đề thi thử THPT QG 2019 toán chuyên KHTN hà nội lần 2 có lời giải

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Mã đề: 567 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN II – MƠN TỐN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Câu (TH): Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A lim x  x   x    x   C lim  x   x  x   x     3x    x 1 D lim  3x    x 1 x  1 x  1 Câu (VD): Tập nghiệm bất phương trình A  B lim  log  x   log   x   là: C  3; 4 B  4; 3 D  4; 3 Câu (TH): Cho số phức z  Khẳng định sau sai? A z  z số thực B z  z số ảo C z số ảo z Câu (NB): Vecto sau vecto phương đường thẳng A  3; 2;1 C  3; 2;1 B  2;1; 3 D z.z số thực x  y 1 z  ?   2 1 D  2;1;3 Câu (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  0;2; 1 , B  5;4;2  C  1;0;5 Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là: A  1;1;1 C  6;6;6  B  2; 2;  D  3;3;3 Câu (VD): Số giao điểm đồ thị hàm số y  x x  với đường thẳng y  là: A B C D Câu (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình sau khơng phải phương trình mặt cầu? A x2  y  z  x  y  z   B x2  y  z  x  y  z  C x2  y  z  x  y  z  10  D x2  y  z  x  y  z   Câu (TH): Cho cấp số cộng  un  có u1  tổng 40 số hạng đầu 3320 Tìm cơng sai cấp số cộng A B 4 Câu (TH): Đồ thị hàm số y  A x 1 25  x B C D 8 có đường tiệm cận? C D Câu 10 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm A  3;1;  Tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua trục Oy là: A  3; 1; 2  B  3; 1;  C  3; 1;  D  3;1; 2  Câu 11 (TH): Tập giá trị hàm số y  x    x là: A  2; 2  B 3;7  C 0; 2  D  3;7  Câu 12 (TH): Đạo hàm hàm số f  x   ln  ln x  là: A f '  x   C f '  x   1 B f '  x   x ln x ln  ln x  x ln x ln  ln x  D f '  x   x ln  ln x  ln x ln  ln x  Câu 13 (VD): Tính diện tích hình phẳng giới hạn điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z   i  z   i  10 B 20 A 12 C 15 D Đáp án khác Câu 14 (VD): Cho hàm số f  x  với bảng biến thiên đây: x  1 f ' x  f  x  +   +  4 2 Hỏi hàm số y  f  x  có cực trị? A B C D Câu 15 (TH): Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M, N trung điểm AA ' BC ' Khi đường thẳng AB ' song song với mặt phẳng: A  C ' MN  B  A ' CN  C  A ' BN  Câu 16 (VD): Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  D  BMN  xm đoạn 1; 2 (m x 1 tham số thực) Khẳng định sau đúng? A  m  B  m  C  m  10 D m  10 Câu 17 (TH): Số 2018201920192020 có chữ số? A 147501991 B.147501992 C 147433277 D 147433276 Câu 18 (VD): Phương trình cos x  2cos x   có nghiệm khoảng  0; 2019  ? A 1009 B 1010 C 320 D 321  7  x  x  Câu 19 (VD): Cho hàm số f  x    Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  4  x x  hàm số f  x  đường thẳng x  0, x  3, y  16 20 B C 10 D 3 Câu 20 (TH): Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB A tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy  ABCD  Tính thể tích khối chóp SABCD A a3 B a3 C a3 D a3 Câu 24 (VD): Một mơ hình gồm khối cầu xếp chồng lên tạo thành cột thẳng đứng Biết khối cầu có bán kính gấp đơi bán kính khối cầu nằm bán kính khối cầu 50cm Hỏi mệnh đề sau đúng? A Mơ hình đạt chiều cao tùy ý B Chiều cao mơ hình khơng q 1,5 mét C Chiều cao mơ hình tối đa mét D Chiều cao mơ hình mét Câu 25 (VD): Cho khối chóp tứ giác SABCD tích V, đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh SB, BC, CD, DA Tính thể tích khối chóp M.CNQP theo V 3V 3V 3V V A B C D 16 16 thỏa mãn f '  x   x  f 1  1 Biết Câu 26 (VD): Cho