỏa mãn

f x  f x   x, x f  0 1 Tính f  1 A

e B

1

e C e D

e Lời giải

Câu 105 Biết nguyên hàm khoảng Gọi

nguyên hàm thỏa mãn , giá trị

A B C D

Lời giải

ex

x f  x  ;  F x 

 ex

f x F 0 1 F 1

7

5 e

 e

2



(102)

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Tích Phân

102 Lớp Tốn Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

0 ĐẶT VẤN ĐỀ:

Nếu cần tính diện tích hình phẳng bao đoạn thẳng ta việc chia hình phẳng thành hình quen thuộc hình tam giác, hình vng, hình chữ nhật hình biết cách tính diện tích

Nhưng ta cần tính diện tích hình phẳng mà đường bao đoạn cong Người ta chia hình phẳng thành hình nhỏ hơn, chúng bao gồm số hình chữ nhật, hình tam giác hình thang cong

Tích phân giúp ta tính diện tích hình thang cong A LÝ THUYẾT

I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN Định nghĩa

Cho f x hàm số liên tục K ,   a b hai số thuộc K Giả sử F x nguyên   hàm f x  K hiệu số F b F a  gọi tích phân f x  từ a đến b kí

hiệu  d      

b

a a

f x xF x F b F a



Ví dụ Tính tích phân sau:

a)  

1

1 d

I  x  x x b)  

2

3 d

I x x x



  

Lời giải

a)  

1

d

I  x x x x b)   

2

1

1 d

I  x x x x Lời giải

(103)

a)

2

1

d

I x

x x

 

   

 

 b)

2

1

d e

I x x x

x x

 

     

 



Lời giải

a)

1

0

7

d x x

I x

x

  



 b)

1 2

2

d

4

x x

I x

x x

 



 



Lời giải

Tính chất

 Tích phân giá trị xác định biến số 0, tức  d

a

f x x



 Đổi cận đổi dấu, tức  d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 Hằng số tích phân đưa ngồi dấu tích phân, tức  d  d

b b

a a

kf x xk f x x

  (k số)

 Tích phân tổng tổng tích phân, tức

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

 Tách đơi tích phân, tức  d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

(104)

104 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Chú ý: Tích phân  d b

a

f x x

 phụ thuộc vào hàm f cận , a b mà không phụ thuộc vào biến số x , tức  d  d

b b

a a

f x x f t t

 

Ví dụ Cho biết  

2

1

d

f x x 

 ,  

5

1

d

f x x

  

5

1

d

g x x

 Hãy tính a)  

5

2

d f x x

 b)  

2

1

3f x dx



c)    

5

1

d f x g x x

 

 

 d)    

5

1

4f x g x dx

 

 



Lời giải

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số loại Giả sử cần tính  d

b

a

I  f x x ta thực bước sau

Bước Đặt xu t  (với u t hàm có đạo hàm liên tục    ; ,  

f u t  xác định  ;  u  a u,   b) xác định ,   Bước Thay vào, ta có I f u t  'u t dt g t dt G t  G  G 

 

 

 

 

      

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại

Dấu hiệu Cách chọn

2

a x

  sin ;

2 cos 0;

x a t t

x a t t

  

    

  



  

(105)

2

x a

 

 

, \

sin 2

0, \

cos

a

x t

t a

x t

t

   

    

  



  

 

  

  

2

x a tan ;

2 x a t t    

 

Ví dụ Tính tích phân sau: a)

8

2

16 d

I   x x b)

3

2

1

d

I x

x x







Lời giải

Phương pháp đổi biến số loại

Tương tự tìm ngun hàm, ta tính tích phân phương pháp đổi biến số (ta gọi loại 2) sau:

Để tính tích phân  d b

a

I  f x x f x  g u x   'u x , ta thực phép đổi biến sau: Bước Đặt t u x dtu x' dx Đổi cận:  

 

x a t u a

x b t u b

   

   



Bước Thay vào ta có    

   

( )

d

u b u b

u a u a

I   g t tG t

(106)

106 Lớp Tốn Thầy–Diệp Tn Tel: 0935.660.880

a) d x I x x    b)   3 d x I x x    Lời giải Phương pháp tích phân phần

a).Phương pháp: Cho hai hàm số u v liên tục  a b có đạo hàm liên tục ;  a b ;

Khi đó: d d

b

b b

a a a

u vuv  v u

 

Một số tích phân hàm số d phát u dv

Dạng f x ln g x  dx 



 

 

 Đặt  

  ln

d d

u g x

v f x x

   

  

  

Dạng  

sin cos d

ax ax f x ax x

e              Đặt   sin

d cos d

ax u f x

ax

v ax x

e                 

Dạng sin

d cos ax ax e x ax        

 Đặt

sin cos d axd

ax u

ax v e x

            

Ưu tiên đặt u theo quy tắc ''nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ'' Tức hàm số dấu tích phân hợp hàm số ta đặt u theo thứ tự ưu tiên trên, cịn lại đặt dv

Ví dụ Tính tích phân sau: a) ln d x I x x

 b)  

1

0

1 xd

(107)

B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

DẠNG Tính tích phân 1 Phương pháp

Đê tích tích phân ta tiến hành hai bước

Bước Tính nguyên hàm dựa vào kỹ thuật tìm nguyên hàm

Bước Áp dụng cơng thức tính tích phân  d      

b

a a

f x xF x F b F a



Bài tập 1.Tính tích phân sau: a)

1

x

I e  dx b)  

1

0

d x

I  e x x Lời giải

Bài tập 2.Tính tích phân sau:

a)

ln 2

0

1 d x

x e

I x

e  

  b)  

2

0

2

d x

x

I x

e





Lời giải

(108)

a)  

2

3

2 sin 3cos d

I x x x x



   b)

2

1

3

2 sin d

6 x

I x x



 

   

     

 

 

 Lời giải

a)

2

0

sin cos d

I x x x



 b)

2

cos cos d

I x x x





Lời giải

(109)

109 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 5.Tìm nghiệm x thuộc khoảng 0;

2



 

 

  thỏa mãn 0 

2

2sin d

x

t t 



Lời giải

a)

1

7

d

e

x x

I x

x

 

  b)

22 3

3 5d

I   x x Lời giải

Bài 1.Tính tích phân sau:

a)  

3

2

1 cos cos d

I x x x



   b)

3

0

sin cos d

I x x x





Lời giải

(110)

Bài 2.Cho  

3

1

d

f x x 

  

3

1

d

g x x

 Hãy tính

a)    

3

1

3 d

A f x g x  x b)  

3

1

5 d

B  f x  x Lời giả

Bài 3.Tìm b biết  

0

2 d b

x x 

Lời giải

Bài 4.Tìm nghiệm x thuộc khoảng ;3

4

 

 

 

  thỏa mãn

4

cos

d cos 2 sin cos

x

t

t x

t t



 



 Lời giải

(111)

Mức đô Nhận biết

Câu 1.(THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh) Cho hàm số y f x , yg x  liên tục  a b số thực ; k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A  d  d

b a

a b

f x x  f x x

  B  d  d

b b

a a

xf x xx f x x

 

C  d

a

kf x x

 D     d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

Lời giải

Câu Khẳng định sau sai?

A     d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

   B  d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

  

C  d  d

b a

a b

x

f x  f x x

  D  d  d

b b

a a

t f x x f t

 

Lời giải

Câu 3.(THPT Trần Phú Đà Nẵng) Cho hàm số f x  liên tục  a b; F x  nguyên

hàm f x  Tìm khẳng định sai

A  d    

b

a

f x xF a F b

 B  d

a

f x x



C  d  d

b a

a b

f x x  f x x

  D  d    

b

a

f x xF b F a



Lời giải

Câu 4.(Chuyên Quốc Học–Huế 2018) Cho f x  hàm số liên tục đoạn  a b; c a b;

(112)

A  d  d  d

c b a

a c b

f x x f x x f x x

   B  d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

  

C  d  d  d

b c c

a a c

f x x f x x f x x

   D  d  d  d

b a b

a c c

f x x f x x f x x

  

Lời giải

Câu 5.(THPT Chuyên Nguy n Quang Diệu) Giả sử f hàm số liên tục khoảng K , , a b c

là ba số khoảng K Khẳng định sau sai?

