CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHÂN DẠNG TOÁN HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG” I.Tác giả sáng kiến: Họ tên: Đào Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trƣờng THCS Hợp Giang II Lĩnh vực áp dụng: Áp dụng cho giảng dạy học tập thuộc mơn Tốn 9, phân mơn Đại số 9, cấp THCS III.Thực trạng trước áp dụng sáng kiến: Là giáo viên dạy Toán lớp 9, nhiều năm đƣợc nhà trƣờng phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lƣợng cho phép, thực ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy hệ thức Vi-ét tơi thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập nhƣ SGK, SBT chƣa cung cấp đủ phƣơng tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Nhƣ kết làm em khơng cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào THPT tỉnh nói chung tỉnh Cao Bằng nói riêng có phần kiến thức hệ thức Vi-ét Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi nảy sinh việc viết sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” IV Mô tả chất sáng kiến Tính mới, tính sáng tạo, tính khoa học: Trong chƣơng trình Đại số bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng phong phú việc giải tốn nhƣ: Tính nhẩm nghiệm phƣơng trình bậc hai, tìm hai số biết tổng tích chúng, lập phƣơng trình bậc hai có nghiệm cho trƣớc, tìm mối liên hệ nghiệm phƣơng trình bậc hai Các ứng dụng giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức tốn học khác rèn luyện kĩ trình bày, phân tích, tổng hợp Tuy nhiên giải tập hệ thức Viét học sinh gặp nhiều lúng túng, khơng có kĩ phân tích đề, phƣơng pháp giải khơng khoa học Ngun nhân em chƣa đƣợc hƣớng dẫn cụ thể theo dạng Vậy làm để giúp học sinh nắm kiến thức phƣơng pháp giải tập hệ thức Vi-ét tiến hành tìm tịi nghiêm cứu, tập hợp tốn hệ thức Vi-ét từ tiến hành phân dạng rõ ứng dụng dạng Trên sở tơi viế sáng kiến “Phân dạng tốn hệ thức Vi-ét ứng dụng” 1.1 Đối với giáo viên: Khi dạy vè hệ thức Vi-ét, chƣơng trình thời lƣợng khơng nhiều có tiết lí thuyết tiết luyện tập Thông thƣờng giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chƣơng trình với nội dung SGK mà không đầu tƣ cho việc hệ thống, phân dạng tập hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể SGK SBT số lƣợng không nhiều, chƣa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề thi vào THPT Do kết học tập học sinh tập hệ thức Vi-ét thƣờng không cao giáo viên tập hợp xếp đầy đủ khoa học 1.2 Đối với học sinh: Tháng năm 2016 sau hồn thành việc giảng dạy ơn tập toán hệ thức Vi-ét chƣa áp dụng áp dụng sáng kiến, tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp với đề toán sau (thời gian làm 30 phút): Bài (5,0 điểm): Tính tổng tích hai nghiệm phƣơng trình: a) 25x2 + 10x + = b) x2 - 2x + m = Bài (5,0 điểm): Cho phƣơng trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phƣơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x x Với hai toán đƣa ra, kiểm tra kiến thức tơi thấy số lƣợng em giải trọn vẹn hai chiếm ít, số em giải đƣợc toán 1, phần a, phần lớn em trình bày lời giải cịn mắc nhiều sai lầm, ngộ nhận, thiếu sở dẫn chứng (bài 1, phần b) khơng tìm hƣớng làm Ngun nhân: - Không nắm hệ thức Vi-ét ứng dụng - Không biết làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập Kết khảo sát khối lớp cụ thể nhƣ sau: Năm học 20162017 Giỏi Sĩ Khá Yếu TB Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 86 5,8 10,5 58 67,4 11 12,8 3,5 Qua kết ta thấy số tỉ lệ giỏi chƣa cao, tỉ lệ dƣới trung bình cịn nhiều Từ thực trạng nhƣ vậy, tơi dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến năm 2017-2018 khẳng định đƣợc kết sáng kiến Các biện pháp 2.1 Ơn tập lí thuyết * Định lí Vi-ét: (thuận) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a x1 x 1x x ) b a c a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trƣớc nghiệm phƣơng trình bậc hai suy nghiệm Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, cịn nghiệm x2 = - c a * Định lí Vi-ét: (đảo) u Nếu hai số u, v thỏa mãn v u v S hai số hai nghiệm phương P trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P 0) 2.2 Các dạng toán phương pháp giải Dạng tốn 