Đề thi HSG cấp tỉnh 18 môn Toán lớp 9 (kèm đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN LỚP 9.SỞ GDĐT VĨNH PHÚCĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 20172018ĐỀ THI MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: Chứng minh đẳng thức: Câu 3 (2,0 điểm). Tìm số tự nhiên sao cho Câu 4 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các số nguyên.Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH.AD. b) Tính số đo góc Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.Câu 9 (2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Câu 10 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.HếtThí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GDĐT VĨNH PHÚCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 – 2018HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức Nội dung trình bàyĐiểmĐiều kiện: 0,5Khi đó: 0,5 0,5 0,5Câu 2(2,0 điểm). Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: Chứng minh đẳng thức: Nội dung trình bàyĐiểmTa có: 0,5 0,5 0,5 0,5Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên sao cho Nội dung trình bàyĐiểmTa có: 0,5Vì và nên 0,25 . Thay vào (1) ta được: 0,25Lập luận tương tự ta có: 0,25 Thay vào (2) ta được: 0,25Mà và .0,25Vậy 0,25Câu 4(2,0 điểm).Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các số nguyên.Nội dung trình bàyĐiểmTừ phương trình thứ hai ta có: x = 2 – 2y thế vào phương trình thứ nhất được: 0,25 (3)0,25Hệ có nghiệm là các số nguyên có nghiệm là số nguyên.0,25Với có nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25Vậy có 2 giá trị thoả mãn là 1; 2.0,25Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình Nội dung trình bàyĐiểmĐiều kiện xác định 0,25Với điều kiện (), phương trình đã cho tương đương với: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25Đối chiếu với điều kiện () ta được 0,25Câu 6(2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, Mlà trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Nội dung trình bàyĐiểmTa có . Gọi E là giao điểm của BI với AC. 0,5Theo tính chất đường phân giác ta có: 0,25 0,25Ta có do: ; ; IC chung. 0,25Suy ra: 0,25Mặt khác hai tam giác đồng dạng0,25 0,25Câu 7(2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng b) Tính số đo góc Nội dung trình bàyĐiểma)Ta có 0,25 ∽ 0,25 0,25 0,25b) Ta có: ∽ 0,25Từ (1) và (2) ta có: 0,25Ta lại có: nên ∽ 0,25Từ đó suy ra: 0,25Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Nội dung trình bàyĐiểmGọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O nên .0,25Ta có: Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn có tâm Icố định, đường kính OC cố định. 0,25Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của đường tròn .0,5Nếu Với 0,25 Với , do . 0,25Khi đó thẳng hàng. Suy ra 0,25Vậy ta luôn có: hoặc hoặc do đó H thuộc đường tròn đường kính BE cố định.0,25Câu 9(2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Nội dung trình bàyĐiểmVới ta có : , . Đẳng thức xảy ra khi 0,25Ta có: 0,5 Đẳng thức xảy ra khi 0,25Tương tự: Đẳng thức xảy ra khi 0,25 Đẳng thức xảy ra khi 0,25Vậy 0,25 Đẳng thức xảy rakhi . Vậy BĐT được chứng minh.0,25Câu 10 (2,0 điểm).Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. Nội dung trình bàyĐiểmGiả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho 0,5Từ ta suy ra được: 0,25 suy ra E cố định và d đi qua E.0,5Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho .Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H.0,25Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít nhất đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505 đường thẳng đó đồng quy.0,5Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)Câu I (4,0 điểm).1. Cho biểu thức: , với x > 0, x 1 Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.2. Tính giá trị của biểu thức tại Câu II (4,0 điểm).1. Biết phương trình: (m – 2)x2 – 2(m – 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2. Giải hệ phương trình: Câu III (4,0 điểm).1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố và p – 5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p.Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, Ia . Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC, P là điểm chính giữa cung BAC của (O), PIa cắt (O) tại điểm K. Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O.1. Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp.2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP 3. Chứng minh: .Câu V (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z . Chứng minh rằng: HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCSThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM(Gồm có 05 trang)CâuNỘI DUNGĐiểmI4,0 điểm1. Cho biểu thức , với Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên2,5Với điều kiện , ta có: 0,50 0,50 0,50 0,50Ta có với điều kiện Do nguyên nên suy ra (loại). Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. 0,50Chú ý 1: Có thể làm theo cách sau , coi đây là phương trình bậc hai của . Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có Do P nguyên nên (P – 1)2 bằng 0 hoặc 1+) Nếu không thỏa mãn.+) Nếu không thỏa mãnVậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.0,502. Tính giá trị của biểu thức tại 1,5Vì 0,50nên là nghiệm của đa thức 0,50Do đó 0,50Chú ý 2: Nếu học sinh không thực hiện biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để thay số và tìm được kết quả đúng thì chỉ cho 0,5 đ.II4,0 điểm1. Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2,0Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi Khi đó 2 nghiệm của phương trình là 0,50Hai nghiệm đó là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông suy ra hoặc .0,50Từ hệ thức trong tam giác vuông ta có 0,50Với (thỏa mãn)Với (loại) Vậy là giá trị cần tìm.0,502. Giải hệ phương trình: 2,0ĐKXĐ: Chia phương trình (1) cho ta được hệ 0,25 0,50Đặt (ĐK: ), ta có hệ 0,25Từ (4) rút , thế vào (3) ta được hoặc . Trường hợp loại vì 0,25Với (thỏa mãn). Khi đó ta có hệ 0,25Giải hệ trên bằng cách thế vào phương trình đầu ta được . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0,50III4,0 điểm1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2,0 Ta có 0,25 0,25 0,50Nhận thấy nên ta phải phân tích số 56 thành tích của ba số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại.0,25Như vậy ta có 0,25 0,25 Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên như trên.0,25Chú ý 3: Học sinh có thể biến đổi phương trình đến dạng (được 0,5đ), sau đó xét các trường hợp xảy ra.Khi đó với mỗi nghiệm đúng tìm được thì cho 0,25 đ (tối đa 6 nghiệm = 1,5 đ)2. Cho là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố và p5 chia hết cho 8. Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số chia hết cho p.2,0Do nên Vì nên 0,50Nhận thấy 0,25Do và nên 0,25Nếu trong hai số có một số chia hết cho thì từ () suy ra số thứ hai cũng chia hết cho .0,50Nếu cả hai số đều không chia hết cho thì theo định lí Fecma ta có : . Mâu thuẫn với (). Vậy cả hai số và chia hết cho .0,50IV6,0 điểmCho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác với các tâm tương ứng là . Gọi là tiếp điểm của với , là điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và là điểm đối xứng của qua 1. Chứng minh: là tứ giác nội tiếp2,0 là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , từ đó suy ra ( Phân giác trong và phân giác ngoài cùng một góc thì vuông góc với nhau). 1,0Xét tứ giác có Từ đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . 1,02. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2,0Nhận thấy bốn điểm thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác của ). Do là đường kính của nên , là trung điểm của nên tại 0,25Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 0,25Vì là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác ABI nên = 0,25Xét (O): (cùng chắn cung NC) 0,25 0,25Từ (1) và (2) ta có = nên tam giác cân tại Chứng minh tương tự tam giác NIC cân tại N0,25Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , cũng chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 0,25Vậy là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,253. Chứng minh: .2,0Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB.Xét hai tam giác có: đồng dạng với . 