HSG Toan 9

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý..[r]

1 Chøng minh r»ng (a10 +b 10) ( a2 +b2 ) ≥ ( a 8+ b8 ) ( a +b ) Cho xy=1, x>y Chøng minh r»ng x2 + y2 ≥ √2 x− y Cho a,b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m, chøng minh r»ng: ( a+b ) ( b+c ) ( c+ a ) ≥ abc Cho a,b,c,d >0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b(c+ d)+d ( c+ a)≥ 10 Gi¶i: 2 a + b ≥ ab c 2+ d ≥ cd Do abcd=1 nªn cd= ab ( Dïng x+ > ) x Ta cã: a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ abcd=2 ab+ >4 ( ) (1) ab a ( b+ c ) +b (c +d )+ d (c +a) ¿(ab+ cd)+( ac+ bd)+(bc +ad) MÆt kh¸c 1 ¿ ab+ + ac+ + bc + ≥ 2+2+2=6 ab ac bc VËy a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b(c+ d)+d ( c+ a)≥ 10 Cho a,b,c >0 tho¶ m·n a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = Chøng minh + − < a b c abc ( )( )( ) Gi¶i: ( a+b +c )2=a 2+ b2 +c 2+ 2(ab −ac − bc)> ⇒ac + bc − ba< (a2 +b 2+ c2 ) Ta cã ⇒ac +bc − ab< <1 (V× a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = ) 1 1 + − < Chia c¶ hai vÕ cho abc>0 ta cã (®pcm) a b c abc Cho a,b,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng a a2 +b 2+ c 2<2 ( ab+ bc+ ca ) b abc> ( a+b − c )( b+ c − a ) ( c +a −b ) Gi¶i: a V× a,b,c lµ sè ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã ¿ 0<a< b+c 0<b< a+c 0<c <b+ a ⇒ ¿ a <a (b+ c) b 2< b(a+c) c 2< c( a+b) ¿{{ ¿ Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có 2 a +b + c <2( ab+ bc+ac) (§iÒu ph¶i chøng minh) b Ta cã b− c¿ >0 ¿ a − c ¿ 2> ¿ a − b ¿2> ¿ a>|b −c|⇒ a 2> a2 − ¿ Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc a2 b2 c 2> [ a2 − ( b − c )2 ][ b2 − ( c − a )2 ] 2 ⇒ a b2 c > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c+ a −b ) ⇒abc > ( a+ b −c ) ( b+c −a )( c + a− b ) §ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh a4  b4  Ví dụ 3.1 Cho a + b > Chứng minh: Ví dụ 3.2 Với a, b, c > CMR a b3 c   ab  ac  bc b c a a b3 c b)   a  b  c b c a a) Ví dụ 3.3 Cho a, b, c > CMR: bc ac ab   a  b  c a b c a2 b2 c2 a b c b)    b c c a a b a) Ví dụ 3.4 a) cho x, y, z >0 t/m: 1 1 1   4.CMR :   1 x y z 2x  y  z x  y  z x  y  2z b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1      a b  c a c  b b c  a a b c c) Cho a, b, c > thỏa mãn: abc = ab + bc + ca Chứng minh: 1    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 Ví dụ 3.5 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a b c a b c a b c    2; b)      2 a b b c c a b  c c  a a  b  a  b  c2 Bất đẳng thức Co-si *) Cho a1 , a2 , , an 0, ta có : a1  a2   an n n a1.a2 an Dấu “=” xảy a1 a2  an 0 Ví dụ 4.1 Cho a, b > thỏa mãn ab = CMR:  a  b  1  a  b2   8 a b Ví dụ 4.2 Chứng minh rằng: a  b  a b a)  a b  b a với a, b 0 a b c   2 bc ca a b với a,b,c > b) Ví dụ 4.3 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a  b3  c a)    b  c c2  a a2  b2 2abc 1 a  b3  c b)     3; (a  b2  c 1) 2 a b b c c a 2abc Ví dụ 4.4 Cho a, b, c > Chứng minh 1 1    a  b3  abc b3  c  abc c  a  abc abc Ví dụ 4.5 Cho a, b, c > thỏa mãn a2 +b2 + c2 = Chứng minh ab bc ca   3 (1) c a b Ví dụ 4.6 Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Chứng minh x3 y3 z3 a)    1  y  1  z  1  z  1  x 1  x 1  y  xy yz zx   1 5 x  xy  y y  yz  z z  zx  x5 b) x3 y z   x  y  z yz zx xy Ví dụ 4.7 Cho x, y, z > Chứng minh : Bất đẳng thức Bunhiacopski a *) a *) 2 b  x y   xa  by  dấu “=” xảy  b  c   x  y  z   xa  by  cz  a kx  b ky a kx  b ky c kz dấu “=” xảy  Tổng quát: a  a22   an2   x12  x22   xn2   a1 x1  a2 x2   an xx  Ví dụ 5.1 Cho a, b > Chứng minh 1 a)   a b a b n2 m2  m  n    a b a b Tổng quát: b) 2 dấu “=” xảy = kxi a12 a22 a  a  a   an     n  bn b1  b2   bn  Cho bi  0, i 1.n thì b1 b2 (1) a1  a2   an   a1 a2 an     a c  c cn a1c1  a2c2   ancn (2)  Với i i với i 1.n thì c2 Thật vậy:  a1   a12 a22 an2  a a b1  b2   n bn   a1  a2   an        b1  b2   bn    bn  b2 bn  b1 b2  b1  a12 a22 an2  a1  a2   an       b1 b2 bn b1  b2   bn đặt aici = bi > thay vào (1) (2) Ví dụ 5.2 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh a2 b2 c2   a  b  c b c a 3 a b c3 c)   a  b  c b c a a) a2 b2 c2 a b c    b c c a a b 3 a b c a  b2  c2 d)    b c c a a b b) 25a 16b c   8 b  c c  a a  b Ví dụ 5.3 Cho a, b, c > Chứng minh: x2 y2 z x y z   2   y z x y z x Ví dụ 5.4 Cho x, y, z > Chứng minh: Bài : Cho a, b là hai số dương có tổng Chứng minh : 1   a 1 b 1 Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : (a + b)(b + c)(c + a)  a3b3c3 Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a3  b3  a  b      ; đó a > ; b > Bài 4: Cho số a, b thoả mãn a + b = CMR a3 + b3 + ab  a3  b3  a  b      Bài : Chứng minh bất đẳng thức : Bài : Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a b  a b b a  Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2  2xy a b  2 Với a, b > , b a Các ví dụ : Bài 2: Cho x , y là số thực thoả mãn : 2 x2 + y2 = x  y  y  x Chứng minh : 3x + 4y  Bài 3: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chứng minh : a, a  b  b  c  c  a  b, a   b   c   3,5 Phương pháp ; Dùng các tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã học để vận dụng vào giải các bài tập Các ví dụ : Bài : Cho số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = Chứng minh : x4 + y4  Bài 2: Cho < a, b, c, d < Chứng minh : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Phương pháp : Chứng minh phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết đề bài để suy điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , là điều trái nhược , từ đó suy đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với điều đúng + Phủ định suy hai điều trỏi ngược + Phủ định suy kết luận Bài :( Phủ định suy trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = Chứng minh : a + b  Phương pháp : Đổi biến số - Kiến thức : Thực phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho dạng đơn giản , gọn , dạng bài toán đã biết cách giải Bài : Chứng minh : Nếu a , b , c > thì : a b c    bc ca ba Bài : Cho a, b, c > ; a + b + c  Chứng minh : 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab