Đang tải... (xem toàn văn)
Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các quan hệ vuông góc, song song , các tính chất đối xứng của điểm cùng với tọa độ của điểm theo phương trình tham s[r]
(1)
-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh gặp nhiều lúng túng
khi tìm tọa độ điểm viết phương trình đường thẳng khơng gian thỏa mãn tính chất đó; việc vận dụng quan hệ vng góc, song song em vào tốn cịn nhiều hạn chế Hơn nữa, kể từ học sinh học sách giáo khoa theo chương trình phân ban phương trình tổng qt đường thẳng khơng gian khơng sử dụng nên toán dạng:
"
Tìm tọa độ điểm, viết phương trình đường thẳng khơng gian"chủ yếu sử dụngphương trình tham số đường thẳng
Với suy nghĩ tơi xin trình bày số kinh nghiệm vể việc sử dụng phương trình tham số đường thẳng vào giải tốn: " Tìm tọa độ của điểm, viết phương trình đường thẳng không gian" nhằm trao đổi với thầy giáo, cô giáo; đồng thời giúp em học sinh 12 ôn tập tốt hơn, nâng cao chất lượng học tập
Trong phần phương pháp tọa độ khơng gian phải “Tìm tọa độ một điểm, Viết phương trình đường thẳng khơng gian ” việc sử dụng kiến thức sách giáo khoa ta nên ý đến tính chất của quan hệ vng góc, quan hệ song song tính đối xứng hai điểm, điểm đường thẳng, của đường thẳng mặt phẳng rồi kết hợp với tọa độ điểm theo phương trình tham số đường thẳng vào tốn Khi tốn hình học đơn giản “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh cách giải tốn gọn gàng
Bn Ma Thuột – Tháng 10 Năm 2010
Người viết
(2)
-NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHIẾU VNG GĨC
Bài tốn 1: Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(6; -1; -5) mp(P): 2x + y -2z - =
● Nhận xét: Bài toán ta viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) hình chiếu H giao điểm d mp(P)
●Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) có phương
trình:
t z
t y
t x
2
1
Gọi H = d (P) Ta có H d H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t) Vì H(P) 2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - = t = -2 Vậy H(2; -3; -1)
Bài toán 2: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:
t z
t y
t x
3
2
4
)
(tR mp(P): 2x + y - 2z - =
● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu M (P), hình chiếu đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H song song với d
●Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u= (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT n= (2; 1; -2)
u n = M(P) nên: d // (P)
Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)
Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H song song với d nên có phương
trình :
t z
t y
t x
3
2
4
d
P
M
H
d
H M
(3)
Bài tốn 3: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:
t z
t y
t x
5
2
5
(tR) mp(P): 2x + y - 2z - =
● Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A d (P) sau lấy Md, tìm hình chiếu H M (P), hình chiếu đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H có VTCP AH
●Hướng dẫn giải:
Gọi A giao điểm d (P)
Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) Vì A (P) 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - = 0 t = 1
Do A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; -1; -5) d
Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; -3; -1) ( Bài tốn 1)
Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H có VTCP AH = (1; -4; -1)
nên có phương trình :
t z
t y
t x
1
(tR)
Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M(-1; -2; 4) đường thẳng d:
t z
t y
t x
1 2
3
● Nhận xét: Bài tốn ta lấy Hd, H hình chiếu M đường thẳng d u MH = (u VTCP d)
● Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u= (3; -2; 1)
Gọi Hd suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên: MH =(-1+3t; 4-2t; -3+t)
H hình chiếu M d u.MH =
3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = t = 1 d
H M
A d
H M
(4)
Vậy H(1; 0; 2)
* Cách khác: - Tính độ dài đoạn MH
- Tìm giá trị nhỏ đoạn MH theo t, từ suy tọa độ điểm H NHẬN XÉT: Từ toán nêu ta thấy: Với toán dạng này, ta chọn điểm đường thẳng cho trước sau dựa vào quan hệ vng góc điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vng góc của điểm đường thẳng hay mặt phẳng Từ kết luận (nếu tốn tìm hình chiếu) viết phương trình hình chiếu đường thẳng dựa vào hình chiếu vừa tìm vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:
1 3
2
1
y z
x
mặt phẳng tọa độ
Bài 2: Cho đường thẳng d :
x t y t z t
mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết phương trình hình chiếu vng góc d mp(P).