hàm số f  x  xác định phương trình f  x   10 có hai nghiệm thực x1 , x2 Tính tổng log x1  log x2 A B 16 Câu 27 (VD): Cho khai triển  3x C  2019 D  a0  a1 x  a2 x  a3 x3   a2019 x 2019 Hãy tính tổng S  a0  a2  a4  a6   a2016  a2018   1009 A D 21009 C 22019 B Câu 28 (VD): Biết tổng hệ số khai triển nhị thức Newton  x  1 2100 Tìm hệ số n x A 161700 B 19600 C 2450000 Câu 29 (VD): Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là: A B C Câu 30 (VD): Cho hàm số f  x  liên tục A B có D 20212500 D 0 1  f  x  dx   f  x  dx  Tính   x   dx C D 11 Câu 31 (VDC): Cho hai số thực a  1, b  Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình a xb x 1   xx  Trong trường hợp biểu thức S     x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề sau đúng?  x1  x2  A a  b B a  b C ab  D ab  Câu 32 (VD): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với trọng tâm G, cạnh bên SA tạo với đáy  ABC  góc 300 Biết hai mặt phẳng  SBG   SCG  vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính cosin góc hai đường thẳng SA BC 15 30 15 15 B C D 20 20 10 Câu 33 (VD): Cho hai dãy ghế dối diện nhau, dãy có ghế Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm nam, nữ ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Tính xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ 1 A B C D 945 252 63 63 Câu 34 (VD): Phương trình sin x  2019 x có nghiệm thực? A 1288 B 1287 C 1290 D 1289 A Câu 35 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi   mặt phẳng chứa đường thẳng d: x 2 y 3 z   vng góc với mặt phẳng    : x  y  z   Hỏi giao tuyến      1 là: A 1; 2;0  Câu 36 (VD): Cho hàm số f  x  xác định lim x 2 C  5;6;8 B  2;3;3 thỏa mãn lim x 2 D  0;1;3 f  x   16  12 Tính giới hạn x2 f  x   16  x2  2x  A 24 B 12 C D cos x  cos x  2sin x Câu 37 (VD): Cho phương trình  Tính diện tích đa giác có đỉnh sin x  cos x điểm biểu diễn nghiệm phương trình đường tròn lượng giác 2 B C D 2 Câu 38 (VD): Biết không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) (Q) thỏa mãn điều kiện sau: qua hai điểm A 1;1;1 B  0; 2;  , đồng thời cắt trục tọa độ Ox, Oy hai A điểm cách O Giả sử (P) có phương trình x  b1 y  c1 z  d1  (Q) có phương trình x  b2 y  c2 z  d2  Tính giá trị biểu thức b1b2  c1c2 A 7 B 9 C D Câu 39 (VD): Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a, bạnh bên điểm AB Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ cho mặt phẳng  A ' C ' M  2a Gọi M trung A a B 2 a C 35 a 16 D 2 a 16 Câu 40 (VD): Có giá trị nguyên tham số m đoạn  2019; 2019 để hàm số y  ln  x    mx  đồng biến A 4038 B 2019 C 2020 Câu 41 (VDC): Cho hai số thực thỏa mãn x  y  Đặt P  D 1009 x  xy Khẳng định sau  xy  y đúng? A Giá trị nhỏ P 3 C P khơng có giá trị lớn B Giá trị lớn P D P khơng có giá trị nhỏ  3x   x x   x  Câu 42 (VD): Cho hàm số f  x    Tính f ' 1  x   B  A 50 C  64 D không tồn Câu 43 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  0;0;3 , B  2;0;1 mặt phẳng   : x  y  z   Hỏi có điểm C mặt phẳng   A B cho tam giác ABC D vô số C Câu 44 (VDC): Gọi (C) đồ thị hàm số y  x  x  điểm M di chuyển (C) Gọi d1 , d đường thẳng qua M cho d1 song song với trục tung d1 , d đối xứng qua tiếp tuyến (C) M Biết M di chuyển (C) d ln qua điểm I  a; b  cố định Đẳng thức sau đúng? A ab  1 B a  b  C 3a  2b  D 5a  4b  Câu 45 (VD): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SBA  SCA  900 Biết góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 450 