de thi gvg cap huyen4

Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.. Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ..[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) 1 + 1+ √ a+1 1− √2 a −1 x+ z ¿2 ¿ ¿ và 49 ¿ √ 7− x+ √ x +1=x −6 x +13 Tính giá trị biểu thức M = Biết a = x + y x+ z Giải phương trình Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình (1) mà không phụ thuộc vào m Tìm giá trị nhỏ P = x21 + x22 (với x1, x2 là nghiệm phương trình (1)) Câu 3: (4,0 điểm) 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= + √ 3+ √ + √5+ √ B = 35 + 335 + 3335 + + + .+ √ 7+ √9 3333 35 ⏟ √ 97 + √ 99 99sè 2) Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên 2x2 + 2x = 4y3 + z2 + Câu 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) và (O’) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O’) điểm thứ hai C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) điểm thứ hai E, F Chứng minh ba đường thẳng AB, CE và DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ là tiếp tuyến chung (O) và (O’) (P Î (O), Q Î (O’)) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ Câu 5: (2,0 điểm) 1) Cho biểu thức: B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 Tính giá trị B với x = 21 1 x 2) Cho các số x, y, z dương thoả mãn Chứng ming rằng: x+ y+z + x +2 y + z + + + y x + y +2 z z =4 -Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Đáp án gồm: 02 trang II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm Điều kiện a ≥ ; a ≠1 0,25 Sau quy đồng rút gọn ya được: M =− a 0,75 Mặt khác theo giả thiết ta có 1 0,25 0,25 Kết hợp điều kiện => a = Vậy M= − 0,25 Điều kiện −1 ≤ x ≤7 0,25 Áp dụng BĐT (ax + by)2 Nên vế trái còn vế phải 0,25 a 7−a 7+ a = = = x+z x+ y z − y 2x+ y+z x+ z ¿2 ¿ 7 7−a 7+ a ¿ = x+ z x+ z z − y x+ y + z ¿ 49 − a 13 = (z − y)( x + y + z) (z − y )(2 x + y + z ) ¿ ¿ ¿ 49 ¿ 0,25 (a2 + b2)(x2 + y2) ( √ − x + √ x +1 ) ≤ √(1+ 1)(7 − x+ x +1)=4 x2 - 6x +13 = (x - 3)2 + 4 0,25 0,25 Dấu “=” xảy x = Để √ 7− x+ √ x +1=x −6 x +13 thì x2 - 6x +13 = ⇔ x = Ta thấy x = thoả mãn điều kiện Vậy nghiệm phương trình là x = 2 ' Δ = m2 –3m + = (m - ) + >0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt ∀ m 0,5 0,25 Theo ViÐt: ¿ x 1+ x 2=2(m−1) x1 x 2=m− ¿{ ¿ => ¿ x 1+ x2 =2m −2 x x2 =2m −6 ¿{ ¿ <=> x1+ x2 – 2x1x2 – = kh«ng phô thuéc vµo m P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) = (2m - )2 + 15 15 ≥ ∀m 4 1 1 + + + .+ √3+ √5 √ 5+ √7 √ 7+ √9 √97 + √ 99 = ( √ 5− ❑√ + √ 7− √ + √ − √ + .+ √ 99 − √ 97 ) = ( √ 99 − √ ) A= ( √ 99 − √ ) 3333 35 ⏟ 0,25 0,25 0,25 0,5 A= B = 35 + 335 + 3335 + + 99sè 0,5 = = 33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) ( 99+999+9999+ +999 99) = 198 + ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) 101 10 −10 = 198 – 33 + 30 = 198 + ( 0,5 B= ( 0,5 ) 10101 −10 30 ) +165 0,5 Đẳng thức trên viết lại z2 = 2x(x + 1) - 4y3 + (1) 0,5 = 2x(x + 1) - 4y3 - z2 (2) Vì 2x(x + 1) ⋮ 4; 4y ⋮ và ⋮ nên từ (1) suy z2 ⋮ (Vì là số nguyên tố) ⇒ Do z ⋮ ⇒ z ⋮ 0,5 z2 ⋮ Như vế phải pt (2) chia hết cho 4, còn vế trái pt (2) chia cho dư Vậy không có số nguyên x, y, z nào thoả mãn 4x2 + 4x = 8y3 - 2z2 + 0,5 0,5 0,5 Ta có : ABC = 1v ABF = 1v Þ B, C, F thẳng hàng AB, CE và DF là đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy 0,5 0,5 0,5 ECA = EBA (cùng chắn cung AE (O) Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh) 0,5 0,5 Þ EBA = AFD hay EBI = EFI Þ Tứ giác BEIF nội tiếp 0,5 Gọi H là giao điểm AB và PQ Chứng minh các tam giác AHP và PHB đồng dạng HP HA  Þ HB HP Þ HP2 = HA.HB 0,5 Tương tự, HQ2 = HA.HB Þ HP = HQ Þ H là trung điểm PQ 0,5 Ta có x = 0,5 21  1    21  1 21  21  0,25 0,25 0,25 3 2 2 17  12 Þ x2 = 16 ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = 29  41 32 29  41 17  12 2 32 16 Xét 4x + 4x – 5x + 5x – = + - + 21 -2 29  41  34  24  25  35  20  20  16 = = -1 0,25 Với a, b thuộc R: x, y > ta có a2 b2 ( a+b ) + ≥ (∗) x y x+ y 0,25 2 ⇔ (a y + b x)(x + y) ( a+b )2 xy  a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy  a2y2 + b2x2  2abxy 0,25  a2y2 – 2abxy + b2x2   (ay - bx)2  (**) 0,25 Bất đẳng thức (**) đúng với a, b, và x, y > a b  x y Dấu (=) xảy ay = bx hay Áp dụng bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2 2 1 1 1  1 1 1  1              2 2 2 4 4          2x  y  z 2x  y  z x  y x  z xy xz 2 2  1  1  1  1          1 4 4 4              x y x z 16  x y z  1 1 1      Tơng tự x  y  z 16  x y z  1  1 2      x  y  z 16  x y z  Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1  1     1  0,25                x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  16  x y z  16  x y z   4 4  1 1            1 16  x y z  16  x y z  1   4 Vì x y z Suy Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm - Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần và làm tròn số đến 0,5đ