Bài 3: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M(1; -1; 2) mặt phẳng ( ) : 2x - y + 2z + 11 = 0.
Bài 4: Cho đường thẳng d mặt phẳng ( ) có phương trình là:
d: x22y31z51; ( ): 2x + y + z- 8= Viết phương trình hình chiếu vng góc d ( )
Bài 5: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A(1; -1; 3)
đường thẳng d :
2
2
x y t
z t
(5)
-B CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỐI XỨNG
Bài tốn 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - =
● Nhận xét: Bài tốn ta viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp(P), lấy M ' d (M 'M) , M ' đối xứng với M qua (P) chỉ d(M;(P))=d(M ';(P))
● Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) có phương
trình:
t z
t y
t x
2
1
Gọi M '(6+2t; -1+t; -5-2t)d M 'M t 0 M ' đối xứng với M qua (P) d(M;(P))=d(M ';(P))
3 18
18
t
t = - 4 t = (loại) Vậy M '(-2; -5; 3)
CHÚ Ý: Có thể giải theo phương pháp sau:
Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc ( P) Tìm giao điểm H d ( P)
Dùng công thức trung điểm suy tọa độ điểm M’
Bài tốn 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:
t z
t y
t x
3
2
4
qua mp(P): 2x + y - 2z - =
● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), đường thẳng d ' qua M ' song song với d.
● Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u= (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT n= (2; 1; -2)
u n = M(P) nên: d //(P)
M' M
d
(P)
d' M'
M d
(6)
Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3) .( Bài toán5)
Đường thẳng d ' qua M ' song song với d nên có phương trình:
t z
t y
t x
3
2
4
Bài tốn 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:
t z
t y
t x
5
2
5
qua mp(P): 2x + y - 2z - =
●Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A d (P) sau lấy Md, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), đường thẳng d ' qua M ' có VTCP
'
AM
● Hướng dẫn giải:
Gọi A giao điểm d (P)
Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) A (P) 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - = 0 t = 1
Do A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; -1; -5) d
Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2;-5;3) ( Bài toán5)
Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP '
AM = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương
trình:
t z
t y
t x
3
2
(tR)
Bài tốn 8: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d
có phương trình :
t z
t y
t x
2
2
●Nhận xét: Bài toán ta lấy Hd, H hình chiếu A lên đường thẳng d u AH = (u VTCP d), ta có H trung điểm AA/
từ suy tọa độ A/
A
M '
d M
d'
(7)
●Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u= (2; -1; 2)
Gọi Hd suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t) nên: AH=(2t ; 1-t ; 2t-5)
H hình chiếu A d u AH =
2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = t = -1 suy ra: H(-1;0;-2)
Ta có H trung điểm AA/ nên:
1
/ / /
A A A
z y x
Vậy: A/ (-3 ; ; 1).
NHẬN XÉT: Từ toán nêu ta thấy: Với toán dạng này, ta lấy điểm cho trước chọn điểm đường thẳng cho trước sau tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng hay mặt phẳng Từ kết luận (nếu tốn tìm điểm đối xứng) viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, 2 đường thẳng.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng :
t z
t y
t x
2
2
a/ Tìm tọa độ điểm H hình chiếu điểm A đường thẳng
b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) đường
thẳng: d1: 1
3
2
2
y z
x
; d2 : 1
1
1
y z
x
a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d
b/Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 (Đề thi ĐH khối D năm 2006)
Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) mặt phẳng ( ) : x + 3y - z - 27 = Tìm tọa
độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ( ).
d
H
(8)
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:
1 2
x t y t z t
qua mặt phẳng ( ) : x + y + z - = 0.