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC là: A 51 a 17 B a C 39 a 13 13 a 13 D  Câu 46 (VD): Cho hàm số f  x  liên tục tích phân  f  x2  x  tan xf  cos x  dx   thỏa mãn f  x dx  Tính x dx A B C D 10 Câu 47 (VD): Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a,  ACD    BCD   ABC    ABD  Tính độ dài cạnh CD 3 B 2a C 2a D a a 3 Câu 48 (VD): Cho đa giác có 48 đỉnh Lấy ngẫu nhiên ba đỉnh đa giác Tính xác suất để tam giác tạo thành từ ba đỉnh tam giác nhọn 11 33 22 33 A B C D 47 47 47 94 A Câu 49 (VD): Cho hàm số y   x3  3x2  x có đồ thị (C) Gọi A, B, C, D bốn điểm đồ thị (C) với hoành độ a, b, c, d cho tứ giác ABCD hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến A, C song song với đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Tính tích abcd A 144 B 60 C 180 D 120 Câu 50 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 8;5; 11 , B  5;3; 4  , C 1;2; 6 mặt cầu  S  :  x     y     z  1  Gọi điểm 2 M  a; b; c  điểm (S) cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Hãy tìm a  b A B C D - HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-C 4-A 5-B 6-D 7-C 8-A 9-B 10-D 11-A 12-A 13-B 14-D 15-B 16-C 17-D 18-D 19-C 20-C 21-B 22-B 23-A 24-D 25-C 26-D 27-B 28-C 29-D 30-A 31-A 32-C 33-C 34-B 35-B 36-A 37-C 38-B 39-C 40-B 41-A 42-C 43-B 44-D 45-A 46-C 47-A 48-B 49-D 50-C (http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết) Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: B Phương pháp: Sử dụng phương pháp tính giới hạn hàm số để tính giới hạn chọn đáp án Cách giải: Ta có:  +) lim  x  x   x    lim x  x  x2  x   x   x2  x   x  x2  x   x    lim x2  x    x  2 x2  x   x  x  3x  +) lim    x  1 x 1       lim x  3x  3 x  lim  x  2 x  x 1  x     1  x x x 3   lim   3x    5  x 1    x  1  0; x     xlim        +) lim  x  x   x    lim x   lim x  x  x2  x    x  2 x2  x   x  3x    +) lim  x  1 x 1       lim x  x2  x   x   x2  x   x   x2  x   x  3x  x  lim   x  2 x  x 1  x    1  x x x   lim   3x    5  x 1    x  1  0; x     xlim       Câu 2: D Phương pháp:  a   b  x  a Giải bất phương trình logarit log a x  b    a 1     x  a b Cách giải:  x    x2     x  3  x  3   Điều kiện: 3  x   x     x  3 log  x  3  x   x       3 x2  log  x   log  x    log   x  3 x  1 0 log   x  log   x  log   x  log  log    x  3     x      log   x   log    x  3  3  x   0    x   log   x   log    x  3      3  x    log   x     x  4  x    4  x   4  x  3   x  4    x  Câu 3: C Phương pháp: Cho số phức z  a  bi  z  a  bi Sử dụng phép tính cộng, trừ, nhân, chia để tính chọn đáp án Cách giải: Gọi số phức z  a  bi  a, b  ; a, b    z  a  bi Ta có: z  z  a  bi  a  bi  2a  z  z số thực  đáp án A z  z  a  bi  a  bi  2bi  z  z số ảo  đáp án B  a  bi  z a  bi a  b  2abi a  b 2abi z       số phức  đáp án C sai 2 2 a b a b a b z a  bi  a  bi  a  bi  z z.z   a  bi  a  bi   a  b2  z.z số thực  đáp án D Câu 4: A Phương pháp: Đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0 qua M  x0 ; y0 ; z0  có VTCP u   a; b; c    a b c Cách giải: Đường thẳng x  y 1 z    có VTCP là:  3; 2; 1    3;2;1 2 1 Câu 5: B Phương pháp: Trọng tâm G  xG ; yG ; zG  Cách giải: x A  xB  xC   xG   y  yB  yC  ABC có tọa độ  yG  A  z  z  A B  zC  zG   x A  xB  xC   2  xG   y  yB  yC  Ta có tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:  yG  A   G  2; 2;   z A  zB  zC  2  zG   Câu 6: D Phương pháp: Vẽ đồ thị BBT hàm số y  x x  đường thẳng y  để tìm số giao điểm Cách giải: Ta