Bài tập vận dụng cao vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Câu 171: : Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh.. Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng.A[r]

(1)

CÁC PHẦN CHÍNH CỦA CHUYÊN ĐỀ VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN VÉC TƠ

VẤN ĐỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VẤN ĐỀ QUỸ TÍCH

VẤN ĐỀ TỈ LỆ VẤN ĐỀ MIN,MAX

VẤN ĐỀ TÍCH VÔ HƯỚNG

Phần I: Đề Bài

Trang: VĐ1-P1; VĐ2-P12; VĐ3-P14; VĐ4-P17; VĐ5-P20; VĐ6-P28 Phần II: Hướng Dẫn Giải

Trang: VĐ1-P35; VĐ2-P74; VĐ3-P88; VĐ4-P99; VĐ5-P110; VĐ6-P149 VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN VÉC TƠ

Email: daytoan2018@gmail.com

Câu 1: Cho tam giác ABC biết AB3,BC4,AC6, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi x y z, , số thực dương thỏa mãn x IA y IB z IC   0

   

.Tính P x y z

y z x

  

A

4 

P B 41

12

P C 23

12 

P D

3 

P

Họ tên tác giả: Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Đặt

,

a  AB b AD Hãy tìm đẳng thức đẳng thức sau?

A

6

AG a b   

B

6 AG  ab   

C

6 AGa b   

D

3

AG a b   

Họ tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet, Email: tiethanh.78@gmail.com

Câu 3: Cho tam giác ABC với cạnh AB c BC, a CA, b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ABC. Đẳng thức sau

A aIAbIBcIC 

   

B bIAcIB aIC 

   

C cIAbIBaIC 

   

D cIAaIBbIC 

   

Họ tên: Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm, Email: ilovemath.ddt@gmail.com Câu 4: Cho hình thang cân ABCD có CD đáy lớn, ADC300 Biết DA = a, DC = b, biểu

(2)

A DBDADC.   

B DB DA b a 3DC.

b 

 

  

C DB DA b aDC.

b 

 

  

D DBbDAaDC.

Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh, Đ/c mail: honganh161079@gmail.com Email: kimduyenhtk@gmail.com, FB: Kim Duyên Nguyễn

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, M điểm thỏa mãn 5AM 2CA

  

Trên cạnhAB, BC lấy điểm ,P Qsao cho MP / /BC MQ, / /AB Gọi N giao điểm AQ

CP Giá trị tổng AN AQ 

CN

CP bằng: A 21

19 B

24

19 C

23

19 D

25 19 Họ tên tác giả: Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao

Email: thuangiaoyen@gmail.com

Câu 6: Cho tứ giác ABCD, M điểm tùy ý K điểm cố định thỏa mãn đẳng thức

MAMB MC 3MD  xMK

    

Tìm x:

A 2 B 6 C 5 D 4

Email: kimduyenhtk@gmail.com, FB: Kim Duyên Nguyễn

Câu 7: Cho tam giác ABC , cạnh AC lấy điểm M , cạnh BC lấy điểm N cho

3

AM  MC, NC 2NB Gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác OBN

A 24 B 20 C 30 D 45

Họ tên: Nguyễn Thanh Hoài, Email: ngthhoai1705@gmail.com

(3)

A 1

3 B 3 C

2

3 D 1

(Họ tên tác giả: Phạm Văn Huấn, Tên FB: Pham Van Huan)

Câu 10: Cho tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm M, cạnh BC lấy N cho AM=3MB,

NC=2BN Gọi I giao điểm AN với CM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN

A 3

2 B

33

2 C 11 D

9 11

Họ tên: Hứa Nguyễn Tường Vy, Email: namlongkontum@gmail.com, FB: nguyennga Câu 11: Cho ∆ABC có trọng tâm G hai điểm M, N thỏa mãn: 3MA2CM 0, NA2 NB0

Chọn mệnh đề

A NG4GM B NG5GM C NG6GM D NG7GM (Họ tên tác giả: Trần Công Sơn, Tên FB: Trần Công Sơn)

Câu 12: (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC Gọi A', B',C' điểm xác định

2018 'A B2019 ' A C 0, 2018 'B C2019 ' B A0, 2018 'C A2019 'C B 0 Khi đó, mệnh đề sau đúng?

A ABC A B C' ' 'có trọng tâm B ABC A B C' ' '

C ABCA B C' ' '

D ABC A B C' ' ' có trực tâm

(Email): tranminhthao2011@gmail.com

Câu 13: ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M trung điểm BC Tính độ

dài vec tơ 1 2 2 

  AB AC

A 21

3 a

B 21

2 a

C 21

4 a

D 21

7 a

Câu 14: Cho ABC có M trung điểm BC, H trực tâm, O tâm đường trịn ngoại tiếp Tìm x

để HA HB HC    xHO

A x2. B x 2 C x1. D x3

Họ tên: Trần Quốc An, Email: tranquocan1980@gmail.com, Facebook: Tran Quoc An

Câu 15: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vng góc với phân giác AL Giả sử

ngồi cịn có CM kAL Biết

2 cosA a bk

c dk  

 Tính a b c d  

A 18 B 5 C 26 D 17

(Bùi Duy Nam sưu tầm FB: Bùi Duy Nam https://www.facebook.com/duynam.bui.1)

Câu 16: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , điểm thỏa mãn MA3MB0

  

, AN1AC

 

(4)

A 4KA5KP0 B 3KA2KP0 C KA KP 0

  

D KAKP  

Họ tên: Phạm Thanh My, Email: phamthanhmy@gmail.com, Facebook: Pham Thanh My

Câu 17: Cho hình thang ABCD AB( / /CD) có hai đường chéo vng góc với Biết

20

 

AB CD cm Tìm  ACBD

A 40cm B 20cm C 30cm D 10cm

Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Yến Tên FB: Nguyễn Yến, Email: ntyen.c3lqd@gmail.com

Câu 18: Cho tam giác ABC có AB3; AC4.Gọi ADlà đường phân giác góc A.Biết

ADm ABn AC   

.Khi tổng m n có giá trị là:

A 1 B 1 C 1

7 D

1 

Họ tên tác giả:Lê Thanh Lâm, Mail:quyphucvn@gmail.com Fb:Thanh Lâm Lê Câu 19: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi M N P, , trung điểm cạnh AB BC CA, , H H, '

lần lượt trực tâm tam giác ABC MNP, Khẳng định khẳng định sau? A HA HB HC    3HH' B HA HB HC    2HH'

C HA HB HC     0 D   HMHNHP3HH'

Câu 20: Cho tam giác ABC tâm O M điểm bên tam giác Gọi D, E, F

hình chiếu M lên BC, CA, AB. Với giá trị k ta có hệ thức:

  

   

MD ME MF k MO

A

2 

k B k1 C

2 

k D k2

Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Q Đơn Khánh Hịa

Câu 21: Một giá đỡ hình tam gắn vào tường (như hình vẽ) Tam giác ABC vuông cân B

(5)

C FB FC 10N

D FB10 ,N FC  10

Họ và tên: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng,Email: thanhdungtoan6@gmail.com

Câu 22: Cho ba điểm A, B,C thuộc đường tròn tâm O, thỏa mãn OA OC OB  0

   

Tính góc AOB?

A AOB1200 B AOB900 C AOB1500 D AOB300

Họ tên: Trần Gia Chuân, Tên facebook: Trần Gia Chuân

Câu 23: Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC thỏa mãn AM 1.AB2.AC

3

  

, khẳng định sau khẳng định đúng?

A MB2MC B MB2MC C MC2MB D MC 3MB Họ tên: Trần Gia Chuân, Tên facebook: Trần Gia Chuân âu 24 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, M điểm tùy ý nằm bên tam giác cho; gọi A B C'; '; 'theo thứ tự hình chiếu vng góc M lên cạnh

;

B C C A AB Khi ta có đẳng thức vectơ k M A' M B' M C'l M O, k l  0,k

l

phân số tối giản Tính 2 2k l

A 2k2l2 1. B 2k2l2  1 C 2k2l2 14. D 2k2l2  5 Họ tên tác giả: Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung

Câu 24: Cho hình vng ABCD, E,F thõa mãn ;

3

BE  BC CF  CD    

; AEBF I Ta có AI k AB l AD  Khi tỉ số k,l thõa mãn cặp sau:

A 3;

5

k  l B 6;

5

k  l C 5;

6

k l D 6;

5

k  l

Họ tên: Nguyễn Thị Trang, Fb: Trang Nguyen

Câu 25: Cho tam giác ABC , cạnh AC lấy điểm M , cạnh BC lấy điểm N cho:

3

AM  MC, NC2NB, gọi O giao điểm AN BM .Tính diện tích ABC biết diện tích OBN

A 10 B 20 C 25 D 30

(Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)

Câu 26: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chọn khẳng

định đúng?

A HAHBHC4HO

   

B HAHBHC2HO

   

C

3

HAHBHC HO

   

D HAHBHC3HO

   

(6)

Câu 27: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC, O điểm đoạn AD cho

AO OD Gọi  E COAB, F BOAC,  M ADEF Khẳng định sau

đây đúng?

A

7

MO AD

 

B

15

MO AD

 

C

8

MO AD

 

D

7

EM  BC

 

Họ tên tác giả: Nguyễn Đặng, Tên facebook: NT AG

Câu 28: Cho hình thang ABCD có AB CD// Gọi M N, trung điểm AC BD, Kẻ

( )

NH AD HAD và MEBC E( BC) Gọi  I MENH , kẻ IKDC K( DC)

Khi tam giác MNKhệ thức sau đúng?

A MK IN.NK IM.MN IK. 0 B IN.tanNIM tanMIK.tanK0 C IN.cotNIM.cotMIK.cotK 0 D IM   INIK0

Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát,Email: nguyenvantoannbk@gmail.com

Câu 29: Cho ABC, điểmM thuộc cạnh BC cho 2018.SABM 2019.SACM Đẳng thức sau sai?

A 2018.SABC 4037.SACM B 2018.BM2019. CM 0

C 4037

2018 

 

BC BM D 2019

4037 ABM  ABC

S S

Câu 30: Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho SABC 3SAMC Một đường thẳng cắt cạnh AB AM AC, , B M C, ,  phân biệt Biết AB AC k AM

AB AC AM Tìm số k

A k1 B k 2 C k3 D 2

3

(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Câu 31: Cho n điểm phân biệt mặt phẳng Bạn An kí hiệu chúng A A1, 2, ,An Bạn Bình kí hiệu

chúng B B1, 2, ,Bn (A1Bn) Vectơ tổng A B1 1A B2 2 A Bn n

  

A 0 B A A1 n C B B1 n D A B1 n

(Sưu tầm, Tên FB: Trung Nguyễn Chí)

Câu 32: Trong đường trịn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ

SM cắt AC K cho AK a CK  Tính:

(7)

A 2a B a2 C 12

a D a

Câu 33: Cho tam giác ABC. Gọi D, E điểm thỏa mãn: ,

3

BD BC AE AC

   

Điểm K AD cho điểm B, K,E thẳng hàng Xác định tỷ số AK

AD

 

A 1

2 B

1

3 C

1

4 D

1

Câu 34: Cho tam giác ABC vng C, có ACb BC, a, D chân đường cao kẻ từ C

Khẳng định sau đúng? A

2

2 2

a b

CD CA CB

a b a b

 

 

  

B

2

2 2

a b

CD CA CB

a b a b

 

 

   C

2

2 2

a b

CD AC BC

a b a b

 

 

  

D

2

2 2

a b

CD AC BC

a b a b

 

 

  

Facebook: Lê Văn Kỳ, Email: lethithuy@thpthv.vn Câu 35: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm xác định 5IA7IBIC 0

   

Gọi E giao điểm AI BG Tính tỷ số EA

EI

A 2 B 1

2 C 3 D

1

(Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền Tên FB: Thu Huyen Nguyen)

Câu 36: Cho tia Ox, Oy vng góc Trên tia Ox lấy điểm A,B cho OA = OB = C điểm

thuộc đoạn OA, N điểm thuộc đoạn OB dựng hình vng OCMN Trên đoạn CM lấy điểm Q dựng hình vuông ACQP Gọi S giao điểm AM PN Giả sử OC kOA,

AM x

AS  , NS  yNP, 

      ;1

2 k Khi x + y =

10 13

k = b a

, với a,b a, b nguyên tố a.b

A 7 B 4 C 5 D 12

(8)

Câu 37: Cho tam giác ABC Giả sử điểm M nằm cạnh BC thỏa tam giác MAB MAC, có diện tích S S1, 2 Khẳng định sau đúng?

A S1S2AM S AB2 S AC1   

B S1S2AM S AB1 S AC2   

C S2S1AMS AB2S AC1 D S2S1AM S AB1S AC2

Họ Tên: Lê Duy Tên FB: Duy Lê Email: Duyleag@gmail.com

Câu 38: Cho tam giác ABC có có M trung điểm BC, 1

2 AI   MI

 

Điểm K thuộc cạnh AC cho B,I,K thẳng hàng Khi KA mCK

n 

 

Tính S 25m6n2019

A S2019 B S2068 C S2018 D S2020

Họ tên tác giả: Nguyễn Đức Duẩn Tên FB: Duan Nguyen Duc, Email: Duanquy@gmail.com

Câu 39: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy điểm I, J cho IA2IB 3JA2JC0

  

thỏa mãn đẳng thức IJkIG Giá trị biểu thức P(25k236)(k2 k 1)500 là:

A P1235 B P0 C P

6

 D P

5



Họ tên: Nguyễn Quang Huy, Fb: Nguyễn Quang Huy, Email: boigiabao98@gmail.com

Câu 40: Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho SABC  3SAMC Một đường thẳng

cắt cạnh AB AM AC, , B M C', ', ' phân biệt Biết

' ' '

AB AC AM

m n

AB  AC  AM Tính mn

A 2 B 5 C 3 D 4

(Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Trà My, Tên FB: Nguyễn My)

Câu 41: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC, O điểm đoạn AD cho

4

AO OD Gọi  E COAB, F BOAC,  M  ADEF Khẳng định sau

đây đúng?

A

7

MO AD

 

B

15

MO AD

 

C

8

MO AD

 

D

7

EM  BC

 

Họ tên tác giả: Nguyễn Đặng, Tên facebook: NT AG

Câu 42: Cho hình thang ABCD có AB CD// Gọi M N, trung điểm AC BD, Kẻ

( )

NH AD HAD và MEBC E( BC) Gọi  I MENH , kẻ IK DC K( DC)

(9)

C AGa b   

D

3

AG a b   

Họ tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet, Email: tiethanh.78@gmail.com

Câu 44: Một đường thẳng cắt cạnh DA DC, đường chéo DB hình bình hành ABCD lần

lượt điểm , E F M Biết DEm DA ,  

DFn DC

 

( , m n0) Khẳng định là: A

m n

DM DB

m n  

 

B DM m DB

m n

   

C DM n DB

m n

   

D DM m n DB

m n

   

(Email): locleduc10@gmail.com

(Họ tên tác giả: Lê Đức Lộc, Tên FB: Lê Đức Lộc)

Câu 45: Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao AHa AB; / /CD AB, a 3;ADa 2;ABDC

AC cắt BH I Biết AI x y z AC x y z m; ; ; ; N m



 

 

Tính tổng T   x y z m

A 20 B 18 C 17 D 21

Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui Câu 46: Cho hình thang ABCD với O giao điểm hai đường chéo AC BD. Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự M N Với ABa, CDb, MN bằng:

A a AB b DC a b

   

B b AB a DC a b

   

C a AB b DC a b

   

D b AB a DC a b

   

Họ tên: Nguyễn Thanh Tâm Tên FB: Tâm Nguyễn

Câu 47: Cho tam giác ABC tâm O; điểm M thuộc miền tam giác OBC; D, E, F

là hình chiếu vng góc M BC, CA, AB Khẳng định sau đúng?

A

2 MDMEMF MO    

B MD   MEMF MO C MD  MEMF 3MO D

2 MDMEMF  MO    

Phan Minh Tâm VẤN ĐỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Email: phunghang10ph5s@gmail.com

Câu 48: Cho hình bình hành ABCD có điểm M I N, , thuộc cạnh AB BC CD, , cho

1

, ,

3

  

(10)

A 1

3 B

9

13 C

6

11 D

12 13

Họ tên tác giả: Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng

Câu 49: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho

AM  1AB AN,  3AC

3 Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng BC lấy E

Đặt BE xBC

Tìm x để A, O, E thẳng hàng Chọn C

A 2

3 B

8

9 C

9

13 D

8 11

Ý tưởng: Cho tam giácABC, I trung điểm BC Gọi , , P Q R điểm xác định bởi:

, ,

AP p AB AQq AI ARr AC      

với pqr0 Chứng minh rằng: , , P Q Rthẳng hàng 1

q  pr

Họ tên: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng, Email: thanhdungtoan6@gmail.com

Câu 50: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểmBC; P điểm đối xứng với A qua B; R điểm cạnh ACsao cho

5

AR AC Khi đường thẳng AR qua điểm điểm sau đây?

A Trọng tâm tam giác ABC B Trọng tâm tam giác ABI C Trung điểm AI D Trung điểm BI

(có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ trung điểm BH, cịn M chia AI theo tỷ số tính được)

Câu 51: ChoABC có H trung điểm AB GAC GC: 2AG Gọi F giao điểm CH

và BG Tìm điểm I BC cho , ,I F A thẳng hàng

(11)

Câu 53: Cho tam giác ABC. Gọi G trọng tâm tam giác, I trung điểm BC, M N điểm xác định

1

3

CN BC MA MB          

   Gọi P giao điểm AC MN Tính tỉ số diện tích tam giác ANP tam giác CNP

A 3 B 7

2 C 4 D 2

Câu 54: Cho tam giácABC. Gọi D E, điểm thỏa mãn:

2 ; BD BC

  1

AC AE

 

Điểm K AD thỏa mãn

a b

AK AD

 

(với a

b là phân số tối giản) cho điểm B K E, , thẳng hàng Tính Pa2b2

A P10 B P13 C P29 D P5

Câu 55: Cho tam giác ABC, I điểm thỏa mãn: 2IA IB4IC0 K điểm thỏa mãn: KA2KB3KC0

P điểm thỏa mãn: PA mPB nPC0

Có cặp m n, , m n, Z m n, ,   10;10 cho I K P, , thẳng hàng

A 2 B 3 C 4 D 5

Email: themhaitotoanyp1@gmail.com, (Fb: Lưu Thêm)

Câu 56: Cho tam giác ABC, M N hai điểm thỏa mãn: BM BC2AB

  

, CN x ACBC   

Xác định x để A, M, N thẳng hàng

A 3 B

3

 C 2 D

2 

Email : boyhanam@gmail.com Câu 57: Cho tam giác ABC có G trọng tâm, I trung điểm AG, lấy K thuộc cạnh AC cho

Nếu thẳng hàng giá trị nằm khoảng?

A B C D

(Họ tên: Nguyễn Thu Hương Tên FB: Thu Hương)

Câu 58: Cho tam giác , điểm thuộc cạnh cho , thuộc cho

, điểm thuộc Biết ba điểm thẳng hàng Khẳng định sau đúng?

A B C D

Họ tên: Trần Văn Luật, Email: Tvluatc3tt@gmail.com, FB: Trần Luật Họ tên: Hoàng Thị Kim Liên

AKkAC B, I, K k 0;       0;       1 ;       ;1      

ABC M AC MA 2.MC N BM

3 NB  NM

 

P BC A N P, , PBk PC

 

5 3;

2 k   

 

5 ; k   

(12)

Câu 59: Cho tam giác Gọi nằm đường thẳng cho

, Tính tích để thẳng hàng?

A B C D

Email: lientiencl@gmail.com, Facebook: Kim Liên

Câu 60: Cho hình bình hành ABCD gọi M trung điểm cạnh CD, N điểm thuộc cạnh AD cho

Gọi G trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC K Khi ( tối giản) Tính

A B C D

( Tên FB: Phùng Hằng )

Câu 61: Cho hình thang có đáy , , , điểm thuộc cạnh

cho , Gọi giao điểm ; giao điểm ; Khi , với phân số tối giản Khi

A B C D

Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui

Câu 62: Cho tam giác ABC, cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho AM = 3MC, NC

= 2BN Gọi I giao điểm AN BN Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN

A B C D

Họ tên tác giả: Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy

Câu 63: Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC cho , N thuộc BM cho

, P thuộc BC cho Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng

A . B C D

Họ tên: Nguyễn Khắc Sâm Facebook: Nguyễn Khắc Sâm VẤN ĐỀ QUỸ TÍCH

Câu 64: Cho tam giác với điểm thoả mãn , gọi điểm thuộc

thoả mãn Xác định để thẳng hàng

ABC M, N, P BC, CA, AB



MB mMC

 

 ,

NC nNA

 

 PA k PB  

mnk M, N,P

1 1 2

1

AN  AD

m BK BC

n 

  m

n S m n

16

S S 17 S18 S19

ABCD AB CD CD2AB M N

AD BC AM 5MD 3BN2NC P AC MN Q

BD MN PM QN a

PN QM b

a

b a b

386 385 287 288

110 ABC

S  SABC 115 SABC 125 SABC 120

MC MA2 NM

NB3 PBk.PC

k1

2 k 2 k 

1

2 k 2

ABC J 2JA5JB3JC 0

   

E

AB AE kAB

 

(13)

A B C D

(Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh)

Câu 66: Cho tam giác Tập hợp điểm thỏa mãn:

là:

A Đường thẳng qua B Đường thẳng qua C Đường tròn D Một điểm

(Họ tên tác giả: Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung)

Câu 67: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với Gọi H trực tâm tam giác

ABC M trung điểm đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi thỏa điểm A ln thuộc đường trịn cố định có bán kính

A B C D

(Họ tên tác giả: Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo)

Câu 68: Cho hai điểm cố định Tìm giá trị để tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện

đường tròn

A B C D

Câu 69: Cho tam giác vuông Tìm tập hợp cho

A Đường thẳng B Đường tròn C Đoạn thẳng D Một điểm

PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm, Email: Phamthanhliem1@gmail.com

Câu 70: Cho tam giác vng cân có Gọi tập hợp điểm mặt

phẳng thỏa mãn hệ thức: Gọi trung điểm Kết luận sau đúng?

A đường thẳng trung trực đoạn thẳng B đoạn thẳng

C đường trịn cố định bán kính D đường trịn tâm bán kính

(Họ tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3)

Câu 71: Cho tam giác cạnh Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức

nằm đường tròn có bán kính là:

A B C D

Câu 72: Cho Tìm tập hợp điểm cho:

A Tập hợp điểm đường tròn 0;1

R R1; 2 3;

2 R  

 

3 ; 2 R 

 

ABC M

4MA MB   MC  2MA MB   MC

A B C

2 BC a

2

. 4

MA MHMA  a  

2a a a a

A B k0 M

2

MA MB k 2 

k AB 2

3

k AB 2

3 

k AB 2

3 k AB

ABC A M MB2MC2 MA2

ABC A AB5cm ( )S M

25

MA MB MA MC 

   

I BC

( )S AI

( )S 10

4 R

( )S I

4 R

ABC a M

2

2 2

4

2 a

MA MB MC   C

3 a

4

a

2 a

6 a

ABC

(14)

B Tập hợp điểm đường thẳng C Tập hợp điểm tập rỗng

D Tập hợp điểm điểm trùng với

Câu 73: Cho tam giác cạnh Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức

nằm đường trịn có bán kính là:

A B C D

Họ tên tác giả: Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga,Email: linhnga.tvb@gmail.com

Câu 74: Cho đều, có cạnh a Khi tập hợp điểm cho

là: A Đường tròn có bán kính B Đường trịn có bán kính C Đường trịn có bán kính D Đường trịn có bán kính

Câu 75: Cho tìm tập hợp điểm :

Họ tên tác giả: Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An, Email: antq4949@gmail.com

Câu 76: Cho tam giác cạnh Biết tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức

đường trịn cố định có bán kính bằng:

A B C D

(Họ tên: Lê Thị Bích Hải, Tên face: Bich Hai Le)

Câu 77: Cho tam giác có trọng tâm Tìm tập hợp điểm thỏa mãn

A Đường trịn đường kính B Đường trung trực đoạn thẳng C Đường trịn đường kính D Đường trung trực đoạn thẳng

(Họ tên tác giả: Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) M

M

M A

ABC a M

2

2 2

4

2 a

MA MB MC   C

3 a

4

a

2 a

6 a

ABC

 M

2

6 a MA MBMB MCMC MA      

3 a R

2 a R

3 a R ABC

 M MB MC . AM2

ABC M

2MA3MB4MC  MB MA

1

3

1

ABC G M

MA MB MCBC 2  MA MC 3MG 2  CBAC2         

AB AB

(15)

Câu 79: Cho tam giác , có điểm thỏa ?

