Đề thi HSG cấp tỉnh 18 môn Toán lớp 9 (kèm đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN LỚP 9.SỞ GDĐT VĨNH PHÚCĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 20172018ĐỀ THI MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: Chứng minh đẳng thức: Câu 3 (2,0 điểm). Tìm số tự nhiên sao cho Câu 4 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các số nguyên.Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH.AD. b) Tính số đo góc Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.Câu 9 (2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Câu 10 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.HếtThí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GDĐT VĨNH PHÚCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 – 2018HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức Nội dung trình bàyĐiểmĐiều kiện: 0,5Khi đó: 0,5 0,5 0,5Câu 2(2,0 điểm). Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: Chứng minh đẳng thức: Nội dung trình bàyĐiểmTa có: 0,5 0,5 0,5 0,5Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên sao cho Nội dung trình bàyĐiểmTa có: 0,5Vì và nên 0,25 . Thay vào (1) ta được: 0,25Lập luận tương tự ta có: 0,25 Thay vào (2) ta được: 0,25Mà và .0,25Vậy 0,25Câu 4(2,0 điểm).Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các số nguyên.Nội dung trình bàyĐiểmTừ phương trình thứ hai ta có: x = 2 – 2y thế vào phương trình thứ nhất được: 0,25 (3)0,25Hệ có nghiệm là các số nguyên có nghiệm là số nguyên.0,25Với có nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25Vậy có 2 giá trị thoả mãn là 1; 2.0,25Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình Nội dung trình bàyĐiểmĐiều kiện xác định 0,25Với điều kiện (), phương trình đã cho tương đương với: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25Đối chiếu với điều kiện () ta được 0,25Câu 6(2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, Mlà trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Nội dung trình bàyĐiểmTa có . Gọi E là giao điểm của BI với AC. 0,5Theo tính chất đường phân giác ta có: 0,25 0,25Ta có do: ; ; IC chung. 0,25Suy ra: 0,25Mặt khác hai tam giác đồng dạng0,25 0,25Câu 7(2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng b) Tính số đo góc Nội dung trình bàyĐiểma)Ta có 0,25 ∽ 0,25 0,25 0,25b) Ta có: ∽ 0,25Từ (1) và (2) ta có: 0,25Ta lại có: nên ∽ 0,25Từ đó suy ra: 0,25Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Nội dung trình bàyĐiểmGọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O nên .0,25Ta có: Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn có tâm Icố định, đường kính OC cố định. 0,25Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của đường tròn .0,5Nếu Với 0,25 Với , do . 0,25Khi đó thẳng hàng. Suy ra 0,25Vậy ta luôn có: hoặc hoặc do đó H thuộc đường tròn đường kính BE cố định.0,25Câu 9(2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Nội dung trình bàyĐiểmVới ta có : , . Đẳng thức xảy ra khi 0,25Ta có: 0,5 Đẳng thức xảy ra khi 0,25Tương tự: Đẳng thức xảy ra khi 0,25 Đẳng thức xảy ra khi 0,25Vậy 0,25 Đẳng thức xảy rakhi . Vậy BĐT được chứng minh.0,25Câu 10 (2,0 điểm).Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. Nội dung trình bàyĐiểmGiả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho 0,5Từ ta suy ra được: 0,25 suy ra E cố định và d đi qua E.0,5Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho .Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H.0,25Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít nhất đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505 đường thẳng đó đồng quy.0,5Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)Câu I (4,0 điểm).1. Cho biểu thức: , với x > 0, x 1 Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.2. Tính giá trị của biểu thức tại Câu II (4,0 điểm).1. Biết phương trình: (m – 2)x2 – 2(m – 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2. Giải hệ phương trình: Câu III (4,0 điểm).1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố và p – 5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p.Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, Ia . Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC, P là điểm chính giữa cung BAC của (O), PIa cắt (O) tại điểm K. Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O.1. Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp.2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP 3. Chứng minh: .Câu V (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z . Chứng minh rằng: HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCSThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM(Gồm có 05 trang)CâuNỘI DUNGĐiểmI4,0 điểm1. Cho biểu thức , với Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên2,5Với điều kiện , ta có: 0,50 0,50 0,50 0,50Ta có với điều kiện Do nguyên nên suy ra (loại). Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. 0,50Chú ý 1: Có thể làm theo cách sau , coi đây là phương trình bậc hai của . Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có Do P nguyên nên (P – 1)2 bằng 0 hoặc 1+) Nếu không thỏa mãn.+) Nếu không thỏa mãnVậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.0,502. Tính giá trị của biểu thức tại 1,5Vì 0,50nên là nghiệm của đa thức 0,50Do đó 0,50Chú ý 2: Nếu học sinh không thực hiện biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để thay số và tìm được kết quả đúng thì chỉ cho 0,5 đ.II4,0 điểm1. Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2,0Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi Khi đó 2 nghiệm của phương trình là 0,50Hai nghiệm đó là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông suy ra hoặc .0,50Từ hệ thức trong tam giác vuông ta có 0,50Với (thỏa mãn)Với (loại) Vậy là giá trị cần tìm.0,502. Giải hệ phương trình: 2,0ĐKXĐ: Chia phương trình (1) cho ta được hệ 0,25 0,50Đặt (ĐK: ), ta có hệ 0,25Từ (4) rút , thế vào (3) ta được hoặc . Trường hợp loại vì 0,25Với (thỏa mãn). Khi đó ta có hệ 0,25Giải hệ trên bằng cách thế vào phương trình đầu ta được . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0,50III4,0 điểm1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2,0 Ta có 0,25 0,25 0,50Nhận thấy nên ta phải phân tích số 56 thành tích của ba số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại.0,25Như vậy ta có 0,25 0,25 Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên như trên.0,25Chú ý 3: Học sinh có thể biến đổi phương trình đến dạng (được 0,5đ), sau đó xét các trường hợp xảy ra.Khi đó với mỗi nghiệm đúng tìm được thì cho 0,25 đ (tối đa 6 nghiệm = 1,5 đ)2. Cho là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố và p5 chia hết cho 8. Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số chia hết cho p.2,0Do nên Vì nên 0,50Nhận thấy 0,25Do và nên 0,25Nếu trong hai số có một số chia hết cho thì từ () suy ra số thứ hai cũng chia hết cho .0,50Nếu cả hai số đều không chia hết cho thì theo định lí Fecma ta có : . Mâu thuẫn với (). Vậy cả hai số và chia hết cho .0,50IV6,0 điểmCho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác với các tâm tương ứng là . Gọi là tiếp điểm của với , là điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và là điểm đối xứng của qua 1. Chứng minh: là tứ giác nội tiếp2,0 là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , từ đó suy ra ( Phân giác trong và phân giác ngoài cùng một góc thì vuông góc với nhau). 1,0Xét tứ giác có Từ đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . 1,02. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2,0Nhận thấy bốn điểm thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác của ). Do là đường kính của nên , là trung điểm của nên tại 0,25Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 0,25Vì là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác ABI nên = 0,25Xét (O): (cùng chắn cung NC) 0,25 0,25Từ (1) và (2) ta có = nên tam giác cân tại Chứng minh tương tự tam giác NIC cân tại N0,25Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , cũng chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 0,25Vậy là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,253. Chứng minh: .2,0Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB.Xét hai tam giác có: đồng dạng với . 0,50Suy ra mà: , nên 0,50Ta có: nên suy ra đồng dạng với (1).0,50Do là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên (2)0,25Từ (1) và (2) ta có 0,25V2,0 điểmCho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng 2,0Ta có 0,25 , trong đó 0,25Nhận xét rằng 0,25Xét 0,25Do đó Đẳng thức xảy ra khi a = b.0,25Khi đó 0,25 0,25Từ và suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 0,25 Hết Chú ý: Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm. Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao

đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức P a a a a a a a

2

1 1

2018 1

z x z

y y

z x x

) (

) (

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên sao cho

Câu 4 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các sốnguyên

Câu 5 (2,0 điểm) Giải phương trình

Câu 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I là giao

điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Chứng

minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI

Câu 7 (2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN

a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH.AD

b) Tính số đo góc

Câu 8 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc

đường tròn (O) Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Câu 9 (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 111 2

c b

Chứng minh rằng:

Câu 10 (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều

kiện:

1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.

2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 13

Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

-Hết -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LỚP 9 NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức P a a a a a a a

2

1 1

2018 1

Câu 2(2,0 điểm)

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xy x y z2; x y  z;yz

Chứng minh đẳng thức:

z y

z x z

y y

z x x

) (

) (

Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên sao cho

Vậy 0,25

Câu 4(2,0 điểm).Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các số nguyên.

Từ phương trình thứ hai ta có: x = 2 – 2y thế vào phương trình thứ nhất được: 0,25

Hệ có nghiệm là các số nguyên có nghiệm là số nguyên 0,25

0,250,250,250,25

Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình

Điều kiện xác định

0,25

Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với: 0,25

0,250,250,250,250,25

Câu 6(2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I là giao

điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, Mlà trung điểm của cạnh BC Chứng

minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI

Nội dung trình bày Điểm

Theo tính chất đường phân giác ta có:

0,250,25

Từ đó suy ra: 0,25

Câu 8 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc

đường tròn (O) Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O

0,25

Ta có: Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn có

tâm Icố định, đường kính OC cố định

1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.

2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 13

Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm

của AB, BC, CD, DA Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã

cho thỏa mãn yêu cầu bài toán Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn

thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho

0,5

suy ra E cố định và d đi qua E.

0,5

Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho

Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải

đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H.

0,25

Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có 0,5

ít nhất đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505 đường thẳng đó đồng quy.

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

2 Tính giá trị của biểu thức

x x

x x

x x P

3 2

1 2 2

) 1 ( 4

2

2017 2018

3 2

1 Biết phương trình: (m – 2)x2 – 2(m – 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ

dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh

huyền của tam giác vuông đó bằng 25

0 5 ) 13 4

8 8 ( )

y x x

xy y

x y x

Câu III (4,0 điểm).

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x

2 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố và p – 5

chia hết cho 8 Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 - by2 chia hết cho p Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p.

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia) theo thứ tự là các đường tròn ngoạitiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâmtương ứng là O, I, Ia Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC, P là điểm chính giữa cung BAC của(O), PIa cắt (O) tại điểm K Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P quaO

1 Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP

3 Chứng minh:

Câu V (2,0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  z Chứng minh rằng:

- HẾT

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

x x x

x x x

x x

x

x x P

Ta có với điều kiện

Do nguyên nên suy ra (loại)

Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.

Do P nguyên nên (P – 1)2 bằng 0 hoặc 1

0,50

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

2 Tính giá trị của biểu thức tại 1,5

Chú ý 2: Nếu học sinh không thực hiện biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để

thay số và tìm được kết quả đúng thì chỉ cho 0,5 đ

II

4,0

điểm

1 Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là

độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm m để độ dài

đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng

2,0

nghiệm khi và chỉ khi Khi đó 2 nghiệm của phương trình là 0,50

Hai nghiệm đó là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông suy ra

) 1 ( 0 5 ) 13 4

8 8 ( )

y x x

xy y

x y x

2,0

ĐKXĐ:

Chia phương trình (1) cho ta được hệ

0,25

Từ (4) rút , thế vào (3) ta được

hoặc Trường hợp loại vì

0,25

Với (thỏa mãn) Khi đó ta có hệ

0,25Giải hệ trên bằng cách thế vào phương trình đầu ta được

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Nhận thấy nên ta phải phân tích số 56 thành tích của

ba số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại 0,25Như vậy ta có

0,25

0,25

Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên như trên

0,25

Chú ý 3: Học sinh có thể biến đổi phương trình đến dạng

(được 0,5đ), sau đó xét các trường hợp xảy ra.

Khi đó với mỗi nghiệm đúng tìm được thì cho 0,25 đ (tối đa 6 nghiệm = 1,5

đ)

2 Cho là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố và

p-5 chia hết cho 8 Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn chia hết

cho p Chứng minh rằng cả hai số chia hết cho p.

2,0

Nếu cả hai số đều không chia hết cho thì theo định lí Fecma ta có :

Mâu thuẫn với (*) Vậy cả hai số và chia hết cho

0,50

IV

6,0

điểm

Cho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp,

đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác

với các tâm tương ứng là Gọi là tiếp điểm của với , là

điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm Gọi là giao

điểm của và là điểm đối xứng của qua

là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A và I là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ABC , từ đó suy ra

( Phân giác trong và phân giác ngoài cùng một góc thì vuông góc với nhau)

1,0Xét tứ giác có

Từ đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính 1,0

2 Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2,0

Nhận thấy bốn điểm thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác của

)

Do là đường kính của nên , là trung điểm của nên

tại

0,25

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 0,25

Vì là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác ABI nên = 0,25

Từ (1) và (2) ta có = nên tam giác cân tại

Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , cũng chính là tâm

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,25

Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB.

Xét hai tam giác có:

đồng dạng với

0,50

Ta có:

Do là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tựphân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án.

- Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không

chấm.

- Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm

Bài 2.(2.0 điểm)

Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân số xã A

là 10404 người Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ?