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Trƣớc áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phƣơng trình ' có bậc hai ẩn có hai nghiệm hay khơng (Tức kiểm tra a , thỏa mãn khơng) Ví dụ (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng tích hai nghiệm phƣơng trình: a) 2x2 - 17x + = b) 25x2 + 10x + = Giải a) 2x2 - 17x + = (a = 0, b = -17, c = 1) 17 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 281 x1 x b b) 25x2 + 10x + = (a = 25 Ta có: Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có: ' 2 a 17 , x x c a 0, b = 2b’ = 10, c = 1) Phƣơng trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x b 10 a 25 , x x c a 25 Ví dụ (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị m để phƣơng trình có nghiệm, tính tổng tích nghiệm theo m: a) x2 - 2x + m = b) x2 + m x + m2 = Giải a) x2 - 2x + m = (a = Ta có: ' 1 m m 0, b = 2b’ = - 2, c = m) ' m m Vậy với m Để phƣơng trình có nghiệm 1, phƣơng trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 b x a , x x b) x2 + m c m x + m2 = (a = Ta có: ' m a 1 m Để phƣơng trình có nghiệm m ' 0, b = 2b’ = 2m m 2m m 1 2m , c = m) m Vậy với m phƣơng x1 trình b x a có hai m nghiệm x1, x2 1 m , x x Theo c m a hệ thức , Vi-ét, ta có: m Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phƣơng trình bậc hai ẩn ax + bx + c = ( a ), ta áp dụng nhận xét sau: Trƣờng hợp (Trƣờng hợp đặc biệt): Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 = Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a c a ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = Trƣờng hợp 2: Cho phƣơng trình x2 + bx + c = Ta thực theo bƣớc: c a Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x1 x2 x1 x x x b c Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính đƣợc m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bƣớc (kết luận) - Nếu m + n - b, ta chuyển sang bƣớc Bước 3: Kết luận: Phƣơng trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n Chú ý: Thuật toán có tính dừng đƣợc hiểu nhƣ sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu tìm cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp khơng nhẩm nghiệm Ví dụ: Ví dụ (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = để tính nhẩm nghiệm phƣơng trình sau: a) 35x2 - 37x + = b) x2 - 49x - 50 = Giải a) 35x2 - 37x + = Nhận thấy phƣơng trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do phƣơng trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c a 35 b) x2 - 49x - 50 = Nhận thấy phƣơng trình có a - b + c = - (-49) + (-50) = Do phƣơng trình có nghiệm x1 = - 1, x2 = - c 50 a 50 Ví dụ (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phƣơng trình: a) x2 - 7x + 12 = b) x2 + 6x + = Giải a) x2 - 7x + 12 = Ta thấy x1 mãn Do phƣơng trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa x x x 1 x1 12 x x x 12 4 Vậy phƣơng trình cho có hai nghiệm x1 = x2 = b) x2 + 6x + = Ta thấy x1 x x x ' x1 Do phƣơng trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x x x 2 Vậy phƣơng trình cho có hai nghiệm x1 = - x2 = - Nhận xét: Đối với phƣơng trình có dạng nhƣ ví dụ giải phƣơng trình nhẩm nghiệm nhanh gọn việc vận dụng công thức nghiệm (cơng thức nghiệm thu gọn) Dạng tốn 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm Phương pháp: Giả sử phƣơng trình ax2 + bx + c = ( a nghiệm lại x2 ? Ta làm nhƣ sau: Dùng hệ thức Vi-ét thức, ta có x b vào hệ thức, ta có a x2 b x1 m a : x1 ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm x1 x2 = ta dùng hệ thức a c c :m b a x x Thay x1 = m vào hệ c a Thay x1 = m a Ví dụ (Bài 39/SBT-Trang 44): a) Chứng tỏ phƣơng trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm b) Chứng tỏ phƣơng trình -4x2 - 3x + 115 = có nghiệm Tìm nghiệm Giải a) x1 = - nghiệm phƣơng trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Cách 1: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 b = = a x x1 3 3 3 Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x c 21 a x : x1 : 3 b) x1 = nghiệm phƣơng trình -4x2 - 3x + 115 = Vì -4.52 – 3.5 + 115 = - 100 – 15 + 115 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: c x x 115 a 115 x2 4 115 : x1 23 :5 4 Ví dụ (Bài 