A B

C vơ số D Khơng có điểm

Họ tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ, Email: huyenvanqt050185@gmail.com

VẤN ĐỀ TỈ LỆ

Câu 80: Cho có ; Phân giác góc cắt trung tuyến

Tính

A B C D

Họ Tên: Trần Quốc Đại, Email: quocdai1987@gmail.com

Câu 81: [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần ] Cho gọi điểm nằm

cạnh cho , trung điểm Một đường thẳng qua cắt cạnh Tình tỉ số

A B

C D

Họ Tên: Trần Quốc Đại, Email: quocdai1987@gmail.com

Câu 82: Cho tam giác Trên cạnh lấy điểm cho Trên cạnh lấy điểm

cho Gọi trung điểm Tia cắt Tỉ số có giá trị là:

A B C D

Họ tên tác giả: Đỗ Văn Đức Tên FB: Đỗ Văn Đức

Câu 83: (Bài toán tổng quát toán 1) Cho tam giác Gọi điểm chia theo tỉ số

Trên tia lấy điểm cắt Đặt , Tỷ số có giá trị

A B C D

Câu 84: (Hệ hay dùng toán 2) Cho tam giác Gọi trung điểm BC Trên

tia lấy điểm cắt Đặt , Tỷ số có giá trị

ABC M   MA MB MC 5

1

ABC

 AB3 AC4 AD BAC BM

I AD AI AD AI  10 AD AI  29 20 AD AI  AD AI  ABC  D

BC BD2BC E AD E

;

AB AC M N, AB AC

AM  AN

2

AB AC

AM  AN 

AB AC

AM  AN 

28

5

AB AC

AM  AN 

29

5

AB AC

AM  AN 

ABC AB D AD2DB AC

E CE3EA M DE AM BC N BN

CN 2

ABC I BC k

AB AC M N, AI MN P AB b

AM  AC c AN AI AP   b kc k   b kc k   c kb k   c kb k ABC I

AB AC M N, AI MN P AB b

(16)

A B C D

Câu 85: Cho tam giác Gọi các điểm thỏa mãn

Điểm đoạn thẳng cho ba điểm thẳng hàng Tìm tỉ số

A B C D

Tên: Nam Phương Tên FB: Nam Phương, Email:nguyentrietphuong@gmail.com

Câu 86: Cho tứ giác có hai đường chéo cắt thỏa mãn

Qua trung điểm dựng đường thẳng cắt Tính tỉ số

A B C D

Email: haivanxinh99@gmail.com Face Hải Vân

Câu 87: Cho tam giác điểm thỏa mãn Đường thẳng cắt

đường thẳng Giá trị tỉ số là:

A B C D

(Họ tên tác giả: Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà)

Câu 88: Cho tam giác Điểm chia trung tuyến theo tỷ số kể từ đỉnh

Đường thẳng chia diện tích tam giác theo tỷ số , giá trị bằng?

A B C D

(Họ tên: Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình)

Câu 89: Cho tam giác với trung điểm Lấy điểm thỏa mãn ,

Gọi giao điểm Đặt Hỏi

A B C D

Họ tên: Tăng Lâm Tường Vinh, Facebook: tanglamtuong.vinh bc

2 

b c 2

2 

b c

 bc b c

ABC D E, ,

3

BD BC AE AC

   

K AD B K E, , AD

AK

3 AD

AK 

AD AK  AD AK  AD AK 

ABCD O OC 3OA OD ,  4OB

M AB MO CD N CN

ND 4 3

ABC I 23IA8IB2018IC 0 AI

BC J JB

JC 23 2018 23 2018 8 23

ABC K AD :1

BK ABC ABF

BCF S k S  k

k

8

k

5

k

2 k

ABC K BC M N, AM  3AB

4  

AN 1AC  

(17)

Câu 91: Cho tam giác Kéo dài đoạn , gọi trung điểm Vẽ hình

bình hành Đường thẳng cắt Tính tỉ số ?

A B C D

Câu 92: Họ tên: Hoàng Ngọc Lâm,Email: hoangngoclammath1112@gmail.com

Câu 93: Cho tam giác có , Phân giác góc cắt trung tuyến

Tính tỉ số

A B C D

Câu 94: Cho hình bình hành , điểm đoạn , đường thẳng cắt cạnh

tại đường thẳng cho Tỷ số

A B C D

Họ tên: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát,Email: nguyenvantoannbk@gmail.com

Câu 95: Cho hai tam giác ; gọi trọng tâm tam giác

Gọi trọng tâm tam giác , Tính tỉ số ta kết :

A B C D

Họ Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh, Email : manhluonghl4@gmail.com

VẤN ĐỀ MIN,MAX

Câu 96: Cho cạnh 3, điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp Đặt

Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Khi đó, giá trị biểu thức là:

A B C D

Câu 97: Cho số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: , Giá

trị lớn là:

A B C D

Họ tên tác giả: Trần Văn Ngờ Tên FB: Tran Van Ngo Tth, Email: vanngodhqn@gmail.com

ABC AB BE AB F AC

EAFG AG BC K KB

KC

4

3

1

2

ABC AB3 AC4 AD BAC

BM I AD

AI 13

8

11

10

ABCD O AC BO CD

E AD F EF2BO AF

AD

1

2 

2 1

2

ABC A B C1 1 1 A B C2, 2, 2

BCA CAB ABC1, 1, 1 G G G, 1, 2 ABC A B C, 1 1 1

A B C2 2 2 GG GG

1

2

ABC

 M ABC

2 2

PMA MB MC a b, P

4 T ab

3 12

ABC

 2 2

x y z k kR

cos cos cosB

Pxy Cyz Azx

k

2 k

3

k

(18)

Câu 98: Cho hai điểm , thỏa mãn : Khi thay đổi tìm giá trị nhỏ biểu thức ?

A B C D

( Họ tên tác giả : Đặng Mơ- Tư Duy Mở )

Câu 99: Cho tứ giác , M điểm tùy ý điểm I, J, K cố định cho đẳng thức thỏa mãn

với điểm M: Giá trị k

A k = B k = C k = D k =

Câu 100: Cho tam giác ABC vng A Gọi góc hai đường trung tuyến BD CK Giá

trị nhỏ

A B C D

Câu 101: Cho hai điểm cố định G trọng tâm tam giác ABC tam giác Giá trị

nhỏ biểu thức

A B C D

Họ tên: Nguyễn Đức Hoạch – email: nguyenhoach95@gmail.com

Câu 102: Cho hình thang có Với

mỗi điểm di động cạnh ta xác định điểm cho Tìm độ dài nhỏ

A B C D

Mail: nguyennga82nvc@gmail.com, FB: Nguyễn Nga Nvc

Câu 103: Cho tam giác ABC vuông A; BC = 2; CA = b; AB = c điểm M di động

Biểu thức F= đạt giá trị lớn

A 4 B 12 C 16 D 24

, ( ;6)

A B I M( ;3)I AIB60 A B M, ,

P MA  MB

9 6 13 6

ABCD

3 .

   

    

MA MB MC MD k MK

 cos

4 5

5 4

4 3

3 4 '

G A B C' ' '.

' ' '

P AABB CC '

GG 3GG' 2GG' 1 '

3GG

1 1

A B C D  

1 1/ / 1, 1 , 1 , 1 1 1 60

A B C D A B  a C D  a D A B C B A 

1

G A B1 F1 G F1 1G C1 1G D1

  

1

G F

2a a 3

2

a

2

a

2 2 2

8MA b MB c MC

(19)

Câu 105: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC điểm M Đặt Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A B C D

Họ tên tác giả: Phạm Khắc Thành, Email: phamkhacthanhkt@gmail.com

Câu 106: Cho tam giác ABC có trung tuyến Tìm giá trị nhỏ

A B C D

Mail: thuytrangmn@gmail.com

Câu 107: Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a Tìm điểm M để vecto

có độ dài nhỏ

A M trùng với trọng tâm G tam giác ABC.

B M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC. C M trùng với trực tâm H tam giác ABC.

D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC.

Họ tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê, Email: hongle.ad@gmail.com

Câu 108: Cho tam giác tam giác cạnh , điểm di động đường thẳng

Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức là:

A B C D

Họ tên: Ngô Gia Khánh, Địa mail: ngkhanh4283@gmail.com

Câu 109: Cho có trọng tâm G cố định Khi giá trị nhỏ

của là:

A B C D

(Họ tên tác giả: Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan)

Câu 110: Cho tam giác với cạnh ; Gọi đường phân giác

trong góc Biết biểu thị vectơ Tính

A B C D

Mail: thongbui1987@gmail.com

Câu 111: Cho có ; Phân giác góc cắt trung tuyến

Biết , với tối giãn Tính

A B C D

Câu 112: Cho tứ giác có vng góc với , , , Gọi

điểm thuộc cạnh Biết , giá trị lớn

A B C D

, ,

aBC bCA c AB

MA MB MC

T

a b c

  

3 3

3

' '

AACC A'BC C, 'AB cos B

4

2

5

1

aMA bMB cMC  

ABC a M AC

3

T  MAMBMC  MAMBMC

2

a

MinT  MinT 2a MinT a

2 a MinT 

ABC

 A B C' ' ' G' GG'a

AA ' ' '

T BBCC

Ta T2a T3a T4a

ABC ABx AC, y xy0 AD

A ADmAB n AC  S mn

 

S S 0 S 1 S 2

ABC AB3 AC4 AD BAC BM I



AD a

AI b a b, 

a

b S a2b

10 

S S 14 S 24 S 27

ABCD AD BC AB AB8 ADa BCb

E CD AEB90 T ab

(20)

Họ tên tác giả: Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi, Email: lehongphivts@gmail.com

Câu 113: Cho tứ giác có vng góc với , , , Cho

số thực dương thuộc điểm thỏa mãn Tìm hệ thức liên hệ , , , để góc ?

A B

C D

Câu 114: Cho tam giác có trọng tâm , qua dựng đường thẳng cắt cách cạnh ,

tại , Đặt , , gọi , giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Tính

A B C D

(Họ tên tác giả: Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn)

Câu 115: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho

Điểm M di động BC cho Tìm x cho đạt giá trị nhỏ

A B C D

Họ tên: Nguyễn Thị Thu, Email: thutoan83@gmail.com, Facebook: Nguyễn Thị Thu

Câu 116: Cho tam giác ABC cạnh , đường thẳng qua B tạo với AB góc

Tìm giá trị nhỏ ?

A B C D

(Tác giả: Hoàng Thị Thúy - Facebook: Cỏ ba )

Câu 117: Cho tam giác cạnh nội tiếp đường tròn điểm thay đổi Gọi ,

lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tính

A B C D

Câu 118: Cho lục giác cạnh Trên đường chéo , lấy hai điểm , cho

Độ dài đạt giá trị nhỏ bao nhiêu?

ABCD AD BC AB ABh ADa BCb

k 0;1 E k EC1k ED 0 a b h k AEB90

1k b ka  h k1k kb1k a hk1k 1  1 

kb k ah k k 1k b ka  hk1k

G G d AB AC

M N AM x

AB 

AN y

AC  m M

T x y m M

10

17

11

5

1

BH HC

3    BMxBC

 

MA GC  

5

6

2 d 600

C  A MA MB  3MC

5

12

4

5

ABC ( )O M O s i

MAMBMC   

si

s i 

3

s i 

3

s i  s i 2

ABCDEF a AC CE M N

AM CN

k

AC  CE  0k1

2

(21)

A B C D

Câu 120: Cho tam giác ABC, Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC. Giá trị nhỏ biểu thức

A B C D

Phuongthao.nguyenmaths@gmail.com

Câu 121: Cho tam giác có trọng tâm Gọi chân đường cao hạ từ cho

Điểm di động nằm cho Tìm cho độ dài vectơ đạt giá trị nhỏ

A B C D

Câu 122: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đơi đáy AB. Lấy điểm E cho

đồng thời thỏa mãn Giá trị nhỏ góc nằm khoảng đây?

A B C D

Họ tên tác giả: Đoàn Phú Như, Tên fb: Như Đoàn, Email: doanphunhu@gmail.com

Câu 123: Cho hình thang ABCD có , , góc tạo hai véc tơ

bằng Khi giá trị bằng:

A B C D

(Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái )

Câu 124: Cho hình thang ABCD có , Giá trị biểu thức

bằng:

A B C D

Câu 125: Cho tam giác có biết Biểu thức đạt

giá trị nhỏ với giá trị thực Giá trị nằm khoảng đây?

2

a a b 2

2

a a b 2

4

a a b 2

4 a a b

3( ), 4( ), 5( )

AB cm BC cm CA cm

2 2

PMB MC MA

0 5 97

2

 5 97

2

 5 97

4 

ABC G H A

1 BH  HC

 

M BC BMxBC x

MA GC

 

4

5

6

5

3BC2DE

CACE ABC

(95 ;100 )  (100 ;106 )  (106 ;115 )  (115 ;120 ) 

2 ABDC AC8,BD6 AC BD

120 (AD BC )

13

 14

3

 15 10

4 

6 3

2 ABDC AC9,BD6 2 (BC AD )

15 80

3 12 14

ABC BAC60 AB AC, Pk MA MB  MC

(22)

A B C D

có độ dài nhỏ

D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC.

Họ tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê

Câu 127: Cho tam giác cạnh a điểm M thay đổi Giá trị nhỏ biểu thức

là:

A B C D

Họ tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le

Câu 128: Cho tam giác có hai đường trung tuyến kẻ từ vng góc với Tính giá trị

nhỏ

A B C D

Họ tên tác giả: Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm, Email: dvtam0189@gmail.com

Câu 129: Cho đoạn thẳng có độ dài Một điểm di động cho

Gọi hình chiếu lên Tính độ dài lớn ?

A B C D

Họ tên: Phương Xuân TrịnhTên FB:: Phương Xuân Trịnh, Email: phuongtrinhlt1@gmail.com

Câu 130: Cho tam giác vuông Gọi góc hai trung tuyến Giá trị nhỏ

nhất là:

A B C D

Câu 131: Cho có trọng tâm G Gọi H chân đường cao kẻ từ A cho Điểm M di

động BC cho Tìm x cho độ dài vecto đạt giá trị nhỏ

(0;1) ( ; 2)3

2

3 (1; )

2 (2;3)

aMA bMB cMC  

ABC

2 2

2

P MA  MB  MC

2

14a 14a2

2 26

3 a 

2 26

3 a

ABC B C

cosA

1

2

3

4

AB a M  MA MB   MA MB

H M AB MH

a

a a

ABC A  BD CK

cos

2

4

2

3 ABC



3 CH HB

(23)

A B C D

Câu 133: Cho hai phân giác tam giác Biết ,

Khi bằng:

A B C D

Họ tên: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo

Câu 134: : Cho đoạn thẳng có độ dài Một điểm di động cho

Gọi hình chiếu lên Tính độ dài lớn ?

A B C D

Câu 135: Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích điểm , thỏa mãn ;

Cắt miếng gỗ theo đường thẳng qua , đường thẳng qua cạnh Khi diện tích miếng gỗ chứa điểm thuộc đoạn:

A B C D

Họ tên tác giả: Hồng Tiến Đơng, Tên FB: tiendongpt, Email: dongpt@c3phuctho.edu.vn

Câu 136: Cho tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Tìm giá trị lớn

A 1 B 2 C 3 D 4

Đỗ Công Dũng, Email: congdung812@gmail.com

Câu 137: Cho tam giác cạnh Gọi điểm nằm cạnh Tính giá trị nhỏ

biểu thức theo

A B C D

Câu 138: Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với đỉnh A, C)

Trên đường thẳng AB, BC, lấy điểm P Q cho MP // BC, MQ // AB. Gọi N giao hai đường thẳng AQ CP Giả sử Tìm giá trị lớn m + n

A B C D 2

Email: themhaitotoanyp1@gmail.com, (Fb: Lưu Thêm)

Câu 139: : Cho tam giác có trọng tâm Gọi chân đường cao hạ từ cho

Điểm di động nằm cho Tìm cho độ dài vectơ đạt giá trị nhỏ

A B C D

a a

AD BE ABC AB4 BC5 CA6

 DE

5

9 5  

CA CB

5 9  

CA CB

5 5  

CA CB

5 5  

CA CB

AB a M

  

   

MA MB MA MB H M AB MH

a a

S I O   IBIC0

OA OI    

O M N,

,

AB AC A

; S S       ; S S       ; S S       ; S S      

ABC R2

2 2

BC AB AC

ABC a M AB

2

MA MBMC    a a a

a

3 a DC n DA m

DN  

3 4

ABC G H A

1   

BH HC M BC BM x BC x

(24)

Họ tên: Lê Thị Lan FB: Lê Lan, Email: lelanqx2@gmail.com

Câu 140: Cho tam giác ABC có nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R M

điểm thuộc đường tròn (O) Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu

thức Khi giá trị

A B

C D

Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng

Câu 141: Cho tam giác nội tiếp đường trịn tâm ,bán kính , điểm

đường trịn Giá trị lớn biểu thức

A B C D

Họ tên: Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen, Email: giaohh2@gmail.com

Câu 142: Cho tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A B C D

Họ tên: Đồng Anh Tú Facebook: Anh Tú VẤN ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG

Câu 143: Cho tam giác cạnh Tính

A B C D

Họ tên: Nguyễn Văn Nho Facebook: Nguyễn Văn Nho

Câu 144: Cho tam giác có trung tuyến, trọng tâm Một đường thẳng qua cắt

cạnh Khẳng định sau đúng? A

B C D

Email: ngvnho93@gmail.com

Câu 145: Cho véc tơ thỏa mãn Tính

, ,

BCa ACb ABc ,

N n

2 2

PMA MB MC N n

2

12R 4R 9R2a2b2c2

2 2

2R 9R a b c 8R 9R2a2b2c2

ABC O R M

2 2 3

  

S MA MB MC

2 21

R R2 21 2R2 21 2R2 21

ABC P cos 2A2 cos 2B2 cos 2C

Pmin  4 P  1

2

min Pmin   2 3 Pmin  5

ABC a      AB BC BC CA CA AB 

3 a 

2

a

2

a 3

2 a 

ABC AD G G

,

AB AC M N,

1

2

AM AN  AN MB AM NC

     

AM AN  AN MBAM NC

     

2

( )

3

     

( )

2

     

, ,

(25)

Câu 146: Cho tam giác ABC vng A có BC = 2a, M điểm đoạn BC cho MB = 2MC. Biết Độ dài cạnh AC là:

A B C D

Họ tên: Đoàn Thị Hường, Email: ngochuongdoan.6@gmail.com, Fb: Đoàn Thị Hường

Câu 147: Cho tam giác có .Dựng điểm M cho

Đặt .Tính

A B C D

Họ tên: Đào Hữu Nguyên FB: Đào Hữu Nguyên, Mail: huunguyen1979@gmail.com

Câu 148: Cho tam giác ABC vng A Quỹ tích điểm M thỏa mãn

A Đường thẳng AC B Đường thẳng AB

C Đường thẳng BC D Đường trung trực cạnh BC.

Họ tên tác giả: Nguyễn Bá Trường Tên FB: thanhphobuon

Câu 149: Cho tam giác cạnh , Lấy điểm , , cạnh

, , cho , , Tìm để

A B

C D

Câu 150: Cho tam giác vuông cân Gọi trung điểm điểm di động

đường thẳng Khi đạt giá trị nhỏ nhất, tính tỉ số

A B C D

(Họ tên tác giả: Nguyễn Đức Lợi, Tên FB: Nguyễn Đức Lợi)

Câu 151: Cho có trọng tâm , chân đường cao kẻ từ cho Điểm di

động cho Tìm cho nhỏ

A B C D

Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền Câu 152: Cho tam giác ABC, nhọn, không cân nội tiếp đường tròn Gọi G M trọng tâm tam giác ABC trung điểm cạnh BC Cho đường thẳng OG vng góc với đường thẳng OM tính giá trị biểu thức theo R

A 8R2 B 10R2 C 12R2 D 14R2

2

AM BC a  

33 a

AC  ACa 3

3 a

AC  ACa

ABC 

90 , 1,

BAC AB AC

,

AM BC AM  AM x AB.y AC. 2 ? T x y 153

20

T 151

20

T 157

20

T 159

20 x

2

MB MCMA BCMA

   

ABC 3a a0 M N P

BC CA AB BM a CN2a APx 0x3a x AMPN

5 a

x

5 a x

5 a

x

5 a x

ABC B M AB I

MC 2IM AC AC AI

AC

AI 

AC

AI 

AC AI  AC AI  ABC

 G H A

3

BH  HC

 

M

BC BMxBC x MA GC 

6 5 4 5

O R; 

2 2

(26)

Lời giải

Họ tên: Nguyễn Thị Trăng Fb: Trăng Nguyễn

Câu 153: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, = Lấy điểm E tia MP đặt Tìm

k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP

A k= B k= C k= D k=

Họ tên tác giả: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm

Câu 154: Đẳng thức với điểm M Khi tứ giác ABCD hình

A Hình thang vng B Hình chữ nhật

C Hình thoi D Tứ giác có hai đường chéo vng góc Lời giải

(Họ tên tác giả: Phạm Trung Khuê, Tên FB: Khoi Pham)

Câu 155: Cho hình vng cạnh Gọi thuộc đoạn thẳng cho

, Khi thuộc khoảng đây?

A B C D

Họ tên: Nguyễn Đắc Giáp Facebook: dacgiap

Câu 156: Cho hai vector thỏa mãn đồng thời điều kiện , vector

vng góc với Tính cosin góc tạo hai vector

A B C D

Họ tên tác giả: Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Tên FB: Ngonguyen Quocman

Câu 157: Giả sử O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh Tìm

giá trị biểu thức:

A B C D

Câu 158: Cho hình vuông ABCD M, N nằm hai cạnh BC CD cho

Gọi E điểm thỏa mãn Khi Tính giá trị biểu thức



M 600 

 

ME kMP

2

1



   

MA AD MB BC

ABCD a M N, BC AC

1   

BM MC CNk AN AM DN k

3;5  5; 3  4; 2 2; 4

, a b  

2 7,

a b  a b   (3a b  )

(a b  ) a b

1



4

1

2 

; ;

BCa CAb ABc

2 2

OA OB OC

K

b c c a a b

  

1

K 

3

K  K 1

4 K 

1

CM CN

CB CD 

AE kAN

 

(27)

C Tam giác Vuông D Tam giác vuông cân

Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa

Câu 160: Cho tam giác Gọi trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đặt , , Tìm hệ thức liên hệ , , cho vng góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh tam giác

A B C D

(Email): luongthanh80tm@gmail.com

Câu 161: Cho tam giác có trung tuyến, trọng tâm Một đường thẳng qua cắt

cạnh Khẳng định sau đúng? A

B C D

(Sưu tầm, Họ tên: Nguyễn Lương Thành, Tên FB: luongthanh.nguyen.7)

Câu 162: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 AD=4.Gọi M trung điểm cạnh AB N

điểm cạnh AD cho ,CM vng góc với BN.Khi k thuộc vào khoảng sau

A B C D

Họ tên:Phan Thông, Email:quocthong1182@gmail.com, Facebook:Quocthongphan

Câu 163: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, = Lấy điểm E tia MP đặt Tìm

k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP

A k= B k= C k= D k=

Câu 164:Họ và tên: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm, Email:

phamhongquangltv@gmail.com

Câu 165: Cho tam giác có trung điểm , chân đường

phân giác góc Tính

A B

C D

Câu 166: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được xác định

Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với

ABC H O ABC

BCa CAb ABc a b c OH

A ABC

2 2

2a b c 2b2a2c2 2c2a2b2 b22a22c2

ABC AD G G

,

AB AC M N,

1

2

     

2

( )

3

     

( )

2

     

ANk AD

  0; 16       1 ; 16 20       1 ; 20       1 ;       

M 600 

  ME kMP

ABC BC a CA, b AB, c M BC D

A AD2

   

2

2 4c

AD p p a

b c         2 4bc

AD p a

b c         2 4bc

AD p p a

b c         2 4bc

AD p p a

b c      60 BAC

MC  MB

 

(28)

A B

C D

Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát

Câu 167: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I trung điểm AC M điểm thỏa

mãn Biết OM vng góc với BI và Tính góc

A B C D

Họ tên: Trần Ngọc Tên FB: Ngọc Trần, Email: soantailieutoanhoc2018@gmail.com

Câu 168: Cho hình thang vng ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b Gọi M trung

điểm BC. Hệ thức a, b, h để

A B C D

Họ tên tác giả: Đào Trung Kiên (st) Tên FB: kienyenthe, Email: kienyenthe@gmail.com

Câu 169: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M, N điểm thỏa mãn ,

Gọi I giao điểm AM CN Tính diện tích tam giác IBC theo a?

