thì cặp x,y=1;2 thoả mãn nên là nghiệm nguyên của hệ phơng trình đã cho.[r]
(1)thi vµo chuyªn to¸n tin N¨m häc 2004-2005 đại học quốc gia hà nội ngµy thø nhÊt C©u 1: 1/gi¶i ph¬ng tr×nh: | x+1|+| x −1|=1+|x − 1| ⇔|x +1|+|x −1|−| x2 −1|=1(1) Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối : x |x +1| -1 -x-1 x+1 1-x / 1-x |x − 1| 2 x -1 1-x2 |x − 1| “VT” -x2-2x+1 / x2+1 / / x+1 x-1 x2-1 -x2+2x+1 *Víi x <-1 (1)<=>-x2-2x+1=1-x(x+2) x=-2(lo¹i),x=0 *-1x<1 (1) x2+1=1x=0 *1x (1) -x2+2x+1=1-x(x-2) x=0(lo¹i),x=-2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: -2;0;2 (2) 2/ y − x − xy +2 y −2 x=7 ¿ 3 x + y + x − y =8 ⇔ 2 ¿ y − x + y − xy+2 y −2 x=7 3 x + y + x − y =8 ⇔ ¿ ( y − x)(2 y + x+ 2)=7(1) x + y + x − y=8 (2) ¿ Tu (1) taco: ¿ y − x=1 y + x +2=7 ⇔ ¿ y − x=1 y+ x=5 ⇔ ¿ y=6 x =5− y ⇔ ¿ x=1 y=2 ¿ hoac ¿ y − x=7 y + x +2=1 ⇔ ¿ y − x=7 Thay c¸c cÆp (x,y) =(1;2);(-5;2)vµo ph¬ng tr×nh (2) y+ x =−1 y=6 x= y −7 ⇔ ¿ x=−5 y=2 ¿ hoac ¿ y − x=−1 y + x+ 2=−7 ⇔ ¿ y − x=−1 y + x=− ⇔ ¿ y=− 10 x= y +1 ( loaivi : x , y ∉ Z) ¿ Hoac ¿ y − x =−7 y + x +2=− ⇔ ¿ y − x =−7 y + x=−3 ⇔ ¿ y=− 10 { ¿ ¿ ¿¿ (3) thì cặp (x,y)=(1;2) thoả mãn nên là nghiệm nguyên hệ phơng trình đã cho C©u 2: Tõ gi¶ thiÕt ta cã: a100(1-a)=b100(b-1) (1) vµ a101(1-a)=b101(b-1) (2) V× a,b>0 nªn nÕu a=1 th× b=1 suy P=2 NÕu a kh¸c th× b kh¸c chia vÕ (2) cho (1) ta cã: a=b thay vµo gi¶ thiÕt rót gän ta cã 1=a=a2 v« lý v× a kh¸c VËy a=b=1 vµ P=2 C©u 3: Tõ gi¶ thiÕt ta thÊy tam gi¸c ABC vu«ng Tại B,từ AC.BH=AB.BC tính đợc BH=2,4(cm) ¸p dông tÝnh chÊt ph©n gi¸c tam gi¸c ta cã: AI CI AI+CI AC = = = = (cm) AB CB AB+CB AB+CB AB 15 CB 20 ⇒ AI= = ; CI= = (cm) 7 7 B A H I M C .¸p dông hÖ thøc AB =AH.AC ta cã: AB2 9 16 = (cm) ; CH=AC − AH=5 − = (cm) AC 5 20 16 HI=AI − AH= − = ( cm); 5 5 15 IM=AM− AI= − = (cm) 14 AH BH 54 HI BH 24 S ABH = = (cm 2); S BHI = = (cm ) 25 25 IM BH CM BH S BIM= = (cm ); SCMB = =3(cm2 ) AH= C©u 4:a/Chøng minh PQ//AC Ta cã H1=H2(®.