A  

a

f x dx

 B    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

C       ,  ;

c b b

a c a

f x dx f x dx f x dx c a b

   D    

b b

a a

f x dx f t dt

 

Lời giải

Câu 6.(THPT Trần Phú 2018) Khẳng định sau sai ?

A     d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

   B  d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

  

C  d  d

b a

a b

x

f x  f x x

  D  d  d

b b

a a

t f x x f t

 

Lời giải

Câu 7.(TT Diệu Hiền Cần Thơ) Cho  

2

0

d

I  f x x Khi  

2

0

4 d

J  f x   x bằng:

A B C D

Lời giải

Câu 8.(THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ) Nếu  

2

1

d

f x x

 ,  

5

2

d

f x x 

  

5

1

d f x x



A 2 B C D

Lời giải

(113)

Câu 9.(THPT Kinh Môn 2-Hải Dương) Cho hàm số f x liên tục đoạn   0;10   

10

0

d

f x x 

và  

6

2

d

f x x

 Tính    

2 10

0

d d

P f x x f x x

A P7 B P 4 C P4 D P10

Lời giải

Câu 10.(THPT Ninh Giang-Hải Dương)Giả sử  

9

0

d 37

f x x

  

0

9

d 16 g x x



Khi đó,  

9

0

2 ( ) d

I  f x  g x  x bằng:

A I 26 B I58 C I 143 D I 122

Lời giải

Câu 11.(THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên)Cho hàm số f x  có f x liên tục đoạn 1;3,

 1

f  

3

1

( ) d 10 f x x 

 

 giá trị f 3

A 13 B 7 C 13 D

Lời giải

Câu 12.(THPT Kinh Mơn-Hải Dương) Cho hàm f x  có đạo hàm liên tục  2;3 đồng thời

 2

f  , f 3 5 Tính  

2

d

f x x



A 3 B C 10 D

Lời giải

Câu 13.(THPT Hồng Bàng) Cho hàm số f x  có đạo hàm đoạn 1; 4, f  4 2018,

 

4

1

d 2017 f x x



 

 Tính f  1 ?

A f    1 B f   1 C f   1 D f   1 Lời giải

(114)

Câu 14.(Sở GD & ĐT Cần Thơ) Biết  

8

1

d

f x x 

 ;  

4

1

d

f x x

 ;  

4

1

d

g x x

 Mệnh đề sau sai?

A  

8

4

d

f x x

 B    

4

1

d 10 f x g x x

 

 



C  

8

4

d

f x x 

 D    

4

1

4f x 2g x dx 2

 

 



Lời giải

Câu 15.(Chuyên Lam Sơn) Cho hàm số f x liên tục   có  

1

0

d

f x x

 ;  

3

1

d

f x x



Tính  

3

0

d I  f x x

A I 8 B I 12 C I 36 D I 4

Lời giải

Câu 16.(THPT Ngọc Tảo - Hà Nội) Cho b  d

a f x x

 f b 5 Khi f a  

A 12 B C D 2

Lời giải

Câu 17.(Sở GD Và ĐT Vĩnh Phúc- 2018) Cho hàm số f x  liên tục  0;1 f  1  f  0 2

Tính tích phân  

1

0

d f x x



A.I  1 B I 1 C I2 D.I 0

Lời giải

Câu 18.(THPT Hải Hậu -2018) Cho f x  g x  hai hàm số liên tục đoạn  1;3 , thỏa mãn:

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

    

3

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

1

d I f x g x  x

(115)

115 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải

Câu 19.(THPT Kinh Môn) Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;10   

10

0

d

f x x



 

6

2

d

f x x

 Tính    

2 10

0

d d

P f x x f x x

A P7 B P 4 C P4 D P10

Lời giải

Câu 20.(SGD Đồng Tháp-2018) Cho hàm số f x   F x liên tục   thỏa F x  f x ,

x

  Tính  

1

0

d f x x

 biết F 0 2 F 1 5 A  

1

0

d

f x x 

 B  

1

0

d

f x x

 C  

1

0

d

f x x

 D  

1

0

d

f x x



Lời giải

Câu 21.(SGD Đồng Tháp-2018) Cho biết  

2

0

d

f x x

  

2

0

d

g x x 



Tính tích phân    

2

0

2 d

I  x f x  g x  x

A I 18 B I 5 C.I 11 D I 3

Lời giải

Câu 22.(THPT Đồn Thượng-Hải Dương)Tích phân

3

d sin x I

x



 bằng? A cot cot

3

 

 B cot cot

3

 

 C cot cot

3

 

  D cot cot

3

 

 

(116)

Câu 23.(THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Biết

2

3

cosxdx a b



 

 , với a , b số hữu tỉ Tính

2

T a b

A T3 B T  1 C T  4 D T 2

Lời giải

Câu 24.(THPT Chun Biên Hịa-Hà Nam)Tính

1

e dx I  x

A

e

I   B I  e C

3

e

3



D

e I   Lời giải

Câu 25.(THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi) Tính tích phân:

2

1

1 d x

I x

x





A I  1 ln B I 2 ln C I  1 ln D I  Lời giải

Câu 26.(THPT Chun Thái Bình)Tính

1

0

1

3 d

2

I x x

x

 

   



 



A ln 3 B ln 3 C ln 3 D ln 3

Lời giải

Câu 27.(THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh) Tính tích phân

0

sin dx x 



A

 B

3 C

2

 D

3 Lời giải

(117)

Câu 28.(Chun Đồng Bằng Sơng cửu Long)Tính tích phân

2

0

sin d

4

I x x



 

   

 



A

I  B I 1 C I 0 D I 1 Lời giải

Câu 29.(THPT Thuận Thành 2)

0

3

1 d x x  

A 2 ln B ln 1 C ln D ln

Lời giải

Câu 30.(THPT Trần Phú–Đà Nẵng) Tích phân

2018

0

2 dx

I   x A 2018

2 1 B

2018

2

ln



C

2018

2

ln D

2018

2 Lời giải

Câu 31.Tích phân

0

1

1 d 2x x  

A 1 B 1 C 1 D  1

Lời giải

Câu 32.(Sở GD-ĐT Gia Lai -2018) Tính tích phân

1

0

d

x I

x

 

 A 1ln

2

 B ln C 1ln

2 D

1 log Lời giải

(118)

Câu 33.(Chuyên Hà Tỉnh-2018) Tích phân

1

0

d

x e x 

A.e1 B.1

e C

1 e

e



D.1

e Lời giải

Câu 34.(Đặng Thúc Hứa-2018) Tính tích phân

e

1 d x

I x

x





A 1

e

I   B

e

I   C

e

I   D 1

e I   Lời giải

Câu 35.(Đề Chính Thức 2018)

2

12

dx x

 A ln7

5 B

1 ln 35

2 C

7 ln

5 D

1 ln Lời giải

Mức độ Thông Hiểu

Câu 36.(THPT Tây Thụy An –Thái Bình) Cho    

2

1

3f x 2g x dx1

 

 

 ,    

2

1

2f x g x dx 3

 

 



Khi đó,  

2

1

d f x x



A 11

7 B

5

 C

7 D

16 Lời giải

Câu 37.(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Cho hàm số f x  liên tục khoảng 2; 3 Gọi

 

F x nguyên hàm f x  khoảng 2; 3 Tính  

2

1

2 d

I f x x x



    , biết  1

F   F 2 4

A I 6 B I 10 C I 3 D I 9

(119)

Câu 38.(THPT Bình Xuyên-2018) Nếu  

10

0

d 17 f z z

  

8

0

d 12 f t t 

  

10

8

3f x dx





A 15 B 29 C 15 D

Lời giải

Câu 39.Cho hàm số y f x  liên tục  a b , ;  d d

a

f x x

  d

d

b

f x x

 (với a d b)  d

b

a

f x x



A B C

2 D 10

Lời giải

Câu 40.(Chuyên Thoại Ngọc Hầu) Cho f x , g x hai hàm số liên tục đoạn   1;1 f x 

là hàm số chẵn, g x hàm số lẻ Biết    

1

0

d

f x x

 ;  

1

0

d

g x x

 Mệnh đề sau sai? A  

1

d 10 f x x 



 B    

1

d 10 f x g x x 

 

 

 



C    

1

d 10 f x g x x 

 

 

 

 D  

1

d 14 g x x 





Lời giải

\

Câu 41.(Sở GD&ĐT Bắc Giang) Cho  

1

2

d

f x x 



 Tính tích phân  

1

2

2 d

I f x x



  

A 9 B 3 C D

(120)

Câu 42.(Sở GD&ĐT Bắc Giang) Tích phân  

2

3 d x x



A 61 B 61

3 C D

61 Lời giải

Câu 43.(THPT Chuyên Quốc Học Huế) Tính tích phân  

1 2018

1 d

I x x x

A 1

2018 2019

I   B 1

2020 2021

I   C 1

2019 2020

I   D 1

2017 2018

I  

Lời giải

Câu 44.(Sở GD VÀ ĐT Hà Nam-2018) Tích phân

4

0

cos d

2 x x



  

 

 



A 2



B 1 C

2



D 1 Lời giải

Câu 45.(Chuyên Lê Hồng Phong-2018) Kết tích phân  

2

0

2x sinx dx 

 

 viết dạng

1 a b



  

  a , b Khẳng định sau sai?