A B C D

Họ tên: Vũ Huỳnh Đức, Email: vutoanpvd@gmail.com, Facebook: vuhuynhduc2017

Câu 170: Cho tam giác điểm thỏa mãn , ,

Tìm để vng góc với

A B C D

Họ tên: Huỳnh Thanh Tịnh Tên FB: huynhthanhtinh, Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com

Câu 171: : Giả sử O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh Tìm

A B C D

Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng FB: Hùng Tăng

2

6c 4b 5bc0 4c25b26bc0

2

6c 5b 4bc0 4c26b25bc0

2

OM OA OB   OC AC23BC BA ABC

30 45 60 120

D AM B

2 0

a h ab h2a2ab0 h2b2ab0 b2h2ab0

1  

BM BC

1  

A N AB



2 3

7

IBC

a

S 

2 7

7

IBC

a

S 

2

2 7

IBC

a

S 

2

IBC

a S

ABC M N P, , BM k BC

3 

 

CN CA

4 15 

 

AP AB k AM PN

1 3

k  1

2

k 3

4 k

; ;

BCa CAb ABc

2 2

OA OB OC

K

b c c a a b

  

1

K 

3

K  K 1

(29)

Câu 173: Cho tứ giác , hai điểm thỏa mãn Tính theo để

A B C D

Họ tên tác giả: Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê, Email: Lenguyet150682@gmail.com

Câu 174: Cho tam giác có Gọi điểm thuộc cạnh cho

điểm thuộc cho ( ) Biết

( phân số tối giản, a,b số nguyên) cho đường thẳng vng góc với đường thẳng

Tính giá trị biểu thức

A B C D

Họ tên tác giả: Trần Thanh Hà Tên FB: Hatran, Email: tranthanhha484@gmail.com

Câu 175: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và Các điểm M, N được xác định

Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với

A B

C D

Họ tên tác giả: Đỗ Thế Nhất Tên FB: Đỗ Thế Nhất, Email: nhatks@gmail.com Câu 176: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh

AD cho Tìm k để CM  BN

A k=7,9 B k=8 C k=8,1 D k=7.8

Câu 177: Cho hình bình hành có đường chéo lớn Gọi hình chiếu vng

góc Biểu thức sau

A B

C D

Họ tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duy Tên FB: Ngọc Duy, Email: nguyenngocduyakgl@gmail.com

Câu 178: Cho hình thang vng , đường cao , cạnh đáy Tìm hệ thức

giữa để vng góc trung tuyến tam giác

A B

C D

Email: thuy.tranthithanhdb@gmail.com

ABCD M N, 2     MBMA0; 2NCND0 AD x BC 

 

cos cos

DBC

ADB x MN BD

2 x

2 x 

3 x

ABC AB6;BC7;CA5 M AB

2

AM  MB N AC ANk AC k k a

b   a

b CM

BN

2018 2019

T  a b

2017

T T 2020 T2030 T 2030



60 BAC 2

MC  MB  

2 NB  NA  

2

6c 5b 4bc0 c26b25bc0 2

4c 6b 5bc0 4c26b25bc0

ADkAN

ABCD AC E F,

C AB AD,

2

AB AHAD AF AC AB AE AD AF AC2

2

AB AEAD AH AC AB AE AD AF AC AH

ABCD ADh ABa CD, b , ,

a b h BD AM ABC

 

2

h a a b  

h a b a

   

(30)

Câu 179: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (O, R), M điểm cung BC ( cung BC khơng chứa điểm A) Chọn đẳng thức đẳng thức sau:

A B

C D

Họ tên tác giả: Nguyễn Quang Nam Tên FB: Quang Nam, Email: quangnam68@gmail.com

Câu 180: Cho tam giác có trung điểm , chân đường

phân giác góc Tính

A B

C D

Họ Tên: Lương Thị Hương Liễu Tên FB: Hương Liễu Lương, Email: lieuluong.290983@gmail.com

Câu 181: Trong thi giải trí tốn học tổ chức hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có trị chơi sau: Người ta thiết kế hai đường ray tạo với góc hình vẽ Trên đường thẳng người ta để hai vật nặng trọng lượng Buộc hai vật thể với cứng cho vật chuyển động hai đường ray Nối hai vật sợi giây vịng qua cột có gốc Người tham dự thi đứng vị trí điểm để kéo vật thể chuyển động Người thắng người kéo vật thể xa so với điểm gốc Hãy dùng kiến thức tốn học để tính tốn vị trí xa mà người tham dự thi đạt

A B C D

.sin sin

MAMB CMC B MAMB.cosCMC.cosB

.sin sin

MAMB B MC C MAMB.cosB MC cosC

ABC BCa CA, b AB, c M BC D



A AD2



   

2

c

AD p p a

b c

 

 

   

2

2 4bc

AD p a

b c

 





   

2

2 4bc

AD p p a

b c

 





   

2

2 4bc

AD p p a

b c

 





0 30

Ox Oy

1 AB m

O

B Oy

O

B A

(31)

A B C D

Câu 183: Cho hình chữ nhật ABCD có Điểm M thuộc cạnh AD N trung điểm BC

sao cho Phân số tối giản có

A 29 B 18 C 16 D 27

(Họ tên tác giả: Trần Văn Đoàn, Tên FB: Trần Văn Đoàn)

Câu 184: Cho tam giác có ; , Gọi trung điểm

chân đường phân giác góc tam giác Biết trung tuyến vng góc với phân giác Khi đẳng thức sau đúng?

A B C D

Họ tên: Nguyễn Thị Thỏa Tên FB: Nguyễn Thị Thỏa, Email: phamquynhanhbaby56@gmail.com

Câu 185: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) M điểm cung nhỏ Khi

A B

C D

CÁC PHẦN CHÍNH CỦA CHUYÊN ĐỀ VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN VÉC TƠ

VẤN ĐỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VẤN ĐỀ QUỸ TÍCH

VẤN ĐỀ TỈ LỆ VẤN ĐỀ MIN,MAX

VẤN ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG

Phần II: Hướng Dẫn Giải

Trang: VĐ1-P35; VĐ2-P74; VĐ3-P88; VĐ4-P99; VĐ5-P110; VĐ6-P149 VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN VÉC TƠ

Email: daytoan2018@gmail.com

Câu 186: Cho tam giác ABC biết AB3,BC4,AC6, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi x y z, , số thực dương thỏa mãn x IA y IB z IC   0

   

.Tính P x y z

y z x

  

A

4 

P B 41

12

P C 23

12 

P D

3 

P

Lời giải

Họ tên tác giả: Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành

Chọn B cos

2

A cos

4

A  cos

2

A cos

2 A

1;

AB CD

MN BD m BN

n  NC mn

ABC ABc BCa CAb M AB D

A ABC CM

AD

b c c2b a b c ca b

 BC MAMBMC MAMBMC

(32)

Dựng hình bình hành BDIE hình vẽ Khi IB IE ID IEIA IDIC

IA IC

    

    

Theo tính chất đường phân giác tam giác: IE MB BC IA  MA  AC ,

ID BN AB

IC NC  AC Suy IB BCIA ABIC

AC AC

  

  

Từ x IA y IB z IC   0

   

suy IB x.IA z.IC

y y

     

Do IA IC , hai véc tơ không phương suy x4 ,t y6 ,t z3t với t0

Vậy 41

12

x y z

P

y z x

   

Họ tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet Email: tiethanh.78@gmail.com

Câu 187: Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Đặt

   

N M

E D

I A

(33)

* I trung điểm CD nên: 1

2 2

AI AC AD ABAD

     * G trọng tâm tam giác BCI nên: 1

3 3

AG AB AC AI    

, thay   AC ABAD

2

AI ABAD   

ta 1  1

3 3

AG AB ABAD   ABAD AB AD

 

        Họ tên: Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm

Email: ilovemath.ddt@gmail.com

Câu 188: Cho tam giác ABC với cạnh AB c BC, a CA, b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ABC. Đẳng thức sau

A aIAbIBcIC 

   

B bIAcIBaIC 

   

C cIAbIBaIC 

   

D cIAaIBbIC 

   

Lời giải

Chọn A

Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI A’ Ta có IC IA'IB'

  

(*)

Theo định lý Talet tính chất đường phân giác ta có:

' ( )

'

IB BA c IB bIB

IB CA  b  c

1

 

Tương tự: IA aIA c

 

' (2)

 

Từ (1) (2) thay vào (*) ta có:

I A

B C

B'

(34)

a b

IC IA IB aIA bIB cIC

c c

      

      

Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh

Đ/c mail: honganh161079@gmail.com

Câu 189: Cho hình thang cân ABCD có CD đáy lớn, ADC300 Biết DA = a, DC = b, biểu diễn DB theo hai vectơ DA DC

A   DBDADC. B DB DA b a 3DC. b



 

  

C DB DA b aDC.

b 

 

  

D DBbDAaDC.

Lời giải

Kẻ BE // AD, E nằm cạnh CD. Ta có:

2 3

DE DE

DB DA DE DA DC DA DC

DC DC

DC KC b a

DA DC DA DC

DC b

     

 

   

      

   

(35)

A 21

19 B

24

19 C

23

19 D

25 19 Lời giải

Đặt AN  xAQ CN ,   yCP

Vì / / , / /

5

BQ AP AM

MQ AB MP BC

BC AB AC

   

Ta có: 2( )

5 5

AQ ABBQ AB BC AB ACAB  AC AP

Nên (1)

5

AN xAQ xAC xAP

Do N C P, , thẳng hàng nên 10 5x2x x19

Mặt khác CN yCP  AN AC y AP( AC)AN (1y AC) yAP (2)         

Từ (1) (2) suy 15

2 19

y x Do 25

19

AN CN

x y

AQ CP    Đáp án D Họ tên tác giả: Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao

Email: thuangiaoyen@gmail.com

Câu 191: Cho tứ giác ABCD, M điểm tùy ý K điểm cố định thỏa mãn đẳng thức

MAMB MC 3MD  xMK

    

Tìm x:

A 2 B 6 C 5 D 4

Lời giải

Chọn B

Vì đẳng thức MAMB MC 3MD  xMK

    

(1) thỏa mãn với M nên M trùng với K Khi ta có: KAKB KC 3KD  xKK0

     

(2) Gọi G trọng tâm ABC, ta có KAKB KC 3KG

   

(3) Thay (3) vào (2) ta 3KG 3KD 0KG KD 0

     

, suy K trung điểm GD. Từ (1) ta có:

N A

D C

B Q M

(36)

MKKAMKKB MK KCKB 3MK 3KD(KAKB KC 3KD) 6MK   6MK

             

Vậy 6MKxMK

 

suy x = Họ tên: Nguyễn Thanh Hoài Email: ngthhoai1705@gmail.com

Facebook: https://www.facebook.com/hoaihappy

Câu 192: Cho tam giác ABC , cạnh AC lấy điểm M , cạnh BC lấy điểm N cho

3

AM  MC, NC 2NB Gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác OBN

A 24 B 20 C 30 D 45

Lời giải

Chọn C

Ta có: BOxBA 1 x BN

  

AOyAM  1 y AB

  

 1  1

AB yAM x y AB x BN

        xy AByAMx1BN0 (1)

Đặt CB a CA, b    

ta ; ;

4

AB a b AM   b BN    a

Thay vào (1) thu gọn ta được:    

3

x

xy a xy b   a yb

1

x

x y x

 

  

    

     

O

B A

C

(37)

Họ tên tác giả: Trần Ngọc Uyên Tên FB: Tran Ngoc Uyen Email: ngocuyen203@gmail.com

Câu 193: Cho tam giác ABC, gọi I điểm BC kéo dài cho IB3IC Gọi ,J K điểm cạnh AC AB, cho JA2JC KB; 3KA Khi BCm AI.n JK. Tính tổng Pm n ?

A P34 B P 34 C P 14 D P14

Lời giải

Chọn B

Ta có: 3 

2 2

AI ABBI AB BC AB ACAB  AC AB          

(1)

1

4

JK AKAJ  AB AC     

(2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình

3

6 12

2

2 16 36

3

AI AC AB

AC AI JK

AB AI JK

JK AC AB



 

   

 



 

 



    

 

           

Ta có: BC ACAB 10AI24JK m 10;n 24mn 34     

Chọn đáp án B

Email: huanpv@dtdecopark.edu.vn

Câu 194: Cho hình bình hành ABCD, lấy M cạnh AB N cạnh CD cho

1

,

3

AM  AB DN  DC

   

Gọi I J điểm thỏa mãn BI mBC AJ, n AI    

Khi J trọng tâm tam giác BMN tích m.n bao nhiêu?

A 1

3 B 3 C

2

3 D 1

(Họ tên tác giả: Phạm Văn Huấn, Tên FB: Pham Van Huan) Lời giải

Chọn A

J trọng tâm tam giác BMN   ABAM AN 3AJ (9) Ta có

M

N C

A B

(38)

*

AM  AB

 

*   1

2 2

AN DNDA DC DC CA AC DC AC AB

         

* AJ n AI n AB BI n AB mBC n AB m AC   AB

 

        

(1 )

n m AB mn AC

  

 

Nên thay vào (9) ta có 1 (1 )

3

AB ABAC AB n m AB mn AC

     

 

5

3 (1 )

6 n m AB mn AC

 

      

 

   3 (1 ) 0 1

6

3

1

n m

mn mn



  



  

   

Họ tên: Hứa Nguyễn Tường Vy

Email: namlongkontum@gmail.com FB: nguyennga

Câu 195: Cho tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm M, cạnh BC lấy N cho AM=3MB,

NC=2BN Gọi I giao điểm AN với CM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN

A 3

2 B

33

2 C 11 D

9 11 Lời giải

Chọn đáp án B

Đặt BCa BA  ; c

Suy ; ;

4

ACa c AM   c CN   a       

  

I N

C B

A

(39)

Mà ;a c  

không phương suy

3

0

3 11

3

1

0

11

y x

x

y x

y  

 

 

 



 

 

   



 



Với 2

11 11 11 11

x CI CA CNNI NA

Hay 2 11

11 11

NCI

NCA NCA

S NI

S

NA S   

Mà 33

2

ABC

ABC ANC

S BC

S

S  NC   

congsondienan@gmail.com

Câu 196: Cho ∆ABC có trọng tâm G hai điểm M, N thỏa mãn: 3MA2CM 0, NA2 NB0 Chọn mệnh đề

A NG4GM B NG5GM C NG6GM D NG7GM (Họ tên tác giả: Trần Công Sơn, Tên FB: Trần Công Sơn)

Lời giải

Chọn B

Gọi E trung điểm BC. M, N điểm hình vẽ

Ta có: 2  

3 3

         

         

NG AG AN AE AB AB AC AB AB AC

 

2 2 1

5 3 15

          

         

GM AM AG AC AE AC AB AC AB AC

Nên 5 1

3 3 15

 

      

 

     

NG AB AC AB AC GM

Vậy NG5GM

(Email): tranminhthao2011@gmail.com

M G

E

N

A

B

(40)

Câu 197: (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC Gọi A', B',C' điểm xác định 2018 'A B2019 ' A C 0, 2018 'B C2019 ' B A0, 2018 'C A2019 'C B 0 Khi đó, mệnh đề sau đúng?

A ABC A B C' ' 'có trọng tâm B ABC A B C' ' '

C ABCA B C' ' '

D ABC A B C' ' ' có trực tâm

Lời giải

Chọn A

Ta có 2018 'A B2019 ' A C0

   

2018 ' 2019 ' 0

  A AAB   A AAC  4037 ' 2018 2019 0  A A AB  AC  (1)

Tương tự ta có 4037 'B B2018BC2019BA 0 ; 4037 'C C2018CA2019CB 0 Cộng vế với vế lại ta

 

4023   AA'BB'CC' BA   ACCB0   AA'BB'CC'0 Vậy ABC A B C' ' 'có trọng tâm

Câu 198: ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M trung điểm BC Tính độ

dài vec tơ 1 2 2 

  AB AC

A 21

3 a

B 21

2 a

C 21

4 a

D 21

7 a

(41)

Chọn B

Gọi N trung điểm AB, Q điểm đối xứng A qua C P đỉnh hình bình hành AQPN

Khi ta có 1 , 2

2  

   

AB AN AC AQ suy theo quy tắc hình bình hành ta có 1

2

2    

     AB AC AN AQ AP Gọi L hình chiếu A lên PN

Vì MN / /AC ANLMNBCAB600

Xét tam giác vuông ANL ta có sin .sin sin 600 3

2 4

 AL    a  a

ANL AL AN ANL

AN

 

cos .cos cos 60

2 4

 NL   a  a

ANL NL AN ANL

AN

Ta lại có 2 9

4 4        a  a AQ PN PL PN NL AQ NL a

Áp dụng định lí Pitago tam giác ALP ta có

2 2

2 2 3 81 21 21

16 16 4 2

   a  a  a   a

AP AL PL AP

Vậy 1 2 21

2    2

  a

AB AC AP Họ tên: Trần Quốc An

Email: tranquocan1980@gmail.com Facebook: Tran Quoc An

Câu 199: Cho ABC có M trung điểm BC, H trực tâm, O tâm đường trịn ngoại tiếp Tìm x

để HA HB HC    xHO

A x2. B x 2 C x1. D x3

(42)

Chọn A

Gọi A' điểm đối xứng với A qua O, ta có: '

' (1) A B AB

CH A B CH AB

   

  

Tương tự ta chứng minh BHA C' (2) Từ (1),(2) suy tứ giác BHCA’ hình bình hành Do M trung điểm HA'

Ta có: HB HC 2HM HA'

' 2 2.

HA HB HC HA HA HO x            buiduynam1993@gmail.com

Câu 200: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vng góc với phân giác AL Giả sử ngồi cịn có CM kAL Biết

2 cosA a bk

c dk  

 Tính a b c d  

A 18 B 5 C 26 D 17

(Bùi Duy Nam sưu tầm FB: Bùi Duy Nam https://www.facebook.com/duynam.bui.1) Lời giải

Chọn A

H O

C B

A

(43)

Ta có ACM cân A

AC AM AB

    c 2b với bAC, cAB

Theo đề AL phân giác góc A nên: 2 

b c

AL AB AC AM AC

c b c b

   

 

    

   

2 2 2

2 2 cos

9

AL AM AC AM AC b b A

     

 

 

2

1 cos

9b A

 

Lai có 2 AC AM  AC2AM2CM22b2cosA2b2CM2CM2 2b21 cos A Từ 2 21 cos  2.8 21 cos 

9

CM kAL b  A k b  A 9 cos  A4k21 cos A

2 cos

9 k A

k 

 

 Vậy a b c d   18 Họ tên: Phạm Thanh My Email: phamthanhmy@gmail.com Facebook: Pham Thanh My

Câu 201: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , điểm thỏa mãn MA3MB0

  

, AN1AC

 

, 2PB3 PC0 Gọi K giao điểm AP MN Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A 4KA5KP0   

B 3KA2KP0    C KA KP 0

  

D KAKP  

(44)

Gọi I giao điểm MN BC

Áp dụng định lý Menelaus ta có IB NC MA IC NA MB 

1

IB IC

  mà 2PB3 PC0 P trung điểm IC

Áp dụng định lý Menelaus ta có KA IP MB KP IB MA

1

KA

KA KB KP

      

Câu 202: Cho hình thang ABCD AB( / /CD) có hai đường chéo vng góc với Biết

20

 

AB CD cm Tìm  ACBD

A 40cm B 20cm C 30cm D 10cm

Lời giải

Chọn B

Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Yến Tên FB: Nguyễn Yến Email: ntyen.c3lqd@gmail.com

I

K

P M

N

C B

(45)

20

     

    

AC BD BE BD BF DE cm

Họ tên tác giả:Lê Thanh Lâm

Mail:quyphucvn@gmail.com Fb:Thanh Lâm Lê

Câu 203: Cho tam giác ABC có AB3; AC4.Gọi ADlà đường phân giác góc A.Biết

ADm ABn AC   

.Khi tổng m n có giá trị là:

A 1 B 1 C 1

7 D

1  Lời giải

Chọn A

Theo tính chất đường phân giác góc Atrong tam giác ABC ta có:

3 3( ) 4( )

4

DB AB

DC DB AC AD AB AD

DC  AC        

     

4

7

AD AB AC AD AB AC

      Ta có 4;

7

m n Vậy tổng m n 1 Chọn A Câu 204: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi M N P, , trung điểm cạnh AB BC CA, , H H, ' trực tâm tam giác ABC MNP, Khẳng định khẳng định sau? A HA HB HC    3HH' B HA HB HC    2HH'

F

E

D C

B A

B D C

(46)

C HA HB HC     0 D   HMHNHP3HH' Lời giải

Chọn B

'

H trực tâm tam giác MNP nên H' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi AD đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên BHCD hình bình hành suy HA HB     HCHA HD 2HH'

Mail: kimlinhlqd@gmail.com

Câu 205: Cho tam giác ABC tâm O M điểm bên tam giác Gọi D, E, F

hình chiếu M lên BC, CA, AB. Với giá trị k ta có hệ thức:

  

   

MD ME MF k MO

A

2 

k B k1 C

2 

k D k2

Lời giải

Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chun Lê Q Đơn Khánh Hịa

(47)

Gọi hình chiếu M lên cạnh BC D Ta có '

'

   

a a a

S MD S S

MD AA AO

S AA S S

 a MBC

S S

Tương tự cho đánh giá khác Do đó:

 

3

=

    

     

a b c

MD ME MF S AO S BO S CO

S

     

 

3

 Sa  MO MA S MO MBb   S MOc  MC S

   

3 3

2 2

 SaSbSc MO S MA S MBa bS MCc  MO

S S

Cách Khác: Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, CA, AB Họ tên tác giả: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng

Email: thanhdungtoan6@gmail.com

Câu 206: Một giá đỡ hình tam gắn vào tường (như hình vẽ) Tam giác ABC vuông cân B

Người ta treo vào điểm A vật nặng 10N Tính độ lớn lực tác động vào tường B C? (Bỏ qua khối lượng giá đỡ)

A FB 10 ,N FC10N B FB 10 ,N FC 10 C FB FC 10N

D FB10 ,N FC  10

Lời giải

(48)

Hệ chất điểm cân nên FB  FCP 0F  P F  P 10N

Tam giác ABC vuông cân B suy

10

2 10

B B

C C

F F F P N

    

 

    

 

     

Email: giachuan85@gmail.com

Câu 207: Cho ba điểm A, B,C thuộc đường tròn tâm O, thỏa mãn OA OC OB  0

   

Tính góc AOB?

A AOB1200 B AOB900 C AOB1500 D AOB300

Lời giải

Họ tên: Trần Gia Chuân Tên facebook: Trần Gia Chuân

Chọn A

Do OA OC OB    0 nên O trọng tâm tam giác ABC

(49)

Chọn B

Cách 1: Giả sử BM k BC. Ta có

 

AM AB BM

AB k BC

AB k AC AB

k AB k AC

 

  

 1    

    

 

Mà AM 1.AB2.ACk2

3 3

  

suy 3.BM2.BCMB2MC

Cách 2:

AM AB AC AM MB AM MC

MB MC

     

  

 

1 1 2

3 3 3

1

0

3

2

         

  

Email: cvtung.lg2@bacgiang.edu.vn

Câu 209: Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm O, M điểm tùy ý nằm bên tam

giác cho; gọi A B C'; '; 'theo thứ tự hình chiếu vng góc M lên cạnh B C C A; AB Khi ta có đẳng thức vectơ  '  '  ' , 0,

    k

k M A M B M C l M O k l

l phân số tối

giản Tính 2 2k l

A 2

2k l 1 B 2

2k l  1 C 2

2k l 14 D 2 2k l  5 Lời giải

Họ tên tác giả: Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung

Chọn B

(50)

Xét tam giác MA A1 2 tam giác ABCđều tính chất góc đồng vị nên góc

 

1 2 160

MA A MA A suy tam giác MA A1 2 A' trung điểm củaA A1 2 từ ta có:

 2

1 '

2

 

  

MA MA MA

Chứng minh tương tự ta có ' 1 1 2; ' 1 1 2

2

   

     

MB MB MB MC MC MC

Suy ' ' ' 1 1 2 2 2 1 1

2

       

        

MA MB MC MA MC MA MB MB MC , mặt khác tứ giác

1 1; 2; 2

AB MC BA MC CA MB hình bình hành nên

 

1

' ' '

2

     

      

MA MB MC MA MB MC MO 2  MA' MB' MC'3MO

Vậy 2

2;

     

k l k l

Email: trang145@gmail.com

Câu 210: Cho hình vng ABCD, E,F thõa mãn ;

3

BE  BC CF  CD    

; AEBF I Ta có AI k AB l AD  Khi tỉ số k,l thõa mãn cặp sau:

A 3;

5

k  l B 6;

5

k  l C 5;

6

k l D 6;

5

k  l Lời giải

Họ tên: Nguyễn Thị Trang Fb: Trang Nguyen Chọn B

Kẻ EK//AB 1

3

EK EI EK

CF AI AB

    

Ta có: AI 6AE 6( ABBE)6(AB1BC) 6AB2BC)

A B

C

D F

E I

(51)

Lời giải

Chọn D



BOxBA x BN    Vì , ,A O N thẳng hàng nên:

Tương tự: AO y AM1y AB   

( 1) ( 1)

AB yAM x y AB x BN

      

hay (xy)AByAM(x1)BN0 (1) Đặt CBa, CAb

Ta có:

4

; ;

AB a b AM   b BN   a       

Thay vào (1) ta có:     

4

xy a b yb xy  a

 

   

    

   

3

x y

x y a x y b  a b

     

   

Từ ta có:

1

10

2

5

x

x y

y

y x y

 





  



 

 

    

 

 



Với 1 10

x  1

10 (1 10)

BO BA  BN

  

  

10 1

BOBN BABN

   

hay

10 1

NO NA

 

 NA 10

NO

Vì SONB  1 SNAB10SABC 30

Họ tên: Nguyễn Văn Quân Tên FB: Quân Nguyễn Email: Quanvan09@gmail.com

Câu 212: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chọn khẳng

định đúng?

