ÑS : Hình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện.. Ngũ giác đều có 5 trục đối xứng ,đó[r]
(1)PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Nguyễn Minh Tiến 1/ Phép Dời Hình ……………………………………………………………………… trang 2/ Phép Tịnh Tiến trang 3/ Phép Đối Xứng Trục……………………………………………………………… trang 10 4/ Phép Đối Xứng Tâm……………………………………………………………… trang 18 5/ Phép Quay trang 22 6/ Hai hình nhau………………………………………………………………… trang 30 7/ Phép Vị Tự………………………………………………………………………… trang 32 8/ Phép Đồng Dạng…………………………………………………………………… trang 38 (2) PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vần đề : PHÉP DỜI HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phép biến hình ĐN: Phép biến hình là quy tắc để với điểm M mặt phẳng, xác định điểm điểm M mặt phẳng Điểm M gọi là ảnh M qua phép biến hình đó M f M Kí hiệu: f là phép biến hình nào đó, và M là ảnh M qua phép f Ta viết: f f M M hay hay f : M M hay M M + Điểm M gọi là tạo ảnh, M là ảnh f M M , M H + f là phép biến hình đồng Điểm M gọi là điểm bất động, điểm kép, bất biến + f1 , f là các phép biến hình thì f f1 là phép biến hình Lưu ý : M f M Nếu H là hình nào đó thì tập hợp các điểm , với M H , tạo thành hình H H f H gọi là ảnh H qua phép biến hình f , và ta viết: 2/ Phép dời hình Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kỳ, tức là với hai điểm bất kì M , N và ảnh M , N chúng, ta luôn có: M N MN (Bảo toàn khoảng cách) 3/ Tính chất (của phép dời hình): ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng HQ: Phép dời hình biến: + Đường thẳng thành đường thẳng + Tia thành tia + Đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó + Tam giác thành tam giác nó (Trực tâm trực tâm, trọng tâm trọng tâm,…) + Đường tròn thành đường tròn nó (Tâm biến thành tâm: I I , R R ) + Góc thành góc nó B BÀI TẬP x = 2x 1 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f: M(x;y) I M = f(M) = y = y + Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giaûi : a) A = f(A) = (1;5) b) B = f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = y = x 2y + Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2;4) Giaûi : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I M = f(M) = (3x; y) Đây có phả i là phép dời hình hay khoâng ? (3) Giaûi : Laáy hai ñieåm baát kì M(x1; y1),N(x2 ; y2 ) Khi đó f : M(x1; y1 ) I M = f(M) = (3x1; y1 ) f : N(x ; y2 ) I N = f(N) = (3x2 ; y ) Ta coù : MN = (x2 x1 )2 (y2 y1 )2 , MN = 9(x2 x1 )2 (y2 y1 )2 Nếu x1 x2 thì MN MN Vậy : f không phải là phép dời hình (Vì có số điểm f không bảo toàn khoảng cách) Trong mpOxy cho pheùp bieán hình : a) f : M(x;y) I M = f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x;y) I M = g(M) = ( 2x ; y+1) Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? HD : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x1 x2 thì MN MN ) Trong mpOxy cho pheùp bieán hình : a) f : M(x;y) I M = f(M) = (y + ; x) b) g : M(x;y) I M = g(M) = ( x ; 3y ) Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? Giaûi : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì y1 y thì MN MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( 2x ; y 1) Tìm ảnh đường thaúng () : x 3y = qua pheùp bieán hình f Giaûi : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = 2x Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y x x y y x ) 3(y 1) 0 x 6y 0 M(x;y) () : x 6y 0 Caùch : Laáy ñieåm baát kì M,N () : M N Vì M(x;y) () ( + M ( ) : M(2;0) I M f(M) ( 4;1) + N ( ) : N( 1; 1) I N f(N) (2; 0) Qua M( 4;1) x+ y () (MN) : PTCtaéc () : PTTQ () : x 6y 0 1 VTCP : MN (6; 1) Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x ; y 1) a) CMR f là phép dời hình b) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = I (C) : (x 2)2 + (y 3)2 = Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x ; y 1) a) CMR f là phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x + 2y = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = x2 y2 d ) Tìm aûnh cuûa elip (E) : + =1 (4) Giaûi : a) Laáy hai ñieåm baát kì M(x1; y1),N(x ;y ) Khi đó f : M(x1; y1 ) I M = f(M) = (x1 3; y1 1) f : N(x2 ; y2 ) I N = f(N) = (x2 3; y2 1) Ta coù : MN = (x2 x1 )2 (y y1)2 = MN Vậy : f là phép dời hình b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x x x Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y y y Vì M(x;y) () (x 3) 2(y 1) 0 x 2y 0 M(x;y) () : x 2y 0 Caùch : Laáy ñieåm baát kì M,N () : M N + M () : M(5 ;0) I M f(M) (2;1) + N ( ) : N(3 ; 1) I N f(N) (0;2) Qua M(2;1) x y () (MN) : PTCtaéc () : PTTQ () : x 2y 0 2 VTCP : MN ( 2;1) Cách : Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng () thành đường thẳng () // () + Laáy M () : M(5 ;0) I M f(M) (2;1) + Vì () // () () : x + 2y m = (m 5) Do : () M(2;1) m = () : x 2y 0 c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x x x Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y y y Vì M(x;y) (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = (x 4)2 (y 3)2 2 M(x;y) (C) : (x 4)2 (y 3)2 2 + Taâm I( 1;2) f + Taâm I= f [ I( 1;2)] ( 4;3) Caùch : (C) (C) BK : R = BK : R= R = (C) : (x 4)2 (y 3)2 2 d) Dùng biểu thức toạ độ x = x x x Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y y y Vì M(x;y) (E) : x2 y2 (x+ 3)2 (y 1)2 (x + 3)2 (y 1)2 + =1 + = M(x;y) (E) : + =1 3 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x 1; y 2) a) CMR f là phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x 2y = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y 1)2 = d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y = 4x ÑS : b) x 2y = c) (x + 2)2 + (y 1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x 1) 10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( x ; y) Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A f là phép dời hình B Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A C M và f(M) đối xứng qua trục hoành D f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + = (5) ĐS : Chọn C Vì M và f(M) đối xứng qua trục tung C sai 12 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình : f1 : M(x;y) I M = f1(M) = (x + ; y 4) ; f2 : M(x;y) I M = f2 (M) = ( x ; y) Tìm toạ độ ảnh A(4; 1) qua f1 f2 , nghĩa là tìm f2 [f1(A)] f f A(6; 5) I ÑS : A(4; 1) I A( ; ) x 11 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( ; 3y) Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A f (O) = O (O laø ñieåm baát bieán) B AÛnh cuûa A Ox thì aûnh A= f(A) Ox C AÛnh cuûa B Oy thì aûnh B= f(B) Oy D M= f [ M(2 ; 3)] = (1; 9) ÑS : Choïn D Vì M= f [ M(2 ; 3)] = (1; 9) Vấn đề : PHÉP TỊNH TIẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ u là phép dời hình biến điểm M thành điểm M cho MM u Kí hiệu : T hay Tu Khi đó : Tu (M) M MM u Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định biết vectơ tịnh tiến nó Nếu To(M) M , M thì To là phép đồng T u 2/ Biểu thức tọa độ: Cho = (a;b) và phép tịnh tiến u x= x + a M(x;y) I M=Tu (M) (x; y) thì y= y + b 3/ Tính chất: ĐL : Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì HQ : Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm tương ứng Bieán moät tia thaønh tia Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng đã cho Biến tam giác thành tam giác nó (Trực tâm I trực tâm , trọng tâm I trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn nó (Taâm bieán thaønh taâm : I I I , R = R ) PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM x= x + a M(x;y) I M=Tu (M) (x; y) thì y= y + b PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương đường thẳng, bán kính đường tròn: không đổi) 1/ Lấy M (H) I M (H) 2/ (H) đường thẳng (H) đường thẳng cùng phương (6) Taâm I Taâm I (H) (C) I (H) (C) (caàn tìm I) + bk : R + bk : R= R Cách : Dùng biểu thức tọa độ Tìm x theo x , tìm y theo y thay vào biểu thức tọa độ Caùch : Laáy hai ñieåm phaân bieät : M, N (H) I M, N (H) B BÀI TẬP Trong mpOxy Tìm aûnh cuûa M cuûa ñieåm M(3; 2) qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2;1) Giaûi x 2 x 5 Theo ñònh nghóa ta coù : M = Tu (M) MM u (x 3; y 2) (2;1) y 1 y M(5; 1) Tìm aûnh caùc ñieåm chæ qua pheùp tònh tieán theo vectô u : a) A( 1;1) , u = (3;1) A(2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2) B( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C(2;1) Trong mpOxy Tìm ảnh A,B điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1) Tính độ dài AB , AB Giaûi Ta coù : A = Tu (A) (5; 4) , B = Tu (B) (4;2) , AB = |AB | , A B = |AB | Cho vectơ u1; u2 Gỉa sử M1 Tu (M),M2 Tu (M1) Tìm v để M2 Tv (M) Giaûi Theo đề : M1 Tu (M) MM1 u1 , M2 Tu (M1) M1M2 u2 Neáu : M2 Tv (M) MM2 v v MM2 MM1 M1M2 u1+ u2 Vaäy : v u1 + u2 Đường thẳng cắt Ox A( 1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2; 1) Giaûi Vì : A Tu(A) (1; 1) , B Tu (B) (2;1) qua A(1; 1) Mặt khác : Tu () qua A,B Do đó : VTCP : AB= (1;2) x 1 t ptts : y 2t Đường thẳng cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = ( 1; 2) Giaûi Vì : A Tu (A) (0; 2) , B Tu (B) ( 1;1) qua A(0; 2) x t Mặt khác : Tu ( ) qua A,B Do đó : ptts : y 3t VTCP : AB= ( 1;3) Tương tự : a) : x 2y = , u = (0 ; 3) : x 2y 0 b) : 3x y = , u = ( ; 2) : 3x y 0 (7) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 (y 2)2 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) Giaûi x = x x= x + laø : Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến Tu y = y y = y+ Vì : M(x;y) (C) : (x + 1)2 (y 2)2 4 x2 (y 1)2 4 M(x;y) (C) : x2 (y 1)2 4 Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C) : x2 (y 1)2 4 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = (x 1; y 2) a) CMR f là phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x 2y = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y 1)2 = d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y = 4x ÑS : b) x 2y = c) (x + 2)2 + (y 1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x 1) 10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I M = f(M) = ( x ; y) Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A f là phép dời hình B Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A C M và f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)] đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M và f(M) đối xứng qua trục tung C sai Tìm ảnh đường tròn (C) : (x 3)2 (y 2)2 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4) x= x x = x+ Giải : Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến Tu là : y = y y = y Vì : M(x;y) (C) : (x 3)2 (y 2)2 1 (x 1)2 (y 2)2 1 M(x;y) (C) : (x 1)2 (y 2)2 1 Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C) : (x 1)2 (y 2)2 1 BT Tương tự : a) (C) : (x 2)2 (y 3)2 1, u = (3;1) b) (C) : x2 y2 2x 4y 0, u = ( 2;3) (C) : (x 1)2 (y 2)2 1 (C) : x2 y2 2x 2y 0 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ các đỉnh C và D hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) Giaûi Goïi C(x;y) Ta coù : IC (x 1; y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân : x 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4; 4) AI y 2 y 4 Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân : x 2 x 3 D = T (I) ID BI D D D(3;4) BI y D 2 y D 4 Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) 11 Cho đường thẳng song song d và d Hãy phép tịnh tiến biến d thành d Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến thế? (8) Giaûi : Choïn ñieåm coá ñònh A d , A d Lấy điểm tuỳ ý M d Gỉa sử : M = T (M) MM AB AB MA MB MB / /MA M d d = T (d) AB Nhaän xeùt : Coù voâ soá pheùp tònh tieán bieán d thaønh d 12 Cho đường tròn (I,R) và (I,R) Hãy phép tịnh tiến biến (I,R) thành (I,R) Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) Gỉa sử : M = T (M) MM II II IM IM IM IM R M (I,R) (I,R) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động trên đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC Giaûi Gọi J là trung điểm cạnh AB Khi đó dễ thấy J cố định và IM JB Vaäy M laø aûnh cuûa I qua pheùp tònh tieán T Suy : Quyõ tích cuûa M laø JB ảnh đường tròn (C) phép tịnh tiến theo vectơ JB 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax2 Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P) là ảnh (P) qua phé p tịnh tiến đó Hãy viết phương trình (P) Giaûi : Tu M(x;y) I M(x;y) , ta có : MM= u , với MM= (x x ; y y) x x = m x = x m Vì MM= u y y = n y = y n Maø : M(x; y) (P) : y ax y n = a(x m)2 y = a(x m)2 n M(x;y) (P) : y = a(x m)2 n Vaäy : AÛnh cuûa (P) qua pheùp tònh tieán Tu laø (P) : y = a(x m)2 n y = ax 2amx am n 15 Cho đt : 6x + 2y 1= Tìm vectơ u 0 để = Tu () Giải : VTCP là a = (2; 6) Để : = Tu () u cùng phương a Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3) choïn u = (1; 3) 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A( 5;2) , C( 1;0) Biết : B = Tu (A) , C = Tv(B) Tìm u và v để có thể thực phép biến đổi A thành C ? Giaûi Tu Tv A( 5;2) I B I C( 1;0) Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2) Tu + v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) Tìm aûnh cuûa K,M,N qua pheùp tònh tieán Tu roài Tv Tu Tv HD : Gỉa sử : A(x;y) I B I C(x; y) Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5) x 1 x 2 Do đó : K=Tu v (K) KK (1;5) K(2;7) y 5 y 7 Tương tự : M(4;4) , N(3;2) (9) 18 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) G là trọng tâm ABC và phép tònh tieán theo vectô u 0 bieán A thaønh G Tìm G = Tu (G) 18 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) G là trọng tâm ABC và phép tònh tieán theo vectô u 0 bieán A thaønh G Tìm G = Tu (G) Giaûi Tu Tu A(3;0) I G( 1;3) I G(x; y) x x Vì AG ( 4;3) u Theo đề : GG u G( 5;6) y 3 y 6 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x 1)2 (y 3)2 2,(C) : x2 y2 10x 4y 25 0 Coù hay khoâng pheùp tònh tieán vectô u bieán (C) thaønh (C) HD : (C) coù taâm I(1; 3), baùn kính R = ; (C) coù taâm I(5; 2), baùn kính R = Ta thaáy : R = R= neân coù pheùp tònh tieán theo vectô u = (4;1) bieán (C) thaønh (C) 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y = Tìm tập hợp đỉnh C ? Giaûi Vì OABC là hình bình hành nên : BC AO (2; 1) C Tu (B) với u = (2; 1) Tu x x 2 x x B(x;y) I C(x; y) Do : BC u y y y y B(x;y) 2x y = 2x y 10 = C(x; y) : 2x y 10 = 21 Cho ABC Gọi A1,B1,C1 là trung điểm các cạnh BC,CA,AB Gọi O1,O2 ,O3 và I1,I2 ,I3 tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB1C1, BC1A1, và CA1B1 Chứng minh : O1O2O3 I1I2 I3 HD : wXeùt pheùp tònh tieán : T1 bieán A I C,C1 I B, B1 I A1 AB T1 T1 T1 AB AB AB 2 AB 1C1 I C1BA1;O1 I O2 ; I1 I I2 O1O2 I1I2 O1O2 I1I2 wLý luận tương tự : Xét các phép tịnh tiến T1 ,T1 suy : BC CA 2 O2O3 I2 I3 vaø O3O1 I3I1 O2O3 I2 I3 ,O3O1 I3I1 O1O2O3 I1I2 I3 (c.c.c) 60 ,B 150 vaø D 90 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD 12cm , A Tính độ dài các cạnh BC và DA HD : T 150 ) BC wXeùt : A I M AM BC.Ta coù : ABCM laø hình bình haønh vaø BCM 30 (vì B (10) Laïi coù : BCD 360o (90 60 150 ) 60 MCD 30 Ñònh lyù haøm cos MCD : MD2 MC2 DC2 2MC.DC.cos30 (6 3)2 (12)2 2.6 3.12 MD = 6cm Ta có : MD = CD và MC = MD MDC là tam giác MCD là nửa tam giác DMC 90 vaø MDA 30 36 Vaäy : MDA MAD MAB 30 AMD laø tam giaùc caâ n taïi M Dựng MK AD K là trung điểm AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm Toùm laïi : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN1:Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a là đường trung trực đoạn MM Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục Đường thẳng a gọi là trục đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng a Kí hiệu : Đa (M) M MoM MoM , với Mo là hình chiếu M trên đường thẳng a Khi đó : Nếu M a thì Đa (M) M : xem M là đối xứ ng với chính nó qua a ( M còn gọi là điểm bất động ) M a thì Đa (M) M a là đường trung trực củ a MM Ña (M) M thì Ña (M) M Ña (H) H thì Ña (H) H , H laø aûnh cuûa hình H ĐN : d là trục đối xứng hình H Đd (H) H Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định biết trục đối xứng nó Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng M(x;y) I M Ñd (M) (x; y) 2/ Biểu thức tọa độ: x= x x= x ª d Ox : ª d Oy : y = y y = y 3/ ĐL: Phép đối xứng trục là phép dời hình HQ : 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm tương ứng Đường thẳng thành đường thẳng Tia thaønh tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó Tam giác thành tam giác nó (Trực tâm I trực tâm , trọng tâm I trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn nó (Tâm biến thành tâm : I I I , R = R ) Goùc thaønh goùc baèng noù (11) PP : Tìm aûnh M = Ña (M) (d) M , d a H = d a H laø trung ñieåm cuûa MM M ? ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : = Đa ( ) wTH1: () // (a) Laáy A,B () : A B Tìm aûnh A= Ña (A) A,// (a) w TH2 : // a Tìm K = a Laáy P : P K Tìm Q = Ña (P) (KQ) ª PP : Tìm M () : (MA + MB)min Tìm M () : (MA+ MB)min wLoại : A, B nằm cùng phía ( ) : 1) gọi A là đối xứng A qua ( ) 2) M (), thì MA + MB MA + MB A B Do đó: (MA+MB)min= AB M = (A B) ( ) wLoại : A, B nằm khác phía ( ) : M (), thì MA + MB AB Ta coù: (MA+MB)min = AB M = (AB) () B BÀI TẬP (12) Trong mpOxy Tìm ảnh M(2;1) đối xứng qua Ox , đối xứng qua Oy Ñ Ñ HD : M(2;1) I Ox M(2; 1) I Oy M( 2; 1) Trong mpOxy Tìm ảnh M(a;b) đối xứng qua Oy , đối xứng qua Ox Ñ Ñ HD : M(a;b) I Oy M( a;b) I Ox M( a; b) Ñ Ñ a M I b M Cho đường thẳng (a) : x = , (b) : y + = và điểm M( 1;2) Tìm : M I Ñ Ñ a M(5;2) I b M(5; 4) [ veõ hình ] HD : M( 1;2) I Cho đường thẳng (a) : x m = (m > 0) , (b) : y + n = (n > 0) Ñ Ñ a M(x; y) b M(x; y) Tìm M: M(x;y) Ña Ñb x 2m x x 2m x HD : M(x;y) I M I M tñ(m;y) tñ( 2m x; n) y y y 2n y Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + = HD : (d) : 2x y + = , H = d a H( 2;0) , H laø trung ñieåm cuûa MM M( 3; 2) Cho điểm M( 4;1) và đường thẳng (a) : x + y = M= Ña (M) ( 1; 4) Cho đường thẳng () : 4x y + = , (a) : x y + = Tìm ảnh = Đa () HD : 1 Vì caét a K a K( 2;1) 1 M( 1;5) d M, a d : x y 0 H(1/ 2; / 2) : tñieåm cuûa MM M Ña (M) (2;2) KM: x 4y + = Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + = HD : a Ox = K( 3;0) M O(0;0) Ox : M= Ña (M) = ( ; ) 5 b KM: 3x + 4y = Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y = HD : a Ox = K(3;0) P O(0;0) Ox + Qua O(0;0) : 3x y 0 + a 9 E = a E( ; ) laø trung ñieåm OQ Q( ; ) 10 10 5 b KQ : 3x + 4y = 10 Tìm b = ĐOx (a) với đường thẳng (a) : x + 3y = Giaûi : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay) Caùch : K= a Ox K(3;0) P(0;1) a Q = ÑOx (P) = (0; 1) b KQ : x 3y = 11 Cho đường thẳng () : x 2y + = , (a) : x 2y = Tìm ảnh = Đa ( ) PP : / /a Caùch : Tìm A,B A ,B AB Caùch : Tìm A A / / , A (13) Giaûi : A(0;1) A Ña (A) (2; 3) A, / / : x 2y 0 12 Cho đường tròn (C) : (x+3)2 (y 2)2 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= Tìm (C) = Đa [(C)] HD : (C) : (x 3)2 y2 1 13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) vaø C(1;6) Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A ABC cân B B ABC có trục đối xứng C ABC ÑOx (ABC) D Troïng taâm : G = ÑOy (G) HD : Choïn D 14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng () : x + 3y = 0, đường tròn (C) : (x+3)2 (y 2)24 Tìm ảnh M, () và (C) qua phé p đối xứng trục (a) : x 2y + = Giải : Gọi M, () và (C) là ảnh M, () và (C) qua phép đối xứng trục a Qua M( 3;2) a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) : a + (d) (a) (d) : 2x y + m = Vì (d) M( 3;2) m = (d) : 2x y = x H (x M x M) + H = (d) (a) H( 2;0) H laø trung ñieåm cuûa M,M H y (y y ) M H M ( x M) x M M( 1; 2) y M (2 y ) M b) Tìm aûnh () : Vì ( ) caét (a) K= () (a) 2 x + 3y = Toạ độ K là nghiệm hệ : K(2; 2) x 2y + = Lấy P K Q = Đa[P( 1;3)] = (1; 1) ( Làm tương tự câu a) ) Qua P( 1;3) Gọi đường thẳng (b) : a + (b) (a) (b) : 2x y + m = Vì (b) P( 1;3) m = (b) : 2x y = + E = (b) (a) E(0;1) E laø trung ñieåm cuûa P,Q 1 x (x xQ ) ( x Q ) xQ 1 E P E Q(1; 1) yQ y (y y ) 1 (3 y ) Q Q E P Qua K(2;2) x y + () (KQ) : () : 3x y 0 VTCP : KQ ( 1; 3) (1;3) (14) c) + Tìm aûnh cuûa taâm I( 3;2) nhö caâu a) Ñ Ñ + Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): Tâm I I a (C) : Taâm I Tìm I I a I R 2 R R 2 Ña + Taâm I= Ña [ I( 3; 2)] ( ; ) + Taâ m I( 3;2) Vaäy : (C) I (C ) 5 BK : R = BK : R= R = 2 (C) : (x )2 (y )2 4 5 15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng () : 3x + 2y = 0, đường tròn (C) : (x+1)2 (y 2)29 Tìm ảnh M, () và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + = HD : Ñ 33 13 a) M(3; 5) I a M( ; ),(d) : x 2y 0,tñieåm H( ; ) 5 5 15 b) + K= (a) K( ; ) 7 + P () : P(2;0) K , Q = Ña [P(2;0)] = ( 2;2) () (KQ) : x 18y 38 0 Ñ 9 c) + I(1; 2) I a I( ; ) , R= R = (C) : (x + )2 (y )2 9 5 5 16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng () : 2x + y = 0, đường tròn (C) : x 2 y 2x 4y 0 Tìm ảnh M, () và (C) qua phép đối xứng qua Ox Ñ x x x x HD : Ta coù : M(x;y) Ox M (1) (2) y y y y Ñ Thay vaøo (2) : M(2; 3) Ox M(2;3) M(x;y) ( ) 2x y = M(x;y) () : 2x y = M(x;y) (C) : x 2 y 2x 4y 0 x2 y2 2x 4y 0 (x 1)2 (y 2)2 3 M(x;y) (C) : (x 1)2 (y 2)2 3 17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = Tìm ảnh a qua ĐOx Ñ x x x x Giaûi : Ta coù : M(x;y) I Ox M y y y y Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 2(x) ( y)+3 = 2x y+3 = M(x; y) (a) : 2x y + = Ñ Oy Vaäy : (a) I (a) : 2x y + = 18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y = Tìm ảnh a qua ĐOy ÑOy x x x x Giaûi : Ta coù : M(x;y) I M y y y y Vì M(x;y) (C) : x y 4y = ( x)2 y2 4(y) = x2 y2 4y = M(x; y) (C) : x y 4y = Ñ Oy Vaäy : (C) I (C) : x y 4y = (15) 19 Trong mpOxy cho ñthaúng (a) : 2x y = , ( ) : x 3y 11 = , (C) : x y 10x 4y 27 = a) Viết biểu thức giải tích phép đối xứng trục Đa b) Tìm aûnh cuûa ñieåm M(4; 1) qua Ña c) Tìm aûnh : () = Ña ( ),(C) Ña (C) Giaûi a) Toång quaùt (a) : Ax + By + C=0 , A B2 0 Ñ Goïi M(x;y) I a M(x; y) , ta coù : MM (x x; y y) cuøng phöông VTPT n = (A;B) MM tn x x y y x x At x x At (t ) Goïi I laø trung ñieåm cuûa MM neâ n I( ; ) (a) 2 y y Bt y y Bt x x y y x x At y y Bt A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0 2 2 2(Ax + By + C) (A B2 )t 2(Ax + By + C) t A B2 2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C) x x ; y y 2 A B A B2 4(2x y 3) 12 x x y x x 5 5 AÙp duïng keát quaû treân ta coù : 2(2x y 3) y y y y y 5 5 Ña b) M(4; 1) I M( ; ) 5 Ñ c) I a : 3x y 17 0 Ñ d) (C) I a (C) : (x 1)2 (y 4)2 2 20 Trong mpOxy cho đường thẳng () : x 5y = và () : 5x y 13 = Tìm phép đối xứng qua truïc bieán () thaønh () Giaûi 5 Vì () và () cắt Do đó trục đối xứng (a) phép đối xứng biến ( ) thành () chính 1 là đường phân giác góc tạo () và () x y 0 (a1) 25 25 + x y 0 (a2 ) Vậy có phép đối xứng qua các trục (1) : x y 0 , ( ) : x y 0 Từ đó suy (a) : | x 5y | | 5x y 13| 21 Qua phép đối xứng trục Đa : Những tam giác nào biến thành chính nó ? Những đường tròn nào biến thành chính nó ? HD : Tam giác có đỉnh trục a , hai