A a2b8 B a b 5 C 2a3b2 D a b 2

Lời giải

(121)

121 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 46.(THPT Chuyên Hồng Văn Thụ) Tìm số a , b để hàm số f x asin x b thỏa mãn

 1

f   

0 f x dx4



A

a , b2 B

2

a  , b2 C a  , b2 D a , b2 Lời giải

Câu 47.(THPT Chuyên Đại Học Vinh)Cho tích phân

0

3

cos cos dx x x a b 



 

 , a , b số hữu tỉ Tính e log2

a

b



A 2 B 3 C

8 D

Lời giải

Câu 48.(THPT Tây Thụy Anh–Thái Bình) Tính I 8sin cos dx x xacos 4x b cos 2x C Khi đó,

a b

A B 1 C D

Lời giải

Câu 49.(Chuyên Thái Nguyên-2018) Cho tích phân  

2

0

1

4x cosx dx c

a b 



 

     

 

 , a b c, ,  

Tính a b c  A

2 B C 2 D

1 Lời giải

Câu 50.(Sở GD&ĐT Bình Phước) Giá trị b để  

1

2 d

b

x x

 ?

(122)

Lời giải

Câu 51.(PTNK-TP HCM) Cho  

2

2 d

I  x  x m x  

1

2 d

J  x  mx x Tìm điều kiện m để I J

A m3 B m2 C m1 D m0

Lời giải

Câu 52.(THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa) Đặt  

2

1

2 d

I  mx x ( m tham số thực) Tìm m để

I 

A m 1 B m 2 C m1 D m2

Lời giải

Câu 53.(THPT Chuyên Nguy n Quang Diệu) Có giá trị a để  

0

2 d

a

x x a



A B C D Vô số

Lời giải

Câu 54.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho hàm số  

2

3

4

x x

y f x

x x

  

  

  

 Tính tích phân

 

2

0

d f x x



A

2 B C

5

2 D

3 Lời giải

(123)

123 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 55.(THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai) Cho hàm số  

2

khi

1

2

x

y f x x

x x

  



  

   



Tính

tích phân  

3

0

d f x x



A ln 4 B ln 4 C ln 2 D 2 ln 2 Lời giải

Câu 56.(THPT Chuyên Lương Thế Vinh) Cho hàm số f x  a2 b

x x

   , với ,a b số hữu tỉ

thỏa điều kiện  

1

d 3ln f x x 

 Tính T  a b

A T  1 B T 2 C T  2 D T 0

Lời giải

Câu 57.(Chuyên Lê Hồng Phong-2018) Biết

5

3

1

d ln

1

x x b

x a x

   



 với a , b số nguyên Tính S a 2b

A S  2 B S5 C S2 D S10

Lời giải

Câu 58.(THPT Nguy n Trãi-Đà Nẵng) Giả sử

0

1

3

d ln

2

x x

x a b

x 

 

 



 Khi đó, giá trị

2

a b

A 30 B 60 C 50 D 40

Lời giải

(124)

Câu 59.(Sở GD-ĐT Trà Vinh 2018) Biết

1

5

d ln

2

x

x a b

x



  

 với a , b số thực Mệnh đề đúng?

A

81

ab B

24

a b  C

8

ab D

10 a b  Lời giải

Câu 60.Cho

1

0

2

d ln

2

x

x a b

x

  



 ( a b số nguyên) Khi giá trị a

A 7 B C D 5

Lời giải

Câu 61.(Chuyên Thái Bình-2018) Tính

1

0

1

3 d

2

I x x

x

 

   



 



A ln 3 B ln 3 C ln 3 D ln 3

Lời giải

Câu 62.(THPT Trần Nhân Tông) Cho

1

0

1

ln ln

1 dx a b

x x

    

   

 

 với a , b số nguyên

Mệnh đề ?

A a b 2 B a2b0 C a b  2 D a2b0

Lời giải

(125)

Câu 63.(THPT Ninh Giang-Hải Dương) Biết  

5

3

d ln ln ,

3 x a b a b Z

x  x   

 Mệnh đề

sau đúng?

A a2b0 B 2a b 0 C a b 0 D a b 0

Lời giải

Câu 64.(THPT Lê Q Đơn-Hà Nội)Tích phân  

2

1

d ln

1 x

I x a b c

x



  



 , a , b, c số nguyên Tính giá trị biểu thức a b c  ?

A B C D

Lời giải

Câu 65.(Tạp Chí Tốn Học số 6) Biết

1

0

2 3

d ln

2

x x

x b

x a

   



 a b, 0 tìm giá trị k để  

8

1 2017 d lim

2018 ab

x

k x

x

x 

 







A k0 B k0 C k0 D k

Lời giải

Câu 66.(Sở GD & ĐT Cần Thơ)Nếu

3 2

2

d ln ln 3ln

2

x

x a b

x x



  

 

 a b,   giá trị

2

P a b

A P1 B P7 C 15

2

P  D 15

(126)

Câu 67.(Sở GD-ĐT Phú Thọ) Cho hàm số f x xác định   \ thỏa mãn   f  x 21 4

x x

 

 ,

 1

f a, f   2 b Giá trị biểu thức f   1 f  2

A ba B a b C a b D  a b

Lời giải

Câu 68.(Sở GD -ĐT Hậu Giang) Tính tích phân

1

d

x I

x

 



A 1ln1

I  B 1ln1

6

I   C 1ln

I  D

ln I  Lời giải

Câu 69.(THPT Hải Hậu A-2018) Cho

3 2

8

d ln ln

x

x a b

x x

  

 

 với a , b số nguyên Mệnh đề sau đúng?

A a b 3 B a2b11 C a b 5 D a2b11

Lời giải

(127)

Câu 70.(THPT Chuyên Hùng Vương) Biết

  

3

0

d

ln ln ln

2

x

a b c

x x   

 , a b c, ,   Giá trị

của biểu thức 2a3b c

A B C D

Lời giải

Mức độ Vận dụng

Câu 71.(THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh) Tích phân  

2

min x , 3x2 dx



A



B 11

6 C

2

3 D

17 Lời giải

Câu 72.(Tốn Học) Tìm tất giá trị thực tham số k để có  

0

1

2 d lim

k

x x

x 

 

 



A k k

   

 B

1 k k

    

 C

1 k k

     

 D

1 k k

     

Lời giải

(128)

Câu 73.(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương)Cho hàm số y f x  liên tục, dương  0;3

thỏa mãn  

3

0

d

I  f x x Khi giá trị tích phân     

3 ln

4 d

f x

K  e  x là:

A 12e B 12 4e C 3e 14 D 14 3e

Lời giải

Câu 74.(THPT Trần Quốc Tuấn)Biết  

6

2

3

3 4sin d

6

a c

x x b 



  

 , a ,b nguyên dương

a

b tối giản Tính a b c 

A B 16 C 12 D 14

Lời giải

Câu 75.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho F x  nguyên hàm hàm số

1 sin y

x



 với

\ ,

4

x  k k 

     

 , biết F 0 1; ( ) 0F   Tính

11

12 12

PF F  

   

A P 2 B P0 C Không tồn P D P1 Lời giải

(129)

