(Sáng kiến kinh nghiệm) CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG mẫu mực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THCS & THPT HAI BÀ TRƯNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN PHÚC YÊN - 2014 Mục lục Mở đầu Chương Phần nội dung 1.1 1.2 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.1.2 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn 1.1.3 Hệ gồm phương trình bậc hai ẩn phương trình khác 1.1.4 Hệ đối xứng loại 1.1.5 Hệ đối xứng loại 1.1.6 Hệ đẳng cấp bậc hai hai biến x & y Một số kiến thức cần nắm vững giải hệ phương trình Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực 10 1.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương 10 1.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 16 1.3.3 Phương pháp 21 Chương Một số tập tự luyện 2.1 Một số hệ phương trình thường gặp không mẫu mực 1.3 26 Bài tập tự luyện 26 Kết luận 33 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hệ phương trình dạng tốn phổ biến đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên, lớp chọn đề thi học sinh giỏi cấp, đặc biệt thi học sinh giỏi mơn tốn lớp Đối với nhiều học sinh, tốn giải hệ phương trình coi tốn khó, địi hỏi người học phải có lực tư logic, kiến thức phải chắn hệ phương trình Chính giải hệ phương trình ln gây hấp dẫn người dạy lẫn người học Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình, nhiên khơng có phương pháp vạn để giải tốn Trong q trình giảng dạy học sinh ôn thi vào lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 9,tơi thấy học sinh gặp phải khó khăn lúng túng giải hệ phương trình đặc biệt hệ phương trình khơng mẫu mực Làm để học sinh tìm tịi khám phá đưa việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực giải hệ phương trình quen thuộc, vấn đề trăn trở, suy nghĩ thân nhiều đồng nghiệp Để bồi dưỡng chuyên môn đồng thời giúp em học sinh lớp có thêm vài phương pháp giải hệ phương trình nên tơi viết chun đề với tên đề tài: "Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực" Với số phương pháp giải hệ hi vọng có tác dụng việc rèn luyện tư toán học cho em học sinh nguồn tài liệu nhỏ giúp em luyện tập nâng cao kiến thức phục vụ cho kì thi Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 Mục đích nghiên cứu Trang bị cho học sinh số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực mạng lại hiệu rõ rệt Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ giải tốn, qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo Nhiệm vụ nghiên cứu Thơng qua tìm tịi, tổng hợp để đưa dạng tập phương pháp giải cho dạng toán giúp học sinh có kiến thức nội dung quan trọng chương trình Đối tượng nghiên cứu Hệ phương trình chương trình đại số Phân loại dạng toán phương pháp giải dạng Phạm vi nghiên cứu giới hạn nghiên cứu Chuyên đề xây dựng, nghiên cứu triển khai chương trình tốn đại số Hệ phương trình không mẫu mực Phương pháp nghiên cứu Tham khảo sách, báo, tài liệu Thực tiễn giảng dạy GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Tham khảo đề thi HSG tỉnh, đề thi trường chuyên GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang Chương NỘI DUNG 1.1 1.1.1 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Định nghĩa 1.1 Là hệ phương trình có dạng: ax + by = c (1) a x + b y = c (2) phương trình (1), (2) phương trình bậc hai ẩn x y Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: • Phương pháp • Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đồ thị • Sử dụng máy tính cầm tay • Phương pháp tính theo định thức, 1.1.2 HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Định nghĩa 1.2 Là     a1 x + b1 y + c1 z = d1 (1) hệ phương trình có dạng a2 x + b2 y + c2 