Cọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M,N,P,I lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB,ỌC a Tính số đo góc PỌN C/m A,M,I thẳng hạng b Tìm trực tâm chủa tam giác OMN?. Phòng GD ĐỀ[r]
(1)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DUNG I Kiến thức : Bất đẳng thức Cô-si: 1)Cho hai số không âm a , b Ta có : a + b 2 a.b Dấu “ = ” xảy và a = b 2) Cho ba số không âm a , b , c Ta có : a + b + c 3 a.b.c Dấu “ = ” xảy và a = b= c Hệ : Nếu hai(ba) số dương có tổng không đổi thì tích chúng đạt giá trị lớn hai (ba) số đó Nếu hai(ba) số dương có tích không đổi thì tổng chúng đạt giá trị nhỏ hai (ba) số đó II Bất Tính Cácđẳng phương giải: chấtthức : pháp chứa giá trị tuyệt đối : A.1) Chứng aa > b minh và b> bất c đẳng a > cthức cách dùng định nghĩa : 1) a với a thuộc R Sử2)dụng a >các b phép a +biến c > bđổi + ctương đương đưa bất đẳng thức đúng đã biết x a a xa Các biết :+ad2 adương , a2 + b2 0 … 2) 3)bất a >đẳng b và thức c > dđúng a +đãcvới > bmọi x >Cho a ;x 4) ba vàbaxc > 0thực a.c , aa > bminh và crằng < :a2 a.c Ví3) dụ a1: số a a, b>với ,b.c c Chứng + b2<+b.c c2 ab +bc + dương ca 5) , từaađó b a a bb , a > b a b 0ara: > bsuy 4) với a , b thuộc R ( ab + bc + ca) Nếu a > 3abc(a+b+c) và b > thì a > b a2 > b2 Giải : Ta có : a2 + b2 + c2 ab +bc + ca 2( a2 + b2 + c2 ) 2(ab +bc + ca) ( a2 – 2ab + b2 ) + ( b2 – 2bc + c2 )+ ( c2 – 2ca + a2 ) 0 ( a – b)2 + (b – c )2 + ( c – c )2 0 , Bất đẳng thức nầy đúng , bài toán chứng minh xong (2) Do ( ab + bc + ca)2 = (ab)2 +(bc)2 +(ca)2 + 2abc(a + b + c ) ab.bc +bc.ca + ca.ab +2abc(a+b+c) = 3abc(a+b+c) Ví dụ :Cho hai số a , b , c thỏa a 1 b 1 Chứng minh : 1 2 a b ab Giải : 1 2 a b ab (2+a2 + b2)(1+ab) 2(1+a2)(1+b2) 2+a2 + b2 +2ab +ab(a2 + b2 ) 2(1 +a2+b2 +a2b2) 2ab – a2 – b2 + ab(a2+b2) – 2a2b2 0 ab(a – b)2 – (a – b)2 0 ( a – b)2 ( ab – 1) Bất đẳng thức nầy đúng ab Ví dụ : Cho hai số a , b thỏa : a + b Chứng minh : a4 + b4 a3 + b3 Giải : a4 + b4 a3 + b3 a4 – a3 + b4 – b3 0 a3(a -1) + b3( b – 1) 0 (a3 – 1)( a – 1) + (b3 – 1)(b – 1) + a + b – 0 ( a – 1)2(a2+a +1) +(b – 1)2(b2+b+1) a + b – 0 Bất đẳng thức nầy đúng Nhận xét : Sử dụng cách làm trên thường ta cần phát , phân tích thành các đẳng thức B Dùng các bất đẳng thức đã biết :( bất đẳng thức Cô-Si , Bất đẳng thức trị tuyệt đối ) Ví dụ :Cho a , b , c dương Chứng minh : 1 a b c a bc b ca c ab 2abc 2 1 1 Giải : Do a2 +bc 2a bc nên : a bc a bc ab ac Tương tự ta có : 1 1 1 1 ; b ca bc ba c ab bc ca Nên : 2 1 1 1 ( ) a bc b ca c ab ab ac bc ba cb ca 1 1 1 a b c ( ) a bc b ca c ab ab bc ca 2abc 2 (3) Ví dụ :Cho a > , b > , c > Chứng minh : ( a + b + c ) ( 1 ) a b b c c a Giải : Ta có : 2(a + b + c) = a + b + b + c + c + a 3 ( a b)(b c)(c a) 1 1 1 3 a b b c c a Và a b b c c a Nên: 1 1 1 ) 9 ( a b)(b c)(c a) a b b c c a a b b c c a 1 ) ( a + b + c ) ( a b b c c a 2 a b c ( Ví dụ : Cho x , y , z là số dương thỏa : x.y.z = Chứng minh : x2 y2 z2 1 y 1 z 1 x x2 1 y x2 y 2 x y y Giải : Ta có : y2 z z2 1 x y , z z x Tương tự : Cộng vế các bất đẳng thức trên cho ta : x2 1 y y2 z z2 1 x x y z 1 y 1 z 1 x x2 y2 z2 3 ( x y z) 1 y 1 z 1 x 4 x y2 z2 3 3 x y z y z x 4 Mà x + y +z Nên Ví dụ :Cho a , b , c dương và a + b +c = 1 64 Chứng minh : a b c Giải : 1 1 bc a a b c a 2b.c 4 a a a a Tương tự : 1 ca ab 4 , 4 b b c c 1 64 Nhân các bất đẳng thức tương ứng cho ta : a b c (4) Nhận xét : ta hay dùng bất đẳng thức Cô-si sau đó nhân các bất đẳng thức cộng chúng lại với Ví dụ : Cho x , y , z là độ dài cạnh tam giác Chứng minh x y y z z x xy yz zx x y y z z x x y y z z x Giải : x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z zx Nên : Do x , y , z là ba cạnh tam giác nên : x y z , y z x , z x y x y y z z x x y y z z x xyz Cho ta : x y y z z x x y y z z x ( x y )( y z )( z x ) xy yz zx , , x y y z z x Theo bất đẳng thức Cô-si : x y y z z x x y y z z x Vậy : C Ứng dụng : Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến Ví dụ : Cho các số thực dương x , y , z thỏa : x + y +z = Tìm giá trị nhỏ biêu thức x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) yz zx xy P= x2 x2 y y z z y z z x x y Giải : Ta có : P = Mà : x2 + y2 – xy xy với x , y Nên : x3 + y3 xy(x+y) với x , y dương x2 y ( x y ) y x Hay : với x , y dương y2 z2 z2 x2 ( y z ) , ( z x) x z Tương tự : z y với x , y ,zdương Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận ta có : P 2(x + y+ z) = ( x +y +z = 1) Ta có ; P = x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P là Ví dụ :Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn : x2 +y2 +z2 = (5) xy yz zx z x y Tìm giá trị nhỏ P = x2 y y z z x2 2 2 z x y Giải : Ta có P = y z z x2 z x2 x2 y x2 y y z 2 2 z , 2 x 2 y y z x 2y2 , x Mà : z 2 2 2 x y y z z x 2 x y 3 Dấu = xãy x = y = z = Nên :P2 = z Vậy giá trị nhỏ P là Ví dụ : Cho ba số dương a , b , c và thỏa mãn điều kiện : 1 2 1 a 1 b 1 c Tìm giá trị lớn Q = a.b.c 1 b c bc 1 1 2 1 b 1 c 1 b 1 c (1 b)(1 c) Giải :Ta có : a ca ab 2 , 2 (1 c )(1 a ) c (1 a )(1 b) Tương tự : b Nhân các bất đẳng thức vừa nhận ta có : 1 abc 8 1 a 1 b 1 c (1 a )(1 b)(1 c ) 1 Hay : abc Dấu = xãy a = b = c = Vậy maxQ = Nhận xét :Việc giải bài toán tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) biểu thức nhiều biến , người ta thường dùng bất đẳng thức để chứng minh : biểu thức đó bé (lớn bằng) số và kiểm tra có dấu xãy , để kết luận giá trị lớn nhỏ Bài tập : Bài :Cho x , y , z là ba số dương thỏa x + y + z 1 x2 Chứng minh : 2003) 1 y z 82 x y z ( đề thi đh khối A – 1 4 x y z Bài :Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn : 1 1 x y z x y z x y z Chứng minh : ( đề thi đh khối A – 2005) (6) Bài : Cho các số dương x , y , z thỏa mãn x.y.z = x3 y y3 z z x3 3 xy yz zx Chứng minh : ( đề thi đh khối D – 2005) Bài :Cho hai số thực x , y khác ,thay đổi và thỏa mãn điều kiện ( x +y)xy = x2 +y2 – xy 1 3 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x y ( đề thi đh khối A – 2006) Bài :Cho x , y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= ( x 1) y ( x 1)2 y y ( đề thi đh khối B – 2006) Bài :Cho x, y , z là số dương thỏa mãn : x(x +y +z) = 3yz Chứng minh : (x +y)3 + (x +z)3 + 3(x+y)(x+z)(x+y) 5( y+z)3 (đề thi đh khối A-09) Bài :Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa : ( x +y)3 + 4xy 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3(x4 +y4 +x2y2 ) – 2(x2+y2) + (đề thi đh khối B-09) Bài :Cho x ; y không âm thỏa : x +y = Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức S = (4x2+3y)(4y2 =3x) + 25xy (đề thi đh khối D-09) Bài : Cho x , y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn và ( x y )(1 xy ) 2 giá trị nhỏ biểu thức : P = (1 x) (1 y ) ( đề thi đh khối D -2008) Bài 10 : cho x ,y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x.y.z =1 Tìm x2 ( y z) y ( z x) z ( x y) giá trị nhỏ biểu thức : P = y y z z z z x x x x y y ( khối A 2007) Bài 11:Cho hai số thực dương x , y thay đổi và thỏa mãn hệ thức : x2 + y2 = 2( x xy ) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức :P = xy y ( khối B 2008) Bài 12 :Cho ba số thực không âm a , b , c thỏa mãn : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 3( a2b2 + b2c2 + c2a2) +3(ab+bc+ca) + a b c ( khối B -2010) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I (7) Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a x 2+5 x − √ x2 +5 x +4=− b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 Bài 3: (2.