Câu 76.(Sở GD&ĐT Bình Phước) Biết

4

3

2

d

x x a b

I x

c

x x

  

 

 

 Với a , b, c số nguyên dương Tính a b c 

A 39 B 27 C 33 D 41

Lời giải

Câu 77.(THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An) Biết

3

2

1

d

x x a b

x

c x x

  



 

 , với a , b, c số nguyên dương Tính T   a b c

A 31 B 29 C 33 D 27

Lời giải

(130)

Câu 78.(THPT Chuyên Lương Thế Vinh) Biết

4

2

1 e

d e e

4 e

x

b c x

x

x a

x x



   

 với a , b, c số

nguyên Tính T   a b c

A T  3 B T 3 C T  4 D T 5

Lời giải

Câu 79.(Tạp chí THTT–Tháng 4) Cho hàm số  

1 d ln x

x

g x t

t

  với x0 Đạo hàm g x  

A  

ln x g x

x



  B  

ln x g x

x



  C  

ln g x

x

  D g x lnx Lời giải

Câu 80.(THPT Chuyên Hùng Vương) Xác định số thực dương m để tích phân  2

d m

xx x

 có giá

trị lớn

A m1 B m2 C m3 D m4

Lời giải

(131)

Câu 81.(Sở GD & ĐT Cần Thơ)Cho M , N số thực, xét hàm số f x M.sin πxN.cos πx

thỏa mãn f  1 3  

1

0

1 d

π

f x x 

 Giá trị

4 f  

 

A 5π

2 B

5π 2

 C π

2

 D π

2 Lời giải

Câu 82.(Chuyên Vĩnh Phúc-2018) Biết

2

d 1

4

x

x  x  a b

 , với a , b số nguyên thuộc khoảng 7;3 a b nghiệm phương trình sau đây?

A

2x   x B

4 12

x  x  C

5

x  x  D

9 x   Lời giải

Câu 83.(THPT Can Lộc-2018) Biết hàm số  

f x ax bx c thỏa mãn  

1

0

7 d

2 f x x 

 ,

 

2

0

d

f x x 

  

3

0

13 d

2 f x x

 (với a , b, c ) Tính giá trị biểu thức P  a b c

A

4

P  B

3

P  C

3

P D

4 P Lời giải

(132)

Câu 84.(Chuyên Ngữ Hà Nội-2018) Cho F x  nguyên hàm hàm số f x    1 x x

trên tập thỏa mãn F 1 3 Tính tổng F 0 F 2 F 3

A B 12 C 14 D 10

Lời giải

Câu 85.(SGD Bắc Giang - 2018)Cho

1

2

3

d

3

x

x a b

x x

 

 

 , với a , b số hữu tỉ Khi đó, giá trị a là:

A 26 27

 B 26

27 C

27

26 D

25 27



Lời giải

Mức độ Vận dụng cao

Câu 86.(THPT Thuận Thành 2–Bắc Ninh)Có giá trị nguyên dương n thỏa mãn

 

2

0

1n 2x3x 4x   nxn dx 2

 ?

A B C D

Lời giải

(133)

DẠNG Phương Pháp đổi biến loại

Để tích số tích phân có dạng

 2

a x Cách đặt

  sin ;

2 cos 0;

x a t t

x a t t

  

    

  



  



 2

x a Cách đặt

 

 

, \

sin 2

0, \

cos

a

x t

t a

x t

t

   

  

  

  

 



  

 

  

  

 2

x a Cách đặt tan ;

2 x a t t    

 

2

5 d

I x x x



    b)

2

2 d

I x xx x Lời giải

(134)

a)

3

1 d

I x

x

 

 b)

 

1

3

d

x I

x



 

Lời giải

a)

3

2

d

x I

x x





 b)

3

2

9 d x

I x

x

  

Lời giải

(135)

a)

2 2

3

d

x I

x x





 b)

2

1 d

x

I x

x

  

Lời giải

Mức độ Vận dụng Câu 87 (THPT Kim Liên-HN) Tính tích phân

1

2

2 d

I x

x





 cách đặt x2sint Mệnh đề đúng?

A

4

0

2 d

I t



  B

6

0

d

I t



 C

3

0

d

I t



 D

1

0

2 d I   t Lời giải

(136)

Câu 88.(ĐHKH Huế) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E có phương trình  

2

2 1, ,

x y

a b

a b  

và đường tròn   2

:

C x y  Để diện tích elip  E gấp lần diện tích hình trịn  C

A ab7 B ab49 C ab D ab7

Lời giải

Câu 89 (Gang Thép Thái Nguyên) Cho tích phân

2

16 d

I   x x x4sint Mệnh đề sau đúng?

A  

4

0

8 cos d

I t t



   B

4

16 sin d

I t t



  C  

4

0

8 cos d

I t t



   D

4

16 cos d

I t t



  

Lời giải

Câu 90.(THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh) Khi đổi biến x tant, tích phân

1

d

x I

x

 

 trở thành tích phân nào?

A

3

0

3d

I t



 B

6

0

3 d

I t



 C

6

0

3 d

I t t



 D

6

0

1 d

I t

t 

 Lời giải

(137)

137 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 91.(Chuyên Lê Hồng Phong –Nam Định) Giá trị

3

2

9 x dx a b

 

 , a b a b là phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T ab

A T 35 B T 24 C T 12 D T 36

Lời giải

Câu 92.(THPT Ngọc Tảo HN-2018) Biết

1

2

4 d

3 x x  a 

  

 Khi a bằng:

A B C D

Lời giải

Câu 93.(Chuyên Vĩnh Phúc-2018)Đổi biến x2sint tích phân

1

2

d

x x



 trở thành A

6

0

d

t t 

 B

3

0

d

t t 

 C

6

0

dt

t 

 D

6

0

dt



 Lời giải

(138)

138 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 DẠNG Phương Pháp đổi biến loại

1 Dấu hiệu

Khi hàm f x hàm hợp có dạng tổng quát   f x  g u x   'u x .Một số dạng thường gặp:  Căn thức f u x    .u x  

  u x f u x



 

 

 Lũy thừa fn   x f  x  Lơgarít ln

n x x 2 Phương pháp

Để tính tích phân  d b

a

I  f x x f x  g u x   'u x , ta thực phép đổi biến sau: Bước Đặt tu x dtu x' dx Đổi cận:  

 

x a t u a

x b t u b

   



   

Bước Thay vào ta có    

   

( )

d

u b u b

u a u a

I   g t tG t

3 Bài tập minh họa.

1

2

2 d

I x x x b)  

2

3

4 d

I x x  x Lời giải

(139)

139 Lớp Toán Thầy –Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 8.Tính tích phân sau:

a)

3

4 d

x

I x

x





 b)

1 3

d 19

x

I x

x



 

Lời giải

a)

1

3

0

2 d

I x x x b)

2

3

1 d I  x  x x Lời giải

(140)

140 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 10.Tính tích phân sau:

a)

3

d

x

I x

x





 b)

7 3

d

x

I x

x



 

Lời giải

a)

3

0

1 d

x

I x

x

 



 b)

3

2 d

x x

I x

x

 

 

Lời giải

(141)

141 Lớp Toán Thầy –Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 12.Tính tích phân sau:

a)

4

1

d

I x

x x





 b)

2

3

1 d

I x

x x





 Lời giải

a)

2

1

d

1

x

I x

x



 

 b)

4

0

4

d

2

x

I x

x

 

  

Lời giải

(142)

a)

6

2

d

2

x I

x x



  

 b)

10

5

d

2

x I

x x



 



Lời giải

a)

1

d

x x I

x x



 

 b)

5

2

9 d

9 x

I x x

x

 

    



 

(143)

143 Lớp Toán Thầy –Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

a)  

2

3

sin sin d

I x x x



  b)  

2

sin cos cos d

I x x x x



 

Lời giải

(144)

a)

2

0

sin cos d cos

x x

I x

x 

 

 b)

2

0

1 2sin d sin

x

I x

x 

 



 Lời giải

a)

 

0

2

sin

d sin

x

I x

x









 b)

3

2

sin d cos

x

I x

x 



Lời giải

(145)

a)

2

0

sin

d cos 4sin

x

I x

x x







 b)

2

0

sin sin d 3cos

x x

I x

x 

 