A HAHBHC4HO

   

B HAHBHC2HO

   

C

3

HAHBHC HO

   

D HAHBHC3HO

    Lời giải

O

N

M

C B

(52)

Dễ thấy: HAHBHC2HO

   

tam giác ABC vuông

Nếu tam giácABC không vuông gọi D điểm đối xứng A qua O Khi đó: / /

BH DC(vì vng góc với AC) / /

BD CH(vì vng góc với AB)

Suy BDCH hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành HBHCHD

   (1) Mặt khác O trung điểm AD nên HAHD2HO

   (2) Từ (1) (2) suy ra.HAHBHC2HO

    Tên facebook: NT AG

Câu 213:Cho tam giác ABC có D trung điểm BC, O điểm đoạn AD cho

4

AO OD Gọi  E COAB, F BOAC,  M ADEF Khẳng định sau

đây đúng?

A

7

MO AD

 

B

15

MO AD

 

C

8

MO AD

 

D

7

EM  BC

 

Lời giải

Họ tên tác giả: Nguyễn Đặng Chọn B

A

H O A

B C

(53)

Đặt:ABx AE, AC  y AF, ( ,x y)

Theo ta có 2  2 2

5 5 5

AO AD ABAC  x AE AC  AB y AF        

Do , ,O B F thẳng hàng nên 2 55 y  y Do , ,C O E thẳng hàng nên 2

5x5  x

Từ đó:

2

AB AC AD

AE  AF   AM , lại có

4

5 15

AO ADMO AD

Câu 214:Cho hình thang ABCD có AB CD// Gọi M N, trung điểm AC BD, Kẻ

( )

NH AD HAD và MEBC E( BC) Gọi  I MENH , kẻ IKDC K( DC)

A MK IN.NK IM.MN IK. 0 B IN.tanNIM tanMIK.tanK 0 C IN.cotNIM.cotMIK.cotK 0 D IM   INIK0

Lời giải Chọn B

Ta chứng minh IDIC

Kẻ AF BC BJ,  AD Tứ giác ABFJnội tiếp

   

180 180 O O ABF AJF

DCB AJF

  

Khi DCFJ tứ giác nội tiếp ,

NH ME đường trung bình tam giác DBJ CAF, ,

IH IE đường trung trực DJ CF, nên IJ IF IDIC Vậy IDICKDKC //

//

NH BC NK ME NK MI

MK AD MK HN MK NI

 

  

  

 

  

Từ suy I trực tâm tam giác MNK Nên đáp án B J

F

K I

E H

M N

A B

(54)

Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com

Câu 215: Cho ABC, điểmM thuộc cạnh BC cho 2018.SABM 2019.SACM Đẳng thức sau sai?

A 2018.SABC 4037.SACM B 2018.BM2019. CM 0

C 4037

2018 

 

BC BM D 2019

4037 ABM  ABC

S S

Lời giải

Chọn C

Kẻ đường cao AH ABC

Ta có 2019 4037

2018 2018

ABC  ABM  ACM  ACM ACM  ACM

S S S S S S , suy A

Tương tự D

Từ giả thiết ta có

1

2019 2019

2

1 2018 2018



      ABM

ACM

AH BM

S BM

BM CM

S AH CM CM , suy B

(C sai 4037 2019 

 

BC BM)

(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com)

Câu 216: Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho SABC 3SAMC Một đường thẳng cắt cạnh AB AM AC, , B M C, ,  phân biệt Biết AB AC k AM

AB AC AM Tìm số k

A k1 B k 2 C k3 D 2

3

(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Lời giải

Chọn C

(55)

Ta có 3 ABC AMC

S  S BC MCBM BC

Đặt AB'x AB  ; AC y AC'=   ; AM'z AM Ta có B M  ' ' AM'AB'z AMx AB

   

2

3 3

z

z AB BM x AB z x AB BC

z z z

z x AB AC AB x AB AC

     

 

       

 

    

    

Lại có: B C  ' 'AC'AB'y ACx AB

Mặt khác B M' '



, B C' ' 

phương nên

2

3

z z

x

x y z x y



   



Hay

' ' '

AB AC AM

AB  AC  AM Từ suy k 3

nguyenchitrung12@gmail.com

Câu 217: Cho n điểm phân biệt mặt phẳng Bạn An kí hiệu chúng A A1, 2, ,An Bạn Bình kí hiệu chúng B B1, 2, ,Bn (A1Bn) Vectơ tổng  A B1 1A B2 2 A Bn n

A 0 B A A1 n C B B1 n D A B1 n

(Sưu tầm, Tên FB: Trung Nguyễn Chí) Lời giải

Chọn A

Lấy điểm O Khi

   

1 2 n n n n

A B A B  A B  A OA O A O  OB OB  OB          Vì B B1, 2, ,Bn  A A1, 2, ,An nên

1 n n

OB OB  OB  OA OA  OA

Do  A B1 1A B2 2 A Bn n  A O1 OA1   A O2 OA2  A On OAn0

Câu 218: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ

SM cắt AC K cho AK a CK  Tính:

(56)

A 2a B a2 C 12

a D a

Lời giải AK

a CK  

Ta có:

1

a

MK MA MC

a a

 

 

  

(1)

Do MK MS , phương nên: ( )

l

MKlMS MB MD

   

Mặt khác

2

(2)

2

b

MB MA

MA

MA MB MC MD b

b

MD MC

MC

bl bl

MK MA MC

MA MC



  



    

   



   

      

Từ (1) (2) suy

2

1

bl

MA

a MA a

a bl MC

a MC



  

   



     

Câu 219: Cho tam giác ABC. Gọi D, E điểm thỏa mãn: ,

3

BD BC AE AC

   

(57)

Ba điểm K, B, E thẳng hàng tồn  cho: (1 )

AK AB  AE   

(1)

Đặt (1 )

3

AKx ADx AB AC

   

1 2

( )

3 3

x x

AK x AB AC AB AC

      (2) Áp dụng hệ từ (1) (2) ta có:

1

3

1

(1 )

4

x

x x 

 

 

 

 



 

    

 

 

Vậy

3 AK  AD

  1

3 AK AD

 

 

Facebook: Lê Văn Kỳ Email: lethithuy@thpthv.vn

Câu 220: Cho tam giác ABC vng C, có ACb BC, a, D chân đường cao kẻ từ C

Khẳng định sau đúng? A

2

2 2

a b

CD CA CB

a b a b

 

 

  

B

2

2 2

a b

CD CA CB

a b a b

 

 

   C

2

2 2

a b

CD AC BC

a b a b

 

 

  

D

2

2 2

a b

CD AC BC

a b a b

 

 

   Lời giải

Chọn A

K

B C

A

E

(58)

Ta có

2 2

2

2 2 2

CB BD CB a a

BC BD BA BD BD BA

BA BA BA a b a b

       

 

 

Lại có:  

2 2

a

BA CA CB BD CA CB a b

    



     

Vậy  

2 2

2 2 2

a a b

CD CB BD CB CA CB CA CB

a b a b a b

      

  

       

Email: huyenbla81@gmail.com

Câu 221:Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm xác định 5IA7IBIC0

   

Gọi E giao điểm AI BG Tính tỷ số EA

EI

A 2 B 1

2 C 3 D

1

(Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền Tên FB: Thu Huyen Nguyen) Lời giải

Chọn B

G A

B C

(59)

Mà: 5IA7IBIC0    

Vậy ta có: 6IA6IB3IG   

2BA IG    / / IG AB IG AB    

 (hình vẽ) EA AB EI IG    Email: nghiepbt3@gmail.com

Câu 222: Cho tia Ox, Oy vng góc Trên tia Ox lấy điểm A,B cho OA = OB = C điểm

thuộc đoạn OA, N điểm thuộc đoạn OB dựng hình vng OCMN Trên đoạn CM lấy điểm Q dựng hình vng ACQP Gọi S giao điểm AM PN Giả sử OC  kOA,

AM x

AS  , NS  yNP, 

      ;1

2 k Khi x + y =

10 13

k = b a

, với a,b a, b nguyên tố a.b

A 7 B 4 C 5 D 12

Lời giải FB: Ngơ Quang Nghiệp

Ta có: OS OAAS OAxAM OAxOM OA1xOAxOM  xOAxOCON xOAxkOAxkOB

 1

 xkxOAxkOB

 , (1)

Mặt khác: OS ONNS kOByNPkOByOPONkOByOA yAPykOB  yOB yOA y kOB

k    

 1 , (vì AP = CA = - k nên AP1kOB) k y kyOB

OA

y   2

 , (2)

(60)

Ta có:

     

        

   

4 10

13 2 2

1 10

13

2 2

k k k

k k y

x

Đối chiếu điều kiện, ta chọn 

k ĐÁP ÁN D

Họ Tên: Lê Duy Tên FB: Duy Lê Email: Duyleag@gmail.com

Câu 223: Cho tam giác ABC Giả sử điểm M nằm cạnh BC thỏa tam giác MAB MAC, có diện tích S S1, 2 Khẳng định sau đúng?

A S1S2AM S AB2S AC1 B S1S2AM S AB1S AC2 C S2S1AMS AB2S AC1 D S2S1AM S AB1S AC2

Lời giải

Chọn A

Gọi hd A BC , 

Ta có

 

1

,

2

,

2

d A BC BM

S BM

S  d A BC CM CM

   

1

2

2 S

BM MC S BA AM S MA AC

S

       S2 S1AM S AB2 S AC1

    

Họ tên tác giả: Nguyễn Đức Duẩn Tên FB: Duan Nguyen Duc Email: Duanquy@gmail.com

Câu 224: Cho tam giác ABC có có M trung điểm BC, AI  1MI Điểm K thuộc cạnh AC

S2

S1

A

B C

(61)

Ta có 1( )

AM  ABAC

  

Gọi điểm K thuộc cạnh AC cho AK  x AC.

Ta có BK ABx AC. 1. 1 1 5 1

3 6 6 6 6

BI  AB AM  AB AB AC   AB AC

       

Để B,I,K thẳng hàng 1 1

5 1 5

6 6 x

x 

   

1 1

4 4

m KA CK

n      

   

Vậy S 25.1 6.4 2019  2068

Họ tên: Nguyễn Quang Huy Fb: Nguyễn Quang Huy Email: boigiabao98@gmail.com

Câu 225: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy điểm I, J cho IA2IB 3JA2JC0 thỏa mãn đẳng thức IJkIG Giá trị biểu thức P(25k236)(k2 k 1)500 là:

A P1235 B P0 C P

6

 D P

5



Lời giải

Thật ta gọi M trung điểm BC ta có:

2 1

IG AG AI AM 2AB (AB AC) 2AB AC AB

5 3

        

         

Mặt khác ta lại có IJ AJ AI 2AC 2AB 1( AC 5AB) 6IG

5 3

      

       

Do k



Nhận thấy 36

25k 36 25 36 36 36

25

      P0.vậy chọn B (Email): nguyenmy181@gmail.com

Câu 226: Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho SABC  3SAMC Một đường thẳng

cắt cạnh AB AM AC, , B M C', ', ' phân biệt Biết

' ' '

AB AC AM

m n

AB  AC  AM Tính mn

A 2 B 5 C 3 D 4

Lời giải A

B C

I K

(62)

Ta có SABC  3SAMC BC  3MC BM  2BC

3  

Đặt AB' xAB ; AC'=yAC ; AM' zAM Ta có B M' ' AM'AB' zAM xAB

    

   

z z AB BM xAB z x AB BC

z z z

z x AB AC AB x AB AC

     

 



       



2

3 3

    

B C' ' AC'AB' yACxAB

Mặt khác B M' ', B C' ' phương nên

z z

x

x y z x y



   



2

3

Hay AB AC AM

AB'2AC'  3AM'

(Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Trà My, Tên FB: Nguyễn My) Họ tên tác giả: Nguyễn Đặng

Tên facebook: NT AG

Câu 227:Cho tam giác ABC có D trung điểm BC, O điểm đoạn AD cho

4

AO OD Gọi  E COAB, F BOAC,  M  ADEF Khẳng định sau

đây đúng?

A

7

MO AD

 

B

15

MO AD

 

C

8

MO AD

 

D

7

EM  BC

 

(63)

Theo ta có 2  2 2

5 5 5

AO AD ABAC  x AE AC AB y AF        

Do , ,O B F thẳng hàng nên 2 55y  y Do , ,C O E thẳng hàng nên 2 5x5  x

Từ đó:

2

AB AC AD

AE  AF   AM , lại có

4

5 15

AO ADMO AD

Câu 228:Cho hình thang ABCD có AB CD// Gọi M N, trung điểm AC BD, Kẻ

( )

NH AD HAD và MEBC E( BC) Gọi  I MENH , kẻ IK DC K( DC)

A MK IN.NK IM.MN IK. 0 B IN tanNIM.tanMIK tanK0 C IN.cotNIM.cotM IK.cotK 0 D IM   INIK0

Ta chứng minh IDIC

Kẻ AF BC BJ,  AD Tứ giác ABFJnội tiếp

   

180 180 O O ABF AJF

DCB AJF

  

Khi DCFJ tứ giác nội tiếp ,

NH ME đường trung bình tam giác DBJ CAF, ,

IH IE đường trung trực DJ CF, nên IJ IF IDIC Vậy IDICKDKC //

//

NH BC NK ME NK MI

MK AD MK HN MK NI

 

  

  

 

  

Từ suy I trực tâm tam giác MNK Nên đáp án B Họ tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet Email: tiethanh.78@gmail.com

J F

K I

E H

M N

A B

(64)

Câu 229: Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Đặt ,

a  AB b AD Hãy tìm đẳng thức đẳng thức sau?

A

6

AG a b   

B

6 AG  ab   

C

6 AGa b   

D

3

AG a b   

Lời giải

Chọn A

* I trung điểm CD nên: 1

2 2

AI AC AD ABAD

     * G trọng tâm tam giác BCI nên: 1

3 3

AG AB AC AI    

, thay   AC ABAD

2

AI ABAD   

ta 1  1

3 3

AG AB ABAD   ABAD AB AD

 

        (Email): locleduc10@gmail.com

Câu 230: Một đường thẳng cắt cạnh DA DC, đường chéo DB hình bình hành ABCD điểm , E F M Biết DE m DA., DFn DC. ( , m n0) Khẳng định là: A

m n

DM DB

m n  

 

B DM m DB

m n

   

C DM n DB

m n

   

D DM m n DB

m n

   

Lời giải

(65)

( ) FM DMDF xDA xn DC      Ta có:

( ) ( )

EM y FM  xm DAxDCxy DAy xn DC      

Do DA DC ; không phương nên

( )

x m xy x y x n

   

 

 Giải hệ y m

n

  x mn

m n

  Vậy DM m n DB

m n

   

(Họ tên tác giả: Lê Đức Lộc, Tên FB: Lê Đức Lộc) Email: phuogthu081980@gmail.com

Câu 231:Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao AHa AB; / /CD AB, a 3;ADa 2;ABDC

AC cắt BH I Biết AI x y z AC x y z m; ; ; ; N m



 

 

Tính tổng T   x y z m

A 20 B 18 C 17 D 21

Lời giải

Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui

   

)

3

)

3 )

AI AB BI AB k HB AB k AB AH k AB k AH

HC

AC AH HC AH AB AH AB

AB

I AC AI mAC

          



      

   

         

      

 

(66)

3

1 6

3

11 11

6 11 21

k m

m AI AC

k m T                         tambc3vl@gmail.com

Câu 232: Cho hình thang ABCD với O giao điểm hai đường chéo AC BD. Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự M N Với ABa, CDb, MN bằng:

A a AB b DC a b

   

B b AB a DC a b

   

C a AB b DC a b

   

D b AB a DC a b     Lời giải

Họ tên: Nguyễn Thanh Tâm Tên FB: Tâm Nguyễn

Chọn B

Do MN/ /AB/ / DC nên:

D OD

MA NB OA OB AB a

M  NC OC   DC b Do MA a.MD

b     ; a NB NC b     , nên: a OA OD b OM a b       ; a OB OC b ON a b      

Có:  

. .

1

a a

OB OA OC OD AB DC b AB a DC

b b

MN ON OM

a a a b

b b                        

Câu 233: Cho tam giác ABC tâm O; điểm M thuộc miền tam giác OBC; D, E, F

là hình chiếu vng góc M BC, CA, AB Khẳng định sau đúng?

A

2 MDMEMF MO    

(67)

Từ M kẻ đường thẳng Mx AC cắt AB, BC H, K; Từ M kẻ đường thẳng My AB cắt BC, CA P, Q; Từ M kẻ đường thẳng Mz BC cắt AB, AC R, S;

Suy HMR, PMK, QMS tam giác nên MD, ME, MF đường cao đồng thời đường trung tuyến Khi

 

1

MD MPMK

   ;

 

1

ME MSMQ

   ;

 

1

MF  MH MR

  

Ta 1 

2

MDMEMF  MQMHMPMRMSMK         

Hay 1  1 

2

MDMEMF  MA MB MC  MO OA MO OB   MO OC            

Mặt khác ta có tam giác ABC nên tâm O trọng tâm tam giác ABC nên

OA OB    OC ;

Vậy

2 MDMEMF  MO    

(68)

Câu 234: Cho hình bình hành ABCD có điểm M I N, , thuộc cạnh AB BC CD, , cho

1

, ,

3

  

AM AB BI kBC CN CD Gọi Glà trọng tâm tam giác BMN Xác định k để AI qua G

A 1

3 B

9

13 C

6

11 D

12 13 Lời giải

Chọn C

Gọi E trung điểm MB Khi đó:

 

AM ME EB

Ta có:   

EG EN

 

1

   

   

EA AG EA AN

 

2 2 1

3 3 3 18

 

            

 

           

AG AE AN AG AB AC CN AB AC AB AB AC

Do BI kBC điểm Inằm đoạnBC nên BI k BC

  1 

BA AIk BA AC AI  k ABk AC Do AI qua Gnên , ,A I G thẳng hàng 181 

5 5 11

18



 k  k  k  k k

Câu 235: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho

AM  1AB AN,  3AC

3 Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng BC lấy E

(69)

Ta có: AO  1AB 1AC

9

  

AE (1x AB)xAC

A, E, O thẳng hàng  AE  kAO

 

k k

x AB xAC AB AC k x

(1 )      36; 

9 13 13

   

Vậy x 

13 giá trị cần tìm

Họ tên tác giả: Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng Email: thanhdungtoan6@gmail.com

Ý tưởng: Cho tam giácABC, I trung điểm BC Gọi , , P Q R điểm xác định bởi:

, ,

AP p AB AQq AI ARr AC      

với pqr0 Chứng minh rằng: , , P Q Rthẳng hàng 1

q  pr Chứng minh

Ta có

 

1

2 2

q p q

PQ AQ AP q AI p AB q AB AC p AB AB AC

PR AR AP r AC p AB

 

        

 

    



              

Do đó, P Q R, , thẳng hàng tồn số thực m cho PQmPR

 

2 2

0

2 2

q p q q p mp q mr

AB AC m r AC p AB AB AC

   

        

2

0

2

q p mp

q mr

  

 

  



 

 

(vì  AB AC, khơng phương)

1

2 1

2

2 q m

q q

p

p r q p r

q m

r 

   

      

(70)

Câu 236: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểmBC; P điểm đối xứng với A qua B; R điểm cạnh ACsao cho

5

AR AC Khi đường thẳng AR qua điểm điểm sau đây?

A Trọng tâm tam giác ABC B Trọng tâm tam giác ABI C Trung điểm AI D Trung điểm BI

Lời giải

Đáp án: B

Theo đề bài,

 

2

5

AP AB p

AR AC r

  



  

 

  

 



   

Gọi G trọng tâm tam giácABI, ta 2

3

AG AH q  

 

 

Ta có 1 1

2

pr   q suy P, G, R thẳng hàng

(có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ trung điểm BH, M chia AI theo tỷ số tính được)

J M

R

G

H I

B

A

C

(71)

Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD E trung điểm AD Khi đó, ta có:

4    

FH FC

Vận dụng định lý Menelauyttrong HBC có , ,A F I thẳng hàng  

1

2

    

  

AH IB FC IB

AB IC FH IC

IB IC

Vậy  2  

IC IB

Họ tên tác giả: Hoàng Thị Trà FB: Hoàng Trà

Câu 238: Cho tam giác ABC. I trung điểm BC. Gọi M, N, P điểm xác định

; ;

AM m AB ANn AI AP p AC      

, với mnp0 Tìm điều kiện , ,m n p để M, N, P thẳng hàng

A mpmn np B 2mpmnnp C 2npmnmp D 2mnmpnp Lời giải

Ta có MP AP AM p AC m AB

MN AN AM n AI m AB

   

    

     Mà 1( )

2

AI ABAC   

( ) ( )

2 2

n n n

MN ABAC m AB m AB AC      

Do mnp0 nên M, N, Q thẳng hàng 2

n n

m

mp mn np

m p



   

(72)

Nhận xét: Với toán việc cụ thể hóa ba số m,n,p cho thỏa mãn điều kiện ta toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Kết vận dụng vào để giải nhanh toán sau:

Câu 239: Cho tam giác ABC. Gọi G trọng tâm tam giác, I trung điểm BC, M N

điểm xác định

1

3

CN BC

MA MB

   

  



 

   Gọi P giao điểm AC MN Tính tỉ số diện tích tam giác ANP tam giác CNP

A 3 B 7

2 C 4 D 2

Lời giải

Ta có ANP CNP

S PA

S  PC Yêu cầu toán dẫn đến tìm tỉ số PA PC Ta dễ dàng chứng minh M, N, G thẳng hàng

Ta có

1

2 2( )

2

2 3

2 4 ( 0)

2

CN BC CN GC GB GN GN GC GB

GN GC GB GA GB

GN GA GB MA MB vi MA MB

GN GM

       

     

       

 

             

         

Vậy G, M, N thẳng hàng Mặt khác MN cắt AC P, nên M, G, P thẳng hàng Áp dụng kết G, M, P thẳng hàng theo câu vào ta có

7 AM m ABm  

2 AGn AIn  

, AP p AC Khi 2 .4 2

7 3

mpmnnp p  p p , PA

PB  Vậy ANP CNP S

S 

Câu 240: Cho tam giácABC. Gọi D E, điểm thỏa mãn:

2 ; BD BC

  1

AC AE

 

Điểm K AD thỏa mãn

a b

AK AD

 

(với a

(73)

Vì 1 (1)

4 4

AE ACBE BC BA

    

Giả sử AK x AD.BKx BD.(1x BA)

Mà

3 BD BC

 

nên (1 )

3 x

AKx ADBK BD x BA

    

Vì B K E, , thẳng hàng (BE)nên có m cho BKmBE

Do có: (1 )

4

m m x

BC BA BC x BA

   

Hay

4

m x m

BC x BA

   

    

   

   

  

Do BC BA ; không phương nên

2

0;1

4

m x m

x

     Từ suy 1;

3

x m

Vậy

3 AK AD

 

Email: themhaitotoanyp1@gmail.com

Câu 241: Cho tam giác ABC, I điểm thỏa mãn: 2IA IB4IC0 K điểm thỏa mãn: KA2KB3KC0

P điểm thỏa mãn: PA mPB nPC0

Có cặp m n, , m n, Z m n, ,   10;10 cho I K P, , thẳng hàng

A 2 B 3 C 4 D 5

(74)

Có: 2IA IB4 IC0 2PAPI  PBPI 4PCPI0 PC

PB PA

PI

5   



 m PB  n PC

PI 2

5      

 Có:

     

2 3

KA KB KC  PAPK  PBPK  PCPK   PK PA PB PC

              

   

6PK m PB n PC

      

  

I,K,P thẳng hàng 5PI,6PK phương 2 1 3  22 42 5 11

 m n m n m n

Do m n, , m n, Z m n, ,   10;10 nên m n,  8; ,  3, , 2, , 5, 7     (Fb: Lưu Thêm)

Email : boyhanam@gmail.com

Bài em sưu tầm !