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I là trung điểm DE Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC H và cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK c Chứng minh H là trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán (8) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) 1 a) Chứng minh bất đẳng thức: a b a b Với a; b là các số dương b) Cho x; y là hai số dương và x y 1 Tìm giá trị nhỏ P= xy ; M xy x y Bài 2: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình: x 2+ y 2=11 x + xy+ y=3+ √ { Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q và cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H a Chứng minh HM = HN b Chứng minh MN là phân giác góc QMP Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF là dây cung di động trên nửa đường tròn cho E thuộc cung AF và EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I a Tính góc CIF b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động trên nửa đường tròn c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích đó Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán (9) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: √2 x+ √ x − √ x − + x+ với x=2 √6 +3 √ x+2+ √ x − ¿2 Thay ¿ ¿ √¿ √ x +2+ x − 2+ √( x +2)(x − 2) =¿ ¿ √(x +2)( x −2)+ x +2 √3+ √ ¿2 ¿ ¿ x=2 √ +3 vào được: √¿ 1 = √2 √ 6+2+3 ¿ 0,75 0,75 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a x +5 x − √ x2 +5 x +4=− x 2+5 x +4 − √ x2 +5 x +4=2 Đặt y=√ x 2+ x + (y 0) được: y2 - y - = Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = Với y = giải √ x2 +5 x+ 4=2 x1 = 0; x2 = -5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc này cần đặt điều kiện bình phương hai vế b √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ x −3 √( x − 1)(x −2)+ √ x +3=√ x −2+ √(x −1)( x +3) √ x −1( √ x − 2− √ x+3)− √ x − 2+ √ x +3=0 ( √ x −2 − √ x +3)( √ x −1 −1)=0 √ x −2 − √ x +3=0 vô nghiệm; √ x −1 −1=0 x = Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Bài 3: (2.0 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên n =-1: Phương trình có nghiệm Với n -1 n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + =(n2 + 3n + 1)2 ’ nên phương trình luôn có nghiệm ’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm phương trình là số hữu tỉ 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 (10) b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( 3.0 điểm) 0,25 0,50 0,25 B K A M O H D I E C OB BA; OC CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI IA (I là trung điểm dây DE) B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) IDK = IAB Từ (1) và (2) được: ICB = IDK ICB = IDK hay ICH = IDH Tứ giác DCIH nội tiếp HID = HCD HCD = BED (Cùng chắn cung DB (O)) HID = BED IH // EB IH là đường trung bình DEK H là trung điểm DK 0,75 (1) 1.0 (2) 1,25 (11) (Mỗi bước cho 0,25 điểm) Bài 5: ( 1.0 điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho nên A(n) chia hết cho với n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên A(n) chia hết cho với n - Nếu n chẵn n2 chia hết cho A(n) chia hết cho Nếu n lẻ (n-1) (n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho A(n) chia hết cho với n - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố cùng nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60 0,25 0,25 0,25 0,25 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán (12) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) 1 a Chứng minh bất đẳng thức: a b a b Với a; b là các số dương b Cho x; y là hai số dương và x y 1 Tìm giá trị nhỏ P= 1 a b a b ⇔ xy ; M xy x y a+b ≥ ⇔ ( a+b )2 ≥ ab ⇔ ( a − b )2 ≥ ab a+b 0,50 x+ y 4 = ≥ = =2 xy xy 2(x+ y) 1 P đạt giá trị nhỏ tại: x = y = 1 x+ y ¿ ⇔ xy ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥2 xy xy hoặc: xy ≤ x2 + y ⇔ xy ≤¿ x+ y ¿ 2 M ¿ xy x y = ¿ 4 4.3 + 2≥ + = + ¿ 2 xy x + y xy x +2 xy + y xy 1 - xy đạt GTNN x = y = 3 - xy + 2 đạt GTNN x = y = Nên M đạt GTNN x = y = x +y P= 0,50 0,25 0,50 0,25 Bài 2: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình: - Đặt S = x + y; P = xy được: x 2+ y 2=11 x + xy+ y=3+ √ { { S − P=11 S+ P=3+ √ 0,25 - ⇒ S2 +2 S −(17+ √ 2)=0 - Giải phương trình S 1=3+ √ ; S 2=− 5− √ - S 1=3+ √ P1=3 √ ; S 2=− 5− √2 P2=8+5 √ - Với S 1=3+ √ ; P1=3 √ có x, y là hai nghiệm phương trình: X −( 3+ √ 2) X +3 √ 2=0 0,25 0,25 0,25 0,25 (13) - Giải phương trình X 1=3 ; X 2=√ - Với S 2=− 5− √2 P2=8+5 √ có x, y là hai nghiệm phương trình: X +(5+ √ 2) X +8+5 √ 2=0 Phương trình này vô nghiệm x=3 x =√ - Hệ có hai nghiệm: y= ; y=3 √ { { Bài 3: (2.0 điểm) -Chứng tỏ MBND là hình bình hành O là trung điểm MN - OH // AB OH MN - HMN cân H (Trung tuyến vừa là đường cao) HM = HN HQ OQ - OH // BM được: HM =OB OQ NQ - ON // BP được: OB =NP HQ NQ HM =NP NH//PM A 0,25 0,25 0,25 M B 0,75 H O Q D 1,25 C N HNM = NMP HMN = NMP MN là phân giác góc QMP P Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng Giải: Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho nên có số Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c bc -b - c + = (b-1)(c-1) = b,c là các số nguyên dương có vai trò nên ta có các hệ: −1=1 b=2 ⇔{ {bc −1=6 c=7 và b=3 ⇔{ {bc −−1=2 1=3 c=4 0,25 0,50 0,25 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, (14) C Bài 4: (3.0 điểm) E F H A O I B - BE, AF là hai đường cao ABC CI là đường cao thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF = EBF - EOF nên EOF = 600 - EF = 600 CIF = EBF = 300 - Chứng minh ACI đồng dạng với ABE AC 1,0 AI - được: AB = AE ⇒ AC AE=AB AI BC BI - Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: BA =BF ⇒ BC BF=BA BI - Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB = const - Chứng minh ABC đồng dạng với FEC S FEC EF R = = = - S AB 2R ABC S - Để ABFE lớn ( ) ( ) ⇒ SABFE = S ABC S ABC lớn CI lớn C chạy trên cung chứa góc 60 vẽ trên AB nên CI lớn I O CAB cân EF // AB R R √3 R2 √ =R √3 ⇒ S ABFE= - Lúc đó S ABC= 1.0 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) 1,0 (15) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN Môn Toán lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài : (6 điểm) 1) Chứng minh : là số nguyên 2) Tìm tất các số tự nhiên có chữ số cho : với n là số nguyên lớn Bài : (6 điểm) 1) Giải phương trình : 2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đường thẳng (d) : y = 1/2 x + a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b) Gọi A, B là giao điểm (P) và (d) Tìm điểm M trên cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB lớn c) Tìm điểm N trên trục hoành cho NA + NB ngắn Bài : (8 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O Một điểm A chuyển động trên đường tròn (A khác B, C) Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng AB Chứng tỏ H nằm trên đường tròn cố định 2) Cho đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt điểm A, B Tia OA cắt đường tròn (O’) C và tia O’A cắt đường tròn (O) D Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài các đoạn BC và BE (16) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG Môn Toán lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài : (2,5 điểm) Giải phương trình : |xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = Bài : (2,5 điểm) Hai phương trình : x2 + (a - 1)x + = ; x2 + (b + 1)x + c = có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình : x2 + x + a - = và x2 + cx + b + = có nghiệm chung Tính giá trị biểu thức 2004a/(b + c) Bài : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 cắt A, B Đường thẳng O1A cắt đường tròn tâm O2 D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 C Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 M và cắt đường tròn tâm O2 N Chứng minh : 1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên đường tròn 2) BC + BD = MN Bài : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x2 + y2 = và x + y là số nguyên (17) Kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Long An Năm học 2007-2008 Thời gian : 60 phút Câu 1: (3,5 điểm không đáng) a/ Rút gọn: với b/ Cho biểu thức Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 2: (1 điểm) Cho tam giác vuông , Vế đường cao , từ H vẽ , Chứng minh Câu 3: (2,5 điểm) Cho đường tròn , đường kính Lấy điểm trên nửa đường tròn(cung bé cung ) Qua vẽ đường thẳng song song với cắt đường tròn điểm thứ là và cắt , và cắt a/ Chứng minh: thẳng hàng b/ Chứng minh tích không đổi (18) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN TRƯỜNG HÀ NỘI Amsterdam Bài 1: Cho t là số dương tùy ý,số các phân số tối giản ; kí hiệu là Tính Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương pt: Bài 3: Tìm để pt sau có nghiệm: Bài 4: Cho bảng vuông kích thước Người ta điền vào các ô số cho không có số nào là đỉnh hình chữ nhật.Cmr:số các số không quá Bài 5: Cho điểm có điểm -giác lồi cho Gọi là điểm trên cho thứ tự nằm trên đường tròn Giả sử CMR Đề thi khảo sát học sinh giỏi THCS Võ Xu-Đức Linh-Bình Thuận 1) Tìm các nghiệm nguyên pt : 2) Vẽ đồ thị hàm số 3) Giải phương trình 4) Cho thoả Cmr: 5) Tìm Min và Max : 6) Cho hình vuông và từ giác a)Cmr: b)Xác định vị trí c)Xác định vị trí để chu vi tứ giác để diện tích tứ giác nội típ hình vuông đó nhỏ nhỏ Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hoà Chí Minh KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THAØNH PHOÁ Năm học 2006 – 2007 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Caâu : (3 ñ)Thu gọn các biểu thức: a) A 29 12 (19) b) B 20 40 C ( c) Caâu : (3 ñ) 15 12 )( 11) 1 3 2 2 a) Chứng minh : ( x y z ) 3( x y z ) , x, y, z R b) Cho x y z 1 , x 1 1 1 , y ,z 4 Chứng minh : x y z 21 Dấu xảy x, y, z bao nhiêu? Caâu : (4 ñ) Giải hệ phương trình và phương trình: 12 xy x y 18 yz y z zx 36 a) z x 13 x2 x 8 x b) Caâu : (2 ñ) Cho phương trình : ax bx c 0 có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ Chứng minh phương trình có nghiệm thì các nghiệm không thể là số hữu tỉ Caâu : (4 ñ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R Gọi M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M C và D a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến đường tròn (O) M b)Chứng minh tổng AC + BD không đổi Tính tích số AC.BD theo CD c)Giả sử CD cắt AB K Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK Caâu : (4 ñ) Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) cĩ ACB = 45 o Đường tròn đường kính AB cắt AC và BC M và N Chứng minh MN vuông góc AB OC vaø MN = (20) Đề thi khảo sát học sinh giỏi THCS Võ Xu-Đức Linh-Bình Thuận 1) Tìm các nghiệm nguyên pt : 2) Vẽ đồ thị hàm số 3) Giải phương trình 4) Cho thoả Cmr: 5) Tìm Min và Max : 6) Cho hình vuông và từ giác a)Cmr: b)Xác định vị trí c)Xác định vị trí để chu vi tứ giác để diện tích tứ giác nội típ hình vuông đó De Thi Tuyen Hsg Lop Thi Xa Tam Diep Ninh Binh nhỏ nhỏ BAI phan tich da thuc nhan tu a) +4 -7x-10 b) + +1 BAI Rut gon 3)chung minh a)( + +1) ( -x-1) n+2 b)Neu -x+1=0 thi voi moi so tu nhien n co : x^(6n+1)+ =x^(6n-1)+ =1 x^(6n+2)+ =x^(6n-2)+ =1 co luu y gi ve x^2-x+1=0 c)(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+ la binh phuong cua mot tam thuc bac hai cua x bai tim nghiem nguyen x^2 - 6xy+13 =100 bai cho diem M tam giac ABC cac duong thang MA,MB,MC cat AB,AC,AB tai I,H,K a) Ke cac duong AQ BC,MR BC.hay lap ti so giua dien tich ABC va MBC theo MA va MI b)chung minh rang ti so , , khong dong thoi lon hon cung khong dong thoi nho hon c)tim vi tri cua M de ti so bang (21) (22) (23) (24) (25) (26) phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 1998 -1999 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Câu 1: Xác định hệ số a cho: a) 27x2 + a chia hÕt cho 3x + b) 3x2 + ax + 27 chia hÕt cho x + cã sè d b»ng C©u2: Cho sè a, b, c tháa m·n abc = 1999 Rót gän biÓu thøc: 1999a b c ab 1999a 1999 bc b 1999 ac c C©u 3: Cho abc vµ a + b+ c gi¶i ph¬ng tr×nh: a b x a c x bc x 4x 1 c b a a bc C©u 4: Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AB VÏ vÒ mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB c¸c h×nh vu«ng AMCD, BMEF a Chøng minh AE vu«ng gãc víi BC b Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC Chøng minh ba diÓm D, H, F th¼ng hµng c Nh÷ng minh ®o¹n th¼ng DF lu«n ®i qua mét ®iÓm cố định M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định d T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm K cña ®o¹n th¼ng nèi t©m hai h×nh vuông điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định phßng GD- ®t đề thi chọn học sinh giỏi huyÖn trùc ninh n¨m häc 1999 -2000 M«n To¸n líp đề chính thức Thêi gian lµm bµi 120 phót Câu 1: Tìm số tự nhiên n để: a) Sè A = n4 + lµ sè nguyªn tè n7 n2 b) Ph©n sè n n tèi gi¶n C©u Cho biÓu thøc: 4a 2b a2 A : 2a b a 2a b 2a a b a b ab a.Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 4a2 + b2 = 5ab vµ a > b > C©u Gi¶i ph¬ng tr×nh: x-101 x-103 x-105 a, 3 86 84 82 b, x 12x C©u Cho tø gi¸c ABCD; M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC vµ CD Gäi E vµ F lµ giao cña BD víi AM vµ (27) AN Chøng minh r»ng: nÕu BE = EF = FD th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh Câu Gọi H là hình chiếu đỉnh B trên đờng chéo AC cña h×nh ch÷ nhËt ABCD; M, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AH vµ CD a Gäi I vµ O theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ IC MO IC Chøng minh: b TÝnh sè ®o gãc BMK? c Gäi P vµ Q lÇn lît lµ ®iÓm thuéc ®o¹n BM vµ BC Hãy xác định vị trí P và Q để chu vi tam giác PHQ có gi¸ trÞ nhá nhÊt? phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2001- 2002 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: ( ®iÓm) Cho biÓu thøc: a2 b2 a b2 P ab ab b2 ab a a Rót gän P b Có giá trị nào a, b để P = 0? c TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn: 3a2 + 3b2 = 10ab vµ a > b > C©u 2: ( 3,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a (n2 + n -1)2 – chia hÕt cho 24 víi mäi sè nguyªn n b Tæng c¸c lËp ph¬ng cña sè nguyªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho C©u 3: ( ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + x2 + 6x – = C©u 4: ( ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) C©u 5: (7,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC, O là giao điểm các đờng trung tùc tam gi¸c, H lµ trùc t©m cña tam gi¸c Gäi P, R, M theo thø tù lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AC, BC Gäi Q lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AH a Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? b Chøng minh AQ = OM c Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Chøng minh H, G, O th¼ng hµng d VÏ ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACFL Gäi I lµ trung điểm EL Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đờng nào? phßng GD- ®t đề thi chọn học sinh giỏi huyÖn trùc ninh n¨m häc 2001- 2002 M«n To¸n líp đề chính thức (28) Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: Cho a + b = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) C©u 2: Chøng minh r»ng: a b c 1, 1 ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 biÕt abc = n n 1 2, (n N * ) n n 1 kh«ng lµ ph©n sè tèi gi¶n C©u 3: Cho biÓu thøc: 1 1 P a a a 3a a 5a a 7a 12 a 9a 20 a Tìm điều kiện để P xác định b Rót gän P c TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt a3 - a2 + = Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đờng th¼ng qua C vµ vu«ng gãc víi AB t¹i E Gäi M lµ trung ®iÓm cña AD a Chøng minh: tam gi¸c EMC c©n b Chøng minh: Gãc BAD = gãc AEM c Gäi P lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng EC Chøng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phô thuéc vµo vÞ trÝ cña P trªn EC phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2002- 2003 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: T×m sè tù nhiªn n biÕt: a A n n n lµ mét sè nguyªn tè n 16 C n 4n 8n 16 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn b c D = n4 + 4n lµ mét sè nguyªn tè Bµi Cho a + b +c = 0; abc 0 a.Chøng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2 c a b P a b c2 b c a c2 a b2 Bµi 3: a.Gi¶i ph¬ng tr×nh: (29) x a x c x b x c 1 b a b c a b a c b T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x2 - y2 + 2x - 4y -10 = Bµi Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), O lµ giao ®iÓm cña hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB c¾t DA t¹i E; c¾t BC t¹i F S S BOC a.Chøng minh : AOD b Chøng minh: OE = OF 1 c Chøng minh: AB CD EF d.Gọi K là điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF phßng GD- ®t đề thi chọn học sinh giỏi huyÖn trùc ninh n¨m häc 2003- 2004 M«n To¸n líp đề chính thức Thêi gian lµm bµi 120 phót a 4a A a 2a 4a C©u 1: Cho biÓu thøc: a Rót gän A b Tìm các số nguyên a để A có giá trị là số nguyên Câu Cho x, y, z đôi kh`ác và khác Chứng minh r»ng nÕu: x yz y2 xz z xy a b c th× ta cã: 2 a bc b ca c ab x y z C©u Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 18 a, x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 b, x2 + 3y = 3026 víi x, y N C©u Cho f(x) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè d¬ng BiÕt f(0); f(x) lµ c¸c sè lÎ Chøng minh r»ng f(x) kh«ng thÓ cã nghiÖm nguyªn C©u Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho gãc DME b»ng gãc B Chøng minh r»ng: BD.CE BC a b DM lµ ph©n gi¸c cña gãc BDE c Chu vi tam giác ADE không đổi D, E chuyển động trên cạnhAB và AC (30) (31) (32) (33) (34) (35) Phßng gi¸o dôc quËn T©y Hå Trêng THCS Chu V¨n An đề thi học sinh giỏi líp N¨m häc 2010-2011 M«n thi : To¸n Ngµy thi: Thêi gian lµm bµi: C©u (6 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A=( x+ xy + x + − 1) xy+1 xy − : 27/9/2010 120 phót ( x+1 xy+ x − +1) xy+1 xy − a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A nÕu x=√ 14+6 √ , 5− √5+1 y= √ c) Cho x+ y=√ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A C©u (6 ®iÓm) a) Cho x lµ sè tháa m·n √ x2 −2 x+ 25− √ x −2 x+ 9=2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B= √ x2 −2 x+ 25+ √ x −2 x+ b) Tìm số tự nhiên n để √ n2 +91 còng lµ sè tù nhiªn Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc A, đờng cao AH a) Gi¶ sö BH=3cm;AC=2cm TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC? b) Gi¶ sö BH=AC, trung tuyÕn BM cña tam gi¸c ABC c¾t AH t¹i I Chøng minh CI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB C©u (2 ®iÓm) Chia mét h×nh trßn thµnh 10 h×nh qu¹t b»ng nhau, mçi hình quạt đặt viên bi (hình vẽ) Ngời ta thực phép biến đổi nh sau: LÊy hai h×nh qu¹t bÊt k× cã bi chuyển từ hình quạt đó viªn bi sang h×nh qu¹t liÒn kÒ nhng theo chiÒu ngîc (nÕu mét viên hình quạt đợc chuyển theo chiều kim đồng hồ thì viên bi h×nh qu¹t chuyÓn theo chiÒu ngîc l¹i) Hỏi sau số hữu hạn các bớc biến đổi nh trên ta có thể chuyển tất các viên bi vào hình quạt đợc kh«ng? V× ? Phßng gi¸o dôc quËn kú thi häc sinh giái líp T©y Hå N¨m häc 2010-2011 Trêng THCS Chu V¨n An Híng dÉn chÊm Thi m«n to¸n I.Híng dÉn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng II.Thang điểm và đáp án C © u §¸p ¸n a) Rút gọn đúng đến A=− xy b) Tìm điều kiện xác định : x -1; xy ≠± (36) TÝnh x=3+ √ y= Thay vào A đợc A=− −√5 (TM §KX§) C x+ y ¿ ≥ xy víi mäi x,y © c) ¸p dông B§T u ¿ 1 Thay x+ y=√ và biến đổi dẫn đến A=− xy ≥− Vµ KL : GTNN cña A lµ ChØ A=− xy=− x= y= √ 2 ® A =− C © u 2 a) Ta cã B.2=( √ x2 −2 x+ 25+ √ x −2 x+ ).( √ x2 −2 x+ 25− √ x −2 x+ )=16 Suy B=16:2=8 b) §Æt √ n2 +91=m⇒ m>n vµ (m− n)(m+ n)=1 91=7 13 ; m+n>m-n XÐt TH: m+n=91; m-n=1 ta đợc n=45 m+n=13; m-n=7 ta đợc n=3 Thử lại đúng KL: n ∈ {3 ; 45 } ( ® ) a) §Æt CH=x AD hÖ §K: 0<x<2 thøc lîng: AC =CH CB ⇒ =x (x +3) Giải PT: x 2+3 x −4=0 ta đợc lo¹i ; x 2=1(TM) C BC=4cm; AH=√ cm ⇒S =2 √ cm2 ABC © A x 1=− <0 D M I H B x C u ® b) VÏ tia Ax//BC; tia BM c¾t tia Ax t¹i D, ΔMAD= Δ MCB (g.c.g) ⇒ AD=BC áp dụng định lí Ta-let ta có: AC IA AD BC CH AC CA = = = = = IH BH BH BH BH CH CH Từ đó chứng minh đợc CI là tia phân giác góc ACB (37) Ta chøng minh kh«ng thÓ chuyÓn tÊt c¶ c¸c viªn bi vµo mét h×nh qu¹t -T« c¸c h×nh qu¹t b»ng mÇu ®en, tr¾ng xen kÏ (h×nh vÏ) -Tæng sè c¸c viªn bi c¸c h×nh qu¹t ®en b»ng tæng sè c¸c viªn bi C h×nh qu¹t tr¾ng vµ b»ng â -Theo cách biến đổi, thời điểm u th× tèng sè viªn bi trong c¸c hình quạt đen và hình quạt trắng lµ sè lÎ ® -VËy kh«ng thÓ chuyÓn tÊt c¶ c¸c viªn bi vµo mét h×nh quạt( số bi hình quạt đó là số chẵn) Đề thi học sinh giỏi thi xã Long Khánh môn Toán a) Cho x,y,z là các số khác và x+y+z=2008 