 Lời giải

(146)

a)

 2

1

ln

d

ln

e

x

I x

x x





 b)

 

1

ln

d

ln

e

x

I x

x x



 

Lời giải

a)

1

1 3ln ln d

e

x x

I x

x



 b)

3

1

ln ln d e

x x

I x

x

 

Lời giải

(147)

a)  

1

sin ln d e

x

I x

x

 b)

2

0

cos d sin

x

I x

x 





 Lời giải

a)

1

log d e

x

I x

x

 b)

1

0

d

x I xe x Lời giải

(148)

a)

2 sin

cos d x

I e x x



 b)

2 sin

4

sin d

x

I e x x





Lời giải

a)

ln

0

1d

x

I   e  x b)

ln

d x

x e

I x

e





 Lời giải

(149)

4 Câu hỏi trắc nghiệm.

Loại Đổi biến hàm thức Cậu 94.(THPT Kinh Môn 2-Hải Dương) Kết

4

0

1 d 2x1 x



A B C D

Lời giải

Cậu 95.(THPT Chuyên ĐH Vinh)Tích phân

1

0

d

3

x x



A

3 B

3

2 C

1

3 D

2 Lời giải

(150)

Cậu 96.(THPT Trần Hưng Đạo) Tính tích phân

e

1

1 3ln d x

I x

x



 cách đặt t 3ln x, mệnh đề sai?

A

1

2

I  t B

2

1

2 d

I  t t C

2

2 d

I  t t D 14 I  Lời giải

Cậu 97 (THPT Chuyên ĐH KHTN) Với cách đổi biến u 3ln x tích phân

1

ln

d 3ln e

x x

x  x

 trở thành

A  

2

1 d

3 u  u B  

2

1 d

9 u  u C  

2

2 u 1 du D

2

1

2

d

u

u u





Lời giải

Cậu 98.(THPT Ninh Giang) Tập hợp nghiệm bất phương trình

2

d

1

x t

t t

 

 (ẩn x ) là: A  ;  B ;0 C  ;   \ D 0;

Lời giải

(151)

Cậu 99 (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị) Cho biết

7 3

d

x m

x n x

 

 với m

n phân số tối giản Tính m7n

A B C D 91

Lời giải

Cậu 100 (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng) Tính tích phân

5

1

d

x x x

 kết I aln 3bln Giá trị 2

3

a ab b

A B C D

Lời giải

Cậu 101 (THPT Hồng Bàng Hải Phịng) Cho tích phân

3

0

d

1

x

I x

x



 

 đặt t x1 I

A  

2

2 d

I  t t t B  

2

2 d

I  t  t t C  

2

2 d

I  t  t t D  

2

2 d I  t  t t Lời giải

Cậu 102 (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu) Biết

1

3 ln d

3

e

x a b c

x x

 



 , a, b , c số nguyên dương c4 Tính giá trị S  a b c

A S 13 B S 28 C S25 D S16

Lời giải

(152)

Cậu 103.(SGD Nam Định) Biết tích phân

ln

0

e

d ln ln

1 e

x

x x a b c

 

 , với a , b , c số

nguyên Tính T   a b c

A T  1 B T 0 C T 2 D T 1

Lời giải

Cậu 104.(Chuyên KHTN -2018) Cho

3

0

d ln ln

3

4

x a

x b c

x   

 

 với a , b , c số

nguyên Giá trị a b c 

A B C D

Lời giải

Cậu 105 (Chuyên KHTN) Với cách đổi biến u 3ln x tích phân

1

ln

d 3ln e

x x

x  x

 trở thành

A  

2

1 d

3 u  u B  

2

1 d

9 u  u C  

2

2 u 1 du D

2

1

2

d

u

u u





Lời giải

(153)

Cậu 106 (Chuyên Thái Bình) Biết

1

d

5

x x a

b x

 

 với a , b số nguyên dương phân thức a

b tối giản Tính giá trị biểu thức

2

T a b

A T 13 B T 26 C T 29 D T 34

Lời giải

Cậu 107 (TH Tuổi Trẻ) Giả sử a b c, , số nguyên thỏa mãn

4

0

2

d

2

x x

 



 3 

1

du

2 au bu c

    , u 2x1 Tính giá trị S  a b c

A S 3 B S 0 C S1 D S 2

Lời giải

Cậu 108 (THPT NEWTON Hà Nội-2018) Cho

3

1

ln

x c d

dx a b

x e

    

 với c nguyên dương

và a , b , c , d , e số nguyên tố Giá trị biểu thức a b c d e   

A 14 B 17 C 10 D 24

Lời giải

(154)

Cậu 109 (THPT Yên Định) Biến đổi

3

0

d

1

x x x

 

 thành  

2

1

d f t t

 với t 1x Khi f t  hàm số hàm số sau đây?

A  

2

f t  t  t B  

f t  t t C  

2

f t  t  t D  

f t  t t Lời giải

Cậu 110 (SGD Đồng Tháp) Cho

1

3 ln

d

3

e

x a b

x x

  

 với a b, số nguyên Mệnh đề ?

A.a2b12 B ab24 C a b 10 D.a b 10 Lời giải

Cậu 111 (THPT Lê Qúy Đôn -2018) Cho biết

7 3

d

x m

x n x

 

 với m

n phân số tối giản Tính

m n

A B C D 91

Lời giải

(155)

Cậu 112.(THPT Chuyên KHTN) Cho

3

0

d ln ln

3

4

x a

x b c

x   

 

nguyên Giá trị a b c 

A B C D

Lời giải

Cậu 113.(THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị) Cho

3

1

0

d

e e e

1

x x

a b c

x

   



 Với a , b , c số nguyên Tính S  a b c

A S 1 B S 2 C S0 D S 4

Lời giải

Cậu 114.(THTT) Giả sử a , b , c số nguyên thỏa mãn

4

0

2

d

2

x x

 



 3 

1

d

2 au bu c u

    ,

trong u 2x1 Tính giá trị S  a b c

A S 3 B S 0 C S1 D S 2

Lời giải

(156)

Cậu 115 (THPT Lê Xoay-Vĩnh Phúc) Cho tích phân

4

0

d

ln

3

x

I a b

x

  

 

 với a b, 

Mệnh đề sau đúng?

A a b 3 B a b 5 C a b 5 D a b 3 Lời giải

Cậu 116 (THPT Sơn Tây-2018) Biết  

3

2

d

3 ln 3

2

1

x

a b c

x x

    

  

 với a , b , c

các số hữu tỷ Tính P a b c  

A

2

P B P 1 C

2

P  D

2 P Lời giải

Cậu 117.(THPT Quãng Xương) Giả sử

2

4

1

d

x b

x a a b

x c b c

    

  

 

 với a b c, ,  ;

1a b c, , 9 Tính giá trị biểu thức 2b a a c C 

(157)

157 Lớp Toán Thầy –Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải

Cậu 118 (THPT Phan Châu Trinh)Biết

 

2

1

d

1

x

a b c

x x  x x   

nguyên dương Tính P a b c  

A P44 B P42 C P46 D P48

Lời giải

Cậu 119.(SGD Bắc Ninh) Biết

2

3

2 11

1

1 1

2 d a

x x c

x x x b

 

   

 

 

 , với a b c, , nguyên dương, a

b tối giản c a Tính S  a b c

A S 51 B S 67 C S 39 D S 75

Lời giải

(158)

Cậu 120.(THTT Số 2-485 tháng 11) Cho  

2

1

d

f x x

 Tính  

4

1

d

f x

I x

x



A I 1 B I 2 C I 4 D

2 I  Lời giải

Cậu 121.(Đề Chính Thức 2018 ) Cho với số hữu tỉ

Mệnh đề đúng?