Câu 242: Cho tam giác ABC, M N hai điểm thỏa mãn: BM BC2AB

  

, CN x ACBC   

Xác định x để A, M, N thẳng hàng

A 3 B

3

 C 2 D

Chọn D Ta có

 

2

BM BC AB AM BC AB AM AC BC

CN x AC BC CA AN x AC BC AN x AC BC

        

         

        

         

Để , A M N, thẳng hàng  k cho AM k AN

Hay    

1

1 2

1

2 k

x k

x AC BC k AC BC

k

x  

    

 

      

  

  

(75)

Lời giải (Họ tên: Nguyễn Thu Hương Tên FB: Thu Hương)

Chọn B

Khơng giảm tính tổng quát: giả sử tam giác ABCcó: A(0;0);B 6;0 ;C 0;6   

   

G 2;2 ; I 1;1

Gọi K 0;m  Khi đó:IB 5; ;KB 6; m     

 

Để B, I, K thẳng hàng:5m m

5

  

suy k

5



Họ tên: Trần Văn Luật Email: Tvluatc3tt@gmail.com FB: Trần Luật

Câu 244: Cho tam giác ABC, Mlà điểm thuộc cạnh AC choMA 2.MC

 

, N thuộc BM cho

NB  NM

 

, P điểm thuộc BC Biết ba điểm ,A N P, thẳng hàng PBk PC

 

Khẳng định sau đúng?

A 3;

2 k   

 

B 5;

2 k   

 

C 1;

 

 

 

 

D 1;

2

 



 

 

Lời giải

Chọn B

N

O B

C

G K

(76)

Ta có

  1

3 3

4

NB  NM  ABAN  AMAN AB AM  ANAN AB AC

           

Do P điểm thuộc BC nên PBk PC ABAPk AC AP

1 

AB k AC k AP

   

1

k

AP AB AC

k k

  

 

  

Ba điểm ,A N P, thẳng hàng

1

2

1

4

3

1

h

k k

AP h AN

h h

k 

 

 



  

  

     

  

Vậy k 2

Họ tên: Hoàng Thị Kim Liên Email: lientiencl@gmail.com Facebook: Kim Liên

Câu 245: Cho tam giác ABC Gọi M, N,P nằm đường thẳng BC, CA, AB cho



MB mMC

 

, NCnNA,

 

 PA k PB  

Tính tích mnk để M, N,Pthẳng hàng?

A 1 B 1 C 2 D 2

Lời giải Chọn A

P N

M A

(77)

1

1 1

  

   

  

 

m m

MP AB AC

m k m

  

Để M, N,P thẳng hàng ta có :

Câu 246:

m m

1 m k m mnk 1

1 n

1 m m n 



     





  

(Email): thuhangnvx@gmail.com

Câu 247: Cho hình bình hành ABCD gọi M trung điểm cạnh CD, N điểm thuộc cạnh AD cho

1

AN  AD Gọi G trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC K Khi m

BK BC n 

 

(m

n tối giản) Tính S m n

A S16 B S 17 C S18 D S19

Lời giải

( Tên FB: Phùng Hằng )

Chọn B

Ta có

   

 

1

2

1

3

AG AE AF AN AM AG AB

AG AN AM AB AD AD AC AB AD AC AB

     

          

      

          

 

5

6AD AB AD AB 3AD AB

     

     

1

2

AG AB AD

  

Đặt BK x BC.  AK  ABBK  ABxBC ABx AD

        

Do A,G,K thẳng hàng

2 4

8

2 9

9 k

k k

AK k AG AB x AD AB AD x

  

      

  

(78)

Suy m n  Vậy S 17

Email: builoiyka@gmail.com

Câu 248: Cho hình thang ABCD có đáyAB, CD, CD2AB.M, N điểm thuộc cạnh AD BC cho AM 5MD, 3BN2NC Gọi P giao điểm AC MN; Q giao điểm BD MN; Khi PM QN a

PN QM b, với a

b phân số tối giản Khi a b

A 386 B 385 C 287 D 288

Lời giải

Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui

Chọn A

Gọi E giao điểm AD BC Ta có A, trung điểm củaEC,ED. Giả sử PM xPN

 

; QNyQM

Ta có

1

EM xEN

EP

x  

  

 116 107

x

EA EC

x  

  

   

11

6 10

x

EA EC

x x

 

 

 

Do ,P A C, thẳng hàng nên

   

11

1

6 10

x

x  x 

  55 21 x30 30 x

25 x

  

Vậy 25

9 PM

PN 

P Q

N M

A B

D C

(79)

Vậy 24 QN

QM 

Suy 341 341; 45 386

45

PM QN

a b a b

PN QM       

Cách 2:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMN với ba điểm thẳng hàng , ,A P C, ta có

PM CN AE

PN CE AM 

3 25

10

PM PM

PN PN

   

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EMN với ba điểm thẳng hàng , ,B Q D, ta có

QN DM BE

QM DE BN 

1 24

12

QN QN

QM QM

   

Vậy 341 341; 45 386

45

PM QN

a b a b

PN QM       

Email: datltt09@gmail.com

Câu 249: Cho tam giác ABC, cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho AM = 3MC, NC

= 2BN Gọi I giao điểm AN BN Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN

A SABC 110 B SABC 115 C SABC 125 D SABC 120

Lời giải

Họ tên tác giả: Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy

Chọn D

Giả sử AI k ANta có

1  (1)

3 BI BA k BN k BA

k

BI k BA BC

  

   

      

Tương tự 4AM 3AC BM BA3BC(2)

Vì B,I,M thẳng hàng nên từ(1) và(2) ta có

1 10

k k

k 

  

Suy SABN 10SBNI 40

3 120

ABC ABN

S  S 

(80)

Câu 250: Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC cho MA2.MC , N thuộc BM cho NM

NB3 , P thuộc BC cho PBk.PC Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng A k1

2. B k 2 C k 

2 D k 2 Lời giải

Họ tên: Nguyễn Khắc Sâm Facebook: Nguyễn Khắc Sâm Chọn B

Ta có:

 

 1 AC AB AN AN AM AB AN AM AN AB NM NB             

  1  ( 1)

        

kPC AB AP k AC AP AB kAC k AP k PB

 2 1 AC k k AB k AP     

Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi:

              1 h k k h k AN h

AP k2

VẤN ĐỀ QUỸ TÍCH Nguyễn Văn Dũng Fb: Nguyễn Văn Dũng

(81)

Ta có

             

               2JA 5JB 3JC 2JE 2EA 5JE 5EB 3JC 7JE 3JC 2EA 5EB

Để C E J, , thẳng hàng                 5 5

2

7

EA EB EA AB AE AB k

Chọn C

Leminh0310@gmail.com

Câu 252: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh Biết tập hợp điểm M thỏa mãn

2 2

2MA MB 2MC MD 9 đường trịn có bán kính R Khẳng định sau đúng?

A R0;1 B R1; 2 C 3;

2 R  

 

D 3;

2 R 

  (Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh)

Lời giải

Chọn C

Vì ABCD hình vng tâm O nên ta có: 0 OA OC OB OD

  

 

 

 

     

Theo giải thiết: 2 2

2MA MB 2MC MD 9

  2 2   2 2

2 MO OA MO OB MO OC MO OD

            

 

2 2 2

0

6MO 2OA OB 2OC OD 2MO 2OA 2OC OB OD

         



     

2

6MO MO

    

Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O bán kính R1 Email: thuyhung8587@gmail.com

Câu 253: Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn:

O

D

C B

(82)

4MA MB   MC  2MA MB   MC là:

A Đường thẳng qua A B Đường thẳng qua BvàC

C Đường tròn D Một điểm Lời giải 4MA MB   MC  2MA MB   MC

3 2

MA MB MC MA MA MI

         , (I : trung điểm BC)

 

3 MG MA 2MA MI

      , (G: trọng tâm ABC )

6

3

MJ IA MJ IA

      ,(J trung điểm AG)

2

JM AG

  (không đổi) Vậy tập hợp điểmMlà đường trịn tâmJ, bán kính AG R Chọn đáp án C

(Họ tên tác giả: Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung) ngoletao@gmail.com

Câu 254: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với BC2a Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi thỏa

2

. 4

MA MHMA  a  

điểm A ln thuộc đường trịn cố định có bán kính

A 2a B a C a D a

(Họ tên tác giả: Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo) Lời giải

Chọn B

A

(83)

  

4

MA MH  BA CA BH CH      

 

1

4 BA BH CA CH

     (do BACH CA, BH

 

1

4 BA BH CA CH

     (định lý chiếu vectơ)

2 4BC  Suy

2 1 2

. 4 .4 4 3

4

MA MHMA  a  a MA  a  AM a  

Câu 255: Cho hai điểm A B cố định Tìm giá trị k0 để tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện

2

MA MB k đường tròn

A 2

3 

k AB B 2

3

k AB C 2

3 

k AB D 2

3 k AB Lời giải

Chọn D

Gọi E điểm thỏa mãn: EA2 EB0 ta có

2

EA EB

  

ta có:

  2 2

2

MA MB k  MEEA   MEEB k 3ME2  k EA22EB2  *

Mà 2

3

EA EB EA AB;

EB AB nên  * 2

ME k AB

  

2 2

3

ME k AB 

    

 

Nếu 2

3

k AB : Quỹ tích điểm M rỗng

Nếu 2

3

k AB : Quỹ tích điểm M điểm E

Nếu 2

3

k AB : Quỹ tích điểm M đường trịn tâm E bán kính 2

3

R k AB    PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm

Email: Phamthanhliem1@gmail.com

Câu 256: Cho tam giác vng ABC A Tìm tập hợp Msao cho MB2MC2MA2

(84)

Chọn D

2 2 2 0

MB MC MA MB MC MA  Gọi E điểm xác định

EBECEA

  

( E điểm thứ tư hình bình hành ABEC ) Ta có: MB2MC2MA2 ME EB 2 ME EC 2 ME EA2

2 2

ME EB EC EA

   

 2

2 2

ME EB EC EB EC

      ME22 EB EC ME22 AB AC ME2 Vậy ME20 Nên tập hợp điểm Mlà điểm E

( Cách chứng minh phục vụ cho tam giác ABC tam giác thường tập hợp điểm khác )

Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn

Câu 257: Cho tam giác ABC vuông cân A có AB5cm Gọi ( )S tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: MA MB MA MC     25 Gọi I trung điểm BC Kết luận sau đúng?

A ( )S đường thẳng trung trực đoạn thẳng AI B ( )S đoạn thẳng AI

C ( )S đường tròn cố định bán kính 10

R

D ( )S đường trịn tâm I bán kính R

(Họ tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3) Lời giải

Chọn C

C

I

(85)

 D trung điểm đoạn thẳng AI

Ta có 2 2 2

2MA MB MC 4MD 2DA DB DC

Và 1

2 4

DA AI  BC ,

2

2 5 125

2

DBDC IB ID      

   

Suy

2

2 2 2 2 125 75

2 4 2

4

MA MB MC  MD  DA DB DC  MD        MD 

   

Ta có kết quả: 75 125

4 100

2

MD   MD 

Như ( )S đường tròn tâm D bán kính 10

R

Câu 258: Cho tam giác ABC cạnh a Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức

2

2 2

4

2 a

MA MB MC  nằm đường trịn  C có bán kính là: A

3 a

B

4 a

C

2 a

D

6 a

Lời giải

Chọn D

Gọi M trung điểm BC

Gọi I điểm thỏa mãn điều kiện: 4   IA IB IC0 Khi đó, ta có: 4   IA IB IC0

4IA 2IM

    3IA  AM 0

AI AM

 

Suy ra:

6 a

IA ; 2 21

6 a

IBIC IM BM 

Ta lại có:

2

2 2

4

2 a

MA MB MC 

2

2 2

4

2 a

MA MB MC

    

  2  2 2

4

2 a

MI IA MI IB MI IC

(86)

 

2 2

6 4

2 a

MI MI IA IB IC IA IB IC

          

6 a MI

 

Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính

6 a

R

Câu 259: Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: MA3MB2MC  2MA MB   MC A Tập hợp điểm M đường tròn

B Tập hợp điểm M đường thẳng C Tập hợp điểm M tập rỗng

D Tập hợp điểm M điểm trùng với A Lời giải

Chọn A

Gọi I điểm thỏa mãn IA3IB2IC0

3 2

MA MB MC  MA MB MC      

2MI IA 3IB 2IC BA CA           1 Gọi N trung điểm BC Ta được:  1 2MI 2AN IM AN

I, A, N cố định nên tập hợp điểm M đường trịn tâm I, bán kính AN

Câu 260: Cho tam giác ABC cạnh a Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức

2

2 2

4

2 a

MA MB MC  nằm đường tròn  C có bán kính là: A

3 a

B

4 a

C

2 a

D

6 a

Lời giải

A

(87)

4IA 2IM

    3IA  AM 0

AI AM

 

Suy ra:

6 a

IA ; 2 21

6 a

IBIC IM BM 

Ta lại có:

2

2 2

4

2 a

MA MB MC 

2

2 2

4

2 a

MA MB MC

    

  2  2 2

4

2 a

MI IA MI IB MI IC

         

 

2 2

6 4

2 a

MI MI IA IB IC IA IB IC

          

6 a MI

 

Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính

6 a

R

Họ tên tác giả: Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga Email: linhnga.tvb@gmail.com

Câu 261: Cho ABC đều, có cạnh a Khi tập hợp điểm M cho

2

6 a MA MBMB MCMC MA      

là: A Đường tròn có bán kính

3 a R B Đường trịn có bán kính

2 a R C Đường trịn có bán kính

3 a

R

D Đường trịn có bán kính a

R

Lời giải

Chọn C

(88)

   

 

2

2 2

9

2

MA MB MC MG

MA MB MC MA MB MB MC MC MA MG

   

      

   

     

Mà MA2MB2MC2MA2MB2MC2

     

 

2 2

2

3

3 .0

3

2

3

MG GA MG GB MG GC

MG GA GB GC MG GA GB GC

MG GA GB GC MG

MG GA

a MG

MG a

     

      

    

 

 

   

 

 

 

     

    

Ta có 3MG2a22     MA MB MB MC MC MA 9MG2

  2

2

6

2

a

MA MB MB MC MC MA MG

a a

MG a MG

    

  

 

     

Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm G bán kính a

R

Họ tên tác giả: Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An Email: antq4949@gmail.com

Câu 262: Cho ABC tìm tập hợp điểm M : MB MC. AM2

  Lời giải

Gọi I trung điểm BC, ta có:  MB MC. AM2 MI IB .  MI ICMA2

 

2 2

. .

4 BC

MI IC IB MI IC IB MA MI MA IC IB

(89)

Trên tia đối tia OI lấy điểm H cho

2 .

16 BC OI OH  hay

2 .

16 BC OI OH    

, suy điểm H xác định

Dựng đường thẳng  qua H vng góc với OI , với điểm M nằm  ta có:

 

. . . . .

16 BC OI OM    OI OH HM OI OH     OI HM OI OH   Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 

Email: Bichhai1975@gmail.com

Câu 263: Cho tam giác ABC cạnh Biết tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA3MB4MC  MB MA đường trịn cố định có bán kính bằng:

A 1 B 1

3 C

3

2 D

1

(Họ tên: Lê Thị Bích Hải, Tên face: Bich Hai Le) Lời giải

Họ tên: Lê Thị Bích Hải Tên face: Bich Hai Le

Chọn B

Gọi G trọng tâm tam giác ABC

Ta có 2MA3MB4MC2 MIIA 3  MIIB 4 MI IC Chọn điểm I cho 2IA3IB4 IC03IA IB   IC  ICIA0 Mà G trọng tâm tam giác ABC IA  IBIC3IG

Khi 9   IGICIA09IG   AIIC09 IGCA  

Do 2MA3MB4MC  MB MA  9MI2IA3IB4IC  AB 9MI AB

Vì I điểm cố định thỏa mãn   nên tập hợp điểm M cần tìm đường trịn tâm ,I bán

kính

9

AB

r 

thongqna@gmail.com

Câu 264: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn

MA MB MCBC 2  MA MC 3MG 2  CBAC2         

(90)

A Đường tròn đường kính AB B Đường trung trực đoạn thẳngAB C Đường trịn đường kính AC D Đường trung trực đoạn thẳngAC

(Họ tên tác giả: Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Lời giải

Chọn A

Ta có MA MB MCBC    

MA CB BC   

   MA  Gọi điểm I trung điểm cạnh AC

Ta có MA MC3MG 2MI3MG 2MB BI 3 MB BG 2

2 3. 3 MB BI BI

     MB

Do      

2 2

3

MA MB MCBC  MA MC  MG  CBAC         

 2

2 2

MA MB AB

    MA2 MB2 AB2

Từ suy tam giác MAB vng M hay tập hợp điểm Mlà đường tròn đường kính AB

Câu 265: Cho đoạn thẳng AB Biết tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 MB2 3MA MB . đường trịn có bán kính R Tìm giá trị R

A

2

R B

2

R C

2

R D

2 R

(Họ tên tác giả: Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Lời giải

Chọn A

Ta có MA2 MB2 3MA MB .  MA2MB22MA MB   . MA MB. MA MB2 MA MB.

      AB2 MA MB . Gọi điểm I trung điểm cạnh AB

Ta có AB2 MA MB .  AB2 MI IA . MIIB    

   

2

.

AB MI IA MI IA

   

   

2 2

AB MI IB

   MI2  AB2 IB2 5

MI AB

(91)

Họ tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ Email: huyenvanqt050185@gmail.com

Câu 266: Cho tam giác ABC, có điểm M thỏa   MA MB MC 5?

A 1 B 2

C vô số D Khơng có điểm Lời giải

Chọn C

Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có   MAMBMC3MG

Thay vào ta được: 5

3

      

   

MA MB MC MG MG , hay tập hợp điểm Mlà đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

3 VẤN ĐỀ TỈ LỆ

Họ Tên: Trần Quốc Đại Email: quocdai1987@gmail.com

Facebook: https://www.facebook.com/tqd1671987

Câu 267: Cho ABC cóAB3;AC4 Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến BM I

Tính AD AI

A

2 AD

AI  B

10 AD

AI  C

29 20 AD

AI  D

7 AD

AI  Lời giải

ChọnB

* Phân tích  AD AI, theo vectơ  AB AC,

Ta có:

2

IB AB

IM  AM  2IB3IM 0   

  2AB 3AM 5AI    

4

DB AB

(92)

  4AB 3AC 7AD    

Lấy  2 2 1  suy ra: 3AC6AM 7AD10AI    

7AD 10AI

  

  

7AD 10AI

 

10 AD

AI

 

Câu 268: [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần ] Cho ABC gọi điểm D nằm cạnh BC cho BD2BC, E trung điểm AD Một đường thẳng qua E cắt cạnh AB AC; M N, Tình tỉ số AB AC

AM  AN

A AB AC

AM  AN  B

AB AC

AM  AN 

C 28

5

AB AC

AM  AN  D

29

5

AB AC

AM  AN 

Lời giải

Chọn A

Do M nằm cạnh AB nên ta có ABk AM k. ( 1) Do N nằm cạnh AC nên ta có ACl AN l 1

Ta có DB 2DC ABAD 2 ACADAB2AC3AD Suy k AM.2 l AN6.AEk AE ME2l AE EN6AE Suy k2l6AE k EM2l EN

Do hai vecto AE MN không phương nên suy

(93)

Câu 269: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD2DB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE3EA Gọi M trung điểm DE Tia AM cắt BC N Tỉ số BN

CN có giá trị là:

A 1

4 B

3

8 C

1

2 D

2 Lời giải

Chọn B

Giả sử N chia BC theo tỉ số x Ta có:

1 1



  

  

 

 AB x AC  x 

AN AB AC

x x x (1)

Lại có: 1  1

2

 

      

 

      

AM AD AE AB AC AB AC (2)

Vì AM AN vectơ phương nên 1  1  8

x x

Do 3

8

   

  NB

NB NC

NC

Câu 270: (Bài toán tổng quát toán 1) Cho tam giác ABC Gọi I điểm chia BC theo tỉ số k Trên tia AB AC lấy điểm M N, AI cắt MN P Đặt AB b

AM , 

AC c AN Tỷ số AI

AP có giá trị A

1 

 b kc

k B

  b kc

k C

  c kb

k D

  c kb

k Lời giải

(94)

Giả sử P chia MN theo tỉ số x Ta có

1  

    AM x AN AP

x

1

 

 

 

AB x AC

x b x c

Lại có:

1 1



  

  

  

 AB k AC AB k 

AI AC

k k k (1)

Vì AP AI đồng phương nên

 

   

1

 



 

x k k

b x kc x

1   x

b kc  

c

x k

b

Do  

 

  k 

AP AB AC

b kc b kc (2) Từ (1) (2) , ta có

1  



AI b kc

AP k

Câu 271: (Hệ hay dùng toán 2) Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Trên

tia AB AC lấy điểm M N, AI cắt MN P Đặt AB b

AM , 

AC c

AN Tỷ số AI AP có giá trị

A bc B

2  b c

C

2

2 

b c

D

 bc b c Lời giải

Chọn B

I trung điểm BC nên I chia BC theo tỷ số k 1 Áp dụng kết 2, ta có:  

 

1

  

 

 

b c

AI b c

AP

(95)

A AD

AK  B

AD

AK  C

2 AD

AK  D

3 AD AK 

Vì

4 AE AC

 

nên

4

BE BC BA

  

Giả sử

(1 )

2

(1 )

3

AK x AD BK xBD x BA

x

BK BC x BA

BD BC

     



   

   

    

  

 

Do , ,B K E thẳng hàng ta có:

8

0

9

4

1

3

m x

m

mBK BE

m

x x

 



  



 

  

     

 

 

 

Vậy AD AK 

Email: haivanxinh99@gmail.com Face Hải Vân

Câu 273: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O thỏa mãn OC 3OA OD,  4OB     Qua trung điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Tính tỉ số CN

ND A 3

4 B

1

4 C

2

3 D

1 Lời giải

(96)

Ta có OC  3OA OD,  4OB    

Đặt CN k k,

ND   , ta có CNk NDCO ON k NO OD        

1

k

ON CO OD

k k



  

 

   3 4

1

k

ON OA OB

k k

   

 

  

Vì OM ON , phương nên có số thực k cho  

k

ON kOM ON  OA OB     

Suy

   

3

6

4

1

1 k k

k

k k k k

k 

 

     



 

  

(Email): hatoanlgm@gmail.com

Câu 274: Cho tam giác ABC điểm I thỏa mãn 23IA8IB2018IC0

   

Đường thẳng AI cắt đường thẳng BC J Giá trị tỉ số JB

JC là: A 23

8 B

2018

23 C

2018

8 D

Chọn C

(Họ tên tác giả: Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà) Giả sử JBk JC k 1

1

k

AJ AB AC

k k

  

 

  

N M

o A

B

C

(97)

1

2018

1

8 2018

2049 2049 k

k  k k

 

    

Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com

Câu 275: Cho tam giác ABC Điểm Kchia trung tuyến AD theo tỷ số :1 kể từ đỉnh

Đường thẳng BK chia diện tích tam giácABC theo tỷ số ABF BCF S k

S

 , giá trị k bằng?

A

8

k B

8

k C

5

k D

2 k Lời giải

Đáp án D

Do D trung điểm BC thiết: 1( )  1

AD ABAC

  

Gọi F giao điểm BK AC.

Mà ; ;A F Cthẳng hàng: AFmAC  2 B K F; ; thẳng hàng: 1   3

AKnAF n AB

  

; ;

A K D thẳng hàng KD

KA   

3

4

AK AD

  Từ    2 ; suy ra: AKn m AC .1n AB  5 Từ    1 ; suy ra: 3  6

8

AK AC AB

  

Do hai véctơ  AB AC; không phương nên từ    5 ; ta có:

3

8

3

1

8

m n n

n m

 

 

 



 

    

 

 

Do đó: 3

5

F A

AF AC

FC

  

 

Vậy

2 ABF

BCF

S FA

k

S FC

  

K

F

D B

A

(98)

Họ tên: Tăng Lâm Tường Vinh Email: tanglamtuongvinh@gmail.com Facebook: tanglamtuong.vinh

Câu 276: Cho tam giác ABC với K trung điểm BC Lấy điểm M N, thỏa mãn AM  3AB

4  

, AN1AC

3  

Gọi I giao điểm MNvà AK Đặt MIxMN AI , y AK Hỏi x y

A 3

2 B

4

3 C 1 D

Chọn A

Ta có MN ANAM 1AC3AB

3

    

x x x x

MIxMN AIAM x AC AB AI AC ABAM  AC  AB

 

1 3 3

3 4

           

y y

AC AB

AI y AK y   AB AC

  2

 

   

Mà AC AB , vector khơng phương nên ta có

y

x x

x y y

x y

  

 

 

  

 

  



 



9 3

13

4 3

2

(99)

Lời giải Đáp án A

Theo giả thiết: 3  1

2

AD

AD AB

DB  

 

 

1

2

3 4

BE

AE AB AC

EC   

  

 

4

3

1 5

BF

AF AB AC

FC    

  

Mà A K E; ; thẳng hàng: AKmAE  4 D K F; ; thẳng hàng: 1   5

AKnAF n AD

  

Từ    2 ; suy ra:  6

4

AK m AB mAC

  

Từ      1 ; ; suy ra: 1 3

5 5

AK n AB AC n AB

 

   

 

3

7

5 5

n n

AK  AB AC

    

 

  

Do hai véctơ  AB AC; không phương nên từ    6 ; ta có:

3

4 5

4

m n



  

 

 

 

1

5 15 14

n n

n

    

Vậy 11

14 14 11

KD

AK AB AC k

KF

    

  

Họ tên: Hoàng Ngọc Lâm

Email: hoangngoclammath1112@gmail.com Facebook: Hoàng Ngọc Lâm

Câu 278: Cho tam giác ABC Kéo dài AB đoạn BEAB, gọi F trung điểm AC Vẽ hình

bình hành EAFG Đường thẳng AG cắt BC K Tính tỉ số KB KC?