đỉnh còn lại đối xứng qua trục a Đường tròn có tâm a 22 Tìm ảnh đường tròn (C) : (x 1)2 (y 2)2 4 qua phép đối xứng trục Oy PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C) : (x 1)2 (y 2)24 23 Hai ABC và ABC cùng nằm mặt phẳng toạ độ và đối xứng qua trục Oy Biết A( 1;5),B( 4;6),C(3;1) Hãy tìm toạ độ các đỉnh A, B và C ÑS : A(1;5), B(4;6) vaø C( 3;1) (16) 24 Xét các hình vuông , ngũ giác và lục giác Cho biết số trục đối xứng tương ứng loại đa giác đó và cách vẽ các trục đối xứng đó ÑS : Hình vuông có trục đối xứng , đó là các đường thẳng qua đỉnh đối diện và các đường thẳng qua trung điểm các cặp cạnh đối diện Ngũ giác có trục đối xứng ,đó là các đườn g thẳng qua đỉnh đối diện và tâm ngũ giác Lục giác có trục đối xứng , đó là các đường thẳng qua đỉnh đối diện và các đường thẳng qua trung điểm các cặp cạnh đối diện 25 Gọi d là phân giác A ABC , B là ảnh B qua phép đối xứng trục Đd Khẳng định naøo sau ñaây sai ? A Nếu AB < AC thì B trên cạnh AC B B laø trung ñieåm caïnh AC C Neáu AB = AC thì B C D Neáu B laø trung ñieåm caïnh AC thì AC = 2AB ÑS : Neáu B= Ñd (B) thì B AC A đúng Vì AB < AC mà AB= AB nên AB< AC B trên cạnh AC B sai Vì giả thiết bài toán không đủ khẳng định AB = AC C đúng Vì AB = AB mà AB = AC nên AB = AC B C D đúng Vì Nếu B là trung điểm cạ nh AC thì AC=2AB mà AB=AB nên AC=2AB 26 Cho đường thẳng a và b cắt O Xét phép đối xứng trục Đa và Đb : Ñ Ñ A I a B I b C Khaúng ñònh naøo sau ñaây khoâng sai ? A A,B,C đường tròn (O, R = OC) B Tứ giác OABC nội tiếp C ABC cân B D ABC vuông B HD : A Không sai Vì d1 là trung trực AB OA = OB , d là trung trực BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) Caùc caâu B,C,D coù theå sai 27 Cho ABC có hai trục đối xứng Khẳng định nào sau đây đúng ? A ABC laø vuoâng B ABC laø vuoâng caân C ABC là HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC AB = AC AB AB BC ABC BC = BA 110o Tính B vaø C để ABC 28 Cho ABC coù A có trục đối xứng = 50o vaø C 20o = 45o vaø C 25o A B B B D ABC laø caân = 40o vaø C 30o C B HD : Chọn D Vì : ABC có trục đối xứng ABC cân 110o 90o ABC cân A , đó : Vì A o o o B C 180 A 180 110 35o 2 29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng ? A Hình chữ nhật B Hình vuoâng C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có trục đối xứng =C 35o D B D Hình thang caân (17) 30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng ? A Hình chữ nhật B Hình vuoâng C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có trục đối xứng 31 Trong các hình sau , hình nào có trục đối xứng ? A Hình thoi B Hình vuoâng ĐS : Chọn C Vì : có trục đối xứng C 32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng ? A Hình vuoâng B Hình thoi C Hình troøn ĐS : Chọn C Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng D Hình thang caân D vuoâng caân D Hình thang caân 33 Trong các hình sau , hình nào không có trục đối xứng ? A Hình bình haønh B C caân D Hình thoi ĐS : Chọn A Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng 34 Cho hai hình vuông ABCD và ABCD có cạnh a và có đỉnh A chung Chứng minh : Có thể thực phép đối xứng trục biến hình vuôn g ABCD thànhø ABCD HD : Gỉa sử : BC BC = E B 90 ,AE chung Ta coù : AB = AB , B Ñ EB = EB ABE = ABF B I AE B bieát AB = AB Ñ EC = EC Maët khaùc : C I AE C AC = AC= a BAB AE DAE Ngoài : AD = AD và D 90 ÑA ÑAE D I D ABCD I ABCD 35 Gọi H là trực tâm ABC CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có đường tròn ngoại tiếp HD : =C (cuøng chaén cung BK ) Ta coù : A =C (góc có cạnh tương ứng ) C =C A 1 CHK cân K đối xứng với H qua BC Xét phép đối xứng trục BC Ñ Ñ Ñ Ta coù : K I BC H ; B I BC B ; C I BC C Ñ Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC I BC Đường tròn ngoại tiếp HBC 36 Cho ABC và đường thẳng a qua đỉnh A không qua B,C a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đa b) Gọi G là trọng tâm ABC , Xác định G là ảnh G qua phép đối xứ ng Đa Giaûi a) Vì a là trục phép đối xứn g Đa nên : A a A Ña (A) B,C a nên Đa : B I B,C I C cho a là trung trực BB,CC b) Vì G a nên Đa : G I G cho a là trung trực GG (18) 37 Cho đường thẳng a và hai điểm A,B nằm cùng phía a Tìm trên đường thaúng a ñieåm M cho MA+MB ngaén nhaát Giải : Xét phép đối xứng Đa : A I A M a thì MA = MA Ta coù : MA + MB = MA+ MB A B Để MA + MB ngắn thì chọn M,A,B thẳng hàng Vaäy : M laø giao ñieåm cuûa a vaø A B 38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy và M là điểm bên góc đó Hãy tìm ñieåm A treân Ox vaø ñieåm B treân Oy cho MBA coù chu vi nhoû nhaát Giaûi Gọi N = ĐOx (M) và P = ĐOx (M) Khi đó : AM=AN , BM=BP Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP ( đường gấp khúc đường thẳng ) MinCVi = NP Khi A,B là giao điểm NP với Ox,Oy 39 Cho ABC cân A với đường cao AH Biết A và H cố định Tìm tập hợp điểm C trường hợp sau : a) B di động trên đường thẳng b) B di động trên đường tròn tâm I, bán kính R Giaûi a) Vì : C = ĐAH (B) , mà B nên C với = ĐAH ( ) Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh đường tròn (I) qua ĐAH Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Phép đối xứng tâm I là phép dời hình biến điểm M thàn h điểm M đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua điểm còn gọi là phép đối tâm Điểm I gọi là tâm của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng Kí hieäu : ÑI (M) M IM IM Neáu M I thì M I Nếu M I thì M ĐI (M) I là trung trực MM ĐN :Điểm I là tâm đối xứng hình H ĐI (H) H Chú ý : Một hình có thể không có tâm đối xứng ÑI Biểu thức tọa độ : Cho I(x o; y o ) và phép đối xứng tâm I : M(x;y) I M ÑI (M) (x; y) thì x= 2xo x y 2yo y Tính chaát : Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì Bieán moät tia thaønh tia Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm tương ứng (19) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng đã cho Bieán moät goùc thaønh goùc coù soá ño baèng noù Biến tam giác thành tam giác nó ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn bằ ng nó ( Tâm biến thành tâm : I I I , R = R ) B BÀI TẬP Tìm ảnh các điểm sau qua phép đối xứng tâm I : 1) A( 2;3) , I(1;2) A(4;1) 2) B(3;1) , I( 1;2) B( 5;3) 3) C(2;4) , I(3;1) C(4; 2) Giaûi : x 3 x 4 a) Gỉa sử : A ĐI (A) IA IA (x 1; y 2) ( 3;1) A(4;1) y y 1 Cách : Dùng biểu thức toạ độ Tìm ảnh các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I : 1) ( ) : x 2y 0, I(2; 1) () : x 2y 0 2) ( ) : x 2y 0,I(1; 0) () : x 2y 0 3) ( ) : 3x 2y 0,I(2; 3) () : 3x 2y 0 Giaûi PP : Coù caùch Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ Cách : Xác định dạng // , dùng công thức tính khoảng cách d(;) Caùch : Laáy baát kyø A,B , roài tìm aûnh A,B AB Ñ x 4 x x 4 x 1) Caùch 1: Ta coù : M(x;y) I I M y y y y Vì M(x;y) x 2y 0 (4 x) 2( y) 0 x 2y 0 M(x;y) : x 2y 0 Ñ Vaäy : () I I () : x 2y 0 Caùch : Goïi = ÑI ( ) song song : x + 2y + m = (m 5) |5| |m| m 5 (loại) Theo đề : d(I;) = d(I;) | m | m 12 22 12 22 () : x 2y 0 Caùch : Laáy : A( 5;0),B( 1; 2) A(9; 2), B(5; 0) AB : x 2y 0 Tìm ảnh các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I : 1) (C) : x2 (y 2)2 1,E(2;1) 2) (C) : x2 y2 4x 2y 0,F(1; 0) 3) (P) : y = 2x2 x , taâm O(0;0) (C) : (x 4)2 y 1 (C) : x2 y2 8x 2y 12 0 đ / nghiã hay biểu thức toạ độ (P) : y = 2x x HD :1) Coù caùch giaûi : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ Ñ Cách : Tìm tâm I I E I,R R (đã cho) 2) Tương tự Cho hai điểm A và B Cho biết phép biến đổi M thành M cho AMBM là hình bình hành (20) HD : MA BM Neáu AMBM laø hình bình haønh MB AM Vì : MM MA AM MA MB (1) Goïi I laø trung ñieå m cuû a AB Ta coù : IA IB Từ (1) MM MI IA MI IB MM 2MI MI IM M ÑI (M) Cho ba đường tròn (I1; R),(I2 ; R),(I3; R) đôi tiếp xúc A,B,C Gỉa sử M là điểm trên (I1; R) , ngoài : ÑI Ñ Ñ Ñ M I A N ; N I B P ; P I C Q CMR : M I 1 Q HD : Do (I1; R) tiếp xúc với (I2; R) A , nên : Ñ Ñ Ñ M I A N ; I1 I A I2 MI1 I A NI2 MI1 NI2 (1) Do (I2 ; R) tiếp xúc với (I3; R) B , nên : ÑB ÑB ÑB N I P ; I2 I I3 NI2 I PI3 NI2 PI3 (2) Do (I3; R) tiếp xúc với (I1; R) C , nên : Ñ Ñ Ñ P I C Q ; I3 I C I1 PI3 I C QI1 PI3 QI1 (3) Từ (1),(2),(3) suy : MI1 QI1 M ĐI (Q) Cho ABC là tam giác vuông A Kẻ đường cao AH Vẽ phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG a) Chứng minh tập hợp điểm B,C,F,G,E,D có trục đối xứng b) Gọi K là trung điểm EG Chứng minh K trên đường thẳn g AH c) Gọi P = DE FG Chứng minh P trên đường thẳng AH d) Chứng minh : CD BP, BF CP e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui HD : a) Do : BAD 45 vaø CAF 45 neân ba ñieåm D,A,F thaúng haøng Ñ Ñ Ñ Ñ Ta coù : A l DF A ; D l DF D ; F l DF F ; C l DF G ; Ñ B l DF E (Tính chaát hình vuoâng ) Vậy : Tập hợp điểm B,C,F,G,E,D có trục đối xứng chính là đường thẳng DAF b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG nên BAC AEG Nhöng : BCA AGE ( đối xứng = ) AGE A (do KAG caân taïi K) Suy : A A 2 K,A,H thẳng hàng K trên AH c) Tứ giác AFPG là hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng (Hơn K là trung điểm AP ) Vậy : P trên PH (21) d) Do EDC = DBP neân DC = BP DC = BP Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB nhöng hai goùc naøy coù caëp BC = AP caïnh : BC AP caëp caïnh coøn laïi : DC BP Lý luận tương tự , ta có : BF CP e) Ta có : BCP Các đường thẳng AH, CD và BF chính là ba đường cao BCP nên đồng qui Cho hai điểm A và B và gọi ĐA và ĐB là hai phép đối xứng tâm A và B a) CMR : ÑB ÑA T 2AB b) Xaùc ñònh ÑA ÑB HD : a) wGoïi M laø moät ñieåm baát kyø , ta coù : Ñ M I A M : MA AM Ñ MI B M : MB BM Nghóa laø : M = ÑB ÑA (M), M (1) Ñ B ÑA wTa M : ngminh : M I Bieát : MM MM MM Maø : MM 2MA vaø MM2MB Vaäy: MM 2MA 2MB 2MA2MA 2AB Vì : MA AM neân MA MA 0 Suy : MM 2AB M T (M), M (2) 2AB Từ (1) và (2) , suy : ĐB ĐA T b) Chứng minh tương tự : ĐA ĐB T 2AB BA Chứng minh hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với thì (H) có tâm đối xứng HD : Duøng hình thoi Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với Lấy điểm M thuộc (H) và M1 Đa (M) , M2 Đb (M1) Khi đó , theo ñònh nghóa M1,M2 (H) Goïi O = a b , ta coù : OM = OM1 vaø MOM 2AOM1 OM 2M OB OM1 = OM2 vaø M OB) Suy : OM = OM2 vaø MOM1 M1OM2 2(AOM1 +M hay MOM1 2 90 180 Vaäy : O laø trung ñieåm cuûa M vaø M Do đó : M2 ĐO (M), M (H),M2 (H) O là tâm đối xứng (H) (22) Cho ABC coù AM vaø CN laø caùc trung tuyeán CMR : Neáu BAM BCN = 30 thì ABC HD : Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 neân noäi tieáp ñtroøn taâm O, bkính R=AC vaø MON 2NAM 60 Ñ Ñ Xeùt : A I N B (O) I N (O1) thì B (O1) vì A (O) Ñ Ñ C I M B (O) I M (O2 ) thì B (O2 ) vì C (O) OO OO2 2R Khi đó , ta có : OO1O2 là tam giác đề u MON 60 Vì O1B O2B R R 2R O1O2 neân B laø trung ñieåm O1O2 Suy :ABC OO1O2 (Vì cùng đồng dạng với BMN) Vì OO1O2 là tam giác nên ABC là tam giác Vấn đề : PHÉP QUAY A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM = OM và (OM;OM) = gọi là phép quay tâm O với góc quay Phép quay hoàn toàn xác định biết tâm và góc quay Kí hieäu : Q O Chú ý : Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lựơng giác Q2k phép đồng ,k Q(2k+1) phép đối xứng tâm I ,k Tính chaát : ĐL : Phép quay là phép dời hình HQ : 1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm tương ứng Đường thẳng thành đường thẳng Tia thaønh tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó Q Q Tam giác thành tam giác nó (Trực tâm I trực tâm , trọng tâm I troïng taâm ) Q(O ; ) Đường tròn thành đường tròn nó ( Tâm biến thành tâm : I I I , R = R ) Goùc thaønh goùc baèng noù B BÀI TẬP (23) Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm M(x;y) Tìm M / = Q(O ; ) (M) HD : x = rcos Gọi M(x;y) Đặt : OM = r , góc lượn g giác (Ox;OM) = thì M y = rsin Q(O ; ) Vì : M I M / Gọi M / (x;y) thì độ dài OM / = r và (Ox;OM / ) = + Ta coù : x = rcos( + ) = acos .cos asin .sin x cos y sin y = rsin( + ) = asin.cos a cos .sin x sin y cos x= x cos y sin Vaäy : M / y= x sin y cos Ñaëc bieät : Q(O ; ) x = x cos y sin w M I M / / y = x sin y cos Q(I ; ) x xo = (x xo ) cos (y y o )sin wM I M/ I(xo ;y o ) y yo = (x xo )sin (y yo ) cos Q(I ; ) wM I M/ / I(xo ;y o ) x y xo = (x xo ) cos (y y o )sin yo = (x xo )sin (y yo ) cos Trong mpOxy cho pheùp quay Q a) Ñieåm M(2;2) (O;45 ) Tìm aûnh cuûa : b) Đường tròn (C) : (x 1)2 + y2 = Q (O ; 45 ) Giaûi Goïi : M(x;y) I M / (x / ;y / ) Ta coù : OM = 2, (Ox; OM) = x = rcos(+45 ) r cos .cos 45 r sin .sin 45 x.cos 45 y.sin 45 Thì M / y = rsin(+45 ) r sin .cos 45 r cos .sin 45 y.cos 45 x.sin 45 2 x y x= / 2 M y= x y 2 Q (O ; 45 ) a) A(2;2) I A / (0 ;2 2) Q / Taâm I(1;0) (O ; 45 ) b) Vì (C) : (C) : Taâm I ? Bk : R = Bk : R = R = Q 2 2 2 (O ; 45 ) I(1;0) I I / ( ; ) Vaäy : (C) : (x ) + (y ) =4 2 2 y x= x 2 Hoûi f laø pheùp gì ? Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : y= x y 2 (24) Giaûi x= x cos y sin Ta có f : M (x; y) I M(x;y) với f laø pheù p quay Q (O; ) y= x sin y cos 3 Trong mpOxy cho đường thẳng () : 2x y+1= Tìm ảnh đường thẳng qua : a) Phép đối xứng tâm I(1; 2) b) Pheùp quay Q (O;90 ) Giaûi x 2 x x 2 x a) Ta có : M(x;y) = ĐI (M) thì biểu thứ c tọa độ M y y y y Vì M(x;y) () : 2x y+1= 2(2 x ) ( y ) 0 2x y 0 M(x;y) () : 2x y 0 Ñ Vaäy : () I I () : 2x y 0 Q (O;90 ) b) Caùch : Goïi M(x;y) I M(x;y) Ñaët (Ox ; OM) = , OM = r , Ta coù (Ox ; OM) = + 90 ,OM r Q x r cos( 90 ) r sin y x y x = rcos (O;90 ) Khi đó : M I M y = rsin y x y r sin( 90 ) rcos x Vì M(x;y) () : 2(y) ( x) + = x 2y + = M(x;y) () : x 2y 0 Q (O;90 ) Vaäy : () I () : x 2y 0 Q (O;90 ) Caùch : Laáy : M(0;1) ( ) I M( 1; 0) ( ) Q 1 (O;90 ) N( ;0) ( ) I N(0; ) ( ) 2 Q (O;90 ) ( ) I () MN : x 2y 0 Q (O;90 ) Caùch : Vì ( ) I ( ) ( ) ( ) maø heä soá goùc : k 2 k Q (O;90 ) M(0;1) ( ) I M(1; 0) ( ) Qua M(1; 0) ( ) : () : x 2y 0 hsg ; k = Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A là ảnh cuûa A qua pheùp quay taâm O goùc 90o HD : Gọi B(3;0),C(0;4) là hình chiếu A lên các trục Ox,Oy Phép quay tâm O góc 90o biến hình chữ nhậ t OABC thành hình chữ nhật OCA B Khi đó : C(0;3),B( 4;0) Suy : A( 4;3) (25) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tìm phép quay Q biến điểm A( 1;5) thaønh ñieåm B(5;1) OA OB 26 HD : Ta coù : OA ( 1;5) vaø OB (5;1) OA.OB 0 OA OB B=Q (A) (O ; 90 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) Tìm N = Q HD : (O ; 90 ) (M) OM.ON = 4x+y = y= 4x (1) (M) (OM;ON) 90 (O ; 90 ) Do : OM ON x2 y2 16 17 (2) Giaûi (1) vaø (2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1; 4) wThử lại : Điều kiện (OM;ON) 90 ta thấy N( 1; 4) thoả mãn Vì N = Q a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) Tìm B = Q (A) (O ; 45 ) HD : Pheùp quay Q bieán ñieåm A Oy thaø nh ñieåm B ñt : y x,ta coù : (O ; 45 ) x B y B 3 Maø OB = x2B y2 3 x B B( ; ) B 2 OA OB 3 4 3 34 b) Cho A(4;3) Tìm B = Q (A) B ( ; ) o (O;60 ) 2 Cho đường tròn (C) : (x 3)2 (y 2)2 4 Tìm (C) = Q (C) (O ; 90 ) HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I( 2;3) (C) : (x 2)2 (y 3)2 4 (O ; 90 ) 10 Cho đường tròn (C) : (x 2)2 (y 3)2 5 Tìm (C) = Q (C) (O ; 60 ) HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I( 2;2 3) (C) : (x 2)2 (y 3)2 5 (O ; 60 ) 11 Cho đường tròn (C) : (x HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q 2)2 (y 