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : d1:
2
x t
y t z t
d2:
, ,
,
1
4
x t y t
z t
a/ Tìm tọa độ giao điểm d1 d2
b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2 C CÁC BÀI TOÁN VỀ CẮT NHAU, VNG GĨC, SONG SONG: Bài tốn 9: Cho đường thẳng d mp (P) có phương trình: d:
1 2
x t y t z t
; mp(P): 2x + z - =
a/ Xác định tọa độ giao điểm A d (P)
b/ Viết phương trình đường thẳng d ' qua A, nằm (P) vng góc với d
● Nhận xét: Bài tốn ta tìm tọa độ A, đường thẳng d ' qua A và có véctơ phương vu n,
; u VTCP d, n VTPT mp(P)
●Hướng dẫn giải:
a/ A = d (P) Ta có Ad A(1 + t; + 2t; + 2t) Vì A(P) 2(1 + t) + (3 + 2t) - = t = 0
Vậy: A(1; 2; 3)
b/ d có VTCP u = (1; 2; 1); mp(P) có VTPT n = (2; 0; 1)
Đường thẳng d ' (P) d '
d nên d ' có véctơ phương vu n,
= (2; 1; -4) Đường thẳng d ' qua A có VTCP v nên có phương trình :
t z
t y
t x
4
2
(P)
d
(9)
Bài tốn 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :
1
3
1
y z
x
mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + =
a/ Tìm tọa độ điểm Id cho khoảng cách từ I đến mp(P) b/ Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P).Viết phương trình đường thẳng nằm mp(P),biết qua A vng góc với d
(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)
● Nhận xét: Câu a ta lấy Id sử dụng công thức khoảng cách, câu b cách làm toán
●Hướng dẫn giải:
a/ Đường thẳng d có phương trình tham số:
t z
t y
t x
3
Id suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)
Khoảng cách từ I đến mp(P) nên:
2
9 ) ( ) ( ) (
t t t
2 2t 6
t
t
Vậy có điểm I1 (-3; 5; 7), I2 (3; -7; 1) b/ Vì Ad suy ra: A(1-t; -3 + 2t; 3+t)
Ta có A(P) 2(1-t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + = t = 1
Do A(0; -1; 4)
Đường thẳng d có VTCP u = (-1; 2; 1), mp(P) có VTPT n=(2; 1; -2)
Đường thẳng (P) d nên có véctơ phương vu n,
=(-5; 0; -5) Phương trình đường thẳng :
t z
y t x
4
Bài tốn 11: Viết phương trình đường thẳng qua I(-1; -2; 4) vng góc
cắt đường thẳng d:
t z
t y
t x
1 2
3
) (tR
I2
I1
(P)
d
(10)
●Nhận xét: Bài toán ta lấy Hd, H u.IH =
(u VTCP d); đường thẳng qua I có VTCP IH
● Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u= (3; -2; 1) Gọi Hd suy ra: H(-2 + 3t; - 2t; + t) nên:
IH
=(-1 + 3t; - 2t; -3 + t)
H u.IH = 3(-1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (-3 + t) = t =
suy H(1; 0; 2)
Đường thẳng qua I có VTCP IH =(2; 2; -2) nên có phương trình :
t z
t y
t x
4
Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1; -3) cắt đường
thẳng d1:
t z
t y
t x
4
)
(tR vng góc với đường thẳng d2:
t z
t y
t x
5
4
) (tR
● Nhận xét: Bài tốn ta lấy Hd1, H u
.AH = (ulà VTCP d2); đường thẳng qua I có VTCP AH
● Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d2 có VTCP u
= (4; 1; 1) Gọi Hd1 suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên:
AH
=(1+t; -2-2t; 7+t) H u AH
= 4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) =
t = -3 suy H(0; 5; 1)
Đường thẳng qua A có VTCP AH
=(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có
phương trình :
t z
t y
t x
2
2
2
(tR)
d
H I
d2
d1
H
(11)
Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng cắt đường thẳng d1:
t z t y t x
2 ; d2:
/ / / t z t y t x
song song với đường thẳng d: x3 12y z14
● Nhận xét: Bài toán ta lấy Ad1, Bd2 A, B hai vectơ u, AB phương (ulà VTCP d), đường thẳng qua A có
VTCP u ●Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u= (3; 2; 1) Gọi Ad1 suy ra: A(t; -2-3t; 1+t) Bd2 suy ra: B(1+2t/ ; -1+3t/ ; 4-t/ ) nên: AB = (2t/ - t + 1; 3t/ + 3t + 1; -t/ - t + 3) A, B uvà AB
phương 3 3
2 / / /
t t t t t
t / / t t t t / t t
suy A(-1;1;0)
Đường thẳngqua A có VTCP u= (3;2;1) nên có phương trình :
t z t y t x
Bài tốn 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1:
1 1
y z
x
d2:
z t y t x
Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = cắt đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐH khối A năm 2007)
●Nhận xét: Đây đề thi ĐHCĐ, cách giải đáp án, tương tự tốn 13, ta giải nhanh cách lấy Ad1, Bd2 A, Bd u, ABcùng phương (ulà VTCP d); đường thẳng d qua A có VTCP
(12)
● Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d (P) nên d có VTCP u= (7; 1; -4)
Đường thẳng d1 có phương trình tham số:
/ / / 2 t z t y t x
Gọi Ad1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ ) Bd2 suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3) nên: AB = (2t - 2t/ - 1; t + t/ ; - t/ )
A, B u, AB phương
2 / / /
t t t t
t 5 / / t t t t / t t
suy A(2; 0; -1)
Đường thẳng d qua A có VTCP u= (7; 1; -4) nên có phương trình :
t z t y t x
Bài tốn 15: Viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng
chéo d:
t z t y t x )
(tR d/ :
/ / / t z t y t x ) (t/ R
● Nhận xét: Bài toán học sinh lấy Ad1, Bd2; AB đường vng góc
chung d d/
u AB v AB
; đường vuông góc chung qua A có
VTCP AB
●Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u= (3; 1; 1) Đường thẳng d/ có VTCP
v= (1; 3; -1) Gọi Ad suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
Bd/ suy ra: B(-2+t/ ; -7+3t/ ; 4-t/ )
d B d2 d1 A (P)
d '
d A
(13)
nên: AB =(t/ - 3t - 7; 3t/ - t - 9; -t/ - t + 4)
AB đường vng góc chung d d/
u AB v AB ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / / / / / / t t t t t t t t t t t t 38 11 26 11 / / t t t t / t t suy ra: A(2; 1; -1); AB=(-1; 1; 2)
Đường vng góc chung qua A có VTCP AB =(-1; 1; 2) nên có phương
trình : t z t y t x 1 ) (tR
NHẬN XÉT: Từ toán nêu ta thấy tốn dạng có độ khó Tuy nhiên phương pháp chung để giải là: Chọn điểm điểm (có chứa tham số) đường thẳng đường thẳng bị cắt (cho trước), sau đó dựa vào yếu tố song song, vng góc để tìm tham số Từ viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu toán.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt hai đường thẳng d2và d3, biết phương trình d1, d2và d3là:
d1 t z t y x
; d2:
3 1
y z
x
; d3:
' ' ' t z t y t x Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) đường
thẳng d: t z t y t x 1
, Viết phương trình đường thẳng
(14)
Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1:
t z t y t x 8
d2:
3
x y z
Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng
Bài 4: Cho hai đường thẳng: d: 1
y z
x
và d':
t z t y t x
a.Viết phương trình đường vng góc chung d d'.
b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt d d'
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng tọa độ
(Oxz) cắt đường thẳng d :
t z t y t x
4 ; d/ :
/ / / t z t y t x
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
1 2
y z
x
mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng
(Đề thi ĐH khối D năm 2009)
D CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Bài tốn 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz cho
điểm M(1; 3; -2) đường thẳng d:
5 2 x t y t z t
Tìm tọa độ điểm H
d cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
●Nhận xét: Bài tốn ta lấy Hd, độ dài MH nhỏ MH d u MH = (u VTCP d)
● Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u= (3; 1; -1)
Gọi Hd suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên: MH =(4 + 3t; -1 + t; - t)
MH nhỏ MH d
d
(15)
u MH =
3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = t = - 1 Vậy H(2; 1; -1)
*CÁCH KHÁC: - Tính độ dài đoạn MH
- Tìm giá trị nhỏ MH theo t
Bài tốn 17: Trong khơng gian Oxyz cho M (1; 2; 3), N ( 4; 4; 5) Tìm điểm I mp(Oxy) cho IM + IN nhỏ
●Nhận xét: Bài toán ta kiểm tra M, N nằm hay hai phía mặt phẳng Nếu M, N nằm hai phía mặt phẳng I giao điểm MN mặt phẳng, M, N nằm phía mặt phẳng I giao điểm M 'N mặt phẳng M ' điểm đối xứng M qua mặt phẳng đó.
● Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = Trước hết ta xét xem M N có hai phía với mp (Oxy) hay khơng? Dể thấy zM zN = = 15>0 M, N phía với mp (Oxy)
Đường thẳng d qua M vng góc mp(Oxy) có pt:
1
x y z t
Gọi H giao điểm d với mp(Oxy)
Ta có H d H (1; 2; + t)
Vì H (Oxy) + t = t = -3 H( 1; 2; 0)
Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy)
H trung điểm MM' nên M' (1; 2; -3) M N ' = (3; 2; 8)
Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min ( IM + IN) = M'N I giao điểm M'N mp(Oxy)
M'N qua M ' có VTCP
'
M N
= (3; 2; 8) nên có phương trình:
, , ,
1 2
x t y t
z t
Điểm I ( + 3t', + 2t', -3 + 8t')d I (Oxy) -3 + 8t' = t' =3
8 M
N
M'
y x O
d
(16)
-Vậy I 17 11; ;0
Bài toán 18: Trong k/gian Oxyz cho: M (3; 1; 1), N ( 4; 3; 4) đường thẳng d
có phương trình:
7
9
x t y t
z t
Tìm điểm I d cho: IM + IN nhỏ
●Nhận xét: Ta có MNd nên IM + IN nhỏ I = d (P) (P) mặt phẳng qua MN vng góc với d
●Hướng dẫn giải:
Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1),
MN u =0 MN d
Mặt phẳng( P) qua MN vng góc với d có phương trình là: x - 2y +z - = Gọi H = d (P), H d H(7 + t; - 2t; + t)
Vì H (P) nên: (7 + t) - 2(3 - 2t) +(9 + t) - = t =
3
H 17 17 23; ;
3 3
Với I d, ta có: IM + IN HM + HN
IM + IN nhỏ IM + IN = HM + HN I H Vậy: I 17 17 23; ;
3 3
Bài tốn 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ nhất (Đề thi ĐH khối B năm 2009)
● Nhận xét: Ta gọi d đường thẳng cần tìm; d chứa mp(Q) qua A song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ d qua H (H hình chiếu B (Q))
●Hướng dẫn giải:
Gọi d đường thẳng cần tìm; d chứa mp(Q) qua A song song với (P) M
N d
H I
(17)
-Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + = Gọi I, H hình chiếu B d, (Q) Ta có d(B;d) = BI BH
nên d(B;d) nhỏ d qua H Đường thẳng d ' qua B vng góc (Q) có phương trình:
1
x t
y t
z t
H = d ' (Q), Hd ' nên H(1+ t; -1 - 2t; + 2t). Vì H(Q) nên: (1+ t) -2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + =
t = 10
9
H 11 7; ;
9 9
Đường thẳng d qua A có VTCP (26 11; ; 2) 9
AH
có phương trình:
3 26 11
x t
y t z t
Bài tốn 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;4;2),
B(-1;2;4) đường thẳng d có phương trình:
1
2
x t y t
z t
a/ Tìm tọa độ điểm Md cho MA MB
nhỏ b/ Tìm tọa độ điểm Id cho diện tích AIB nhỏ
c/ Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
● Nhận xét: Ta lấy M d; câu a, ta tìm MA +MB MA MB
suy M
- Câu b, c ta tìm diện tích AIB, khoảng cách vận dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ suy kết
●Hướng dẫn giải:
a/ Md M ( 1-t; -2+t; 2t) MA =(t; 6-t; 2-2t),MB =(-2+ t; -t; -2t) Do đó: MA +MB = (-2 + 2t; 10 - 2t; - 4t)
MA MB
= ( 2 )t (10 )t (6 )t
= 24(t 2)244 11
d
d'
H
I
B
A
(Q)
(18)
-Suy ra: MinMA MB =2 11 t-2 = 0 t = Vậy: M(-1; 0; 4)
CÁCH KHÁC:
Gọi H trung điểm đoạn AB, ta có: MA MB
= 2MH
Suy Min MA MB
MH nhỏ nhất, điều xảy MH vng góc với d hay MH a 0, từ suy tọa độ điểm M
b/ Id I(1-t; -2+t; 2t) ta có: AI= (- t; - + t; - + 2t) AB= ( -2; -2; 2)
,
AI AB
