Nên ta có một tổng với các đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối nhau số trừ của nhóm trớc bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp, cứ nh vậy các số hạng trong tổng đều đợc khử liên tiế[r]
(1)Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách Bµi 1: TÝnh B = + + + + 98 + 99 NhËn xÐt: NÕu häc sinh nµo cã sù s¸ng t¹o sÏ thÊy tæng: + + + + 98 + 99 cã thÓ tÝnh hoµn toµn t¬ng tù nh bµi 1, cÆp sè ë gi÷a vÉn lµ 51 vµ 50, (v× tæng trªn chØ thiÕu sè 100) vËy ta viÕt tæng B nh sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thÊy tæng ngoÆc gåm 98 sè h¹ng, chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, đó B = + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có số hạng thì đợc 49 cặp và d số hạng, cặp thứ 49 thì gồm số hạng nào? Số hạng d là bao nhiêu?), đến đây học sinh bị vớng mắc Ta cã thÓ tÝnh tæng B theo c¸ch kh¸c nh sau: C¸ch 2: + B = + + + + 97 + 98 + 99 B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 Bµi 2: TÝnh C = + + + + 997 + 999 Lêi gi¶i: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ ¸p dông c¸c bµi trªn ta cã C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tæng trªn cã 250 cÆp sè) C¸ch 2: Ta thÊy: = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 - 999 = 2.500 - Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ trên xuống dới ta có thể xác định đợc sè c¸c sè h¹ng cña d·y sè C lµ 500 sè h¹ng ¸p dông c¸ch cña bµi trªn ta cã: C = + + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bµi TÝnh D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng tổng D là các số chẵn, áp dụng cách làm bài tập để tìm số các số hạng tổng D nh sau: Ta thÊy: 10 = 2.4 + 12 = 2.5 + 14 = 2.6 + (2) 998 = 2.498 + Tơng tự bài trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng D là 495, mặt 495 998 10 1 hay kh¸c ta l¹i thÊy: sè c¸c sè h¹ng = (sè h¹ng ®Çu - sè h¹ng cuèi) : kho¶ng c¸ch råi céng thªm Khi đó ta có: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 D (998 10)495 Thùc chÊt Qua các ví dụ trên , ta rút cách tổng quát nh sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), kho¶ng c¸ch gi÷a hai sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y lµ d, Khi đó số các số hạng dãy (*) là: n Sn un u1 1 d (1) n(u1 un ) (2) Tæng c¸c sè h¹ng cña d·y (*) lµ Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính đợc số hạng thứ n dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d n(n 1) HoÆc u1 = d = th× S1 = + + + + n Bµi TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lêi gi¶i Ta cã thÓ ®a c¸c sè h¹ng cña tæng trªn vÒ d¹ng sè tù nhiªn b»ng c¸ch nh©n c¶ hai vÕ với 100, đó ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 E = 4954,05 (1011 9899).98 9910 = 485495 + 9910 = 495405 (9899 1011) 98 101 (Ghi chó: V× sè c¸c sè h¹ng cña d·y lµ ) Bµi Ph©n tÝch sè 8030028 thµnh tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp Lêi gi¶i Gäi a lµ sè tù nhiªn ch½n, ta cã tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp lµ: a (a 4006) 2004 ( a 2003).2004 S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = Khi đó ta cã: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004 VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 (3) NhËn xÐt: Sau gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n ë d¹ng trªn ta kh«ng thÊy cã víng m¾c g× lín, bëi v× đó là toàn bài toán mà học sinh khá không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên đó là các sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp chút (4) Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách Bµi TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lêi gi¶i Ta thấy số hạng tổng trên là tích hai số tự nhên liên tiếp, đó: Gäi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng vế các đẳng thức trên ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 n( n 1) 3 = n(n + 1)(n + 2) A = C¸ch 2: Ta cã 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) n(n 1)(n 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = * Tæng qu¸t ho¸ ta cã: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong đó k = 1; 2; 3; … Ta dÔ dµng chøng minh c«ng thøc trªn nh sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bµi TÝnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lêi gi¶i ¸p dông tÝnh kÕ thõa cña bµi ta cã: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) (n 1)n(n 1)(n 2) B= Bµi TÝnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lêi gi¶i Ta thÊy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n VËy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n n(n + (5) = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = 3(2n 2) n n(n 1)(n 2) 3(2n 2)n n( n 1)( n 5) C= 3 = n(n + 1)(n + 2) + = Bµi TÝnh D = 12 + 22 + 32 + … + n2 NhËn xÐt: C¸c sè h¹ng cña bµi lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp, cßn ë bµi này là tích hai số tự nhiên giống Do đó ta chuyển dạng bài tập 1: Ta cã: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) MÆt kh¸c theo bµi tËp ta cã: n(n 1)(n 2) n(n 1) 12 + 2 + + … + n = = A= vµ + + + … + n = n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(2n 1) - = Bµi TÝnh E = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lêi gi¶i T¬ng tù bµi to¸n trªn, xuÊt ph¸t tõ bµi to¸n 2, ta ®a tæng B vÒ tæng E: Ta cã: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) n( n 1) - (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - n(n 1) (n 1)n(n 1)(n 2) (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + Mà ta đã biết B = E = + 23 + 33 + … + n = n(n 1) (n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1) = + = C¸ch 2: Ta cã: A1 = 13 = 12 A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Gi¶ sö cã: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chøng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) k (k 1) Thật vậy, ta đã biết: + + + … + k = k ( k 1) Ak = [ ] (1') Céng vµo hai vÕ cña (1') víi (k + 1)3 ta cã: (6) k (k 1) k ( k 1) Ak + (k + 1)3 = [ ]2 + (k + 1)3 Ak+1 = [ ]2 + (k + 1)3 (k 1)(k 2) = Vậy tổng trên đúng với Ak+1, tức là ta luôn có: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 = (k 1)(k 2) = Vậy đó ta có: n( n 1) E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + + + … + n)2 = Lêi b×nh: - Víi bµi tËp trªn ta ¸p dông kiÕn thøc vÒ quy n¹p To¸n häc - Bµi tËp trªn chÝnh lµ d¹ng bµi tËp vÒ tæng c¸c sè h¹ng cña mét cÊp số nhân (lớp 11) nhng chúng ta có thể giải đợc phạm vi cấp THCS Bµi (Trang 23 SGK To¸n tËp 1) Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh đợc tổng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lêi gi¶i 2 2 Ta cã: S = + + + … + 20 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 thì ta có: S = 4.P Do đó, cho S thì ta tính đợc P và ngợc lại Tổng quát hóa ta có: n(n 1)(2n 1) P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = (theo kÕt qu¶ ë trªn) Khi đó S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 đợc tính tơng tự nh bài trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = 4n(n 1)(2n 1) 2n(n 1)(2n 1) = = n(n 1) Cßn: P = 13 + 23 + 33 + … + n3 = Ta tÝnh S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 nh sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lóc nµy S = 8P, 8.n ( n 1) n( n 1) 2n (n 1)2 VËy ta cã: S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 = ¸p dông c¸c kÕt qu¶ trªn, ta cã bµi tËp sau: Bµi a) TÝnh A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) TÝnh B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 Lêi gi¶i 2 a)Theo kÕt qu¶ bµi trªn, ta cã: + + 32 +…+ (2n)2 = (7) 2n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) = Mµ ta thÊy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)2 = n(2n 1)(4n 1) 2n(n 1)(2n 1) 2n (2n 1) 3 = = b) Ta cã: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 ¸p dông kÕt qu¶ bµi tËp trªn ta cã: 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2 VËy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 Ngµy d¹y: 20/9/2009 (8) Mét sè bµi tËp d¹ng kh¸c Bµi TÝnh S1 = + + 22 + 23 + … + 263 Lêi gi¶i C¸ch 1: Ta thÊy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1) 2S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263) = 264 - Hay S1 = 264 - C¸ch 2: Ta cã: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1) = + 2(S1 - 263) = + 2S1 - 264 S1 = 264 - Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Lêi gi¶i: C¸ch 1: ¸p dông c¸ch lµm cña bµi 1: Ta cã: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta đợc: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) 32001 2S = 32001 - S = Hay: C¸ch 2: T¬ng tù nh c¸ch cña bµi trªn: Ta cã: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 32001 2S = 32001 - S = *) Tæng qu¸t ho¸ ta cã: S n = + q + q + q3 + … + q n Khi đó ta có: C¸ch 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (1) (2) q n 1 Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: (q - 1)S = qn+1 - S = q C¸ch 2: Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn) = + qSn - qn+1 qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 - q n 1 S = q Bµi Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 H·y so s¸nh A vµ B C¸ch 1: Ta thÊy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (V× 26 = 2.25) VËy râ rµng ta thÊy B > A Cách 2: áp dụng cách làm các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn, thËt vËy: (9) A = + + 22 + 23 + … + 29 (1) 2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29) = 210 - hay A = 210 - Cßn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 VËy B > A * Ta có thể tìm đợc giá trị biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh đợc A víi B mµ kh«ng gÆp mÊy khã kh¨n Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1) Ta cã: 6S = + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta đợc: 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) §Æt S' = + 62 + 63 + … + 699 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 6100 6100 499.6100 S' = 5 thay vµo (*) ta cã: 5S = 100.6100 - - = 499.6100 S= 25 Bµi Ngêi ta viÕt d·y sè: 1; 2; 3; Hái ch÷ sè thø 673 lµ ch÷ sè nµo? Lêi gi¶i Ta thấy: Từ đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ sè cña d·y lµ: 673 - 189 = 484 ch÷ sè, nh vËy ch÷ sè thø 673 ph¶i n»m d·y c¸c sè cã ch÷ sè VËy ta xÐt tiÕp: Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Nh từ đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sÏ lµ ch÷ sè cña sè 261 Mét sè bµi tËp tù gi¶i: TÝnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) TÝnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) TÝnh: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 TÝnh: D = 14 + 24 + 34 + + n4 TÝnh: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 TÝnh: F = + 83 + 85 + … + 8801 TÝnh: G = + 99 + 999 + … + 99 … (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9) TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n! Cho d·y sè: 1; 2; 3; … Hái ch÷ sè thø 2007 lµ ch÷ sè nµo? ***************************************************** (10) thÓ lo¹i to¸n vÒ ph©n sè: 1 1 ( n 1).n Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = 1.2 2.3 3.4 Lêi gi¶i 1 1 1 n n sau bá dÊu ngoÆc ta cã: Ta cã: A = 1 n n n A= Nhận xét: Ta thấy các giá trị tử không thay đổi và chúng và đúng hiệu m 1 hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng: b(b m) b b m (Hiệu hai thừa số mẫu luôn giá trị tử thì phân số đó luôn viết đợc dới dạng hiệu hai phân số khác với các mẫu tơng ứng) Nên ta có tổng với các đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối (số trừ nhóm trớc số bị trừ nhóm sau liên tiếp), nh các số hạng tổng đợc khử liên tiếp, đến tổng còn số hạng đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực phép tính đơn giản 4 4 95.99 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = 3.7 7.11 11.15 4 95.99 vËn dông c¸ch lµm cña phÇn nhËn xÐt, ta B = 3.7 7.11 11.15 có: - = (đúng tử) nên ta có: 1 1 32 1 1 1 95 99 = 99 99 B = 7 11 11 15 72 72 72 72 65.72 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C = 2.9 9.16 16.23 NhËn xÐt: Ta thÊy: - = ≠ 72 ë tö nªn ta kh«ng thÓ ¸p dông c¸ch lµm cña các bài trên (ở tử chứa 72), giữ nguyên các phân số đó thì ta không thể tách đ7 1 ợc thành hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên đợc Mặt khác ta thấy: 2.9 , vì để giải đợc vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung ngoài dấu ngoặc, đó thực bên ngoặc đơn giản Vậy ta có thể biến đổi: 7 1 1 1 1 65.72 = 65 72 = 9 16 16 23 C = 2.9 9.16 16.23 (11) 35 29 1 7 3 72 72 = 72 3 3 49.51 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc D = 1.3 3.5 5.7 Lêi gi¶i Ta lại thấy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách nào đó ta ®a ngoµi vµ ®a vµo thay thÕ 2 3 3 3 2 2 49.51 = 1.3 3.5 5.7 49.51 Ta cã: D = 1.3 3.5 5.7 31 1 1 1 1 50 25 3 5 49 51 51 51 17 = = 1 1 1 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E = 91 247 475 775 1147 Lêi gi¶i Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 775 = 25.31 ; T¬ng tù bµi tËp trªn ta cã: 247 = 13.19 ; 1147 = 31.37 475 = 19.25 1 6 6 6 E = 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 = 11 1 1 1 1 1 36 = 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 = 37 37 37 Bµi (§Ò thi chän HSG To¸n - TX Hµ §«ng - Hµ T©y - N¨m häc 2002 - 2003) 2 2 117.120 2003 vµ So s¸nh: A = 60.63 63.66 5 5 76.80 2003 B = 40.44 44.48 Lêi gi¶i 2 3 117.120 2003 = L¹i ¸p dông c¸ch lµm ë bµi trªn ta cã: A= 60.63 63.66 2 1 1 1 2 1 2 117 200 2003 = 60 120 2003 120 2003 = = 60 63 63 66 = 180 2003 T¬ng tù c¸ch lµm trªn ta cã: 5 1 5 5 B = 40 80 2003 80 2003 64 2003 (12) 4 2 Ta l¹i cã: 2A = 180 2003 180 2003 90 2003 Tõ ®©y ta thÊy B > 2A th× hiÓn nhiªn B > A Bµi (§Ò thi chän HSG To¸n n¨m häc 1985 - 1986) So s¸nh hai biÓu thøc A vµ B: 1 124 16.2000 1.1985 2.1986 3.1987 A= 1 1 1984.2000 B = 1.17 2.18 3.19 Lêi gi¶i 124 1 1 1 16 2000 = Ta cã: A = 1984 1985 1986 1987 1 16 = 16 Cßn 1 2000 1985 1986 B = 1 1 1 16 17 18 1984 2000 = 1 1 16 1984 17 18 2000 = 1 1 1 1 1 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000 = 16 1 1 16 1985 1986 2000 = 16 VËy A = B ************************************************ (13) thÓ lo¹i to¸n vÒ ph©n sè (tiÕp) Bµi Chøng tá r»ng: 1 1 13 25 n n 1 víi mäi n N Lêi gi¶i Ta kh«ng thÓ ¸p dông c¸ch lµm cña c¸c bµi tËp trªn, mµ ta thÊy: 2 2 ; ; 2 2.4 13 4.6 25 6.8 ta ph¶i so s¸nh: n (n 1) víi: 2n(2n 1) 1 1 2 2 ThËt vËy: n (n 1) = n (n 1) 2n 2n cßn 2n(2n 2) n(2n 2) 2n 2n 2 nªn hiÓn nhiªn n (n 1) < 2n(2n 1) n N 1 1 2 2 13 25 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) n n 1 VËy ta cã: 1 1 1 1 ; ; Mµ: 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 2n 2n nªn: 2 2 1 1 1 1 1 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 4 6 n n = 2n 2 lµ hiÓn nhiªn víi mäi sè tù nhiªn n 1 1 1 1 1 1 n (n 1) 4 6 2n 2n hay VËy: 13 25 1 1 13 25 n (n 1) 2n 2 (1.2) (2.3) n(n 1) Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = Lêi gi¶i 1 1 1 1 2 2 2 (n 1) n n ( n 1) Ta cã ngay: M = 2 1 = (n 1)2 (n 1)(n 1) n 2n n 2n n(n 2) (n 1) ( n 1) = (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) 1 1 n(n 1)(n 2) Bµi 10 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc N = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 Lêi gi¶i 1 2 2 n.