có đồ thị hàm số: Như ta thấy đường thẳng y  cắt đồ thị hàm số y  x x  điểm phân biệt Câu 7: C Phương pháp: Phương trình x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  phương trình mặt cầu  a2  b2  c2  d  Cách giải: Xét đáp án ta được: 33 +) Đáp án A: x2  y  z  x  y  z   có: a   ; b  1; c  2, d  3  a  b  c  d  0  phương trình phương trình mặt cầu 1 +) Đáp án B: x  y  z  x  y  z   x  y  z  x  y  z  có: 2 1 a  ; b  ; c  ; d   a  b2  c  d    phương trình phưng trình mặt cầu 4 16 +) Đáp án C: x2  y  z  x  y  z  10  có: a  1; b  2; c  2; d  10  a  b2  c2  d  1   phương trình khơng phải phương trình mặt cầu Câu 8: A Phương pháp: Cơng thức tổng qt CSC có số hạng đầu u1 công sai d: un  u1   n  1 d Tổng n số hạng đầu CSC có số hạng đầu u1 công sai d: Sn  n  u1  un  n  2u1   n  1 d   2 Cách giải: n  2u1   n  1 d  40  2.5  39d  Gọi d công sai CSC cho ta có: S40     3320  d  2 Câu 9: B Phương pháp: +) Đường thẳng x  a gọi TCĐ đồ thị hàm số y  f  x   lim f  x    x a +) Đường thẳng y  b gọi TCN đồ thị hàm số y  f  x   lim f  x   b x  Cách giải: TXĐ: D \  5;5 Hàm số cho liên tục  5;5 lim x 1  ; lim 25  x đường TCĐ x  5, x  5 đồ thị hàm số khơng có TCN x 5 x 5 x 1 25  x    đồ thị hàm số có hai Câu 10: D Phương pháp: Điểm A ' đối xứng với A  a; b; c  qua trục Oy  A '  a; b; c  Cách giải: Toạ độ điểm A ' đối xứng với A  3;1;  qua trục Oy  3;1; 2  Câu 11: A Phương pháp: Tìm TXĐ hàm số sau xét biến thiên, lập BBT tìm tập giá trị hàm số Cách giải: TXĐ: D  3;7 Xét hàm số y  x    x ta có: y '  1  x 3  x 1    x3  7 x x 3  x  x    x  x  10  x   y'   Ta có BBT: x  y' + 2 y 2   A  9;0;0  a  2c          B  0;  b  c       9 C  0;0;   2   Gọi I  x0 ; y0 ; z0  tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC    x  y  z   x  2  y  z  x   x  2 0 0 0   OI  IA 2 9 9      2 2  OI  IB   x0  y0  z0  x0   y0    z0   y0   y0   2 2   OI  IC    2   9  x02  y02  z02  x02  y02   z0    z02   z0   2 2       x0   x   x   0   9   9 9   y0   y0    y0   I  ; ;   R  OI  4 2 4   9    z0   z0   z0      243  S I   4 R  4      Câu 23: A Phương pháp: Khi quay tam giác AA ' C quanh trục AA ' ta hình nón có bán kính đáy R  AC , đường sinh l  A ' C ' chiều cao h  AA ' Cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h đường sinh l: Stp   Rl   R Cách giải: Khi quay tam giác AA ' C quanh trục AA ' ta hình nón có bán kính đáy R  AC , đường sinh l  A ' C ' chiều cao h  AA ' Ta có: AC  AB2  BC  a A ' C  AC  AA '2  2a  a  a  Stp   Rl   R   AC A ' C   AC      a 2.a  2a     a2 Câu 24: D Phương pháp: Gọi cầu xếp mơ hình n Bán kính cầu tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tổng n số hạng đầu CSN có số hạng đầu u1 công bội q: Sn  Cách giải: Gọi cầu xếp mơ hình n  n  * u1  q n  1 q 1   Bán kính cầu tạo thành cấp số nhân có cơng bội Gọi bán kính cầu hay cầu nhỏ R1   R1  50   Bán kính cầu là: Rn  50cm  R1.2n1  2n  Khi chiều cao mơ hình là: h  2Sn  2.R1  2n  1 1 100 R1  100   R1   1  200  R1  200cm  2m  R1  Vậy chiều cao mơ hình mét Câu 25: C Phương pháp: Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h là: V  Sh Cách giải: Ta có: SCNPQ  S NQDC  S DPQ  S ABCD  S DPQ 1  S S S 8 Lại có: d  M ;  ABCD    d  A;  ABCD   1 3  VMCNPQ  d  M ;  ABCD   SCNPQ  h S  V 16 Câu 26: D Phương pháp: Sử dụng công thức: f  x    f '  x  dx để tìm hàm số f  x  sau giải phương trình tính tổng đề yêu cầu Cách giải: Ta có: f  x     x  3 dx  x3  3x  C Lại có: f 1  1  2.1  3.1  C  1  