= ( 6t - 16; -2t + 4; 4t - 12) Diện tích AMB: SAIB=1 ,
2 AI AB
=
2
2 2
(6 16)t ( 2t4) (4 12)t =
2
2
56t 304t416 = 14t2 76t104 ( tR)
Xét hàm f (t) = 56t2- 304t + 416 f / (t) = 112t - 304; f / (t) = 0 t = 304
112= 19
7
BBT:
Từ suy ra: SAIB đạt GTNN t =
19
Vậy: I 12 38; ; 7
c/ Gọi đường thẳng d1 qua A cắt d M ( 1- t; -2 + t; 2t) Khi dB d; 1 =
,
AM AB AM
=
2
56 304 416 20 40
t t t t
=
2
28 152 208 10 20
t t t t
Xét hàm g(t) = 28 22 152 208
3 10 20
t t t t
g / (t) =
2
16(11 60) (3 10 20)
t t t t
; g
/ (t) = 11t2 - 8t - 60 = 0
2 30 11
t t
Ta có lim ( ) 28 x g t
Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 18 t
f (19/7) 19/ -
+
+
+
- +
f ( t ) f ' ( t )
28/3 12
+ -2
0 f ' ( t )
f ( t )
0 +
-+
- 30/11
(19)
BBT:
Max dB d; 1= Khi t = -2 Đường thẳng d1:
1 4
x t y t z t
Min dB d; 1= 35
35 Khi t = 30
11 Đường thẳng d2:
1 15 18 19
x t
y t
z t
Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán là: d1:
1 4
x t y t z t
d2:
1 15 18 19
x t
y t
z t
NHẬN XÉT: Đây tốn khó, để giải cần phải vận dụng các dạng toán Tuy nhiên, ta thấy phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có chứa tham số) đường thẳng cho trước, sau dựa vào yếu tố hình chiếu vng góc đưa hàm số sau tìm tham số Từ tìm điểm viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu toán.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) đường thẳng d có pt: 2
3 2
x y z
Tìm điểm I d cho IA + IB nhỏ
Bài 2: Cho mp( ): 2x - y + z + = hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; )
a/ Tìm điểm I ( ) cho IA IB đạt GTNN
b/ Tìm điểm M( ) cho: MA MB đạt GTLN
Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) B ( 3; -1; 4) đ/t d: 1
1
x y z
Tìm d
(20)
-Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + z - = Tìm điểm I (P) cho IA + IB nhỏ
Bài 5: Cho hai đường thẳng d1:
1 1
2 1
x y z
; d2:
1
x y z
điểm
A ( 1; 4; 2) Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d1 cho khoảng cách d d2 lớn
E PHẦN KẾT LUẬN
Từ toán nêu cách giải chúng, ta thấy vận dụng tốt các quan hệ vng góc, song song , tính chất đối xứng điểm với tọa độ của điểm theo phương trình tham số đường thẳng ta giải nhiều dạng toán, đơn giản toán, hạn chế việc " sợ " tốn hình học không gian học sinh, tạo hứng thú cho em, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, khơi gợi cho em tìm tịi, sáng tạo q trình giải toán Trên kinh nghiệm thực tiễn thân qua nhiều năm giảng dạy môn tốn phần phương trình đường thẳng khơng gian, với đề tài hy vọng giúp cho em học sinh biết cách vận dụng quan hệ vng góc, song song, tính chất đối xứng vào giải toán cải tiến phương pháp học tập.
Cuối cùng, xin cảm ơn thầy tổ tốn đọc, góp ý giúp đỡ tơi hồn thành đề tài này.
F TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ
2/ Hình học 12- Chuẩn ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
3/ Hình học 12- Chuẩn- Sách giáo viên ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
(21)
5/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008)