0,50Suy ra mà: , nên 0,50Ta có: nên suy ra đồng dạng với (1).0,50Do là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên (2)0,25Từ (1) và (2) ta có 0,25V2,0 điểmCho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng 2,0Ta có 0,25 , trong đó 0,25Nhận xét rằng 0,25Xét 0,25Do đó Đẳng thức xảy ra khi a = b.0,25Khi đó 0,25 0,25Từ và suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 0,25 Hết Chú ý: Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm. Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)  a  2018 a  2018  a    Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức P   a a  a  a    Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: x  y  x  y  z ; x  y  z ; y  z  Chứng minh đẳng thức: x ( x  y ( y  Câu (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên z) x  z) y  z z cho Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình (m tham số x,y ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) x,y số nguyên Câu (2,0 điểm) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Câu (2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH.AD b) Tính số đo góc Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O) Gọi A điểm thay đổi đường trịn (O) (điểm A khơng trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện 1   2 a b c Chứng minh rằng: Câu 10 (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TỐN - LỚP SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)  a  2018  Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức P  a  a   Nội dung trình bày a  2018  a   a   a Điểm 0,5 Điều kiện: 0,5 Khi đó: 0,5 0,5 Câu 2(2,0 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: x  y  x  y   Chứng minh đẳng thức: x ( x  y ( y  z )2 x  z) y  z ; x  y  z ; y z z z Nội dung trình bày Điểm 0,5 Ta có: 0,5 0,5 0,5 Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên cho Nội dung trình bày Ta có: Vì nên Thay vào (1) ta được: Lập luận tương tự ta có: Thay vào (2) ta được: Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Mà Vậy 0,25 0,25 Câu 4(2,0 điểm).Cho hệ phương trình (m tham số x,y ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) x,y số nguyên Nội dung trình bày Từ phương trình thứ hai ta có: x = – 2y vào phương trình thứ được: (3) số nguyên Hệ có nghiệm Với có nghiệm số nguyên Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 có nghiệm 0,25 0,25 0,25 Vậy có giá trị thoả mãn 1; 0,25 Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình Nội dung trình bày Điểm 0,25 Điều kiện xác định Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đối chiếu với điều kiện (*) ta Câu 6(2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, Mlà trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Nội dung trình bày Ta có Gọi E giao điểm BI với AC Điểm 0,5 0,25 Theo tính chất đường phân giác ta có: 0,25 Ta có do: Suy ra: Mặt khác hai tam giác ; đồng dạng ; IC chung 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7(2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh b) Tính số đo góc Nội dung trình bày a)Ta có Điểm 0,25 0,25 0,25 ∽ 0,25 Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP 0,25 ∽ b) Ta có: 0,25 Từ (1) (2) ta có: 0,25 Ta lại có: nên ∽ 0,25 Từ suy ra: Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O) Gọi A điểm thay đổi đường trịn (O) (A khơng trùng với B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O) điểm H ln nằm đường trịn cố định Nội dung trình bày Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên Điểm 0,25 Ta có: Bốn điểm O, D, C, M nằm đường tròn có tâm Icố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường tròn Nếu - Với 0,25 - Với , 0,25 0,25 Khi Vậy ta ln có: kính BE cố định 0,5 0,25 thẳng hàng Suy hoặc 0,25 H thuộc đường trịn đường Câu 9(2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng: Nội dung trình bày Trang Điểm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP 0,25 Với ta có : , Đẳng thức xảy 0,5 Ta có: 0,25 Đẳng thức xảy 0,25 Tương tự: Đẳng thức xảy 0,25 Đẳng thức xảy 0,25 Vậy 0,25 Đẳng thức xảy rakhi Vậy BĐT chứng minh Câu 10 (2,0 điểm).Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Nội dung trình bày Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn yêu cầu tốn Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho Từ Điểm 0,5 0,25 ta suy được: Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP 0,5 suy E cố định d qua E 0,25 Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy Hết - Trang 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - Lớp THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10 tháng năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4,0 điểm) Cho biểu thức: P  x x x 1  2x  x   , với x > 0, x 1 x x  x x x x x2  x Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Tính giá trị biểu thức P  4( x  1) x 2018  x 2017  x   x  2  2 2 x  3x Câu II (4,0 điểm) Biết phương trình: (m – 2)x – 2(m – 1)x + m = có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng  ( x  y ) (8 x  y  xy  13)  0  Giải hệ phương trình:   x  x  y 1  Câu III (4,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 số nguyên tố p – chia hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax - by2 chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có (O), (I), (I a) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác với tâm tương ứng O, I, Ia Gọi D tiếp điểm (I) với BC, P điểm cung BAC (O), PIa cắt (O) điểm K Gọi M giao điểm PO BC, N điểm đối xứng với P qua O Chứng minh IBIaC tứ giác nội tiếp Chứng minh NIa tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP Chứng minh: Câu V (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  z Chứng minh rằng: HẾT - Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN – Lớp THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10 tháng năm 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM (Gồm có 05 trang) Câu I 4,0 điểm NỘI DUNG Cho biểu thức P  x x x 1  2x  x   , với x x  x x x x x2  x Điểm 2,5 Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Với điều kiện , ta có: 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 Ta có với điều kiện Do ngun nên suy (loại) Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TỐN - LỚP Chú ý 1: Có thể làm theo cách sau , coi phương trình bậc hai Nếu vơ lí, suy nên để tồn phương trình 0,50 có Do P nguyên nên (P – 1)2 +) Nếu khơng thỏa mãn +) Nếu Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Tính giá trị biểu khơng thỏa mãn thức 0,50 Vì nên 0,50 nghiệm đa thức Do Chú ý 2: Nếu học sinh không thực biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để thay số tìm kết cho 0,5 đ II 4,0 điểm 1,5 Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài 0,50 2,0 đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng Phương trình nghiệm có hai Khi nghiệm phương trình 0,50 Hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông suy 0,50 0,50 Từ hệ thức Trang 10 tam giác vuông ta có ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TOÁN - LỚP SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi 12/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang) Bài (2,0 điểm) a) Cho x  10  (  1) 62  b) Cho biểu thức M  Tính giá trị P  12x + 4x – 55 a  a a  a  a a  a 1   a a a a a a Với giá trị a biểu thức N   2017 với a > 0, a  nhận giá trị nguyên? M Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình: x  2mx  m  m   (m tham số) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm x1 x cho x1  x  ? 2 2 � �x y  2x y  x y  2xy  3x   b) Cho hệ phương trình � 2017  y  3m �y  x Tìm giá trị m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt  x ; y1   x ; y  thỏa mãn điều kiện  x  y   x  y1    Bài (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên dương a, b cho a + b chia hết cho a b  b) Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng: a3 a3   b  c  b3 b3   c  a   c3 c3   a  b  �1 Bài (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (điểm B nằm điểm A điểm C) Vẽ đường trịn tâm O thay đổi ln qua điểm B điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M N tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN điểm K Đường thẳng AO cắt MN điểm H cắt đường tròn điểm P điểm Q (P nằm A Q) a) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi b) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Bài (1,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm tất phần tử tập hợp A -Hết (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Trang 33 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học 2016 - 2017 MƠN: Tốn (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Tổng điểm