Đang tải... (xem toàn văn)
- Hai đa thức đã viết dới dạng thu gọn đợc gọi là đồng nhất hằng đẳng khi và chỉ khi các hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau.. HD: sử dụng phơng pháp [r]
(1)chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy đẳng thức đáng nhớ I) Nhân đơn thức với đa thức: KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A B + A C Bµi tËp ¸p dông: Bµi Lµm tÝnh nh©n: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); 2 c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y); e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x; g) (x2y - xy + xy2 + y3) 3xy2; h) x2y(15x - 0,9y + 6); 3 i) x4(2,1y2 - 0,7x + 35); Bµi §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng 3 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1 c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - víi a = -0,2 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p p2 -(p3 - 1) + (p + 3) 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a) Bµi §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc: a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2; 1 c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100) Bµi Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bµi Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x) Bµi tËp n©ng cao Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 víi x = 79 b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 víi x = c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + víi x = 31 d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x víi x = 14 Bµi Chøng minh r»ng : a) 356 - 355 chia hÕt cho 34 b) 434 + 435 chia hÕt cho 44 Bµi Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn Chøng minh r»ng: a) nÕu 2a + b 13 vµ 5a - 4b 13 th× a - 6b 13; b) nÕu 100a + b th× a + 4b 7; c) nÕu 3a + 4b 11 th× a + 5b 11; II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; Bµi tËp ¸p dông: Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); 1 c) x2y2(2x + y)(2x - y); d) ( x - 1) (2x - 3); 1 e) (x - 7)(x - 5); f) (x - )(x + )(4x - 1); (2) g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4); h) (2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); Bµi 2.Chøng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bµi Thùc hiÖn phÐp nh©n: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b) e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4) Bµi ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng ®a thøc: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bµi Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bµi T×m x, biÕt: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2) Bµi tËp n©ng cao Bài Chứng minh đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Bµi Cho a + b + c = Chøng minh M = N = P víi : M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bµi Sè 350 + cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ? HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho th× d hoÆc ThËt vËy nªu hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai số không chia hết cho thì tích chúng chia cho d ( tự chứng minh) Số 350 + chia cho d nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi 10 Cho A = 29 + 299 Chøng minh r»ng A 100 HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 211 + 26.222 - …-2.277 + 288) Thõa sè thø nhÊt + 211 2050 A 4100 A 100 Thõa sè thø hai ch½n III) Các đẳng thức đáng nhớ 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: 1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2 1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B) 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi TÝnh a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2 f) (x - )2 d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 Bµi ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét tæng: a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + ; c) 2xy2 + x2y4 + Bµi Rót gän biÓu thøc: a) (x + y)2 + (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2; c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z) Bài ứng dụmg các đẳng thức đáng nhớ để thực các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2); (3) Bµi H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); 2 c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2) Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) x2 - y2 t¹i x = 87 víi y = 13; b) x3 - 3x2 + 3x - Víi x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 víi x = 97; d) 25x2 - 30x + víi x = 2; e) 4x2 - 28x + 49 víi x = Bµi §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) víi x = - 5, y = -3; b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) víi a = -4, b = Bài Sử dụng đẳng thức đáng nhớ để thực các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2); d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3); e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1) Bµi T×m x, biÕt: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; 2 c) 3(x + 2) + (2x - 1) - 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19 Bài 10.Tính nhẩm theo các đẳng thức các số sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19 21; 29 31; 39 41; c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562; Bài 11 Chứng mih các đẳng thức sau: a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2; 6 2 2 2 c) a + b = (a + b )[(a + b ) - 3a b ]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2] C¸c bµi to¸n n©ng cao Bài 12 Chứng