z = d2 (2) phương trình (1), (2) (3)    a x + b y + c z = d (3) 3 3 phương trình bậc ba ẩn x, y z Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chun đề Tốn • Phương pháp • Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đồ thị • Sử dụng máy tính cầm tay • Phương pháp tính theo định thức, 1.1.3 HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH KHÁC Định nghĩa 1.3 Là hệ phương trình có dạng ax + by + c = f (x, y) = x, y ẩn f (x, y) biểu thức chứa hai biến x, y Cách giải: Với hệ ta giải bằng: • Phương pháp 1.1.4 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Định nghĩa 1.4 Là hệ phương trình mà ta thay đổi vai trị hai ẩn cho phương trình phương trình khơng thay đổi Cách giải: Bước 1: Biến đổi tương đương làm xuất x + y x.y Bước 2: Đặt S = x + y P = x.y (với S ≥ 4P ) GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn S, P Tìm S, P Bước 4: Tìm nghiệm x; y hệ phương trình cho 1.1.5 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Định nghĩa 1.5 Là hệ phương trình mà ta thay đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình biến thành phương trình ngược lại Cách giải: Trừ vế cho vế tương ứng phương trình để biến đổi phương trình tích có nhân tử x − y, ẩn theo ẩn để giải hệ phương trình 1.1.6 HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI HAI BIẾN x & y Định nghĩa 1.6 Là hệ phương trình có dạng ax2 + bxy + cy = d a x2 + b xy + c y = d Cách giải: Nếu x = ta đặt y = kx nhận xét chia vế cho vế ta phương trình ẩn k, tìm k từ tìm x, y Nếu x = viết lại hệ phương trình cho giải hệ phương trình 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC • Các đẳng thức • Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chun đề Tốn • Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức • Tính ∆ ∆ • Cách giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn, • Các phép biến đổi tương đương GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng 1.3 Chuyên đề Tốn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Khơng có phương pháp chung để giải hệ phương trình khơng mẫu mực Tùy theo đặc trưng phương trình hệ mà ta lựa chọn phương pháp như: Biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức, để dưa hệ cho thành hệ đơn giản hệ quen thuộc ( mẫu mực) từ ta tìm tập nghiệm hệ phương trình 1.3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp chủ yếu sử dụng kĩ biến đổi đồng đặc biệt kĩ phân tích nhằm đưa phương trình hệ dạng đơn giản DẠNG Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn Ví dụ 1.1 Giải hệ phương trình: xy + x + y = x2 − 2y (1) √ √ x 2y − y x − = 2x − 2y (2) Nhận xét: Dễ dàng thấy phương trình (1) hệ đưa phương trình tích, từ ta tìm x theo y, thay vào phương trình (2), từ tìm giá trị y, giá trị x Lời giải • Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ (∗) x2 − xy − 2y − (x + y) = pt (1) ⇔ ⇔ x2 − y − y (x + y) − (x + y) = ⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = ⇔ x = 2y + 1, (x + y ≥ 1) GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 10 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Lời giải Với x = 0, khơng thỏa mãn hệ phương trình Với x = chia hai vế (1) (2) cho x2 = ta được:   y    +y =6  y +y =6  x x x x ⇔ 1 y     +y =5  +y −2 =5 x x x Đặt S = y + y; P = Khi ta có x x P.S = S − 2P = Ta có ⇔ S=3 P =2  x=1 x=1 y=1 y=2 Bằng cách thử, Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 2) , (x; y) = ;1    =5  (x + y) + xy Ví dụ 1.10 Giải hệ phương trình:    x2 + y + 2 = 49 xy Nhận xét: Đây hệ đối xứng loại 1, ta đặt ẩn phụ theo tổng tích cách thơng thường hệ phương trình ẩn phức tạp Nhưng thơng qua vài bước biến đổi, sau sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hệ phương trình đơn giản Lời giải Điều kiện x = 0, y = GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 19 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Tốn Ta có       =5  (x + y) +  xy ⇔   2   + 2 = 49  x +y  xy x+ x x2 + x2 + y+ y + y2 + =5 y2 = 49 1 Đặt a = x + ; b = y + x y Khi ta có hệ phương trình a+b=5 a2 + b2 = 53 ⇔ ⇔ a=5−b (5 − b)2 + b2 = 53  a=5−b   b = −2    a=5−b  b=7 ⇔ a=5−b (b + 2) (b − 7) =  a=7   b = −2  ⇔  a = −2  b=7 Do =7 x y + = −2 y x + = −2 x y+ =7 y  √ ∓ 45  x =    y = −1  ⇔    x = −1  √  ∓ 45 y=               x+ Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm √ √ + 45 − 45 (x; y) = ; −1 ; (x; y) = ; −1 2 GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 20 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng (x; y) = 1.3.3 −1; 7+ √ Chuyên đề Toán 45 ; (x; y) = −1; 7− √ 45 PHƯƠNG PHÁP THẾ Rút ẩn biểu thức số từ phương trình vào phương trình để phương trình đơn giản hơn, nhờ ta có hệ phương trình đơn giản Ta thường áp dụng cách với hệ mà ta quan sát thấy phương trình hệ mà ẩn có bậc hai phương trình hệ có biểu thức chung Nhiều phải thơng qua vài bước biến đổi tương đương sử dụng phương pháp Ví dụ 1.11 Giải hệ phương trình: x2 (y + 1) (x + y) = 3x2 − 4x + (1) xy + x + = x2 (2) Nhận xét: Dễ dàng rút y từ phương trình (2) hệ, thay vào phương trình (1) ta phương trình ần x, từ có lời giải sau: Lời giải • Ta thấy x = khơng thỏa mãn phương trình (2) x2 − x − • Với x = 0, (2) ⇔ xy = x − x − ⇔ y = , thay vào x GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 21 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chun đề Tốn phương trình (1) ta được: x2 − x − x2 − x − x +1 x+ = 3x2 − 4x + x x ⇔ x2 − 2x2 − x − = (x − 1) (3x − 1) ⇔ x (x − 1) 2x2 + x − = ⇔ (x − 1) 2x2 + x − = (vìx = 0)  x=1 √  −1 ± 41 x= ⇔ Với x = y√= −1 √ −27 + 41 −1 + 41 y = Với x = 4√ 20 √ −1 − 41 −27 − 41 Với x = y = 20 Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm (x; y) = , (x; y) = (x; y) = (1; −1) √ √ −1 + 41 −27 + 41 ; 20 √ √ −1 − 41 −27 − 41 ; 20 √ Ví dụ 1.12 Giải hệ phương trình: √ 7x + y + √ 2x + y = (1) 2x + y + x − y = (2) √ Nhận xét: Cả hai phương trình hệ có biểu thức 2x + y nên √ từ phương trình (2) ta rút 2x + y = + y − x vào phương trình (1) Lời giải Điều kiện: 7x + y ≥ 2x + y ≥ GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 22 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng • Từ phương trình (2) suy Chuyên đề Toán √ 2x + y = + y − x (x − y ≤ 2), √ vào phương trình (1) ta được: 7x + y = + x − y (x − y ≥ −3) • Do ta được:     −3 ≤ x − y ≤ 7x + y = + x2 + y + 6x − 2xy − 6y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    2x + y = + y + x2 + 4y − 4x − 2xy     −3 ≤ x − y ≤ 5x + 2y = + 10x − 10y    2x + y = + y + x2 + 4y − 4x − 2xy     −3 ≤ x − y ≤ x = 2y −    (2y − 1) + y = + y + (2y − 1)2 + 4y − (2y − 1) − 2xy     −3 ≤ x − y ≤ x = 2y −    y − 11y + 11 =    −3 ≤ x − y ≤    √     x = 10 + 77   √    11 + 77  y =  2√          x = 10 − √77      11 − 77   y=  √  x = 10 − 77 √ 11 − 77 y= Bằng cách thử, hệ phương trình cho có nghiệm √ √ 11 − 77 (x; y) = 10 − 77; GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 23 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chun đề Tốn Ví dụ 1.13 Giải hệ phương trình: x3 + 2xy + 12y = (1) x2 + 8y = 12 (2) Nhận xét: Nếu thay 12 = x2 + 8y vào phương trình (1) ta biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích Lời giải Thay 12 = x2 + 8y vào phương trình (1) ta được: x3 + 2xy + x2 + 8y y = ⇔ (x + 2y) x2 − xy + 4y = x = −2y ⇔ x2 − xy + 4y =     Hệ phương trình cho tương đương     Giải hệ (I):   x = −2y  ⇔  y2 =  x = −2y 2 x + 8y = 12 (I) x2 − xy + 4y = x2 + 8y = 12 (II) x = −2 y=1 x=2 y = −1   x − y + 15 y = ⇔ Giải hệ (II):  x2 + 8y = 12 x = 0; y = x2 + 8y = 12 hệ vô nghiệm Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (2; −1) Ví dụ 1.14 Giải hệ phương trình: GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền y + xy + 3x − 6y = (1) x2 + xy = (2) Trang 24 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Lời giải Ta có y + xy + 3x − 6y = (1) Chuyên đề Toán y + xy + 3x − 2.3y = (3) ⇔ x2 + xy = (2) x2 + xy = Thay = x2 + xy vào phương trình (3) ta được: y + xy + x2 + xy x − 2y x2 + xy = ⇔ (x + y) (x − y)2 = x = −y ⇔ x=y • Với x = −y, thay vào phương trình (2) ta y − y = 3, phương trình vơ nghiệm • Với x = y, thayvào phương trình (2), ta được: y=  y2 + y2 = ⇔   y=− Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ; GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền , (x; y) = − ;− Trang 25 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.1 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 2.1 Giải hệ phương trình sau: y (xy − 2) = 3x2 y + x2 y + 2x = Gợi ý: Cộng theo vế hai phương trình biến đổi thành phương trình tích Đáp số: (x; y) = (0; 0) , (x; y) = −1 √ √ ; − , (x; y) = (2; −2) 3  2   y +1 = x +1 y x Bài tập 2.2 Giải hệ phương trình sau:   x2 + 3y = Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích Đáp số: (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−1; −1) , √ √ (x; y) = 3; √ ; (x; y) = − 3; − √ 3 Bài tập 2.3 Giải hệ phương trình sau: x2 + xy = x3 + y + 18y = 27 Gợi ý: Thay = x3 + xy vào phương trình (2) Đáp số: (x; y) = (2; 1) Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Bài tập 2.4 Giải hệ phương trình sau: xy + x + = 7y x2 y + xy + = 13y Gợi ý: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt x + Đáp số: (x; y) = (3; 1) , (x; y) = 1; x = a, = b y y Bài tập 2.5 Giải hệ phương trình sau: x2 − xy + x − y = 3x2 − 3xy − 5x + 5y = Gợi ý: Thế = (x + 1) (x − y) vào phương trình (2) biến đổi thành phương trình tích Đáp số: (x; y) = (3; 2) Bài tập 2.6 Giải hệ phương trình sau: x2 + xy + y = 19(x − y)2 x2 − xy + y = (x − y) Gợi ý: Viết phương trình (1) dạng phương trình bậc hai ẩn x Đáp số: (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2; −3) , Bài tập 2.7 Giải hệ phương trình sau: 4x2 + y − 4xy = 4x2 + 2y − 4xy = Gợi ý: Trừ theo vế phương trình (2) phương trình (1) biến đổi thành phương trình tích Đáp số: (x; y) = (0; 1) , (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (0; −1) , (x; y) = (−1; −1) , (x; y) = GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền 1 − √ ; √ , (x; y) = 5 1 √ ; −√ , 5 Trang 27 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Bài tập 2.8 Giải hệ phương trình sau x2 + y + x + y = x2 − 3y + 2xy − x + 5y − = Gợi ý: Viết phương trình (2) dạng phương trình bậc hai ẩn x Đáp số: (x; y) = (x; y) = (1; 2) , (x; y) = (−3; −2) , √ √ √ √ −1 − 69 − 69 −1 + 69 + 69 ; , (x; y) = ; 10 10 10 10   x2 + y + 2xy = x+y Bài tập 2.9 Giải hệ phương trình sau: √ x + y = x2 − y Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích Đáp số: (x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−2; 3) Bài tập 2.10 Giải hệ phương trình sau: x3 − y = 4x + 2y x2 − = − y Gợi ý: Thay = x2 + 3y vào phương trình (1) biến đổi thành phương trình tích Đáp số: (x; y) = (2; 0) , (x; y) = (−2; 0) , (x; y) = (x; y) = √ √ − ; 7 GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền √ √ 7 − ; 7 , , (x; y) = (−1; 1) , (x; y) = (1; −1) , Trang 28 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Bài tập 2.11 Giải hệ phương trình sau: x2 − 2xy + x − 2y + = y − x2 + 2xy + 2x − = Gợi ý: Nhân hai vế phương trình (1) với (2) cộng theo vế phương trình (2) Đáp