KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 PHÒNG GD&ĐT GIO LINH Khoá ngày 27 tháng 10 năm 2015 Đềthi môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,5 điểm): Cho biểu thức: P = 15 x - 11 x - 2 x + + x + x - 1- x x +3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên Bài (4,0 điểm): ( a) Cho hàm số: f ( x ) = x + x − ) 2012 Tìm f ( a ) với a = 3 + 17 + 3 − 17 b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x + y − z + z − x = (y + 3) Bài (4,0 điểm): a) Với a, b số nguyên a – b số nguyên chẵn Chứng minh rằng: Nếu 4a + 3ab − 11b chia hết cho (a2 - b2) chia hết cho 20 b) Tìm giá trị nhỏ A= xy yz zx + + với x,y,z số dương x2 + y2 + z2 = z x y Bài (4,5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E điểm thuộc đường kính AB (E khác A B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H AE vẽ dây cung CD đường tròn (O) vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) I Chứng minh rằng: a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng b) HI tiếp tuyến đường tròn (O’) c) HA2 +HB2 +HC2 +HD2 không đổi E chuyển động đường kính AB Bài (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N, O trung điểm AB, AC, BC Đường thẳng vuông góc với CM kẻ từ O cắt MN G, cắt AC P Chứng minh: D CMA a) D OPN b) G trọng tâm tam giác AMC Hết./ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GD&ĐT GL Năm học 2015-2016 Bài I a) 3,0 đ 4,5 đ (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) A= 15 = = Đáp án ( 15 x − 11 + x +3 15 x − 11 ( )( x −1 x +3 15 x − 11 − x + − x − x + − x ( ( )( ( x − 1) ( )( x −1 x − −5 x + x +3 ) x +3 ) = ) P= −5 x + ( ) x −2 x +3 − 1− x x +3 )( ) x −1 ( = = x + 3) 0,5 −5 x + x − )( x −1 x +3 ) II 4đ ( ) − x + + 17 x +3 = −5 + x + = 17 Û 17 x +3 x = 14 Û x = 196 0,5 0,5 0,5 a) 2,0 đ 3 Ta có: a = 3 + 17 + 3 − 17 Û a = − 6 + 17 + − 17 Û a + 6a − = Từ đó: f ( a ) = ( a + 6a − ) = ( a + 6a − − 1) = b) 2,0 đ Điều kiện x ≥ 0; y −z ≥ 0; z − x ≥ ⇔ y ≥ z ≥ x ≥ (b) ⇔ x + y − z + z − x = x + y − z + z − x + 3 2012 ⇔ ( x − 1) + ( y − z − 1) + ( z − x − 1) = x =1 x = ⇔ y − z = ⇔ y = (thỏa điều kiện) z = z − x = III 4đ 0,5 0,5 Do x + ≥ 17 số nguyên tố nên P Î ¢ Û 17M( x + 3) Û 0,75 0,5 −5 x + x +3 b) 1,5đ Ta có: x +3 + 2−3 x x +3 − x −1 x +3 = )( ) x − 11 + ( − x ) ( x + 3) − ( ( x − 1) ( x + 3) x −1 Điểm 0,25 15 x − 11 x − 2 x + + − = x + x − 1− x x +3 A= Môn: Toán 2012 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a) 2,0 đ Ta có : 4a2 + 3ab -11b2 M5 Þ (5a2 +5ab -10b2) – (a2 + 2ab + b2) M5 0,5 Þ (a2 + 2ab + b2) M5 Þ (a + b)2 M5 Þ (a + b)M5 ( Vì số nguyên tố) 0,5 Þ a2 – b2 = (a + b)(a – b)M5 a + b a – b có tính chẵn lẻ mà a – b số nguyên chẵn nên (a + b)(a – b)M4 ta có: (4, 5) = Do (a2 – b2 ) M20 b) 2,0 đ xy yz 0,5 0,5 zx A= z + x + y x2 y2 y2 z z x2 Nên A = + + + ( x2+y2+z2 =1) z x y 0,5 = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y y z x2 y y z + ³ = y2 2 2 z x z x 2 2 y z z x + ≥ 2z Tương tự x y 0,5 0,5 x2 y2 z2 x2 + ≥ 2x 2 z y Cộng vế với vế ta 2B ≥ ⇒ B ≥ Do A2 = B +2 ≥ nên A ≥ Vậy Min A = ⇔ x=y=z= IV 4,5 đ 3 0,5 a) 1,5 đ *Tứ giác ACED hình thoi (vì hai đường chéo vuông góc cắt trung điểm) Þ AC // DE (1) *I Î (O’), EB đường kính Þ EI ⊥ IB hay EI ⊥ BC; C Î (O), AB đường kính Þ AC ⊥ BC Þ EI // AC (2) *Từ (1) (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm) b) 1,5đ 0,5 0,5 0,5 CD Þ D HID cân · 'IB = B µ mà D · · · µ =B µ (cùng phụ với BCD Þ HID O ) = HDI · · ⇒ HID = O ' IB · ' = 900 , suy HI tiếp tuyến (O’) Do đó: HIO Trong tam giác vuông ICD có IH = HD = c) 1,5 -Ta có: HA2 + HC2 = AC2 ; HB2 + HD2 = BD2 - Mà BD = BC (do AB đường trung trực CD) Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2 -Mặt khác: ∆ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ∆ ACB vuông C ⇒ AC2 + BC2 = AB2 = 4R2 -Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi E chuyển động đường kính AB 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 V a) 1,0 đ 3,0đ Bài 5: *AMON hình vuông có bốn cạnh có góc 0,5 vuông · · · · *Xét D ONP D CAM có ONP=CAM=90 OPN=CMA (cùng phụ 0,75 · với ACM ) 0,25 D CAM Nên D ONP b) 1,5 đ NP ON ON = = = AM CA AB NG NP NP = = = Þ GM = 2GN Vì NP//OM nên: GM OM AM D ONP D CAM Þ 0,5 0,5 Mà MN trung tuyến tam giác MAC Do G trọng tâm 0,5 tam giác MAN *Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác tùy theo cách giải mà cho điểm tương ứng theo phần ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GD&ĐT GL Năm học 2015-2016 Bài I a) 3,0 đ 4,5 đ (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) A=... x + 3) − ( ( x − 1) ( x + 3) x −1 Điểm 0,25 15 x − 11 x − 2 x + + − = x + x − 1− x x +3 A= Môn: Toán 2012 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a) 2,0 đ Ta có : 4a2 + 3ab -11b2 M5 Þ (5a2 +5ab -10b2) – (a2