2)2 3 Tìm (C) = Q (O ; 45 ) (I) I(1 (O ; 45 ) (C) 2;1 2) (C) : (x 2)2 (y 2)2 3 12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) và đường thẳng (d) : x + y = Tìm aûnh cuûa A vaø (d) qua pheùp quay Q (O ; 90 ) HD : wTa coù : A(2;0) Ox Goïi B = Q ( A) thì B Oy vaø OA = OB (O ; 90 ) wVì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y = nên A,B (d) Do B = Q (A) và tương tự Q (A) = C( 2;0) (O ; 90 ) (O ; 90 ) x y x y neân Q (d) = BC (BC) : 1 1 x y 0 (O ; 90 ) xC y C 2 (26) 13 Cho (d) : x 3y = Tìm = Q (d) ( ) : 3x y 0 (O ; 90 ) 14 Cho (d) : 2x y = Tìm = Q (d) (O ; 60 ) aûnh HD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A( ; ), B( 3;1) 2 ( ) : ( 2)x (2 1)y 0 15 Cho tam giác ABC có tâm O và phép quay Q a) Xaùc ñònh aûnh cuûa caùc ñænh A,B,C b) Tìm aûnh cuûa ABC qua pheùp quay Q (O; 120 ) (O;120 ) Giaûi a) Vì OA = OB = OC vaø AOC BOC COA 120 neân Q (O;120 ) : A I B,B I C,C I A b) Q : ABC ABC (O; 120 ) 16 [CB-P19] Cho hình vuoâng ABCD taâm O a) Tìm aûnh cuûa ñieåm C qua pheùp quay Q (A ; 90 ) b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay Q (O ; 90 ) HD : a) Goïi E = Q (C) thì AE=AC vaø CAE 90 neân AEC (A ; 90 ) vuông cân đỉnh A , có đường cao AD Do đó : D là trung điểm EC b) Ta coù : Q (B) C vaø Q (B) C Q (BC) CD (O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 ) 17 Cho hình vuoâng ABCD taâm O M laø trung ñieåm cuûa AB , N laø trung ñieåm cuûa OA Tìm aûnh cuûa AMN qua pheùp quay Q (O;90 ) HD : w Q (A) D , Q (M) M laø trung ñieåm cuûa AD (O;90 ) (O;90 ) Q (N) N là trung điểm OD Do đó : Q (AMN) DMN (O;90 ) (O;90 ) 18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác ABCDEF , O là tâm đường tròn ngoại tiếp nó Tìm ảnh OAB qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O , góc 60 và phép tònh tieán TOE HD : Goïi F = TOE Q wQ Xeùt : (O;60 ) (O) O,Q (A) B,Q (B) C (O;60 ) (O;60 ) (O;60 ) wTOE (O) E, TOE (B) O,TOE (C) D wVaäy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D F(OAB) = EOD (27) 19 Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương , O là tâm đường tròn ngoại tiếp nó I là trung ñieåm cuûa AB a) Tìm aûnh cuûa AIF qua pheùp quay Q (O ; 120 ) b) Tìm aûnh cuûa AOF qua pheùp quay Q (E ; 60 ) HD : a) wQ biến F,A,B thành B,C,D , trung điểm I (O ; 120 ) thaønh trung ñieåm J cuûa CD neân Q (AIF) CJB (O ; 120 ) b) wQ biến A,O,F thành C,D,O (E ; 60 ) 15 Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự trên thẳng hàng Vẽ cùng phía dự ng hai tam giác ABE và BCF Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm AF và CE Chứng minh : BMN là tam giác HD : Xeùt pheùp quay Q Ta coù : Q (A) E , Q (F) C (B; 60 ) (B; 60 ) (B; 60 ) Q (AF) EC (B; 60 ) Do M laø trung ñieåm cuûa AF , N laø trung ñieåm cuûa EC , neân : Q (M) N BM = BN vaø MBN 60 BMN là tam giác (B; 60 ) 21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó Dựng phía ngoài ABC hình vuông ABEF Chứng minh : E chạy trên nửa đường cố định HD : Goïi E = Q (A) Khi A chạy trên nửa đường tròn (O) , (B;90 ) E chạy trên nửa đường tròn (O) = Q [(O)] (B;90 ) 22 Cho đường (O;R) và đường thẳng không cắt đường tròn Hãy dựng ảnh () qua phép quay Q (O ; 30 ) Giaûi Từ O hạ đường vuông góc OH với Dựng điểm H cho (OH;OH) = 30 và OH = OH Dựng đường tròn qua điểm O,H,H ; đường tròn này cắt điểm L Khi đó LH là đường thẳng phải dựng 23 Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d , M là điểm di động trên d Hãy tìm tập hợp các điểm N cho OMN Giải : OMN OM ON và NOM 60 Vì vaäy M chaïy treân d thì : N chaïy treân d laø aûnh cuûa d qua pheùp quay Q (O;60 ) N chaïy treân d laø aûnh cuûa d qua pheùp quay Q (O; 60 ) (28) 24 Cho hai đường tròn (O) và (O) và cắt A và B Từ điểm I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB và NB cắt (O) M và N Chứng minh đường thẳng MN luôn luôn qua ñieåm coá ñònh Giaûi Xeùt pheùp quay taâm A , goùc quay (AO; AO) = bieán (O) thaønh (O) Vì MM vaø NN qua B neân (AO;AO) = (AM;AM) = (AN;AN) Qua phép quay Q : MI M , NI N và đó Q(A; ) MNI MN Đường thẳng MN qua điểm cố định I nên đường thẳng MN qua ñieåm coá ñònh I laø aûnh cuûa I qua Q(A; ) 25 Cho hai hình vuoâng ABCD vaø BEFG a) Tìm aûnh cuûa ABG pheùp quay Q Q : ABG CBE (B; 90 ) b) Gọi M,N là trung điểm AG và CE Chứng minh BMN vuông cân Giaûi BA BC BG BE a) Vì vaø (BA; BC) 90 (BG; BE) 90 b) Q (B; 90 ) : A I C,G I E Q (B; 90 ) : AG CE Q : M I N BM BN vaø (BM;BN) = 90 (B; 90 ) (B; 90 ) BMN vuoâng caân taïi B 26 Cho ABC Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF Gọi M là trung điểm BC và giả sử AM FE = H Chứng minh : AH là đường cao AEF HD : Xeùt pheùp quay Q : Kéo dài FA đoạn AD = AF (A;90 ) Vì AF = AC AC = AD neân suy : Q biến B , C thành E , D (A;90 ) Ñ/ nghóa neân goïi trung ñieåm K cuûa DE thì K= Q (M) MA AK (1) (A;90 ) Trong DEF , vì AK là đường trung bình nên AK // FE (2) Từ (1),(2) suy : AM FE AH là đường cao AEF 27 Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng vaø coù caùc ñænh veõ theo chieàu dương Các đường chéo cắt I Trên cạnh BC lấy BJ = Xác định phép biến đổi AI thành BJ HD : Ta coù : AI= AB 2 1 AI BJ Laïi coù : (AI,BJ) 45 ) (AI) Tâm O = ttrực AB cung chứa góc 45 (O;45 qua A,B BJ = Q (AI) (O;45 ) BJ = Q (29) 28 [CB-1.18] Cho ABC Dựng phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ,ACMN,ABEF và gọi O,P,Q là tâm đối xứng chúng a) Gọi D là trung điểm AB Chứng minh : DOP vuông cân D b) Chứng minh : AO PQ và AO = PQ HD : a) wVì : AI = Q (MB) MB = AI vaø MB AI (C;90 ) BM , DO Maët khaùc : DP AI DP = vaø DO DOP vuoâng caân taïi D b) Từ câu a) suy : Q Q (D;90 ) (D;90 ) O I P,A I Q OA vaø PQ 29 Cho ABC có các đỉnh kí hiệu theo hướng âm Dựng phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABDE và BCKF Gọi P là trung điểm AC , H là điểm đối xứng D qua B , M là trung điểm đoạn FH a) Xaùc ñònh aûnh uûa hai vectô BA vaø BP pheùp quay Q (B;90 ) b) Chứng minh : DF BP và DF = 2BP HD : BA = BH (cuøng baèng BD) a) Ta coù : (BA;BH) = 90 90 (BA) H Q90 (A) BH Q B B 90 (C) F Q90 (AC) HF Vì : Q90 (A) H,Q B B B 90 90 Mà : F là trung điểm AC , Q B (F) M là trung điểm HF Do đó : Q B (BP) BM b) Vì : Q90 B (BP) BM BP BM,BP BM 1 Mà : BM = DF và BM // DF (Đường trung bình HDF ) Do đó : BP = DF , DF BP 2 30 Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác ABM , CDP Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN và ADK Chứng minh : MNPK là hình bình hành HD : Xeùt pheùp quay Q 60 B : M I A , N I C Q (B;90 ) MN I AC MN AC (1) Xeùt pheùp quay Q 60 D : P I C , K I A Q (D;90 ) PK I CA PK CA (2) Từ (1) , (2) suy : MN = PK Lí luận , tương tự : MK = PN MKNP là hình bình hàn h (30) 31 Cho ABC Về phía ngoài tam giác , dựng ba tam giác BCA1,ACB1,ABC1 Chứng minh : AA1,BB1,CC1 đồng quy HD : Q Q (B;60 ) (B;60 ) Gỉa sử AA1 CC1 I Xét : A1 I C,A I C1 Q (B;60 ) A;CC ) 60 AJC A1A I CC1 (A 1 60 (1) Laáy treân CC1 ñieåm E cho : IE = IA Vì EIA 60 EIA Q Q Q (A;60 ) (A;60 ) (A;60 ) Xeùt : B I C1, I I E , B1 I C Vì : C1,B,C thaúng haøng neân B,I, B1 thaúng haøng AA1,BB1,CC1 đồng quy 32 Chứng minh các đoạn thẳng nối tâm các hình vuông dựng trên các cạnh hình bình hành phía ngoài , hợp thành moät hình vuoâng HD : Goïi I1,I2 ,I3 ,I laø taâm cuûa hình vuoâng caïnh AB,BC,CD,DA Duøng pheùp quay Q(I;90 ) : B I C Vì I1BA I3CD CI3 BI1 vaø DCI ABI1 45 Maø DC // AB CI3 BI1 Q (I;90 ) Vaäy : I3 I I1 I2I1 I2I3 vaø I 2I1 I2I3 Lý luận tương tự , ta có : I1I 2I3I là hình vuông Vấn đề : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐL : Nếu ABC và ABC là hai tam giác thì có phép dời hình biến ABC thành ABC Tính chaát : Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình thì phép dời hình Hai hình gọi là có phép dời hình biến hình này thành hình B BÀI TẬP Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự là trung điểm cá c cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến AEI thành FCH HD : Thực liên tiếp phép tịnh tiến theo AE và phép đối xứng qua đường thẳng IH wT : A I E,E I B,I I H T (AEI) EBH AE AE wÑIH : E I F,B I C, H I H ÑIH (EBH) FCH wÑIH : T (AEI) FCH AE Do đó : ĐIH T (AEI) FCH AEI FCH AE (31) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng nó ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh : Hai hình thang AJOE và GJFC HD : Phép tịnh tiến theo AO biến A,I,O,E thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục OG biến O,J,C,F thành G,J,F,C Từ đó suy phép dời hình có cách thực liên tiếp hai pheùp bieán hình treân seõ bieán hình thang AJOE thaønh hình thang GJFC Do đó hai hình thang [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) và đường thẳng (d) : 2x y = Tìm ảnh (d) qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay Q vaø pheùp tònh tieán Tu (O;90 ) Q Tu (O;90 ) HD : PP : d I d I d wGoïi d Q (d) Vì taâm O d neân Q (O) O d (O;90 ) (O;90 ) Maët khaùc : d d d : x 2y C 0 (C 0) maø d qua O neân C = d: x + 2y = Q (O;90 ) Caùch khaùc : Choïn M(1;2) d I M d x OM cos( 90 ) x OM cos cos 90 OM sin sin 90 x x cos 90 y sin 90 Ta coù : M y OM sin( 90 ) y OM sin cos 90 OM cos sin 90 y y cos 90 x sin 90 x 1cos 90 2sin 90 x M( 2;1) y 2 cos90 1sin 90 y 1 wGoïi d Tu (d) d // d d : x 2y C 0 x x x 3 Goïi O Tu (O) OO = u O(3;1) y y y 1 Vì d O C 0 C d : x 2y 0 Vaäy :Tu Q (d) (d) : x 2y 0 (O;90 ) Tìm ảnh đường tròn (C) : x y 2x 4y 0 có cách thực liên tiếp phép tònh tieán theo u = (3; 1) vaø pheùp ÑOy ÑS : (C) : (x + 4)2 (y 3)2 9 Tìm ảnh đường tròn (C) : x2 y 6x 2y 0 có cách thực liên tiếp phép quay Q vaø pheùp ÑOx (O;90 ) HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = Khi đó : Q Ñ (O;90 ) (C) : I(3;1) , R = I (C) : I( 1;3) , R = I Ox (C) : I( 1; 3) , R = (C) :(x + 1)2 (y 3)2 4 [CB-P23] Trong mpOxy cho caùc ñieåm A( 3;2),B( 4;5) vaø C( 1;3) a) Chứng minh : Các điểm A (2;3),B(5;4) và C(3;1) theo thứ tự là ảnh A,B và C qua Q (O; 90 ) b) Gọi A1B1C1 là ảnh ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép (32) Q và phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ các đỉnh A1B1C1 (O; 90 ) HD : a) Gọi M,N là hình chiếu A trên Ox,Oy thì M( 3; 0), N(0;2) Q (O; 90 ) Khi đó : Hình chữ nhật OMAN I hcnhaät OMAN với M(0;3),N(2;0) Do đó : A(2;3) = Q (A) (O; 90 ) Ttự : B(5;4) = Q (B),C(3;1) = Q (C) (O; 90 ) (O; 90 ) Q (O; 90 ) Cách khác : Gỉa sử A I A AOA vuoâng caân taïi O Điều đó đúng vì : OA = OA = 13, OA.OA 0 Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh b) wPheùp quay : Q (ABC) ABC , ÑOx (ABC) A1B1C1 (O; 90 ) x A x A 2 Khi đó : A1(2; 3).Ttự : B1(5; 4),C1(3; 1) y A1 y A Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1) : y 2x2 , (P2 ) : y 2x2 4x Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) y 2x2 4x y 2(x 1)2 B) Tịnh tiến sang trái đơn vị xuống đơn vị ta (P2 ) C) (P1) vaø (P2 ) baèng D) Pheùp tònh tieán theo u = (1; 3) bieán (P1) thaønh (P2 ) ÑS : B) Trong mpOxy , cho ñieåm A(2;0),B(4;4),C(0;2) vaø D( 4; 4) Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Caùc OAC,OBD laø caùc tam giaùc vuoâ ng caân Q (O;90 ) B) Pheùp quay : OAB I OCD C) OAB vaø OCD laø hai hình baèng D) Toàn taïi moät pheùp tònh tieán bieán A thaønh B vaø C thaønh D ÑS : D) Trong mpOxy cho ABC với A( 3; 0),B(0;3),C(2; 4) Phép biến hình f biến A thành A( ;3) , B thành B(2;6),C thành C(4;7) Khẳng định nào sau đây đúng ? A) f laø pheùp quay Q (O;90 ) C) f laø pheùp tònh tieán theo vectô u = (2;3) ÑS : C) B) f là phép đối xứng tâm I( 1; ) D) f là phép đối xứn g trục (33) Vấn đề : PHÉP VỊ TỰ ĐN : Cho điểm I cố đinh và số k 0 Phép vị tự tâm I tỉ số k Kí hieäu : VIk , laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M cho IM k IM Biểu thức tọa độ : Cho I(x o ; y o ) và phép vị tự VIk x= kx+ (1 k)xo VIk M(x;y) I M VIk (M) (x; y) thì y= ky+ (1 k)yo Tính chaát : k k M VI (M), N VI (N) thì MN = kMN , MN= |k|.MN Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm tương ứng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng đã cho Bieán moät tia thaønh tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳn g mà độ dài nhân lên |k| Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó Đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R = |k|.R Bieán goùc thaønh goùc baèng noù B BÀI TẬP Tìm ảnh các điểm sau qua phép vị tự tâm I , tỉ số k 0 : a) A(1;2) , I(3; 1) , k = b) B(2; 3),I( 1; 2), k c) C(8;3), I(2;1) , k = A( 1;5) B( 10;1) C(5;2) 1 ),Q( ; ),R( ; ) 3 3 V(I;2) x HD : a) Goïi : A(1;2) I A(x; y) IA 2IA (x 3; y 1) 2( 2;3) y 6 x A( 1;5) y 5 d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ P(1; Cho ba điểm A(0;3),B(2; 1),C( 1;5) Tồn hay không tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thaønh C ? HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V(A;k) k(2) Khi đó : B I C AC kAB k 2 k( 4) Vậy : Tồn phép vị tự V : B I C (A; ) Cho ba điểm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn hay không tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thaønh C ? HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V(A;k) Khi đó : B I C AC kAB (1) (34) Cho OMN Dựng ảnh M,N qua phép vị tự tâm O , tỉ số k trường hợp sau : a) k = b) k = c) k = Giaûi : M I M , N I N thì ta coù OM 3OM,ON 3ON a) Phép vị tự VO 1/2 : M I H , N I K thì HK là đường trung bình OMN b) Phép vị tự VO 3 3/ c) Phép vị tự VO : M I P , N I Q thì ta coù OP OM,OQ ON 4 Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O Dựng : a) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = b) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = Giaûi : A I A thì OA 2OA a) Goïi VO B I B thì OB 2OB C I C thì OC 2OC D I D thì OD 2OC : ABCDM I ABCD VO Ta veõ : AB// AB,BC // BC,CD // CD,DA // DA 1/2 b) Goïi VO : A I P thì OP OA B I Q thì OQ OB C I R thì OR OC D I S thì OS OD 1/2 : ABCDM PQRS VO Ta veõ : AB// PQ,BC // QR,CD // RS,DA // SP ABC (D BC) Với giá trị nào Cho ABC coù AB = 4, AC = , AD laø phaân giaùc cuûa A k thì phép vị tự tâm D , tỉ số k biến B thành C HD : , ta coù : Theo tính chaát cuûa phaân giaùc cuûa A V D; 3/2 ) DB AB DC DB B I ( C DC AC Do DB và DC ngược hướng (35) Cho ABC vuông A và AB = 6, AC = Phép vị tự V biến B thành B,C thành C (A; ) Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) BBCC laø hình thang B) BC = 12 C) SABC SABC D) Chu vi (ABC) = Chu vi(ABC) HD : V(A;3/2) wA) đúng vì BC BC 3 wB) sai vì : BC= BC AB2 AC2 15 2 3 SABC AB.AC AB AC wC) đúng vì : SABC AB.AC AB.AC Chu vi ABC wD) đúng vì : Chu vi ABC Cho ABC có hai đỉnh là B và C cố định , còn đỉnh A di động trên đường tròn (O) cho trước Tìm tập hợp các trọng tâm ABC 1 HD : Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC Ta coù I coá ñònh Neáu G laø troïng taâm cuûa ABC thì IG IA 1/3 Vậy G là ảnh A qua phép vị tự VI Tập hợp điểm A là đường tròn (O) nên tập hợp G là đường tròn (O) , đó chính là ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự VI1/3 Trong mpOxy , cho điểm A( 1;2) và đường thẳng d qua A có hệ số góc Gọi B là đường thẳng di động trên d Gọi C là điểm cho tứ giác OABC là hình bình hành Tìm phương trình tập hợp : a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Caùc troïng taâm G caùc tam giaùc ABC HD : a) Qua A( 1;2) w(AB): (AB) : y 1(x 1) y x Hsg : k = wVaäy B chaïy