A 1

4 B

3

8 C

1

5 D

2 Lời giải

(100)

Để xác định giao điểm K AG BC, ta tính AG theo AB AC

Ta có:

2 AGAEAF AB AC

    

AG cắt BC điểm K mà 2

KB KC

  

Suy

4 KB KC 

Câu 279: Cho tam giác ABC có AB3, AC4 Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến BM I Tính tỉ số AD

AI

A 13

8 B

11

6 C

10

7 D

10

(Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Lời giải

(101)

Vậy ta có

4

IB IM

DB DC

  

 

 

 

  

  

4

AB AM AI

AB AC AD

  

  

 

 

  

   10

4

AB AM AI

AB AC AD

  

  

 

 

     

Suy 3AC6AM 7AD10AI 7AD10 AI0 10 AD

AI

  Hoặc ta giải sau:

Ta có 3 3 

4 4

BD AB

BD DC BC BD

DC AC     

7

D

4B 4BC

  D

7

B BC

 

Ta lại có 3 

7

ADABBDAB BCAB ACAB

        4 3

7AB 7AC   

Theo tính chất phân giác, ta lại có

BI AB

IM  AM 

3

BI IM

  2BI3IM

   

2 BA AI IA AM

      3

AI AB AM AB AC

     

2 7

5 10 10 7 10

AI AB AC  AB AC AD

      

 

     

Vậy 10

7 AD

AI 

Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Nhờ thầy góp ý!

Câu 280: Cho hình bình hành ABCD, O điểm đoạn AC, đường thẳng BO cắt cạnh CD E đường thẳng AD F cho EF2BO Tỷ số AF

AD

A 1

2 

B 2 C 1 D 5

2 Lời giải

Chọn C

E

F

C D

A B

(102)

Đặt: AFx AD x1 AOy AC 0 y1

Theo định lý talet: DE DF DE DF x DE x 1AB

CE BC DC AF x x

 

     

Ta có: BO BAy ACy1ABy AD; EF DF DE x 1AD x 1AB x 

    

    

Theo đề bài:

 

1 2

2 1 2

2

x y x

EF BO x

y y

x



   



 

   

  

 

 

 

Họ Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh Email : manhluonghl4@gmail.com

Câu 281: Cho hai tam giác ABC A B C1 1; gọi A B C2, 2, trọng tâm tam giác

BCA CAB ABC1, 1, 1 Gọi G G G, 1, 2 trọng tâm tam giác ABC A B C, 1 1 1,

A B C2 2 2

Tính tỉ số GG GG

1

ta kết : A 1

3 B

1

2 C 3 D 2

Lời giải Chọn C

Vì G G, trọng tâm tam giác ABC A B C, 1 suy 3GG1 GA1GB1GC1    

1 1 1 1

3GG GA GB GC AA BB CC 3GG AA BB CC

  

Tương tự G G, trọng tâm tam giác ABC A B C, 2 suy 3GG2 GA2GB2GC2    

GG AA BB CC

3 2 2 2    

Mặt khác AA2BB2CC2 AA1BB1CC1  A A1 2B B1 2C C1 2 Mà A B C2, 2, 2 trọng tâm tam giác BCA CAB ABC1, 1, 1

(103)

AA BB CC 

 1 1

1

  

Vậy GG GG GG

GG

  

2

1

3

 

VẤN ĐỀ MIN,MAX Email: phunghang10ph5s@gmail.com

Câu 282: Cho ABC cạnh 3, M điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC Đặt

2 2

PMA MB MC Gọi ,a b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Khi đó, giá trị biểu thức T4ab là:

A 3 B 6 C 9 D 12

Lời giải Họ tên tác giả: Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng

Chọn B.

Gọi ,O R tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Ta có:

     

 

2 2

2

2 2

2

2 ' 2

2 cos ;

P MA MB MC

MO OA MO OB MO OC

MO MO OA OB OC OA OB OC

R MO OA OA R MO OA

R OM OA R R OM OA

  

     

       

      

     

         

    

   

2

min

P   R cosOM OA ;  1 M trùng A

2 max

P  R cosOM OA ;   1 M trùng A' điểm đối xứng A qua O

 

2 2

4 4.2

T a b R R R

      

ABC

 cạnh  R 3 T 2R26

(104)

Câu 283: Cho ABC số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: x2y2z2 k2, kR Giá trị lớn PxycosCyzcosAzxcosB là:

A k

B

2

2 k

C

3 k

D

2

3 k

Lời giải

Chọn B

Đặt vectơ BX, CY, AZ tương ứng x, y, z hình vẽ Ta có:   x y z20 2

2 2

x y z x y y z x z

      

     

2 2 cos 1800 2 cos 1800 2 cos 1800 0

k xy C yz A xz B

       

2 2 cos 2 cosA zxcosB 0 xycosC yzcosA zxcosB

2 k

k xy C yz

        

Vậy Max

2 k P

Câu 284: Cho hai điểm A B, ( ;6)I M( ;3)I , thỏa mãn : AIB60 Khi A B M, , thay đổi tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA 2MB ?

A 9 B 3 6 C 3 13 D 6

( Họ tên tác giả : Đặng Mơ- Tư Duy Mở ) Lời giải

Bổ đề : Cho hai véc tơ uvà vkhác véc tơ 0, ta ln có : | | || | | | |

| | | |

v u

u v u v

u v

  

     

  Chứng minh : Bình phương vơ hướng vế phải ta :

     

2 2

| | | | | | | | | | | |

| |

| | | | | | | | | | | |

v u v u v u

u v u v u v v u u v u v

u v u v u v

     

        

     

     

                

     

Từ suy : || | | | | | |

| | | |

v u

u v u v

u  v  

 

   

  (đpcm)

(105)

Có :

2

2 2

1 1 1

| | cos 60 4.6 2.6.6 117 | | 13

2 4 2

IB IA IB IA IA IB IB IA

 

          

 

 



   

Suy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin 3 13 chọn đáp án C

Câu 285: Cho tứ giác ABCD, M điểm tùy ý điểm I, J, K cố định cho đẳng thức thỏa mãn

với điểm M:   MAMBMC3MD k MK. Giá trị k

A k = B k = C k = D k =

Lời giải Chọn D

Vì MAMBMC 3MDk MK     

thỏa mãn với M Do đó, đẳng thức với M K

Tức là: KA  KBKC 3KDk KK 0

Gọi G trọng tâm ABC  KAKBKC 3KG 3KG 3KD 0 K

   

  

trung điểm GD Mặt khác:

3 MAMBMC  MD    

(MK KA) (MK KB) (MK KC) 3(MK KD)

       

       

( 3 ) 6

6

KA KB KC KD MK

MK

    



     

6 k

 

Câu 286: Cho tam giác ABC vuông A Gọi  góc hai đường trung tuyến BD CK Giá

trị nhỏ cos A 4

5 B

5

4 C

4

3 D

Chọn A

Ta có:

1 1

( ) ( )

. 2 2

cos

. .

BA BC CA CB

BD CK

BD CK BD CK



 

 

     

2

. ( ) )

. . . . )

4. . 4. .

BA CA BC CA BA BC BA CA BA CB BC CA BC CB

BD CK BD CK

  

  

 

(106)

2

2 2

4. . 2. .

BC BC

BD CK BD CK



 



(Vì tam giác ABC vng A nên BA CA. 0)  

Mặt khác,

2 2 2

2

2. .

2 4 2 4

Cauchy AB BC AC AC BC AB

BD CK  BD CK       

   

2 2

2 5

4 4 4

AB AC BC BC

BC  BC

    

Suy ra,

2

4 cos

5 5

4 BC

BC

  

Dấu “=” xảy BD = CK hay ABC vuông cân A

Câu 287: Cho hai điểm cố định G G' trọng tâm tam giác ABC tam giácA B C' ' '. Giá trị nhỏ biểu thức P AA'BB'CC'

A GG' B 3GG' C 2GG' D 1 '

3GG Lời giải

Chọn B

Do G G' trọng tâm ABC,A B C' ' ' nên GA GB    GC0 ' ' ' ' ' ' 0.

G A   G B G C  Ta có:

' ' ' ( ' ' ') ( ' ' ') ( ' ' ')

AA BB CC  AG GG G A  BG GG G B  CG GG G C            

3GG' (GA GB GC) ( ' 'G A G B' ' G C' ')

      

      

3GG'  

(107)

FB: Nguyễn Nga Nvc

Câu 288: Cho hình thang A B C D1 1 1 có  

0 1/ / 1, 1 , 1 , 1 1 1 60

A B C D A B  a C D  a D A B C B A  Với điểm G1 di động cạnh A B1 1 ta xác định điểm F1 cho G F1 1G C1 1G D1

   Tìm độ dài nhỏ G F1



A 2a B a C 3

2

a

D 3

2

a

Lời giải

Chọn B

Gọi ZA B1 1C D1 1, từ giả thiết suy tam giác ZA B1 1 cạnh 3a Gọi H I1, 1 trung điểm A B C D1 1, 1 1, suy H I1, 1 cố định 1 1 1

3

a H I  ZH 

Từ giả thiết ta có tứ giác G D F C1 1 1 1 hình bình hành, nên G F1 12G I1 12H I1 1a

Vậy độ dài nhỏ G F1 1 a Nguyễn Văn Công- Trường THPT Kinh Môn II Gmail: nguyencongkm2@gmail.com

Câu 289: Cho tam giác ABC vuông A; BC = 2; CA = b; AB = c điểm M di động

Biểu thức F= 8MA2b MB2 2c MC2 đạt giá trị lớn

J1

I1

Z

A1 B1

F1

C1 D1

G1

E1

(108)

A 4 B 12 C 16 D 24

Lời giải

Xét điểm I thỏa mãn: 8IA b IB c IC 2 2 0 (1)

( Dựng đường cao AH, dựng I cho A trung điểm IH; I thỏa (1)) Bình phương hai vế (1) ý

2 2

2IA.IB IA IB AB ; 2IB.IC IB IC BC 2IC.IA IC IA AC

  

     

rồi biến đổi ta kết 8.IA2b IB2 2c IC2 3b c2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

F 8MA b MB c MC 8MA b MB c MC

8(MI IA) b (MI IB) c (MI IC)

4MI 8.IA b IB c IC 4MI 3b c

b c

3b c 12

2

       

      

       

  

    

 

  

     

Họ tên tác giả: Vũ Viên Tên FB: Vũ Viên Email: tieplen@gmail.com

Câu 290: Cho ABC có cạnh 2a Gọi d đường thẳng qua A song song BC, điểm M di

động d Tìm giá trị nhỏ MA2MB MC 

A 2a 3. B a 3. C

4 a

. D

2 a

Lời giải

A

B C

K I

(109)

2 BA BC

IA  BK

  

 

 

(với K trung điểm AC) I

 điểm thứ hình bình hành AIBK

Ta có: MA2MB MC   MI IA 2 MI IB  MI IC

 

2MI IA2IB IC  2MI 2MI M d Min đạt LM d Khi đó:    60  60 30 30 MAIMABIAB  ABK     

2

2IM 2IAsin 30 2.BKsin 30 2 sin 30  (2 )a a a 3 Họ tên tác giả: Phạm Khắc Thành

Email: phamkhacthanhkt@gmail.com

Câu 291: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC điểm M Đặt aBC b, CA c,  AB Tìm

giá trị nhỏ biểu thức T MA MB MC

a b c

  

A 3 B C

3 D

3 Lời giải

Chọn B

Theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

    2

2 2 2 2 2

4 2 4

2

a a a a

b c a

m  b c a  b c a  m  a  am am   

Gọi G trọng tâm tam giác ABC đó:

   2

2 2 2 2 2

3 3

2

3

MA MA GA MA GA

MG GA GA MG GA GA

b c a

a  a GA    b c a  b c a 

 

    

Từ suy ra:

  2

2 2

3

MA MB MC

MG GA GB GC GA GB GC

a b c b c a

 

       

 

 

   

Lại có GA GB GC     0 2 1 2 2

GA GB GC  a b c

Do  2 2

2 2

3

0

3

MA MB MC

a b c

a b c b c a

 

       

   

(110)

Mail: thuytrangmn@gmail.com Chủ đề: Vectơ

Câu 292: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA'CC' A'BC C, 'AB Tìm giá trị nhỏ cos B

A 4

5 B

2

5 C 1 D

1 Lời giải:

Chọn A

Đặt BCa, BA c ta có:

' AA  ac   

' CC c a

Do AA'CC' nên 1 2a c 2c a

   

  

   

   

   

 2 2  2

2

5 5

ac a c a c a c

           + Nếu ac0 cosB1

+ Nếu ac0 cos

a c B

a c

 

 

  Dấu đẳng thức xảy a  c

Vậy giá trị nhỏ cosB

5, đạt dược tam giác ABC cân B Họ tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê

Email: hongle.ad@gmail.com

A

A’

C C’

B

(111)

Chọn B

Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Theo tính chất phân giác trong: DB AB c DB c.DC

DC  AC b  b , mà hai vecto DC



, DB ngược hướng nên ta có DB cDC bDB cDC b IB ID c IC ID

b

         

         

hay bIBcICb c ID  0 (*)

Mặt khác DB c DB c DB ac

DC b BC b c  b c

 

c b c

IA BA b c

aIA b c ID

ID BD ac a

 

     

Mà  IA ID, ngược hướng nên aIA b c ID  Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA 0

Vậy độ dài aMA bMB cMC   nhỏ M trùng I Họ tên: Ngô Gia Khánh

Địa mail: ngkhanh4283@gmail.com

Câu 294: Cho tam giác ABC tam giác cạnh a,M điểm di động đường thẳng AC

Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức T  MAMBMC 3MAMBMC      

là:

A

3 a

MinT  B MinT 2a C MinT a D a MinT 

Lời giải

+, Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có: MAMBMC MG

   

+, Dựng hình bình hành ABCD, ta được:

A

B

C D

(112)

BACD MA MBMCBAMCCDMCMD

+, Khi T  MAMBMC 3MAMBMC 3MGMD3GD ( Vì G,D nằm khác phía với đường thẳng AC)

Dấu xảy M giao điểm GD đường thẳng AC hay M trung điểm AC

+ Nhận xét 4 3

3 3

a a

GD  BM  

Vậy MinT 2a

Email: vntip3@gmail.com

Câu 295: Cho ABCvà A B C' ' 'có trọng tâm G G'cố định GG'a Khi giá trị nhỏ TAA 'BB'CC' là:

A Ta B T2a C T3a D T4a

Lời giải

Chọn C

Ta có:

AA ' ' '

AG ' G'A ' BG ' G'B ' CG ' G'C '

3 '

T BB CC

GG GG GG

GG

  

         



  

         

Vậy

AA ' ' '

AA ' ' ' AA ' ' ' ' '

T BB CC

BB CC BB CC GG GG a

  

               Giâ trị nhỏ T 3a AA ',  BB CC', ' phương

(Họ tên tác giả: Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan) Mail: thongbui1987@gmail.com

(113)

Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có

 

DB AB x

DC AC y   

 DB x

y

DC  điểm D chia đoạn thẳng BC theo tỉ số   x k

y

Nên ta có:

1 

  

 

  

 AB xyAC y  x 

AD AB AC

x x y x y

y

1 

   



y x

m n

x y

Câu 297: Cho ABC có AB3;AC4 Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến BM I

Biết AD a

AI b, với a b,  a

b tối giãn Tính

2   S a b

A S 10 B S 14 C S 24 D S 27

Lời giải:

Chọn C

Ta có:

2

 

IB AB

IM AM 2 3 0

  

IB IM 2AB3AM 5AI 1

4

 

DB AB

DC AC 4 3 0

  

DB DC 4 3 7  2

  

AB AC AD

Từ  1  2 ta có hệ

4

  

 

 

 

   AB AM AI

AB AC AD

4 10

4

AB AM AI

AB AC AD

  

  

 

 

     

y x

A

C B

D

I

M

B C

A

(114)

6AM 3AC 10AI 7AD

     7AD10AI 7AD10AI 10  AD

AI

10, 10 2.7 24

 a b S  

Họ tên tác giả: Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi Email: lehongphivts@gmail.com

Câu 298: Cho tứ giác ABCD có AD BC vng góc với AB, AB8, ADa, BCb Gọi E điểm thuộc cạnh CD Biết AEB90, giá trị lớn T ab

A 4 B 16 C 8 D 64

Lời giải

Chọn B

Vì E điểm thuộc cạnh CDnên tồn k0;1 cho 1 

k EC k ED 

Khi đó, k BC1k BD BE k AC1k AD AE Suy

     

           

      

2

2 2

1 1

1

BE AE k BC AC k k BC AD k k BD AC k BD AD

k BC AB BC k k ab k k BA AD AB BC k BA AD AD

k b k k ab k k ab k a

kb

      

          

        



         

 

  1k a264k1k

Do  90 1  1 

1

k k

AEB BE AE kb k a k k b a

k k



           



 

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 16

1

k k

b a ab ab

k k



    



Đẳng thức xảy chẳng hạn a b 4và k 0, Vậy maxT16

Câu 299: Cho tứ giác ABCD có AD BC vng góc với AB, ABh, ADa, BCb Cho k số thực dương thuộc 0;1và điểm E thỏa mãn k EC1k ED 0 Tìm hệ thức liên hệ a, b, h, k để góc AEB90?

8

a b

E

A D

(115)

1 

k BC k BD BE k AC1k AD AE Khi đó,

     

           

      

2

2 2

1 1

BE AE k BC AC k k BC AD k k BD AC k BD AD

k BC AB BC k k ab k k BA AD AB BC k BA AD AD

k b k k ab k k h ab k a

kb

      

          

        



         

 

  1k a2k1k h 2.

Do AEB90 nên BE AE   0 kb1k a h k1k

Vậy hệ thức liên hệ a, b, h, k để góc AEB90là kb1k a h k1k

Câu 300: Cho tam giác có trọng tâm G, qua G dựng đường thẳng d cắt cách cạnh AB, AC M, N Đặt AM x

AB  , AN

y

AC  , gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn T xy Tính m M

A 10

3 B

17

6 C

11

6 D

5 (Họ tên tác giả: Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn)

Ta có AM x AB, AN  y AC  

, 1

3

AG AB AC

  

MN AN AM

     x AB y AC  

1

3

MG x AB  AC

 

  

d M G

D A

B

(116)

Do M , N, G thẳng hàng nên MGk MN 3 x kx ky               1 3 k x ky            1 3 k x k y            1 x y    x y x   

Do M , N nằm cạnh AB, AC nên , 2x y

1

3

x y xy

  

9 xy

 

3

T x y xy

    

Đẳng thức xảy x y

 giá trị nhỏ m

Ta có 1;1 x  

  2x1x10

2

2x 3x

    2x23x1

2 x x    3

3

x x

 



Đẳng thức xảy x x       Ta có 3

3

x

T x y xy

x

    

  giá trị lớn M 

Vậy 17

3

(117)

A 4

5 B

5

4 C

5

6 D

6 Lời giải

Chọn B

Dựng hình bình hành AGCE Ta có MA GC   MA AE  ME MEFE Do MA GC  nhỏ MF

Gọi P trung điểm AC; Q, F hình chiếu vng góc P, E BC. Ta có BPQ BEF đồng dạng nên BQ BP

BF  BE 4 hay

BF BQ

3   

Có PQ đường trung bình AHC nên Q trung điểm HC hay HQ 1HC   

1 5

BQ BH HQ HC HC HC BC BC

3 6

      

       

Do BF 4BQ 5BC

3

 

  

Vậy x  gmail: hoangthuyvinhuni@gmail.com

Câu 302: Cho tam giác ABC cạnh , d đường thẳng qua B tạo với AB góc 60 0 C  Tìm giá trị nhỏ A MA MB  3MC ?

A 3

5 B

12

5 C

4

5 D 2

(118)

Gọi E trung điểm AB.

Gọi I điểm thỏa mãn: IA IB  3IC 02IE3IC 0 I nằm đoạn EC

5 EI  EC

Ta có: MA MB  3MC 2  MIIA IB 3MI3IC 5MI Vậy A 5MI M hình chiếu I đường thẳng d

Đường thẳng d qua B tạo với AB góc 60 nên d song song AC cắt EC K  

KEB CEA g c g

    nên E trung điêm KC

3

2 3

2

ECa   3.3

5

EI

  

9 24

3

5

KI  

EKB MKI

   EB KB

MI KI

  12

5 EB KI MI

KB

  

(Tác giả: Hoàng Thị Thúy - Facebook: Cỏ ba ) Câu 303: Cho tam giác ABC cạnh nội tiếp đường tròn ( )O điểm M thay đổi O Gọi s, i

lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức MA  MBMC Tính si

A s i  B

3

s i  C

3

s i  D s i 2 Lời giải

d E

K A

B C

I

(119)

Dựng hình bình hành DBCA Ta có

MAMBMC  MDDAMDDBMDDC  MD MD          

Gọi E giao điểm khác C DC với ( )O Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có MDDO OM DO OE DE MDDO OM DO OC DC

Dấu xảy M trùng E M trùng C

Vậy 2

2 3

s i DEDCDC CE DC DC OC     buiduynam1993@gmail.com

Câu 304: Cho lục giác ABCDEF cạnh a Trên đường chéo AC, CE lấy hai điểm M, N cho

AM CN

k

AC  CE  0k1 Độ dài

2

BM BN đạt giá trị nhỏ k bao nhiêu? A 1

2 B

1

4 C

2

3 D

3

(Bùi Duy Nam sưu tầm FB: Bùi Duy Nam https://www.facebook.com/duynam.bui.1) Lời giải

Chọn B

Ta có BM  BAAM mà AM k AM k AC

AC   

 

 

k BC BA

   Vậy BM BA k BC  BABM k BC1k BA

Lại có   BNBC CN mà CN k CN kCE k CF FE k2BA BC

CE       

      Vậy BNk1BC2k BA

(120)

 2    2  

2 1 2 1 . 1 4 2 4 1 .

k BC k BA k k BC BA k BC k BA k k BC BA

            

Mà BC2BA2a2

2 2

2

BC BA AC a

BC BA    

 

Vậy BM2BN2 a26k23k2  

0k1

 2  

0

min

k

BM BN a k k

 

    

Xét f k 6k23k2 0k1, ta có  

0

1 13

min

4

k f k f  

    

 

Vậy  

2

2 13

min

8 a

BM BN 

4 k 

Câu 305: Cho hình chữ nhật ABCD có ADa, ABb O I trung điểm DB DO N điểm thỏa mãn 2NA2  NCABAD  2AD NB lớn Tính NB

A

2

2 a a b

B

2

2 a a b

C

2

4 a a b

D

2

2 a a b

Lời giải

(121)

Do

2

3

2 4

a a a b

NBNIIB  a b    Họ tên tác giả: Đoàn Phú Như Tên fb: Như Đoàn Email: doanphunhu@gmail.com

Câu 306: Cho tam giác ABC, AB3(cm BC), 4(cm CA), 5(cm) Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC. Giá trị nhỏ biểu thức PMB2MC2MA2

A 0 B 5 97

2

 C 5 97

 D 5 97  Lời giải:

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O trung điểm AC. Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành ABDC DB DC    DA0 Ta có

  2  2 2

2 2

PMB MC MA MB MC MA  MD DB  MD DC  MD DA

 

2 2 2 2 2

2 18

PMD DB DC DA  MD DB   DCDA MD DB DC DA MD  Do P nhỏ DM nhỏ

Vì M thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên DM nhỏ O,M,D theo thứ tự thẳng hàng

Ta có

2

2 2

1 1

2

ODOCCD ACABOD  ACAB  AC AB AC AB

 

        

2 25 9 5.3.3 97 97

4 2

OD     MDOD OM  

Vậy

2

97 5 97

18

2 2

MinP     

 

 

Chọn đáp án B

Phuongthao.nguyenmaths@gmail.com M

D

C O

B

(122)

Câu 307: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho

3 BH HC

 

Điểm M di động nằm BC cho BMxBC Tìm x cho độ dài vectơ MA GC  đạt giá trị nhỏ

A 4

5 B

5

6 C

6

5 D

5

Chọn B

Dựng hình bình hành AGCE Ta có MA GC     MAAEME Kẻ EFBC FBC Khi  MA GC  ME MEEF Do MA GC  nhỏ M F

Gọi P trung điểm AC, Q hình chiếu vng góc P lên BC QBC Khi P trung điểm GE nên

4 BP BE

Ta có BPQ BEF đồng dạng nên

BQ BP

BF BE  hay

4 BF BQ

 

Mặt khác,

3 BH HC

 

PQ đường trung bình AHC nên Q trung điểm HC hay

HQ HC

 

Suy 1 5

3 6

BQBHHQ HC HC HC BC BC

       

Do

3

BF BQ BC

  

Câu 308: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đơi đáy AB. Lấy điểm E cho 3BC2DE

Q F

E

G P

B H C

A

(123)

Gọi ABC Ta có: 2

2 cos AC ABBC AC AB BC  AB BC    

(1)

Lại có: 2 cos

2

CE  CDDE  AB BCCE  AC  AB  BC  AB BC  (2) Lấy (2) – (1) vế theo vế ta :

2 5 15

0 cos cos

4 32 32

AB BC AB BC

AB BC AB BC

BC AB BC AB

   

          

 

Suy ra: 118, 96GTNN  nằm khoảng (115 ;120 )   chọn đáp án D Câu 309: Cho hình thang ABCD có 2AB DC, AC8,BD6, góc tạo hai véc tơ AC BD



bằng 120 Khi giá trị (AD BC ) bằng: A 13

2 

B 14

3 

C 15 10

4 

D 6 3

(Tác giả: Thầy Nguyễn Đăng Ái, FB: Nguyễn Đăng Ái ) Lời giải:

Ta có: AC ABBC BD BCCD Suy ra: 2 ACBD(2 AB CD ) 3 BC3BC Bình phương vơ hướng hai vế ta được:

2 2 2 14

9 4 cos120 4.8 4.8.6.cos120

3

BC  AC BD  AC BD     BC

B

C A

D

E

B

C A

(124)

Tương tự ta có:

Ta có:   ACADDC BD  BA AD Suy ra: AC2BD(2 BABC) 3 AD3AD Bình phương vơ hướng hai vế ta được:

2 2 2

9 4 cos120 4.6 4.8.6.cos120

3

AD AC  BD  AC BD     AD

Suy ra: ( ) 14

ADBC    chọn đáp án B

Câu 310: Cho hình thang ABCD có 2AB DC, AC9,BD6 Giá trị biểu thức (BC2AD2) bằng:

A 15 B 80

3 C 12. D 14.

Ta có: AC ABBC BD BCCD Suy ra: 2 ACBD(2 AB CD ) 3 BC3BC Bình phương vô hướng hai vế ta được:

2 2

9BC 4AC BD 4 AC BD (1) Tương tự ta có:

Ta có:   ACADDC BD  BA AD Suy ra: AC2BD(2 BABC) 3 AD3AD Bình phương vơ hướng hai vế ta được:

2 2

9AD AC 4BD 4 AC BD (2)

B

C A

(125)

Câu 311: Cho tam giác ABC có BAC60 AB AC, biết Biểu thức Pk MA MB  MC đạt giá trị nhỏ (ABAC) với giá trị thực kk0 Giá trị k0 nằm khoảng đây?