Tính giá trị biểu thức: B= b)Cho(x+ + )(y+ + )=3 Tính giá trị biểu thức C=x+ỵ a) Tính tổng S= + + + + b) Cho là phân số tối giạn Hỏi phân số có tối giản không? a) Tính + b) Cho đường thẳng(D): y=x+1 Tìm trên đường thẳng(D) điểm có toạ độ(x;y) thoả điều kiện y^2 -3y +2x=0 Cho hình thang cân có chiều cao h, cạnh bên có độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang Tính diện tích hình thang theo h? Tam giác ABC có góc ABC , góc ACB Cọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M,N,P,I là trung điểm BC,CA,AB,ỌC a) Tính số đo góc PỌN C/m A,M,I thẳng hạng b) Tìm trực tâm chủa tam giác OMN Phòng GD ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎỈ KHỐI Trường THCS Môn: Toán - Năm học: 2007-2008 Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề) (38) Bài 1:(2.0điểm) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x - xy 3y x 2008,5 Bài 2:(2,0diểm) Chứng minh rằng: biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x ( với x 0 ) A x 2 x x Bài 3:(2,0điểm) Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm phương trình: x x m Bài 4:(4điểm) Cho hai nửa đường tròn ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài A Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) T với đường tròn ( O’ ) T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ S Tiếp tuyến chung A hai nửa đường tròn cắt TT’ M a) Tính độ dài AM theo các bán kính hai đường tròn ( O )và ( O’ ) b) Chứng minh: SO.SO’ = SM2 ST.ST’ = SA2 c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ A và đường tròn ngoại tiếp OMO’tiếp xúc với SM M ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Phòng KHỐI Trường THCS Môn Toán – Năm học 2007-2008 Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề) Bài (2,0đ) (39) §Æt x a; y b víi a, b 0, ta cã: P = a 2ab 3b2 2a 2008,5 = a 2a b 1 3b 2008,5 ( 0,5điểm ) = a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5 = a - b -1 b2 b 2007,5 1 a - b -1 b2 b 2007,5 4 1 a - b -1 b 2007 2007 2 2 1 V× a - b -1 0 vµ b 0 a, b 2 a b a Nªn P = 2007 b b 1 x Vậy P đạt GTNN là 2007 y 1 ( 0,5 điểm ) ( 0,5 điểm ) x y 1 ( 0,5 điểm ) Bài 2: (2,0đ) *TÝnh: 3 5 6 4 2 6 ( 1,0 điểm ) 4 y( 1,0 điểm ) ( 1,0 điểm ) *Suy ra: A = Bài 3: (2,0đ) *Xét ba trường hợp: Với x 0 thì y = -x – x +1 = -2x + Với < x < thì y = x – x + = Với x 1 thì y = x + x – = 2x -1 Vậy y = 2x nÕu x 0 1 nÕu < x < 2x - nÕu x 1 -1 O 11 -1 x (40) x x Đồ thị hàm số : y = ( điểm ) *Đường thẳng y = m cùng phương với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m Dựa vào đồ thị ta kết luận: Nếu m < thì phương trình vô nghiệm Nếu m = thì phương trình có nghiệm : x 1 Nếu m > thì phương trình có nghiệm ( điểm ) Bài 4: (4 điểm ) T M T’ ’’ S O A O a) MO, MO’ là tia phân giác’của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên OMO’=90 o Tam giác OMO’ vuông M có MA OO’ nên: MA2 = OA.OA’, Suy ra: MA = OA.OA ' R.R ' ( điểm ) SO' SM hay SO.SO '= SM b) Chứng minh: SO’M ~ SMO suy ra: SM SO ( điểm ) ST SA hay ST.ST' = SA SAT~ ST’A suy ra: SA ST ' (1 điểm ) c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp TAT’ và OO’ MA A Do đó đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ A ( 0,5 điểm ) Gọi M’ là trung điểm OO’ thì M’M//OT SM M’M M mà M’M là bán kính đường tròn ngoại tiếp OMO’ Do đó đường tròn ngoại tiếp OMO’ tiếp xúc với SM M ( 0,5 điểm ) UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi häc sinh giái tØnh (41) Sở Giáo dục và đào tạo §Ò chÝnh thøc líp thCS n¨m häc 2005 - 2006 M«n : To¸n (Vßng 1) Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (8 ®iÓm) 2 Cho ph¬ng tr×nh x 2mx m 0 (1) Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2 tho¶ m·n hÖ thøc x13 x23 Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m T×m giá trị m để nghiệm dơng phơng trình đạt gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 4 x x (2) Bµi 3: (8 ®iÓm) Cho tam giác ABC có ABC 60 ; BC a ; AB c ( a, c là hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q trên cạnh BC đợc gọi là h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp tam gi¸c ABC Tìm vị trí M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt TÝnh diÖn tÝch lín đó Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC b»ng thíc kÎ vµ com-pa TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vuông đó HÕt kú thi hoc sinh giái tØnh UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ Sở Giáo dục và đào tạo líp thCS n¨m häc 2005 - 2006 M«n : to¸n (Vßng 1) §¸p ¸n vµ thang ®iÓm : (42) Bµi ý Néi dung 1.1 (2,0 ®iÓm) §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt, cÇn vµ đủ là: ' 4 m m2 0 P S m m 2 m m2 m0 (3,0 ®iÓm) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt ' 4 m m (*) 5 x13 x23 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 2 3(m 2) m m2 m 6m 0 1.2 21 21 21 21 2 x2 2 2 Ta cã: 21 21 x3 02 x3 x3 2 vµ VËy: Cã gi¸ trÞ cña m tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n: 21 m 1; m (3,0 ®iÓm) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m vµ chØ khi: ' 4 m 0 m2 0 m 2 (**) P S m m 1 m2 m 0 m1 1; m2,3 1.3 (43) Khi đó nghiệm phơng trình là: m m2 m m2 x1 ; x2 x1 x2 m 2; 2 Hai nghiệm này không thể đồng thời 0, nên nghiệm m m2 x2 0 d¬ng cña ph¬ng tr×nh lµ Suy ra: 2 m 2m m m m m x 4 Theo bất đẳng thức Cô-si: 2 0,50 m m 2 m m m m 4 Suy ra: 2 x 2 x2 0,50 m 4 m2 m 2; Dấu đẳng thức xảy khi: Vậy nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn lµ m (4,0 ®iÓm) x x 0 2 x x 4 x x 2 x x x x (2) 0,5 0,5 t 4 x x 0 0 t 4 t 4 x 4 t t 0 t t (3) Giải phương trình theo t, ta có: 13 13 t1 0 t2 0 2 (lo¹i); 0,5 1,0 13 t2 Suy nghiÖm cña (3) lµ t2 13 x1 2 x x t2 x x t2 0 x 2 13 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: t2 x1,2 2 0,50 13 1,0 1,0 0,5 (44) 8,0 3.1 + §Æt AM x (0 x c) Ta cã: MN AM ax MN BC AB c c x MQ BM sin 600 Suy diÖn tÝch cña MNPQ lµ: ax c x a S x c x 2c 2c 2,0 a b a b ab ab (a 0, b 0) 2 + Ta có bất đẳng thức: c2 x c x x(c x) ¸p dông, ta cã: c x c x x Dấu đẳng thức xảy khi: a c ac 2c Suy ra: ac c S max x hay M lµ trung ®iÓm cña c¹nh VËy: AC S 2,0 (45) 3.2 + Giả sử đã dựng đợc hình vu«ng EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC Nèi BF, trªn ®o¹n BF lÊy ®iÓm F' Dùng h×nh ch÷ nhËt: E'F'G'H' ( E ' AB; G ', H ' BC ) Ta cã: E'F'//EF vµ F'G'//FG, nªn: E ' F ' BE ' BF ' F ' G ' EF BE BF FG E ' F ' F ' G ' Do đó E'F'G'H' là hình vuông + C¸ch dùng vµ chøng minh: Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E' tuú ý, dùng h×nh vu«ng E'F'G'H' (G', H' thuéc c¹nh BC) Dùng tia BF' c¾t AC t¹i F Dùng h×nh ch÷ nhËt EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC Chøng minh t¬ng tù trªn, ta cã EF = FG, suy EFGH lµ h×nh vu«ng BH ' cot g 600 3; + Ta cã: E ' H ' ' BC BG ' BH ' H ' G ' BH ' cot g F F 'G ' F 'G ' E'H ' Suy ra: Tia BF' cố định E' di động trên AB, cắt AC mét ®iÓm F nhÊt Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' trên cạnh AC; G' vµ H' ë trªn c¹nh BC, lý luËn t¬ng tù ta còng cã tia