minh các đẳng thức sau: X4 + y + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2; Bµi 13 H·y viÕt c¸c biÓu thøc díi d¹ng tæng cña ba b×nh phong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Bµi 14 Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2) Chøng minh r»ng a = b Bµi 15 Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chøng minh r»ng a = b =c Bµi 16 Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) Chøng minh r»ng a = b = c Bµi 17 Cho a + b + c = (1) a2 + b2 + c2 = 2(2) TÝnh a4 + b4 + c4 Bài 18 cho a + b + c = Chứng minh đẳng thức: a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2; a b2 c 2 c) a4 + b4 + c4 = ; Bµi 19 Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + Bµi 20 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 3x + 5; b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2; Bµi 21 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A = - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bµi 22 Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3 Bµi 23 Cho x + y = a; xy = b TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; 3 Bµi 24 a) cho x + y = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x + y + 3xy b) cho x - y = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy Bµi 25 Cho a + b = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b) Bµi 26 Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2; d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2; e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3; (4) h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a) Bài 28 Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Bµi 29 Cho a + b + c = chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc Bµi 30 Chøng minh r»ng: a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng Bµi 31 a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - ch÷ sè 0) Chøng minh r»ng: ab + lµ sè chÝnh ph¬ng b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng c¸ch viÕt chÌn sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tríc : 16, 1156, 111556, … Chứng minh số hạng dãy là số chính phơng Bµi 32 Chøng minh r»ng ab + lµ sè chÝnh ph¬ng víi a = 11…12(n ch÷ sè 1), b = 11…14(n ch÷ sè 1) Bµi 33 Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè Chøng minh r»ng a + b + c + lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi 34 Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph¬ng: 11 22 11 44 1 n n a) A = n b) B = n Bµi 35 C¸c sè sau lµ b×nh ph¬ng cña sè nµo ? 99 00 25 99 9800 01 n n a) A = n ; b) B = n ; 44 488 89 11 122 25 n n1 c) C = n ; d) D = n chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử I) Phơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö *) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö (5) a) 3x - 3y b) 2x 5x3 x y c)14x 21xy 28x y d)4x 14x e)5y10 15y f)9x y 15x y 21xy g)x(y 1) y(y 1) h)10x(x y) 8y(y x) i)3x (x 1) 2(x 1) j)a(b c) 3b 3c k)a(c d) c d l)b(a c) 5a 5c m)b(a c) 5a 5c n)a(m n) m n o)mx my 5x 5y p)ma mb a b q)1 xa x a r)(a b)2 (b a)(a b) t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b ) Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a)2x(x+3)+2(x+3) b)4x(x-2y)+8y(2y-x) c) y (x y) zx zy d)3x(x 7)2 11x (x 7) 9( x 7) e)(x 5)2 3(x 5) f)2x(x 3) (x 3)2 g)x(x 7) (7 x)2 h)3x(x 9)2 (9 x)3 i)5x(x 2) (2 x) j)4x(x 1) 8x (x 1) k)p m 2 q p m 1 q p q n 1 p.q n 3 o)5x (x 2z) 5x (2z x) p)10x(x y) 8y(y x) q)21x 12xy r)2x(x 1) 2(x 1) t)4x(x 2y) 8y(2y x) (6) Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 4x2 6x; b)21x2 y 12xy2 ; c)x3 x2 2x; d)3x x 1 x2 x 1 ; e)x2 y2 z xy2 z2 x2 yz; f )2x x 1 x 1 ; g)4x x 2y 8y 2y x Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) 15.91,5+ 150.0,85 b) 5x (x 2z) 5x5 (2z x)t¹i x= 1999; y= 2000; z= -1 Bµi 4: T×m x, biÕt a) 5x(x-2)-(2-x)= b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1) c) x(2x-1)+ x 0 3 d)x(x 4) (x 4) 0 e)x2 5x 0; f )3x(x 2) 2(2 x) 0; g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) 0 Bµi 5:Chøng minh r »ng a) B×nh ph ¬ng cña mét sè lÎ chia cho th× d b) B×nh ph ¬ng cña mét sè lÎ chia cho th× d Bµi 6: chøng minh r»ng: n n 1 2n n 1 lu«n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n II) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dung đẳng thức: 1) Phơng pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng đẳng thức A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - B2 = (A - B)(A + B) A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3 (7) A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2) 2)Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 - 9; b) 4x2 - 25; 6 c) x - y d) 9x2 + 6xy + y2; e) 6x - - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + 36 y2 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2 3 n) x + y + z - 3xyz Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001 c) x6 - y3; d)125x3 - e) x -3x + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1; 4abcd a b c d cd a b ab c d b) M = Bµi TÝnh nhanh: a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132 2 c) 73 -27 ; d) 372 - 132 e) 20092 - 92 Bµi T×m x, biÕt a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25 c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1 e) x3 + 3x2 = -3x - Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5; c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12 Bµi Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m a) x2 - 2xy + y2 + a2; b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1; d) x2 + y2 +2x + 6y + 10; Bµi Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷: a) x2 + y2 - 2xy + x - y + b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz Bµi Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö 1) Kiến thức bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp cho phân tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y 2 2 d) x + 4x - y + 4; e) 3x + 6xy + 3y - 3z ; f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2; g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay; 2 j) a - a x - ax + xy; k) 7a -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bµi Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by; Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4; c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4; Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y; c) 21bc - 6c - 3c +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3; (8) c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2 Bµi T×m x, biÕt: a) x3 + x2 + x + = 0; b) x3 - x2 - x + = 0; c) x2 - 6x + = 0; d) 9x2 + 6x - = e) x(x - 2) + x - = 0; f) 5x(x - 3) - x + = Bµi TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau; a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45 b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5 Bµi TÝnh nhanh : a) 37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) Bµi 10 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3 IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: - §Æt nh©n tö chung - Dùng đẳng thức - Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16; 3 d) a + a + a b + a b e) a + 3a + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3; g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab; i) 4a2 - 4b2 - 4a + 1; j) a3 + 6a2 + 12a + 8; k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3; 2 c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2 e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc; g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x; 2 i) x - 11x + 30x; j) 4x - 21x y + y4; 2 k) x + 4x - 7x - 10; l) (x + x)2 - (x2 + x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15; o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - Bµi 2: T×m x, biÕt a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - x = 0; 2 d) (2x - 1) - (x + 3) = e) x (x - 3) +12 - 4x =0 Bµi TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc: 1 a) x2 + x + 16 t¹i x = 49,75; b) x2 - y2 - 2y - t¹i x = 93 vµ y = To¸n khã më réng: Bµi a) Sè 717 + 17 - chia hÕt cho Hái sè 718 + 18.3 - cã chia hÕt cho kh«ng? b) Biến đổi thành tích các biểu thức: A = + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2] Bài Chứng minh các đẳng thức sau: 1) x6 + 3x2y2 + y6 = Víi x2 + y2 = 2 2 2) x + x y + y = a - b víi x2 + y2 = a, xy = b 3 3 6 3) (a + b - a b ) + 27a b = víi ab = a + b 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 víi a + b + c = 2p Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - - b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - víi x = 11 Bµi Rót gän: a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) 22 23 24 2n 3(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) (2 1) b) Më réng: B = Bµi Chøng minh: a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = Bµi Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) víi a + b + c = (9) Bµi 10 Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho Chøng minh r»ng A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho V) Một số phơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử 1) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c 1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c - Bíc 1: T×m tÝch ac - Bíc 2: Ph©n tÝch a.c tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch - Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy: Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4; d) x2 - x - 6; e) x2 + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36; 2 g) x +3x - 18; h) x - 5x - 24; i) 3x - 16x + 5; j) 8x2 + 30x + 7; k) 2x2 - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20 1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a Trong đó a là ớc số an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - LÇn lît kiÓm tra víi x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - = Đa thức có nghiệm x =2, đó chứa thừa số x - Ta t¸ch nh sau: C¸ch 1: x3 - x2 - = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2) 3 C¸ch 2: x - x - = x - - x2 + = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + - x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) 2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Khi đa thức phức tạp, có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” đa thức để phân tích 2.1) VÝ dô Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngợc trở lại y = x2 + x + vào đa thức f(x) ta đợc: f(x) = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + = y2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngợc trở lại y = x2 + 5x + ta đợc f(x) = (x2 + 5x + - 4)(x2 + 5x + + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Phơng pháp thêm, bớt hạng tử thích hợp để làm xuất đẳng thức hiệu hai bình ph¬ng *) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) x8 + x4 + 1; b) x4 + 4; HD: a) x8 + x4 + = x8 + 2x4 + - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2] = [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( x)2] = (x2 +1 - x)(x2 + - x)(x2 + + x)(x2 + + x) *) Bµi tËp ¸p dông : Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ Bµi a) Ph©n tÝch n4 + 19 4 4 4 20 4 4 b) ¸p dông: Rót gän S = 4) Phơng pháp xét giá trị riêng: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Gi¶i: (10) Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = Nh vËy P chøa thõa sè x = y thay x y, y z, z x thì P không đổi Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x) vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x) Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với x, y, z, Nên ta gán x = 2, y = 1, z = vào đẳng thức ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x) C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn Bµi 1: Ph©n tÝch thõa sè nguyªn tè a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27; c) 2x2 - 5xy + 3y2; d) 2x2 -5xy - 3y2 Bµi Ph©n tÝch thõa sè nguyªn tè: a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6; c) x3 + 5x2 + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16; e) x3 - x2 - 4; f) x3 - x2 - x - 2; g) x + x - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch) x3 - 7x - Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; 2 c) (x + x + 1)(x + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24; e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2; g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phơng pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ) a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc HD: §Æt x = a + b, y = a - b Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; e) 4x4 + 1; f) 64x4 + y4; g) x + 324; h) x8 + x + 1; i) x + x + 1; j) x + x4 + 1; k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - Bài Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63 Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x8 + 98x2 + Bµi 10 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d¬ng) a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c chuyên đề chia đa thức cho đa thức I) Chia đơn thức cho đơn thức (trờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B) 1) Ph¬ng ph¸p: - Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B - Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừa biến đó có B - Nhân các kết tìm đợc với 1) VÝ dô vµ bµi tËp: Bµi Lµm phÐp tÝnh chia: a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32; 16 14 1 1 : c) ; Bài Chia các đơn thức: a) -21xy5z3 : 7xy2z3; c) x2yz : xyz; e) 18x2y2z : 6xyz; g) 27x4y2z : 9x4y; 3 i) ( m2n4) : m2n2; 21 18 3 3 : d) 1 b) ( a3b4c5) : a2bc5; d) x3y4 : x3y; f) 5a3b : (-2a2b); h) 9x2y3 : (-3xy2); j) 5x4y3z2 : 3xyz2; (11) k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); n) (x + y)2 : (x + y); l) (a - b)5 : (b - a)2; m)(x - y)5 : (y - x)4; 2 ¬) 0,5ambnc3 : ( a2bc); o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c) Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: (-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x = vµ y = -1 Bµi Thùc hiÖn phÐp chia: 1 a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x); c) ( a3b6c2 + a4b3c - 10 a5b2c3) : a3bc; d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2 e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2) Bài Với giá trị nào n thì thực đợc các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm đợc hãy thực phép chia đó a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y; n c) 6x y : 5x y ; d) xnyn+2 : 3x3y4 II) Chia đa thức cho đơn thức 1) Phơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B - Chia hạng tử đa thức A cho đơn thức B - Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (7 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83; Bµi Lµm tÝnh chia: a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy); 1 c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2; d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2); e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4); f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2 g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b); 2 i) (x + 3x y + 3xy + y ) : (2x + 2y) Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 15 a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4); b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc; c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + - 43n + chia hÕt cho 17 ( n thuéc N) Bµi Lµm tÝnh chia: a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y); 3 c) (x - 8y ) : (x + 2y); d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3 e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3 Bµi Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2 A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + III) Chia đa thức biến đã xếp: 1) Ph¬ng ph¸p chung: - Chia hạng tử cao đa thức bị chia cho hạng tử cao đa thức chia thì đợc hạng tử cao nhÊt cña th¬ng - Nhân hạng tử cao thơng với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích vừa tìm đợc, ta đợc d thø nhÊt - Chia hạng tử cao đa thức d thứ cho hạng tử cao đa thức chia ta đợc hạng tử thứ hai cña th¬ng - Nhân hạng tử thứ hai thơng với đa thức chia lấy d thứ trừ tích vừa tìm đợc, ta đợc d thứ hai - Lặp lại quá trình trên khi: +) d cuối cùng thì phép chia có d và đợc gọi là phép chia hết (12) +) d cuối cùng khác và bậc đa thức d thấp bậc đa thức chia thì phép chia đó đợc gọi là phép chia có d 2) Ký hiÖu: A(x) lµ ®a thøc bÞ chia; B(x) lµ ®a thøc chia; Q(x) lµ ®a