C  6  f  x   x  3x   f  x   10  x2  3x   10  x  3x  16  * Ta có: ac   16   32   * có hai nghiệm trái dấu   x1  x2   Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2  8 Ta có: log x1  log x2  log x1 x2  log 8  log 23  Câu 27: B Phương pháp: n Sử dụng công thức khai triển nhị thức:  a  b    Cnk a nk b k n k 0 Cách giải:  3x  C2019  2019 k   C2019 2019 k 0  3 2019  C2019  3  3 k x 2019 k 2018 x  C2019  3 2017 2018 2019 2019 x   C2019 3x 2018  C2019 x  a0  a1 x  a2 x  a3 x   a2019 x 2019 1 i  m Ta có: i   1 i khi khi m  4l m  4l  l  m  4l  m  4l   Chọn x  i ta có:  i  C2019  2019 2019 k   C2019 k 0  3 2019  3 i k  C2019  3 2019  k 2018 i  1 i  C2019  3 2017 2018 2019 2019 i   C2019 3.i 2018  C2019 i  a0  a1i  a2i  a3i   a2018i 2018  a2019i 2019  a0  a1i  a2  a3i   a2018  a2019i Chọn x  i ta có:  i  C2019  2019 2019 k   C2019 k 0  3 2019    i   C2019 k  3 2018 2019  k i  C2019  3 2017 2018 2019 2019 i   C2019 3.i 2018  C2019 i  a0  a1i  a2i  a3i   a2018i 2018  a2019i 2019  a0  a1i  a2  a3i   a2018  a2019i    S     1   1  1      2019 2019  673  2S  8673.i 673  8673.i 673 Câu 28: C Phương pháp:   a0  a2  a4  a6   a2016  a2018   673 673 673     8i    8i    0S 0 n Sử dụng công thức khai triển nhị thức  a  b    Cnk a nk b k n k 0 Cách giải: n Ta có:  x  1   Cnk  x   1 n k nk k 0 Chọn x  ta tổng hệ số khai triển n   5.1  1   Cnk 5k  1 n nk  2100 k 0 2 100   2100  22 n  2n  100  n  50 n Vậy hệ số x khai triển là: C50 53  1 503  C50 53  2450000 x   t   Đặt x 1  t  dt  4dx Đổi xận:   x   t  3 1 1  I   f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   40 40 40 I  I1  I    Câu 31: A Phương pháp: +) Lấy loganepe hai vế, đưa phương trình dạng phương trình bậc hai ẩn x +) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Áp dụng định lí Vi-ét +) Sử dụng BĐT Cô-si cho số không âm đánh giá biểu thức S Cách giải: a xb x 1    a xb x  b  ln a xb x 2   ln b  x ln a  x ln b  ln b  x ln b  x ln a  ln b   ln b   luon dung b  1 Phương trình có nghiệm phân biệt   2  ln a  4ln b   luon dung  Do phương trình ln có nghiệm với a, b  Gọi x1 , x2 nghiệm phân biệt phương trình  ln a   x1  x2  ln b   log b a cho Áp dụng định lí Vi-ét ta có:   x x   ln b  1  ln b Khi ta có: 2  xx   xx  S     x1  x2      x1  x2   x1  x2   x1  x2   1  S   log b a   log b a  log b2 a   log b a  Do a, b   log b a  log b  Áp dụng BĐT Cô-si ta có: S 1  4logb a   2logb a  2logb a  3 2log b a.2log b a  3 2 logb a logb a logb a  Smin 1  Dấu “=” xảy   2logb a  logb3 a   logb a   a  b 2 logb a 2 Ta có: b 3  b1  b  b  1  a  b Câu 32: C Phương pháp: +) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, SC, BC, AC Chứng minh   SA; BC     NQ; MQ  +) Áp dụng định lí cosin tam giác MNQ Cách giải:  SBG    ABG    SG   ABC  Ta có:  SCG    ABC    SBG    SCG   SG Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, SC, BC, AC Đặt AB  BC   AC  Ta có:   SA;  ABC      SA; GA  SAG  300 Ta có NQ đường trung bình tam giác SAC  NQ / / SA MQ đường trung bình tam giác ABC  MQ / / BC    SA; BC     NQ; MQ  Ta có: AP   5   CM  AG  AP  3  SG  AG.tan 300   NQ  15 AG 15  ; SA   3 cos 30 15 1 MQ  BC  SA  2 Ta có MC  5  GC  MC  ; GM  MC  3 Áp dụng định lí Pytago ta có: SC  SG  GC  Xét tam giác SMC ta có: MN  15 105 ; SM  SG  GM  18 SM  MC SC 65 195    MN  108 18 Áp dụng định lý cosin tam giác MNQ: 65    2 MQ  NQ  MN 15 cos MQN   27 108    0 2.MQ.NQ 10 15 15 9 15 Vậy cos   NQ; MQ    cos   SA; BC  10 Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn nên cosin góc hai đường thẳng giá trị dương Câu 33: C Phương pháp: Xếp chỗ ngồi cho học sinh nam nữ cho học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ Sử dụng quy tắc nhân Cách giải: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào 10 ghế cho 10! cách xếp  n     10! Gọi A biến cố: “mỗi học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ” +) Xếp học sinh nam thứ vào 10 vị trí cho 10 cách xếp Chọn bạn nữ xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ có cách xếp +) Xếp bạn nam thứ vào vị trí lại có cách xếp Chọn bạn nữ lại xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ hai có cách xếp +) Xếp bạn nam thứ vào vị trí lại có cách xếp Chọn bạn nữ lại xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ ba có cách xếp +) Xếp bạn nam thứ vào vị trí lại có cách xếp Chọn bạn nữ lại xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ tư có cách xếp +) Xếp bạn nam thứ vào vị trí lại có cách xếp Xếp bạn nữ lại vào vị trí cuối có cách xếp  n  A  10.5.8.4.6.3.4.2.2.1  460800 Vậy P  A  n  A 460800   n  10! 63 Câu 34: B Câu 35: B Phương pháp:         n   n ; ud  +)    d       +) Lấy A  d  A     Viết phương trình mặt phẳng   +) Xác định điểm vừa thuộc   vừa thuộc    Cách giải: Ta có: ud  1;1;  VTCP đường thẳng  d  n  1;1; 2  VTPT mặt phẳng    Gọi n VTPT mặt phẳng   n n          n   n ; ud    4; 4;0  / / 1; 1;0  Ta có:    d      n ud  Lấy A 1;2;3   d   A    Suy phương trình mặt phẳng   : 1 x    1 y  3   x  y   x  y 1   Giao tuyến      có phương trình  * x  y  2z   Dựa vào đáp án ta thấy có điểm  2;3;3 thỏa mãn (*) Câu 36: A Phương pháp: Nhân liên hợp để khử dạng 0 Cách giải: lim f  x   16  x 2   lim x2  x  x2  lim x2  lim x2 f  x   16    x   x    x   x    x   x    lim x2 f  x   16 x2 Ta có lim x 2  lim x 2     f  x   16  f  x   16  16 f  x   16  f  x   16  16 f  x   16  64 f  x   16  f  x   16  16  f  x   16  f  x   16  f  x   16  16 5 f  x   16  f  x   16  16      f  x   16  12  f    16; f '    12 x2 f  x   16  x  2x   12 5    4.4  16  24 Câu 37: C Phương pháp: +) Tìm ĐKXĐ phương trình +) Sử dụng công thức nhân đôi cos x  2cos2 x 1 công thức hạ bậc sin x  trình dạng phương trình bậc cao hàm số lượng giác +) Giải phương trình, biểu diễn họ nghiệm đường tròn lượng giác +) Xác định điểm tính diện tích đa giác Cách giải:  cos x đưa phương     ĐK: sin x  cos x   sin  x     x   k  x    k  k  4 4   PT  cos x  cos x  2sin x   cos 2 x   cos x   cos x   cos 2 x  cos x   cos x  cos x  1   k   x    x   k cos x  k       cos x   x   k  x    k 2     x   k  Đối chiếu điều kiện ta có:  k    x    k  Biểu diễn hai họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta điểm A, B, C, D sau:  2 Trong A  ;  Gọi H hình chiếu A  2   2 Oy  H  0;      AH  1 2 Ta có: SABD  AH BD   2 2 Vậy S ABCD  2S ABD  Chú ý: Chú ý đối chiếu điều kiện xác định để loại nghiệm Câu 38: B Phương pháp: +) A, B   P   Thay tọa độ A, B vào phương trình mặt phẳng (P) phương trình +) Gọi M   P   Ox; N   P   Oy Xác định tọa độ điểm M, N +) Từ giả thiết OM  ON  Phương trình thứ +) Giải hệ phương trình   P  ,  Q  từ tính b1b2  c1c2 Cách giải: 1  b1  c1  d1  Ta có: A, B   P    2b1  2c1  d1   M   P   Ox  M  d1 ;0;0   OM  d1   Gọi   d1  d1 d1  N   P   Oy  N  0; b ;0   ON  b  b    1  Theo ta có OM  ON  d1  d1  d1  b1  1   b1  1  Do d1   b1 2  c1  d1  c1     P  : x  y  4z   TH1: b1    2  2c1  d1  d1  6 c1  d1  c1  