CE' cố định, cắt AB E VËy bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh nhÊt + §Æt AE x Ta cã (c x ) EFGH lµ h×nh ax (c x) c2 EF EH x c 2a c 1,0 1,0 1,0 EF AE ax EF BC AB c ; HE c x sin B vu«ng, 3a 2c 2 S EF Suy diÖn tÝch h×nh vu«ng EFGH lµ: UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ nªn 2a c 1,0 kú thi häc sinh giái tØnh (46) Sở Giáo dục và đào tạo §Ò chÝnh thøc Bµi 1: (7 ®iÓm) líp thCS n¨m häc 2004 - 2005 M«n : To¸n (Vßng 2) Thêi gian lµm bµi: 120 phót x 4 y y 4 x Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè tho¶ m·n c¸c bất đẳng thức: a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a Th× | a | | b | | c | Bµi 2: (6 ®iÓm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích là số nguyên gồm chữ số, đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm gièng A, B, C lµ mét nhãm ba ngêi th©n thuéc Cha cña A thuộc nhóm đó, gái B và ngời song sinh C nhóm đó Biết C và ngời song sinh cña C lµ hai ngêi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ cña B Hái ba ngêi A, B, C lµ ngêi kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi ? Bµi 3: (7 ®iÓm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vu«ng gãc víi §êng trßn (O1) néi tiÕp tam gi¸c ACD §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi c¹nh OB vµ OD cña tam giác OBD và tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng trßn (O3) tiÕp xóc víi c¹nh OB vµ OC cña tam gi¸c OBC vµ tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R HÕt UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ Sở Giáo dục và đào tạo kú thi chän hoc sinh giái tØnh líp thCS n¨m häc 2004 - 2005 M«n : to¸n (Vßng 2) §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: (47) Bµi ý Néi dung §iÓ m 7,0 1.1 (4,0 ®iÓm) 0,5 x 3 x 4 y y 3 (*) y 4 x Điều kiện để hệ có nghiệm là: x 4 y x 4 y (a ) 4 y 4 x x y 4( x y ) 0 (b) Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: (b) x y x y x y 0 x y 0 x y 1,0 x, y x y x y ) nªn x 4 y x x 0 x x 1 0 Thay vµo (a): x 1 x x x 0 x 1 x x 0 x 1 (v× 1,0 v× x x x 1 So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: x y 1 x 1 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : y 1 1.2 1,5 (3,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: a b; b c; c a 0,50 Ta cã a2 b2 c2 a b b c c a b2 c2 a a b2 b2 c2 c2 a a b b c c a a b b c c a a b b c c a 0 2 2 0,50 a b c b c a Suy ra: a b b c c a a b b c c a a2 b2 c2 c2 a2 b2 Do đó: a b b c c a a b b c c a a c a b c 2b a b c a2 c b2 a c2 b2 0 0 a b bc c a a b b c c a 1,0 (48) 2a 2c 2a 2b 2c 2b a b c a b b c c a 0 a 2a 2c c a 2a 2b b b 2b 2c c 0 a b b c c a a b2 b c2 c a2 a b 0 0 b c 0 c a 0 a b2 c | a | | b | | c | 1,0 6,0 2.1 (4,0 ®iÓm) Theo gi¶ thiÕt diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã d¹ng S abbb k k 0, k Z 1000 k 9999 33 k 99 , nªn k chØ gåm 0,5 ch÷ sè: k xy 10 x y k 100 x 20 xy y x 9; y 9 Nếu y lẻ: y 1;3;5;7;9 y 1;9; 25; 49;81 b 1;5;9 Khi đó 2xy có ch÷ sè tËn cïng lµ sè ch½n, nªn ch÷ sè hµng chôc cña k 1,0 phải là số chẵn khác với 1; 5; 9, đó S không thể là abbb NÕu y ch½n: y 0; 2; 4;6;8 y 0; 4;16;36;64 b 0; 4;6 1,0 2 Víi y = 0: k chØ cã thÓ lµ 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n 2 Với y = 2: k 100 x 40 x Khi đó x có thể là thì chữ sè hµng chôc cña k2 míi lµ 4, suy k 3600 244 3844 abbb 0,5 Với y = 4; 6: y 16;36 , đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục k phải là số lẻ, đó kh«ng thÓ b»ng hoÆc 6, nghÜa lµ k abbb 2 Với y = 8: y2 = 64; k 100 x 160 x 64 , đó x có thể là hoÆc th× ch÷ sè hµng chôc cña k míi b»ng 4, suy k 382 1444 hoÆc k 882 7744 (kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n) VËy: bµi to¸n cã mét lêi gi¶i nhÊt: H×nh vu«ng cÇn xác định có cạnh k 38 và diện tích S 1444 2.2 0,5 0,5 (2,0 ®iÓm) Theo gi¶ thiÕt, cha cña A cã thÓ lµ B hoÆc C: NÕu B lµ cha cña A th× C kh«ng thÓ song sinh víi A, v× nÕu nh thÕ th× C lµ cña B, tr¸i gi¶ thiÕt, đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C lµ ph¸i n÷ MÆt kh¸c, g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C nên phải là A, đó A là phái nữ Vậy B khác giới tÝnh víi hai ngêi cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷) 1,0 (49) NÕu C lµ cha cña A th× C chØ cã thÓ lµ song sinh víi B, theo gi¶ thiÕt B ph¶i lµ ph¸i n÷ MÆt kh¸c, g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C (gt) nªn ph¶i lµ A, suy C vµ B lµ vî chång chø kh«ng ph¶i lµ song sinh, dÉn đến mâu thuẫn Vậy có trờng hợp B là cha cña A vµ B kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷) (50) 7,0 + Gọi r là độ dài bán kính đờng tròn (O1) Ta có: S ACD pr R AC CD r 2 R R r R r 1 + §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi OB vµ OD nªn t©m O ë trªn tia ph©n gi¸c cña gãc BOD , (O2) l¹i tiÕp xóc víi (O) nên tiếp điểm T chúng trên đờng thẳng nối tâm O vµ O2, chÝnh lµ giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c gãc BOD víi (O) 1,0 + §êng th¼ng qua T vu«ng gãc víi OT c¾t tia OB vµ OD B' và D' là tiếp tuyến chung (O) và (O 2) Do đó (O2) là đờng tròn nội tiếp OB ' D ' + OB ' D ' có phân giác góc O vừa là đờng cao, nên nó là tam gi¸c vu«ng c©n vµ B ' D ' 2OT 2R, OB ' OD ' R , suy ra: OB ' D ' ACD R r 1 + VËy: B¸n kÝnh cña (O2) còng b»ng + Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với qua AB nên (O3) còng b»ng (O2), nªn b¸n kÝnh cña (O3) còng b»ng R r 1 2,0 1,0 (51) + §êng trßn (O4) cã hai trêng hîp: a) Trêng hîp 1: (O4) ë bªn tr¸i (O1): KÎ tiÕp chung cña (O4) vµ (O1) t¹i tiÕp ®iÓm K c¾t AC vµ AD t¹i E vµ F CO vµ CA lµ cßn lµ tiÕp tuyÕn cña (O 1), nªn chu vi cña CEF b»ng 2CO, suy nöa chu vi cña nã lµ p = R CO1 R r Ta cã: R 42 1 R 42 R CK CO1 O1 K 1 1 KF O1O tg 22030 ' KF KC CO 1 R SCEF CK KF R R 42 1 42 1 2 42 1 R r4 Suy bán kính đờng tròn (O4) là: 42 1 2,0 (52) b) Trêng hîp 2: (O'4) ë bªn ph¶i (O1): Khi đó: K' là tiếp điểm đờng tròn, tiếp tuyến chung c¾t CA vµ CD t¹i E' vµ F', CD tiÕp xóc víi (O'4) t¹i H CK ' CO1 O1 K ' R 42 R 1 1 R F ' H K ' F ' CK ' tg 22 30 ' R CH CF ' F ' H R CH 1 1 2 R 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 CK ' CO CK 'CO1 CF ' CF ' CO1 CO R 42 R 42 2 2 1 1 2 2 1 1 Suy ra: Bán kính đờng tròn (O'4) là: r4' O4' H CHtg 22030 ' R 2 1 1 2,0 (53) UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ Sở Giáo dục và đào tạo §Ò chÝnh thøc kú thi chän häc sinh giái tØnh líp thCS n¨m häc 2006 - 2007 M«n : To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót §Ò thi gåm 02 trang Bµi 1: (3 ®iÓm) 6x 3x3 3x A x 3x x x x Cho biÓu thøc: Rót gän biÓu thøc A Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức A nhận gi¸ trÞ nguyªn Bµi 2: (4,0 ®iÓm) y x và đờng thẳng d : y x m ( m Cho parabol (P): lµ tham sè) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (P) vµ d chØ cã mét ®iÓm chung? Khi đó d gọi là tiếp tuyến parabol (P), vẽ tiếp tuyến đó Vẽ parabol (P) và đờng thẳng d : y x m trên cùng đồ thị Từ đồ thị suy ra, tập giá trị m để d cắt (P) điểm có hoành độ dơng Tìm