thøc th¬ng; R(x) lµ ®a thøc d; Ta lu«n cã: A(x) = B(x) Q(x) + R(x); - NÕu R(x) = th× A(x) = B(x) Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt - NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x) Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Lµm tÝnh chia: a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3); c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3); Bµi S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn: a) (12x2 - 14x + - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2); b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x); c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1); d) (x3 - 7x + - x2) : (x - 3); e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - + 6x) : (x2 - 2); f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5); h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1); i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2); j) (-3x2 + 10x3 - x - + 12x4) : (x + + 3x2); k) (5x + 3x2 - + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2); l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1); n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4 - x - 14) : (x - 2) Bµi Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trêng hîp kh«ng chia hÕt; a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5) HD: a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt: x3 + 2x2 - 3x + = (x + 3).q(x) + r Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta đợc: r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + = vËy d phÐp chia lµ b) Ta thấy thơng bớc thứ phép chia là 3x và đó đa thức d thứ là 2x Vì 2x - có bậc nhỏ 3x2 - 2x + nên không thể thực tiếp phép chia đợc Do đó phép chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - Bµi Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trêng hîp kh«ng chia hÕt a) (8x2 - 6x + 5) : (x - ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1) Bµi TÝnh nhanh: a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a); b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a); c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1); d) (64a3 - 27 b3) : (16a2 + ab + b2) 4) Một số phơng pháp khác để tìm đa thức thơng và đa thức d: 4.1) Phơng pháp đặt phép chia: VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + Gi¶i Thùc hiÖn phÐp chia x3 + ax + b x2 + x - x3 + x2 - 2x -x2 + (a +2)x + b x-1 -x2 x + (a + 3)x + (b -2) Để chia hết, đa thức d phải đồng băng 0, nên : (13) a 0 a b 0 b 2 vËy víi a = -3; b = th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 4.2) Phơng pháp hệ số bất định - NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ngêi ta goi lµ hai ®a thøc h»ng đẳng hai đa thức đồng Kí hiệu f(x) g(x) - Hai đa thức (đã viết dới dạng thu gọn) đợc gọi là đồng (hằng đẳng) và các hệ số các đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức đó là *) VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + Gi¶i §a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt, h¹ng tö bËc nhÊt lµ x3 : x2 = x Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã: x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c) x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c Hai đa thức trên đồng nên : c 0 c c a a 2c b b 2 VËy víi a = -3, b = th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th¬ng lµ x - 4.3) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng *) VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + Gi¶i Gäi th¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - lµ Q(x), ta cã: x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x) Vì đẳng thức đúng với x, nên lần lợt cho x = 1, x = -2 ta đợc : 1 a b 0 a b a 2a b 0 2a b 8 b 2 Víi a = -3; b = th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - vµ th¬ng lµ x - 4.4) Phơng pháp vận dụng vào định lý Bơdu a) §Þnh lý: Sè d phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a.(NghÜa lµ r = f(a)) b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a vµ chØ f(a) = C¸c bµi tËp ¸p dông cho c¸c ph¬ng ph¸p trªn Bài Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + là bình phơng đa thức HD: sử dụng phơng pháp hệ số bất định, ta có đáp số x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + = (x2 - 3x - 1)2 x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + = (x2 - 3x +1)2 Bài Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - HD: sử dụng phơng pháp giá trị riêng, ta đợc kết a = 2; b = - Bài Xác định các hệ số a và b cho: a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1; b) 2x3 + ax + b chia cho x + d -6, chia cho x - d 21 HD: ta cã kÕt qu¶ a) a = 1; b = 1; b) a = 3; b = -1 Bài Tìm các giá trị nguyên x để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1; b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - HD a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + d lµ -3 Suy -3 (x + 1) x {0; -2; 2; -4} b) x {3; 1; 5; -1} Bài Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho x + HD *) C¸ch (§Æt phÐp chia ®a thøc) A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) đợc thơng là a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + - §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ -a2 + a + = 0, giải phơng trình ta đợc a = -2; a = *) Cách (Dùng phơng pháp hệ số bất định) +) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : = -2a (14) +) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phơng pháp đồng để tìm a = -2; a = vµ kÕt luËn *) C¸ch (Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng) Bài Xác định số a cho: a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3; b) 2x2 + ax + chia cho x - d 4; c) ax5 + 5x4 - chia hÕt cho x - Bài Xác định các số a và b cho: a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2; d) x4 + chia hÕt cho x2 + ax + b Bµi T×m c¸c h»ng sè a vµ b cho x3 + ax + b chia cho x + th× d 7, chia cho x - th× d - Chuyên đề phân thức đại số I) Phân thức đại số: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là biểu thức có dạng B , đó A, B là đa thức, B là đa thức khác đa thức A lµ tö thøc (tö) B lµ mÉu thøc Mỗi đa thức đợc coi là đa thức có mẫu là b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau: A C A C Víi hai ph©n thøc B vµ D , ta nãi B = D nÕu A.D = B.C 2) Bµi tËp: Bài Dùng định nghĩa hai phân thức chứng minh các đẳng thức sau: x2 x 2 x x y x3 y x2 x x 2 35 xy ; a) b) ; 3 x x 6x x 4x x 2x 9 x c) x ; d) 10 x ; x x 3x y 20 xy x 5 x e) ; f) ; 2 x x x2 x x x 3x x 1 x 1 x ; g) x ; h) x3 x 2 i) x x Bài Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, hãy tìm đa thức A đẳng thức sau A x 3x x 3x x A 2x ; a) x x ; b) 4x2 x A x2 x x2 2x x2 x x 1 ; A c) d) x x Bài Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn nhóm học tập tìm chỗ sai Em hãy sửa sai cho đúng x x 13x x 1 x2 x2 a) x ; b) x x x ; x2 x c) x x ; Bµi Ba ph©n thøc sau cã b»ng kh«ng? x2 x x x2 ; ; x2 x 1 x2 x Bài Tìm tập xác định các phân thức sau: x2 5x x2 x 2 d) x 3x x x (15) x2 a) x ; b) x x ; x x 1 2 c) x x ; d) x x Bài tìm các giá trị biến để các biểu thức sau 3x x2 x a) x ; b) x ; 2 x 3x x 2x 2 x 1 ; c) d) x x ; x x3 x x4 5x2 4 e) x x x x ; f) x 10 x Bài Tìm các giá trị nguyên biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: x 1 a) x x ; b) x ; c) x ; II) Tính chất phân thức đại số: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt: A A.M - TÝnh chÊt 1: B B.M (M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0) A A: M - TÝnh chÊt 2: B B : M (M lµ nh©n tö chung kh¸c 0) A A b) Quy tắc đổi dấu: B B 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng c¸c đẳng thức sau: x x2 x x x3 24 x a) x ; b) x ; x 3xy x y 3 y x x xy y x y y x2 ; c) ; d) x y 5x y x3 x y 2x x x e) ; f) Bài Biến đổi phân thức sau thành phân thức nó và có tử thức là đa thức A cho trớc 8x2 8x 4x , A 1 x , A= 12x +9x x 15 x a) x ; b) ; Bài Dùng tính chất phân thức để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức b»ng nã vµ cã cïng tö thøc x x 5 x 25 a) x vµ x ; b) x vµ x ; Bài Dùng tính chất phân thức quy tắc đổi dấu để biến đổi cặp phân thức sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc: 3x 7x 4x 3x a) x vµ x ; b) x vµ x ; 2x x 3 x x 1 x 3 x 1 x c) x x 16 vµ x ; d) vµ ; Bµi C¸c ph©n thøc sau cã b»ng kh«ng? x3 y x2 x2 x2 2 a) xy vµ y ; b) x y vµ x y ; (16) 1 x x 3( x 1) 3( x 1) 2 c) ( x 1)(3 x ) vµ ( x 1)( x 3) ; d) (1 x) vµ ( x 1) ; Bµi H·y viÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc cã mÉu thøc lµ - x3; x2 x x 1 a) x ; b) x ; c) x x Bài áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phơng trình các phân thức sau: xy x2 a) x x ; b) x ; y x2 x 1 c) x y ; d) x Bµi ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng mÉu thøc: x x y a) x vµ x ; b) y vµ x ; 2x y x x 1 1 x 3 4 c) x y vµ x y ; d) x y vµ x y Bµi ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng tö thøc: x x y y a) x vµ x ; b) vµ x ; x2 y2 x3 y x2 y3 x y c) x xy vµ x ; d) x y vµ x y ; III) Rót gän ph©n thøc 1) Ph¬ng ph¸p: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử và mẫu cho nhân tử chung đó 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 14 xy (2 x y ) xy (3x 1)3 2 a) 21x y (2 x y ) ; b) 12 x (1 x) ; 20 x 45 c) (2 x 3) ; 80 x 125 x e) 3( x 3) ( x 3)(8 x) ; 32 x x x3 x 64 g) ; x2 5x i) x x x xy x y k) x xy x y ; x 10 xy d) 2(2 y x ) ; ( x 5) 2 f) x x ; x3 x h) x ; 10 xy ( x y ) J) 15 xy ( x y ) ; x 14 x n) x x ; x xy 2 o) y x ; x 12 x 12 x4 8x l) ; 2a 2ab m) ac ad bc bd ; 2x y 2 ¬) x xy y ; 2a p) a ; x x3 v) x x ; x2 x q) x x 15 ; x7 x4 u) x ; (17) 24,5 x 0,5 y ( x 2) ( x 2) 2 16 x ) ; x) 3,5 x 0,5 xy ; (a b)(c d ) a 3a 2a 2 2 a 2 y) ; z) (b a )( d c ) Bài Chứng minh các đẳng thức sau: x y xy y xy y x 3xy y 2 2 2x y ; x y a) x xy y b) x x y xy y Bµi §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc: 45 x (3 x) y x2 3 a) 15 x ( x 3) ; b) x 3x y 3xy y Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: ax a x x3 x x 2 a) a ax x víi a = 3, x = ; b) x x víi x = 98 x3 3x c) x x víi x = ; 10ab 5a 1 e) 16b 8ab víi a = , b = ; 2x y 2 g) 0, x 0,8 y víi x + 2y = 5; x x3 d) x x víi x = ; a7 1 15 f) a a víi a = 0,1; a b c 2ab 2 e) a b c 2ac ; a b2 2 f) a a b b ; a (b c ) b ( c a ) c ( a b ) a (b c) b (c a ) c ( a b) h) ; x2 y h) 1,5 x 4,5 y víi 3x - 9y = a b Bµi Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a b Bµi Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x x2 y2 2ax x y 3ay a) ( x y )(ay ax ) ; b) 4ax x y 6ay ; Bµi tËp n©ng cao Bµi Rót gän c¸c biÓu thøc m4 m ab a a 2b a 3b b a) 2m 2m ; b) ; xy x y ax ay bx by c) y z yz ; d) ax ay bx by ; a3 1 g) 2a 4a ; x (a b) x ab i) x (a b) x ab ; 3x3 x x x 3x ; k) a2 x b2 x x x n) a b ; 33 x 33 y x y o) ; a (b c) b (c a ) c (a b) ab ac b3 bc p) ; x a b 2bc 2ax c 2 2 j) x b a 2bx 2ac c ; x x 2 l) x x (2a 3b) m) 2a 3b ; 24 m 24 n 2n 2m ¬) ; x x 12 x 45 q) x 19 x 33 x ; (18) x y z 3xyz x y z 3xyz 2 2 2 u) ( x y ) ( y z ) ( z x) ; ) ( x y ) ( y z ) ( z x) Bài