thi: 10 điểm Bài Bài (2 điểm) Đáp án Điểm 1a) (1,0 điểm) Ta có : 10      (  1)3  0,25  1    (  1)  x (  1)3 (  1)  0,25 (  1)(  1)   2 1 0,25 (  1)  Thay giá trị x vào P ta được:  P  12.22  2 55  2017 1b) (1,0 điểm) Với điều kiện a  0; a �1 thì: M M a 1  a   a 0,25  12017    a 1 a  a   a 1 a 1   a 1 a  a 1 a    a a a Khi N   M  a  a 1  a a 1  a  1   a 1 a  a 1  a 1  a 1 0,25 a 0 Ta thấy với  a �1 � a  a   a � a 1  a � 2 a 1 0,25 Do  N  0,25     Để N có giá trị nguyên N = Trang 34 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP a 1 a  a    a  a 1  �a   � a   ( th� a m� n) a 2 3� � �� a   ( th� a m� n) �a    �  Vậy a  �4   0,25 2a) (1,0 điểm) Phương trình: x  2mx  m  m   có hai nghiệm thì:  ' m �۳  m2 m  m m Theo hệ thức Vi-ét ta có: �x1  x  2m � �x1x  m  m  0,25 Ta có: x1  x  � x12  x 2  x1x  64 � Bài (2 điểm)  x1  x  0,25  2x1x  x1x  64 (1) Trường hợp 1: Nếu x1 x dấu thì: m �6 � x1x �0 � � m  m    m    m   �0 � 6 �m �2 � �� (*) m �3 � 0,25 Khi (1) �  x1  x   64 � 4m  64 � m  �4 (thỏa mãn (*)) Trường hợp 2: Nếu x1 x trái dấu thì: x1x  � m  m    m    m  3  � 2  m  (**)   2 Khi (1) �  x1  x   4x1x  64 � 4m  m  m   64 � m   16 � m  10 (không thỏa mãn điều kiện (**) Kết luận: m  �4 2b) (1,0 điểm) �x y  2x y  x y  2xy  3x   (1) � �2 2017  y  3m (2) �y  x Ta có (1) � x y  x y  2x y  2xy  3x   � (x  1)  x y  2xy  3  x 1 � ��  xy  1   �  V�l� Trang 35 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Thay x = vào phương trình (2) ta y  y  3m   (3) Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì:     3m  1  � 12m   � m  Theo đề bài:  x  y   x  y1    �  y1  y  y1y  (4) x1  x  Với m  theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có : �y1  y2  thay vào (4) ta có:   3m  � m  (thỏa mãn) � �y1y2   3m Kết luận: m = 3a) (1,0 điểm) Ta có (a + b2)  (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k  *  a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với m  ka – b ��*  m + b = ka2 (2) Từ (1) (2) suy ra: mb  m  b   a  k  ka   (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + – ka) (3) * �  m – 1  b –1 Do m, b � Bài (2 điểm) Vì từ (3) suy ra: (a + 1)(k + – ka)  Lại a > nên suy ra: k + – ka    k(a – 1)   Vì a –  0, k > nên �k  a –1  �0 v�k  a –1 �� a 1 � k(a  1)  � � �� �� a2 � k(a  1)  � � � k 1 � � Với a = Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = � m 1  � � � b 1  � b  � k.a  � a  � � � � � b  � k.a  � a  m 1  � � � � b 1  � � Vậy, trường hợp ta hai cặp a = 1; b = a = 1; b = b 1 � Với a = k = Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) =  � m 1 � Khi b = 1, ta được: a = 2, b = Khi m = 1: từ (1) suy a + k = b  b = Khi đó: a = 2, b = Vậy có cặp số (a; b) thỏa mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1) 3b) (1,0 điểm) Trang 36 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Với x số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x 1  x2  x 1 x2  x    x  1 x  x  �  2  (*) x 1 x2  Dấu “ =” xảy x = Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:  a3 a3   b  c  a Suy ra:  a   b  c 2a 2 �  2 b  c   2a  �b  c � �b  c � 1 � � � � �a � �a � 3 0,25 0,25 2a a � 2  (1) a  b  c2 b  c  2a   Tương tự ta có: b3 b3   a  c  c 3 c   a  b b2 �2 (2) a  b2  c2 0,25 c �2 (3) a  b2  c2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 a3   b  c  b3 b3   a  c   c3 c3   a  b  Dấu “=” xảy a = b = c Hình vẽ: Bài (3 điểm) 4a) (1,5 điểm) Trang 37 �1 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Gọi I trung điểm BC suy IO  BC � �  ACN � , CAN ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB chung) AB AN � AB.AC = AN2 �  AN AC ANO vuông N, đường cao NH nên AH.AO = AN2 � AB.AC = AH.AO (1) AHK đồng dạng với AIO (g.g) AH AK  � AI � AK  AH � AO (2) Nên AI AO AB � AC Từ (1) (2) suy AI.AK  AB.AC � AK  AI Ta có A, B, C cố định nên I cố định � AK không đổi Mà A cố định, K giao điểm BC MN nên K thuộc tia AB � K cố định (đpcm) 4b) (1,5 điểm) ME MH  Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) � MQ DQ MP MH MH   PMH đồng dạng MQH (g.g) � MQ QH 2DQ MP ME �  � ME = MP � P trung điểm ME MQ MQ Bài (1,0 điềm) Giả sử A =  a1 ;a ;a 3; ;a 21 với a1; a ; a 3; ; a 21 �� Bài (1 điểm) a1  a  a   a 21 Theo giả thiết ta có a1  a  a   a11  a12  a13   