treân d thì I chaïy treân d // d vaø ñi qua trung ñieåm M( ;1) đoạn OA Vaäy d : x y = 2/3 (B) Vaäy G chaïy treân ñt d// d vaø qua ñieåm N( ; ) V2/3 (A) b) wTa coù : OG OB G VO O 3 d: x y = (36) 10 Tìm ảnh các đường thẳng d qua phép vị tự tâm I , tỉ số k : a) d : 3x y = ,V(O; ) b) d : 2x y = ,V(O;3) c) d : 2x y = ,V(I; 2) với I( 1;2) d) d : x 2y = ,V(I;2) với I(2; 1) d : 9x 3y 10 0 d : 2x y 12 0 d : 2x y 0 d : x 2y 0 11 Tìm ảnh các đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I , tỉ số k : (Có cách giải ) a) (C) : (x 1)2 (y 2)2 = ,V(O; 2) (C) : (x 2)2 (y 4)2 = 20 b) (C) : (x 1)2 (y 1)2 = ,V(O; 2) (C) : (x 2)2 (y 2)2 = 16 c) (C) : (x 3)2 (y 1)2 = ,V(I; 2) với I(1;2) (C) : (x 3)2 (y 8)2 = 20 12 Tìm phép vị tự biến d thành d : x y a) d : 1,d : 2x y 0,V(O; k) k= HD : d : 2x y 0 // d : 2x y 0 Laáy A(2;0) d,B(3; 0) d Vì : phép vị tự V(O;k) : A I B OB kOA Vì : OA= (2; 0),OB (3; 0) OB OA 3 V(O; ) V(O; ) Vaäy : A I 2 B d I 2 d Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng cùng nằm trên đườn g thẳng Để đơn giản ta chọn chúng cùng nằm trên Ox Oy b) (C1) : (x 4)2 y2 2 ; (C2 ) : (x 2)2 (y 3)2 8 HD : V(I; 2),I( 2;1) w(C1) coù taâm I1( 4; 0), R1 , (C2 ) coù taâm I2 (2;3),R2 2 V(I;k) wGỉa sử :(C1) I (C2 ) thì : R R2 | k | R1 | k | 2 k 2 R1 II2 kII1 thì « k = Goïi I(xo ; yo ) thì (2 xo ;3 yo ) 2( xo ; yo ) I( 2;1) « k = Goïi I(xo ; yo ) thì (2 xo ;3 yo ) 2( xo ; yo ) I( 10; 3) Vậy có phép vị tự biến (C1) (C2 ) là V(I; 2) với I( 2;1) V(I;2) với I( 10; 3) 13 Trong mpOxy , cho đường tròn (C1) : (x 1)2 (y 3)2 = và (C2 ) : (x 4)2 (y 3)2 = a) Xác định toạ độ tâm vị tự ngoài hai đường tròn đó b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn đó HD : (C1) coù taâm I1(1;3) , bk : R1 1 ; (C2 ) coù taâm I2 (4;3) , bk : R 2 R a) Gọi I là tâm vị tự ngoài (C1) và (C2 ) , ta có : II2 kII1 với k = 2 I( 2;3) R1 b) Tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn là tiếp tuyến từ I đến (C1) Goïi ñt ñi qua I vaø coù heä soá goùc k :y = k(x+2) ky y 2k 0 : 2.x 4y 12 0 tieáp xuùc (C1) d(I1; ) R1 k 2 : 2.x 4y 12 0 2 (37) 14 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB Một đường tròn (O) tiếp xúc với (O,R) và đoạn AB BI C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh : AI HD : wC là tâm vị tự đường tròn (O) và (O) wD (O), I (O) vaø ba ñieåm C,D,I thaúng haøng Gọi R là bán kính đường tròn (O) , đó : R VCR : O I O,I I D OI // OD OI AB (Vì OD AB) AI BI I laø trung ñieåm cuûa AB 15 Cho hai đường tròn (O,R) và (O, R) tiếp xúc A (R > R) Đường kính qua A cắt (O,R) B và cắt (O, R) C Một đường thẳng di động qua A cắt (O, R) M và cắt (O, R) N Tìm quỹ tích I = BN CM HD : IC CN Ta có : BM // CN Hai BMI NCI Do đó : IM BM AC CN Hai ACN ABM Do đó : AB BM IC AC 2R R IC R IM AB 2R R IM IC R R R V(C;k ) CI R R R R I CI CM M : I CM R R R R Vậy : Tập hợp các điểm I là đường tròn () vị tự đường R tròn (O,R) phép vị tự V(C ; k ) R R 16 Cho ABC Gọi I , J M theo thứ tự là trung điểm AB, AC và IJ Đường tròn ngoại tiếp tâm O AIJ , cắt AO A Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ A xuốn g BC Chứng minh : A , M , M thaúng haøng HD : Goïi M1 laø trung ñieåm BC Ta coù : AB 2AI vaø AC 2AJ V(A;2) Từ đó : AIJ ABC Khi đó : V(A;2) : O I A,M I M1 OM IJ AM1 BC Nhö theá : M1 M A, M,M thaúng haøng ( vì A,M,M1 thaúng haøng ) 17 Cho ABC Gọi A1,B1,C1 tương ứng là trung điểm BC,CA, AB Kẻ A1x, B1y,C1z song song với các đường phân giác các góc A,B,C ABC Chứng minh : A1x,B1y,C1z đồng quy HD : Xét phép vị tự tâm G , tỉ số G laø troïng taâm ABC , I là tâm đường tròn nôïi tiếp ABC Ta coù : AJ I A1x , BI I B1y , CI I C1z , GI I I J ( ) A1x, B1y,C1z đồng quy J GJ (38) 18 Cho hai đường tròn (O1,R1) và (O2 ,R ) ngoài R1 R Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài với (O1) A và tiếp xúc ngoài với (O2 ) B Chứng minh : Đường thẳng AB luôn luôn qua điểm coá ñònh HD : A là tâm vị tự biến (O1) thành (O) : AO và AO ngược hướng B là tâm vị tự biến (O) thành (O2 ) : AO và AO ngược hướng Kéo dài ABcắt (O2 ) C : AO và CO2 ngược hướng Vậy : AO1 và CO2 ngược hướng Như AC hay là AB phải qua tâm I à tâm vị tự ngoài (O1) và (O2 ) 19 Cho ABC Người ta muốn định ba điểm A,B,C trên các cạnh BC,CA,AB cho ABC và AB CA , BC AB và CA BC Gọi E,F,K là chân các đường cao phát xuất từ A,B,C 2/3 (A),A= V2/3 (E),B= V2/3 (F) Ñaët : C= VB B B 2/3 a) Nghieäm laïi raèng : A= VB (E) vaø BC CK b) Suy : ABC Chứng minh trực tâm H ABC là trọng tâm ABC HD : Trong ABC các đướng cao : AE = BF = CK = a (a laø caïnh cuûa ABC) và E,F,K là trung điểm các cạnh 2 2/3 2/3 (E) a) Vì A= VB (E) BA BE BC CA ( BC) CA CB Vaäy : A= VB 3 2 2/3 (A) BC BA BA AC BA AC BA AK B= V2/3 (C) Vì C= VB A 3 3 V 2/3 V 2/3 Vaäy : C I A B, K I A C BC CK BC// CK cuøng AB b) Ta coù : BC CK a 3 BC = CK = 3 2 Tương tự : CA AE và AB BF 3 a Vaäy : BC AB,CA BC,AB AC vaø BC= CA= AB= ABC Trực tâm H ABC là trọng tâm tam giác đó , nên : 2 BH BF Maø : BC BA BH BC (BF BA) CH AF 3 3 Vaäy : CH // AF Suy : CH AB Lý luận tương tự : AH BC (39) Vấn đề : PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm bất kì M , N và ảnh M, N laø aûnh cuûa chuùng , ta coù MN= k.MN ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) là hợp thành phép vị tự tỉ số k và phép dời hình D Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng : Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) Biến đường thẳng thành đường thẳng Bieán tia thaønh tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳn g mà độ dài nhân lên k ( k là tỉ số đồng dạng ) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó ( tỉ số k) Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R= k.R Bieán goùc thaønh goùc baèng noù Hai hình đồng dạng : ĐN : Hai hình gọi là đồng dạng với có phép đồng biến hình này thành hình F H đồng dạng G F đồng dạng : H I G B.BÀI TẬP Cho ñieåm M a) Dựng ảnh phép đồng dạng F là hợp thành phép đối xứng trục Đa và phép vị tự V tâm O , với O a , tỉ số k = b) Dựng ảnh phép đồng dạng F là hợp thành phép vị tự V tâm O , tỉ số k = và phép quay tâm I với góc quay = 90 Giaûi Ñ V2 a) Goïi : M I a M1 I O M2 wM (a) thì M1 M vaø M laø trung ñieåm OM2 wM (a) vaø O M1 thì : a là trung trực đoạn MM1 M1 là trung điểm đoạn OM wM (a) vaø O M1 thì : a là trung trực đoạn MM1 M1 là trung điểm đoạn OM 3 VO Q90 b) Goïi M I M1 I I M2 Khi đó : OM1 3OM , IM = IM1 vaø (IM1; IM) 90 (40) Cho ABC có đường cao AH H trên đoạn BC Biết AH = , HB = , HC = Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F hợp thành hai phép biến hình nào đây ? A) Phép đối xứng tâm H và phép vị tự tâm H tỉ số k = B) Phép tịnh tiến theo BA và phép vị tự tâm H tỉ số k = C) Phép vị tự tâm H tỉ số k = và phép quay tâm H , góc (HB;HA) D) Phép vị tự tâm H tỉ số k = và phép đối xứng trục HD : và Q(H;) với = (HB;HA) : B I A, A I C Pheùp VH Vậy : F là phép đồng dạng hợp thành V và Q biến HBA thành HAC Cho hình bình haønh ABCD coù taâm O Treân caïnh AB laáy ñieåm I cho IA 2IB 0 vaø goïi G laø trọng tâm ABD F là phép đồng dạng biến AGI thành COD F hợp thành hai phép bieán hình naøo sau ñaây ? A) Phép tịnh tiến theo GO và phép vị tự V(B; 1) B) Phép đối xứng tâm G và phép vị tự V(B; ) C) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng tâm O 2 D) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng tâm G HD : Vì G laø troïng taâm ABD neân AO AG Theo giaû thieát , ta coù : AB AJ Phép đối xứng tâm O , biến A thành C và B thành D ( O là bất biến ) Ñ V 2/3 A I A A I O C Ñ V 2/3 G I A O I O O V(A; ) Ñ AGI AOB O COD Phép đồng dạng F HẾT Ñ V2/3 I I A B I O D (41)