A (0;1) B ( ; 2)3

2 C

3 (1; )

2 D (2;3)

v

u v u v u u

v

  



     

 và: u v  |u| |v| Áp dụng vào này, ta có :

.AB AC ( ).AB ( ).AC

P k MA MB MC k MA MB MC k MA MA AB MA AC

AB AC AB AC

          

   

     

 P k MA AB AC MA(AB AC) k MA AB AC MA | AB AC |

AB AC AB AC

         

    

 P MA k | AB AC| AB AC

AB AC

 

     

 

 

Giả thiết cho biết:

| AB AC|

P MA k AB AC AB AC

AB AC

 

       

 

 

Suy ra: k | AB AC| k | AB AC|

AB AC AB AC

 

     

 

 

   

Sử dụng bình phương vơ hướng để tính:

2

| AB AC| AB AC 2AB AC 1 2.cos 60

AB AC AB AC AB AC

   

         

   



     

Suy ra: k | AB AC| k0

AB AC

   

 

Vậy ta chọn đáp án B Email: hongle.ad@gmail.com

aMA bMB cMC   có độ dài nhỏ

D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC. Lời giải

Họ tên tác giả: Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê

(126)

Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Theo tính chất phân giác trong: DB AB c DB c.DC

DC  AC b  b , mà hai vecto DC



, DB ngược hướng nên ta có DB cDC bDB cDC b IB ID c IC ID

b

         

         

hay bIBcICb c ID  0 (*)

Mặt khác DB c DB c DB ac

DC b BC b c  b c

 

c b c

IA BA b c

aIA b c ID

ID BD ac a

 

     

Mà  IA ID, ngược hướng nên aIA b c ID  Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA 0

Vậy độ dài aMA bMB cMC   nhỏ M trùng I Email: nguyentuyetle77@gmail.com

Câu 313: Cho tam giác ABC cạnh a điểm M thay đổi Giá trị nhỏ biểu thức

2 2

2

P MA  MB  MC là:

A 14a2 B 14a2 C

2 26

3 a

 D

2 26

3 a Lời giải

A

B

C D

(127)

2

2 ( )

MG MG CB GC GC

     

2 2 ( 5 ) ( 5 )2 42

MG MG CB GC CB GC GC

         (Vì

2

2 2

( ) 10 25 43 43

3 a

CB GC CB  CB GC  GC   GC )

2 2

( ) 42 42 14

p MGCB GC  GC   GC   a

  

Dấu “=”xẩy raMG5GC CB 

Vậy P 14a2 M điểm thỏa mãn

5

MG GC CB

  

Họ tên tác giả: Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm Email: dvtam0189@gmail.com

Câu 314: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ B C vng góc với Tính giá trị nhỏ cosA

A 1

2 B

2

3 C

3

4 D

4 Lời giải

Chọn D

Gọi M N, trung điểm AC AB, Ta có:

;

BM AM AB CN ANAC

      Theo giả thiết BM CN nên ta có BM CN 0 hay

AMAB   ANAC0ABAC  AM AN   AM AC  AN AB

Mà

2

AM  AC

 

2

AN  AB

 

nên suy

 2  2

1

4

AC AB AC AB A

AB      C AB AC   AB AC

(128)

Áp dụng định nghĩa tích vơ hướng, kết hợp Bất đẳng thức Cosi ta có

  2 2

cos cos

2

;

5

AB AB AC

A AB AC

AB AC AB AC

AC AB AC

AB AC

 

    

    

Dấu " " xảy ABAC hay tam giác ABC cân A Vậy cos 

A 

Họ tên: Cấn Việt Hưng

Email: thuyhung8587@gmail.com FB: Viet Hung

Câu 315: Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho  MA MB   MA MB Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH?

A

2 a

B

2 a

C a D 2 a

Lời giải:

Chọn A

Gọi N đỉnh thứ hình bình hành MANB Khi  MAMBMN Ta có MA MB    MA MB  MN  BA hay MNAB

Suy MANB hình chữ nhật nên AMB90o

Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB

MH lớn H trùng với tâm O hay max

2

  ABa

MH MO

(129)

Ta có:

  

BD CK  ADAB AK AC  AD AC AK AB          

(do AB AC )

 2

1

2 AB AC 2BC

    

Mặt khác:

 2 2  2 2

2 2 2

2

4

BA BC AC CA CB AB

BD CKBD CK      

2 2

4

AB AC  BC BC

 

Do đó:

2

4 4

cos

5

BD CK BC BC

BD CK BD CK BC

   

 

cos

5 BD CK ABC

     vuông cân A Vậy cos 

5   vanphu.mc@gmail.com

Câu 317: Cho ABC có trọng tâm G Gọi H chân đường cao kẻ từ A cho

3

CH  HB

 

Điểm M di động BC cho CMx CB. Tìm x cho độ dài vecto MA GB  đạt giá trị nhỏ A 8

5 B

5

6 C

6

5 D

5 Lời giải

Chọn B

D K

A

B

(130)

Dựng hình bình hành AGBE Ta có MA GB     MAAEME

MA GB ME ME EF

      

min

MA GB EF M F

     

Gọi P trung điểm AB Khi P trung điểm GE

CP CE

Gọi Q hình chiếu vng góc P BC.

Ta có CPQ CEF đồng dạng nên

4

CQ CP

CF CQ

CF CE  

 

Mặt khác PQ đường trung bình AHBnên

HQ HB

 

Theo giả thiết CH HB

Suy 1

3

CQCH HQ HB HB HB      

Từ giả thiết

HB CB

 

Do 5 4 5

6 3

CQ HB CB CBCF CQ CB CB ( Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu)

Họ tên tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai Email: maimai1.hn@gmail.com

Câu 318: Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho  MA MB   MA MB Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH?

A

2 a

B

2 a

(131)

Gọi O trung điểm AB Khi MA MB2MO Ta có MA MB   MA MB  2 MO  BA hay

2

MO AB Suy MAB vuông M nên AMB90o Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB

2

  ABa

MH MO

Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo Email: nghianguyennhan78@gmail.com

Câu 319: Cho AD BE hai phân giác tam giác ABC Biết AB4, BC5 CA6 Khi



DE bằng:

A 5

9 5  

CA CB B 3

5 9  

CA CB C 9

5 5  

CA CB D 3

5 5  

CA CB

Lời giải

Chọn A

AD phân giác tam giác ABC nên 6

4

   

 

CD AC CD

DB AB CD DB

6

10

CD  CD CB

CB

Tương tự: 5

9

   CE

CE CA

CA

Vậy

9

   

    

DE CE CD CA CB

Câu 320: : Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho  MA MB   MA MB Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH?

A

O

B M

(132)

A a

B

2 a

C a D 2 a

Lời giải

Chọn A

Gọi N đỉnh thứ hình bình hành MANB Khi  MAMBMN Ta có  MA MB   MA MB  MN  BA hay MNAB

Suy MANB hình chữ nhật nên AMB90o

Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB

2

  AB a

MH MO

Họ tên tác giả: Hoàng Tiến Đông Tên FB: tiendongpt Email: dongpt@c3phuctho.edu.vn

Câu 321: Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích S điểm I, O thỏa mãn   IBIC0;

OA OI   Cắt miếng gỗ theo đường thẳng qua O, đường thẳng qua M N, cạnh AB AC, Khi diện tích miếng gỗ chứa điểm A thuộc đoạn:

A ;

4 S S

 

 

  B 2; S S

 

 

  C

3 ;

S S

 

 

  D

3 ;

S S

 

 

 

N'

M' O

A

(133)

1

NN xNA AN AN xNA NA AN

x

      



1

MM xMA M A MA xMA MA M A

x

       

 Ta có:

 2

4

AMN ABC

S AM AN AM AN

S  AB AC  AM AN  x Xét hàm số:    2

4

f x  x 0;1      

suy ra:  

4 AMN

S S

f x S

    

Đỗ Công Dũng

Email: congdung812@gmail.com

Câu 322: Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếpR2 Tìm giá trị lớn

2 2

BC AB AC

A 1 B 2 C 3 D 4

Giải Chọn D

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Dựng hình bình hành ABMC Ta có OA  OMMA OA2OM2MA22OM MA  1

Tương tự ta có: OB2 OM2MB22OM MB  2

2 2

2

OC OM MC  OM MC  3 Lấy      2  – vế ta có:

 

2 2 2

2

R OM MB MC MA  OM MB   MCMA ( tứ giác ABMC hình bình hành nên   MBMC MA)

Khi R2OM2MB2MC2MA2 OM2MB2MC24MI2

2 2

2 2 4

2

AB AC BC

OM MB MC   

      

 

 

2 2 2

2

OM MB MC AB AC BC

      màMBAC, MCAB

I

M O

C

(134)

nênR2 OM2AB2AC2BC2  BC2AB2AC2R2OM2 R   Vậy giá trị lớn BC2AB2AC2là

Đẳng thức xảy M O 2

3

AB AC R BC R

     Áp dụng định lý cosin tam giác ABC có 

120

BAC Hay tam giác ABC cân A có  120

BAC

Họ tên tác giả: Nguyễn Tân Quang Tên FB: Nguyễn Tân Quang Email: quangmath@gmail.com

Câu 323: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M điểm nằm cạnh AB Tính giá trị nhỏ

biểu thức MA2MB MC theo a

A

4 a

B

2 a

C

8 a

D 2

3 a

Lời giải

Chọn B

Ta có MA2MB MC   MA MC 2MB  2MN2MB 4MI 4MI, N I, trung điểm AC BN, Do I cố định

Kẽ IH vng góc với AB Ta có MIHI

Tính .sin 300 3.

2

a a

BN  IH BI 

Email: themhaitotoanyp1@gmail.com

H

I

N

C B

A

(135)

Đặt k AC AM  k BC BQ 

 k

AB BP



1 , k 0;1 Có DN DAAN DAxAQ DAxABBQ

DA kx DC x

DA 

 1kxDAxDC, (1)

Mặt khác DNDCCN DCyCPDCyCBBP k DC

y DA y

DC  1

  yDA1ykyDC, (2)

Từ (1) (2), ta có

                       1 1 2 k k k y k k k x x y ky kx y

Do DC

k k k DA k k k DN 1 2       

 0;1 , 4 1 1

2   

              k k k k n m  

max  

 m n , đạt k =

hay M trung điểm AC. (Fb: Lưu Thêm)

Họ tên: Lê Thị Lan FB: Lê Lan Email: lelanqx2@gmail.com

Câu 325: : Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho

1   

BH HC Điểm M di động nằm BC cho BM xBC Tìm x cho độ dài vectơ  MA GC đạt giá trị nhỏ

A 4

5 B

5

6 C

(136)

Chọn B

Dựng hình bình hành AGCE Ta có  MA GC  MAAE ME Kẻ EFBC FBC Khi  MA GC  ME MEEF Do  MA GC nhỏ MF

Gọi P trung điểm AC, Q hình chiếu vng góc P lên BC QBC Khi P trung điểm GE nên

4 

BP BE

Ta có BPQ BEF đồng dạng nên

 

BQ BP

BF BE hay

4   

BF BQ

Mặt khác,   

BH HC

PQ đường trung bình AHC nên Q trung điểm HC hay   

HQ HC

Suy 1 5

3 6

      

       

BQ BH HQ HC HC HC BC BC

Do

3

 

  

BF BQ BC

Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng

Câu 326: Cho tam giác ABC có BCa AC, b AB, cnội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R M điểm thuộc đường tròn (O) Gọi N n, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức PMA2MB2MC2 Khi giá trị N n

A 12R2 B 4R 9R2a2b2c2

C 2R 9R2a2b2c2 D 8R 9R2a2b2c2 Lời giải

(137)

Vậy:

` 6R22 R OA OB OC     P6R22 R OA OB OC     4R

N n OA OB OC

      

Mà: OA OB   OC23R22OAOB  OBOCOAOC

2 2

2 ( )

3R

2

OA OB  OA OB

  

 

2 2

9R a b c

   

2 2

4R 9R

N n a b c

     

Họ tên tác giả: Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen Email: giaohh2@gmail.com

Câu 327: Cho tam giác ABCnội tiếp đường trịn tâm O,bán kính R, M điểm đường trịn Giá trị lớn biểu thức 2

2

  

S MA MB MC

A R2 21 B R2 21 C 2R2 21 D 2R2 21

Lời giải

Chọn C

Ta có SMA22MB23MC2MO OA  22MO OB  23MO OC  2

 

2 2 cos

         

S MO OA OB OC MO OA OB OC 

2 cos

  

S R CA CB 

Trong  MO CA, 2CB

Do tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính R nên có cạnh R

 2 2 2 0 2

2 15 .cos 60 21

      

     

CA CB CA CA CB CB R CA CB R  CA2CB R 21

2

2 21.cos 

S R 

2 21

S R

Dấu xảy cos1  MO CA, 2CB chiều Vậy MaxS 2R2 21

Email: anhtu82t@gmail.com

Câu 328: Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức P cos 2A2 cos 2B2 cos 2C

A Pmin  4 B P  1

2

min C Pmin   2 3 D Pmin  5

(138)

Họ tên: Đồng Anh Tú Facebook: Anh Tú Chọn A

Gọi O R, tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: (2OA 3OB OC)20

2 2

4OA 3OB OC 4OA OC 3OA OB 3OB OC          

2

8R 4OA OC .cos 2B 3OA OB .cos 2C 3OB OC .cos 2A

    

2 2

8R 4R cos 2B 3R cos 2C 3R cos 2A

    

3 cos 2A cos 2B cos 2C

     Dấu xẫy A45 ,0 B60 ,0 C 750 Vậy Pmin  4

VẤN ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG Email: ngvnho93@gmail.com

Câu 329: Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB BC BC CA CA AB 

     

A

2 a

 B

2

2 a

C

3 a

D

3 a  Lời giải

Họ tên: Nguyễn Văn Nho Facebook: Nguyễn Văn Nho Chọn A

Cách

Nhận xét: Với điểm M bất kỳ, ta ln có AB2 AMMB2 AM2MB22 AM MB

 2 2

1

2

AM MB AB AM MB

   

 

Do

 

2

2 2

2

2 2

1

2

1

a

AB BC AC AB BC

a

BC CA BA BC CA



    

  

    

  

 

3

a

AB BC BC CA CA AB

(139)

Áp dụng công thức chiếu, ta có 2 2 2 2 a a

AB BC AB BM AB MB AB MB a

a a

BC CA BC CP BC PC BC PC a

a a

CA AB CA AN CA NA CA NA a

                                                     

Cộng vế theo vế ta

2

2 a AB BCBC CA CA AB  

     

Cách Vì tam giác ABC nên  AB BC,   BC CA ,   CA AB , 1200

Do       2

.cos ,

2

1

.cos ,

2

1

.cos ,

2

a

AB BC AB BC AB BC a a

a

BC CA BC CA BC CA a a

a

CA AB CA AB CA AB a a

                                                      a AB BC BC CA CA AB         

Câu 330: Cho tam giác ABC có ADlà trung tuyến, G trọng tâm Một đường thẳng qua G cắt cạnh AB AC, M N, Khẳng định sau đúng?

A

2

     

B      AM AN  AN MB AM NC

C 2( )

3

     

D 3( )

2

(140)

Trước hết ta chứng minh BM CN 1(1) AM  AN 

Thật vậy, kẻ // // BP MN CQ MN 

 

BM PG

AM AG

CN QG

AN AG

     

 

 

Do (1) PG QG PG QG AG (GD PD) (GD DQ) AG

AG AG

          

2GD AG

  ( ln đúng)

Vậy ta có BM CN

AM  AN 

cos cos cos

BM AN CN AM AM AN

AN MB AM NC AM AN

A A A

 

  

     

AM AN AN MB AM NC

       ( Do cosA0 )

Câu 331: Cho véc tơ a b c, ,

  

thỏa mãn a a b,  b c,  c a b 3c0

   

Tính

Aa b b c c a       A

2 2

3 c a b

B

2 2

3 a c b

C

2 2

3 b a c

D

2 2

3 c a b

Lời giải

Q P

N G

D A

B C

(141)

Tương tự ta có b3c  a b3c2a2b29c26 .b c  a2

2 9

6

a b c

b c  

 

Và ta lại có a3c  b a3c2 b2

2 2

9

6

b a c

a c a c b a c  

        

Suy

2 2 2 2 2 2

9 9

2 6

c a b a b c b a c c a b

A           

Họ tên: Đoàn Thị Hường

Email: ngochuongdoan.6@gmail.com Fb: Đoàn Thị Hường

Câu 332: Cho tam giác ABC vng A có BC = 2a, M điểm đoạn BC cho MB = 2MC. Biết

rằng

AM BC a  

Độ dài cạnh AC là:

A 33

3 a

AC  B ACa C

3 a

AC  D ACa

Bài giải

Từ giả thiết M điểm đoạn BC cho MB = 2MC nên ta có

BM  BC

 

Đặt AB = x; AC = y ta có x2y2 4a2 (1) (Tam giác ABC vuông A)

Mặt khác từ 1( )

3 3

AM  ABBM  AB BC AB ACAB  AB AC

         

Nên có (2 )( )

3

AM BC a  AB AC ACAB a

     

2 2

1

3AC 3AB a

     ( Do  AB AC 0)

2 2

1

3y 3x a

   (2)

Từ (1) (2) ta có 33 a

y  Chọn đáp án A Họ tên: Đào Hữu Nguyên FB: Đào Hữu Nguyên Mail: huunguyen1979@gmail.com

Câu 333: Cho tam giác ABCcó 

0

90 , 1,

BAC AB AC .Dựng điểm M choAM BC AM, 3 ĐặtAM  x AB y AC

  

.Tính T x2y2?

A 153

20

T B 151

20

T C 157

20

T D 159

(142)

Chọn A

Từ 2 2 2

AM x ABy ACAM x AB y AC  x  y   

Và  AM BC x AB BC.  y AC BC.  0 x AB AC.  ( AB)y AC AC.  ( AB)9  x 4y

Ta có hệ:

2

2 144

4

20

4

4 x

x y



    



 

  

  



Suy 2 153

20 Tx y 

Email: truongthanhha9083@gmail.com

Câu 334: Cho tam giác ABC vuông A Quỹ tích điểm M thỏa mãn

MB MCMA BCMA

   

A Đường thẳng AC B Đường thẳng AB

C Đường thẳng BC D Đường trung trực cạnh BC. Lời giải

Chọn B

Yêu cầu toán trở thành

2

( ).( )

( )

( ) ( ) (*)

MA AB MA AC MA BC MA

MA MA AB AC AB AC MA BC MA

MA AB AC MA AB AC

   

     

   

     

            

Gọi E đỉnh thứ tư hình chữ nhật ABEC. Hệ thức (*) trở thành

( )

MA AE MA BC

MA AE BC

MA AE AC

MA CE MA AC



  

   

          

Vậy điểm M thuộc đường thẳng AB.