A B C D

Lời giải

Cậu 122.(THPT Chuyên Trần Phú) Biết với , , số

hữu tỷ, tính

A B C D

Lời giải

21

5

d

ln ln ln

x

a b c

x x   

 a b c, ,

2

a b   c a b c a b  c a b  2c

2

d 35

3

x

x a b c

x x

  

 

 a b c

2

P a b c 

9

 86

27 2

(159)

Cậu 123.Tìm tất giá trị dương tham số m cho 500

0 e d e

m

x m

x  x 



A 250 500

2 2

m  B 1000

2

m  C 250 500

2 2

m  D

Lời giải

Loại Đổi biến hàm lượng giác

Cậu 124 (THPT Hồng Quang-Hải Dương) Tính tích phân

2

cos sin d

I x x x



 cách đặt

cos

t x, mệnh đề ? A

1

d

I t t B

1

d

I  t t C

2

d I t t



 D

2

d I t t



 Lời giải

Cậu 125 (THPT Lê Q Đơn-Hà Nội) Tính tích phân

π

3

sin d cos

x

I x

x



A

2

I  B

2

I  C π

3 20

I   D

1000

2

(160)

Cậu 126.(THPT Chun Lê Q Đơn) Tìm khẳng định khẳng định sau

A  

1

0

sin 1x dx sin dx x

  B  

1

0

cos 1x dx  cos dx x

 

C

2

0

cos d cos d

x

x x x

 



  D

2

0

sin d sin d

x

x x x

 



 

Lời giải

Cậu 127.(ĐHQG TPHCM) Cho hàm số liên tục thỏa điều kiện

Tính

A B C D

Lời giải

Cậu 128.(THPT Đặng Thúc Hứa) Cho Tính  

3

0

d

f x x



A B C D

Lời giải

 

f x f x  f   x 2sinx  

2

d f x x



 

1



 

1

0

2 d 12

f x x

  

0

sin sin d

f x x x







(161)

Cậu 129.(SGD Đồng Tháp) Tính tích phân cách đặt , mệnh đề đúng?

A B C D

Lời giải

Cậu 130.(Toán học Tuổi Trẻ)Cho tích phân ,

số hữu tỉ Tính

A B C D

Lời giải

Cậu 131.(THTT Số 3-486) Cho hàm số liên tục thỏa mãn ,

Tính

A B C D

Lời giải

2

4

sin d cos

x

I x

x 

 utanx

4

d I u u





2

1 d

I u

u



1

d

I  u u

1

d

I u u

0

cos cos dx x x a b



  

 a b,

2

log a

e  b

2

 3

8

 

f x f tanxcos4 x  x  

1

0

d I  f x x

2

 

1

4





4

(162)

Cậu 132.(THPT Kinh Môn-Hải Dương) Cho tính S  a b c

A B C D

Lời giải

Cậu 133 (Chuyên KHTN-2018) Có giá trị tham số khoảng thỏa

mãn ?

A B C D

Lời giải

2

cos

d ln ,

sin 5sin x

x a b

x x c



 

 



S  S 4 S3 S 0

m 0; 6

0

sin

d

5 cos

m

x x x 





(163)

163 Lớp Toán Thầy –Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Cậu 134.(Trần Kỳ Phong) Cho f x liên tục   thỏa

1

( )

d

f x x

x 



0 f(sin ) cosx xdx 



 Tính

0 ( )d

I  f x x

A I 10 B I 6 C I 4 D I 2

Lời giải

Cậu 135.(Sở GD-ĐT Phú Thọ-2018) Cho ,

đó , , , phân số tối giản Tính

A B C D

Lời giải

   

2

0

4 cos 2x 3sin 2x ln cosx 2sinx dx cln a b 

   

 a b c * a

b T   a b c

9

(164)

164 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 136.(Sở GD ĐT Cần Thơ) Nguyên hàm F x hàm số   f x sin cos 22 x x thỏa

0

F   

 

A  

sin sin

6 10 15

F x  x x B  

sin sin

6 10 15

F x  x x

C  

sin sin

6 10 15

F x  x x D  

sin sin

6 10 15

F x  x x

Lời giải

Câu 137 (Sở GD-ĐT Thanh Hóa) Cho hàm số liên tục thỏa mãn

Tính tích phân

` A I 3 B

2

I  C I 2 D

 

f x

  16  

2

1

cot sin d d

f x

x f x x x

x



 

   

1

4 d

f x x x

(165)

Câu 138 (Sở GD-ĐT Thanh Hóa) Cho với , , số

hữu tỉ Tính

A B C D

Lời giải

Câu 139 (THPT Hồng Lĩnh Hà Tỉnh)Cho hàm số liên tục thỏa mãn

Tính tích phân

A B C D

Lời giải

Câu 140 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu) Cho hàm số liên tục thỏa

Tính

A B C D

Lời giải

 

4

0

sin ln tanx x dx 



 abln 2c a b c

1

T c

a b

  

T  T 4 T 6 T  4

  f x

 

16

1

16

d

f x x

x 

  

0

sin cos d

f x x x





  

0

d I  f x x

2

I   I 6 I 9 I 2

f  

1

0

d

f x x 

 

2

0

cos sin d

I x f x x





(166)

Câu 141 (Chuyên Hạ Long-2018) Giá trị gần số số sau đây:

A B C D

Lời giải

Loại Đổi biến số tích phân đặc biệt

Câu 142.(Cụm Chuyên Đồng Bằng Sông cửu Long) Cho hàm số y f x  liên tục

 a b, Giả sử hàm số uu x  có đạo hàm liên tục  a b, u x  ,  x  a b, , f u  liên tục đoạn  ,  Mệnh đề sau đúng?xa

A    d  d

b b

a a

f u x u x x f u u

  B    

   

 

d d

u b b

u a a

f u x u x x f u u

 

C      

   

d d

u b b

a u a

f u x u x x f u u

  D    d  d

b b

a a

f u x u x x f x u

 

Lời giải

Câu 143.(THPT Chuyên ĐHSP –Hà Nội) Cho số dương a hàm số f x  liên tục thỏa

mãn f x  f   x a, x  Giá trị biểu thức  d a

a

f x x 

A

2a B a C

a D 2a

Lời giải

   

3

9

cos

2

1

sin e x d

I   x x  x

(167)

Câu 144.(Sở GD & ĐT Cần Thơ)Giả sử hàm số y f x  liên tục  

5

3

d

f x xa

 , a 

Tích phân  

2

1

2 d

I  f x x có giá trị

A 1

2

I  a B I 2a1 C I 2a D I  a Lời giải

Câu 145.(THPT Chuyên Hùng Vương) Cho  

4

0

d 16

f x x

 Tính  

2

0

2 d

f x x



A 16 B C 32 D

Lời giải

Câu 146.(THPT Chuyên Lam Sơn) Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn  

1

5

d

f x x 





Tính tích phân  

2

0

1 d

f  x  x

 

 



A 27 B 21 C 15 D 75

Lời giải

(168)

Câu 147.(THPT Chuyên Tiền Giang) Cho hàm số y f x  liên tục Biết  

2

d

x f x x

 ,

hãy tính  

4

0

d

I  f x x

A I 2 B I 1 C

2

I  D I 4 Lời giải

Câu 148.Biết  

11

1

d 18 f x x 



 Tính   

2

2 d

I x  f x  x

A I 5 B I 7 C I 8 D I 10

Lời giải

Câu 149.(THPT Chuyên Lương Thế Vinh) Cho hàm số y f x  liên tục  

1

0

2 d

f x x



Tính  

2

d

I   xf x x

A B 16 C D 32

Lời giải

Câu 150.(THPT Trần Nhân Tông)Cho Tính

A B C D

Lời giải

 

6

0

d 12

f x x

  

0

3 d

I  f x x

(169)

Câu 151.(SGD Nam Định) Biết  

e

1

ln d

f x x

x 

 Tính tích phân  

4

1

d I  f x x

A I 8 B I 16 C I 2 D I 4

Lời giải

Câu 152.(Chuyên Phan Bội Châu-2018) Cho Khi

A B C D

Lời giải

Câu 153 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) Cho hàm số liên tục thỏa mãn

Tính tích phân

A B C D

Lời giải

Câu 154 (SGD Đồng Tháp) Cho biết Tính tích phân

A B C D

Lời giải

Câu 155 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Cho hàm số liên tục thỏa Khi

đó tích phân

A B C D

Lời giải

 

2

1 d

f x  x x

  

2

d I  f x x

2 1

  f x  

1

5

d

f x x 



  

0

1 d

f  x  x

 

 



27 21 15 75

 

3

1

d

f x x

 12

4

d x I  f    x

 



12

I  I 2 I 32 I 3

 

f x  

2018

0

d

f x x



 