a 21 � a1  a12  a  a13  a   a 21  a11 (1) Mặt khác với x; y �Z y  x y �x  � a12  a �10, a13  a �10, ,a 21  a11 �10 (2) Nên từ (1) suy a1  10 + 10 + +10 = 100 mà a1 nhỏ 101�A � a1 =101 Ta có 101  a12  a  a13  a   a 21  a11 �100 � a12  a  a13  a   a 21  a11  100 Kết hợp với (2) � a12  a  a13  a   a 21  a11  10 (3) � 10  a12  a  (a12  a11 )  (a11  a10 )   (a  a ) �10 � a12  a11  a11  a10   a  a  (4) Ta có a1 =101 mà 102 �A � a  102 Kết hợp với (3) (4) suy A =  101;102;103; ;121 Hết - Trang 38 0,50 0,25 0,5 0,25 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016 (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) - (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho A  3  3  3  3 x  x x  x  x  x 1 x  x 1 2 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình : 2) Giải phương trình: x  x 1  x  x 1  x3 2 x  x  12  x  3x   x  Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  25  y ( y  6) Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH � = CBH � a) Chứng minh CIJ b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c  Chứng minh a b c    bc ca ab -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… Trang 39 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN TỐN LỚP (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) - Câu Nội dung Điểm Rút gọn biểu thức: A = 3 Câu A = (1,75đ) 2(  3) A=  (  1) 2  3 3   3 5 3  3  = 2(3  5)  (  1)  3  3 2(  3) 2 62   2(3  5) 0,75 2 62 2(  3) 2(3  5)  3 3 0,5 0,5 A= 2 x2  x x2  x  x  x 1 x  x 1 a) ĐKXĐ: x �0 A  Bài (4 đ) A     x x 1 x x 1 x2  x x2  x    x  x  x  x 1 x  x 1 x  x 1 Câu x (2,25)    x     x   x 1 x  x 1 x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x 1  x   0,5 x   x  x  x  x  2 x b) B = A + x – 1= 2 x  x   x  x     x   �2 1) Giải phương trình : Câu ĐKXĐ : x �1 (2đ) x  x 1  x  x 1  x3 � x 1  x 1   x 1  x 1     x 1 1  � x 1 1  x3 0,25 x  x 1  x  x 1  � 0,5 0,25 0,25 Dấu “=” xảy � x   � x  ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 Bài (4 đ) 0,25 0,5   x 1 1 x 1 1   x3 x3 (*) Trang 40 x3 0,5 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Nếu x �2 phương trình (*) x3 x3 � x 1  � x 1  x  2 � 16( x  1)  x  x  � x  10 x  25  � ( x  5)  � x  0,25 � x 1 1  x 1 1  (TM) Nếu �x  phương trình (*) � x 1  1  x 1  x3 x3 � 2 �  x  � x  ( TM) 2 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x  x  12  x2  x   x  0,25 Đặt u  x  x  12, v  x  3x  ( u  0, v  0) 0,25 � u  x  x  12, v  x  3x  � u  v  x  10  2( x  5) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) � 2(u  v)  (u  v ) � (u  v)(u  v  2)  (2) Vì u  0, v  , từ (2) suy ra: u  v   Vì x  x  12  x  3x   (3) Bình phương vế thu gọn ta phương trình 2 Câu (2đ) 0,25 2 x  3x   x  �x  �0 �x �3 �x �3 � �� � � � � 2 7x  6x 1  � (7 x  7)  (6 x  6)  �2 x  x   x  � �x �3 �� ( x  1)(7 x  1)  � 0,25 0,5 �x �3 � �� � x  1, x   tm  x  1, x  � � Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Bài (3 đ) 1) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Câu Ta chứng minh a3 – không chia hết cho (1,5đ) Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r � 0;1; 1; 2; 2;3; 3 Trong tất trường hợp ta có a3 – khơng chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 – �2016k ĐPCM Câu 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: (1,5đ) x  25  y ( y  6) Trang 41 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Từ x  25  y ( y  6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x �y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y + + x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta có x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta có x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta có x= , y= -6 Vậy phương trình cho có có nghiệm: ( x,y) �  �5,  ;  �5, 6  ;  �4, 3  0,25 0,5 0,25 0,5 D C Bài (7 đ) E I A J H B O + Vì ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên AC  BC Suy BC  CD (1) Câu a + Lập luận để IJ // CD (2) (1,5 đ) + Từ (1) (2) suy IJ ^ BC � = CBH � (cùng phụ với HCB � ) (3) + Suy CIJ Câu b � = CH (4) +) Trong  vng CBH ta có: tan CBH (2 đ) BH + Lập luận chứng minh CJ // AB + Mà CH  AB (gt) + Suy CJ  CH Trang 42 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP � = +) Trong tam giác