Phương trình và hàm số bậc 4

Trong trường hợp đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này.. Định a để đồ thị có hai điểm uốn.[r]

PHÖÔNG TRÌNH VAØ HAØM SOÁ BAÄC I CAÙCH GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN Ta thường gặp các dạng đặc biệt sau : Daïng 1: Phöông trình truøng phöông ax4 + bx2 + c = (1) Ñaët t = x2, ta coù phöông trình : at2 + bt + c = (1’) Nghiệm dương (1’) ứng với nghiệm (1) Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là phương trình (1’) có ít nghiệm khoâng aâm ⎧ t = x2 ≥ ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) ⇔ ⎨ ⎩ f (t ) = at + bt + c = t = x2 ⇔ x = ± t ⎧Δ >0 ⎪ (1) coù nghieäm ⇔(1/ ) coù nghieäm döông ⇔ ⎨ P > ; ⎪S> ⎩ ⎧P = ⎩S> (1) coù nghieäm ⇔(1/ ) coù nghieäm döông vaø nghieäm baèng ⇔ ⎨ ⎧Δ=0 (1) coù nghieäm ⇔(1/ ) coù nghieäm döông ⇔ P < hay ⎨ ; ⎩ S /2>0 (1) coù nghieäm ⇔( (1/ ) coù nghieäm thoûa t1 < = t2 ) hay ( (1/ ) coù nghieäm thoûa t1 = t2 = ) ⇔ ⎧P=0 hay ⎨ ⎩S <0 ⎧Δ=0 ⎨ ⎩ S /2=0 (1) voâ nghieäm ⇔(1/ ) voâ nghieäm hay ( 1/ ) coù nghieäm aâm ⎧Δ ≥ ⎧P>0 ⎪ ⇔ Δ < ∨ ⎨P > ⇔ Δ < ∨ ⎨ ⎩S <0 ⎪S< ⎩ ⎧ < t1 < t ⎩ t = t1 ( ) coù nghieäm laø CSC ⇔ ⎨ Lop12.net ⎧ t = t1 ⎪ Giaûi heä pt : ⎨ S = t1 + t ⎪ P = t t ⎩ Phương trình bậc có tính đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (2) * Neáu a = 0, ta coù phöông trình x(bx + cx + b) = * Neáu a ≠ 0, ta coù phöông trình töông ñöông : Daïng : ⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ a⎜ x + ⎟ + b⎜ x + ⎟ + c = x⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ Ñaët t = x + phöông trình cho vieát thaønh x a(t2 – 2) + bt + c = (2’) với ⏐t⏐≥ Chuù yù : Khi khaûo saùt haøm soá : t = x + , ta coù : x * Một nghiệm lớn phương trình (2’) tương ứng với nghiệm dương phöông trình (2) * Một nghiệm nhỏ phương trình (2’) tương ứng với nghiệm âm phöông trình (2) * Một nghiệm t = phương trình (2’) tương ứng với nghiệm x = phương trình (2) * Một nghiệm t = – phương trình (2’) tương ứng với nghiệm x = –1 phương trình (2) * phöông trình t=x+ voâ nghieäm ⏐t⏐< x Daïng : ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = (3) * Neáu a = 0, ta coù phöông trình x(bx2 + cx – b) = * Neáu a ≠ 0, coù phöông trình töông ñöông ⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ a⎜ x + ⎟ + b⎜ x − ⎟ + c = x⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ Ñaët t = x – , phöông trình cho vieát thaønh : x a(t2 + 2) + bt + c = (3’) với t ∈ R Chuù yù : phöông trình t = x – Daïng : có nghiệm trái dấu với t x (x + a)4 + (x + b)4 = c (C) a+b a−b Ñaët t = x + , t ∈ R thì với α = pt (C) vieát thaønh : 2 (t – α)4 + (t + α)4 = c ⇒ phương trình trùng phương đã biết cách giải và biện luận Daïng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm đk cuûa t baèng BBT I I TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HAØM BẬC Cho hàm bậc : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c có đồ thị (C) Lop12.net Giả sử a > 0, (C) có trục đối xứng ta tìm các số α, β, γ, m cho : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (αx2 + βx + γ)2 + m ∀x ∈ R Dùng đồng thức cho ta có các hệ số α, β, γ, m III CỰC TRỊ CỦA HAØM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4 + bx2 + c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = ⇔ 2x(2ax2 + b) = ⎡x=0 (1) (2) ⇔ ⎢ ⎢⎣ 2ax + b = Hàm số có cực trị ⇔ (2) coù nghieäm phaân bieät khaùc ⇔ a.b < Hàm số có đúng cực trị ⇔ (2) vô nghiệm có nghiệm kép có nghiệm ⎡ a = vaøb ≠ ⇔ ⎢ a ≠ vaøab ≥ ⎣ IV.CỰC TRỊ HAØM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y’ = ⇔ x(4ax2 + 3bx + 2c) = ⎡x=0 ⇔ ⎢ ⎢⎣ 4ax + 3bx + 2c = (3) Khi a > 0, ta có : Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ (3) voâ nghieäm hay (3) coù nghieäm keùp hay (3) coù nghieäm x = Khi a < 0, ta có: Hàm số có cực đại mà không có cực tiểu ⇔ (3) voâ nghieäm hay (3) coù nghieäm keùp hay (3) coù nghieäm x = 1) 2) 3) TOÁN ÔN VỀ HAØM SỐ BẬC Cho hàm số bậc có đồ thị (C a ) với phương trình : y = x4 + 8ax3 – 4(1 + 2a)x2 + I Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (Co) Xác định tọa độ điểm uốn Định m để tiếp tuyến với (Co) M có hoành độ m, cắt (Co) hai điểm P, Q khác điểm M Có giá trị nào m để M là trung điểm đoạn PQ Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn PQ m thay đổi điều kiện câu II Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = − 4) 5) 6) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Cho đường thẳng ( D ) có phương trình y = ax + b Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm (C) và (D) có hai nghiệm kép phân biệt α và β Tìm tọa độ hai điểm chung Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và có hệ số góc –8 Tìm tọa độ các tiếp điểm Lop12.net 7) 8) 9) III Trong phần này ta khảo sát hàm số trường hợp tổng quát Biện luận theo a số điểm cực trị hàm số Định a để hàm số có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại Trong trường hợp đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hãy viết phương trình parabol qua ba điểm cực trị này Định a để đồ thị có hai điểm uốn Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm uốn naøy BAØI GIAÛI PHAÀN I: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C0 ) Khi a = haøm soá thaønh y = x4 – 4x2 + y′ = 4x3 – 8x, y / / = 12x2 – y′ = ⇔ x = ∨ x2 = ⇔ x = ∨ x = ± ( y ( ) = 3, y ± y′′ = ⇔ x = ) = –1 ⎛ ⇔ x= ± ; 3 ( y⎜± ⎝ 6⎞ ⎟= ⎠ ) ( C0 ) có điểm cực tiểu là ± , -1 và điểm cực đại là ( 0,3) ( C0 ) coù ñieåm uoán laø ⎜ ± ⎛ ⎝ 