(n 1)(n 2) Ta cã: N = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 1 1 1 1 n.( n 1) (n 1)(n 2) = 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 11 = (n 1)(n 2) (14) 1 (n 1).n(n 1)( n 2) Bµi 11 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H = 1.2.3.4 2.3.4.5 Lêi gi¶i 3 (n 1).n.(n 1).(n 2) Ta cã: H = 1.2.3.4 2.3.4.5 1 1 1 1 (n 1).n.(n 1) n.(n 1).(n 2) = 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 1 1 = n(n 1)(n 2) 12 12 12 12 54.57.60 Bµi 12 Chøng minh r»ng P = 1.4.7 4.7.10 7.10.12 Lêi gi¶i 6 54.57.60 Ta cã: P = 1.4.7 4.7.10 7.10.13 1 1 1 54.57 57.60 = = 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 854 427 427 1 2 2 3420 855 854 VËy P < = 57.60 1 1 2 100 Bµi 13 Chøng minh r»ng S = Lêi gi¶i ta cã: 1 1 1 1 ; 2 ; 2 2 Ta thÊy: 1.2 2.3 3.4 100 99.100 ¸p dông c¸ch lµm bµi tËp trªn 1 1 1 2 99.100 100 S < 1.2 2.3 3.4 hay S < 1 A= 1.2 3.4 2005.2006 Bµi 14 §Æt 1 A B= 1004.2006 1005.2006 2006.1004 Chøng minh r»ng B Z 1 Lêi gi¶i ¸p dông c¸c bµi trªn, ta cã: 1 1 1 1 1.2 3.4 2005.2006 = 2005 2006 = 1 1 1 2005 2006 = = A= 1 1 2006 - 2006 = = 1 1 1 1 1 2006 - 1003 = 1004 1005 2006 = (15) 1 A 3010 1505 Z 2006 B Cßn B= 3010 1004 1005 Nh vậy, phần này ta đã giải đợc lợng lớn các bài tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên đó là các bài tập nhìn chung không đơn giản Vì để áp dụng có hiệu thì chúng ta cần linh hoạt việc biến đổi theo các hớng sau: - Nếu mẫu là tích thì cách biến đổi thành hiệu các phân số, từ đó ta rút gọn đợc biểu thức tính đợc giá trị - §èi víi c¸c bµi tËp chøng minh ta còng cã thÓ ¸p dông c¸ch lµm vÒ tÝnh gi¸ trÞ cña dãy số, từ đó ta có thể biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng quen thuộc (16) Mét sè bµi to¸n kh¸c n2 n 1 an ( 1) n n! Bµi Víi n N * , kÝ hiÖu H·y tÝnh tæng a1 + a2 + a3 + … + a2007 Lêi gi¶i n n ( 1)n n n ( 1) n n n an ( 1) n! (n 1) n! n! n! Ta thÊy: n N * th×: = n 2 3 4 2006 2007 1! 2! 2! 3! 2005! 2006! Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2007 = a1 + 2007 2007 2006 2007 1! 2006! 2006! - 2005! 2006! 1992 1991 Bµi XÐt biÓu thøc: S = 2 Chøng minh r»ng S < Lêi gi¶i 4 1992 1 1991 1990 4 990 1990 2 = 2 2 Ta cã: 2S = 2 2 1991 1992 1992 1 1990 1991 1991 1990 2 2 2 = = 2 2 1 1 1992 S 1991 2 1 = 1992 1991 S=4- 1 2 1989 1992 3 S 1991 2 1 2 1990 1990 4 hay S < Bµi Ta viÕt lÇn lît c¸c ph©n sè sau: 1990 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 2 3 Số 1930 đứng vị trí nào các phân số trên? Lêi gi¶i Sè thø nhÊt cña d·y sè cã tæng cña tö sè vµ mÉu sè b»ng 2, hai sè tiÕp theo cã tæng cña tö sè vµ mÉu sè b»ng 3, ba sè tiÕp theo cã tæng cña tö vµ mÉu sè b»ng 4… Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách phân số đến mẫu số là 2, cách 1990 phân số đến mẫu số 3, … phân số 1930 đứng vị trí thứ 1930 và nhóm các số có tổng tử và mẫu số 1990 + 1930 = 3920 Số các số đứng trớc nhóm nµy b»ng + + + … + 3918 = 1959.3919 V× nhãm cã tæng cña tö vµ mÉu sè b»ng 3920 thì gồm 3919 số nên nhóm đứng trớc nhóm này gồm 3918 số 1990 Vậy số 1930 đứng vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 Bµi tËp tù gi¶i 1 1 24.25 TÝnh: A = 5.6 6.7 7.8 (17) 52 52 52 52 26.31 TÝnh: B = 1.6 6.11 11.16 1 1 1 1990 996 1990 Chøng minh r»ng: 3 n n! TÝnh: C = 2! 3! 4! 2! 2! 2! 2! n! < Chøng tá r»ng: D = 3! 4! 5! 1 1 1 199 200 Cho biÓu thøc P = 1 a) Chøng minh r»ng: P = 101 102 200 b) G¶i bµi to¸n trªn trêng hîp tæng qu¸t 1 1 n(n 1) kh«ng Chøng minh r»ng: n Z (n 0, n 1) th× Q = 1.2 2.3 3.4 ph¶i lµ sè nguyªn 1 1 2 200 Chøng minh r»ng: S = (18)