(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề một số phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN LAN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Người thực hiện: Nguyễn Thị Quý Hợi Tổ: Toán - Tin Trường: THPT Trần Văn Lan NĂM HỌC 2018 - 2019 A MỞ ĐẦU Tốn học mơn khoa học tự nhiên gây nhiều hứng thú cho học sinh, môn học quan trọng khơng thể thiếu q trình học tập học sinh Trong môn học trường phổ thông, Tốn xem mơn bản, tảng để em học sinh học tập tiếp thu số môn học khác Tuy nhiên để học sinh học tập tốt mơn Tốn giáo viên cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cần thiết cho học sinh, cần đổi phương pháp dạy học, làm cho em trở nên u thích mơn Tốn hơn, có u thích nên em dành nhiều thời gian cho việc học tốn, từ kích thích tính tự học sáng tạo học sinh việc học toán giành thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu học tập học sinh thời đại I Lý chọn đề tài Toán học 11 tiếp nối chương trình Tốn 10 phần “Lượng giác” Việc học phần phương trình lượng giác lớp 11 gây khó khăn khơng nhỏ cho học sinh học sinh khơng năm trắc cơng thức lượng gián nên khả vận dụng công thức hạn chế lí chọn sáng kiến kinh nghiệm 1, Cơ sở lý luận: - Căn vào yêu cầu mục tiêu ngành giáo dục bậc phổ thông trung học - Căn vào tình hình học tập học sinh hệ phổ thông trung học việc học tập mơn Đại số giải tích 11 - Kinh nghiệm giảng dạy số nhà Toán học trình bày tài liệu - Cách giải phương trình lượng giác thường gặp nêu sách giáo khoa lớp 11(cơ nâng cao) - Chuẩn kiến thức kỹ chương trình tốn 11 2, Cơ sở thực tiễn - Khả vận dụng linh hoạt công thức lượng giác học sinh cịn yếu - Khả nhận dạng phương trình lượng giác học sinh hạn chế - Những thuận lợi khó khăn q trình giảng dạy mơn Đại só giải tích phần phương trình lượng giác II Mục đích nghiên cứu: - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy - Nhằm tạo tư liệu cho học sinh tự rèn luyện ôn thi III Nhiệm vụ giới hạn đề tài nghiên cứu: 1, Nhiệm vụ: Những nội dung phần phương trình lượng giác: - Phương trình lượng giác bản: + Phương trình: sinx = a + Phương trình: cosx = a + Phương trình: tanx = a + Phương trình: cotx = a - Một só phương trình lượng giác thường gặp: + Phương trình bậc hàm số lượng giác + Phương trình bậc hai hàm số lượng giác + Phương trình bậc sinx cosx - Áp dụng để giải phương trình lượng giác khác giới thiệu sơ lược hệ phương trình lượng giác ẩn 2, Yêu cầu: - Học sinh nắm rõ công thức biến đổi lượng giác lớp 10 học + Công thức cộng + Cơng thức nhân đơi + Cơng thức biến đổi tích thành tổng biến đổi tổng thành tích - Nhớ cơng thức nghiệm phương trình lượng giác - Biết phân biệt dạng phương trình lượng giác - Nắm phương pháp chung để giải phương trình - Biết kết hợp nghiệm IV Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học V Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo tài liệu Sách giáo khoa 11 nâng cao(Nhà xuất giáo dục) Chuẩn kiến thức kỹ năng(Nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa 11(chỉnh lí hợp năm 2000) (Nhà xuất giáo dục) Giải toán lượng giác 10 đành cho lớp chuyên(Nhà xuất giáo dục) - Tham gia đầy đủ lớp học bồi dưỡng Sở giáo dục tổ chức( Nếu có điều kiện ), buổi sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn VI Thời gian nghiên cứu: - Trong trình phân cơng giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học B NỘI DUNG I Kiến thức cần nắm vững Hệ thức sin x + cos x = ; + tan x =  π  x ≠ + kπ ( k ∈ Z ) ÷  cos x   + cot x = ( x ≠ kπ ( k ∈ Z ) ) sin x Hệ thức liên hệ a) Hai cung đối b) Hai cung bù sin( π − x ) = sin x cos( π − x ) = −cosx tan( π − x ) = − tanx cot( π − x ) = −cotx c) Hai cung sin( π + x ) = − sin x cos( π + x ) = − cosx tan( π + x ) = tanx cot( π + x ) = cotx d) Hai cung phụ π − x ) = cosx π cos( − x ) = sin x sin( π − x ) = cotx π cot( − x ) = tanx tan( e) Hai cung sin( cos( π + x ) = cosx π + x ) = − sin x π + x ) = − cotx π cot( + x ) = − tanx tan( Công thức cộng sin( a ± b ) = sin acosb ± cosa sin b cos( a ± b ) = cosacosb msin a sinb tan( a ± b ) = tana ± tanb mtanatanb Công thức nhân đôi, công thức nhân ba sin2a = sinacosa cos 2a = cos 2a − sin a = 2cos 2a − = − sin a tan2a = 2tana − tan 2a Công thức hạ bậc cos 2a = ( + cos 2a ) s in2 a = ( − cos 2a ) 6.Công thức biến đổi tích thành tổng sin a cos b =  sin ( a − b ) + sin ( a + b )  2 cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b )  2 sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  2 Cơng thức biến đổi tổng thành tích cos a + cos b = cos a+b a−b cos 2 cos a − cos b = −2 s in a+b a−b s in 2 sina + sinb = sin a+b a−b cos 2 sina − sin b = cos a+b a−b sin 2 II Phương trình lượng giác Phương trình sinx=a(1) +) Nếu +) Nếu Chú ý: a) PT sinx=sin Tổng quát : sinf(x)= sing(x) b) PT sinx=sin c) Nếu d) Các trường hợp đặc biệt +) a=1 PT sinx=1 +) a=-1 PT sinx=-1 +) a=0 PT sinx=0 Phương trình cosx = a(2) +) Nếu +) Nếu Chú ý: a) PT cosx=cos Tổng quát : cosf(x)= cosg(x) b) PT cosx=cos c) Nếu điều kiện d) Các trường hợp đặc biệt +) a=1 PT cosx=1 +) a=-1 PT cosx=-1 +) a=0 PT cosx=0 Phương trình tanx=a Chú ý: a) PT tanx=tan Tổng quát : tanf(x)= tang(x) b) PT tanx=tan Phương trình cotx=a Chú ý: a) PT cotx=cot Tổng quát : cotf(x)= cotg(x) 10 VD3: Áp dụng Giải phương trình: Phương trình lượng giác sử dụng đến nhiều phép biến đổi lượng giác: VD1: Giải phương trình : Giải: PT VD2: Giải phương trình : =2 23 VD3: Giải phương trình : Giải: PT VD4: Giải phương trình : Giải: PT VD5: Giải phương trình : Giải: ĐK: 24 Ta có: Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình cho VD6: Giải phương trình : Giải: PT Đặt t = (0 + t -1=0 25 VD7: Tìm nghiệm thuộc khoảng(0, ) PT: Giải: ĐK: PT cho Vì x giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy PT có nghiệm VD8: Áp dụng Giải phương trình: Phương trình lượng giác chứa ẩn số mẫu 26 VD1: Giải phương trình Khi PT VD2: Giải phương trình 27 Do điều kiện xác định là: Khi PT có dạng Vậy PT có nghiệm VD3: Giải phương trình Giải: ĐK: 28 Ta có: Với ĐK ta có: Các giá trị thỏa mãn ĐK Vậy PT cho có nghiệm VD4: Áp dụng Giải phương trình: 29 10 Phương trình lượng giác chứa tham số VD1: Tìm m để PT sau có nghiệm PT có nghiệm VD2: Tìm m để PT có nghiệm thuộc đoạn 0 Đặt t=sin2x ( Bài tốn trở thành tìm m để PT có nghiệm thuộc Xét hàm số f(t)= 30 Vậy PT có nghiệm VD3: Tìm m để PT sau có nghiệm -1 -1+2m-1=0 =-2m(*) Xét hàm số f(t)= f( )=-4 f( )=4 31 Vậy để PT cho có nghiệm PT(*) có nghiệm thuộc đoạn VD4: Cho phương trình Giải: PT + -1+ =0 Từ (1) +) m =0 vô nghiệm 32 VD5: Áp dụng a)Tìm m để phương trình có nghiệm b)Cho phương trình MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN : CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nhận biết ( 10 câu) Câu 1: Phương trình cosx - m = có nghiệm ém < - A ê êm > ê ë Câu 2: Phương trình sin x = A x = C - £ m £ B m > 5p + k2p D m < - 1 p có nghiệm thỏa £ x £ : 2 B x = p × C x = p + k2p D x = p × Câu 3: Cách giải sau đúng? A cosx = Û x = p + kp B cosx = Û x = kp C cosx = - Û x = p + k2p D cosx = Û x = p + k2p Câu 4: Nghiệm phương trình lượng giác : cos2 x - cosx = thõa điều kiện < x < p : A x = p × B x = C x = p D x = -p × Câu 5: Chọn đáp án câu sau: éx = y + k2p x = p - y + k2p ê ë éx = y + kp x = p - y + kp ê ë A sin x = sin y Û ê ê B sin x = sin y Û ê ê 33 éx = y + k2p éx = y + kp C sin x = sin y Û ê êx = - y + k2p ê D sin x = sin y Û ê êx = - y + kp ê ë ë Câu 6: Phương trình sau vơ nghiệm? A B 3sin2x = C sin x = 3sin3x = × D sin x = p × Thơng hiểu ( 10câu) Câu 7: Giải phương trình lượng giác : 2cosx + = có nghiệm A x = ± 5p + k2p B x = ± 5p + k2p C x = ± 5p + k4p D x = ± 5p + k4p Câu 8: Phương trình sau vơ nghiệm: A B 3sin x - 4cosx = 3sin2x - cos2x = C sin x = p × D 3sin x - cosx = - Câu 9: Nghiệm phương trình lượng giác : 2sin2 x - 3sin x + = thõa điều kiện £ x < A x = p × B x = p × C x = p × p : D x = 5p × D x = p + kp Câu 10: Giải phương trình : tan2 x = có nghiệm : A x = - p + kp B x = ± Câu 11: Phương trình lượng giác : A x = p + kp Câu 12: Phương trình : ỉ pư p + kp C x ẻ ặ 3tan x + = có nghiệm : B x = - p + k2p C x = p + kp D x = - p + kp 3.sin3x + cos3x = - tương đương với phương trình sau õy : ữ 3x - ữ =- ì A sinỗ ỗ ữ ỗ ữ 6ứ ố ổ 3x + B sin ỗ ỗ ỗ ố pử p ữ ÷ =- × ÷ ÷ 6ø 34 ỉ 3x + C sinỗ ỗ ỗ ố pữ ữ =- ì ữ 6ữ ứ ổ 3x + D sinỗ ỗ ỗ ố pử ữ ữ = ì ÷ ÷ 6ø Vận dụng thấp Câu 13: Nghiệm dương bé phương trình : 2sin2 x + 5sin x + = : A x = p × B x = p × C x = ỉ 3p × D x = 5p ì pử ữ x+ ữ = với p £ x £ 5p : Câu 14: S nghim ca phng trỡnh : sinỗ ỗ ữ ỗ ÷ 4ø è B A C D Vận Dụng Cao Câu 15: Tìm m để phương trình cos2x - sin x + m = 0có nghiệm: A m ≥ −5 B − ≤ m ≤ C − ≤ m ≤ D − ≤ m ≤ −1 C PHẦN KẾT LUẬN Từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy học hỏi đồng nghiệp qua thử nghiệm vào thực tế chất lượng kiểm tra tiết tăng lên rõ rệt sau: Tổng số kiểm tra 45 Kết đạt sau: Trước thực sáng kiến Điểm giỏi: chiếm Điểm khá: 10 chiếm 22,2% Điểm TB: 15 chiếm 33,3% Điểm yếu, : 20 chiếm 44,5% 35 Sau thực sáng kiến Điểm giỏi: chiếm 6,7% Điểm khá: 15 chiếm 33,3% Điểm TB: 12 chiếm 26,7% Điểm yếu, : 15 chiếm 33,3% Qua kết làm kiểm tra tăng lên rõ rệt Vậy giảng phương pháp giải phương trình lượng giác giáo viên cần khắc sâu cho học sinh dạng phương trình lượng giác phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình lượng giác Trong tiếp nhận tốn giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu kỹ nôị dung bài, gơi mở cho học sinh tốn quen thuộc có sử dụng phương pháp giải, điểm nhận dạng, nguyên nhân để có kết quả, kết lời giải tốn Trong q trình tìm đường lối giải, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh cần biết phân tích giả thiết, kết luận, tìm mối quan hệ yếu tố biết yếu tố chưa biết với nhau, thực lời giải, học sinh phải ln kiểm tra q trình suy luận có logic không? vận dụng khái niệm phương pháp giải hay sai? Có thừa liệu khơng? Giáo viên chia tốn thành tốn nhỏ tốn đơn giản sau thực hành giải tốn Trên vài kinh nghiệm mà tâm đắc khẳng định phương pháp có tác dụng tốt giảng dạy phương pháp giải phương trình lượng giác Nam Định, ngày 15 tháng năm 2018 Người thực Nguyễn Thị Quý Hợi 36 37 ... trình lượng giác Phương trình đưa phương trình bậc hàm số lượng giác VD1: Giải phương trình: Giải: pt VD2: Giải phương trình : Giải: pt VD3: Giải phương trình: Giải: pt 11 VD4: Áp dụng Giải phương. .. giác: - Phương trình lượng giác bản: + Phương trình: sinx = a + Phương trình: cosx = a + Phương trình: tanx = a + Phương trình: cotx = a - Một só phương trình lượng giác thường gặp: + Phương trình. .. phép biến đổi lượng giác: VD1: Giải phương trình : Giải: PT VD2: Giải phương trình : =2 23 VD3: Giải phương trình : Giải: PT VD4: Giải phương trình : Giải: PT VD5: Giải phương trình : Giải: ĐK: 24