2    P  : x  y  2z   TH2: b1  1   2  2c1  d1  d1  Do vai trò  P  ,  Q  nên khơng tính tổng quát ta có  P  : x  y  z   Q  : x  y  2z    b1b2  c1c2  1 1   2   9 Câu 39: C Phương pháp: +) Xác định thiết diện dựa vào yếu tố song song Chứng minh thiết diện hình thang cân +) Tính diện tích hình thang cân Cách giải: Gọi N trung điểm BC ta có MN đường trung bình tam giác ABC  MN / / AC Ta có  A ' C ' M  chứa A ' C '/ / AC   A ' C ' M  cắt ABC theo giao tuyến đường thẳng qua M song song với AC   A ' C ' M    ABC   MN Vậy thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng  A ' C ' M  tứ giác A ' C ' NM Ta có MN / / AC / / A ' C '  A ' C ' NM hình thang Xét A ' AM C ' CN có: A ' A  C ' C; A ' AM  C ' CM  900 ; AM  CN   A ' AM  C ' CN  c.g.c   A ' M  C ' N a Dễ dàng nhận thấy A ' M C ' N không song song nên A ' C ' NM hình thang cân a Có A ' C '  a; MN  Kẻ MH  A ' C '  H  A ' C ' ; NK  A ' C '  K  A ' C ' ta có MNKH hình chữ nhật  MN  HK  a A ' C ' HK  A' H  C ' K   a 2a a a 3a  Xét tam giác vuông A ' AM có A ' M  A ' A  AM  2a  2 Xét tam giác vng A ' MH có MH  A ' M  A ' H  9a a a 35   16 1 a  a 35 35a   A ' C ' MN  MH   a    2 2 16 Vậy S A 'C ' NM Câu 40: B Phương pháp: +) Để hàm số đồng biến  m  g  x  x  y '  x  Cô lập m, đưa bất phương trình dạng  m  g  x  +) Lập BBT hàm số y  g  x  kết luận Cách giải: Hàm số y  ln  x    mx  có TXĐ: D  Ta có y '  2x m x 2 Để hàm đồng biến m y '  x  2x  g  x  x  x 2  2x  m  x  x 2  m  g  x  2x Xét hàm số g  x   có TXĐ D  x 2 g '  x    x    x.2 x x  2  2 x  x  2 0 x BBT: x   g ' x  +   2 g  x  2   Từ BBT ta suy g  x   g    2 m 2   2 m   2019;   Kết hợp điều kiện đề ta có    m  2019; 2018; ; 1   m  Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 41: A Câu 42: C Phương pháp: +) Kiểm tra tính liên tục hàm số x  +) Nếu hàm số liên tục f  x   f  x0  f '  x0   lim x  x0 x  x0 x  , sử dụng cơng thức tính đạo hàm định nghĩa: Cách giải: Trước hết ta xét tính liên tục hàm số x  Ta có  3x   x  lim x 1 x 1 lim f  x   lim 3x   x  3x   x  x  1  3x   x    x  1 x  1 3x   x  lim  lim x 1  x  1  3x   x  x1  x  1  3x   x  x 1  lim x 1 x 1  4 x  4  5    f 1 3x   x 2  Hàm số liên tục x  Tính f ' 1 f  x   f 1  f ' 1  lim  x 1 x 1  lim x 1  lim x 1  lim x 1 3x   3x   x  1  lim 4 3x   x  x 1  lim 3x   x  x  x 1 x 1  x  1 x 1    lim   lim  x  1 3x   x  9  x  1  x 1 x 1   9 x  18 x    x  1 x   x  2  x  1 3x   x    x  1 3x   x  16  3x  1   x  30 x  25   3x   3x  3x   3x   9 4 3x   3x     9 64 Chú ý: Trước tính đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x  x0 cần kiểm tra tính liên tục hàm số điểm Câu 43: B Phương pháp: +) Gọi C  a; b; c      phương trình (1) +) Tam giác ABC  AB  BC  CA  phương trình (2), (3) +) Giải hệ phương trình ẩn a, b, c Cách giải: Gọi C  a; b; c      2a  b  2c   1 Tam giác ABC  AB  BC  CA 2  AB  AC 8  a  b   c  3   2 2 2  AC  BC a  b   c  3   a    b   c  1 8  a  b   c  32 8  a  b   c  32   6c   4a   2c  4a  4c  8  a  b   c  32  a  c   2  3 c   a 2a  b  2c     Ta có hệ phương trình:  a  b   c  3   2a  b  1  a    a  c   2  a  b   c  3   vo nghiem  Vậy khơng có điểm C thỏa mãn Câu 44: D Câu 45: A Phương pháp: +) Trong  ABC  gọi AH đường kính đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh SH   ABC  +) Trong  ABC  kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt HC M Chứng minh d  SB; AC   d  C;  SBM   +) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, chứng minh d  