7⎞ , ⎟ 9⎠ Bảng biến thiên và đồ thị : bạn đọc tự làm 2) ( ) Tieáp tuyeán ( D ) taïi M m , m − 4m + thuoäc ( C0 ) coù phöông trình: y = y′ ( m ) ( x - x M ) + yM hay ( y = 4m - 8m ) (x - m) + m4 – 4m2 + Phương trình hoành độ giao điểm ( D ) và ( C0 ) là ( x4 – 4x2 + = 4m - 8m ) (x - m) + m – 4m2 + (1) ( Nhaän xeùt: pt (1) chaéc chaén nhaän m laøm nghieäm keùp neân ta coù: (1) ⇔ (x - m) ( Ax + Bx + C ) = ) Lop12.net (1) ⇔ x4 – m4 – ( x - m ) = ( x - m ) ( 4m - 8m ) ⇔ x – m = ∨ x3 + mx2 + m2x + m3 – ( x + m ) = 4m3 – 8m ( ) ⇔ x=m ∨ x3 + mx2 + m - x – 3m3 + 4m = ⇔x = m ∨ ( x - m ) x + 2mx + 3m - ⇔x = m ∨ x2 + 2mx + 3m2 – = ( ) =0 Do đó, ( D ) cắt ( C0 ) điểm P, Q khác m ⇔ (3) coù nghieäm phaân bieät khaùc m ⎧⎪ m + 2m + 3m - ≠ ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ Δ′ = m - 3m + > ⎧ ⎧ ⎪m ≠ ± ⎪m ≠ ⇔⎨ ⇔ (4) ⎨ ⎪m < ⎪m < ⎩ ⎩ Để M là trung điểm PQ thì xM = x P + xQ ⇒ m = –m ⇒ m = (m = thoả (4) nên nhận) Nhaän xeùt: pt (2) chaéc chaén coù nghieäm x = m 3) I laø trung ñieåm cuûa PQ neân: ta coù xI = –m vaø ( 2yI = yP + yQ = m - 4m + ) ⇒ yI = x I – x I + Vậy quĩ tích I là phần đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + với x < vaø x ≠ ± PHẦN II: Khảo sát hàm số với a = – 4) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) a = – : độc giả tự làm Lop12.net (2) (3) a=– 5) , haøm soá thaønh y = x4 – 4x3 + 3; y / = 4x3 – 12x2 Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm y = x4 – 4x3 + ( C ) và đường thẳng: y = ax + b ( D1 ) coù nghieäm keùp phaân bieät α , β Phương trình hoành độ giao điểm ( C ) và ( D1 ) là x4 – 4x3 + = ax + b ⇔ x4 – 4x3 – ax + – b = Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ x4 – 4x3 – ax + – b = ( x - α ) maø ( x-α ) ( x-β ) 2 ( x - β) 2 ∀x ( ) = x4 –2 ( α + β ) x3 + α +β2 +4αβ x2 –2 αβ ( α + β ) x+ α2 β Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ ⎧−2 ( α + β ) = -4 ⎪ 2 ⎪α + β + 4αβ = = (α + β) + 2αβ ⎨ ⎪2αβ ( α + β ) = a ⎪ α 2β = - b ⎩ ⇔ ⎧α + β = ⎪ + 2αβ = 0( αβ = -2 ) ⎪ ⎨ ⎪a = -8 ⎪⎩3 - b = ⇒ a = – vaø b = –1 với α + β = và αβ = -2 ⇒ (α = 1- vaø β =1 + ) hay (β = 1- vaø α =1 + ) Khi đó, x = ± và y = – x – 1, ta có điểm chung là ( A 1- ) ( 3, -9 + vaø B + 3, -9 - ) 6) Gọi x là hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến có hệ số góc –8, ta có: 4x – 12x2 = – ⇔ 4x3 – 12x2 + = ⇔ x3 – 3x2 + = Lop12.net ( x - 1) ( x ⇔ ( y (1) = 0, y - - 2x -2 ) = x = hay ⇔ ) ( x = 1± ) = – + , y + = –9 – Tieáp tuyeán taïi (1,0 ) laø y = – ( x - 1) hay y = –8x + Theo caâu 5, tieáp ñieåm taïi A vaø B coù cuøng tieáp tuyeán laø y = – 8x – Toùm laïi coù tieáp tuyeán thoûa ycbt laø : y = –8x + hay y = – 8x – ( ) Caùc tieáp ñieåm laø : (1,0 ) , A - ( 3, -9 + vaø B + 3, -9 - ) PHAÀN