40/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phƣơng trình, tìm giá trị m trƣờng hợp sau: a) x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7; b) 3x2 – 2(m – 3)x + = 0, biết nghiệm x1 = Giải a) x2 + mx - 35 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x 35 : x1 35 : x x c 35 a 35 Mà x1 = nên suy ra: Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 b = m = a Vậy x2 = m m m ,m= b) 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x : x1 : x x c a Mà x1 = nên suy ra: Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 = b = m a Vậy x2 = 5, m = 11 3 m 16 2m m 11 Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng hệ thức Vi-ét trƣớc, sau sử dụng hệ thức Vi-ét x1 x2 b = x x c trƣớc để tìm x2 a (vì lúc biết x1 x2) để a suy giá trị tham số Dạng tốn 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số u, v thỏa mãn u v S u v hai số hai nghiệm phương P trình x2 – Sx + P = (1) Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P đƣợc: u x1 v x u x v x1 0) ta Ví dụ: (Bài 28/SGK-Trang 53): Tìm hai số u v trƣờng hợp sau: a) u + v = 32, u.v = 231; b) u + v = -8, u.v = - 105; c) u + v = 2, u.v = Giải a) Ta có u + v = 32, u.v = 231 Do u v nghiệm phƣơng trình: x2 - 32x + 231 = 32 100 100 Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 10 32 10 1; x 32 10 11 Vậy u = 21, v = 11 u = 11, v = 21 b) Ta có u + v = -8, u.v = - 105 Do u v nghiệm phƣơng trình: x2 + 8x - 105 = 105 484 22 Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 22 7; x Vậy u = 7, v = -15 u = -15, v = c) Ta có u + v = 2, u.v = Do u v nghiệm phƣơng trình: x2 - 2x + = 2 32 Phƣơng trình vơ nghiệm 22 15 Vậy không tồn cặp u, v thỏa mãn điều kiện Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau áp dụng sáng kiến, với so sánh đối chiếu kết trƣớc sau áp dụng khẳng định sáng kiến giúp giáo viên giảng dạy chủ đề kiến thức hệ thức Vi-ét nhẹ nhàng nhƣng đầy đủ hấp dẫn, lôi đối tƣợng học sinh tham gia học tập Học sinh tích cực, chủ động có nhiều em biểu sáng tạo, say mê, kết làm cao Đặc biệt kì thi tuyển sinh vào THPT năm học 2017-2018 học sinh làm tốt tập dạng 3.Khả điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Sáng kiến kịnh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trƣờng đại trà Giúp giáo viên có tài liệu phƣơng pháp giảng dạy, ôn tập kiến thức hệ thức Viét cách đầy đủ khoa học Giúp học sinh nâng cao kết việc giải toán hệ thức Vi-ét củng cố đƣợc nhiều kiến thức tốn học khác Từ góp phần nâng cao kết thi vào THPTcho học sinh tạo tiền đề vững cho em trình học tập sau 4.Thời gian người tham gia Để áp dụng sáng kiến giáo viên cần tích cực đọc nghiên cứu tài liệu liên quan, nắm phƣơng pháp giải dạng toán sáng kiến Học sinh có đầy đủ SGK, SBT nắm vững định lí Vi-ét Tơi áp dụng sáng kiến từ tháng năm 2014 cho việc dạy ôn tập cho học sinh trƣờng thi vào THPT năm học 2017-2018 V Kết luận: Mặc dù sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” khẳng định đƣợc tính khả thi giá trị áp dụng song với thời gian trải nghiệm chƣa nhiều lực cá nhân cịn hạn chế nên tính bao qt tồn diện định cịn chƣa hết Tơi mong muốn thân nhƣ đồng nghiệp tiếp tục có tập bổ sung, đóng góp để sáng kiến ln giữ đƣợc tính khả thi giá trị năm học, với việc dạy học theo định hƣớng phát triển lực học sinh việc dạy học theo chủ đề ngày đƣợc quan tâm XÁC NHẬN CỦA TỔ TRƢỞNG CHUYÊN MÔN Hợp Giang, ngày 11 tháng 11 năm 2018 Ngƣời viết sáng kiến Đào Thị Hằng XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ ... nên suy ra: Cũng theo hệ thức Vi- ét, ta có: x1 x2 = b = m a Vậy x2 = 5, m = 11 3 m 16 2m m 11 Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng hệ thức Vi- ét trƣớc, sau sử dụng hệ thức Vi- ét x1 x2 b = x x c trƣớc... giáo vi? ?n dạy toán lớp trƣờng đại trà Giúp giáo vi? ?n có tài liệu phƣơng pháp giảng dạy, ôn tập kiến thức hệ thức Vi? ?t cách đầy đủ khoa học Giúp học sinh nâng cao kết vi? ??c giải toán hệ thức Vi- ét. .. tuyển sinh vào THPT năm học 2017-2018 học sinh làm tốt tập dạng 3.Khả điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Sáng kiến kịnh nghiệm ? ?Phân dạng tốn hệ thức Vi- ét ứng dụng? ?? có khả áp dụng rộng