Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên KHTN - Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2014 - 2015

Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E.. Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực của AB tại F.. Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tạ

Page 1

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHTN ( ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI) NĂM

HỌC 2014 – 2015

Môn thi: Toán ( không chuyên)

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I

1) Giải phương trình    2 

x  x x  

2) Giải hệ phương trình

1







Câu II

1) Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz Chứng minh rằng:

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 

3

x y x    y x y xy

Câu III Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác góc ABC Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực của AB tại F

1 Chứng minh: tam giác ABF đồng dạng tam giác ACE

2 Chứng minh: AD, BE, CF đồng quy tại G

3 Đường thẳng qua G song song với AE cắt BF ở Q Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P Chứng minh 5 điểm A, P, G, Q, F thuộc một đường tròn Câu IV Giả sử a, b, c là các số thực dương và ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:

2

9

abc a b c   a b b c c a

Page 2

Môn thi: Toán ( chuyên)

Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I

1) Giả sử x, y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn:

4 4

x y x y  x y x y 

Chứng minh rằng 4x = 5y

2) Giải hệ phương trình:

2 2







Câu II:

1) Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4x y2 27x7y là số chính phương Chứng minh rằng x = y

2) Giả sử x, y là những số thực không âm thỏa mãn x3y3xyx2y2 Tìm GTLN

và GTNN của biểu thức: 1 2

P

Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và điểm P nằm trong tam giác sao cho BP = PC D là điểm nằm trên BC ( D nằm giữa B và C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác

C

1) Chứng minh rằng 4 điểm A, E, P, F thuộc 1 đường tròn

2) Giả sử đường thẳng AD cắt (O) tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng CQ tại L Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng tam giác CLF

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB Chứng minh rằng

QKL PAB QLKPAC

Câu IV Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập hợp con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) Mỗi tập thuộc dãy m có ít nhất 2 phần tử

ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất 2 phần thử thì số phần tử của hai tập này khác nhau

Chứng minh rằng : m900

-HẾT -