số: (x; y) = √ √ −5 − 21 −1 − 21 ; 2 , (x; y) = Bài tập 2.12 Giải hệ phương trình sau: √ √ −5 + 21 −1 + 21 ; 2 , x xy − 2y = x2 + y − 2xy = Gợi ý: Trừ vế với vế phương trình (1) phương trình (2) biến đổi thành phương trình tích Đáp số: (x; y) = (3; 1) , (x; y) = (−1; −1) , √ √ (x; y) = + 10; , (x; y) = − 10; ,    x2 + = y Bài tập 2.13 Giải hệ phương trình sau: 4x   x− − = −2 y y Gợi ý: Đặt x − 4x = a, =b y y Đáp số: (x; y) = (0; 1) , (x; y) = GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền √ √ 2+2 1+ ; Trang 29 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng (x; y) = Chuyên đề Toán √ √ 2−2 1− ; Bài  tập 2.14 Giải hệ phương trình sau:   x − 2y − + = x   x2 − 4xy + 4y − +1=0 x2 Gợi ý: Đặt x − 2y = a, =b x Đáp số: (x; y) = (2; 1) Bài tập 2.15 Giải hệ phương trình sau: x4 − x3 y + x2 y = x3 y − x2 + xy = −1 Gợi ý: Trừ vế với vế phương trình (1) phương trình (2), Rồi đặt x2 − xy = t Đáp số: (x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−1; 0) , Bài tập 2.16 Giải hệ phương trình sau: (x − y) x2 + y = 13 (x + y) x2 − y = 25 Gợi ý: Trừ theo vế phương trình (1) phương trình (2), đặt x − y = a, xy = b Đáp số: (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2; −3) , Bài tập 2.17 Giải hệ phương trình sau: x2 + y + x + y = x (x + y + 1) + y (y + 1) = Gợi ý: Phương pháp GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 30 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Đáp số: √ √ √ √ (x; y) = − 2; , (x; y) = 2; − (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2) Bài tập 2.18 Giải hệ phương trình sau: x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + x2 + 2xy = 6x + 6x + − x2 vào phương trình (1) 17 Đáp số: (x; y) = −4; Gợi ý: Thế xy = Bài tập 2.19 Giải hệ phương trình sau: x (x + 2) (2x + y) = x2 + 4x + y = Gợi ý: Đặt x (x + 2) = a; 2x + y = b Đáp số: (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−3; 9) √ Bài tập 2.20 Giải hệ phương trình sau: 2x + y + − √ x+y =1 3x + 2y = Gợi ý: Đặt ẩn phụ Đáp số: (x; y) = (2; −1) Bài  tập 2.21 Giải hệ phương trình sau:   =7  4xy + x2 + y + (x + y)2   =3  2x + x+y Gợi ý: Đặt ẩn phụ Đáp số: (x; y) = (1; 0) GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 31 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Chuyên đề Toán Trang 32 KẾT LUẬN Kiến thức trình bày chuyên đề giảng dạy cho em học sinh giỏi lớp lớp luyện thi vào lớp 10 Kết thu khả quan, em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi mới, hay, em có niềm tin học tập, khơng ngại khó, u thích mơn Tốn Với loại hệ phương trình người thầy phải biết phân loại bài, biết vận dụng sáng tạo phương pháp định hướng cách giải cho học sinh Mặc dù cố gắng thực chun đề khơng tránh khỏi thiếu xót, hạn chế định Vì tơi mong muốn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề hoàn thiện Để hoàn thành chuyên đề xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng chí tổ Tốn - Lý - Tin đóng góp ý kiến, giúp đỡ tơi suốt trình làm chuyên đề Phúc Yên, ngày 07 tháng 03 năm 2014 Người viết Nguyễn Thị Thanh Huyền ... 1.3 Chuyên đề Toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Khơng có phương pháp chung để giải hệ phương trình khơng mẫu mực Tùy theo đặc trưng phương trình hệ mà ta lựa chọn phương. .. dưỡng chuyên môn đồng thời giúp em học sinh lớp có thêm vài phương pháp giải hệ phương trình nên tơi viết chuyên đề với tên đề tài: "Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực" Với số phương. .. lúng túng giải hệ phương trình đặc biệt hệ phương trình khơng mẫu mực Làm để học sinh tìm tịi khám phá đưa việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực giải hệ phương trình quen thuộc, vấn đề trăn trở,