Đề thi HSG cấp tỉnh 10-11 môn Toán

[r]

Sở Giáo dục Đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Long An Mơn thi : Tốn

(Đề thức) Ngày thi : 07/4/2011

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đáp Án

Bài (4 điểm) 1/ (2 điểm)

A =

3 5

2 2

 



   

Nhân tử mẫu phân thức cho ta có:

A=

2(3 5) 2(3 5) 6

 



    ……… ………….0,5 đ

A=

2

3 5

2

4 ( 1) ( 1)

   

  

     

 ……….… 0,5 đ

A=

3 5

2( )

5 5

 



  ……….…0,25 đ

A =

(3 5)(5 5) (3 5)(5 5)

(5 5)(5 5)

      

 

 

 ……….…0,25 đ

A =

15 5 5 15 5 5

25

      

 ……… 0.25 đ

A = 20

20

A = ……… … 0,25 đ

2/ Cho biểu thức:

B = x 2 4 x

Tìm giá trị lớn biểu thức B giá trị x tương ứng(2 điểm)

Với điều kiện xác định: 2 x 4 Ta có B0 ……….….…0,25 đ B2 = +2 (x 2)(4 x)……….… 0,25 đ Ta có:( x 2 4 x)20

 x-2+4-x2 (x 2)(4 x)………0,25 đ

Do đó: B2 =2 +2 (x 2)(4 x) 2+2 ………0,25 đ

 B2 4……… 0,25 đ

 B2………0,25 đ

Vậy B lớn 2……….0,25 đ

Nên H tâm đường tròn nội tiếp tam giác

DEF……… … 0,25 đ Bài (5 điểm)

1/ (2 điểm)

(P) y=ax2 qua M(-1;2) a=  (P): y=2x2 ……… 0,5 đ

A,B thuộc (P) A(1;2) ,B(2;8)……… 0,5 đ

Đường thẳng y=ax+b qua A B ta có : a+b = 2a+b =8……….0,5 đ

Giải ta có a = ,b =-4 Vậy đường thẳng AB có dạng : y =6x-4……….0,25 đ

Đường thẳng y = mx+5 song song đường thẳng AB  m =6……… 0,25 đ

2/ Tìm x :

2 1(2 2 1)

4

x   x  x  x x  x

(3 điểm)

 2

2 (2 2) (2 1)

4

x   x  x  x x  x

……… …….0,5 đ  4x2 1 4x24x 1 (x21)(2x1)……… … 0,25 đ



2

(2x1)(2x1) 2 x1 (x 1)(2x1)

……….…….0,25 đ

Vế trái không âm, x2+1 dương nên 2x+1 không âm……….…….0,25 đ

 (2x1)(2x1) 2(2 x1) ( x21)(2x1)……….……0,25 đ

 (2x1)(2x1) ( x21)(2x1)

……….0,25 đ

 (2x1)2 (x21)(2x1)……….0,25 đ

 2x 1 (x21)(2x1)……… ….0,25 đ

b / Chứng minh :: S =

AB AC BC

R (1,5 điểm)

Tam giác vuông ABD đồng dạng tam giác vng AKC ABCˆ AKCˆ (cùng chắn cung AC)

AB AD AK AC

 

……… ……0,5 đ

 AB.AC = AK.AD =2R.AD……… 0,25 đ

 AD = AB AC

R ………0,25 đ

Mà S = BC AD

………0,25 đ

=

AB AC BC

R ………0,25 đ

c/ Chứng minh DFEM nội tiếp (2 điểm)

Tam giác BEC vng E có EM trung tuyến nên tam giác BME cân M  MEB MBEˆ  ˆ ……… … 0,25 đ Mà MBE CADˆ  ˆ (cùng phụ ACBˆ )……… 0,25 đ

Nên MEB CADˆ  ˆ (1)……… 0,25 đ

Ta có : BEFˆ FAHˆ (cùng chắn cung FH)(2)……… 0,25 đ Từ (1) (2) ta có MEFˆ EAFˆ ………0,25 đ

ˆ ˆ

EAF BHF(cùng bù FHEˆ )………0,25 đ

Mà BHFˆ FDBˆ (cùng chắn cung BF)………0,25 đ Nên MEFˆ FDBˆ

Vậy tứ giác DFEM nội tiếp……… 0,25 đ

A

B C

E F

D

H O M

Các cách làm khác cho điểm tương đương Bài (3 điểm)

Ta có :SABC = SMBC + SMAB + SMAC 0,25 đ

 SABC =

2 (ax+by +cz )………

0,25 đ

2SABC.P =(ax+by+cz)(

a b c x yz )

A bcyzM xC B