C;  SBM    3d  H ;  SBM   +) Dựng khoảng cách từ H đến  SBM  tính Cách giải: Trong  ABC  gọi I trung điểm BC, gọi AH đường kính đường tròn ngoại tiếp ABC  HB  AB, HC  AC  BH  AB  AB   SBH   AB  SH Ta có:   SB  AB Chứng minh tương tự ta có AC  SH  SH   ABC  Trong  ABC  kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt HC M Ta có AC / / BM  d  SB; AC   d  AC;  SBM    d  C;  SBM   Ta có CH  AC  CM  BM Xét tam giác vng ACH có: CH  AC.tan 300  a 3 Xét tam giác vng BCM có: CM  BC.cos 300  a CH   SBM   M  d  H ;  SBM   d  C;  SBM   a HM CH   1  1  CM CM a 3 Trong  SHM  kẻ HK  SM  K  SM  ta có:  BM  HM  BM   SHM   BM  HK   BM  SH  HK  BM  HK   SBM   d  H ;  SBM    HK   HK  SM Ta có:   SA;  ABC      SA; HA  SAH  450  SAH vuông cân H  SH  AH  AC 2a  cos 30 a HM  CM  Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SMH ta có: HK  SH HM SH  HM Vậy d  SB; AC    2a a a2 2a 51   51 a 51 4a 3a  36 2a 51 17 Câu 46: C Câu 47: A Phương pháp: +) Gọi M, N trung điểm CD, AB Chứng minh CDN  ABM vuông cân MN  AB, MN  CD +) Đặt CD  x Áp dụng định lí Pytago tính x Cách giải: Gọi M, N trung điểm CD, AB ACD BCD cân  AM  CD, BM  CD Ta có:  ACD    BCD   CD   ACD   AM  CD     ACD  ;  BCD      AM ; BM   90   BCD   BM  CD  AM  BM Và ta dễ dàng chứng minh ACD  BCD  c.c.c   AM  BM  ABM vuông cân M  MN  AB Chứng minh tương tự ta có CDN vuông cân N MN  CD Đặt CD  x Áp dụng định lí Pytago ta có: AM  a  x2 ABM vuông cân M  AB  AM  2a  x2 a2 x2  AN  AB   Áp dụng định lí Pytago ta có: DN  AD  AN  a  a2 x2 a2 x2    8 x2 3a CDN vuông cân N  CD  DN  a   x  x  Câu 48: B Phương pháp: 2 Xác suất biến cố A tính cơng thức: P  A  nA n Cách giải: Số cách chọn đỉnh đa giác là: n  C48 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Gọi biến cố A: “Chọn đỉnh đa giác để tam giác nhọn” Lấy điểm A thuộc đường tròn (O), kẻ đường kính AA’  A’ thuộc đường tròn (O) Khi AA’ chia đường tròn (O) thành hai nửa, nửa có 23 đỉnh Chọn đỉnh B, C thuộc nửa đường tròn có C232 cách chọn  có C232 tam giác ABC tam giác tù Tương tự nửa lại nên ta có C232 tam giác tù tạo thành Đa giác có 48 đỉnh nên có 24 đường chéo  có 24.2 C232 tam giác tù Ứng với đường kính ta có 23.2 tam giác vuông Vậy số tam giác vuông là: 23.2.24 = 1104 tam giác  nA  C48  48C23  1104  4048 tam giác  P  A  4048 11  C48 47 Câu 49: D Câu 50: C Cách giải: Gọi điểm I  a; b; c  thỏa mãn: IA  IB  IC     a;5  b; 11  c     a;3  b; 4  c   1  1;  b; 6  c   8  a   a   a  a  2    5  b   b   b   b   I  2;0;1 11  c   c   c  c    Theo đề ta có: MA  MB  MC Min    MI  IA  MI  IB  MI  IC  3MI  IA  IB  IC  MI  3MI Min Ta có:  S  có tâm J  2;4; 1 , R  M   S   MI  IJ  R  16  16     x  2  2t  Có: IJ   4; 4; 2    2; 2; 1  Phương trình đường thẳng IJ :  y  2t z  1 t  M  IJ  M  2  2t ; 2t ;1  t  M   S    4  2t    2t      t     t    2 t   M  4;6; 2  t    t  2     t   1 t   M  0; 2;0  a  Do MI   M  0;2;0  thỏa mãn    ab  b  2 ... 0 Cách giải:  3x  C2019  20 19 k   C2019 20 19 k 0  3 20 19  C2019  3  3 k x 20 19 k 20 18 x  C2019  3 20 17 20 18 20 19 20 19 x   C2019 3x 20 18  C2019 x  a0  a1 x  a2 x  a3... i ta có:  i  C2019  20 19 20 19 k   C2019 k 0  3 20 19    i   C2019 k  3 20 18 20 19  k i  C2019  3 20 17 20 18 20 19 20 19 i   C2019 3.i 20 18  C2019 i  a0  a1i  a2i  a3i... 20 19  k 20 18 i  1 i  C2019  3 20 17 20 18 20 19 20 19 i   C2019 3.i 20 18  C2019 i  a0  a1i  a2i  a3i   a2018i 20 18  a2019i 20 19  a0  a1i  a2  a3i   a2018  a2019i Chọn