2018

e

2

0

ln d

1 x

f x x

x 

 



(170)

Câu 156.(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam) Cho hàm số liên tục có đạo hàm thỏa

mãn ; Tính tích phân

A B C D

Lời giải

Câu 157.(THPT Trần Phú Hà Tĩnh) Biết Tính

A B C D

Lời giải

Câu 158.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho hàm số  

4

f x x  x  x  x , x 

Tính    

1

d

f x f x x



A

3 B C

2

 D 2

Lời giải

Câu 159.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)Cho hàm số  

4

f x x  x  x  x , x 

Tính    

1

d

I  f x f x x

A B 2 C

3

 D

3 Lời giải

  y f x  2

f    

2

0

d

f x x

  

0

d

I  f x x 10

I   I  5 I 0 I  18

 

11

1

d 18 f x x 



   

0

2 d

I x  f x  x

(171)

Câu 160.(THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Cho hàm số liên tục nhận giá trị dương

Biết với Tính giá trí

A B C D

Lời giải

Câu 161.(THPT Chuyên Biên Hòa) Cho hàm số liên tục có đạo hàm thỏa mãn

; Tính tích phân

A B C D

Lời giải

Câu 162.(THPT Chuyên Hùng Vương) Giả sử  

     

2 d

1

x x

C

x x x x g x



  

   

 ( C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x 0

A 1 B C D 3

Lời giải

 

f x  0;1

   

f x f x   x  0;1

 

1

0

d

x I

f x

  

3

1

2

  y f x  2

f    

2

0

d

f x x

  

0

d

I  f x x 10

(172)

Câu 163.(Sở GD ĐT Cần Thơ) Cho 2x3x2 d6 x A3x28B3x27 C với A, B

C Giá trị biểu thức 12A7B A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7 Lời giải

Câu 164.(THPT Trần Phú –Đà Nẵng) Biết  

2

0

5 e e

d e ln

2 e

x

x x a c

x a b

x 

  

  

 

 với a , b , c

số nguyên e số logarit tự nhiên Tính S2a b c 

A S 10 B S 0 C S5 D S 9

Lời giải

Câu 165.(Tạp chí THTT) Giá trị tích phân    

100

0

1 100 d

x x x x



A.0 B.1 C.100 D giá trị khác

Lời giải

(173)

Câu 166.(Sở GD ĐT Hà Nam-2018) Biết  

2

3 ln

d ln

3 ln

x b

x a

x x x c

  

   

  

 với a , b , c số nguyên dương c4 Tổng a b c 

A B C D

Lời giải

Câu 167.(Sở GD & ĐT Cần Thơ) Biết

   

e

1

ln

d ln , ,

ln 2

x

I x a b a b Q

x x

   



 Mệnh đề sau

đây đúng?

A a b 1 B 2a b 1 C 2

4

a b  D a2b0 Lời giải

Câu 168.(Sở GD-ĐT Bình Thuận-2018) Tính tích phân  

 

2018

0

ln d log e

x

I   x





A  2018

ln ln

I    B 2 2018

ln ln

I   

C 2 2018

ln ln

I    D 2 2018

ln ln

I    

Lời giải

Câu 169.(Chuyên Hùng Vương-2018) Cho

 

e

2

ln d

ln

x

I x

x x





 có kết dạng I lna b với

a , b Khẳng định sau đúng?

A 2ab 1 B 2ab1 C ln

2

b

a

    D ln

2

b

a

  

(174)

Câu 170.(THTT số 5-488) Tìm tất giá trị dương m để  

3

0

10

9

m

x x dx f 

 

 , với

  15

ln f x  x

A m20 B m4 C m5 D m3

Lời giải

Câu 171.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho    

2

0

e

d e ln e e

x

x x x

x a b c

x 



  



 với a , b , c

Tính P a 2b c

A P1 B P 1 C P0 D P 2

Lời giải

Câu 172.(THPT Chuyên Hà Tĩnh) Biết

1 2

2 3

d ln

2

x x

x a b

x x

   

 

 với a , b số nguyên dương

Tính 2

Pa b

(175)

175 Lớp Toán Thầy –Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải

Câu 173.(THPT Chuyên Hạ Long) Biết  

2

1

d ln ln ln

x

x a b

x x x

  



 với a , b số nguyên dương Tính 2

Pa b ab

A 10 B C 12 D

Lời giải

Câu 174.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Cho f x  liên tục thỏa mãn f  2 16,

 

1

0

2 d

f x x

 Tích phân  

2

0

d

xf x x



A 30 B 28 C 36 D 16

Lời giải

Câu 175.(ĐHQG TPHCM) Cho hàm số f x  liên tục thỏa  

1

0

2 d

f x x

  

2

0

6 d 14

f x x



Tính  

2

5 d

f x x







A 30 B 32 C 34 D 36

Lời giải

(176)

Câu 176.(Sở GD-ĐT Sóc Trăng-2018) Cho hàm số y f x  liên tục đoạn  1;3 thỏa mãn

4   ,  1;3

f x  f x  x  

3

1

d

xf x x 

 Giá trị  

3

1

d f x x



A B 1 C 2 D

Lời giải

Câu 177.(Sở GD-ĐT Gia Lai-2018) Tính

 

2 2 d

b

a

a x

I x

a x

 



 (với a , b số thực dương) A I 22b 2

a b



 B

b I

a b



 C

  

 2 

1

a b

I

a b a

 



  D

b I

a b





Lời giải

(177)

Câu 178.Cho hàm số y f x  liên tục  0;  

2

0

d

f x x

 ;

;

 

4

0

d

f x x



Tính  

1

3 d

f x x





A B C

3 D

Lời giải

Câu 179.Cho hàm f x liên tục   thỏa mãn  

4

0

tan d

f x x





  

2

d

1

x f x x

x  



Tính  

1

0

d

f x x



A B C D

Lời giải

Câu 180.Cho  

2

0

e d

x t

F x  t Tính F 2

A  

2 4e

F  B   16

2 8e

F  C   16

2 4e

F  D  

2 e

F  Lời giải

Câu 181.(Chuyên Vĩnh Phúc-2018)Cho f x  g x  hai hàm số liên tục

Biết    

5

1

2f x 3g x dx 16 

 

 

 

    

5

1

3 d

f x g x x 

  

 

 

 Tính  

2

1

2 d

f x x







A B

2 C

1

(178)

178 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải

Câu 182.(THPT Can Lộc-Hà Tỉnh) Cho hàm số y f x  có đạo hàm, liên tục f x 0

khix 0;5 Biết f x f   5x1, tính tích phân

 

5

d

x I

f x





A

4

I  B

3

I  C

2

I  D I 10 Lời giải

Câu 183.(Chuyên Hạ Long-2018)Biết  

2

1

d ln ln ln

x

x a b

x x x

  



 với a , b số nguyên dương Tính 2

Pa b ab

A 10 B C 12 D

Lời giải

Câu 184.(Chuyên Đại Học Vinh)Cho liên tục thỏa mãn ,

Tích phân ?

A B C D

Lời giải

 

f x f  2 16  

1

0

2 d

f x x



 

2

0

d

xf x x



(179)

Câu 185.(Chuyên Hà Tỉnh) Cho    

2

0

e

d e ln e e

x

x x x

x a b c

x 



  



 với a , b , c

Tính P a 2b c

A P1 B P 1 C P0 D P 2

Lời giải

(180)

180 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 DẠNG Phương Pháp phần

1 Phương pháp chung

Cho hai hàm số u v liên tục  a b có đạo hàm liên tục ;  a b Khi đó: ;

d d

b

b b

a a a

u vuv  v u

 

Đặt biệt: Đặt u theo quy tắc ''nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ'' 2 Một số toán

Bài tốn Tích phân phần thuộc dạng f x ln g x  dx





 

 

 Đặt  

 

ln

d d

u g x

v f x x

   

  

 



2

ln d x

I x

x

 b)

2

log d e

x

I x

x



Lời giải

a)

1

ln d e

I x x x b)

1

ln d e

(181)

a)  

3 2

ln d

I  x x x b)    

1

0

2 ln d I  x x x Lời giải

a)  

3

0

sin ln cos d

I x x x



 b)  

3

ln sin d cos

x

I x

x 





Lời giải

(182)