Câu 335: Cho tam giác ABC cạnh 3a, a0 Lấy điểm M , N, P cạnh BC, CA, AB cho BM a, CN2a, APx 0x3a Tìm x để AM PN

(143)

Ta có AM ABBM  AB BC     

 

1

3 3

AM AB ACAB  AB AC

     

Ta có

3

x

PN AN AP AC AB

a

   

    

Để AM PN 1

3 3

x

AM PN AB AC AC AB

a

   

      

   

     

2

9 9

x x

AB AC AB AC AB AC

a a

        

 2  2

2

.cos 60 3 cos 60

9 9

x x

AB AC a a AB AC

a a

      

2

2 1

3 9 3

9 9

x x

a a a a a a

a a

           

2

a

a ax x

     Vậy

5 a

x AM PN Nguyenducloi qv2@gmail.com

Câu 336: Cho tam giác ABC vuông cân B Gọi M trung điểm AB I điểm di động đường thẳng MC Khi 2IM AC đạt giá trị nhỏ nhất, tính tỉ số AC

AI

A AC

AI  B

AC

AI  C

AC

AI  D

3 AC

AI 

(Họ tên tác giả: Nguyễn Đức Lợi, Tên FB: Nguyễn Đức Lợi) Lời giải

(144)

Gọi N trung điểm BC

Có 2IM AC     IA IB ICIA  IB IC 2IN

Do 2IM AC đạt giá trị nhỏ I hình chiếu vng góc N MC

Dựng hình vuông ABCD Gọi P trung điểm CD H giao điểm AP với DN Dễ dàng chứng minh DN CM I DN

Lại có tứ giác AMCP hình bình hành, suy AP/ /CM

Do APDI H trung điểm DI Suy tam giác AID cân A Vậy AC AC

AI  AD

Email: buivuongphung@gmail.com

Câu 337: Cho ABC có trọng tâm G, H chân đường cao kẻ từ A cho

3

BH  HC

 

Điểm M di động BC cho BM xBC Tìm x cho MA GC  nhỏ

A 6

5 B

5

4 C

4

5 D

5 Lời giải

(145)

Gọi I trung điểm cạnh BC

 

2

3

2

3

5

6

MA GC MC CG GA GC MC IA

BC BM IH HA

BC xBC CB HA

x BC HA

      

   

 

   

 

           

     

Suy

2

2 2

5 4

6 9

MA GC  x BC  HA  HA

 

 

Dấu “=” xảy x

Email: nguyenthitrangtnh@gmail.com

Câu 338: Cho tam giác ABC, nhọn, không cân nội tiếp đường tròn O R;  Gọi G M trọng tâm tam giác ABC trung điểm cạnh BC Cho đường thẳng OG vng góc với đường thẳng OM tính giá trị biểu thức AC2AB22BC2

theo R

A 8R2 B 10R2 C 12R2 D 14R2

Lời giải

Họ tên: Nguyễn Thị Trăng Fb: Trăng Nguyễn Áp dụng quy tắc trọng tâm quy tắc trung điểm ta có:

,

3

OA OB OC OB OC

OG   OM  

      

Khi

  

0

OGOM OG OM   OA OB OC      OB OC 

OA OB OA OC OB OC R

       

 2  2 2

1

2 2

2 R AB R AC R BC R

       

G

C M

I H

B

(146)

(chú ý  

2

a b a b

a b

   

     

)

2 2 12

AB AC BC R

   

Email: phamhongquangltv@gmail.com

Câu 339: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, M=600Lấy điểm E tia MP đặt 

 

ME kMP.Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP

A k=2

3 B k=

2

5 C k=

1

3 D k=

1 Lời giải

Họ tên tác giả: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm

Chọn B

Ta có:    

     NE NM ME kMP MN

 

 1   MF (MP MN)

2

NEMF 

 

(MP MN).(    kMP MN)=0

       



 

           

2

MN.(MP MN) MN.MP MN 16 16 k

(147)

Chọn B

Đẳng thức    MA AD MB BC với điểm M Cho M trùng với ,A Bta

   





 



 

 

 

 AB BC AB BC

AB AD

BA AD Cho M trùng với C ta

   

    

         

CA AD CB BC CB BA AD CA AB BC

CB AD   CA BC (vì    BA AD AB BC 0)

 

CB AD   CA CB CB AD  CA  CB CD  CBCD Vậy tứ giác ABCD hình chữ nhật

Email: dacgiap@gmail.com

Câu 341: Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M N, thuộc đoạn thẳng BC AC cho

1   

BM MC, CNk AN

 

AM DN Khi k thuộc khoảng đây? A 3;5 B  5; 3 C  4; 2 D 2; 

Lời giải

Họ tên: Nguyễn Đắc Giáp Facebook: dacgiap Chọn B

Ta có:

4

   

    

AM AB BM AB BC;

Từ CNk AN N nằm hai điểm A C, nên suy k0

 

1

AN AC AB AD

k k

  

 

   

 

1

DN DA AN DA AB AD

k

    



     

 

1

0

4

AM DN AM DN AB BC DA AB AD

k

   

         



   

      

N

M

D A

(148)

    

1 1

1 4

AB DA AB AB AD BC DA BC AB BC AD

k k

      

 

          

 

2

5

0

4

a a

k k

     



Email: nnqman235@gmail.com

Câu 342: Cho hai vector ,a b  thỏa mãn đồng thời điều kiện a2b  7,a b  2, vector (3a b  ) vng góc với (a b )

 

Tính cosin góc tạo hai vector a b

A

3

 B

4 C

1

3 D

Họ tên tác giả: Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Tên FB: Ngonguyen Quocman

Chọn B

Ta có

2 2

2

2 4 4 7 1

2

1

3

(3 ).( )

2

a b a b a b a

a b a b a b b

a b a b

a b a b a b



       



 



 

       

  

  

  

  

   

 

      

   

     

Suy cos( ; ) a b a b

a b

 

   

 

Câu 343: Giả sử O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BCa CA; b AB; c Tìm

2 2

OA OB OC

K

b c c a a b

  

A

2

K  B

3

K  C K 1 D

4 K  Lời giải

Áp dụng tính chất đường phân giác vào phân giác OA OB OC, , ta có:

a OA b OB c OC   Từ

 2

(149)

     

2 2 2 2 2 2 2 2

0 a OA b OB c OC ab OA OB c bc OB OC a ca OC OA b 

  2 2  

2 2

1

a b c aOA bOB cOC abc a b c

OA OB OC

bc ac ab

       

   

Chọn đáp án C K 1 Họ tên: Lê Thái Bình Email: lebinhle80@gmail.com Facebook: Lê Thái Bình

Câu 344: Cho hình vng ABCD M, N nằm hai cạnh BC CD cho

3

CM CN

CB CD  Gọi E điểm thỏa mãn AE kAN

 

Khi BE AM.Tính giá trị biểu thức T k2 k 1

A 13

16 B

7

9 C

8

9 D

5 16

Lời giải

Đặt    ABa AD; b Ta có

 

      

  

       

 

       

  2 2 3 

3

BE BA AE BA kAN BA k AD DN

k

a k b a a kb

và

3 AM AB BM a b

    

Khi         

  2 3 2 3

0

3

k

(150)

Câu 345: Cho hình vng ABCD, điểm M nằm đoạn thẳng AC cho

4  AC

AM Gọi N trung điểm CD. Tam giác BMN

A Tam giác B Tam giác cân C Tam giác Vuông D Tam giác vuông cân

Lời giải

Huỳnh Kim Linh GV Trường THPT Chun Lê Q Đơn Khánh Hịa

Chọn D

Đặt ADa AB  , b Khi đó: 1 

4      

MB a b

1

( );

4

1

(3 )

4

      

   

        

   

b

AM AC a b AN AD DN a

MN AC a b

Ta có: ( )(3 )

16

   

     

MB MN a b a b

 

2

1

( 3 )

16

  a  b  a b   MBMN

2 2 2

( ) ( )

16 16

      

       

MB a b a b a b a

2 2 2

(3 ) (9 )

16 16

     

       

MN a b a b a b a

Suy MBMN  2

Vậy MB vng góc với MN MB =MN, tam giác BMN vuông cân đỉnh M (Email): luongthanh80tm@gmail.com

Câu 346: Cho tam giácABC Gọi H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

(151)

Gọi AD đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giácABC Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành

Nên HBHC HD   

Ta có O trung điểm đoạn AD nên HA HD2HO Suy HA  HBHC 2HO

Ta có: OB OC 2 OM  AH; tương tự OA OC      BH OA OB;  CH

OA OB OC OH

      

Gọi M , N, P trung điểm cạnhBC, CAvàAB

( ).( )

OH AM OH AM

OA OB OC AB AC

  

    

 

    

(3OA AB AC).(AB AC)         

2

3OA AB.( AC) (AB AC)        

2

3OA AB 3OA AC AB 2AB AC AC           

2

3AB AP 3AC AN AB 2AB AC AC        

2

3

2

c b

c AB AC b

      

 

Lại có: a2 BC2 ( ACAB)2b2c22 AB AC

2 2

2AB AC b c a      Suy ra: 2a2 b2c2

N P

D M

H O

B C

(152)

(Sưu tầm, Họ tên: Nguyễn Lương Thành, Tên FB: luongthanh.nguyen.7) Câu 347: Cho tam giác ABC có ADlà trung tuyến, G trọng tâm Một đường thẳng qua G cắt

cạnh AB AC, M N, Khẳng định sau đúng?

A

2

     

B      AM AN  AN MB AM NC

C 2( )

3

     

D 3( )

2

     

Trước hết ta chứng minh BM CN 1(1) AM  AN 

Thật vậy, kẻ // // BP MN CQ MN 

 

BM PG

AM AG

CN QG

AN AG

     

 

 

Do (1) PG QG PG QG AG (GD PD) (GD DQ) AG

AG AG

          

2GD AG

  ( đúng)

Vậy ta có BM CN

AM  AN 

Q P

N G

D A

B C

(153)

Facebook:Quocthongphan

Câu 348: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 AD=4.Gọi M trung điểm cạnh AB N

điểm cạnh AD cho ANk AD,CM vng góc với BN.Khi k thuộc vào khoảng sau

A 0;

16

 

 

  B

1 ; 16 20

 

 

  C

1 ; 20

 

 

  D

1 ;       Giải: Đặt  ABa, ADb

Ta có 1

2

CM CBBM  AD AB  b a       

BNBAAN AB k AD   a kb

      

Theo giả thiết ta có CM BN  0   16 1.4

2

b a a kb k k

 

            

 

   

Họ tên tác giả: Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm Email: phamhongquangltv@gmail.com

Câu 349: Cho tam giác MNP có MN=4,MP=8, M=600Lấy điểm E tia MP đặt 

 

ME kMP.Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP

A k=2

3 B k=

2

5 C k=

1

3 D k=

1 Lời giải

Chọn B

Ta có:    

     NE NM ME kMP MN

 

 1   MF (MP MN)

2

NEMF 

 

(154)

                       2

MN.(MP MN) MN.MP MN 16 16 k

64 16 MP.(MP MN) MN.MP MP

Câu 350: Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c M trung điểm BC, D chân đường phân giác góc A.Tính

2 AD  A     2 4c

AD p p a

b c

 

 

B

   

2 4bc

AD p a

b c     C     2 4bc

AD p p a

b c

 

 

D

   

2

2 4bc

AD p p a

b c

 

 

Chọn D

Vì M trung điểm BC nên 1 

AM  ABAC

  

Suy 1 2 1 2 2

4

AM  ABAC  AB  AB ACAC

     

Ta lại có . 1 2 2

AB AC c b a  

nên

   

2 2

2 2 2 2 2 2

2

4

b c a

AM  c  c b a b   

 



Theo tính chất đường phân giác BD AB c DC  AC b Suy BD BD DC bDC

DC c

 

   (*)

Mặt khác   BD ADAB   DCACAD thay vào (*) ta

   

 2  2  2

2

2 b

AD AB AC AD b c AD b AB c AC

c

b c AD b AB bc AB AC c AC

      

    

(155)

Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát

Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Bài mức độ VD, nhờ thầy góp ý!

Câu 351: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và 

60

BAC Các điểm M, N được xác định

MC  MB

 

NB 2NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với

A 2

6c 4b 5bc0 B 2

4c 5b 6bc0 C 6c25b24bc0 D 4c26b25bc0

Lời giải

Chọn D

Ta có: MC 2MBACAM 2(ABAM)3AM2ABAC

        

Tương tự ta có: 3CN2CACB

Vậy:

0

(2 )(2 )

AM CN AM CN

AB AC CA CB

   

   

 

   

 (2AB AC AB)( 3AC) 0 2AB23AC25 AB AC 0  2 3 0 4 6 5 0

2 bc

c  b    c  b  bc

Họ tên: Trần Ngọc Tên FB: Ngọc Trần Email: soantailieutoanhoc2018@gmail.com

Câu 352: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I trung điểm AC M điểm thỏa

mãn OM 2OA OB 2OC    

Biết OM vng góc với BI và AC23BC BA Tính góc 

ABC

A 30 B 45 C 60 D 120

Lời giải

(156)

Ta có OM BI2 OM BI. =02OA OB  2OC BA BC    0 5OB 2BA 2BC 5OB BA +5OB BC 2BA BC2              Gọi H K, tương ứng trung điểm đoạnAB BC,

Khi 5 OB BA +5 OB BC 2 BA BC 2  0

     2

5 OH  HB BA 5 OK  KB BC 2 BA BC  0

2 2

5

2 2.2

2BC 2BC BA BC BA BC

       

   

2 2 2 2

1

0

2BA 2BC AB BC AC AC AB BC

         

Do 

2

2 2

2

3 cos

2

3

AC AC

BA BC AC

ABC

BA BC AC



 

  Suy ABC60

Họ tên tác giả: Đào Trung Kiên (st) Tên FB: kienyenthe Email: kienyenthe@gmail.com

Câu 353: Cho hình thang vng ABCD, đường cao AD = h, đáy AB = a, đáy CD = b Gọi M trung

điểm BC. Hệ thức a, b, h để AM BD

A a2h2ab0 B h2a2ab0 C h2b2ab0 D b2h2ab0 Lời giải

Chọn B

M

K H

I

O A

B

(157)

Ta có

 

  

2

D D

0

AM B AM B

AB AC BD

AB AD DC AD AB

AB AD DC AB

h a ab

  

  

    

    

   

    

      

Họ tên: Vũ Huỳnh Đức Email: vutoanpvd@gmail.com Facebook: vuhuynhduc2017

Câu 354: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M, N điểm thỏa mãn 1

3  

BM BC ,

1  

A N AB Gọi I giao điểm AM CN Tính diện tích tam giác IBC theo a?

A 

2 3

7

IBC

a

S B 

2 7

7

IBC

a

S C 

2

2 7

IBC

a

S D 

2

IBC

a

S

      x+y=1  3 x+y=1

     

I CN x y, :BI x BN y BC, BI x BN y BC,

và I A M nên từ  3

   x

BI BA y BC ta có 3 1

3 .

(158)

 

   



  

 x+y=1

6

x= y=

2 3 1 7 7 7 7

3

  

 , BI BA BC

x y -

Từ giả thiết ta có CN=2 1

3

  

CA CB

   

     

   

    

2

CN

3 7

8

21 21 21 21

      

       

. .

. . . .

BI CA CB BA BC

BA CA BA CB BC CA BC CB



 BIC vuông I

 

      

 

2

4 21

7 7 49

    

BI BA BC BI BA BC a

      

2 2 21 28 2

49 49

IC BC BI a a a IC a

Vậy  

2 3

1

2 .

IBC

a

S BI IC

Họ tên tác giả: Huỳnh Thanh Tịnh Tên FB: huynhthanhtinh Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com

Câu 355: Cho tam giác ABC điểm M N P, , thỏa mãn BMk BC ,

3 

 

CN CA, I

M N

C B

(159)

( )

    

     

BM k BC AM AB k AC AB  (1 ) 

  

AM k AB k AC

+)   

  

PN AN AP 4 1

15 3

 AB AC

Để AMvng góc vớiPN  AM PN. 0

4 1

(1 ) 0

15 3

 

 

     

  

   

k AB k AC AB AC

2

0

4(1 ) 1 4

( ) 0

15 3 3 15

4(1 ) 1 4

( )c os60 0

15 3 3 15

1 3

  

    

  

    

 

 

k k k k

AB AC AB AC

k k k k

k

Email: duyhung2501@gmail.com

Câu 356: : Giả sử O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BCa CA; b AB; c Tìm

2 2

OA OB OC

K

b c c a a b

  

A

2

K  B

3

K  C K 1 D

4 K  Lời giải

Chọn C

Áp dụng tính chất đường phân giác vào phân giác OA OB OC, , ta ln có:

a OA b OB c OC   Từ

 2

a OA b OB c OC   

2 2 2

2

a OA b OB c OC a bOA OB b c OB OC c a OC OA

         

(160)

Tương tự ta có:

     

2 2 2 2 2 2 2 2

0 a OA b OB c OC ab OA OB c bc OB OC a ca OC OA b 

  2 2  

2 2

1

a b c aOA bOB cOC abc a b c

OA OB OC

bc ac ab

       

   

Chọn đáp án C K 1

Người sưu tầm: Tăng Duy Hùng FB: Hùng Tăng Họ tên: Nguyễn Thị Huệ FB: Nguyễn Thị Huệ Gmail: nguyenthihue1611@gmail.com

Câu 357: Cho hai véc tơ a



b



thỏa mãn điều kiện 1,

a  b  a2b  15 Đặt ua b

  

2 ,

v k a b k   Tìm tất giá trị k cho  u v , 60

A

2

k  B

2

k   C 17

2

k  D 17

2 k 

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết 15  2 15 a b   a b  a b 

  

2 u v a b k a b  k      

, 2

6, 4

u  u  v  v  k  k

   

 

2

1

2

, 60

2

6 4

k

u v k

k k



     

   

Họ tên tác giả: Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê Email: Lenguyet150682@gmail.com

Câu 358: Cho tứ giác ABCD, hai điểm M N, thỏa mãn 2     MBMA0; 2NCND0 AD x BC  Tính

 

cos cos

DBC ADB theo

x để MN BD

(161)

Phân tích: Ta thấy 

    

0;

; ; ;

MN BD MN BD

DBC BD BC ADC AD BD

  

 

 

    nên cần phân tích MN theo ADvà BC



Giải Ta có biểu diễn

 

   

2 2

3 3

2

3 3

MN MA AN BA AN BN NA AN BN AN

BC CN AD DN BC AD

        

     

               

Vậy

3

MN  BC AD

  

Do

2  c os c os

MN BD   BCAD BD  BC DBCAD ADB

Suy

 

cos

2

cos

DBC AD x

BC

ADB     Đáp án B

Họ tên tác giả: Trần Thanh Hà Tên FB: Hatran

Email: tranthanhha484@gmail.com

Câu 359: Cho tam giác ABC có AB6;BC7;CA5 Gọi M điểm thuộc cạnh AB cho

2

AM  MB N điểm thuộc AC cho ANk AC (k) Biết k a b   (a

b phân số tối giản, a,b số nguyên) cho đường thẳngCMvuông góc với đường thẳng BN

Tính giá trị biểu thức T 2018a2019b5

A T2017 B T 2020 C T2030 D T 2030 Lời giải

(162)

2

CM AM AC  ABAC BN ANABk ACAB

    

Suy ra: 2( )( ) 2 2

3 3

k

CM BN  ABAC k ACAB  AB AC AB k AC AB AC         

 2 2 2

2

7

AB AC BC

AB AC CB AB AC

BN CM k

 

    

   

    

Theo giả thiết, ta có: a6; b7T 2018.6 2019.7 5   2020 Họ tên tác giả: Đỗ Thế Nhất Tên FB: Đỗ Thế Nhất

Email: nhatks@gmail.com

Câu 360: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC 60 0 Các điểm M, N được xác định 2

MC  MB  

NB 2NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với

A 6c25b24bc0 B c26b25bc0 C 4c26b25bc0 D 4c26b25bc0

Lời giải

Chọn C

Ta có: MC 2MB ACAM  2( ABAM)3AM 2 ABAC Tương tự ta có: 3CN2CA CB 

Vậy: AM CN   AM CN 0  (2 ABAC)(2CA CB  )0  (2  ABAC AB)( 3AC)0  2AB23AC25 AB AC 0  2 3 0

2 bc

c  b    4c26b25bc0

Câu 361: Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD=2a Gọi M trung điểm AB, N điểm cạnh AD cho ADkAN

 

(163)

1

BN BA AN AB AD

k

    

    

Để CMBN CM BN. 0

 

Mà

 

2

2 2

2

1 1

.

2

1 1 1

. .

2 2

1 1 1 1

2

2 2

CM BN AD AB AB AD

k

AD AB AD AB AB AD

k k

AD AB a a

k k

  

  

     

  

   

     

           

 

 2 2

1 1

. 0 2 0

2

4 1

0 8

2

CM BN a a

k k k

     

     

 

Vậy k 8 CM BN

Họ tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duy Tên FB: Ngọc Duy Email: nguyenngocduyakgl@gmail.com

Câu 362: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Gọi ,E F hình chiếu vng

góc C AB AD, Biểu thức sau

A AB AH. AD AF.  AC2. B AB AE. AD AF. AC2

C

AB AEAD AH AC D AB AE AD AF AC AH Lời giải

Chọn B

Vì ,E F hình chiếu vng góc C ,

AB AD nên ta có:



   

AB AE AC AB



   

AD AF AC AD

Suy ra:     

       

AB AE AD AF AC AB AD AC (*)

Do AC đường chéo lớn nên ABC900

B nằm hai điểm ,A E Suy  AB AE AB AE

Tương tự ta có: D nằm hai điểm ,A F Suy  AD AF AD AF Vậy đẳng thức (*) trở thành: AB AE AD AF AC2

Email: thuy.tranthithanhdb@gmail.com

A

C

B D

H

(164)

Câu 363: Cho hình thang vng ABCD, đường cao ADh, cạnh đáy ABa CD, b Tìm hệ thức , ,a b h để BD vng góc trung tuyến AM tam giác ABC

A h2a a b   B h2 a b a  

C h h b  a a b h    D 2h2 a a b   Lời giải

Chọn A

Thay 1. 

2

AM  ABAC

  

, ta có:

 

AM BD  AM BD   ABAC BD  AB BDAC BD

          

(1) mà     AB BD AB AD. AB AB2  a2

và  AC BD    ADDCADABAD2DC AB  h2ab nên:  1 h2a a b  

Họ tên tác giả: Nguyễn Quang Nam Tên FB: Quang Nam Email: quangnam68@gmail.com

Câu 364: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường trịn (O, R), M điểm cung BC (

cung BC không chứa điểm A) Chọn đẳng thức đẳng thức sau:

A MAMB.sinCMC.sinB B MAMB.cosCMC.cosB

C MAMB.sinB MC sinC D MAMB.cosB MC cosC

Lời giải: h

b a

M A

D

B

(165)

sinA sin sin

2 ( sin sin sin )

2 0

MA B MB C MC

MA MB MC

MO A B C

MA MB MC

MO

   

    

 

   

 

Ta chứng minh sin A MA sin B MB sin C MC

MA MB MC

   

   

(*)

Thật vậy, (*) sin sinB sinC

2MB MC A MA 2MA MC MB 2MB MA MC

     

0

a b c

S MA S MB S MC

      ( đúng)

( với S S Sa, b, c diện tích tam giác MBC, MAC, MAB)

Vậy MA.sinA MB sinB MC sinC0 MA.sinAMB.sinB MC sinC(*) Theo ra: sinAsin 900 1 thay vào (*): MAMB.sinB MC .sinC

Họ Tên: Lương Thị Hương Liễu Tên FB: Hương Liễu Lương Email: lieuluong.290983@gmail.com

Câu 365: Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c M trung điểm BC, D chân đường

phân giác góc A Tính AD2

A

   

2 4

2

c

AD p p a

b c

 

 

B

   

2

2 4bc

AD p a

b c

 





C

   

2

2 4bc

AD p p a

b c

 





D

   

2

2 4bc

AD p p a

b c

 





Lời giải

Chọn D

* Vì M trung điểm BC nên 1 

2

AM AB AC

  

O A

B

C

M

M A

(166)

Suy 1 2 2

4

AM  AB AC  AB  ABACAC 

 

     

Ta có 2  2

2

AB AC AB AC  AB AC 

 

     

2 2

1

2AB AC CB 

  

   

2 2

1

2 c b a

   nên

   

2 2

2 1 2 1 2 2 2 2

2

4

b c a

AM c c b a b

 

 

      

 



* Theo tính chất đường phân giác BD AB c DC  AC b Suy BD BDDC cDC

DC b

 

  

(*) Mặt khác BDAD AB

  

DC ACAD

  

thay vào (*) ta

   

     

   

    

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

c

AD AB AC AD b c AD bAB cAC

b

b c AD bAB bcABAC cAC

b c AD b c bc c b a c b

bc

AD b c a b c a

b c

      

    

      

     



           



Hay

   

2

2 4bc

AD p p a

b c

 





Họ tên tác giả: Phạm Thành Trung Tên FB: Phạm Thành Trung Email: trungthuong2009@gmail.com

(167)

A 1m B 2m C 3m D 2m Lời giải

Chọn B

+ Đặt OBx OA;  y x y( , 0) Khi theo định lý cosin ta có:

2 2 2 cos 300 2 3

AB x y  xy x y  xy

Do ta có hệ thức: x2y2 3xy1

Xét phương trình bậc hai: y2 3xyx2 1 Phương trình có nghiệm y 2

3x 4(x 1) 0 x        

Vậy học vị trí xa mà học sinh đạt cách O khoảng 2m

Câu 367: Cho tam giác ABC có AB= c,BC=a,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL

và

2 CM

AL  Tính cosA

A cos

2

A B cos

4

A  C cos

2

A D cos

2 A Lời giải

Chọn D

Ta có: AL b AB c AC

b c b c

 

 

  

2

CA CB AB AC

CM    

    

Theo giả thiết: ALCM  AL CM 0

  

2 2

2 cos cos

2 cos ( cos 1)

b AB c AC AB AC bc bc A cb A cb

c b A c b do A

        

       

   

Khi đó:

2 2 2

2

b a c a b

CM     

O

(168)

 2    

2 1 2 2

2

9 9

AL   ABAC  AB AC   AB AC  b a

2 2

2

2 2

3

2

CM CM a b

a b

AL AL b a



     



2 2 2

2

5

cos

2

b c a b a

A

bc b

  

  

doantv.toan@gmail.com

Câu 368: Cho hình chữ nhật ABCD có AB1;CD3 Điểm M thuộc cạnh AD N trung điểm BC

sao cho MNBD Phân số tối giản m BN

n  NC có mn

A 29 B 18 C 16 D 27

(Họ tên tác giả: Trần Văn Đoàn, Tên FB: Trần Văn Đoàn) Lời giải

Chọn B

Ta có BD(BABC)   

m BN BN m m

BN BC k BC

n  NC  BC  mn  m n 

  

1

MNMAABBNk BCAB

 

(169)

Câu 369: Cho tam giác ABC có ABc; BCa, CAb Gọi M trung điểm AB D chân đường phân giác góc A tam giác ABC Biết trung tuyến CM vng góc với phân giác AD Khi đẳng thức sau đúng?

A b2c B c2b C a b c D c a b

Lời giải

Chọn B

Ta có D chân đường phân giác góc A nên DB AB c DC  AC b DB



, DC ngược hướng suy DB cDC b DB c DC b

    

    

Ta có: AD b AB c AC

b c b c

  

 

 

Vì CM trung tuyến nên

2

CA CB AB AC

CM    

    

Theo giả thiết: ALCM  AL CM 0

b AB c AC  AB 2AC

    bc2bc2cosA2cb2cosA2cb2 0 c 2b1 cosA c (b docosA 1)

       

Vậy c2b

Câu 370: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) M điểm cung nhỏ BC Khi

A MAMBMC B MAMBMC

C MAMB MC D MA2MB MC Lời giải Chọn A

Ta có

2 2 2

2

( )

2

R OA OM MA R MA OM OA

MA

MA OM MA MA OM

MA

     

     

       

Tương tự

2 .MB

MB OM

MB

 

 

2 .MC

MC OM

MC

 

 

Suy MA MB MC 2OM( MA MB MC)

MA MB MC

       

(170)

Vì MA MB MC; ; MA MB MC 

  

véc tơ đơn vị đôi tạo với góc 1200 nên

MA MB MC

   

   