Trường BDVH 218 Lý Tự Trọng 1 Lưu Văn Thám sưu tầm và thực hiện.. P là hình chiếu vuông góc của C trân AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB.[r]
(1)Trường BDVH 218 Lý Tự Trọng Lưu Văn Thám sưu tầm thực
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
MƠN THI: TỐN (Vịng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1 Giải hệ phương trình : xy(x y) 3 3 9xy(3x y) 26x 2y Giải phương trình: x 4 x 2x Câu II
1 Tìm chữ số tận số A = 41106 + 572012
2 Tìm giá trị lớn hàm số: y 2x x 4x2 với x
2
Câu III
Cho ABC nhọn (AB > AC ) nội tiếp đường tròn (O) Giả sử M, N điểm cung nhỏ BC cho MN // BC tia AN nằm hai tia AM AB P hình chiếu vng góc C trân AN Q hình chiếu vng góc M AB
1 Giả sử CP giao QM T Chứng minh T nằm đường tròn (O)
2 NQ giao (O) R khác N Giả sử AM giao PQ S Chứng minh điểm A, R, Q, S thuộc đường tròn
Câu IV
Với số n nguyên lớn cố định, xét tập n số thực đôi khác X={x1 ; x2 ; ; xn} Kí hiệu C(X) số giá trị khác tổng xi + xj (1 i < j n)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ C(X)
(2)Trường BDVH 218 Lý Tự Trọng Lưu Văn Thám sưu tầm thực
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
BÀI GIẢI ĐỀ THI MÔN TỐN (Vịng 2) Câu I. Giải hệ phương trình : xy(x y) 3 3
9xy(3x y) 26x 2y (1) (2) (I) (I)
2
2 2 3
3x y 3xy
27x y 9xy 3x y 3xy 26x 2y
3 2 3 2
x 3x y 3xy y 27x 27x y 9xy y
(x + y)3 = (3x – y)3 x + y = 3x – y x = y thay vào (1) 2x3 = x = y = Thử lại hệ nhận nghiệm x = y =
2 Giải phương trình: x 4 x 2x (1) ĐK: x * Với x = thay vào (1) thỏa nghiệm (1)
* Với x 0: (1) x x 2x x x
x (do x 0)
– x = 4x + 16 + x + 5x – 16 = x
2
16 16
5x 16 x 5 x x 96
5
25
25x 160x 256 64x 256 25x 96x 0 25x 96 0 (do x 0)
Vậy phương trình có hai nghiệm ; 96 25
Câu II.1 Tìm chữ số tận số A = 41106 + 572012 Ta có : 574 = 10 556 001 mod(100) 572012 mod(100)
415 =115 856 201 mod(100) 41105 mod(100) 41106 41 mod (100) 41106 + 572012 42 mod(100) Vậy A có chữ số tận 42
2 Tìm giá trị lớn hàm số: y 2x x 4x2 với x
2
Áp dụng bất đẳng thức TB cộng, TB nhân ta có: 2x 1= (2x 1).1 2x 1 x
2
2 2
2 2 x 4x 3x x 4x x (5 4x )
2
2 2
2 3x 3x 6x 3(x 1)
y 2x x 4x x 4
2 2
(3)Trường BDVH 218 Lý Tự Trọng Lưu Văn Thám sưu tầm thực
Câu III
Cho ABC nhọn (AB > AC ) nội tiếp đường tròn (O) Giả sử M, N điểm cung nhỏ BC cho MN // BC tia AN nằm hai tia AM AB P hình chiếu vng góc C trân AN Q hình chiếu vng góc M AB
1 Giả sử CP giao QM T Chứng minh T nằm đường tròn (O)
2 NQ giao (O) R khác N Giả sử AM giao PQ S Chứng minh điểm A, R, Q, S thuộc đường tròn
1 MN//BC
BN CM BNN CMN QAM CAP
mà QAM M 1 90 ,CAP Co 1 90o M1 C1 tứ giác ACMT nội tiếp
T nằm đường tròn ngoại tiếp ACM T (O) (đpcm)
2 Q, P nhìn AT theo góc vng tứ giác APQT nội tiếp QPT QAT BAT mà
BAT BCT (do tứ giác BCAT nội tiếp) APT BCT QP//BC//MN NMA QSA
Tứ giác NMAR nội tiếp NMA R 180 o mà NMA QSA QSA R 180 o Tứ giác QSAR nội tiếp (đpcm)
Câu IV Với số n nguyên lớn cố định, xét tập n số thực đôi khác X={x1 ; x2 ; ; xn} Kí hiệu C(X) số giá trị khác tổng xi + xj (1 i < j n)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ C(X) Khơng tính tổng qt ta giả sử x1 < x2 < < xn
x1 + x2 < x1 + x3 < <x1 + xn < x2 + xn < x3 + xn < < xn-1+ xn (1)
Số số hạng (mỗi số hạng tổng xi + xj) đãy (1) (n – 1) + (n – 2) = 2n –
Vậy C(X) 2n –
Khi X = {1; 2; ; n) số hạng tổng (1) số tự nhiên liên tiếp từ tới 2n mà + = tổng nhỏ nhất, (n-1)+n = 2n – tổng lớn C(X) = 2n
Vậy giá trị nhỏ C(X) 2n –
Với X={x1 ; x2 ; ; xn} số tổng xi + xj (1 i < j n) nhiều có thề lập
là n(n 1)
2 C(X)
n(n 1)
Xét X = {2; 22; 23; ; 2n} ta chứng ming hai tổng 2i + 2j 2p + 2q ln có giá trị khác với i, p j, q không đồng thời i < j n, p < q n
Giả sử 2i
+ 2j = 2p + 2q Không tính tổng quát ta giả sử i p
2i (1+ 2j-i) = 2p(1+ 2q-p) 1+ 2j-i = 2p-i(1+ 2q-p) Nếu p i 1+ 2j-i số lẻ mà 2p-i(1+ 2q-p) số chẵn vô lý p = i j = q i, p j, q đồng thời (vô lý) Vậy X = {2; 22
; 23; ; 2n} C(X) = n(n 1)
2 nên giá trị lớn C(X)
n(n 1)
-Nhận xét chung: Đề năm dễ (trừ 4), điểm chuẩn cao
1
1 R
P Q
T
B C
N M
A