1 ( 1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 (

z

y x

z y

x z

y x

z y

x A

ca bc

a

bc ab

Bài 1 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình

GIẢI: ĐKXĐ: x>1

Từ (1)

*Thế vào (2), ta được: x=1 (loại) hoặc x=2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=2; y=-1)

Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân

số xã A là 10404 người Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ?

GIẢI

Gọi x là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (x>0)

Số dân sau một năm: 10000(x+1)

Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1)

Vì sau hai năm số dân là 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1) =10404

Hay x +2x - 0,0404 = 0 (x=0,02 hoặc x=-2,02)

Vậy tỉ lệ tăng dân số là 2%

Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1 Tính giá trị của

1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 (

z

y x

z y

x z

y x

z y

x A

ca bc

a

bc ab

c

ab P

Để phương trình có nghiệm nguyên thì

Giải phương trình nghiệm nguyên ta được y=-15 hoặc y=17

*Với y=-15 thì x=12 hoặc x=30

*Với y=17 thì x=-18 hoặc x=-36

Vậy phương trình có 4 nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17)

Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh:

Vậy Dấu = xảy ra khi x=y=1

Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và có

AB<AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A của đưởng tròn (O) Vẽ MH

vuông góc với BC, MK vuông góc với CA, MI vuông góc với AB ( H thuôc BC, K thuộc

AC, I thuộc AB) Chứng minh:

MI

AB MK

AC MH

-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2017–2018 MÔN: TOÁN 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (4,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A 4  10  2 5  4  10  2 5

b)

ca b

bc a ab c bc

a

ca b ab c ab

c

ca b bc a B

yz z xy

Bài 4 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi

D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2+ cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)

Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính giá trị biểu thức A = f(8) + f(-4)

–––––––––––––––Hết––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh:

Số báo danh: Phòng số:

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 9

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang

1.0

B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 0.25B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 0.25B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 0.25B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên

B là số chính phương

0.25

0.25

0.25+ Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí)

=> m = 3 phương trình đã cho vô nghiệm 0.25+ Xét , phương trình (*) có nghiệm

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì

0.25Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm 0.25

B

1.5

0.250.250.250.250.25

Gọi I’ là giao của BN với DE DI’/EI’ = BD/NE (3) 0.25

Từ (1), (2), (3) => DI/EI = DI’/EI’ => I và I’ trùng nhau

*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm

*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất

*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làmtròn

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức:

Câu 2 (4,0 điểm) Cho phương trình: x2  2mx2m 1 0 .

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm.

b) Gọi x x là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1, 2

a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh 1 1 1

c) Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC, kẻ DK//AI (KAC) Chứng minh

2AK AC AB .

Câu 5 (2,0 điểm) Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh

nhân ngày thành lập đoàn 26 – 3 Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận) Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được

1 điểm và đội thua không được điểm nào Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 336 Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

1 1, 2 2 1

x  x  m  Chứng tỏ PT luôn có nghiệm m

(hoặc tính theo  để biện luận)

2b Do PT luôn có nghiệm nên theo ĐL Vi-et ta có:

Dấu = xảy ra khi 9 3

3b Từ giả thiết ta có f(2017), (2018)f là các số nguyên và x = 2017,

x = 2018 không là nghiệm của PT f x ( ) 0

Giả sử PT f x ( ) 0 có nghiệm nguyên là x a Z  , theo định lý Bơ-zu :

( ) ( ) ( )

f x  x a g x với g x( ) là đa thức hệ số nguyên không nhận x = 2017,

x = 2018 làm nghiệm

Do vậy: (2017) (2017 f   a g ) (2017), (2018) (2018 f   a g ) (2018) Nhân vế với vế và áp dụng giả thiết (2017) (2018) 2019 f f  :

2019 (2017   a g ) (2017).(2018  a g ) (2018)

Điều này là vô lý vì vế trái là số lẻ, còn vế phải là số chẵn (

(2017  a ); (2018  a ) là 2 số nguyên liên tiếp, tích là số chẵn)

Vậy f x ( ) 0 không có nghiệm nguyên (đpcm)

4a Do AI là phân giác nên  BE CE   , theo tính chất góc ngoài đường tròn, ta

có :

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp

4b Do hai tứ giác AMNC và ABEC nội tiếp, nên ta có các góc trong bằng nhau:

1 1; 1 2; 2 2

Suy ra : BC//MN//EF, CMN cân tại N

Xét tam giác CIN có CE là phân giác và EF//IC nên ta có các tỉ số