III: 7) Số điểm cực trị hàm số là nghiệm đơn hay nghiệm bội ba đa thức: f ′ ( x ) = 4x3 + 24ax2 – (1 + 2a ) x = 4x ⎡⎣ x + 6ax - (1 + 2a ) ⎤⎦ g(x) = x2 + 6ax – 2(1 + 2a) coù : Tam thức Δ′ = 9a2 + 4a + > , ∀a neân Khi a ≠ − i) , g(x) = coù nghieäm phaân bieät khaùc 0, suy f ′ ( x ) = coù nghieäm ñôn phaân bieät có cực trị ⇒ ii) Khi a = − thì g(x) = coù nghieäm baèng vaø nghieäm khaùc ⇒ f ′ ( x ) = coù nghieäm keùp x = vaø nghieäm ñôn ⇒ có cực trị Điều kiện cần để hàm có cực trị là a = − Khi a = − , hàm đạt cực tiểu x = (Khi a = − , g(x) = ⇔ x2 = ∨ x = Lop12.net với x = là nghiệm kép và x = là nghiệm đơn) Vaäy a = − 8) Khi a ≠ − thì hàm có cực tiểu và không có cực đại , hàm số có cực trị Gọi x1, x2, x3 là hoành độ điểm cực trị a ≠ − , ta coù : x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa f ′ ( x ) = Chia đa thức f ( x ) cho f (x) = f ′ ( x ) ta coù: f ′ ( x ) [ x + 2a] – ( 6a2 + 2a + 1) x2 + ( a + 2a2 ) x + Vậy điểm cực trị thoả phương trình: ( ) ( ) y = –2 6a2 + 2a + x2 + a + 2a2 x + f ′ ( x1 ) = f ′ ( x ) = f ′ ( x ) = vì Vậy, phương trình Parabol qua điểm cực trị là : ( ) ( ) y = –2 6a2 + 2a + x2 + a + 2a2 x + 9) y′ = 4x3 + 24ax2 – (1 + 2a ) x y′′ = 12x2 + 48ax – (1 + 2a ) y′′ = ⇔ 3x2 + 12ax – (1 + 2a ) = (9) Vì (9) coù Δ′ = 36a2 + (1 + 2a ) ( ) = 6a2 + 2a + > , ∀ a nên đồ thị luôn có điểm uốn I, J có hoành độ là nghiệm phương trình (9) Hướng dẫn: giả sử chia f ( x ) cho Ta coù : f ( x ) = f ′′ ( x ) (veá traùi cuûa (9)) f ′′ ( x ) ⎡⎣ h ( x ) ⎤⎦ + Ax + B thì phương trình đường thẳng qua điểm uốn là: y = Ax + B Lop12.net ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2002 KHỐI B: (ÑH: 2,0ñ; CÑ: 2,5ñ): Cho haøm soá : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) (m laø tham soá) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m=1 Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị BAØI GIAÛI 1) m = 1, y = x – 8x + 10 (C) MXÑ : D = R y’ = 4x – 16x; y’ = ⇔ x = ∨ x = ±2 y” = 12x2 – 16; y” = ⇔ x = ± x −∞ − y" (C) + loõm 2 3 − loài +∞ + loõm ⎛ 10 ⎞ Ñieåm uoán I1 ⎛⎜⎜ − , 10 ⎞⎟⎟ , I2 ⎜⎜ , ⎟⎟ x y' y ⎝ −∞ −2 − ⎝ ⎠ ⎠ + +∞ −6 CT 0 10 CÑ 2) y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 y’ = 4mx3 + 2(m2 – 9)x − +∞ + +∞ −6 CT y 10 ⎡x = y’ = ⇔ ⎢ 2 ⎢⎣2 mx + (m − 9) = 0(*) y có cực trị ⇔ (*) coù nghieäm phaân bieät ≠ ⇔ m(m2 – 9) < ⇔ m < −3 ∨ < m < −2 O x −6 ĐỀ DỰ BỊ - NĂM 2002 – KHỐI A (2,0 ñieåm) Cho haøm soá: y = x4 – mx2 + m – (1) (m laø tham soá) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt BAØI GIAÛI 1) Khi m = ⇒ y = x4 – 8x2 + • MXÑ : D = R •y' = 4x3 – 16x = 4x(x2 – 4) y' = ⇔ 4x(x2 – 4) = ⇔ x = hay x = ±2 Lop12.net • y'' = 12x2 – 16; y'' = ⇔ 12x2 – 16 = ⇔ x2 = 16 12 x = ⇔x= ± −∞ y' −2 − y + +∞ − −∞ y'' +∞ −9 − 3 + y + -9 x +∞ +∞ loõm 3 −2 − -17/9 loài +∞ - 17/9 + loõm +∞ y O x −9 2) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt • Phương trình hoành độ giao điểm : x4 – mx2 + m – = 2 Ñaët t = x ≥ 0, t – mt + m – = Phöông trình (1) coù nghieäm phaân bieät ⇔ Phöông trình (2) coù nghieäm döông phaân bieät Lop12.net (1) (2) ⎧Δ = m2 − 4(m − 1) = (m − 2)2 > ⎧m > ⎪ ⇔ ⎨S = t1 + t = m > ⇔ ⎨ ⎩m ≠ ⎪P = t t = m − > ⎩ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - DỰ BỊ - NĂM 2004 - KHỐI A (2 điểm) Cho hàm số : y = x4 – 2m2x2 + (1) với m là tham số 1) Khaûo saùt haøm soá (1) m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác vuông cân BAØI GIAÛI 1) Khi m = thì y = x4 – 2x2 + MXÑ : D = R y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 - 1) , y’ = ⇔ x = hay x = ± y’’=12x2 – , y’’ = ⇔ x = ± 3 y(0) = ; y (± 1) = ; y( ± )= x −∞ –1 +∞ y’ – + – + y +∞ +∞ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 x −∞ y’’ − + y +∞ loõm 3 3 – loài +∞ + loõm +∞ y -1 x 2) y’ = 4x3 – m x; y’ = ⇔ x = hay x = ± m Hàm có cực trị ⇔ m ≠ Gọi A (0;1) ; B, C là điểm cực trị có hoành độ là ± m suy tung độ B và C là – m4 uuur uuur ⇒ AB = (− m ; − m ) vaø AC = ( m ; − m ) Vì y laø haøm chaün neân → → AC = AB Do đó, yêu cầu bt ⇔ m ≠ và AB.AC = ⇔ m ≠ vaø – m2 + m8 = ⇔ m6 = ⇔ m = ±1 Lop12.net DỰ BỊ KHỐI B NĂM 2005: (2 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = x − x + Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x − x − log m = 1/ Khaûo saùt y = x − 6x + MXÑ: D= R ( ) y / = 4x3 − 12x = 4x x − ,y / = ⇔ x = hay x = ± y / / = 12x − 12,y / / = ⇔ x = ±1 BBT x y' y '' y −∞ -1 − + + + 0 + - - + +∞ -4 0 -4 2/ Tìm m để pt x − 6x − log2 m = có nghiệm phân biệt x − 6x − log2 m = ⇔ x − 6x + = log2 m + Ñaët k = log2 m + Ycbt ⇔ đường thẳng y= k cắt (C) điểm phân biệt ⇔ −4 < log2 m + < ⇔ −9 < log2 m < ⇔ Lop12.net + + +∞ Đồ thị ⇔ −4 < k < +∞ < m <1 29 BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ : I ( ÑH KT QUOÁC DAÂN HAØ NOÄI, NAÊM 9 ) Cho haøm soá : y = (2 − x )2 (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A (0; ) II ( ĐH QG TP HCM ( đợt ) , NĂM 9 8) Cho hàm số : y = m2 x4 – x2 + m (1) với m là tham số khác không 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Khảo sát biến thiên hàm số (1) m ≠ Từ đó xác định m cho m2 x4 – x2 + m ≥ với số thực x III ( ĐH Y DƯỢC TP HCM , NĂM 9 8) Cho hàm số : y = –x4 + (m + 1) x2 – 2m –1 (1) với m là tham số 1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng 2) Gọi (C ) là đồ thị hàm số (1) m = Tìm tất các điểm trên trục tung cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với ( C ) ThS PHAÏM HOÀNG DANH TT luyện thi chất lượng cao Vĩnh Viễn Lop12.net