®) H1=C1(c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) C1= D1(ch¾n cïng cung) Suy ra: H2=D1 nªn tam gi¸c QDH c©n t¹i Q A =>QD=QH(1) t¬ng tù PD=PH(2) tõ (1) vµ (2)=> QP lµ trung trùc cña HD=>PQBD mµ ACBD Q Nªn PQ//AC () b/Chøng minh tø gi¸c MNPQ néi tiÕp QPM=DBM(c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) D DBM=MNQ suy QPM=MNQ nªn tø gi¸c MNPQ néi tiÕp () M 2H N P C©u 5: C¸ch ¸p dông B§T A +B 2AB dÊu “=” s¶y A=B B C (4) x 10 y 10 + +(x16 + y 16 )− ( x y +2 x2 y 2+ 1) ≥ x y +2 x y − x y −8 x y − y x 8 Q ≥ x y − x y − 4=2 t −8 t − 4=2[(t −2 t 2+1)+2(t − 2t +1)]− 10; (dat : x y 2=t >0) 5 t −1 ¿2 +2 ¿ −10 ≥− 10⇒ Q≥ − ,Min (Q)=− ⇔ t=1⇔ 2 ¿ x= y =1 ¿ x= y=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Q ≥2 ¿ C¸ch Thªm vào x16+y16 và bớt sau đó áp dụng BĐT A2+B2 2AB 2 Q=2 ( ) dÊu “=” s¶y A=B vµ §BT C«-si cho sè d¬ng ¿ x= y xy=1 ⇔ x= y=1 ¿ x = y=−1 ¿ x 10 y 10 16 16 Q= + + ( x + y + 1+1) − −( x y +2 x y 2+ 1)≥ x y + x y − x y − x y − y x 2 5 t − 1¿ − ≥ − 2 ¿ ¿ ¿ Min( Q)=− ⇔t =1 ⇔ ¿ Q ≥ x y −2 x y − =(t − t+1)− =¿ 2 ¿ ¿¿ 3 C¸ch Thªm vµo x16+y16 vµ bít sau đó áp dụng BĐT A2+B2 2AB 2 ( ) dÊu “=” s¶y A=B vµ §BT C«-si cho sè d¬ng x= y=1 ¿ x= y=−1 ¿ ¿ ¿ ¿ Q= ¿ x 10 y 10 16 16 + + (x + y +1+1+1+1+1+1)− −( x y +2 x y 2+1) y2 x2 ¿ 5 Q ≥ x y +2 x y − − x y − x y −1=− ; Min (Q)=− ⇔ 2 ( ) thi vµo chuyªn to¸n tin N¨m häc 2004-2005 đại học quốc gia hà nội(ngày thứ hai) C©u 1:Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+3+ √ x −1=2 TX§ : x 1 (5) dat : √ x+3=u(u> 0); √ x − 1=v (v ≥0)tacohe : ¿ u +v =2 u2 − v 2=4 ⇔ ¿ u+ v=2 u − v=2 ⇔ ¿ u=2 v=0 ⇔ ¿ √ x+3=2 √ x −1=0 ⇔ ¿ x +3=4 x − 1=0 ⇔ x =1∈ TXD ¿ ¿ ¿ { ¿ ¿ Câu 1: Cách1:đa hệ đối xứng loạiI 2 (x+ y)(x + y )=15 ( x − y)(x − y 2)=3 ⇔ ¿=15 ¿ ¿ ¿=3 ¿ ¿{ ¿ (x+ y) ¿ đặt x+y=S;xy=P đk:S2 4P ta có hệ S ( S − P)=15 (1) ¿ S(S − P)=3(2) ; vi : S ≠ ; S − P ≠ 0; S − P ≠0 ; chia (1)cho(2)taco : ¿ S2 ¿ S − p=5( S2 − P)⇔ S 2=18 P ⇔2 P= thayvao(1)⇒ S3 =27 ⇔ s=3∧ P=2 ¿⇒ ¿ x+ y=3 { ¿ ¿ ¿¿ Cách2:đa hệ đẳng cấp bậc ¿ ( x+ y)( x + y 2)=15 (x − y)( x − y 2)=3 (∗)⇔ ¿ x + xy + x2 y + y 3=15 x − xy − x y + y 3=3 ¿{ ¿ (6) x=y=0 kh«ng lµ nghiÖm ®¨t x=ty (t kh¸c 0) ta cã hª y (t +t +t+1)=15 ¿ y (t −t − t+1)=3 ⇔ t +t +t +1=5( t −t − t+1)⇔ 2t − t −3 t+ 2=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ C¸ch 3: Tõ (*) ta cã:(x+y)(x2+y2)=5(x-y)(x2-y2)(x+y)(4x2-10xy+4y2)=0 2x2-5xy+2y2=0(**) (v× x+y0) y=0 kh«ng lµ nghiÖm chia vÕ cña (**) cho y2 ta cã: x2 x −5 +2=0 ⇔ t −5 t +2=0 ⇔ t=2; t= ⇔( x=1; y =2)V (x=2 ; y=1) y y C©u3 x2 y2 ¿ = y −1 x −1 x −1=1 y − 1=1 ⇔ x= y =2 3 2 2 ( x + y )−( x + y ) x ( x −1)+ y ( y − 1) x2 y2 x2 y2 P= = = + ≥2 ( cos i soduong) y − x −1 ( x −1)( y −1) (x −1)( y −1) (x −1)( y −1) ¿ {{ xy x −1+1 y −1+1 x −1 √ y −1 P≥2 =2 + ≥2 √ =8(cos i tuso) √ x −1 √ y −1 √ x −1 √ y −1 √ x −1 √ y −1 ⇔ Min (P)=8 ⇔ ( ) √ C¸ch 2:§Æt x=m+1,y=n+1 (m>0;n>0)ta cã ¿ m=n m, n>0 √ mn= √ mn ⇔ ¿ m=n mn=1 m, n>0 ⇔ m=n=1 ⇔ x= y=2 n+1 ¿2 ¿ ¿ C©u 4: (m3 +n3 )+2(m2+ n2)+(m+n) ¿ mn= (ApdungBDTCo −si) mn ¿ mn √ mn+ mn+ √ mn P≥ =2 √ mn+ 4+ =2 √ mn+ + ≥ 4+ 4=8 mn √ mn √ mn m+1 ¿2 − ¿ n+1 ¿3 −¿ m+1 ¿3 +¿ ¿ ¿ ¿ P=¿ ( a/V× MAB=MBC=MCD=MDA nªn MAD=MBA=MCB=MDC ) A (7) B nên tam giác ABM,BCM,CDM,DAM đồng dạng =>AMB=BMC=CMD=DMA=900 VËy M thuéc t©m h×nh vu«ng ABCD M D C b/Ta cã tø gi¸c ONBC néi tiÕp (V× NBC=NOC=900 GT) nªn MCN=NBO vµ BAO chung nên ABO đồng dạng với ACN (g.g) OB AB √ ⇒ = = = (khongdoi) CN AC √2 c/Dễ thấy S1là đờng tròn ngoại tiếp hình vuôngANMK,S2 là đờng tròn ngoại tiếp h×n vu«ngONBC tiÕp tuyÕn giao t¹i L ta cã L,O,S2 th¼ng hµng,tam gi¸c LPQ c©n cã LO lµ ph©n gi¸c PLQ.nªn O lµ trung ®iÓm Cung PQ cña (S2),nªn QO lµ ph©n gi¸c PQL nên O(S1) là tâm đờng tròn nội tiếp L LPQ suy PQ tiÕp xóc víi (S1) ®pcm P A N B S2 O M K C©u XÐt biÓu thøc phÇn nguyªn xn n+1 n √2 √2 − n √2 x n= − = n + 2 √2 √2 theo GT , 41≤ √ 2≤ , 42⇒ ,705 ≤ √ ≤ , 71 [ ][ ][ S2 D C Q ][ ] NÕu phÇn 10 phÇn thËp ph©n cña: n √2 ≥ 3, thi : x n=1 ; n √2 <3, thi : x n=0 2 VËy xn=1 hoÆc xn=0 XÐt P=x0+x1+x2+x3+ +x199 P= 200 199 − + − + − + + − √ √2 √ √2 √ √ √2 √2 200 200 P= − = =[ 100 √ ]=141 √2 √2 √2 [ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ][ ][ ] B [ ][ ] V× xn=1 hoÆc xn=0 nªn tæng P cã 141 sè h¹ng b»ng vµ 59 sè h¹ng b»ng VËy cã 141 sè kh¸c (8)