De thi HSG Toan 7

PHÒNG GD-ĐT TRỰC NINH TRƯỜNG THCS TRỰC BÌNH.. khoảng cách từ xe máy đến M...[r]

PHÒNG GD-ĐT TRỰC NINH TRƯỜNG THCS TRỰC BÌNH Bµi (3 ®iÓm) T×m x biÕt a) (3x2 - 51)2n = (-24)2n b) (8x - 5)2 = |5- 8x| ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 Thời gian làm bài 120 phút(Không kể thời gian giao đề) (n  N*) Bµi 2: (3 ®iÓm) Cho (x1p – y q) + (x2p – y q)2n + (x3p –y q)2n + + (xmp – ymq)2n 0 víi m,n  N* Chøng minh r»ng : x1 + x2 + x3 + +xm y1 + y2 + y3 + +ym Bµi (3 ®iÓm) chøng minh r»ng nÕu : th× x,y, z t¬ng øng tØ lÖ víi a, b, c = q p bz  cy cx  az ay  bx   a b c Bài (4 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung ®iÓm cña AB Hái sau khëi hµnh bao l©u th× « t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng khoảng cách từ xe máy đến M Bài Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M BC vẽ đờng thẳng vuông gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia ph©n gi¸c t¹i H, C¾t AB, AC lÇn lît t¹i E vµ F Chøng minh r»ng: a) BE = CF AB  AC b) AE = ACB  B   BME c) AB  AC ; BE = = Hä vµ tªn thÝ sinh: Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 1: Sè b¸o Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 2: danh : Đáp án đề thi học sinh giỏi toán N¨m häc 2010 - 2011 Bµi (3 ®iÓm) T×m x §¸p ¸n a) (3x2 - 51)2n = (-24)2n V× n  N* nªn 2n lµ sè ch½n kh¸c Từ đề bài ta có : 3x2 - 51 = -24 (1) 3x2 - 51 = 24 (2) Giải (1) ta đợc: 3x2 = 27  x2 =  x = 3 Giải (2) ta đợc: 3x2 = 75  x2 = 25  x = 5 ®iÓm 0,25 0,5 0,5 0,25 3; 5 VËy x  b)  (5 – 8x)2 = |5- 8x|  |5 – 8x|2 = |5- 8x|  |5 – 8x| (|5 – 8x| - 1) =  |5 – 8x| = |5 – 8x| - = 0,5  5-8x = |5-8x| = Giải (1) ta đợc: x= Giải (2) ta đợc : 5-8x = 5-8x = -1   (1) (2) 0,5 8x = 8x = x= x= 0,5 1 3  ; ;  VËy x    Bµi (3 ®iÓm) bz  cy cx  az ay  bx   k b c §Æt a Ta cã : bz-cy=ak ; ay-bx=ck ; cx-az=bk Nhân lần lợt vế đẳng thức lần lợt với a,b,c ta có abz-acy=a2k bcx-abz=b2k acy-bcx=c2k Cộng theo vế đẳng thức ta đợc: =k(a2+b2+c2) Theo ®Çu bµi ta cã: a2+b2+c2 0 Suy k=0  bz=cy; cx=az; ay=bx x y z   Từ đó suy a b c VËy x;y;z t¬ng øng tØ lÖ víi a,b,c Bµi (3 ®iÓm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta cã: (x1p – y q)2n 0 (x2p – y q)2n 0 (xmp – ymq)2n 0 VËy (x1p – y1q)2n+(x2p – y2q)2n + +(xmp – ymq)2n 0 Mµ theo ®Çu bµi ta cã : (x1p – y1q)2n+(x2p – y2q)2n + +(xmp – ymq)2n 0 Suy ta cã : x1p – y1q=x2p – y2q= =xmp – ymq=0 x x1 x2 x3 q     m  ym p Do đó : y1 y2 y3 x1  x2  x3   x m q  y  y  y   y p m Hay : S2 a A 2a M B Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270km Gọi quãng đờng ô tô và xe máy đã là S1, S2 (km) (S1, S2 >0) Trong cùng khoảng thời gian thì quãng đờng tỷ lệ thuận với vận tốc đó: S1 S  t V1 V2 (t lµ thêi gian cÇn t×m) 270  a 270  2a   t= 65 40 540  2a 270  2a (540  2a )  (270  20)   40 130  40 t= 130 270 t 3 90 VËy sau khëi hµnh giê th× « t« c¸ch xe m¸y mét ko¶ng b»ng kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y tíi M 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi (4 ®iÓm) S1 0,5 0,5 Bµi (7 ®iÓm) A E M < H D a) Chøng minh AHE AHC (g – c - g) B   Suy AE = AF vaf E1 F Tõ C vÏ CD // AB (D  EF) Chøng minh BME CMD (g – c - g) Suy BE = CD (1) C F   Có E1 CDF (Cặp góc đồng vị)   Do đó CDF F  CDF c©n VËy CF = CD (2) Tõ (1) vµ (2) Suy BE = CF b) * Ta cã: AE = AB – BE MÆt kh¸c: AE = AF – AC + CF Suy ra: AE + AE = (AB - BE) + (AC + CF) 2AE = AB + AC (v× BE = CF) AB  AC  AE = * Ta cã: BE = AB – AE = AB – AF = AB – (AC + CF) MÆt kh¸c: BE = CF Suy BE + BE = (AB – AC - CF) + CF AB  AC  2BE = AB – AC  BE =     c) XÐt CMF Cã ACB lµ gãc ngoµi Suy CMF  ACB  F     XÐt BME Cã E1 lµ gãc ngoµi Suy BME E  B     E   B  CMF  BME  ACB  F VËy     ACB  B     BME  BME  ACB  B  Hay