vng CIJ ta có tan CIJ + Từ (3), (4), (5) � CJ CJ = ( CI = HI ) (5) CI HI 0,5 CH CJ  HB HI �  BHI �  900 CH  CJ (cmt) + Xét D CJH D HIB có HCJ HB 0,5 HI + Nên D CJH đồng dạng với D HIB 0,5 �  900 + Lập luận để chứng minh HEI + Chứng minh HEI đồng dạng với HCJ HE HI Câu c + Suy HC  HJ (1,5 đ) 0,5 + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 1 + Mà HJ  HD; HI  HC 2 + Suy HE.HD = HC2 C M 450 A H O K B N � = 450 + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM + Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định Câu d + Kẻ MK  AB K (2 đ) + Chứng minh D MON vuông cân M KM = KN Suy � ANC  450 Xét C � M Ta có C �M nên H � K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do � ANC < � ANM = 450 � = 900 + D HNC có NHC � + HCN � = 900 nên HNC � < 450 nên HCN � > 450 Mà HNC � < HCN � Suy HNC Suy HC < HN Trang 43 0,5 0,5 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP 0,5 + Do AH + CH < AH + HN = AN � = 450 AH + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC + CH đạt giá trị lớn Chứng minh a b c    bc ca ab Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b�c۳ a  b c  a bc 0,5 2a abc Chứng minh tương tự ta Bài 5(2 đ) b 2b c 2c � ; � ca abc ab abc 2 a  b  c a b c   � 2 Suy bc ca ab abc a bc � � Dấu xảy � �b  c  a � a  b  c  (Trái với giả thiết) � c  ab � Vậy dấu = không xảy suy đpcm Hết - Trang 44 0,5 0,5 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN - Câu (4,00 điểm) Cho biểu thức: p  a) b) KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP THCS, NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn TỐN Ngày thi : 02/3/2016 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) a a1 a a  a a 1 a a ( a  a )( a a1  2 a a 1 ) Rút gọn biểu thức P Chứng minh với giái trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P>6 Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình x  x   x  x  9 x  Câu (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn Chứng minh xyz  1     2x 1 y  2z 64 Câu (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ 90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN (B N nửa mặt phẳng bờ AD, D M nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh AC vng góc với MN Câu (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G trọng tâm.Tiếp tuyến B (O) cắt CG M.Tiếp tuyến C (O) cắt BG N.Gọi X,Y theo thứ tự giao điểm CN ,AN đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự giao điểm BM,AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh : a) AB.CZ = AC.BX b) MAˆ B NAˆ C Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Trang 45 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Trang 46 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN - KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP THCS, NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn TỐN Ngày thi : 02/3/2016 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN Câu (4,00 điểm) Cho biểu thức: p a a1 a a  a a 1 a a ( a  a )( a a1  2 a a 1 ) a) Rút gọn biểu thức P a  13 p  a ( a  1) a  13 a  a ( a  1) (2  a )( a  1) ( )(  ) a ( a  1) a ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1)  ( a  1)( a  a  1) ( a  1)( a  a  1) a  3a  a  a   a  a   a ( a  1) a ( a  1) a ( a  1)( a  1)  (a  a  1) ( a  a  1) a  2a  a    a a a ( a  1)( a  1)  a ( a  1)( a  1) 2(a  a  1)  a a ( a  1)( a  1) 2  2(a  a  1) a a  2a  a  a 2 a  4 a  b) Chứng minh với giái trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P>6 Ta có a  2 2 a 4 p 8 hay p  (đpcm) a a Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình x  x   x  x  9 x   ( x  x   x  x  1)( x  x   x  x  1) (9 x  3)( x  x   x  x  1)  x  (9 x  3)( x  x   x  x  1)  (9 x  3)( x  x   x  x   1) 0  x  0  x Ta dễ chứng minh phương trình x  x   x  x   = vô nghiệm Trang 47 ... thêm Trang 45 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP Trang 46 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN - KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP THCS, NĂM... Trang 29 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2016- 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - Lớp. .. 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN TOÁN LỚP Thi ngày 08 tháng