Tìm các giá trị x để các phân thức sau x x3 x x4 5x2 4 a) x x x x ; b) x 10 x Bµi ViÕt gän biÓu thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1) HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất biểu thức liên hợp x2 y2 z 2 2 Bµi 10 Rót gän ( y z ) ( z x) ( x y ) biÕt r»ng x + y + z = 3x y Bµi 11 TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A = x y , biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0 HD x y 12 xy 20 xy 12 xy xy 2 Ta cã A2 = x y 12 xy 20 xy 12 xy 32 xy x y 0,3 x y A Do 2y < 3x < vËy A = 4 (1 4)(5 4)(9 4) (214 4) 4 4 Bµi 12 Rót gän biÓu thøc: P = (3 4)(7 4)(11 4) (23 4) HD XÐt n4 + = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 (21.23 2)(23.25 2) 23.25 577 Do đó P = (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) Bµi 13 Cho ph©n sè A = 1, 00 01 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n HD 10100 100 Ta có A = 10 Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta đợc: 100 100 100 100 10 (10 1) 99 00 0, 99 00 10200 99 100 100 200 A= (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn phân số) (a b2 c )(a b c)2 (ab bc ca )2 (a b c) (ab bc ca) Bµi 14 Cho ph©n thøc: M = a) Tìm các giá trị a, b, c để phân thức có nghĩa b) Rót gän biÓu thøc M HD: a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = a+b=b+c=c+a a = b = c điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời 0, tøc lµ a2 + b2 c2 b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, đó dặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y x ( x y ) y x xy y ( x y )2 x y a b c ab bc ca x y x y Ta cã M = x y y (19) (§iÒu kiÖn lµ a2 + b2 c2 0) IV) Quy đồng mẫu thức 1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc: - Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn) - LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷: +) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu +) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt 2) Bµi tËp ¸p dông C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao Bài Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 25 14 11 , , a) 14 x y 21xy ; b) 102 x y 34 xy ; 3x 1 y x 1 x , , 4, 3 c) 12 xy x y ; d) x y x y xy ; 2x , 2, e) 10 x y x y 3xy ; 2x x , g) ( x 2) x ( x 2) ; Bài Quy đông mẫu thức các phân thức sau x 3x , 2 a) x x x ; 4x x , ; f) x( x 3) 3x ( x 1) , h) 3x 12 x (2 x 4)( x 3) x 1 x2 , 2 b) x x x x ; x y , , 2 d) x x y y x ; x x 1 x , , f) x x x x x ; a d ad , 2 h) a ab ad bd a ab ad bd ; x 3x 2x , , x 1 x x 1 x ; c) 5x 4x , , e) x x 12 x x x x ; a x ax , 2 2 g) x ax 2a x 4ax 4a ; x y z , , 2 2 2 2 i) x xy y z x y yz z x xz y z ; x x2 y , ,x y , , 2 x y x xy y x x x x j) ; k) ; x2 x 1 x 1 , , 2 l) x x x x x x Bài Quy đồng mẫu thức các phân thức: ax bx b a x 1 x 2a , 2, , 2 a) axb a xb axb ; b) x 4ax 4a x 2ax ; ax a x a b a c , , 2 2 2 c) x ax 2a x 4ax 4a ; d) a bc ac ab a bc ac b ; x x2 x x2 x 2x 1 , , , , 2 e) x 27 x x x 3x ; f) x 3x x x x x Bài Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện) x x 1 2x a x x2 , , , , 2 a) x 2 x x ; b) x a x ax a x a ; 24 4x 18 x 1 x 2x , , , , 2 c) x x x x x x ; d) x x x x x x ; 2x y xy , , 2 2 2 e) x xy y 3x xy y 3x xy y Bài Rút gọn quy đồng mẫu thức các phân thức sau (20) x2 5x x2 x , 2 x 4x ; a) x x x x 26 x3 x 10 x 12 , 3 2 c) x x 17 x 13 x x x 16 ; x3 x x x3 x , 3 b) x x x x x 3x ; x y z xy yz zx x y z xyz , x y z yz ( x y ) ( y z ) ( z x) d) x x2 , 2 Bµi Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc x x 15 x x 10 a) Chia đa thức B lần lợt cho các mẫu hai phân thức đã cho b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho , 2 Bµi Cho hai ph©n thøc: x x x x Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho Hãy quy đồng mẫu thøc V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè 1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu 2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau: - Quy đồng mẫu thức các phân thức - Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau đã quy đồng) 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Céng c¸c ph©n thøc cïng mÉu thøc: x2 2 x 1 2x y 2x 3 x( x 1) ; 6x y ; a) x y x y b) x( x 1) 3x x2 6x 2 c) x x x x ; Bµi Céng c¸c ph©n thøc kh¸c mÉu thøc: 11 2 a) x y 12 xy 18 xy ; x 38 x x x 2 d) x 17 x x 17 x 1 x 2 c) x x x x x ; x x xy 2 e) x y x y y x Bµi Céng c¸c ph©n thøc: 1 a) ( x y )( y z ) ( y z )( z x) ( z x )( x y ) ; 3 b) ( y x )( z x) ( y x)( y z ) ( y z )( x z ) ; x2 2 d) x x x 1 x ; x y x 1 15 x y x y xy ; b) 3x 3x x3 x 2x c) x x x x ; d) x x x x ; y 4x x 14 2 e) x xy y xy ; f) x x ( x x 4)( x 2) ; 1 1 g) x ( x 2)(4 x 7) ; h) x ( x 3)( x 2) ( x 2)(4 x 7) ; Bài Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung thực phép cộng 5x 3x 3x 3x 2x 2x 4x2 ; a) x x x ; b) x 1 c) x( x y )( x z ) y ( y x)( y z ) z ( z x)( z y ) ; (21) 3 d) ( a x)(c x) ( a x)( a c) ( a c)( x c) ; 1 e) a (a b)(a c) b(b a )(b c ) c (c a )(c b) Bµi Lµm tÝnh céng c¸c ph©n thøc 11x 13 15 x 17 x 1 32 x 1 2x 2 4x ; 2x x ; a) x b) x x x 1 2x x4 x3 x x 2 x x x x x x c) ; d) ; x x 1 2x 2 y ; e) x y xy f) x x( x 3) ; 3x 25 x g) x x 25 x ; x x 17 2x x 1 x x 1 x ; i) Bµi Cho hai biÓu thøc: 1 x A = x x x( x 5) , Chøng tá r»ng A = B Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2x 1 x x x x víi x = 10; a) A = x x2 h) x4 1 1 x2 ; B = x 5 x4 x3 x x b) B = x víi x = -99 C¸c bµi tËp n©ng cao a b x2 Bài Tìm các số a và b cho phân thức x x viết đợc thành x ( x 1) HD: Dùng hai phơng pháp (hệ số