các giá trị m để phơng trình x x 2m 0 có nghiệm phân biệt Tính các nghiệm đó theo m Bµi 3: (3,5 ®iÓm) T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng ph©n sè cã tö sè lµ số đó, mẫu số là tích hai chữ số nó có 16 ph©n sè tèi gi¶n lµ vµ hiÖu cña sè cÇn t×m víi sè cã cïng c¸c ch÷ sè víi nã nhng viÕt theo thø tù ngîc l¹i b»ng 27 H·y t×m c¸c ch÷ sè a, b, c, d biÕt r»ng c¸c sè a, ad , cd , abcd lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng Bµi 4: (4,5 ®iÓm) Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không qua O cắt đờng tròn (O) hai điểm A và B Từ điểm M tùy ý trên đờng thẳng d và ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đờng tròn (O) (M, N là hai tiÕp ®iÓm) 2 Chøng minh r»ng MN MP MA.MB Dựng vị trí điểm M trên đờng thẳng d cho tứ gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng (54) Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lợt chạy trên hai đờng cố định M di động trên đờng thẳng d Bµi 5: (2,0 ®iÓm) Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(1;0), B(0; 2), C ( 3;0) §iÓm D ë trªn ®o¹n BC cho DA = DC E là điểm tùy ý trên đoạn AC, đờng thẳng d qua E và song song với đờng thẳng AD cắt đờng thẳng BA F §o¹n BE c¾t ®o¹n DA t¹i G Chøng minh r»ng tia CG vµ CF đối xứng với qua CA Bµi 6: (3,0 ®iÓm) 1) Trong c¸c tÊm b×a tr×nh bµy díi ®©y, mçi tÊm cã mét mÆt ghi mét ch÷ c¸i vµ mÆt ghi mét sè: A M + Chứng tỏ để kiểm tra câu sau đây có đúng kh«ng: "NÕu mçi tÊm b×a mµ mÆt ch÷ c¸i lµ nguyªn ©m th× mÆt lµ sè ch½n", th× chØ cÇn lËt mÆt sau tối đa là bìa, đó là bìa nào ? 2) Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhµ trêng tæ chøc thi chän c¸c m«n To¸n, V¨n vµ Ngo¹i ng÷ trªn tæng sè 111 häc sinh KÕt qu¶ cã: 70 häc sinh giái To¸n, 65 häc sinh giái V¨n vµ 62 häc sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi m«n V¨n vµ To¸n, 32 häc sinh giái c¶ m«n To¸n vµ Ngo¹i ng÷, 34 häc sinh giái c¶ m«n V¨n vµ Ngo¹i ng÷ Hãy xác định số học sinh giỏi ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ Biết có học sinh không đạt yªu cÇu c¶ ba m«n HÕt (55) (56) kú thi chän häc sinh giái tØnh UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ Sở Giáo dục và đào tạo líp thCS n¨m häc 2006 - 2007 M«n : to¸n §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: Bµi ý Néi dung 1.1 (2 ®) (2 ®iÓm) 6x 3x3 3x A 3x x x x x 3x §iÓ m 3x Ta cã: điều kiện để A có nghĩa là 3x A (1,0 ®) A 1.2 0,25 x 3x 3x A 3x 3x 3x 3x x A 3x 3x 3x A , nªn x x x 0, x 0 x 2 x 3 3x 6x 3x x x 23 x x x 0,50 3x 0;1 x 0, x 0 3x 0,25 0,50 3x ( x 3x 3x 3x 1 3x 3x 3x 0,50 3) 3x 3x 1 3x 3x 3x 3x x Với là số nguyên không âm, để A là số nguyên 3x 3 3x 9 x 1 x 3 x x th× (v× x Z vµ x 0 ) Khi đó: A 4 0,50 0,50 (57) 2.1 (1,5®) Phơng trình cho hoành độ giao điểm (P) và d là: x x m x x 2m 0 (1) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai nên để (P) và d có điểm chung thì phơng trình (1) có nghiệm kép, tơng đơng với: ' 4 2m 0 m 2 Khi đó đờng thẳng d là tiếp tuyến (P) có phơng trình y x Vẽ đúng tiếp tuyến 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 2.2 (1,25 ®) 0,25 0,50 0,50 2.3 (1,25®) + Vẽ đúng (P) + Đờng thẳng d : y x m song song với đờng thẳng y x vµ c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm B(0; m) + Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) hai điểm có hoành độ dơng thì m 2 x x 2m 0 (2) X X 2m 0 vµ ( X x 0) (3) §Ó ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (3) ph¶i cã nghiÖm d¬ng ph©n biÖt Tõ c©u vµ ta suy m Khi đó nghiệm (2) là: x1,2 2m vµ x3,4 2m 0,25 0,50 0,50 3.1 Gäi sè cÇn t×m lµ xy víi x, y Z;1 x, y 9 10 x y 16 x y 3 xy 90 x y 16 xy 10 x y 10 y x 27 Theo gi¶ thiÕt: x1 9; x2 16 (lo¹i) Suy y 6 Gi¶i hÖ ta cã V©þ sè cÇn t×m lµ 96 3.2 a 1, 4,9 (2,25 ®) a lµ sè chÝnh ph¬ng, nªn (1,25 ®) 0,25 0,50 0,50 0,50 (58) 2 Ta cã 81; 10 100 nªn kh«ng cã sè 9x nµo lµ sè chÝnh phơng Do đó a có thể là ad lµ sè chÝnh ph¬ng nªn ad chØ cã thÓ lµ 16, hoÆc 49 Nªn d chØ cã thÓ lµ hoÆc 0,25 (59) cd lµ sè chÝnh ph¬ng nªn cd chØ cã thÓ lµ 16, hoÆc 36, hoÆc 49 Nªn Nªn c chØ cã thÓ lµ 1, hoÆc 3, hoÆc a 1 d 6 vµ c 1 hoÆc c 3 , đó NÕu th× abcd 1b16 hay 1b36 vµ 1bc x hay x6 2 2 Ta cã: 26 676; 34 1156; 36 1296; 44 1936; 46 2126 ChØ chọn đợc 1936 abcd 4b49 x3 hay x7 Nếu a 4 thì d 9 và c 4 , đó 2 Ta có: 63 3969; 67 4489; 73 5329 Không chọn đợc số nµo VËy chØ cã c¸c ch÷ sè a 1, b 9, c 3, d 6 tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4.1 (1,25 ®) Ta cã: MN = MP (TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn c¾t nhau) Chứng minh đợc tam giác MAN và MNB đồng dạng MA MN MN MP MA.MB MN MB Suy ra: 4.2 (1,25 ®) 4.3 (2,0 ®) Để MNOP là hình vuông thì đờng chéo OM ON R Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đờng tròn t©m O ®i qua ®iÓm D, c¾t (d) t¹i M Chøng minh: Tõ M vÏ tiÕp tuyÕn MN vµ MP Ta cã MN MO ON R , nên Tam giác ONM vuông cân N Tơng tự, tam giác OPM vuông cân P Do đó MNOP lµ h×nh vu«ng Bµi to¸n lu«n cã nghiÖm h×nh v× OM R R + Ta cã: MN vµ MP lµ tiÕp tuyÕn cña (O), nªn MNOP lµ tø giác nội tiếp đờng tròn đờng kính OM Tâm là trung điểm H OM Suy tam giác cân MPQ nội tiếp đờng tròn đờng kính OM, tâm là H + Kẻ OE AB , thì E là trung điểm AB (cố định) Kẻ HL (d ) thì HL // OE, nên HL là đờng trung bình tam HL OE gi¸c OEM, suy ra: (không đổi) + Do đó, M động trên (d) thì H luôn cách dều (d) đoạn không đổi, nên H chạy trên đờng thẳng (d') // (d) vµ (d') ®i qua trung ®iÓm cña ®o¹n OE 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,5 0,25 (60) + Ta cã: OM lµ ph©n gi¸c gãc NMP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) KÎ tia ph©n gi¸c gãc PNM cắt đờng tròn (O) điểm F, đó NF FP (ứng với góc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng nhau) + Suy F trên OM, đó F là tâm đờng tròng nội tiếp tam gi¸c MNP + Vậy M động trên (d) thì tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đờng tròn (O) (2,0 ®) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + §êng th¼ng BC cã ph¬ng tr×nh d¹ng: y ax (®i a Do đó phơng qua B(0; 2) vµ qua C(-3; 0) nªn y x2 trình đờng thẳng BC là: CAD DCA 0,25 + Tam gi¸c ADC c©n t¹i D (gt), nªn , suy hệ số góc AD là số đối hệ số góc BC, nªn ph¬ng tr×nh cña AD cã d¹ng y x b Mµ , suy ra, ph¬ng tr×nh cña AD ®i qua A(1; 0) nªn 2 y x 3 đờng thẳng AD là: + Gäi E( m ; 0) thuéc ®o¹n CA th× ( m 1) §êng b th¼ng d song song víi AD nªn d: d : y y x b , d ®i 2m x 3 qua E nªn: + Phơng trình đờng thẳng BE: y ax BE qua m m 0 ; cßn nÕu m 0 th× BE Oy E(m; 0) nªn y x m Do đó phơng trình BE là: ( m 0 ) vµ a (61) x 0 (m = 0) + Phơng trình cho hoành độ giao điểm G BE vµ AD lµ: 2 2m x x x ; m 3 m 2(m 1) y m m 0; m 3 suy tung độ cña G: + Phơng trình đờng thẳng CG: y ax b , CG qua C vµ G nªn ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: 2( m 1) 3a b 0 a m 2ma 2( m 1) m b m b 6(m 1) m a Suy hệ số góc đờng thẳng CG là 2(m 1) m (62) 0,25 + Phơng trình đờng thẳng AB: y x +Phơng trình cho hoành độ giao điểm F AB và d là: 2m 3 m x x x 3 ; suy tung độ F là: y m + Phơng trình đờng thẳng CF có dạng: y a ' x b ' , CF qua C vµ F nªn: 2(m 1) 3a ' b ' 0 a ' 9 m m a ' 6( m 1) b ' m b' 9 m 2( m 1) a' a 9 m Suy hệ số góc đờng thẳng CF là: + Hai đờng thẳng CG và CF hai phía CA và có hệ số góc đối nhau, nên cùng tạo với CA (trục Ox) góc nhọn nhau, suy ra: CG và CF đối xứng qua CA 2 G 0; + Trêng hîp m 0 : BE: x =0, nªn , hÖ sè gãc cña CG lµ 3 2 F ; 1 a y x , hÖ sè ; đờng thẳng d: , tọa độ điểm a ' gãc cña CF lµ , bài toán còn đúng 0,25 0,25 0,25 6.1 + C©u: "NÕu mçi tÊm b×a mµ mÆt ch÷ c¸i lµ nguyªn ©m th× mặt là số chẵn" đúng kiểm tra các bìa mặt ch÷ c¸i nÕu lµ nguyªn ©m th× mÆt sau ph¶i lµ sè ch½n, cßn tÊm b×a nµo cã mÆt ch÷ c¸i lµ phô ©m th× mÆt sè lµ số chẵn lẻ không ảnh hởng Do đó lật bìa chữ A mà mặt sau là số lẻ, thì khẳng định câu trên không đúng, ngợc lại mặt sau lµ sè ch½n th× ph¶i lËt tiÕp mÆt sau cña tÊm b×a cã chữ số 3, mặt đó là phụ âm thì câu trên hoàn toàn đúng, ngợc lại là sai Còn mặt sau bìa chữ M có thể số chẵn lẻ đợc, nh mặt sau bìa số là nguyên âm phụ âm đợc, câu trên đúng VËy chØ cÇn lËt tèi ®a tÊm b×a ch÷ A vµ sè lµ cã thÓ kiểm chứng đợc câu trên là đúng 6.2 + Gäi x lµ sè häc sinh giái c¶ m«n V¨n, To¸n, Ngo¹i ng÷ (1,75 ®) (x > 0), dựa vào biểu đồ ta có: Sè häc sinh chØ giái mét m«n To¸n lµ: 70 49 32 x Sè häc sinh chØ giái mét m«n V¨n lµ: 65 49 34 x Sè häc sinh chØ giái mét m«n Ngo¹i ng÷ lµ: 62 34 32 x (1,25 ®) 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (63) + Có học sinh không đạt yêu cầu nên: 111 70 49 32 x 65 49 34 x 62 34 32 x 49 32 x 34 x 82 x 105 x 23 VËy cã 23 häc sinh giái c¶ m«n 0,50 0,25 Câu 1(3 điểm) 1.1)Cho số A gồm 100 chữ số và số B gồm 50 chữ số Chứng minh A-B là số chính phương 1.2) Chứng minh với nZ thì n +5n+16 không chia hết cho 169 Câu (5 điểm) 2.1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a, P= a + ab +b b, E= -x + 9x - 2.2) Cho biểu thức: K= - a, Rút gọn biểu thức K b, Tìm các giá trị nguyên x,y cho K=5 Câu 3(4 điểm) 3.1)Giải phương trình : 3.2) = y(y+4) ( Cho a , b là số nguyên dương thỏa mãn a+b=201 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: P = a(a + b) + b(b+ a) 3.3) Giải bất phương trình : | p-1| + |p-2| > p +3 Câu 4(6 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi E là điểm bất kì nằm trên cạnh BC(E≠ B,E≠C).Tia Ax vuông góc với AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AG tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD H Gọi M, N, P là ba (64) điểm bất kì thuộc cạnh BC,CD,DA(M≠E , M≠B, M≠C ; N≠H, N≠ C,N≠D)sao cho MNP là tam giác đều.Chứng minh : a, BE=DF b, AC BG c, CG.EF=CF.FH d, Chu vi tam giác CEH không đổi E di động trên cạnh BC e, CN - AP =2 DP.BM f,Xác định vị trí các điểm M,N,P để diện tích tam giác MNP nhỏ Câu 5( điểm) Chọn đề sau : Đề 1:Cho tam giác ABC vuông A và =75độ.Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho BH=2AC Tính Đề 2:Điểm M nằm tam giác ABC cho MA:MB:MC=3:4:5.Tính TRƯỜNG THCS MỄ SỞ Đề thi HSG Môn: Toán Thời gian : 120 phút Người đề: Hoàng Thị Phúc I Trắc nghiệm (Khoanh tròn vào đáp án đúng) Câu Gỉa thiết bài toán cho hình vẽ bên OA AB a/ OB =CD b/AOB ~ COD ~EOF OC CD AB OC O A B c/ OD =EF C d/ EF =OE Câu E AB AC AB AC AB AC AB AC a) ABC và DEF có DE = DF b) ABC và DEF có DE = DF c) ABC và DEF có DE = DF d) ABC và DEF có DE = DF D 600 F ^ ^ E ⇒ ABC ~ DEF và B= ^ F ^ ⇒ ABC ~ DEF và C= ^ ⇒ ABC ~ DEF và ^A= D và ^A= E^ ⇒ ABC ~ DEF (65) Câu EF EH ^ thì: Nếu hai tam giác EFH và GKL có GK GL và ^E=G H F=G ^ KL a/ E ^ b/ E ^F H=G ^L K KG H F=K ^L G c/ E ^F H=L ^ d/ E ^ Câu Cho MNP ~ EFH theo tỉ số k, MM’; EE’ là hai trung tuyến MNP và EFH ta chứng minh được: EE' a/ MM ' =k MM ' b/ EE' =k MM ' c/ EE' =k EE' d/ MM ' =k Câu 5: Cho x > thì A, x+ x ≥ 2 B, (x+ ) ≤ x D, x+ x ≤ C, x+ x ≥ Câu 6: Cho Q=|-2004.x| + 2003.x x<0 thì: A, Q= x B, Q= -4007 x C, Q= 4006 x Câu 7: Với giá trị nào a thì phân thức A, a<1 B, a>1 Câu 8: Với a, b, c mà c>0, a ≥ b thì A, ac ≥ bc B, ac < bc a− a +1 D, Q= -2 nhận giá trị không âm C, a ≥ D, a ≤ C, ac ≤ bc D, ac = bc II Tự luận Bài 1: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử: a) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 b) x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2) Bài 2: So sánh các cặp số sau: A= 1999 2001 và B= 20002 C=3n+1 +4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D = (2n+1)2+(2n-1)2 -2(4n+1) ( Với n nguyên dương.) Bài 3: Cho x2=a2+b2 +ab và a+b=c Chứng minh rằng: (66) 2x4 =a4+b4+c4 Bài 4: Cho x, y là số khác thoả mản x2+y = y2+x Tính giá trị biểu thức sau: A= 2 x + y +xy xy −1 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau: A = x2+5y2- 2xy+4y+3 B = (x2-2x) (x2-2x+2) Bài 6: Cho hình bình ABCD Một đường thẳng l cắt AB E, cắt AD F và cắt AB đường chéo AC G Chứng minh rằng: AE AD + AF AC = AG ĐÁP ÁN I Trắc nghiệm B C C C A D II: Tự Luận Câu a) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 =(x - y + y - z)[(x - y)2 -(x - y)(y - z) + (y - z)2] + (z - x)3 =(x - z)[(x - y)2 - (x - y)(y - z) + (y - z)2 - (z - x)2] =(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)] =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x) =3(x - z)(x - y)(z - y) b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) = x(y2 - x2 + x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) = x(y2 - x2) + x(x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) = (x2 - y2)(z - x) + (x2 - z2)(x - y) =(x - y)(z - x)(x + y - x - z) =(x - y)(z - x)(y - z) Câu B A (67) A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=20002-1<20002 ⇒ A<B C=3n+1+ 22 2n-1- 34 3n-3 - 23 2n-2 +1 C=3n+1+ 2n+1 - 3n+1 - 2n+1 + = D=(2n)2 +2.2n + +(2n)2 - 2.2n + - 2.(22)n - =22n + 2n+1 + + 22n - 2n+1 + -2.22n - = 2.22 n - 2.22n = ⇒ C>D Câu Ta có: x2 =a2+b2+ab ⇒ x4=a4 +b4 +a2b2 +2a2b2+2a3b+2ab3 x4 =a4+b4+a2b2 +2ab(a2+b2+ab) =a4+b4+a2b2+2abx2 (1) Mà c=a+b ⇒ c2=a2+2ab+b2 ⇒ c2=x2 +ab ⇒ c4=x4 +2abx2+a2b2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2x4=x4+a4 +b4+2abx2+a2b2 ⇒ 2x4=a4+b4+c4 (đpcm) Câu Ta có: x2+y = y2+x ⇔ x2-y2+y-x = ⇔ (x-y)[(x+y)-1] = Vì x y nên x+y-1 = ⇔ x+y = Từ đó ta có: A = 2 x + y − xy xy −1 = x+ y ¿ − xy ¿ xy −1 ¿ ¿ − xy = xy −1 Vậy A= -1 Câu A= x2 - 2xy + y2 + 4y2 + 4y + + = (x-y)2 + (2y+1)2 + Vì (x-y)2 0, (2y+1)2 với x, y ⇒ A Đẳng thức xảy x-y =0 ⇔ 2y+1=0 = -1 x=y ⇔ y= −1 (68) −1 Vậy giá trị nhỏ A là ⇔ x = y = B = (x2-2x)(x2-2x + 2) Đặt t = x2 - 2x ⇒ B = t(t +2) = (t+1)2 -1 -1 Đẳng thức xảy ⇔ t+1 =0 ⇔ x2 -2x +1 = ⇔ (x-1)2 = Vậy giá trị nhỏ B là -1 ⇔ x = Câu B Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Kẻ BM//EF và DN //EF với M,N trên AC Xét tam giác ABM có EG // BM nên AB AE = AM AG C E O G A N M F D (1) Xét tam giác ADN có FG // DN nên AD AF = AN AG (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có AB AE AD AM+ AN + AF = (3) AG Mặt khác: Δ ABM= Δ CDN(g.c.g) Suy AN =NC (4) Thay (4) vào (3) ta được: AB AE AD + AF = NC+ AN AG AC = AG (đpcm) (69) (70)