Bài tốn Tích phân phần thuộc dạng   sin cos d

ax ax f x ax x

e





 

 

 

 Đặt

  sin

d cos d

ax u f x

ax

v ax x

e

  

 



  

  

  



a)

2

0

cos d

I x x x



 b)

2

sin d

I x x x





Lời giải

(183)

183 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài tập 31.Tính tích phân sau:

a)  

4

0

1 sin d

I x x x



  b)

3

4

tan d

I x x x





Lời giải

a)  

1

0

1 xd

I  x e x b)

 

1 2

d

x x e

I x

x

  

Lời giải

(184)

a)

1

d

x

I x e x b)  

2

3

1 x x d

I   x e  x Lời giải

Bài tốn Tích phân phần thuộc dạng sin d cos ax ax

e x

ax





 

 

 

 Đặt

sin cos d axd

ax u

ax v e x

  



  

  

  

a)

2

0

sin d x

I e x x



 b)

2 sin

sin d x

I e x x





Lời giải

(185)

a) 2

0

sin d

x

I e x x



 b)  

1

cos ln d e

I x x



 

Lời giải

(186)

C–BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 34 Tính tích phân sau:

a)

6

2

3 d

I   x x b)

2

1

4 d

I x x x



  

Lời giải

a)

2 2

2

d

x

I x

x





 b)

1

2 2

1

d

x

I x

x

  

Lời giải

a)

1 2

1

d

2

I x

x x





 

 b)

 

1

2

d

x I

x

 

 Lời giải

(187)

a)

 

5

2

1

d

1

I x

x x x





  

 b)

 

3

2

d

x x

I x

x

 





 Lời giải

a)  

1

3

0

1 d

I x x x b)

2007

2

1

1 d

I x

x x

 

   

 

 Lời giải

(188)

a)

1

3

3d

I x x  x b)

1

8

0

d

I x x x Lời giải

a)

7 3

1 d x

I x

x

 



 b)

7 3

d

x x I

x



 

Lời giải

a)

 

1

0

d

1

x

I x

x x



 

 b)

3

2

1

d 16

I x

x x





 Lời giải

(189)

a)

3

1

3

d

3

x

I x

x x



 

  

 b)

2

1 d

x

I x

x x

 

 

 Lời giải

a)

2

0

sin d cos

x

I x

x 

 

 b)

2

0

cos sin cos d sin

x x x

I x

x 

 



 Lời giải

(190)

a)

2

0

sin sin d 3cos

x x

I x

x 

 



 b)

3

4

d

sin cos

x I

x x





Lời giải

(191)

191 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài 45 Tính tích phân sau:

a)

1

1 ln d e

x

I x

x



 b)

2

lg

d 3ln e

x

I x

x x





 Lời giải

a)  

4

1

ln

d x

I x

x x

 



 b)  

2

sin

cos x xd

I x x e x





 

Lời giải

(192)

a)

tan

2

d cos

x e

I x

x 



 b)

 

ln10

ln

d

2

x

x x

e

I x

e e



 

 Lời giải

a)  

1

0

ln d

I  x x b)

 

3

2

3 ln d

x

I x

x

 

 

Lời giải

(193)

a)  

3

2

1 ln d x

I x

x

 

 b)

1

ln d e

a)  

2

0

1 sin d

I x x x



  b)

2

cos d sin

x x

I x

x 





Lời giải

(194)

194 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Bài 51 Tính tích phân sau:

a)  

2

0

cos sin d

I x x x x



  b)

3

sin d cos

x x

I x

x 

 

Lời giải

a)  

1

2 xd

I  x  x e x b)

2

sin d x

I e x x





Lời giải

4 Câu hỏi trắc nghiệm.

Mức độ Nhận biết Câu 186.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho

e

1

ln d I x x x

2

.e

a b

c



 với a , b, c Tính T   a b c

(195)

Câu 187.(THPT Bình Xuyên-2018) Tính

e

ln d x x x 

A

3

2e



B

3

2e



C

3

e



D

3

e



Lời giải

Câu 188 (SGD Đồng Tháp) Tính tích phân  

1

0

2 xd

I  x e x cách đặt u2x1, dve xxd Mệnh đề sau đúng?

A  

1

0

2 x xd

I  x e  e x B  

1 2

0

2 x xd

I  x e e x

C  

1 2

0

2 x xd

I  x e e x D  

1

0

2 x xd I  x e  e x Lời giải

Mức độ Thông hiểu

Câu 189.(Chuyên Lê Hồng Phong) Biết 2  

d ,

x x x

xe xaxe be C a b

 Tính tích ab

A

4

ab  B

4

ab C

8

ab  D

8 ab Lời giải

(196)

196 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 190 (THTT Số 2-485) Cho hàm số f x  liên tục đoạn  1; e , biết  

e

1

d

f x x

x 

 , f  e 1

Khi  

e

1

.ln d

I  f x x x

A I 4 B I 3 C I 1 D I 0

Lời giải

Câu 191.(THPT Hồng Quang-Hải Dương) Tính

2

1

e dx I x x

A

e

I  B

e

I   C

3e e

I   D I e Lời giải

Câu 192.(THPT Ninh Giang-Hải Dương) Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx2

A    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 B    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



C    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 D    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



Lời giải

Câu 193.(THPT Trần Hưng Đạo) Cho ( )F x nguyên hàm hàm số f x   5x1 e x

 0

F  TínhF 1

(197)

197 Lớp Tốn Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Câu 194.(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương) Tính tích phân    

5

4

1 ln d I  x x x? A 10ln B 10 ln 19

4

 C 19 10 ln

4  D

19 10 ln

4

 Lời giải

Câu 195.(THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi) Biết

3

2

ln d ln ln x x xm n p

 , m , n , p

 Khi số m A

2 B 18 C D

27 Lời giải

Câu 196.(THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh) Nguyên hàm   ln

.ln x f x

x x





A ln d ln ln ln

x

x x C

x x



 

 B ln

d ln ln ln

x

x x x C

x x



 



C ln d ln ln

.ln x

x x x C

x x

   

 D ln d ln ln

.ln x

x x x C

x x

  



(198)

Câu 197.(THPT Phan Châu Trinh-DakLak) Tính tích phân

e

1

ln d I x x x

A

2

I  B

2

e 2

I   C

2

e

I   D

2

e I   Lời giải

Câu 198.(THPT Chuyên Lam Sơn) Biết  

2

0

2 lnx x1 dxa.lnb

 , với *

,

a b , b số nguyên tố Tính 6a7b

A 33 B 25 C 42 D 39

Lời giải

Câu 199.(THPT Can Lộc-Hà Tĩnh) Cho biết

e dx

x x

  

e

x

ax b C

   , ,a b C số Mệnh đề

A a2b0 B ba C ab D 2a b 0

Lời giải

(199)

199 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Câu 200.(THPT Chuyên Thái Bình) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;5

 5 10

f  ,  

5

0

d 30 xf x x

 Tính  

5

0

d f x x



A 20 B 30 C 20 D 70

Lời giải

Câu 201.(SGD Hà Nội-lần 11) Tích phân

100

.e dx

x x



A 1 200 

199e

4  B  

200

1

199e

2  C  

200

1

199e

4  D  

200

1

199e

2 

Lời giải

Câu 202.(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang) Biết  

2

1

ln x1 dxaln 3bln 2c

 với a , b, c số nguyên Tính S   a b c

A S 0 B S 1 C S2 D S  2

Lời giải

Câu 203.(THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng) Tính

π

0

sin d J x x x

A π B π C π

4 D

π Lời giải

(200)

Câu 204.(THPT Chuyên Trần Phú) Tích phân  

3x cos x xd 





A

4  B

2

3

4  C

2

1

4  D

2

1

4  Lời giải

Câu 205 Biết tích phân  

2

1

4x1 ln dx xaln 2b

 với a, bZ Tổng 2a b

A B C A1;2;1 D 13

Lời giải

Câu 206.(THPT Thuận Thành 2)Biết

 

3

2

3 ln ln ln

d

4

x a b c

x x

  

 

 với a , b, c số nguyên dương Giá trị biểu thức P  a b c bằng?

A 46 B 35 C 11 D 48

Lời giải

Định dạng
Số trang	301
Dung lượng	10,83 MB