bất định xét giá trị riêng) để tìm a và b sau quy đồng Bµi Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x x y y z z x y z x yz zx ; a) xy b) ( x y )( y z ) ( y z )( z x) ( z x)( x y ) Bµi 10 Céng c¸c ph©n thøc : 1 2 2 (b c )(a ac b bc) (c a )(b ab c ac ) (a b )(c bc a ab ) (§Ò thi häc sinh giái líp toµn quèc 1980) Bµi 11 Rót gän biÓu thøc : 1 A = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x Bài 12 Tìm các số A, B, C để có : x2 x A B C 3 ( x 1) ( x a) ( x 1) x Bài 13 Chứng minh đẳng thức : a 3ab 2a 5ab 3b a an ab bn a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab VI) Phép trừ các phân thức đại số 1) Phân thức đối: - Hai phân thức đợc gọi là đối tổng chúng (22) - C«ng thøc: 2) PhÐp trõ: A A A A B B vµ B B A C A C - Quy tắc: Muốn trừ phân thức B cho phân thức D , ta cộng B với phân thức đối D A C A C B D B D - C«ng thøc: 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi Lµm tÝnh trõ c¸c ph©n thøc: 3x x x 5 15 x xy xy x y x3 y ; a) ; b) x 3x c) x 2 x ; xy x2 2 y x2 ; e) x y x x g) x 10 x 10 ; x i) x x x ; x 1 x x(1 x) x2 ; k) x x 9x 5x 2 d) 2( x 1)( x 3) 2( x 1)( x 3) ; 5x y y x2 xy ; f) x y x 9 2 h) x x 3x ; x 3x 2 x 1 x2 ; j) 3x 1 x 3 x 1 x2 ; l) ( x 1) 3x 3x 2 m) x x x x x 3x 3 2 n) x x x ; Bài Theo định nghĩa phép trừ, viết A C E A C E B D F B D F áp dụng điều này để làm các phép tính sau: 18 x 1 3x 2 a) x 3x x ; b) ( x 3)( x 9) x x x Bµi rót gän c¸c biÓu thøc : 3x x 1 x x2 x3 x2 x 1 x ; x3 1 ; a) b) x x x 36 c) x x x x Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 1) ; 1 a ( a b)(a c ) b(b a )(b c ) (a c)(c b) b) Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: x2 1 x víi x = 99; a) A = x x x 1 x b) B = x x x víi x = C¸c bµi to¸n n©ng cao Bµi Rót gän c¸c biÓu thøc : A (23) a a a a) A = x( x a ) ( x a )( x 2a ) ( x 2a)( x 3a ) x 3a ; 1 1 (3n 2)(3n 5) ; b) B = 2.5 5.8 8.11 3 3 (3n 2)(3n 5) HD: Thực nhân hai vế với ta đợc 3.B = 2.5 5.8 8.11 1 Từ đó ta có (3n 2)(3n 5) 3n 3n 1 XÐt tõng sè h¹ng cô thÓ : 2.5 1 5.8 … 1 (3n 2)(3n 5) 3n 3n 3 3 1 3n 3( n 1) 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) = 3n 2(3n 5) 2(3n 5) 3(n 1) n 1 B 2(3n 5) Hay 3.B = 2(3n 5) 1 1 n( n 1) c) C = 1.2 2.3 3.4 HD : Thùc hiÖn nh phÇn trªn Bµi Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z xz x y yz ( x y )( y z ) ( x z )( y z ) ( x y )( x z ) Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 1 A (a b)(a c) (b a )(b c ) (c a)(c b) ; a) 1 a (a b)(a c ) b(b a )(b c) c (c a)(c b) ; b) bc ac ab C ( a b)(a c) (b a )(b c) (c a )(c b) ; c) a2 b2 c2 D (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) ; d) Bài Xác định các số hữu tỷ a, b, c cho: ax b c a) ( x 1)( x 1) x x ; B 1 Đáp số: Dùng phơng pháp đồng ta đợc a = , c = , b = a b c 1 a ; b 1; c x ( x 1)( x 2) x x x 2 2) b) ; (§S : a b c 2 x (§S: a = -1; b = 1; c = 1) c) ( x 1) ( x 2) x ( x 1) Bµi 10 Cho abc = (1) 1 a b c a b c (2) (24) Chøng minh sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng HD bc ac ab a b c abc Tõ (2) : Do abc = nªn a + b + c = ab + bc + ca (3) §Ó chøng minh sè a, b, c cã mét sè b»ng ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1) = (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca) Từ (1) và (3) suy biểu thức trên 0, tồn ba thừa số a - 1, b - 1, c - 0, đó tồn t¹i mét ba sè a, b, c b»ng x 2x 3y x Bµi 11 Cho 3y - x = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = y y x ( x 6) 3 4 y x HD : A = x2 y z x2 y z2 Bµi 12 T×m x, y, z biÕt : HD: x2 x2 y y z z x y z x2 y z 0 5 Tõ suy : 2 2 x y z 0 x y z 0 10 15 20 1 x y 4 x y Bµi 13 T×m x, y biÕt: HD 2 1 1 x y 4 x y 0 x y 0 x y x y x y Ta cã x x x 1 y 1 y 1 y Có bốn đáp số nh sau: x y 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 2 2 Bµi 14 Cho biÕt : a b c (1), a b c (2) Chøng minh r»ng a + b + c = abc HD 1 1 2 4 ab ac bc Tõ (1) suy : a b c 1 a b c 1 1 a b c abc abc Do (2) nªn : ab ac bc a b2 c2 a b c x y z 2 , 0 x y z x y z a b c Bµi 15 Cho (1) (2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: HD Tõ (1) suy : bcx + acy + abz = (3) 2 ab ac bc a b c 2 4 x y z xy xz yz Tõ (2) suy : a2 b2 c2 abz acy bcx 4 4 y z xyz Do đó : x (25) 1 3 3 abc Bµi 16 Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 vµ a, b, c kh¸c CMR: a b c HD Tõ gi¶ thiÕt suy : ab + bc + ca = ab bc ca 1 0 0 abc a b c Do đó : Sau đó chứng minh x + y + z = thì x3 + y3 + z3 = 3xyz a b c b c a Bµi 17 Cho b c a a b c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng HD 2 Tõ gi¶ thiÕt suy : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a (c b) a(c b ) bc(c b) 0 (c b)(a ac ab bc) 0 (c b)(a b)(a c) 0 Tóm lại các thừa số c- b, a - b, a - c Do đó ba số a, b, c tồn hai số Bài 18 Tìm các giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên : x3 x x A A 2 x x x x 2; 2; 4;8 ) a) ; (§S : x x3 3x x B x x 0; 2 B 2 ( x 1) x x b) ; (§S : ) x 3x x x C C x2 3x x 0 x 2 x 2 c) (§S : 1 A x x x x x8 Bµi 19 Rót gän biÓu thøc : HD Rút gọn cách quy đồng đôi : 1 2 4 A 2 4 x x x x x x x x x x x x8 8 16 8 16 = 1 x 1 x 1 x Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bµi 20 Rót gän biÓu thøc : 2n 2 (1.2) (2.3) n(n 1) B= HD Ta tách phân thức thành hiệu phân thức dùng phơng pháp khử liên tiếp, ta đợc : 2k ( k 1) k 1 2 2 2 k (k 1) k (k 1) k (k 1) 1 1 1 n(n 2) 1 2 n (n 1) ( n 1) ( n 1) Do đó B = 2 VII) Phép nhân các phân thức đại số A C A.C 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: B D B.D 2) TÝnh chÊt c¬ b¶n: A C C A - Giao ho¸n: B D D B (26)